Как уже подчеркивалось в предыдущем разделе, любая популяция в принципе способна экспоненциально увеличивать свою численность, и именно поэтому экспоненциальная модель используется для оценки потенциальных возможностей роста популяций. В некоторых случаях, однако, экспоненциальная модель оказывается пригодной для описания и реально наблюдаемых процессов. Очевидно, это возможно тогда, когда в течение достаточно продолжительного (относительно длительности поколения) времени ничто не ограничивает рост популяции и соответственно показатель его удельной скорости (r ) сохраняет постоянное положительное значение.
Так, например, в 1937 г. на небольшой остров Протекши (у северо-западного побережья США близ штата Вашингтон) были завезены 2 самца и 6 самок фазана (Phasanius colchicus torqualus), ранее на острове не встречавшегося. В том же году фазаны начали размножаться, а через 6 лет популяция, начало которой дали 8 птиц, насчитывала уже 1898 особей. Как следует из рис. 28 а, в течение по крайней мере первых 3-4 лет рост численности фазанов хорошо описывался экспоненциальной зависимостью (прямая линия при логарифмической шкале по ординате). К сожалению, позднее, в связи с началом военных действий, на острове были расположены войска, ежегодные учеты прекратились, а сама популяция фазанов была в значительной степени истреблена.
Другой известный случай экспоненциального роста популяции-увеличение численности популяции кольчатой горлицы (Streptopelia decaocto) на Британских островах в конце 1950-х- начале 1960-х гг. (рис. 28, б). Прекратился этот рост только через 8 лет, после того как все пригодные местообитания были заселены.
Список примеров экспоненциального роста популяции может быть продолжен. В частности, несколько раз экспоненциальное (или, по крайней мере близкое к экспоненциальному) увеличение численности северного оленя (Rangifer tarandus) наблюдалось при интродукции его на различные острова. Так, от 25 особей (4 самца и 21 самка), завезенных в 1911 г. на остров Святого Павла (входящий в архипелаг островов Прибылова в Беринговом море), произошла популяция, численность которой к 1938г. достигла 2 тыс. особей, но затем последовал резкий спад, и к 1950 г. на острове осталось только 8 оленей. Сходная картина наблюдалась и на острове Святого Матвея (также расположенном в Беринговом море): 29 особей (5 самцов и 24 самки), интродуцированных на остров в 1944 г., дали популяцию, насчитывавшую в 1957 г. 1350 особей, а в 1963 г. - около 6 тыс. особей (площадь этого острова 332 км 2 , что примерно в три раза больше площади острова Святого Павла). В последующие годы произошло, однако, катастрофическое снижение численности оленей-к 1966 г. их осталось только 42. В обоих вышеописанных случаях причиной резкого снижения численности была нехватка в зимнее время пищи, состоящей почти исключительно из лишайников.
В лаборатории можно создать условия для экспоненциального роста, если снабжать культивируемые организмы избытком ресурсов, обычно лимитирующих их развитие, а также поддерживать значение всех физико-химических параметров среды в пределах толерантности данного вида. Нередко для поддержания экспоненциального роста бывает нужно удалять продукты обмена веществ организмов (используя, например, проточные системы при культивировании различных водных животных и растений) или изолировать нарождающихся особей друг от друга, чтобы избегать их скученности (это важно, например, при культивировании многих грызунов и других животных с достаточно сложным поведением). Практически получить в эксперименте кривую экспоненциального роста несложно только для очень мелких организмов (дрожжевых грибков, простейших, одноклеточных водорослей и т. д.). Крупные организмы культивировать в больших количествах трудно по чисто техническим причинам. Кроме того, для этого требуется много времени.
Ситуации, при которых складываются условия экспоненциального роста, возможны и в природе, притом не только для островных популяций. Так, например, в озерах умеренных широт весной, после таяния льда, в поверхностных слоях содержится большое количество обычно дефицитных для планктонных водорослей биогенных элементов (фосфора, азота, кремния), и поэтому неудивительно, что сразу после прогревания воды здесь наблюдается быстрый (близкий к экспоненциальному) рост численности диатомовых или зеленых водорослей. Прекращается он лишь тогда, когда все дефицитные элементы окажутся связанными в клетках водорослей или же когда продукция популяций уравновесится выеданием их различными животными-фитофагами.
