Графическое решение уравнений
Расцвет, 2009
- В в е д е н и е -
Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.
Формулы решения квадратных уравнений в Евроᴨȇ были вᴨȇрвые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.
Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Евроᴨȇ лишь в 1544 году М. Штифелем.
В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.
В древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.
Диофант Александрийский и Евклид , Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.
В 7 классе мы изучали функции у = С, у = kx , у = k x + m , у = x 2 , у = - x 2 , в 8 классе - у = v x , у = |x |, у = ax 2 + bx + c , у = k / x . В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x 3 , у = x 4 , у = x 2 n , у = x - 2 n , у = 3 vx , (x - a ) 2 + (у - b ) 2 = r 2 и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.
Моя работа заключается в исследовании графиков функций и графическом решении уравнений.
1. Какие бывают функции
График функции - это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы котоҏыҳ равны значениям аргументов, а ординаты - соответствующим значениям функции.
Линейная функция задаётся уравнением у = kx + b , где k и b - некоторые числа. Графиком этой функции является прямая.
Функция обратной пропорциональности у = k / x , где k 0. График этой функции называется гиᴨȇрболой.
Функция (x - a ) 2 + (у - b ) 2 = r 2 , где а , b и r - некоторые числа. Графиком этой функции является окружность радиуса r с центром в т. А (а , b ).
Квадратичная функция y = ax 2 + bx + c где а, b , с - некоторые числа и а 0. Графиком этой функции является парабола.
Уравнение у 2 (a - x ) = x 2 (a + x ) . Графиком этого уравнения будет кривая, называемая строфоидой.
Уравнение (x 2 + y 2 ) 2 = a (x 2 - y 2 ) . График этого уравнения называется лемʜᴎϲкатой Бернулли.
Уравнение. График этого уравнения называется астроидой.
Кривая (x 2 y 2 - 2 a x) 2 =4 a 2 (x 2 + y 2 ) . Эта кривая называется кардиоидой.
Функции: у = x 3 - кубическая парабола, у = x 4 , у = 1/ x 2 .
2. Понятие уравнения, его графического решения
Уравнение - выражение, содержащее ᴨȇременную.
Решить уравнение - это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.
Корень уравнения - это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
Решение уравнений графическим способом позволяет найти точное или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.
При построении графиков и решении уравнений используются свойства функции, в связи с этим метод чаще называют функционально-графическим.
Для решения уравнение «делим» на две части, вводим две функции, строим их графики, находим координаты точек ᴨȇресечения графиков. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения.
3. Алгоритм построения графика функции
Зная график функции у = f (x ) , можно построить графики функций у = f (x + m ) , у = f (x )+ l и у = f (x + m )+ l . Все эти графики получаются из графика функции у = f (x ) с помощью преобразования параллельного ᴨȇреноса: на ¦ m ¦ единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на ¦ l ¦ единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y .
4. Графическое решение квадратного уравнения
На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.
Что знали о параболе древние греки?
Современная математическая символика возникла в 16 веке.
У древнегреческих же математиков ни координатного метода, ни понятия функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение, - ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.
Наиболее полно исследовал параболу, гиᴨȇрболу и эллипс Аполоний Пергский , живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).
Существует алгоритм построения параболы:
Находим координаты вершины параболы А (х 0 ; у 0): х 0 =- b /2 a ;
Y 0 =ах о 2 +вх 0 +с;
Находим ось симметрии параболы (прямая х=х 0);
Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;
Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.
1. По алгоритму построим параболу y = x 2 - 2 x - 3 . Абсциссы точек ᴨȇресечения с осью x и есть корни квадратного уравнения x 2 - 2 x - 3 = 0.
Существует пять способов графического решения этого уравнения.
2. Разобьём уравнение на две функции: y = x 2 и y = 2 x + 3
3. Разобьём уравнение на две функции: y = x 2 -3 и y =2 x . Корни уравнения - абсциссы точек ᴨȇресечения параболы с прямой.
4. Преобразуем уравнение x 2 - 2 x - 3 = 0 при помощи выделения полного квадрата на функции: y = (x -1) 2 и y =4 . Корни уравнения - абсциссы точек ᴨȇресечения параболы с прямой.
