Los números son inversos a los datos. Números recíprocos, encontrar el recíproco

Demos una definición y demos ejemplos de números mutuamente recíprocos. Considere cómo encontrar el inverso de un número natural y el inverso de una fracción ordinaria. Además, escribimos y demostramos una desigualdad que refleja la propiedad de la suma de números mutuamente recíprocos.

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Números mutuamente recíprocos. Definición

Definición. Números recíprocos

Los números mutuamente recíprocos son números cuyo producto da uno.

Si a · b = 1, entonces podemos decir que el número a es inverso al número b, así como el número b es inverso al número a.

El ejemplo más simple de números mutuamente inversos es dos unos. De hecho, 1 · 1 = 1, por lo tanto a = 1 yb = 1 son números mutuamente inversos. Otro ejemplo son los números 3 y 1 3, - 2 3 y - 3 2, 6 13 y 13 6, log 3 17 y log 17 3. El producto de cualquier par de los números anteriores es igual a uno. Si no se cumple esta condición, como, por ejemplo, para los números 2 y 2 3, entonces los números no son mutuamente inversos.

La definición de números mutuamente recíprocos es válida para cualquier número: natural, entero, real y complejo.

Cómo encontrar el inverso de un número dado

Consideremos el caso general. Si el número original es a, entonces su inverso se escribirá como 1 a, o a - 1. De hecho, a 1 a = a a - 1 = 1.

Encontrar el recíproco es bastante fácil para números naturales y fracciones. Incluso se podría decir que es obvio. En el caso de encontrar el inverso de un número irracional o complejo, tendrás que hacer una serie de cálculos.

Consideremos los casos más comunes de encontrar el número recíproco en la práctica.

El recíproco de una fracción ordinaria

Obviamente, el recíproco de la fracción ordinaria a b es la fracción b a. Entonces, para encontrar el recíproco de un número, solo necesitas voltear la fracción. Es decir, intercambia el numerador y el denominador.

De acuerdo con esta regla, puedes escribir el recíproco de cualquier fracción ordinaria casi de inmediato. Entonces, para la fracción 28 57, el recíproco será la fracción 57 28, y para la fracción 789 256, el número 256 789.

El inverso de un número natural

Puedes encontrar el inverso de cualquier número natural de la misma manera que el inverso de una fracción. Basta con representar el número natural a como una fracción ordinaria a 1. Entonces el número 1 a será su inverso. Para el número natural 3, su recíproco es la fracción 1 3, para el 666, el recíproco es 1 666, y así sucesivamente.

Se debe prestar especial atención a la unidad, ya que es el único número para el que el recíproco es igual a sí mismo.

No hay otros pares de números mutuamente recíprocos, donde ambos componentes son iguales.

El inverso del número mixto

El número mixto es a b c. Para encontrar su número inverso, es necesario representar el número mixto en el lado de una fracción impropia y elegir el número inverso para la fracción resultante.

Por ejemplo, encuentra el recíproco de 7 2 5. Primero, imagina 7 2 5 como una fracción impropia: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.

Para una fracción impropia 37 5, el recíproco es 5 37.

El recíproco de la fracción decimal

Un decimal también se puede representar como una fracción. Encontrar el recíproco de un número se reduce a representar el decimal como una fracción ordinaria y encontrar su recíproco.

Por ejemplo, hay una fracción 5, 128. Encontremos su número inverso. Primero, convertimos la fracción decimal a una ordinaria: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Para la fracción resultante, el recíproco es la fracción 125 641.

Tomemos otro ejemplo.

Ejemplo. Encontrar el recíproco de una fracción decimal

Halla el recíproco de la fracción decimal periódica 2, (18).

Convertimos una fracción decimal en una ordinaria:

2, 18 = 2 + 18 10 - 2 + 18 10 - 4 +. ... ... = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Después de la traducción, podemos escribir fácilmente el recíproco de la fracción 24 11. Este número obviamente será 11 24.

Para una fracción decimal infinita y no periódica, el recíproco se escribe como una fracción y una unidad en el numerador y la propia fracción en el denominador. Por ejemplo, para la fracción infinita 3, 6025635789. ... ... el recíproco será 1 3, 6025635789. ... ... ...

