Esta lección le ayudará a hacerse una idea del tema “Pirámide. Pirámide correcta y truncada ". En esta lección nos familiarizaremos con el concepto de pirámide regular, le daremos una definición. Luego probamos el teorema de la superficie lateral de una pirámide regular y el teorema de la superficie lateral de una pirámide truncada regular.
Tema: Pirámide
Lección: pirámides regulares y truncadas
Definición: Una pirámide regular n-gon es una pirámide que tiene un n-gon regular en su base, y la altura se proyecta en el centro de este n-gon (Fig. 1).
Figura: uno
Pirámide triangular regular
Primero, considere ∆ABC (Fig. 2), en el que AB \u003d BC \u003d CA (es decir, un triángulo regular se encuentra en la base de la pirámide). En un triángulo regular, el centro de los círculos inscritos y circunscritos coinciden y son el centro del triángulo mismo. En este caso, el centro se encuentra de la siguiente manera: encuentre el medio AB - C 1, dibuje un segmento CC 1, que es la mediana, la bisectriz y la altura; de manera similar, encontramos el medio de AC - B 1 y dibujamos un segmento BB 1. La intersección de BB 1 y CC 1 será el punto O, que es el centro de ∆ABS.
Si conectamos el centro del triángulo O con la parte superior de la pirámide S, obtenemos la altura de la pirámide SO ⊥ ABC, SO \u003d h.
Al conectar el punto S con los puntos A, B y C, obtenemos los bordes laterales de la pirámide.
Obtuvimos una pirámide SABC triangular regular (Fig. 2).
Pirámide. Pirámide truncada
Pirámide se llama poliedro, una de cuyas caras es un polígono ( base ), y todas las demás caras son triángulos con un vértice común ( caras laterales ) (figura 15). La pirámide se llama correcto si su base es un polígono regular y la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base (Fig. 16). Una pirámide triangular en la que todos los bordes son iguales se llama tetraedro .
Costilla lateral pirámide es el lado de la cara lateral que no pertenece a la base Altura Se llama pirámide a la distancia desde su vértice hasta el plano de la base. Todos los bordes laterales de una pirámide regular son iguales entre sí, todos los bordes laterales son triángulos isósceles iguales. La altura de la cara lateral de una pirámide regular dibujada desde la parte superior se llama apotema . Sección diagonal la sección de la pirámide se denomina plano que pasa por dos bordes laterales que no pertenecen a una cara.
Superficie lateral pirámide se llama la suma de las áreas de todas las caras laterales. Superficie total llamado la suma de las áreas de todas las caras laterales y la base.
Teoremas
1. Si en una pirámide todos los bordes laterales están igualmente inclinados al plano de la base, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito alrededor de la base.
2. Si en la pirámide todos los bordes laterales tienen la misma longitud, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito a la base.
3. Si en la pirámide todas las caras están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base.
Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, la fórmula es correcta:
dónde V - volumen;
S principal - área de la base;
H - la altura de la pirámide.
Para la pirámide correcta, las fórmulas son correctas:
dónde pags - perímetro de la base;
h a - apotema;
H - altura;
S lleno
Lado S
S principal - área de la base;
V - el volumen de la pirámide correcta.
Pirámide truncada llamada la parte de la pirámide, encerrada entre la base y el plano secante, paralela a la base de la pirámide (Fig. 17). Pirámide truncada regular se llama parte de una pirámide regular, encerrada entre la base y el plano secante paralelo a la base de la pirámide.
Cimientos pirámides truncadas - polígonos similares. Caras laterales - trapezoide. Altura una pirámide truncada es la distancia entre sus bases. Diagonal una pirámide truncada se denomina segmento que conecta sus vértices que no se encuentran en la misma cara. Sección diagonal una sección de una pirámide truncada se denomina plano que pasa por dos bordes laterales que no pertenecen a una cara.
Para una pirámide truncada, las siguientes fórmulas son válidas:
(4)
dónde S 1 , S 2 - áreas de las bases superior e inferior;
S lleno - superficie total;
Lado S - área de superficie lateral;
H - altura;
V - el volumen de la pirámide truncada.
Para una pirámide truncada correcta, la fórmula es correcta:
dónde pags 1 , pags 2 - perímetros de base;
h a - la apotema de la pirámide truncada regular.
Ejemplo 1. En una pirámide triangular regular, el ángulo diedro en la base es de 60º. Encuentre la tangente del ángulo de inclinación del borde lateral al plano de la base.
Decisión. Hagamos un dibujo (fig. 18).