5. Разделим почленно обе части уравнения x 2 - 2 x - 3 = 0 на x , получим x - 2 - 3/ x = 0 , разобьём данное уравнение на две функции: y = x - 2, y = 3/ x . Корни уравнения - абсциссы точек ᴨȇресечения прямой и гиᴨȇрболы.
5. Графическое решение уравнений стеᴨȇни n
Пример 1. Решить уравнение x 5 = 3 - 2 x .
y = x 5 , y = 3 - 2 x .
Ответ: x = 1.
Пример 2. Решить уравнение 3 v x = 10 - x .
Корнями данного уравнения является абсцисса точки ᴨȇресечения графиков двух функций: y = 3 v x , y = 10 - x .
Ответ: x = 8.
- З а к л ю ч е н и е -
Рассмотрев графики функций: у = ax 2 + bx + c , у = k / x , у = v x , у = |x |, у = x 3 , у = x 4 , у = 3 vx , я заметила, что все эти графики строятся по правилу параллельного ᴨȇреноса относительно осей x и y .
На примере решения квадратного уравнения можно сделать выводы, что графический способ применим и для уравнений стеᴨȇни n.
Графические способы решения уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Абсциссы точек ᴨȇресечения графиков могут быть приближёнными.
В 9 классе и в старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями. Мне интересно знать: подчиняются ли те функции правилам параллельного ᴨȇреноса при построении их графиков.
На следующий год мне хочется также рассмотреть вопросы графического решения систем уравнений и неравенств.
Литература
1. Алгебра. 7 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
2. Алгебра. 8 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
3. Алгебра. 9 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
4. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII-VIII классы. - М.: Просвещение, 1982.
5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.
6. Графическое решение уравнений сайты в Интернете: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.
Графическое решение уравнений
Расцвет, 2009
Введение
Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.
Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.
В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.
В древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.
Диофант Александрийский и Евклид , Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.
В 7 классе мы изучали функции у = С, у = kx , у = kx + m , у = x 2 , у = – x 2 , в 8 классе – у = √ x , у = |x |, у = ax 2 + bx + c , у = k / x . В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x 3 , у = x 4 , у = x 2 n , у = x - 2 n , у = 3 √x , ( x – a ) 2 + (у – b ) 2 = r 2 и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.
Моя работа заключается в исследовании графиков функций и графическом решении уравнений.
1. Какие бывают функции
График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Линейная функция задаётся уравнением у = kx + b , гдеk и b – некоторые числа. Графиком этой функции является прямая.
Функция обратной пропорциональности у = k / x , где k¹ 0. График этой функции называется гиперболой.
Функция ( x – a ) 2 + (у – b ) 2 = r 2 , где а , b и r – некоторые числа. Графиком этой функции является окружность радиуса r с центром в т. А (а , b ).
Квадратичная функция y = ax 2 + bx + c где а, b , с – некоторые числа и а ¹ 0. Графиком этой функции является парабола.
Уравнение у 2 ( a – x ) = x 2 ( a + x ) . Графиком этого уравнения будет кривая, называемая строфоидой.
Уравнение ( x 2 + y 2 ) 2 = a ( x 2 – y 2 ) . График этого уравнения называется лемнискатой Бернулли.Уравнение. График этого уравнения называется астроидой.
Кривая(x 2 y 2 – 2 a x) 2 =4 a 2 (x 2 + y 2) . Эта кривая называется кардиоидой.
Функции: у = x 3 – кубическая парабола, у = x 4 , у = 1/ x 2 .
2. Понятие уравнения, его графического решения
Уравнение – выражение, содержащее переменную.
Решить уравнение – это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.
Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
Решение уравнений графическим способом позволяет найти точное или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.
При построении графиков и решении уравнений используются свойства функции, поэтому метод чаще называют функционально-графическим.
Для решения уравнение «делим» на две части, вводим две функции, строим их графики, находим координаты точек пересечения графиков. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения.
3. Алгоритм построения графика функции
Зная график функции у = f ( x ) , можно построить графики функций у = f ( x + m ) , у = f ( x )+ l и у = f ( x + m )+ l . Все эти графики получаются из графика функции у = f ( x ) с помощью преобразования параллельного переноса: на │ m │ единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на │ l │ единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y .