De manera similar, para los números irracionales correspondientes a fracciones infinitas no periódicas, los números recíprocos se escriben en forma de expresiones fraccionarias.

Por ejemplo, el recíproco para π + 3 3 80 es 80 π + 3 3, y para el número 8 + e 2 + e, el recíproco es la fracción 1 8 + e 2 + e.

Números recíprocos con raíces

Si la forma de dos números es diferente de a y 1 a, entonces no siempre es fácil determinar si los números son mutuamente inversos. Esto es especialmente cierto para los números que tienen un signo de raíz en su notación, ya que por lo general se acostumbra eliminar la raíz en el denominador.

Pasemos a la práctica.

Respondamos a la pregunta: ¿los números 4 - 2 3 y 1 + 3 2 son mutuamente inversos?

Para saber si los números son mutuamente inversos, calculemos su producto.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

El producto es igual a uno, lo que significa que los números son mutuamente inversos.

Tomemos otro ejemplo.

Ejemplo. Números recíprocos con raíces

Escribe el recíproco de 5 3 + 1.

Inmediatamente puedes escribir que el recíproco es igual a la fracción 1 5 3 + 1. Sin embargo, como ya hemos dicho, es costumbre deshacerse de la raíz en el denominador. Para hacer esto, multiplica el numerador y el denominador por 25 3 - 5 3 + 1. Obtenemos:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Números recíprocos con potencias

Digamos que hay un número igual a alguna potencia del número a. En otras palabras, el número a elevado a la potencia n. El inverso de a n será a - n. Vamos a ver. De hecho: a n a - n = a n 1 1 a n = 1.

Ejemplo. Números recíprocos con potencias

Encuentra el recíproco de 5 - 3 + 4.

De acuerdo con lo anterior, el número requerido es 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Números recíprocos con logaritmos

Para el logaritmo de a base b, el inverso es el número igual al logaritmo de b base a.

log a b y log b a son números mutuamente inversos.

Vamos a ver. De las propiedades del logaritmo se deduce que log a b = 1 log b a, entonces log a b log b a.

Ejemplo. Números recíprocos con logaritmos

Encuentra el recíproco de log 3 5 - 2 3.

El recíproco del logaritmo en base 3 5 - 2 es el logaritmo del número 3 5 - 2 en base 3.

El inverso de un número complejo

Como se señaló anteriormente, la definición de números mutuamente inversos es válida no solo para los números reales, sino también para los complejos.

Por lo general, los números complejos se representan en forma algebraica z = x + i y. El inverso del número dado es la fracción

1 x + yo y. Para mayor comodidad, puede acortar esta expresión multiplicando el numerador y el denominador por x - i y.

Ejemplo. El inverso de un número complejo

Sea un número complejo z = 4 + i. Encontremos el inverso de la misma.

El inverso de z = 4 + i será igual a 1 4 + i.

Multiplique el numerador y el denominador por 4 - i y obtenga:

1 4 + yo = 4 - yo 4 + yo 4 - yo = 4 - yo 4 2 - yo 2 = 4 - yo 16 - (- 1) = 4 - yo 17.

Además de la forma algebraica, el número complejo se puede expresar en forma trigonométrica o exponencial de la siguiente manera:

z = r cos φ + i sen φ

z = r mi yo φ

En consecuencia, el número inverso será:

1 r cos (- φ) + i sen (- φ)

Asegurémonos de esto:

r cos φ + i sen φ 1 r cos (- φ) + i sen (- φ) = rr cos 2 φ + sen 2 φ = 1 r ei φ 1 rei (- φ) = rre 0 = 1

Considere ejemplos con la representación de números complejos en formas trigonométricas y exponenciales.

Encuentra el recíproco de 2 3 cos π 6 + i sin π 6.

Teniendo en cuenta que r = 2 3, φ = π 6, escribimos el número inverso

3 2 cos - π 6 + yo pecado - π 6

Ejemplo. Encuentra el inverso de un número complejo

¿Cuál es el inverso de 2 · e i · - 2 π 5.