Хотя можно привести и другие примеры реально наблюдаемого экспоненциального увеличения численности, нельзя сказать, чтобы они были очень многочисленны. Очевидно, возрастание численности популяции по экспоненциальному закону если и происходит, то только очень короткое время, сменяясь затем спадом или выходом на плато (= стационарный уровень). В принципе возможны несколько вариантов прекращения экспоненциального роста численности. Первый вариант - это чередование периодов экспоненциального роста численности с периодами резкого (катастрофического) спада, вплоть до очень низких значений. Подобная регуляция (а под регуляцией численности мы будем понимать действие любых механизмов, приводящих к ограничению роста популяции) наиболее вероятна у организмов с коротким жизненным циклом, обитающих в местах с резко выраженными колебаниями основных лимитирующих факторов, например у насекомых, живущих в высоких широтах. Очевидно также то, что такие организмы должны иметь покоящиеся стадии, позволяющие пережить неблагоприятные сезоны. Второй вариант - это резкая остановка экспоненциального роста и поддержание популяции на постоянном (=стационарном) уровне, вокруг которого возможны различные флуктуации. Третий вариант - это плавный выход на плато. Получающаяся при этом S-образная форма кривой указывает на то, что по мере увеличения численности популяции скорость роста ее не остается постоянной, а снижается. S-образный рост популяций наблюдается очень часто как в лабораторных экспериментах, так и при вселении видов в новые местообитания.
1. Классы нелинейных регрессий.
2. Параболическая форма зависимости.
3. Гиперболическая форма зависимости.
4. Экспоненциальная форма зависимости.
5. Степенная форма зависимости.
Между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, которые выражаются с помощью нелинейных функций.
Различают два класса нелинейных регрессий:
1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам Примерами таких регрессий являются функции:
Полиномы разных степеней;
Равносторонняя гипербола.
2. К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:
Степенная;
Показательная;
Экспоненциальная.
Нелинейная регрессия по включенным переменным определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), так как эти функции линейны по параметрам.
1. Параболическая форма зависимости.
Уравнение регрессии параболы 2-го порядка имеет следующий вид:
Нормальные уравнения метода наименьших квадратов для параболической зависимости таковы:
Решая эту систему уравнений, получаем значения параметров a , b и c .
Парабола второй степени при b > 0 и с < 0 симметрична относительно точки максимума, изменяющей направление связи, а именно рост на падение. Такого рода функцию можно наблюдать в экономике труда при изучении зависимости заработной платы работников физического труда от возраста, с увеличением возраста повышается заработная плата ввиду одновременного увеличения опыта и повышения квалификации работника. Однако с определенного возраста ввиду старения организма и снижения производительности труда дальнейшее повышение возраста может приводить к снижению заработной платы работника.
При b < 0 и с > 0 парабола второго порядка симметрична относительно минимума функции в точке, меняющей направление связи, а именно снижение на рост.
2. Гиперболическая форма зависимости.
Уравнение регрессии гиперболы имеет следующий вид:
Из системы нормальных уравнений метода наименьших квадратов для гиперболы:
определяются значения коэффициентов гиперболического уравнения регрессии a и b .
Гиперболическая зависимость может быть использована на микро- и макроуровне - например, для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота. Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая соотношение между нормой безработицы и процентомприроста заработной платы.
Рассмотрим регрессию, нелинейную по оцениваемым параметрам
3.Экспоненциальная форма зависимости.
Общий вид экспоненциального уравнения регрессии:
Для упрощения алгоритма обработки выборочной совокупности проводится линеаризация экспоненциального уравнения регрессии путем логарифмирования второго из представленных уравнений
Проведя замену ln y на z , получается линейное уравнение вида:
z = a + bx .