4. Графическое решение квадратного уравнения
На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.
Что знали о параболе древние греки?
Современная математическая символика возникла в 16 веке.
У древнегреческих же математиков ни координатного метода, ни понятия функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение, – ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.
Наиболее полно исследовал параболу, гиперболу и эллипс Аполоний Пергский , живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).
Существует алгоритм построения параболы:
Находим координаты вершины параболы А (х 0 ; у 0): х 0 =- b /2 a ;
Y 0 =ах о 2 +вх 0 +с;
Находим ось симметрии параболы (прямая х=х 0);
Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;
Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.
1. По алгоритму построим параболу y = x 2 – 2 x – 3 . Абсциссы точек пересечения с осью x и есть корни квадратного уравнения x 2 – 2 x – 3 = 0.
Существует пять способов графического решения этого уравнения.
2. Разобьём уравнение на две функции: y = x 2 и y = 2 x + 3
3. Разобьём уравнение на две функции: y = x 2 –3 и y =2 x . Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
4. Преобразуем уравнениеx 2 – 2 x – 3 = 0 при помощи выделения полного квадрата на функции: y = ( x –1) 2 иy =4. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
5. Разделим почленно обе части уравненияx 2 – 2 x – 3 = 0 на x , получим x – 2 – 3/ x = 0 , разобьём данное уравнение на две функции: y = x – 2, y = 3/ x . Корни уравнения – абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы.
5. Графическое решение уравнений степени n
Пример 1. Решить уравнение x 5 = 3 – 2 x .
y = x 5 , y = 3 – 2 x .
Ответ: x = 1.
Пример 2. Решить уравнение 3 √ x = 10 – x .
Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y = 3 √ x , y = 10 – x .
Ответ: x = 8.
Заключение
Рассмотрев графики функций: у = ax 2 + bx + c , у = k / x , у = √ x , у = |x |, у = x 3 , у = x 4 , у = 3 √x , я заметила, что все эти графики строятся по правилу параллельного переноса относительно осей x и y .
На примере решения квадратного уравнения можно сделать выводы, что графический способ применим и для уравнений степени n.
Графические способы решения уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков могут быть приближёнными.
В 9 классе и в старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями. Мне интересно знать: подчиняются ли те функции правилам параллельного переноса при построении их графиков.
На следующий год мне хочется также рассмотреть вопросы графического решения систем уравнений и неравенств.
Литература
1. Алгебра. 7 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
2. Алгебра. 8 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
3. Алгебра. 9 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
4. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII–VIII классы. – М.: Просвещение, 1982.
5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.
6. Графическое решение уравнений сайты в Интернете: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.
Графическое решение квадратного уравнения Закрепить умение строить графики различных функций; Формировать умение решать квадратные уравнения графическим способом. г. Брдск 2009 Муниципальное общеобразовательное учреждение – Экономический лицей Обобщающий урок по теме «Квадратичная функция», алгебра 8 класс учитель Федосеева Т.М.
Построение графика квадратичной функции Определить направление ветвей: a>0 ветви вверх; a 0 ветви вверх; a"> 0 ветви вверх; a"> 0 ветви вверх; a" title="Построение графика квадратичной функции Определить направление ветвей: a>0 ветви вверх; a"> title="Построение графика квадратичной функции Определить направление ветвей: a>0 ветви вверх; a">
0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк" title="Построим график функции у=х 2 -2х-3 с помощью алгоритма: 1) а=1>0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк" class="link_thumb"> 3 Построим график функции у=х 2 -2х-3 с помощью алгоритма: 1) а=1>0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точки пересечения с осью ОХ: х 1 =-1; х 2 =3 1 способ решения уравнения х 2 -2х-3=0 y x Решить уравнение х 2 +2х-3=0 0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк"> 0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точки пересечения с осью ОХ: х 1 =-1; х 2 =3 1 способ решения уравнения х 2 -2х-3=0 y x 0 1 -4 23 Решить уравнение х 2 +2х-3=0"> 0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк" title="Построим график функции у=х 2 -2х-3 с помощью алгоритма: 1) а=1>0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк"> title="Построим график функции у=х 2 -2х-3 с помощью алгоритма: 1) а=1>0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк">
Второй способ: а). Уравнение х 2 -2х-3=0 разобьём на части х 2 = 2х+3 Запишем две функции у= х 2 ; у=2х+3 Строим графики данных функций в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения. 0 1 х у Решить уравнение х 2 +2х-3=0
Третий способ: х 2 -3 = 2х y= х 2 -3; y=2х Строим графики данных функций в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения. 0 1 х у Решить уравнение х 2 +2х-3=0
Научно-исследовательская работа учащихся по теме:
«Применение линейной функции в решении задач»
«Применение графика линейной функции к решению задач»
МКОУ «Богучарская средняя общеобразовательная школа №1»
Научно-исследовательская работа по математике.
