El proceso de examinar una función por la presencia de puntos estacionarios y encontrarlos es uno de los elementos importantes al trazar una función. Puedes encontrar los puntos estacionarios de una función si tienes cierto conjunto de conocimientos matemáticos.

Necesitará

• - la función a investigar por la presencia de puntos estacionarios;
• - definición de puntos estacionarios: los puntos estacionarios de una función son puntos (valores argumentales) en los que se anula la derivada de la función de primer orden.

Instrucción

• Usando la tabla de derivadas y fórmulas de diferenciación de funciones, es necesario encontrar la derivada de la función. Este paso es el más difícil y responsable en el curso de la tarea. Si comete un error en este escenario, más cálculos no tendrán sentido.
• Comprueba si la derivada de una función depende del argumento. Si la derivada encontrada no depende del argumento, es decir, es un número (por ejemplo, f "(x) \u003d 5), entonces en este caso la función no tiene puntos estacionarios. Tal solución solo es posible si la función en estudio es una función lineal de primer orden (por ejemplo, f(x) = 5x+1) Si la derivada de la función depende del argumento, entonces continúe con el último paso.
• Componga la ecuación f "(x) \u003d 0 y resuélvala. Es posible que la ecuación no tenga soluciones; en este caso, la función no tiene puntos estacionarios. Si la ecuación tiene soluciones, estos valores encontrados del argumento serán los puntos estacionarios de la función En la siguiente etapa, la solución de la ecuación debe verificarse mediante el método de sustitución de argumentos.

§ 3 PUNTOS ESTACIONARIOS Y CÁLCULO DIFERENCIAL 369

se puede observar que, en general, existen dos circunferencias de la familia considerada tangentes a la recta l: sus centros se ubican a lo largo de lados diferentes segmento P Q. Uno de los puntos de contacto da el máximo absoluto del valor j, mientras que el otro, solo un máximo "relativo": esto significa que los valores de j en este punto son mayores que los valores en alguna vecindad del punto considerado. El mayor de los dos máximos, el máximo absoluto, viene dado por el punto de contacto, que se encuentra en el ángulo agudo formado por la línea l y la continuación del segmento PQ, y el menor, por el punto de contacto, que se encuentra en el ángulo obtuso formado por estas líneas. (El punto de intersección de la línea l con la continuación del segmento P Q da el valor mínimo del ángulo j, a saber, j = 0.)

Arroz. 190. ¿Desde qué punto l es visible el segmento P Q en el ángulo mayor?

Generalizando el problema considerado, podemos reemplazar la línea l por alguna curva C y buscar puntos R en la curva C, de los cuales el segmento dado P Q, que no interseca a C, es visible en el ángulo más grande o más pequeño. En este problema, como en el anterior, la circunferencia que pasa por P, Q y R debe tocar la curva C en el punto R.

§ 3. Puntos estacionarios y cálculo diferencial

1. Puntos extremos y estacionarios. En el razonamiento anterior, no utilizamos en absoluto los métodos técnicos del cálculo diferencial.

Es difícil no admitir que nuestros métodos elementales son más simples y más directos que los del análisis. En general, cuando se trata de un problema científico particular, es mejor proceder de su individualidad.

características en lugar de depender únicamente de métodos comunes, aunque, por otra parte, principio general, aclarar el significado de los procedimientos especiales aplicados, por supuesto, siempre debe jugar un papel protagónico. Tal es precisamente la importancia de los métodos de cálculo diferencial para tratar problemas extremos. Observado en ciencia moderna el afán de generalidad es sólo una cara de la cuestión, ya que lo verdaderamente vital en matemáticas está indudablemente determinado por rasgos individuales problemas bajo consideración y métodos aplicados.

En su desarrollo historico el cálculo diferencial se ha visto afectado en gran medida por los problemas individuales asociados con encontrar los valores más grandes y más pequeños de las cantidades. La conexión entre los problemas extremos y el cálculo diferencial se puede entender de la siguiente manera. En el Capítulo VIII estudiaremos en detalle la derivada f0(x) de la función f(x) y su significado geométrico. Allí veremos que, en definitiva, la derivada f0 (x) es la pendiente de la tangente a la curva y = f(x) en el punto (x, y). Es geométricamente obvio que en los puntos de máximo o mínimo de una curva suave y = f(x), la tangente a la curva debe ser necesariamente horizontal, es decir, la pendiente debe ser igual a cero. Así, obtenemos la condición f0 (x) = 0 para los puntos extremos.