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La pirámide es regular, por lo que en la base hay un triángulo equilátero y todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. El ángulo diedro en la base es el ángulo de inclinación de la cara lateral de la pirámide al plano de la base. El ángulo lineal es el ángulo un entre dos perpendiculares: y es decir La parte superior de la pirámide se proyecta en el centro del triángulo (el centro de la circunferencia y el círculo inscrito en el triángulo A B C). El ángulo de inclinación de la nervadura lateral (por ejemplo SB) Es el ángulo entre el borde mismo y su proyección sobre el plano base. Para costilla SB este ángulo será el ángulo SBD... Para encontrar la tangente, necesitas conocer las piernas. ENTONCES y transmisión exterior... Deje que la longitud del segmento BD es igual a 3 un... Punto ACERCA DE segmento de línea BD se divide en partes: y De encontramos ENTONCES: 
De encontramos: 
Responder:
Ejemplo 2. Encuentre el volumen de una pirámide cuadrangular truncada regular si las diagonales de sus bases son cm y cm, y la altura es 4 cm.
Decisión. Para encontrar el volumen de la pirámide truncada, usaremos la fórmula (4). Para encontrar el área de las bases, necesitas encontrar los lados de los cuadrados de la base, conociendo sus diagonales. Los lados de las bases son 2 cm y 8 cm, respectivamente. Entonces el área de las bases y Habiendo sustituido todos los datos en la fórmula, calculamos el volumen de la pirámide truncada:
Responder: 112 cm 3.
Ejemplo 3. Encuentre el área de la cara lateral de una pirámide truncada triangular regular, cuyos lados de las bases miden 10 cm y 4 cm, y la altura de la pirámide es de 2 cm.
Decisión. Hagamos un dibujo (fig. 19).
La cara lateral de esta pirámide es un trapezoide isósceles. Para calcular el área de un trapezoide, necesita conocer la base y la altura. Las bases están dadas por condición, solo se desconoce la altura. Lo encontraremos de donde UN 1 mi perpendicular desde el punto UN 1 en el plano de la base inferior, UN 1 re - perpendicular desde UN 1 en COMO. UN 1 mi \u003d 2 cm, ya que esta es la altura de la pirámide. Encontrar Delaware haremos un dibujo adicional, en el que representaremos una vista superior (fig. 20). Punto ACERCA DE - proyección de los centros de las bases superior e inferior. ya que (ver fig.20) y por otro lado Okay Es el radio del círculo inscrito y 
OM - radio inscrito en un círculo:
MK \u003d DE.
Por el teorema de Pitágoras de
Área de la cara lateral: 
Responder:
Ejemplo 4. En la base de la pirámide se encuentra un trapezoide isósceles, cuyas bases uny segundo (un> segundo). Cada cara lateral forma un ángulo con el plano de la base de la pirámide igual a j... Calcula el área de superficie total de la pirámide.
Decisión. Hagamos un dibujo (fig. 21). Superficie total de la pirámide SABCD igual a la suma de las áreas y el área del trapezoide A B C D.
Usemos el enunciado de que si todas las caras de la pirámide están igualmente inclinadas al plano de la base, entonces el vértice se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base. Punto ACERCA DE - proyección de vértice S en la base de la pirámide. Triángulo CÉSPED es la proyección ortogonal del triángulo CSD en el plano de la base. Por el teorema sobre el área de la proyección ortogonal de una figura plana, obtenemos:
Del mismo modo, significa 
Por lo tanto, la tarea se redujo a encontrar el área del trapezoide A B C D... Dibuja un trapezoide A B C Dpor separado (fig.22). Punto ACERCA DE - el centro del círculo inscrito en el trapezoide.
Dado que un círculo se puede inscribir en un trapezoide, ya sea De, por el teorema de Pitágoras, tenemos
En esta lección veremos la pirámide truncada, nos familiarizaremos con la pirámide truncada correcta y estudiaremos sus propiedades.
Recordemos el concepto de pirámide de n lados usando el ejemplo de una pirámide triangular. Se establece un triángulo ABC. Fuera del plano del triángulo, se toma el punto P, conectado a los vértices del triángulo. La superficie poliédrica resultante se llama pirámide (Fig. 1).
Figura: 1. Pirámide triangular
Cortemos la pirámide con un plano paralelo al plano de la base de la pirámide. La figura obtenida entre estos planos se denomina pirámide truncada (Fig. 2).
Figura: 2. Pirámide truncada
Elementos esenciales:
Base superior;
ABC de base inferior;
Borde lateral;
Si PH es la altura de la pirámide original, entonces es la altura de la pirámide truncada.
Las propiedades de una pirámide truncada se derivan del método de su construcción, es decir, del paralelismo de los planos de base:
Todas las caras laterales de la pirámide truncada son trapecios. Considere, por ejemplo, una faceta. Según la propiedad de los planos paralelos (dado que los planos son paralelos, cortan la cara lateral de la pirámide ABP original a lo largo de líneas rectas paralelas), al mismo tiempo no son paralelos. Obviamente, el cuadrilátero es un trapezoide, como todas las caras laterales de la pirámide truncada.