Respuesta: 1 2 e i 2 π 5

La suma de números mutuamente recíprocos. Desigualdad

Hay un teorema sobre la suma de dos números mutuamente recíprocos.

Suma de números recíprocos

La suma de dos números positivos y recíprocos siempre es mayor o igual a 2.

Presentemos la demostración del teorema. Como sabes, para cualquier número positivo a y b, la media aritmética es mayor o igual que la media geométrica. Esto se puede escribir como una desigualdad:

un + segundo 2 ≥ un segundo

Si en lugar del número b tomamos el inverso de a, la desigualdad toma la forma:

un + 1 un 2 ≥ un 1 un un + 1 un ≥ 2

QED

Pongamos un ejemplo práctico para ilustrar esta propiedad.

Ejemplo. Encuentra la suma de números mutuamente recíprocos

Calcula la suma de los números 2 3 y su inverso.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Como dice el teorema, el número resultante es mayor que dos.

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De Wikipedia, la enciclopedia libre

número inverso(recíproco, recíproco) a un número dado X es el numero que se multiplica por X, da uno. Entrada recibida: $\backslash \; fracción\; (1)\; x$ o $x\; ^\; (-1)$... Dos números cuyo producto es igual a uno se llaman mutuamente inversa... La inversa no debe confundirse con la función inversa. Por ejemplo, $\backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \; cos\; (x))$ difiere del valor de la función inversa al coseno - el arcocoseno, que se denota $\backslash \; porque\; ^\; (-\; 1)\; x$ o $\backslash \; arccos\; x$.

Invertir al número real

Formas de números complejos	Número $(z)$	El revés $\backslash \; izquierda\; (\backslash \; frac\; (1)\; (z)\; \backslash \; derecha)$
Algebraico	$x\; +\; yo$	$\backslash \; frac\; (x)\; (x\; ^\; 2\; +\; y\; ^\; 2)\; -i\; \backslash \; frac\; (y)\; (x\; ^\; 2\; +\; y\; ^\; 2)$
Trigonométrico	$r\; (\backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; +\; i\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi)$	$\backslash frac\; (1)\; (r)\; (\backslash cos\backslash varphi-i\backslash sin\backslash varphi)$
Indicativo	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac\; (1)\; (r)\; e^(-i\backslash varphi)$

Prueba:
Para las formas algebraicas y trigonométricas, usamos la propiedad principal de la fracción, multiplicando el numerador y el denominador por el complejo conjugado:

• Forma algebraica:

$\backslash frac\; (1)\; (z)\; =\; \backslash frac\; (1)\; (x\; +\; iy)\; =\; \backslash frac\; (x-iy)\; ((x\; +\; iy)\; (x-iy))\; =\; \backslash frac\; (x-iy)\; (x\; ^\; 2\; +\; y\; ^\; 2)\; =\; \backslash \; frac\; (x)\; (x\; ^\; 2\; +\; y\; ^\; 2)\; -i\; \backslash \; frac\; (y)\; (x\; ^\; 2\; +\; y\; ^\; 2)$

• Forma trigonométrica:

$\backslash frac\; (1)\; (z)\; =\; \backslash frac\; (1)\; (r\; (\backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; +\; i\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi))\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (r)\; \backslash \; frac\; (\backslash \; cos\; \backslash \; varphi-i\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi)\; ((\backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; +\; i\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi)\; (\backslash \; cos\; \backslash \; varphi-i\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi))\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (r)\; \backslash \; frac\; (\backslash \; cos\; \backslash \; varphi-i\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; )\; (\backslash \; cos\; ^\; 2\; \backslash \; varphi\; +\; \backslash \; sin\; ^\; 2\; \backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (r)\; (\backslash \; cos\; \backslash \; varphi-i\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi)$

• Forma ilustrativa:

$\backslash frac\; (1)\; (z)\; =\; \backslash frac\; (1)\; (re^(i\backslash varphi))\; =\; \backslash frac\; (1)\; (r)\; e^(-i\backslash varphi)$

Así, a la hora de encontrar el inverso de un número complejo, es más conveniente utilizar su forma exponencial.