определяем параметры уравнения регрессии a и b . Производя обратную замену, получаем эмпирические значения результирующего признака.
4. Степенная форма зависимости.
Общий вид степенного уравнения регрессии:
Логарифмирование данного уравнения приводит его к линейному виду:
Оценки параметров a и b уравнения могут быть найдены МНК. Система нормальных уравнений имеет вид:
Параметр b определяется из системы, а параметр a – потенцированием выражения lna .
Показателем тесноты нелинейной корреляции является индекс корреляции, вычисляемый по формуле:
,
где - индивидуальные значения у по уравнению связи.
Индекс корреляции находится в границах: 0 < R < 1 и чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, более надежно найденное уравнение регрессии.
Индекс детерминации R 2 используется для проверки статистической значимости в целом уравнения нелинейной регрессии по -критерию Фишера.
Экспоненциальная зависимость представляет собой математическую функцию, которая является полезной для описания процесса, где быстро увеличивается или быстро уменьшается количество каких-либо элементов. Существует множество примеров использования этой зависимости в биологии, физике, экономике, медицине и других сферах человеческой деятельности.
Определение экспоненциальной зависимости
Для того чтобы понимать, что означают слова "это количество растет экспоненциально" или "этот процесс характеризуется экспоненциальным спадом", необходимо рассмотреть понятие самой экспоненциальной функции. Для этого возьмем некоторое положительное число "a", которое не равно 1, и возведем его в степень "x", при этом переменная x может иметь как положительные, так и отрицательные значения, но не должна равняться нулю. Также возьмем некоторое постоянное число k (константа), которое не равно нулю. Теперь введем математическую функцию f(x) = k*a x . Возведение в степень "x" положительного числа "a" - это экспоненциальная зависимость, а сама функция f(x) называется показательной. В функции f(x) число "a" называется основанием, а "x" - это независимая переменная.
Отметим, что в математике часто фигурирует основание экспоненциальной функции "a", которое приблизительно равно 2,718. Это число обозначается латинской буквой "e" и называется числом Эйлера. Отмеченное число играет важную роль в математической теории пределов, а также во многих физических процессах в природе, например, давление воздуха с высотой на нашей планете уменьшается по экспоненциальному закону, в которого основанием выступает число Эйлера.
График экспоненциальной зависимости
Рассмотрим свойства экспоненциальной функции y = a x , для этого обратимся к графику, представленному выше. Первым важным свойством является то, что каким бы основанием "a" ни была представлена функция, она всегда будет проходить через точку с координатами (0,1), поскольку a 0 = 1.
Из графика экспоненциальной зависимости также видно, что функция a x для любых значений переменной "x" принимает только положительные значения. При больших отрицательных значениях "x" функция быстро приближается к оси абсцисс, то есть стремится к нулю. В свою очередь, уже при небольших положительных значениях "x" функция резко возрастает, при этом скорость ее увеличения постоянно увеличивается также по экспоненциальному закону, что можно показать, если взять производную от рассматриваемой функции ((a x)" = ln(a)*a x , где ln(a) - натуральный логарифм).
Таким образом, экспоненциальная зависимость - это резкое изменение некоторой величины как в сторону ее увеличения, так и в сторону уменьшения.
Пример из шахматной истории
Хорошей демонстрацией значимости экспоненциального увеличения объектов является древняя легенда, связанная с изобретением шахмат. Согласно этой легенде, для развлечения одного индусского короля, которого звали Белкиб, его близкий друг Брахман Сисса за 3000 лет до нашей эры придумал настольную игру шахматы.
Король так рад был новой игре, что пообещал дать Сиссе все, что тот пожелает. Тогда Брахман Сисса предложил ему дать столько зерна, сколько поместится на 64 шахматных клетках, при этом на 1-ю клетку он положил 1 зерно, на 2-ю - 2 зерна, на 3-ю - 4 зерна и так далее, удваивая каждый раз число. Белкиб сразу не понял, насколько много ему потребуется отдать зерна, поэтому принял без размышлений предложение своего друга.
