"La lección del teorema de Pitágoras" - El teorema de Pitágoras. Determina el tipo de cuadrilátero KMNP. Calentamiento. Cumplir con el teorema. Determine el tipo de triángulo: Plan de lección: Antecedentes históricos. Resolviendo las tareas más sencillas. Y encontrará una escalera con una longitud de 125 pies. Calcule la altura CF del trapezoide ABCD. Evidencia. Visualización de imágenes. Prueba del teorema.
"Volumen de un prisma": el concepto de prisma. Prisma recto. El volumen del prisma original es igual al producto S · h. ¿Cómo encontrar el volumen de un prisma recto? El prisma se puede dividir en prismas triangulares rectos con una altura h. Dibujando la altura del triángulo ABC. La solución del problema. Objetivos de la lección. ¿Pasos básicos para demostrar el teorema del prisma directo? Estudio del teorema sobre el volumen de un prisma.
"Poliedros de prisma": da la definición de un poliedro. DABC es un tetraedro, un poliedro convexo. Aplicación de prismas. ¿Dónde se utilizan los prismas? ABCDMP es un octaedro compuesto por ocho triángulos. ABCDA1B1C1D1 - poliedro convexo paralelepípedo. Poliedro convexo. El concepto de poliedro. El poliedro A1A2..AnB1B2..Bn es un prisma.
"Prisma de grado 10": un prisma es un poliedro cuyas caras están en planos paralelos. El uso de un prisma en la vida cotidiana. Lado S \u003d P está basado. + h Para un prisma recto: Spn \u003d Pbasis. bases h + 2S. Inclinado. Correcto. Derecho. Prisma. Fórmulas para encontrar el área. Aplicación de un prisma en arquitectura. Sp.p \u003d lado S. + 2S se basa.
"Prueba del teorema de Pitágoras" - Prueba geométrica. El significado del teorema de Pitágoras. Teorema de pitágoras. Prueba de Euclides. "En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Prueba del teorema. El significado del teorema radica en el hecho de que la mayoría de los teoremas de la geometría pueden derivarse de él o con su ayuda.
Poliedros
El objeto principal del estudio de la estereometría son los cuerpos espaciales. Cuerpo es una parte del espacio delimitada por una determinada superficie.
Poliedro Se denomina cuerpo cuya superficie consta de un número finito de polígonos planos. Un poliedro se llama convexo si está ubicado en un lado del plano de cada polígono plano en su superficie. La parte común de dicho plano y la superficie de un poliedro se llama borde... Las caras de un politopo convexo son polígonos convexos planos. Los lados de las caras se llaman bordes de poliedroy los vértices son los vértices del poliedro.
Por ejemplo, un cubo consta de seis cuadrados que son sus caras. Contiene 12 aristas (los lados de los cuadrados) y 8 vértices (la parte superior de los cuadrados).
Los poliedros más simples son los prismas y las pirámides, que estudiaremos más a fondo.
Prisma
Definición y propiedades de un prisma.
Prisma Se llama poliedro que consta de dos polígonos planos que se encuentran en planos paralelos combinados por una traslación paralela, y todos los segmentos conectan los puntos correspondientes de estos polígonos. Los polígonos se llaman bases de prisma, y los segmentos que conectan los vértices correspondientes de los polígonos son bordes laterales del prisma.
La altura del prisma se llama la distancia entre los planos de sus bases (). Un segmento que conecta dos vértices de un prisma que no pertenecen a la misma cara se llama prisma diagonal (). El prisma se llama n-ángulosi hay un n-gon en su base.
Cualquier prisma tiene las siguientes propiedades, resultantes del hecho de que las bases del prisma están alineadas por traslación paralela:
1. Las bases del prisma son iguales.
2. Los bordes laterales del prisma son paralelos e iguales.
La superficie del prisma consta de bases y superficie lateral... La superficie lateral del prisma consta de paralelogramos (esto se deriva de las propiedades del prisma). El área de la superficie lateral del prisma es la suma de las áreas de las caras laterales.
Prisma recto
El prisma se llama derechosi sus bordes laterales son perpendiculares a las bases. De lo contrario, el prisma se llama oblicuo.
Las caras de un prisma recto son rectángulos. La altura de un prisma recto es igual a sus caras laterales.
