Definición. Prisma es un poliedro, cuyos vértices están ubicados en dos planos paralelos, y en los mismos dos planos hay dos caras de prisma, que son polígonos iguales con lados correspondientemente paralelos, y todas las aristas que no se encuentran en estos planos son paralelas.

Dos caras iguales se llaman bases de prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Todas las demás caras del prisma se denominan caras laterales(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Se forman todas las caras laterales superficie lateral del prisma .

Todas las caras laterales del prisma son paralelogramos. .

Las nervaduras que no descansan en las bases se denominan nervaduras laterales del prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisma diagonal Se denomina segmento cuyos extremos son dos vértices de un prisma que no descansan en una de sus caras (AD 1).

La longitud del segmento que conecta las bases del prisma y es perpendicular a ambas bases al mismo tiempo se llama altura del prisma .

Designacion:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1... (Primero, los vértices de una base se indican en el orden transversal, y luego, en el mismo orden, los vértices de la otra; los extremos de cada borde lateral se indican con las mismas letras, solo los vértices que se encuentran en una base se indican con letras sin índice, y en el otro, con índice)

El nombre del prisma está asociado con el número de ángulos en la figura que se encuentra en su base, por ejemplo, en la Figura 1, un pentágono se encuentra en la base, por lo tanto, el prisma se llama prisma pentagonal... Pero desde tal prisma tiene 7 caras, entonces heptaedro(2 caras - bases de prisma, 5 caras - paralelogramos, - sus caras laterales)

Entre los prismas rectos, destaca un tipo particular: los prismas regulares.

El prisma recto se llama correcto, si sus bases son polígonos regulares.

Paralelepípedo

Paralelepípedo rectangular- un paralelepípedo recto, cuya base es un rectángulo.

Propiedades y teoremas:

,

donde d es la diagonal del cuadrado;
a - lado del cuadrado.

La idea de prisma viene dada por:

• diversas estructuras arquitectónicas;
• Juguetes de los niños;
• cajas de embalaje;
• elementos de diseño, etc.

El área de la superficie completa y lateral del prisma.

S completo = lado S + 2S principal,

donde S lleno- superficie total, Lado S- el área de la superficie lateral, S principal- área de la base

El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma..

Lado S= P principal * h,

donde Lado S- el área de la superficie lateral de un prisma recto,

P principal: el perímetro de la base de un prisma recto,

h es la altura del prisma recto, igual al borde lateral.

Volumen del prisma

El volumen del prisma es igual al producto del área de la base por la altura.

Los diferentes prismas no son iguales. Al mismo tiempo, tienen mucho en común. Para encontrar el área de la base de un prisma, debes averiguar qué tipo tiene.

Teoría general

Un prisma es cualquier poliedro cuyos lados tienen la forma de un paralelogramo. Además, cualquier poliedro puede aparecer en su base, desde un triángulo hasta un n-gon. Además, las bases del prisma son siempre iguales entre sí. Eso no se aplica a las caras laterales, pueden variar significativamente de tamaño.

Al resolver problemas, no solo se encuentra el área de la base del prisma. Puede ser necesario el conocimiento de la superficie lateral, es decir, todas las caras que no sean bases. La superficie completa ya será la unión de todas las caras que componen el prisma.

A veces, la altura aparece en las tareas. Es perpendicular a las bases. La diagonal de un poliedro es un segmento que conecta en pares dos vértices que no pertenecen a la misma cara.

Cabe señalar que el área de la base de un prisma recto o inclinado no depende del ángulo entre ellos y las caras laterales. Si tienen las mismas formas en los bordes superior e inferior, entonces sus áreas serán iguales.

Prisma triangular

Tiene en su base una figura con tres vértices, es decir, un triángulo. Se sabe que es diferente. Si entonces es suficiente recordar que su área está determinada por la mitad del producto de las piernas.

La notación matemática se ve así: S = ½ av.

Para conocer el área de la base en general, son útiles las fórmulas: Garza y ​​aquella en la que se lleva la mitad del lado a la altura dibujada.