Количество зерен, которое помещается на шахматной доске согласно описанному принципу, составит 2 64 = 18 446 744 073 709 551 616 - гигантское число!
Рост населения планеты
Еще одним ярким примером процессов, которые описываются согласно экспоненциальной зависимости, является рост населения планеты. Так, в 1500 году население планеты составляло около 500 млн., в 1800 году, то есть через 300 лет, оно удвоилось и стало равно 1 млрд., прошло менее 50 лет, и население планеты перешагнуло отметку 2 млрд, в настоящее время количество жителей на планете Земля составляет 7,5 млрд. человек.
Описанный на примере человечества рост популяции характерен для любого биологического вида, будь то млекопитающее или одноклеточная бактерия. Математически этот рост описывается следующей формулой: N t = N 0 *e k*t , где N t и N 0 - численность популяции в моменты времени t и нулевой, соответственно, k - некоторый положительный коэффициент. Данная математическая модель роста популяций получила название экспоненциальной зависимости в экологии.
Экспоненциальный рост населения планеты заставил задуматься еще в начале XIX века известного английского экономиста и демографа Томаса Роберта Мальтуса. Ученый в свое время предсказывал, что в середине XIX века на Земле должен будет наступить голод, поскольку производство продуктов питания увеличивается линейно, в то время как численность людей на планете увеличивается экспоненциально. Мальтус полагал, что единственным способом достигнуть равновесия в рассматриваемой системе, является массовая смертность, вызванная войнами, эпидемиями и другими катаклизмами.
Как известно, ученый ошибся в своих мрачных предсказаниях, по крайней мере он ошибся с указанной датой.
Возраст археологических останков
Еще одним ярким примером природных процессов, которые происходят согласно экспоненциальному закону, является распад радиоактивных элементов. Это физическое явление, которое заключается в превращении ядер тяжелых элементов в ядра более легких, описывается следующей математической формулой: N t = N 0 *e -k*t , где N t и N 0 - количество ядер более тяжелого элемента в момент времени t и в начальный момент соответственно. Из этой формулы видно, что она практически аналогична таковой для роста биологической популяции, единственное отличие заключается в знаке "минус" в показателе экспоненты, который говорит об убыли тяжелых ядер.
Отмеченную формулу используют для определения возраста горных пород и окаменелых организмов. В последнем случае работают с изотопом углерода 14 C, поскольку его период полураспада (время, за которое начальное число тяжелых ядер уменьшится вдвое) является относительно небольшим (5700 лет).
Другие процессы, подчиняющиеся экспоненциальному закону
Экспоненциальная зависимость описывает многие процессы в экономике, химии и медицине. Например, дозы медикаментов, попавших в организм человека, уменьшаются во времени по экспоненциальному закону. В экономике инвестиционная прибыль, исходя из определенного начального капитала, рассчитывается также по экспоненциальному закону.
Люди не слишком хорошие предсказатели будущего. На протяжении большей части истории наш опыт был «локальным и линейным»: мы использовали одни и те же инструменты, ели одни и те же блюда, жили в определенном месте. В результате наши способности к прогнозированию основаны на интуиции и прошлом опыте. Это похоже на лестницу: сделав несколько шагов вверх, мы понимаем, каким будет оставшийся путь по этой лестнице. Проживая жизнь, мы ожидаем, что каждый новый день будет похож на предыдущий. Однако сейчас все меняется.
Известный американский изобретатель и футуролог Рэймонд Курцвейл в своей книге «Сингулярность уже близко» (The Singularity Is Near) пишет, что скачок развития технологий, который мы наблюдаем последние десятилетия, вызвал ускорение прогресса во множестве разных областей. Это привело к неожиданным технологическим и социальным изменениям, происходящим не только между поколениями, но и внутри них. Теперь интуитивный подход в предсказании будущего не работает. Будущее разворачивается уже не линейно, а экспоненциально: все сложнее предсказать, что будет дальше и когда это случится. Темпы технического прогресса постоянно удивляют нас, и чтобы за ними успевать и научиться предсказывать будущее, нужно сначала научиться мыслить экспоненциально.