Superficie de prisma completa llamado la suma del área de la superficie lateral y las áreas de las bases.
Prisma correcto llamado prisma recto con un polígono regular en la base.
Teorema 13.1... El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro por la altura del prisma (o, lo que es lo mismo, el borde lateral).
Evidencia. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos, cuyas bases son los lados de los polígonos en las bases del prisma y las alturas son los bordes laterales del prisma. Entonces, por definición, el área de la superficie lateral:
,
donde está el perímetro de la base del prisma recto.
Paralelepípedo
Si hay paralelogramos en las bases del prisma, entonces se llama paralelepípedo... Todas las caras de un paralelepípedo son paralelogramos. En este caso, las caras opuestas del paralelepípedo son paralelas e iguales.
Teorema 13.2... Las diagonales del paralelepípedo se intersecan en un punto y el punto de intersección se divide a la mitad.
Evidencia. Considere dos diagonales arbitrarias, por ejemplo, y. Porque las caras de un paralelepípedo son paralelogramos, luego y, y por lo tanto, según T aproximadamente dos rectas paralelas a la tercera. Además, esto significa que las líneas y se encuentran en el mismo plano (plano). Este plano interseca planos paralelos y a lo largo de líneas paralelas y. Por lo tanto, un cuadrilátero es un paralelogramo, y por la propiedad de un paralelogramo, sus diagonales y se intersecan y el punto de intersección se divide por la mitad, que es lo que se requería para demostrar.
Un paralelepípedo rectangular cuya base es un rectángulo se llama paralelepípedo rectangular... Todas las caras de un paralelepípedo rectangular son rectángulos. Las longitudes de los bordes no paralelos de un paralelepípedo rectangular se denominan dimensiones lineales (medidas). Hay tres de estos tamaños (ancho, alto, largo).
Teorema 13.3... En un paralelepípedo rectangular, el cuadrado de cualquier diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones. 
(probado con la ayuda de una doble aplicación de T Pitágoras).
Un paralelepípedo rectangular con todos los bordes iguales se llama cubo.
Tareas
13.1 ¿Cuántas diagonales tiene norte- prisma angular
13.2 En un prisma triangular oblicuo, las distancias entre las nervaduras laterales son 37, 13 y 40. Calcula la distancia entre el borde lateral más grande y el borde lateral opuesto.
13.3 A través del lado de la base inferior de un prisma triangular regular, se dibuja un plano que interseca las caras laterales a lo largo de los segmentos, cuyo ángulo. Encuentre el ángulo de inclinación de este plano a la base del prisma.
Información general sobre un prisma recto
La superficie lateral del prisma (más precisamente, el área de la superficie lateral) se llama suma áreas de las caras laterales. La superficie total del prisma es igual a la suma de la superficie lateral y las áreas de las bases.
Teorema 19.1. La superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base y la altura del prisma, es decir, la longitud de la nervadura lateral.
Evidencia. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos. Las bases de estos rectángulos son los lados del polígono que se encuentran en la base del prisma, y \u200b\u200blas alturas son iguales a la longitud de las nervaduras laterales. De ahí se sigue que la superficie lateral del prisma es
S \u003d una 1 l + una 2 l + ... + una norte l \u003d pl,
donde a 1 y n son las longitudes de los bordes de la base, p es el perímetro de la base del prisma e I es la longitud de los bordes laterales. Se demuestra el teorema.
Tarea practica
Desafío (22) ... En un prisma inclinado, secciónperpendicular a las nervaduras laterales e intersectando todas las nervaduras laterales. Encuentre la superficie lateral del prisma si el perímetro de la sección transversal es py los bordes laterales son l.
Decisión. El plano de la sección dibujada rompe el prisma en dos partes (Fig. 411). Sometamos uno de ellos a una transferencia paralela, que alinea las bases del prisma. En este caso, obtenemos un prisma recto, en el que la base es la sección del prisma original y los bordes laterales son iguales a l. Este prisma tiene la misma superficie lateral que el original. Por tanto, la superficie lateral del prisma original es igual a pl.
Resumiendo el tema cubierto
Y ahora intentemos resumir el tema anterior sobre un prisma y recordar qué propiedades tiene un prisma.