Ejemplo:

Formas de números complejos	Número $(z)$	El revés $\backslash \; izquierda\; (\backslash \; frac\; (1)\; (z)\; \backslash \; derecha)$
Algebraico	$1\; +\; i\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; (3)$	$\backslash \; frac\; (1)\; (4)\; -\; \backslash \; frac\; (\backslash \; sqrt\; (3))\; (4)\; i$
Trigonométrico	$2\; \backslash \; izquierda\; (\backslash \; cos\; \backslash \; frac\; (\backslash \; pi)\; (3)\; +\; i\; \backslash \; sin\; \backslash \; frac\; (\backslash \; pi)\; (3)\; \backslash \; derecha)$ o $2\; \backslash \; izquierda\; (\backslash \; frac\; (1)\; (2)\; +\; i\; \backslash \; frac\; (\backslash \; sqrt\; (3))\; (2)\; \backslash \; derecha)$	$\backslash \; frac\; (1)\; (2)\; \backslash \; izquierda\; (\backslash \; cos\; \backslash \; frac\; (\backslash \; pi)\; (3)\; -i\; \backslash \; sin\; \backslash \; frac\; (\backslash \; pi)\; (3)\; \backslash \; derecha)$ o $\backslash \; frac\; (1)\; (2)\; \backslash \; izquierda\; (\backslash \; frac\; (1)\; (2)\; -i\; \backslash \; frac\; (\backslash \; sqrt\; (3))\; (2)\; \backslash \; derecha)$
Indicativo	$2\; e^(i\backslash frac\; (\backslash pi)\; (3))$	$\backslash \; frac\; (1)\; (2)\; mi\; ^\; (-\; yo\; \backslash \; frac\; (\backslash \; pi)\; (3))$

El inverso de la unidad imaginaria

$\backslash \; frac\; (1)\; (i)\; =\; \backslash \; frac\; (1\; \backslash \; cdot\; i)\; (i\; \backslash \; cdot\; i)\; =\; \backslash \; frac\; (i)\; (i\; ^\; 2)\; =\; \backslash \; frac\; (i)\; (-\; 1)\; =\; -\; i$

Así, obtenemos

$\backslash \; frac\; (1)\; (i)\; =\; -\; yo$ __ o__ $yo\; ^\; (-\; 1)\; =\; -\; yo$

Del mismo modo para $-I$: __ $-\; \backslash \; frac\; (1)\; (i)\; =\; yo$ __ o __ $-yo\; ^\; (-\; 1)\; =\; yo$

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Notas (editar)