Что такое экспоненциальный рост?
В отличие от линейного роста, который является результатом многократно добавления постоянной, экспоненциальный рост - это многократное умножение. Если линейный рост - это стабильная во времени прямая линия, то линия экспоненциального роста похожа на взлет. Чем большее значение принимает величина, тем быстрее она растет дальше.
Представьте, что вы идете по дороге, и каждый ваш шаг получается метр в длину. Вы делаете шесть шагов, и теперь вы продвинулись на шесть метров. После того, как вы сделаете еще 24 шага, вы окажетесь в 30 метрах от того места, где вы начали. Это линейный рост.
А теперь представьте (хотя ваше тело так не умеет, но представьте), что каждый раз длина вашего шага увеличивается вдвое. То есть сначала вы шагаете на один метр, затем на два, затем на четыре, затем на восемь и так далее. За шесть таких шагов вы преодолеете 32 метра - это гораздо больше, чем за шесть шагов по одному метру. В это трудно поверить, но если продолжать в том же темпе, то после тридцатого шага вы окажетесь на расстоянии миллиарда метров от исходной точки. Это 26 поездок вокруг Земли. И это экспоненциальный рост.
Интересно, что каждый новый шаг при таком росте - это сумма всех предыдущих. То есть после 29 шагов вы преодолели 500 миллионов метров, и столько же вы преодолеваете за один следующий, тридцатый шаг. Это означает, что любой из ваших предыдущих шагов несравнимо мал по отношению к последующим нескольким шагам взрывного роста, а большая его часть происходит в течение относительно короткого периода времени. Если представить такой рост в виде движения из точки А в точку Б, самый большой прогресс в перемещении будет достигнут на последнем этапе.
Мы часто упускаем показательные тенденции на ранних стадиях, так как начальный темп экспоненциального роста медленный и постепенный, его трудно отличить от линейного роста. Кроме того, зачастую предсказания, основанные на предположении, что какое-то явление будет развиваться по экспоненте, могут показаться невероятными, и мы от них отказываемся.
«Когда в 1990 году началось сканирование генома человека, критики отметили, что, учитывая скорость, с которой сначала шел этот процесс, геном мог бы быть отсканирован только через тысячи лет. Однако проект был завершен уже в 2003 году», - приводит пример Рэймонд Курцвейл.
В последнее время развитие технологий идет по экспоненте: с каждым десятилетием, с каждым годом мы умеем несравнимо больше, чем раньше.
Может ли экспоненциальный рост когда-нибудь закончиться?
На практике экспоненциальные тенденции не длятся вечно. Тем не менее, некоторые из них могут продолжаться в течение длительных периодов времени, если есть соответствующие условия для взрывного развития.
Как правило, экспоненциальный тренд состоит из серии последовательных S-образных технологических циклов жизни или S-образных кривых. Каждая кривая выглядит как буква «S» из-за трех стадий роста, которые она показывает: начальный медленный рост, взрывной рост и выравнивание, по мере того, как технология созревает. Эти S-кривые пересекаются, и когда одна технология замедляется, начинается рост новой. С каждым новым S-образным витком развития, количество времени, необходимое для достижения более высоких уровней производительности, становится меньше.
Например, говоря о развитии технологий в прошлом веке, Курцвейл перечисляет пять вычислительных парадигм: электромеханические, реле, вакуумные лампы, дискретные транзисторы и интегральные схемы. Когда одна технология исчерпывала свой потенциал, начинала прогрессировать следующая, и она делала это стремительнее, чем ее предшественники.
Планирование экспоненциального будущего
В условиях экспоненциального развития очень сложно предсказать, что ждет нас в будущем. Построить график, основанный на геометрической прогрессии - это одно, а прикинуть, как изменится жизнь за десять-двадцать лет - совсем другое. Но можно следовать простому эмпирическому правилу: ожидай, что жизнь тебя очень сильно удивит, и планируй все исходя из ожидаемых сюрпризов. Иными словами, предполагать можно самые невероятные исходы и готовиться к ним, как если бы они точно состоялись.