Propiedades del prisma
Primero, para un prisma, todas sus bases son polígonos iguales;
En segundo lugar, en el caso de un prisma, todas sus caras laterales son paralelogramos;
En tercer lugar, en una figura tan multifacética como un prisma, todos los bordes laterales son iguales;
Además, debe recordarse que los poliedros como los prismas pueden ser rectos y oblicuos.
¿Qué prisma se llama línea recta?
Si el borde lateral del prisma es perpendicular al plano de su base, entonces dicho prisma se llama línea recta.
No será superfluo recordar que las caras laterales de un prisma recto son rectángulos.
¿Qué tipo de prisma se llama oblicuo?
Pero si el borde lateral del prisma no está ubicado perpendicular al plano de su base, entonces podemos decir con seguridad que se trata de un prisma inclinado.
¿Qué prisma se llama correcto?
Si un polígono regular se encuentra en la base de un prisma recto, entonces dicho prisma es correcto.
Ahora recordemos las propiedades que posee el prisma correcto.
Propiedades correctas del prisma
Primero, los polígonos regulares siempre sirven como bases de un prisma regular;
En segundo lugar, si consideramos las caras laterales de un prisma regular, siempre son rectángulos iguales;
En tercer lugar, si comparamos los tamaños de las nervaduras laterales, en el prisma correcto siempre son iguales.
Cuarto, el prisma correcto siempre es recto;
En quinto lugar, si en un prisma regular las caras laterales tienen forma de cuadrados, esa figura se suele llamar polígono semirregular.
Sección de prisma
Ahora veamos la sección del prisma:
Tarea
Ahora intentemos consolidar el tema estudiado resolviendo problemas.
Dibujemos un prisma triangular oblicuo, en el que la distancia entre sus bordes será igual a: 3 cm, 4 cm y 5 cm, y la superficie lateral de este prisma será de 60 cm2. Con estos parámetros, encuentre el borde lateral de este prisma.
Sabías que las formas geométricas nos rodean constantemente no solo en las lecciones de geometría, sino que en la vida cotidiana hay objetos que se asemejan a una u otra figura geométrica.
Cada hogar, escuela o trabajo tiene una computadora, cuya unidad del sistema tiene la forma de un prisma recto.
Si coge un lápiz simple, verá que la parte principal del lápiz es un prisma.
Caminando por la calle principal de la ciudad, vemos que bajo nuestros pies hay una loseta que tiene forma de prisma hexagonal.
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Los diferentes prismas no son iguales. Al mismo tiempo, tienen mucho en común. Para encontrar el área de la base de un prisma, debe averiguar qué tipo tiene.
Teoría general
Un prisma es cualquier poliedro cuyos lados tienen la forma de un paralelogramo. Además, cualquier poliedro puede estar en su base, desde un triángulo hasta un n-gon. Además, las bases del prisma son siempre iguales entre sí. Eso no se aplica a las caras laterales, pueden variar significativamente de tamaño.
Al resolver problemas, no solo se encuentra el área de la base del prisma. Puede ser necesario conocer la superficie lateral, es decir, todas las caras que no sean bases. La superficie completa ya será la unión de todas las caras que componen el prisma.
A veces, las tareas incluyen la altura. Es perpendicular a las bases. La diagonal de un poliedro es un segmento que conecta en pares dos vértices que no pertenecen a la misma cara.
Cabe señalar que el área de la base de un prisma recto o inclinado no depende del ángulo entre ellos y las caras laterales. Si tienen las mismas formas en los bordes superior e inferior, entonces sus áreas serán iguales.
Prisma triangular
Tiene en su base una figura con tres vértices, es decir, un triángulo. Se sabe que es diferente. Si entonces es suficiente recordar que su área está determinada por la mitad del producto de las piernas.
La notación matemática se ve así: S \u003d ½ av.
Para conocer el área de la base en general, son útiles las fórmulas: Garza y \u200b\u200baquella en la que se lleva la mitad del lado a la altura dibujada.
La primera fórmula debe escribirse así: S \u003d √ (p (p-a) (p-c) (p-c)). Esta entrada contiene un semiperímetro (p), es decir, la suma de tres lados dividida por dos.
Segundo: S \u003d ½ n a * a.
Si quieres saber el área de la base de un prisma triangular, que es regular, entonces el triángulo resulta ser equilátero. Hay una fórmula para ello: S \u003d ¼ a 2 * √3.