La relación base es la misma para todos los trapezoides:
Tenemos varios pares de triángulos similares con el mismo coeficiente de similitud. Por ejemplo, los triángulos y RAV son similares debido al paralelismo de los planos y al coeficiente de similitud:
Al mismo tiempo, los triángulos y los glóbulos rojos son similares con el coeficiente de similitud:
Es obvio que los coeficientes de similitud para los tres pares de triángulos similares son iguales, por lo que la proporción de las bases es la misma para todos los trapecios.
Una pirámide truncada regular se llama pirámide truncada que se obtiene cortando una pirámide regular con un plano paralelo a la base (Fig. 3).
Figura: 3. Corregir la pirámide truncada
Definición.
Una pirámide se llama regular, en la base de la cual hay un n-gon regular, y el vértice se proyecta hacia el centro de este n-gon (el centro del círculo inscrito y circunscrito).
En este caso, un cuadrado se encuentra en la base de la pirámide y la parte superior se proyecta en el punto de intersección de sus diagonales. La pirámide truncada rectangular regular obtenida ABCD tiene una base inferior y una base superior. La altura de la pirámide original - RO, la pirámide truncada - (Fig. 4).
Figura: 4. Pirámide truncada cuadrangular regular
Definición.
La altura de la pirámide truncada es una perpendicular trazada desde cualquier punto de una base al plano de la otra base.
La apotema de la pirámide original es PM (M es el medio de AB), la apotema de la pirámide truncada es (Fig. 4).
Definición.
Apotema de la pirámide truncada: la altura de cualquier cara lateral.
Está claro que todos los bordes laterales de la pirámide truncada son iguales entre sí, es decir, los bordes laterales son trapezoides isósceles iguales.
El área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular es igual al producto de la mitad de la suma de los perímetros de la base y la apotema.
Prueba (para una pirámide truncada rectangular regular - Fig.4):
Entonces, es necesario demostrar:
El área de la superficie lateral aquí consistirá en la suma de las áreas de las caras laterales: trapecios. Dado que los trapezoides son iguales, tenemos:
El área de un trapezoide isósceles es el producto de la mitad de la suma de las bases y la altura, la apotema es la altura del trapezoide. Tenemos:
Q.E.D.
Para una pirámide de n lados:
Donde n es el número de caras laterales de la pirámide, ayb son la base del trapezoide, es el apotema.
Lados de la base de una pirámide cuadrangular truncada regular 
son iguales a 3 cm y 9 cm, altura - 4 cm Halla el área de la superficie lateral.
Figura: 5. Ilustración del problema 1
Decisión. Ilustremos la condición:
Dado:,,
A través del punto O trazamos una línea recta MN paralela a los dos lados de la base inferior, de manera similar a través del punto trazamos una línea recta (Fig. 6). Dado que los cuadrados y las construcciones son paralelos en las bases de la pirámide truncada, obtenemos un trapezoide igual a las caras laterales. Además, su lado lateral pasará por el medio de los bordes superior e inferior de las caras laterales y será la apotema de la pirámide truncada.
Figura: 6. Construcciones adicionales
Considere el trapezoide resultante (Fig. 6). En este trapezoide se conocen la base superior, la base inferior y la altura. Se requiere encontrar el lado que es la apotema de la pirámide truncada dada. Dibujemos perpendicular a MN. Dejemos caer el NQ perpendicular desde el punto. Obtenemos que la base más grande se divide en segmentos de tres centímetros (). Considere un triángulo rectángulo, los catetos en él son conocidos, este es el triángulo egipcio, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, determinamos la longitud de la hipotenusa: 5 cm.
Ahora están todos los elementos para determinar el área de la superficie lateral de la pirámide:
La pirámide está atravesada por un plano paralelo a la base. Demuestre, usando el ejemplo de una pirámide triangular, que los bordes laterales y la altura de la pirámide están divididos por este plano en partes proporcionales.
Evidencia. Ilustremos:
Figura: 7. Ilustración del problema 2
Se establece la pirámide RAVS. RO es la altura de la pirámide. La pirámide se corta por un plano, además se obtiene una pirámide truncada. Punto: el punto de intersección de la altura de RO con el plano de la base de la pirámide truncada. Es necesario demostrar:
La clave de la solución es la propiedad del plano paralelo. Dos planos paralelos cortan cualquier tercer plano de modo que las líneas de intersección sean paralelas. Por lo tanto:. El paralelismo de las rectas correspondientes implica la presencia de cuatro pares de triángulos semejantes:
La proporcionalidad de los lados correspondientes se deriva de la similitud de los triángulos. Una característica importante es que los coeficientes de similitud para estos triángulos son los mismos:
Q.E.D.