Para aclarar lo que significa la desaparición de la derivada f0 (x), considere la curva que se muestra en la figura 191. Vemos aquí cinco puntos A, B, C, D, E en los que la tangente a la curva es horizontal; denotamos los valores correspondientes de f(x) en estos puntos por a, b, c, d, e. El valor más grande de f(x) (dentro del área que se muestra en el dibujo) se alcanza en el punto D, el más pequeño, en el punto A. En el punto B hay un máximo, en el sentido de que en todos los puntos de alguna vecindad del punto B, el valor de f(x) es menor que b, aunque en puntos cercanos a D, el valor de f(x) sigue siendo mayor que b. Por eso, se acostumbra decir que en el punto B hay un máximo relativo de la función f(x), mientras que en el punto D hay un máximo absoluto. De manera similar, el punto C tiene un mínimo relativo y el punto A tiene un mínimo absoluto. Finalmente, en lo que respecta al punto E, no tiene ni máximo ni mínimo, aunque todavía se mantiene la igualdad f0 (x) = 0. De esto se sigue que la desaparición de la derivada f0 (x) es necesaria, pero por no significa condición suficiente para la aparición de un extremo de una función suave f(x); en otras palabras, en cualquier punto donde hay un extremo (absoluto o relativo), la igualdad f0 (x) = 0 ciertamente tiene lugar, pero no en cualquier punto donde f0 (x) = 0, debe haber un extremo. Aquellos puntos en los que la derivada f0 (x) se anula, independientemente de que tengan un extremo, se llaman estacionarios. Un análisis más detallado conduce a más o menos

§ 3 PUNTOS ESTACIONARIOS Y CÁLCULO DIFERENCIAL 371

condiciones complejas relativas a las derivadas superiores de la función f(x) y que caracterizan completamente los máximos, mínimos y otros puntos estacionarios.

Arroz. 191. Puntos estacionarios de una función

2. Máximos y mínimos de funciones de varias variables. puntos de silla. Hay problemas extremos que no pueden expresarse en términos de una función f(x) de una variable. El ejemplo relacionado más simple es el problema de encontrar los extremos de la función z = f(x, y) en dos variables independientes.

Siempre podemos pensar en la función f(x, y) como la altura z de la superficie sobre el plano x, y, e interpretaremos esta imagen, digamos, como un paisaje de montaña. El máximo de la función f(x, y) corresponde a cima de la montaña, al menos - al fondo de un pozo o lago. En ambos casos, a menos que la superficie sea lisa, el plano tangente a la superficie es necesariamente horizontal. Pero, además de las cimas de las montañas y los puntos más bajos de los pozos, puede haber otros puntos en los que el plano tangente sea horizontal: estos son puntos de “silla de montar” correspondientes a pasos de montaña. Vamos a explorarlos más de cerca. Supongamos (Fig. 192) que hay dos picos A y B en una cadena montañosa y dos puntos C y D en diferentes pendientes de la cadena; supongamos que necesitamos ir de C a D. Consideremos primero los caminos que conducen de C a D, que se obtienen al intersecar la superficie con planos que pasan por C y D. Cada uno de esos caminos tiene un punto más alto. Cuando la posición del plano de corte cambia, la ruta también cambia, y será posible encontrar una ruta para la cual punto mas alto Estará en

posición más baja posible. El punto más alto E de este camino es la punta de un puerto de montaña en nuestro paisaje; también se le puede llamar punto de silla. Es claro que no hay ni un máximo ni un mínimo en el punto E, ya que, arbitrariamente cerca de E, hay puntos en la superficie que son más altos que E y otros que son más bajos que E. En el argumento anterior, sería Sería posible no limitarnos a considerar sólo aquellos caminos que surgen cuando la superficie es atravesada por planos, y considerar cualquier camino que conecte C y D. La característica dada por nosotros al punto E no cambiaría a partir de esto.