Prisma cuadrangular
Su base es cualquiera de los cuadrángulos conocidos. Puede ser un rectángulo o un cuadrado, un paralelepípedo o un rombo. En cada caso, para calcular el área de la base del prisma, se necesitará una fórmula diferente.
Si la base es un rectángulo, entonces su área se determina de la siguiente manera: S \u003d ab, donde a, b son los lados del rectángulo.
Cuando se trata de un prisma cuadrangular, el área de la base de un prisma regular se calcula usando la fórmula para un cuadrado. Porque es él quien resulta estar al final. S \u003d a 2.
En el caso de que la base sea un paralelepípedo, se necesitará la siguiente igualdad: S \u003d a * na. Sucede que se dan el lado del paralelepípedo y una de las esquinas. Luego, para calcular la altura, necesitará usar una fórmula adicional: n a \u003d b * sin A. Además, el ángulo A es adyacente al lado "b", y la altura es n a opuesta a este ángulo.
Si hay un rombo en la base del prisma, entonces se necesitará la misma fórmula para determinar su área que para el paralelogramo (ya que es su caso especial). Pero también puedes usar esto: S \u003d ½ d 1 d 2. Aquí d 1 y d 2 son dos diagonales del rombo.
Prisma pentagonal regular
Este caso implica dividir el polígono en triángulos, cuyas áreas son más fáciles de averiguar. Aunque sucede que las figuras pueden ser con diferente número de vértices.
Dado que la base del prisma es un pentágono regular, se puede dividir en cinco triángulos equiláteros. Entonces, el área de la base del prisma es igual al área de uno de esos triángulos (la fórmula se puede ver arriba), multiplicada por cinco.
Prisma hexagonal regular
De acuerdo con el principio descrito para un prisma pentagonal, es posible dividir el hexágono base en 6 triángulos equiláteros. La fórmula para el área de la base de dicho prisma es similar a la anterior. Solo en él debe multiplicarse por seis.
La fórmula se verá así: S \u003d 3/2 y 2 * √3.
Tareas
№ 1. Dada una recta correcta, su diagonal es de 22 cm, la altura del poliedro es de 14 cm Calcula el área de la base del prisma y toda la superficie.
Decisión. La base del prisma es un cuadrado, pero no se conoce su lado. Puede encontrar su valor de la diagonal del cuadrado (x), que está relacionada con la diagonal del prisma (d) y su altura (h). x 2 \u003d re 2 - norte 2. Por otro lado, este segmento "x" es una hipotenusa en un triángulo, cuyos catetos son iguales al lado del cuadrado. Es decir, x 2 \u003d a 2 + a 2. Por lo tanto, resulta que a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Sustituye 22 en lugar de d, y reemplaza "n" con su valor - 14, entonces resulta que el lado del cuadrado es de 12 cm. Ahora solo averigua el área de la base: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Para averiguar el área de toda la superficie, debe agregar el doble del área de la base y cuadriplicar el lado. Este último se puede encontrar fácilmente usando la fórmula para un rectángulo: multiplique la altura del poliedro por el lado de la base. Es decir, 14 y 12, este número será igual a 168 cm 2. La superficie total del prisma es de 960 cm 2.
Responder. El área de la base del prisma es de 144 cm 2. Toda la superficie es de 960 cm 2.
№ 2. Dana En la base hay un triángulo con un lado de 6 cm. En este caso, la diagonal de la cara lateral es de 10 cm. Calcula las áreas: base y superficie lateral.
Decisión. Dado que el prisma es regular, su base es un triángulo equilátero. Por lo tanto, su área es igual a 6 al cuadrado, multiplicado por ¼ y la raíz cuadrada de 3. Un simple cálculo lleva al resultado: 9√3 cm 2. Ésta es el área de una base del prisma.
Todas las caras laterales son iguales y son rectángulos con lados de 6 y 10 cm. Para calcular sus áreas, basta con multiplicar estos números. Luego multiplíquelos por tres, porque hay exactamente tantas caras laterales del prisma. Entonces el área de la superficie lateral es de 180 cm 2 de herida.
Responder. Áreas: base - 9√3 cm 2, superficie lateral del prisma - 180 cm 2.