«Будущее будет гораздо более удивительным, чем большинство людей могут себе представить. Лишь немногие действительно осознали тот факт, что скорость самого изменения ускоряется», - пишет Рэймонд Курцвейл.
Как будет выглядеть наша жизнь в ближайшие пять лет? Один из способов сделать прогноз - посмотреть на последние пять лет и перенести этот опыт на следующие пять, но это «линейное» мышление, которое, как мы выяснили, работает не всегда. Скорость изменений меняется, поэтому для того прогресса, который был достигнут за последние пять лет, в будущем потребуется уже больше времени. Вполне вероятно, что те изменения, которых вы ждете через пять лет, на самом деле произойдут через три или два года. После небольшой практики мы научимся лучше предсказывать дальнейшее развитие жизни, научимся видеть перспективы экспоненциального роста и сможем лучше планировать наше собственное будущее.
Это не просто интересная концепция. Наше мышление, заточенное чаще под линейное развитие, может привести нас в тупик. Именно линейное мышление заставляет некоторых бизнесменов и политиков противиться переменам, они просто не понимают, что развитие происходит по экспоненте, и беспокоятся из-за того, что все сложнее становится контролировать будущее. Но именно это поле для конкуренции. Чтобы угнаться за этим изменением, нужно всегда быть на шаг впереди и делать не то, что актуально сейчас, а то, что будет актуальным и востребованным в будущем, учитывать, что развитие происходит не линейно, а экспоненциально.
Экспоненциальное мышление уменьшает действие разрушительных стрессов, которые возникают из-за нашего страха перед будущим, и открывает новые возможности. Если мы сможем лучше планировать наше будущее и сможем мыслить экспоненциально, мы облегчим переход от одной парадигмы к другой и встретим будущее спокойно.
Здравствуйте! Сегодня мы с вами попробуем разобраться, что такое экспоненциальный рост. Экспоненциальный рост - возрастание величины в геометрической прогрессии. Величина растет со скоростью, пропорциональной её значению. Это означает, что для любой экспоненциально растущей величины чем большее значение она принимает, тем быстрее растет. Разберем это на примере. Может, вы помните из биологии, что бактерии размножаются ОЧЕНЬ быстро. Рост популяции бактерий аналогичен росту непрерывно начисляемых процентов. Я это покажу, когда будем решать задачу. Так, это у нас задача на экспоненциальный рост. Вот условие: на начальной стадии бактериальная колония содержит в себе 100 клеток, и она начинает расти пропорционально своему размеру. Спустя 1 час численность клеток возрастает до 420. Сначала нам нужно найти выражение, которое показывает количество бактерий через t часов. Давайте этим и займемся. Количество бактерий – это, можно сказать, функция от времени. Давайте обозначим ее b. Итак, запишем. Количество бактерий как функцию от t можно записать как b(t). Я запишу это вот здесь: b(t). Таким образом, количество бактерий как функция от времени равно: начальное количество бактерий, то есть I нулевое (если проводить аналогию с процентами, то это у нас тело кредита). В данном случае это количество, с которого мы начинаем. Далее у нас идет число е в степени kt, где k – это вид экспоненциального роста. Это у нас I нулевое, другими словами, первоначальное количество. t=0, т.