ver también

Un extracto que caracteriza el Inverso

Esto es lo que dicen las historias, y todo esto es completamente injusto, como puede ver cualquiera que quiera entender la esencia del asunto.
Los rusos no buscaban una posición mejor; pero, por el contrario, en su retirada pasaron muchas posiciones que eran mejores que Borodinskaya. No se detuvieron en ninguna de estas posiciones: tanto porque Kutuzov no quería aceptar la posición que no había elegido, como porque la demanda de una batalla popular aún no se había expresado con suficiente fuerza, y porque Miloradovich aún no se había acercado con el milicia, y también por otras razones que son incalculables. El caso es que las posiciones anteriores eran más fuertes y que la posición de Borodino (aquella en la que se dio la batalla) no solo no es fuerte, sino que por alguna razón no es para nada una posición más que cualquier otro lugar del Imperio Ruso, que, adivinando, estaría señalado con un alfiler en el mapa.
Los rusos no solo no reforzaron la posición del campo de Borodino a la izquierda en ángulo recto desde la carretera (es decir, el lugar donde tuvo lugar la batalla), sino que nunca, hasta el 25 de agosto de 1812, pensaron que una batalla podría tener lugar en este lugar. Lo prueba, en primer lugar, el hecho de que no sólo el día 25 no hubo fortificaciones en este lugar, sino que, comenzadas el día 25, no se terminaron el día 26; en segundo lugar, la posición del reducto de Shevardinsky sirve como prueba: el reducto de Shevardinsky, frente a la posición en la que se aceptó la batalla, no tiene ningún sentido. ¿Por qué este reducto era más fuerte que todos los demás puntos? ¿Y por qué, defendiéndolo el día 24 hasta altas horas de la noche, se agotaron todos los esfuerzos y se perdieron seis mil personas? Una patrulla de cosacos fue suficiente para observar al enemigo. En tercer lugar, la prueba de que la posición en la que tuvo lugar la batalla no estaba prevista y que el reducto de Shevardinsky no era el punto de avanzada de esta posición es que Barclay de Tolly y Bagration hasta el día 25 estaban convencidos de que el reducto de Shevardinsky estaba en el flanco izquierdo del posición y que el mismo Kutuzov, en su informe, escrito en el fragor del momento posterior a la batalla, llama al reducto Shevardinsky el flanco izquierdo de la posición. Mucho más tarde, cuando se escribieron abiertamente informes sobre la Batalla de Borodino, fue (probablemente para justificar los errores del comandante en jefe, que tiene que ser infalible) que se inventó un testimonio injusto y extraño de que el reducto de Shevardinsky sirvió. como un puesto avanzado (mientras que era solo un punto fortificado del flanco izquierdo) y como si la batalla de Borodino fuera tomada por nosotros en una posición fortificada y preseleccionada, mientras que tuvo lugar en un lugar completamente inesperado y casi sin fortificar.
El caso, obviamente, fue así: la posición fue elegida a lo largo del río Kolocha, que cruza la carretera principal no a la derecha, sino en un ángulo agudo, de modo que el flanco izquierdo estaba en Shevardin, el derecho cerca del pueblo de Novy y el centro en Borodino, en la confluencia de los ríos Kolocha y Vo yny. Esta posición, al amparo del río Kolocha, para el ejército, con el objetivo de detener al enemigo que avanza a lo largo de la carretera de Smolensk a Moscú, es obvia para cualquiera que mire el campo de Borodino, olvidando cómo tuvo lugar la batalla.
Napoleón, partiendo el 24 hacia Valuev, no vio (como dicen las historias) la posición de los rusos desde Utitsa a Borodino (no pudo ver esta posición, porque no estaba allí) y no vio el puesto de avanzada del ejército ruso, pero tropezó con la persecución de la retaguardia rusa en el flanco izquierdo de la posición rusa, en el reducto de Shevardinsky, e inesperadamente para los rusos, transfirió tropas a través de Kolocha. Y los rusos, al no tener tiempo para entrar en la batalla general, se retiraron con su ala izquierda de la posición que pretendían tomar y tomaron una nueva posición, que no estaba prevista ni fortificada. Moviéndose hacia el lado izquierdo de Kolocha, a la izquierda de la carretera, Napoleón movió toda la futura batalla de derecha a izquierda (de los rusos) y la transfirió al campo entre Utitsa, Semyonovsky y Borodino (a este campo, que no tiene nada más ventajoso para la posición que cualquier otro campo en Rusia), y en este campo tuvo lugar toda la batalla el día 26. En forma aproximada, el plan para la batalla prevista y la batalla que tuvo lugar sería el siguiente:

Si Napoleón no hubiera ido a Kolocha en la noche del 24 y no hubiera ordenado atacar el reducto por la noche, sino que hubiera comenzado el ataque a la mañana siguiente, nadie habría dudado de que el reducto de Shevardinsky era el flanco izquierdo de nuestro posición; y la batalla hubiera sucedido como la esperábamos. En ese caso, probablemente defenderíamos aún más tenazmente el reducto de Shevardinsky, nuestro flanco izquierdo; atacaría a Napoleón por el centro o por la derecha, y el día 24 se produciría un enfrentamiento general en la posición que estaba fortificada y prevista. Pero dado que el ataque a nuestro flanco izquierdo tuvo lugar por la tarde, después de la retirada de nuestra retaguardia, es decir, inmediatamente después de la batalla en Gridnevaya, y dado que los comandantes rusos no quisieron o no tuvieron tiempo de iniciar una batalla general en la noche del 24, la primera y principal acción de Borodinsky la batalla se perdió el día 24 y, obviamente, condujo a la pérdida de la que se dio el día 26.
Después de la pérdida del reducto de Shevardinsky, en la mañana del 25 nos encontramos fuera de posición en el flanco izquierdo y nos vimos obligados a doblar hacia atrás nuestra ala izquierda y reforzarla apresuradamente en cualquier lugar.
Pero las tropas rusas no solo estaban bajo la protección de fortificaciones débiles e inacabadas el 26 de agosto, sino que la desventaja de esta situación se incrementó por el hecho de que los líderes militares rusos, sin reconocer completamente el hecho que se había logrado por completo (el pérdida de posición en el flanco izquierdo y la transferencia de todo el futuro campo de batalla de derecha a izquierda), permanecieron en su posición extendida desde el pueblo de Novy hasta Utitsa y, como resultado, tuvieron que mover sus tropas durante la batalla de derecha a izquierda. izquierda. Así, durante toda la batalla, los rusos tenían el doble de las fuerzas más débiles contra todo el ejército francés, apuntando a nuestra ala izquierda. (Las acciones de Poniatovsky contra Utitsa y Uvarov en el flanco derecho de los franceses fueron acciones separadas del curso de la batalla).
Entonces, la Batalla de Borodino tuvo lugar de una manera completamente diferente a como la describen (tratando de ocultar los errores de nuestros líderes militares y, como resultado, menospreciando la gloria del ejército y el pueblo rusos). La batalla de Borodino no tuvo lugar en una posición elegida y fortificada con fuerzas ligeramente más débiles por parte de las fuerzas rusas, y la Batalla de Borodino, debido a la pérdida del reducto Shevardinsky, fue tomada por los rusos en un campo abierto. , zona casi no fortificada con el doble de fuerzas más débiles frente a los franceses, es decir, en unas condiciones tales, en las que no sólo era impensable luchar durante diez horas y hacer indecisa la batalla, sino que era impensable evitar que el ejército fuera derrotado por completo y vuelo durante tres horas.

En la mañana del 25, Pierre salió de Mozhaisk. En el descenso de una enorme montaña empinada y torcida que salía de la ciudad, pasando la catedral en la montaña a la derecha, en la que se estaba llevando a cabo el servicio y el evangelismo, Pierre se bajó del carruaje y caminó a pie. Detrás de él descendió sobre la montaña una especie de regimiento de caballería con cantores al frente. Un tren de carretas con los heridos en el caso de ayer subía a su encuentro. Los campesinos carreteros, gritando a los caballos y azotándolos con látigos, corrían de un lado a otro. Los carros, en los que yacían y se sentaban tres y cuatro soldados de los heridos, saltaron sobre las piedras, que fueron arrojadas en forma de adoquines, en una pendiente empinada. Los heridos, atados con harapos, pálidos, con los labios fruncidos y las cejas fruncidas, agarrados a las camas, saltaban y empujaban en los carros. Todos miraban con curiosidad infantil casi ingenua el sombrero blanco y el frac verde de Pierre.

Los números inversos, o mutuamente inversos, son un par de números que, cuando se multiplican, dan 1. En la forma más general, los números inversos son números. Un caso especial típico de números mutuamente inversos es un par. Los inversos son, digamos, números; ...

Cómo encontrar el recíproco

Regla: necesitas dividir 1 (uno) por un número dado.

Ejemplo 1.

Dado el número 8. Su reverso es 1: 8 o (la segunda opción es preferible, porque tal notación es matemáticamente más correcta).

Al buscar el recíproco de una fracción ordinaria, dividirlo por 1 no es muy conveniente, ya que la grabación resulta engorrosa. En este caso, es mucho más fácil hacer lo contrario: la fracción simplemente se invierte, cambiando los lugares del numerador y el denominador. Si se da una fracción correcta, luego de dar la vuelta, la fracción es incorrecta, es decir uno desde el que puede seleccionar una parte completa. Para hacerlo o no, es necesario decidir en cada caso por separado. Entonces, si tiene que realizar algunas acciones con la fracción invertida resultante (por ejemplo, multiplicación o división), entonces no debe seleccionar la parte completa. Si la fracción resultante es el resultado final, entonces es posible que la selección de la parte entera sea deseable.