Тема: «Применение графика линейной функции к решению задач»
7 «В» класс
Руководитель:Фоменко Ольга Михайловна
город Богучар
1.Введение………………………………………………………………… 2
2.Основная часть……………………………………………………………3-11
2.1 Методика решения текстовых задач с помощью графиков линейной функции
2.2Решение текстовых задач на движение с помощью графиков
3.Заключение…………………………………………………………………11
4.Литература………………………………………………………………….12
ВВЕДЕНИЕ.
« Алгебра.7 класс» рассматриваются задачи, в которых по заданному графику необходимо ответить на ряд вопросов.
Например:
№332 Дачник отправился из дома на автомобиле в поселок. Сначала он ехал по шоссе,а затем по проселочной дороге, сбавив при этом скорость. График движения дачника изображен на рисунке. Ответьте на вопросы:
а)сколько времени ехал дачник по шоссе и сколько километров он проехал; какая скорость автомобиля была на этом участке пути;
б)сколько времени ехал дачник по проселочной дороге и сколько километров он проехал; какова была скорость автомобиля на этом участке;
в) за какое время дачник проехал весь путь от дома до поселка?
В ходе поиска материала по этой теме в литературе и Интернете я для себя открыла, что в мире в линейной зависимости находятся многие физические, и даже общественные и экономические явления и процессы, но я остановилась на движении, как наиболее нам знакомом и популярном среди всех. В проекте я описала текстовые задачи и способы их решения с помощью графиков линейной функции.
Гипотеза: с помощью графиков можно не только получить наглядные представления о свойствах функции, познакомиться со свойствами линейной функции и её частного вида, прямой пропорциональности, но и решать текстовые задачи.
Целью моего исследования стало изучение применения графиков линейной функции в решении текстовых задач на движение. В связи с осуществлением этих целей были выдвинуты следующие задачи:
Изучить методику решения текстовых задач на движение с помощью графиков линейной функции;
Научиться решать задачи на движение данным методом;
Сделать сравнительные выводы о достоинствах и недостатках решения задач с помощью графиков линейной функции.
Объект исследования: график линейной функции.
Метод исследования:
Теоретический (изучение и анализ),системно-поисковый, практический.
Основная часть.
В своем исследовании я решила попробовать дать графическое толкование задач на движение, представленных в нашем учебнике, затем по графику ответить на поставленный вопрос задачи. Для такого приёма решения взяла задачи с прямолинейным равномерным движением на одном участке пути. Оказалось, что многие задачи таким способом решаются проще, нежели обычным способом с помощью уравнения. Единственный недостаток этого приёма: для точного получения ответа на вопрос задачи, надо суметь правильно выбрать масштаб единиц измерения на осях координат. Большую роль в правильном выборе такого масштаба играет опыт нарешивания. Поэтому, чтобы овладеть искусством решения задач с помощью графиков, мне пришлось рассмотреть их в большом количестве.
задать систему координат sOt с осью абсцисс Ot и осью ординат Os . Для этого по условию задачи надо выбрать начало отсчета: начало движения объекта или из нескольких объектов избирается тот, который начал двигаться раньше или прошел большее расстояние. По оси абсцисс отметить интервалы времени в его единицах измерения, а по оси ординат отметить расстояние в выбранном масштабе его единиц измерения.