La primera fórmula debe escribirse así: S = √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Esta entrada contiene un semiperímetro (p), es decir, la suma de tres lados dividida por dos.

Segundo: S = ½ n a * a.

Si quieres saber el área de la base de un prisma triangular, que es regular, entonces el triángulo resulta ser equilátero. Hay una fórmula para ello: S = ¼ a 2 * √3.

Prisma cuadrangular

Su base es cualquiera de los cuadrángulos conocidos. Puede ser un rectángulo o un cuadrado, un paralelepípedo o un rombo. En cada caso, para calcular el área de la base del prisma, necesitará una fórmula diferente.

Si la base es un rectángulo, entonces su área se determina de la siguiente manera: S = ab, donde a, b son los lados del rectángulo.

Cuando se trata de un prisma cuadrangular, el área de la base de un prisma regular se calcula usando la fórmula para un cuadrado. Porque es él quien resulta estar en el fondo. S = a 2.

En el caso de que la base sea un paralelepípedo, se necesitará la siguiente igualdad: S = a * na. Sucede que se dan el lado del paralelepípedo y una de las esquinas. Luego, para calcular la altura, necesitará usar una fórmula adicional: n a = b * sin A. Además, el ángulo A es adyacente al lado "b", y la altura es n a opuesta a este ángulo.

Si hay un rombo en la base del prisma, entonces se necesitará la misma fórmula para determinar su área que para el paralelogramo (ya que es su caso especial). Pero también puedes usar esto: S = ½ d 1 d 2. Aquí d 1 y d 2 son las dos diagonales del rombo.

Prisma pentagonal regular

Este caso implica dividir el polígono en triángulos, cuyas áreas son más fáciles de averiguar. Aunque sucede que las figuras pueden ser con diferente número de vértices.

Dado que la base del prisma es un pentágono regular, se puede dividir en cinco triángulos equiláteros. Entonces, el área de la base del prisma es igual al área de uno de esos triángulos (la fórmula se puede ver arriba), multiplicada por cinco.

Prisma hexagonal regular

Según el principio descrito para un prisma pentagonal, es posible dividir el hexágono base en 6 triángulos equiláteros. La fórmula para el área de la base de dicho prisma es similar a la anterior. Solo en él debe multiplicarse por seis.

La fórmula se verá así: S = 3/2 y 2 * √3.

Tareas

№ 1. Dada una recta correcta, su diagonal es de 22 cm, la altura del poliedro es de 14 cm, calcula el área de la base del prisma y toda la superficie.

Solución. La base del prisma es un cuadrado, pero se desconoce su lado. Puede encontrar su valor de la diagonal del cuadrado (x), que está relacionada con la diagonal del prisma (d) y su altura (h). x 2 = re 2 - norte 2. Por otro lado, este segmento "x" es una hipotenusa en un triángulo, cuyos catetos son iguales al lado del cuadrado. Es decir, x 2 = a 2 + a 2. Por tanto, resulta que a 2 = (d 2 - n 2) / 2.

Sustituye 22 en lugar de d, y reemplaza "n" con su valor - 14, entonces resulta que el lado del cuadrado mide 12 cm. Ahora solo averigua el área de la base: 12 * 12 = 144 cm 2 .

Para averiguar el área de toda la superficie, debe agregar el doble del área de la base y cuadriplicar el lado. Este último se puede encontrar fácilmente usando la fórmula para un rectángulo: multiplique la altura del poliedro por el lado de la base. Es decir, 14 y 12, este número será igual a 168 cm 2. La superficie total del prisma es de 960 cm 2.

Respuesta. El área de la base del prisma es de 144 cm 2. Toda la superficie es de 960 cm 2.

№ 2. Dana En la base hay un triángulo con un lado de 6 cm. En este caso, la diagonal de la cara lateral es de 10 cm. Calcula las áreas: base y superficie lateral.