Ejemplo No. 2.

Se da una fracción. Volver a ella:.

Si necesita encontrar el recíproco de una fracción decimal, debe usar la primera regla (división 1 por un número). En esta situación, puede actuar de una de 2 maneras. La primera es simplemente dividir 1 por ese número por columna. La segunda es formar una fracción de 1 en el numerador y una fracción decimal en el denominador, y luego multiplicar el numerador y el denominador por 10, 100 u otro número que consista en 1 y tantos ceros como necesites para deshacerte de la punto decimal en el denominador. El resultado será una fracción ordinaria, que es el resultado. Si es necesario, es posible que deba acortarlo, extraer una parte completa o convertirlo a formato decimal.

Ejemplo No. 3.

Dado el número 0.82. El número inverso es: ... Ahora reduciremos la fracción y seleccionaremos la parte entera:.

Cómo saber si dos números son recíprocos

El principio de verificación se basa en la definición de números recíprocos. Es decir, para asegurarse de que los números sean inversos entre sí, debe multiplicarlos. Si el resultado es uno, entonces los números son mutuamente inversos.

Ejemplo No. 4.

Se dan los números 0,125 y 8. ¿Son inversos?

Examen. Es necesario encontrar el producto de 0.125 y 8. Para mayor claridad, presentamos estos números en forma de fracciones ordinarias: (reduciremos la primera fracción en 125). Conclusión: los números 0,125 y 8 son inversos.

Propiedades de números inversos

Propiedad número 1

El inverso existe para cualquier número que no sea 0.

Esta restricción se debe a que no se puede dividir por 0, y a la hora de determinar el recíproco de cero, solo hay que moverlo al denominador, es decir en realidad se divide por ella.

Propiedad número 2

La suma de un par de números recíprocos siempre es al menos 2.

Matemáticamente, esta propiedad se puede expresar mediante la desigualdad:.

Propiedad número 3

Multiplicar un número por dos números mutuamente inversos es equivalente a multiplicar por uno. Expresemos matemáticamente esta propiedad:

Ejemplo No. 5.

Encuentra el valor de la expresión: 3.4 · 0.125 · 8. Dado que los números 0,125 y 8 son inversos (consulte el ejemplo n.° 4), no es necesario multiplicar 3,4 por 0,125 y luego por 8. Así que la respuesta aquí es 3.4.

Un par de números cuyo producto es igual a uno se llaman mutuamente inversa.

Ejemplos: 5 y 1/5, -6/7 y -7/6, y

Para cualquier número a, distinto de cero, existe un inverso 1/a.

El recíproco de cero es infinito.

fracciones inversas- estas son dos fracciones, cuyo producto es 1. Por ejemplo, 3/7 y 7/3; 5/8 y 8/5 etc

ver también

Fundación Wikimedia. 2010.

Vea qué es "Reverse" en otros diccionarios:

Un número cuyo producto por un número dado es igual a uno. Dos de estos números se llaman mutuamente inversos. Estos son, por ejemplo, 5 y 1/5, 2/3 y 3/2, etc. Gran diccionario enciclopédico

número inverso- - [AS Goldberg. El diccionario de energía inglés ruso. 2006] Temas energía en general EN número inverso número recíproco ... Guía del traductor técnico

Un número cuyo producto por un número dado es igual a uno. Dos de estos números se llaman mutuamente inversos. Estos son, por ejemplo, 5 y 1/5, 2/3 y 3/2, etc. * * * INVERSO INVERSO, un número cuyo producto por un número dado es ... ... diccionario enciclopédico

Un número cuyo producto con un número dado es igual a uno. Dos de estos números se llaman mutuamente inversos. Tales son, por ejemplo, 5 y a, no igual a cero, existe lo contrario ... Gran enciclopedia soviética

Número cuyo producto por el número dado es igual a uno. Se llaman dos de esos números. mutuamente inversa. Estos son, por ejemplo, 5 y 1/5. 2/3 y 3/2 etc... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico

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Los números inversos son necesarios para resolver todo tipo de ecuaciones algebraicas. Por ejemplo, si necesita dividir un número fraccionario por otro, multiplique el primer número por el recíproco del segundo. Además, los números recíprocos se usan para encontrar la ecuación de la línea recta.