Точки на координатной плоскости должны быть отмечены в соответствии с масштабом по условию задачи, и линии должны быть построены аккуратно. От этого зависит точность решения задачи. Поэтому очень важно удачно выбрать масштаб делений на осях координат: его надо подобрать таким образом, чтобы координаты точек определялись более точно и, по возможности, располагались в узловых точках, т.е. в пересечениях делений осей координат. Иногда полезно за единичный отрезок на оси абсцисс брать количество клеток, кратное условиям задачи относительно времени, а на оси ординат – количество клеток, кратное условиям задачи относительно расстояния. Например, 12мин по времени требуют выбора числа клеток кратное 5, т.к. 12 мин составляет пятую часть часа.
Решение текстовых задач на движение с помощью графиков
Ответ: 9 км.
Решение с помощью уравнения:
х/12ч. – время от А до В
х/18ч. – время обратно
Ответ:9 км
Задача 2.(№ 156 в учебнике Ю.Н.Макарычева «Алгебра 7».)
По шоссе идут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 10км/ч, а вторая уменьшит на 10км/ч, то первая за 2 часа пройдёт столько же, сколько вторая за 3 часа. С какой скоростью идут автомашины?
Решение с помощью уравнения:
Пусть х км/ч скорость машин;
(х+10) и (х-10) соответственно скорости после увеличения и уменьшения;
2(х+10)=3(х-10)
Ответ: 50км/ч
Решение с помощью графика линейной функции:
1. Зададим координатную плоскость sOt c осью абсцисс Оt , на которой отметим интервалы времени движения, и осью ординат Os , на которой отметим расстояние, пройденное автомашинами
2. Нанесём деления в масштабе по оси абсцисс – один час в 5 клетках (в 1 клетке – 12 мин); по оси ординат наносим деления, но не указываем масштаб.
3. Построим линию движения первой машиныI : начало движения в точке с
4. Построим линию движения второй машиныII : начало движения в точке с координатой (0;0). Далее отметим произвольную точку (3;s 1) на плоскости, т.к. машина с новой скоростью была в пути 3 часа.
4. Определим скорость машин v до её изменения. Обозначим разность ординат точек, лежащих на прямых с абсциссой 1, значком ∆s . По условию этому отрезку соответствует длина (10+10) км, т.к. у одной из них скорость уменьшилась, а у другой скорость увеличилась на 10км/ч. Значит, линия движения машин до изменения скорости должна быть равноудалена от линийI и II и расположена на координатной плоскости между ними.. По графику Δs =2кл. соответствует 20км, v =5 кл., значит, решим пропорцию v = 50км/ч.
Ответ: 50км/ч.
Задача 3
Решение с помощью графика линейной функции:
отсчёта является пристань М
отметим точку N (0; 162).
Ответ: 2ч 20мин.
Решение с помощью уравнения:
162 -45(x +0,75)-36x =0
162-45x – 33,75 -36x =0
81x =128,25
2) 
Ответ: 2ч 20мин.
Задача 4.
Из пункта A выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта B , отстоящего от A на расстоянии 20км, выехал мотоциклист 16км/ч. Велосипедист ехал со скоростью 12км/ч. На каком расстоянии от пункта A мотоциклист догонит велосипедиста?
Решение с помощью графика линейной функции:
1.Зададим координатную плоскость sOt с осью абсцисс Ot , на которой отметим интервалы времени движения, и ось ординат Os , на которой будем отмечать расстояние, пройденное мотоциклистом и велосипедистом
2. Нанесём деления в масштабе: по оси ординат – в 2 клетках 8 км; по оси абсцисс–в 2клетках –1ч.
3. Построим линию движения мотоциклиста II : начало его движения отметим в начале координат В(0;0). Мотоциклист ехал со скоростью 16км/ч, значит, прямаяII должна пройти через точку с координатами (1;16).
4.Построим линию движения велосипедистаI : её начало будет в точке А(0;20), т.к. пункт B расположен от пункта A на расстоянии 20км, и он выехал одновременно с мотоциклистом. Велосипедист ехал со скоростью 12км/ч, значит, прямая I должна пройти через точку с координатами (1;32).
5. Найдем Р (5; 80) – точку пересечения прямых I и II , отражающих движение мотоциклиста и велосипедиста: ее ордината покажет расстояние от пункта В, на котором мотоциклист догонит велосипедиста.