к. в начальный момент времени время равно нулю, а значит, что вся степень равна нулю, а все выражение здесь равно единице. Логично, да?. b(0) должно быть равно I нулевому. Следовательно, если вы знаете, с какого значения начать, а также второе значение, то вы можете найти k. Затем вы подставляете вместо k найденное значение – и вот вы и выполнили первый пункт задания: найти выражение, которое показывает количество бактерий через t часов. Итак, мой вопрос: чему равно I нулевое? Нам это количество известно. Вот здесь в задаче: на начальной стадии бактериальная колония содержит в себе 100 клеток. Следовательно, мы знаем, что b(0) равно 100. Давайте я по-другому запишу: b(0)=I нулевое*е в степени 0 =I нулевому. Следовательно, количество бактерий при t=0 равно 100. Вот мы немного продвинулись в решении. Теперь можем сказать, что b(t)=100*е в степени kt. Таким образом, если бы у нас было k, то мы бы могли выполнить первую часть задания: найти выражение, которое показывает количество бактерий через t часов. А как же нам найти k? А вот у нас далее идет второе значение количества бактерий: спустя 1 час численность клеток возрастает до 420 штук. О чем это нам говорит? О том, что b(1) т.е. популяция спустя 1 час равна 420 штукам, или это равно 100*е в степени kt. Чему равно t? t=1, следовательно, умножить на е в степени k. Таким образом, 420=100*е в степени k. Теперь мы можем найти k. Давайте для начала разделим обе части равенства на 100. Итак, 4,2…Я, наверное, поменяю местами части равенства. Итак, е в степени k равно 4,2. Теперь, чтобы найти k, нам нужно взять натуральные логарифмы обеих частей. Таким образом, k=ln(4,2). В результате мы получим какое-то число. Мы позже найдем его с помощью калькулятора. Итак, мы сначала подставили в это выражение значение 100, выяснили, чему равно I нулевое и с помощью дополнительных данных мы нашли k: k=ln(4,2). Теперь у нас есть выражение, поскольку k и I нулевое нам известны. Следовательно, вот ответ на первый пункт задания: функция b(t) равна: начальное количество, то есть 100, умножить на е в степени kt, а поскольку k=ln(4,2), то получаем е в степени (ln(4,2))*t. Именно так выглядит наша функция. Теперь приступим к выполнению второго пункта нашего задания. Вот он, второй пункт: найти количество бактерий через 3 часа. Это сделать легко и просто. У нас есть функция, а t=3, следовательно, мы можем найти количество бактерий через 3 часа. Итак, b(3)=100*е в степени (ln(4,2)*3). И мы можем вычислить значение этого выражения, если, конечно, у вас есть калькулятор. Чему равен натуральный логарифм 4,2? Вообще-то, мы можем найти значение аналитическим методом. Итак, это то же самое, что и 100 умножить на е в степени ln(4,2) и все это в третьей степени, поскольку если две степени перемножаются, то это равносильно возведению в степень, значит, мы возводим в 3-ью степень. И если мы упростим здесь, то дальше все понятно. А чему же равно е в степени ln(4,2)? Это равно 4,2, не так ли? Натуральный логарифм говорит нам о том, в какую степень надо возвести число е, чтобы получить 4,2. Посмотрите, я даже обойдусь без калькулятора. Значит, 100*(4,2) в третьей степени. А теперь нам нужно выяснить, сколько будет (4,2) в третьей степени. Это будет около 70-ти. Давайте позже с этим разберемся. Вот ответ на второй пункт нашего задания. А найти значение можно с помощью калькулятора. Вы и сами можете это сделать. Какой же третий пункт? Теперь нам надо найти темп роста спустя 3 часа. Что в этом пункте от нас хотят? Нам надо найти угол наклона вот этой функции. Другими словами, нам надо найти производную этой функции при t=3. Давайте я здесь все удалю, поскольку мы уже выполнили эти пункты задания. Здесь надо только посчитать на калькуляторе. Готово. Итак, переходим к третьему пункту. Нам надо найти темп роста, то есть производную данной функции. Итак, производная функции b’(t) равна…Чему же она равна? Давайте воспользуемся цепным правилом, т.