Una pirámide triangular regular RAVS con una altura y un lado de la base es diseccionada por un plano que pasa por el medio de la altura RN paralelo a la base de ABC. Encuentre el área de la superficie lateral de la pirámide truncada resultante.
Decisión. Ilustremos:
Figura: 8. Ilustración del problema 3
ACB es un triángulo rectángulo, H es el centro de este triángulo (el centro de los círculos inscritos y circunscritos). RM es la apotema de la pirámide dada. - apotema de la pirámide truncada. Según la propiedad de los planos paralelos (dos planos paralelos cortan cualquier tercer plano para que las líneas de intersección sean paralelas), tenemos varios pares de triángulos semejantes con igual coeficiente de similitud. En particular, nos interesa la relación:
Busquemos NM. Este es el radio del círculo inscrito en la base, conocemos la fórmula correspondiente:
Ahora, desde el triángulo rectángulo РНМ, según el teorema de Pitágoras, encontramos РМ, la apotema de la pirámide original:
De la relación inicial:
Ahora conocemos todos los elementos para encontrar el área de superficie lateral de la pirámide truncada:
Entonces, nos familiarizamos con los conceptos de una pirámide truncada y una pirámide truncada regular, dimos definiciones básicas, consideramos propiedades y probamos el teorema del área de la superficie lateral. La próxima lección tratará sobre la resolución de problemas.
Bibliografía
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Deberes
- este es un poliedro, que está formado por la base de la pirámide y una sección paralela a ella. Podemos decir que una pirámide truncada es una pirámide con la parte superior truncada. Esta forma tiene muchas propiedades únicas:
- Las caras laterales de la pirámide son trapecios;
- Las nervaduras laterales de una pirámide truncada regular tienen la misma longitud y están inclinadas hacia la base en el mismo ángulo;
- Las bases son como polígonos;
- En una pirámide truncada regular, las caras son trapezoides isósceles idénticos, cuya área es igual a. También están inclinados hacia la base en el mismo ángulo.
La fórmula para el área de la superficie lateral de una pirámide truncada es la suma de las áreas de sus lados: 
Dado que los lados de la pirámide truncada son trapezoides, tendrá que usar la fórmula para calcular los parámetros área trapezoidal... Para la pirámide truncada correcta, puede aplicar una fórmula de área diferente. Dado que todos sus lados, caras y ángulos en la base son iguales, es posible aplicar los perímetros de la base y la apotema, así como deducir el área a través del ángulo en la base.
Si, de acuerdo con las condiciones en una pirámide truncada regular, se dan la apotema (la altura del lado lateral) y las longitudes de los lados de la base, entonces el área puede calcularse a través del producto medio de la suma de los perímetros de las bases y la apotema:
Veamos un ejemplo de cálculo del área de superficie lateral de una pirámide truncada.
Se da una pirámide pentagonal regular. Apotema l \u003d 5 cm, la longitud de la cara en la base grande es un \u003d 6 cm, y el borde en la base más pequeña segundo \u003d 4 cm Calcula el área de la pirámide truncada.
Primero, encontremos los perímetros de las bases. Dado que se nos da una pirámide pentagonal, entendemos que las bases son pentágonos. Esto significa que una figura con cinco lados idénticos se encuentra en las bases. Encuentra el perímetro de la base más grande:
De la misma forma, encontramos el perímetro de la base más pequeña:
Ahora podemos calcular el área de la pirámide truncada correcta. Sustituimos los datos en la fórmula:
Por lo tanto, calculamos el área de una pirámide truncada regular a través de los perímetros y la apotema.
Otra forma de calcular el área de la superficie lateral de una pirámide regular es la fórmula a través de las esquinas en la base y el área de estas mismas bases.
Echemos un vistazo a un ejemplo de cálculo. Recuerde que esta fórmula se aplica solo a la pirámide truncada correcta.
Sea una pirámide cuadrangular regular. La faceta de la base inferior es a \u003d 6 cm y la faceta de la base superior es b \u003d 4 cm El ángulo diedro en la base es β \u003d 60 °. Encuentre el área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular.
Primero, calculemos el área de las bases. Dado que la pirámide es correcta, todas las caras de las bases son iguales entre sí. Considerando que existe un cuadrilátero en la base, entendemos que será necesario calcular área cuadrada... Es el producto del ancho y el largo, pero estos valores son los mismos al cuadrado. Encuentra el área de la base más grande: 
Ahora usamos los valores encontrados para calcular el área de la superficie lateral. 
Conociendo algunas fórmulas simples, calculamos fácilmente el área del trapecio lateral de la pirámide truncada a través de varios valores.