De la misma manera, si quisiéramos ir del vértice A al vértice B, entonces todo camino que pudiéramos tomar tendría un punto más bajo; considerando incluso solo secciones planas, encontraríamos un camino AB para el cual el punto más pequeño estaría ubicado en el más alto, y obtendríamos nuevamente el mismo punto E. Por lo tanto, este punto de silla E tiene la propiedad de entregar el mínimo más alto o el máximo más bajo: aquí hay un "máximo" o "mínimo" - minimax abreviado. El plano tangente en el punto E es horizontal; de hecho, dado que E es el punto más bajo del camino AB, la tangente a AB en E es horizontal, y de manera similar, dado que E es el punto más alto del camino CD, la tangente a CD en E es horizontal. Por lo tanto, el plano tangente que pasa necesariamente por estas dos rectas tangentes es horizontal. Entonces encontramos tres varios tipos puntos con planos tangentes horizontales: puntos máximos, puntos mínimos y, finalmente, puntos silla; en consecuencia, hay tres tipos diferentes de valores estacionarios de la función.

Otra forma de representar geométricamente la función f(x, y) es dibujar líneas de nivel, las mismas que se usan en cartografía para indicar alturas en el suelo (ver pág. 308). Una línea de nivel es una curva en el plano x, y a lo largo de la cual la función f(x, y) tiene el mismo valor; en otras palabras, las líneas de nivel son las mismas que las curvas de la familia f(x, y) = c. a través de ordinario

Arroz. 194. Stacy puntos onarios en un dominio doblemente conectado

§ 3 PUNTOS ESTACIONARIOS Y CÁLCULO DIFERENCIAL 373

la punta del plano pasa exactamente por una línea de nivel; los puntos máximo y mínimo están rodeados lineas cerradas nivel, dos (o más) líneas de nivel se cruzan en los puntos de silla. En la fig. Se dibujan 193 líneas de nivel correspondientes al paisaje representado en la fig. 192.

En este caso, la notable propiedad del punto silla E se vuelve especialmente clara: cualquier camino que conecte A y B y no pase por E se encuentra parcialmente en la región donde f(x, y)< f(E), тогда как путь AEB на рис. 192 имеет минимум как раз в точке E. Таким же образом мы убеждаемся, что значение f(x, y) в точке E представляет собой наименьший максимум на путях, связывающих C и D.

3. Puntos minimax y topología. Hay una conexión profunda entre teoría general puntos estacionarios e ideas topológicas. Sobre este punto sólo podemos dar aquí una breve indicación y limitarnos a considerar un ejemplo.

Considere un paisaje montañoso en una isla en forma de anillo B con dos contornos costeros C y C0; si denotamos, como antes, la altura sobre el nivel del mar por u = f(x, y), y suponemos que f(x, y) = 0 en los contornos C y C0 y f(x, y) > 0

adentro, entonces debe haber al menos un paso de montaña en la isla: en la fig. 194 tal paso se encuentra en el punto donde se cruzan dos líneas de nivel. La validez de la declaración enunciada se vuelve clara, es-

si nos proponemos la tarea de encontrar ese camino, conectando

ing C y C0, que no se elevaría a una altura mayor de lo que es inevitable. Cada el camino de C a C0 tiene la mayor

punto más alto, y si elegimos un camino para el cual el punto más alto es el más bajo, entonces el punto más alto obtenido de esta manera será el punto silla de la función u = f(x, y). (Debemos mencionar el caso trivial, que es una excepción, cuando algún plano horizontal toca el anular cordillera a lo largo de una curva cerrada.) En el caso de un dominio delimitado por p curvas cerradas, en términos generales, debe haber al menos p − 1 puntos minimax. Relaciones del mismo tipo, como las establecidas por Marston Morse, también son válidas para regiones multidimensionales,

pero la variedad de posibilidades topológicas y tipos de puntos estacionarios es mucho mayor en este caso. Estas relaciones forman la base de la teoría moderna de los puntos estacionarios.