е. принципом дифференцирования сложной функции. Итак, поскольку 100 – это константа, то мы можем 100 написать перед функцией. А производная вот этого выражения равна ln(4,2) умножить на производную е в степени ln(4,2)*t. Это мы нашли темп роста при t, а нам надо выяснить, чему он будет равен при t=3. Следовательно, b’(3)=100*ln(4,2), и все это мы умножаем на е в степени ln(4,2)*t. А мы уже говорили, что это выражение равно просто (4,2) в степени t. Значит, здесь мы умножаем на (4,2) в третьей степени. Как видите, мы здесь затронули и тему логарифмов. Ну, а дальше все легко и просто: мы вместо t подставили значение 3. Надеюсь, вы поняли. Ну, а если нет, то можете просто-напросто воспользоваться калькулятором. Но, по-моему, это надо знать: е в втепени (ln x)=x. Ведь, что такое (ln x)? Это степень, в которую надо возвести е, чтобы получить х. Другими словами, если я возвожу е в степень х, я получаю х. Вот все, что я хотела сказать. Итак, е в степени ((ln(4,2) в степени t)= (4,2) в стпени t. Как видите, я могу переписать наше первоначальное выражение следующим образом: 100*(4,2) в степени t. Мы только что упростили ответ для первого пункта задания. Так будет лучше. Благодаря этому найти решение для второго пункта было бы проще. Ну а что касается третьего пункта, то здесь лучше оставить все, как есть, поскольку найти производную вот этого выражения намного легче. Мы можем переписать вот это выражение как: b’(t)=(100*ln(4,2))*(4,2) в степени t. Таким образом, я просто поменяла вот это выражение на это. Извините, я тут уже так начёркала. И наконец-то, мы подошли к последнему пункту нашего задания: найти время, через которое количество бактерий достигнет 10.000. Давайте я, наверное, сотру решение к третьему пункту. Через какое время количество бактерий достигнет 10.000? Давайте сначала запишем наше выражение немного проще. Итак, b(t)=100*е в степени (ln(4,2)*t). А это равно, как я уже говорила, 100*(4,2)^t. У нас спрашивают, когда количество бактерий достигнет 10.000. Другими словами, при каком значении t функция b(t) равно 10.000. Итак, 10.000=100*е в степени ln(4,2)*t. Давайте посмотрим, что у нас здесь. Мы можем разделить обе части равенства на 100. Следовательно, 100=е в степени (ln(4,2)*t). А теперь мы можем записать обе части в виде натуральных логарифмов. Что у нас здесь получится? Возьму другой цвет, ln100 равен..., а если мы берем натуральный логарифм е в какой-то степени, то мы получаем просто натуральный логарифм значения этой степени. Другими словами, у нас остается только логарифм выражения, которое находится в степени. Итак, давайте это запишем: ln100=ln(4,2)*t. А чтобы найти t, нам надо обе части равенства разделить на ln(4,2). Следовательно, t=(ln100)/(ln(4,2)) Таким вот образом мы найдем время, через которое количество бактерий достигнет 10.000. Осталось только взять калькулятор и найти значение этого выражения. А давайте теперь ради интереса, рассмотрим упрощенную версию нашего выражения. Итак, что бы у нас получилось: 100*(4,2) в степени t=10.000. Делим обе части равенства на 100. Значит, (4,2) в степени t=100. А чтобы решить это, нам надо взять логарифм по основанию 4,2. Следовательно, t равно логарифму 100 по основанию 4,2. Мы еще вернемся к этому в видео о свойствах логарифма. Очень важно знать, как можно вычислить логарифм по основанию какого-то числа. Поскольку на калькуляторе вы можете найти логарифм только по основанию е или 10. А как найти логарифм по основанию любого другого числа? Мой ответ – очень просто: надо просто взять натуральный логарифм 100 и разделить его на натуральный логарифм вот этого значения. Либо же десятичный логарифм 100 и разделить на десятичный логарифм 4,2. Все, на этом мы, наверное, закончим, чтобы у вас в голове все не перепуталось. Итак, на этом уроке мы рассмотрели экспоненциальный рост. Мы могли вместо «колонии бактерий» написать «начальная сумма вклада составляет 100 и растет пропорционально своему размеру». Тогда это было бы сложными процентами. А здесь мы могли бы сказать, что «спустя 1 час сумма увеличилась на, допустим, 4, 2 доллара. В таком случае мы бы искали непрерывно начисляемые проценты. В общем, это то же самое. Неважно, что именно мы рассматриваем. В дальнейшем я покажу еще несколько примеров на эту тему, а также мы рассмотрим задачу и на экспоненциальное затухание. До скорой встречи!