Р(5; 80) |=s = 80, |=80 – 20 = 60(км) – расстояние от пункта А, на котором мотоциклист догонит велосипедиста..
Ответ: 60км.
Решение с помощью уравнения:
Пусть x км расстояние от пункта А до места встречи
x /12 время велосипедиста
(x +20)/16 время мотоциклиста
x /12=(x +20)/16
16x =12x +240
4x =240
x =60
Ответ: 60 км
Задача 5.
Расстояние между городами мотоциклист проехал за 2ч, а велосипедист за 5 ч. Скорость велосипедиста на 18км/ч меньше скорости мотоциклиста. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста и расстояние между городами.
Решение с помощью графика линейной функции:
1. Зададим координатную плоскость sOt с осью абсцисс Ot , на которой отметим интервалы времени движения, и ось ординат Os , на которой отметим расстояние.
2. Нанесем деление по оси абсцисс в 2х клетках 1 ч. По оси ординат расстояние оставим без делений.
3. Проведем линию движения I велосипедиста за 5 часов и линию движения мотоциклиста II за 2 часа. Конец обеих линий должен иметь одну ординату.
4. Проведём отрезок с абсциссой 1 между линиями I и II . Длина этого отрезка отражает расстояние равное 18км. Из чертежа получаем, что 3 клетки равны 18 км, значит, в 1 клетке 6км.
5. Тогда, по графику определяем скорость велосипедиста равна12 км/ч, скорость мотоциклиста равна 30 км/ч, расстояние между городами-60 км.
Решение с помощью уравнения:
Пусть x км/ч скорость велосипедиста, тогда(x +18) км/ч скорость мотоциклиста
2(x +18)=5x
2x +36=5x
x =12
2) 12+18=30(км/ч) скорость мотоциклиста
3) (км) расстояние между городами
Ответ: 12 км/ч; 30 км/ч; 60 км
Ответ: 60км.
Задача 6.
По течению реки лодка за 3ч 20мин проходит расстояние 30км, а против течения за 4ч – расстояние 28км. Какое расстояние по озеру пройдет лодка за 1,5ч?
Решение с помощью графика линейной функции:
1.Зададим координатную плоскость sOt с осью абсцисс Ot , на которой отметим интервалы времени движения, и ось ординат Os , на которой отметим расстояние, пройденное лодкой
2. Нанесём деления в масштабе: по оси ординат – в двух клетках 4км; по оси абсцисс– в 6 клетках – 1ч (в 1 клетке – 10 мин.), т.к. по условию задачи дано время с минутами.
3. Построим линию движения лодки по течению рекиI : начало линии будет в точке с координатой (0;0). Лодка плывает 30км за 3ч 20мин, значит, линия должна пройти через точку с координатой (;30), т.к. 3ч 20мин. = ч.
4. Построим линию движения лодки против течения рекиII : начало движения возьмём в точке с координатой (0;0). Лодка плывет 28км за 4ч, значит, прямая движения должна пройти через точку с координатой (4;28).
5. Построим линию движения лодки по озеру: начало движения возьмём в точке с координатой (0; 0). Линия собственного движения лодки должна будет располагаться равноудалённо и между линиями движения лодки по реке. Значит, мы должны отрезок, состоящий из всех точек с абсциссой 1 между линиями движения по реке, поделить пополам и отметить его середину. От (0; 0) через эту отмеченную точку проведём луч, который и будет линией движения по озеру.
6. По условию задачи надо найти расстояние, пройденное лодкой по озеру за 1,5ч, значит, мы должны определить на этой линии ординату точки с абсциссой t = 1,5, |=s = 12, |= 12км пройдёт лодка по озеру за 1,5 часа.
Ответ: 12км.
Решение с помощью системы уравнений:
Пусть x км/ч скорость по озеру, а у км/ч скорость реки
Ответ: 12км.
Задача 7.
Катер проходит по течению реки 34 км за то же время, что и 26 км против течения. Собственная скорость катера равна 15км/ч. Найдите скорость течения реки.
Решение с помощью графика линейной функции:
1.Зададим координатную плоскость sOt с осью абсцисс Ot , на которой отметим интервалы времени движения, и ось ординат Os , на которой отметим расстояние, пройденное лодкой.