Pasos

1 Encontrar el recíproco de una fracción o un número entero

1. 1 Encuentra el recíproco del número fraccionario dándole la vuelta. El "número inverso" es muy fácil de definir. Para calcularlo, simplemente calcule el valor de la expresión "1 ÷ (número original)". Para un número fraccionario, el recíproco es otro número fraccionario, que se puede calcular simplemente "volteando" la fracción (intercambiando el numerador y el denominador).
   • Por ejemplo, el recíproco de 3/4 es 4 / 3 .
2. 2 Escribe el recíproco de un número entero como una fracción. Y en este caso, el recíproco se calcula como 1 ÷ (número original). Para un número entero, escriba el recíproco como una fracción regular, no necesita realizar cálculos y escríbalo como una fracción decimal.
   • Por ejemplo, el recíproco de 2 es 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Encontrar el recíproco de una fracción mixta

1. 1 ¿Qué es una "fracción mixta". Una fracción mixta es un número escrito como un entero y una fracción simple, por ejemplo, 2 4/5. Encontrar el recíproco de una fracción mixta se lleva a cabo en dos pasos, que se describen a continuación.
2. 2 Escribe la fracción mixta como una fracción impropia. Por supuesto, recordará que uno se puede escribir como (número) / (mismo número), y las fracciones con el mismo denominador (número debajo de la línea) se pueden sumar. He aquí cómo hacerlo para la fracción 2 4/5:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Voltear la fracción. Cuando una fracción mixta se escribe como una fracción impropia, podemos encontrar fácilmente el recíproco simplemente intercambiando el numerador y el denominador.
   • Para el ejemplo anterior, el recíproco será 14/5 - 5 / 14 .

3 Encontrar el recíproco de un decimal

1. 1 Si es posible, exprese la fracción decimal como una fracción simple. Debe saber que muchas fracciones decimales se pueden convertir fácilmente en fracciones simples. Por ejemplo, 0,5 = 1/2 y 0,25 = 1/4. Una vez que hayas escrito un número como una fracción, puedes encontrar fácilmente el recíproco simplemente volteando la fracción.
   • Por ejemplo, el recíproco de 0,5 es 2/1 = 2.
2. 2 Resuelve el problema usando la división. Si no puede escribir la fracción decimal como una fracción simple, calcule el recíproco resolviendo el problema por división: 1 ÷ (fracción decimal). Puedes usar la calculadora para resolverlo, o ir al siguiente paso si quieres calcular el valor manualmente.
   • Por ejemplo, el recíproco de 0,4 se calcula como 1 ÷ 0,4.
3. 3 Modifique la expresión para trabajar con números enteros. El primer paso para dividir un decimal es mover la coma de posición hasta que todos los números de la expresión sean enteros. Como mueves la coma posicional la misma cantidad de dígitos tanto en el dividendo como en el divisor, obtienes la respuesta correcta.
4. 4 Por ejemplo, tomas la expresión 1 ÷ 0,4 y la escribes como 10 ÷ 4. En este caso, has movido la coma un carácter a la derecha, lo que equivale a multiplicar cada número por diez.
5. 5 Resuelve el problema dividiendo los números con columnas. La división larga se puede utilizar para calcular el recíproco. Si divides 10 entre 4, deberías terminar con 2,5, que es el recíproco de 0,4.

• Un recíproco negativo será igual al recíproco multiplicado por -1. Por ejemplo, el recíproco negativo de 3/4 es - 4/3.
• El recíproco a veces se llama "recíproco" o "recíproco".
• El número 1 es su propio recíproco, ya que 1 ÷ 1 = 1.
• El cero no tiene recíproco ya que la expresión 1 ÷ 0 no tiene soluciones.