Solución. Dado que el prisma es regular, su base es un triángulo equilátero. Por lo tanto, su área es igual a 6 al cuadrado, multiplicado por ¼ y la raíz cuadrada de 3. Un simple cálculo lleva al resultado: 9√3 cm 2. Ésta es el área de una base del prisma.

Todas las caras laterales son iguales y son rectángulos con lados de 6 y 10 cm. Para calcular sus áreas, basta con multiplicar estos números. Luego, multiplíquelos por tres, porque hay exactamente tantas caras laterales del prisma. Entonces, el área de la superficie lateral resulta ser una herida de 180 cm 2.

Respuesta.Áreas: base - 9√3 cm 2, superficie lateral del prisma - 180 cm 2.

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Definición.

Este es un hexágono, cuyas bases son dos cuadrados iguales y las caras laterales son rectángulos iguales.

Costilla lateral es el lado común de dos caras laterales adyacentes

Altura del prisma es un segmento perpendicular a las bases del prisma

Prisma diagonal- un segmento que conecta dos vértices de las bases que no pertenecen a la misma cara

Plano diagonal- un plano que pasa por la diagonal del prisma y sus bordes laterales

Sección diagonal- los límites de la intersección del prisma y el plano diagonal. La sección diagonal de un prisma cuadrangular regular es un rectángulo

Sección perpendicular (sección ortogonal) es la intersección de un prisma y un plano dibujado perpendicular a sus bordes laterales

Elementos de un prisma cuadrangular regular

La figura muestra dos prismas cuadrangulares regulares, que se designan con las letras correspondientes:

• Las bases ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 son iguales y paralelas entre sí
• Caras laterales AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C y CC 1 D 1 D, cada una de las cuales es un rectángulo
• Superficie lateral: la suma de las áreas de todas las caras laterales del prisma.
• Superficie completa: la suma de las áreas de todas las bases y caras laterales (la suma del área de la superficie lateral y las bases)
• Costillas laterales AA 1, BB 1, CC 1 y DD 1.
• Diagonal B 1 D
• Diagonal base BD
• Sección diagonal BB 1 D 1 D
• Sección perpendicular A 2 B 2 C 2 D 2.

Propiedades de un prisma cuadrangular regular

• Las bases son dos cuadrados iguales
• Las bases son paralelas entre sí.
• Las caras laterales son rectángulos
• Las caras laterales son iguales entre sí
• Las caras laterales son perpendiculares a las bases.
• Las nervaduras laterales son paralelas e iguales.
• Sección perpendicular perpendicular a todos los bordes laterales y paralela a las bases
• Ángulos de una sección perpendicular - recta
• La sección diagonal de un prisma cuadrangular regular es un rectángulo
• Perpendicular (sección ortogonal) paralela a las bases

Fórmulas para un prisma cuadrangular regular

Instrucciones para resolver problemas

Prisma correcto- un prisma en la base del cual se encuentra un polígono regular, y los bordes laterales son perpendiculares a los planos de la base. Es decir, un prisma cuadrangular regular contiene en su base cuadrado... (vea las propiedades anteriores de un prisma cuadrangular regular) Nota... Esta es parte de la lección con problemas de geometría (sección estereometría - prisma). Aquí están las tareas que causan dificultades para resolverlas. Si necesitas resolver un problema de geometría que no está aquí, escríbelo en el foro.. Para denotar la acción de extraer una raíz cuadrada en soluciones de problemas, el símbolo√ .

Tarea.

La diagonal de un prisma regular forma un triángulo rectángulo con la diagonal de la base y la altura del prisma. En consecuencia, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, la diagonal de un prisma cuadrangular regular dado será igual a:
√ ((12√2) 2 + 14 2) = 22 cm

Respuesta: 22 cm

Tarea

Solución.
Dado que hay un cuadrado en la base de un prisma cuadrangular regular, encontraremos el lado de la base (denotado como a) por el teorema de Pitágoras:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

La altura de la cara lateral (indicada como h) será entonces igual a:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3.5

El área de la superficie total será igual a la suma del área de la superficie lateral y el doble del área de la base.

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7 * 25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Respuesta: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

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