2. Нанесём деления в масштабе: по оси ординат – в 1 клетке 1км; по оси абсцисс время оставим без делений.
3. Построим линию I движения лодки по течению реки из 0км до точки в 34 км: начало линии будет в точке с координатой (0;0).Вторая координата будет (x ; 34).
4. Построим линию II движения лодки против течения реки из 0км до точки в 26 км: начало линии будет в точке с координатой (0;0).Вторая координата будет (x ; 26).
5. Проведем луч III из начала координат (0; 0) через середину произвольного отрезка, состоящего из всех точек с одинаковой абсциссой между двумя линиями движения I и II . Этот луч будет отражать собственное движение лодки, т.к. собственная скорость катера есть среднее арифметическое 2х скоростей по течению и против течения реки. На полученном луче найдём точку с ординатой 15, т.к. собственная скорость лодки 15км/ч. Абсцисса найденной точки будет соответствовать делению в 1 час.
6. Чтобы найти скорость течения реки, достаточно найти длину отрезка с абсциссой 1 от линии III до линии II . Скорость течения реки - 2км/ ч.
Ответ: 2км/ ч.
Решение с помощью уравнения:
Скорость течения реки x км/ч
34/(15+х)=26/(15-х) Решая пропорцию, получим:
Ответ: 2км/ ч.
Заключение.
Достоинства:
Можно кратко записать задачи;
Недостатки:
ЛИТЕРАТУРА.
1. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б., Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений, «Просвещение», М., 2000.
2.Булынин В., Применение графических методов при решении текстовых задач, учебно-методическая газета «Математика», № 14, 2005.
3. Звавич Л.И.Дидактические материалы по алгебре для 7 класса.
Просмотр содержимого документа
«слова»
На уроках алгебры в 7 классе я познакомилась с темой «Линейная функция. Взаимное расположение графиков линейных функций». Я научилась строить графики линейной функции, узнала её свойства, научилась по заданным формулам определять взаимное расположение графиков. Я обратила внимание, что в учебнике Ю.Н.Макарычева
« Алгебра.7 класс» рассматриваются задачи, в которых по заданному графику необходимо ответить на ряд вопросов. Пример такой задачи представлен на слайде.
По заданному графику можно определить, что
И у меня возник вопрос, можно ли решать задачи на движение не по действиям или при помощи уравнений, а применить для этого графики линейной функции?
Гипотеза,цели и задачи представлены на слайде
В своем исследовании я решила попробовать дать графическое толкование задач на движение, представленных в нашем учебнике, затем по графику ответить на поставленный вопрос задачи. Для такого приёма решения взяла задачи с прямолинейным равномерным движением на одном участке пути.
Оказалось, что многие задачи решаются таким способом. Единственный недостаток этого приёма: для точного получения ответа на вопрос задачи, надо суметь правильно выбрать масштаб единиц измерения на осях координат. Большую роль в правильном выборе такого масштаба играет опыт нарешивания. Поэтому, чтобы овладеть искусством решения задач с помощью графиков, мне пришлось рассмотреть их в большом количестве.
Методика решения текстовых задач с помощью графиков линейной функции.
Для того, чтобы решить текстовую задачу с помощью графиков линейной функции, надо:
задать систему координат Для этого по условию задачи надо выбрать начало отсчета: начало движения объекта или из нескольких объектов избирается тот, который начал двигаться раньше или прошел большее расстояние. По оси абсцисс отметить интервалы времени в его единицах измерения, а по оси ординат отметить расстояние в выбранном масштабе его единиц измерения.
Провести линии движения каждого из объектов, указанных в условии задачи, через координаты хотя бы двух точек прямых. Обычно скорость объекта даёт информацию о прохождении расстояния за одну единицу времени от начала его движения. Если объект начинает двигаться позже, то точка начала его движения смещена на заданное число единиц вправо от начала отсчета вдоль оси абсцисс. Если объект начинает двигаться с места, удаленного от начала отсчета на определённое расстояние, то точка начала его движения смещена вверх вдоль оси ординат.
Место встречи нескольких объектов на координатной плоскости обозначено точкой пересечения прямых, изображающих их движение, значит, координаты этой точки дают информацию о времени встречи и удаленности места встречи от начала отсчета.
Разность скоростей движения двух объектов определяется длиной отрезка, состоящего из всех точек с абсциссой 1, расположенных между линиями движения этих объектов.
Точки на координатной плоскости должны быть отмечены в соответствии с масштабом по условию задачи, и линии должны быть построены аккуратно. От этого зависит точность решения задачи.
Задача 1.(№ 673 в учебнике Ю.Н.Макарычева «Алгебра 7».)
Велосипедист проехал путь АВ со скоростью 12 км/ч. Возвращаясь, он развил скорость 18 км/ч и затратил на обратный путь на 15 мин меньше, чем на путь из А в В. Сколько километров из А в В.
Решение с помощью уравнения:
Пусть х км – расстояние от А до В.
х/12ч. – время от А до В
х/18ч. – время обратно
Так как на обратный путь он затратил на 15 минут меньше, то составим уравнение
Ответ:9 км
Решение с помощью графика линейной функции:
1. Зададим координатную плоскость sOtc осью абсцисс Оt , на которой отметим интервалы времени движения, и осью ординат Os , на которой отметим расстояние.
2. Нанесём деления в масштабе: по оси ординат – в одной клетке 3 км; по оси абсцисс – один час в 4 клетках (в 1 клетке – 15 мин).
3. Построим линию движения туда: начало движения отметим точкой (0;0). Велосипедист ехал со скоростью 12км/ч, значит, прямая должна пройти через точку (1;12).
4. Построим линию движения обратно: конец линии отметим точкой (; 0), т.к. велосипедист затратил на обратный путь на 15 минут меньше. Он ехал со скоростью 18км/ч, значит, следующая точка прямой имеет координату (;18).
5. Отметим (; 9) - точку пересечения прямых: её ордината покажет расстояние: s = 9
Ответ: 9 км.
Задача 2 (№ 757 в учебнике Ю.Н.Макарычева« Алгебра 7»)
Расстояние между пристанями M и N равно 162км. От пристани M отошел теплоход со скоростью 45км/ч. Через 45 мин от пристани N навстречу ему отошел другой теплоход, скорость которого 36км/ч. Через сколько часов после отправления первого теплохода они встретятся?
Решение с помощью уравнения:
Пусть через x часов произойдет встреча
162 -45(x +0,75)-36x =0
162-45x – 33,75 -36x =0
81x =128,25
2) 
Ответ: 2ч 20мин.
Решение с помощью графика линейной функции:
1. Зададим координатную плоскость sOt с осью абсцисс Ot , на которой отметим интервалы времени движения, и ось ординат Os , на которой
отметим расстояние от пристани M до пристани N , равное 162км. Началом
отсчёта является пристань М
2. Нанесём деления в масштабе: по оси ординат – в двух клетках 18км; по оси абсцисс–один час в 6 клетках (в 1 клетке–10мин.), т.к. в условии задачи указано время в минутах.
отметим точку N (0; 162).
3. Построим линию движения первого теплохода I : начало его движения будет в точке с координатами (0;0). Первый теплоход плыл со скоростью 45км/ч, значит, прямая должна пройти через точку с координатами (1;45).
4. Построим линию движения второго теплоходаII : начало движения будет в точке с
координатами (; 162), так как он вышел из пункта N , удалённого от М на 162км, на 45мин. позже первого, а 45мин. = ч. Второй теплоход плыл со скоростью 36км/ч, значит, прямая должна пройти через точку (; 126), так как второй теплоход вышел в направлении пункта М: 162 – 36 = 126(км).
5. Точкой пересечения прямыхI и II является точка А (;108). Абсцисса точки показывает время, через которое после отправления первого теплохода они встретились: t =, |=ч = 2ч20мин. – время встречи двух теплоходов после выхода первого теплохода.
Ответ: 2ч 20мин.
Заключение.
В конце исследования я смогла выявить достоинства и недостатки решения задач графическим способом.
Достоинства:
Можно кратко записать задачи;
Вполне легко работать с маленькими числами.
Недостатки:
Сложно работать с большими числами.
Просмотр содержимого презентации
«проект»