4. Distancia del punto a la superficie. Para distancias de puntos P

desde diferentes puntos de una curva cerrada, hay (al menos) dos valores estacionarios: un mínimo y un máximo. Al pasar a las tres dimensiones, no se revelan hechos nuevos si nos limitamos a considerar una superficie C topológicamente equivalente a una esfera (como un elipsoide). Pero si la superficie es de género 1 o superior, entonces la situación es diferente. Considere la superficie del toro C. Cualquiera que sea el punto P, por supuesto, siempre hay puntos en el toro C que dan la distancia más grande y más pequeña desde P, y los segmentos correspondientes son perpendiculares a la superficie misma. Pero ahora estableceremos que en este caso también hay puntos minimax. Imagine en el toro uno de los círculos "meridianos" L (Fig. 195) y en este círculo L encontramos el punto Q más cercano a P. Luego, moviendo el círculo L a lo largo del toro, encontramos su posición para que la distancia P Q sea: a) mínima: luego obtenemos un punto en C más cercano a P ; b) máximo - entonces obtienes un punto minimax estacionario. De la misma manera, podríamos encontrar el punto en L que está más alejado de P y luego buscar la posición de L en la que la mayor distancia encontrada sería: c) máxima (obtenemos el punto en C más alejado de P), d ) mínimo. Entonces, obtenemos cuatro valores estacionarios diferentes para la distancia del punto toroide C desde el punto P .

Arroz. 195–196. Distancia del punto a la superficie

El ejercicio. Repita el mismo argumento para otro tipo L0 de una curva cerrada en C, que tampoco se puede contraer a un punto (Fig. 196).

Definiciones:

extremo nombrar el valor máximo o mínimo de una función en un conjunto dado.

punto extremo es el punto en el que se alcanza el valor máximo o mínimo de la función.

Punto máximo es el punto en el que se alcanza el valor máximo de la función.

Punto bajo es el punto en el que se alcanza el valor mínimo de la función.

Explicación.

En la figura, en la vecindad del punto x = 3, la función alcanza su valor máximo (es decir, en la vecindad de este punto en particular, no hay un punto más alto). En la vecindad de x = 8, nuevamente tiene un valor máximo (nuevamente, aclaremos: es en esta vecindad donde no hay ningún punto arriba). En estos puntos, el aumento se reemplaza por una disminución. Son puntos máximos:

xmáx = 3, xmáx = 8.

En las proximidades del punto x = 5 se alcanza el valor mínimo de la función (es decir, en las proximidades de x = 5 no hay ningún punto por debajo). En este punto, la disminución es reemplazada por un aumento. Es el punto mínimo:

Los puntos máximo y mínimo son puntos extremos de la función, y los valores de la función en estos puntos son sus extremos.

Puntos críticos y estacionarios de la función:

Condición necesaria extremo:

Condición suficiente para un extremum:

En el segmento, la función y = F(X) puede alcanzar su valor mínimo o máximo en puntos críticos o en los extremos del segmento .

Algoritmo para estudiar una función continuay = F(X) para monotonicidad y extremos:

Puntos estacionarios de una función. Una condición necesaria para un extremo local de una función.

La primera condición suficiente para un extremo local

La segunda y tercera condiciones suficientes para un extremo local

Los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento

Funciones convexas y puntos de inflexión

1. Puntos estacionarios de una función. Una condición necesaria para un extremo local de una función.

Definición 1 . Deje que la función se defina en
. Punto se llama el punto estacionario de la función
, si
diferenciado en un punto Y
.

Teorema 1 (condición necesaria para un extremo local de una función) . Deja que la función
determinado en
y tiene en el punto
extremo local. Entonces se cumple una de las siguientes condiciones:

Así, para encontrar puntos sospechosos de un extremo, es necesario encontrar puntos estacionarios de la función y puntos en los que la derivada de la función no existe, pero que pertenecen al dominio de la función.

Ejemplo . Permitir
. Encuentre puntos para él que sean sospechosos para un extremo. Para resolver el problema, en primer lugar, encontramos el dominio de la función:
. Ahora hallamos la derivada de la función:

Puntos donde la derivada no existe:
. Puntos de función estacionarios:

porque y
, Y
pertenecen al dominio de la definición de la función, entonces ambos serán sospechosos de un extremo. Pero para concluir si realmente habrá un extremum, es necesario aplicar condiciones suficientes para el extremum.

2. Primera condición suficiente para un extremo local

Teorema 1 (primera condición suficiente para un extremo local) . Deja que la función
determinado en
y se diferencia en este intervalo en todas partes, excepto posiblemente en el punto
, pero en este punto función
es continuo Si existen tales semivecindades derecha e izquierda de un punto , en cada uno de los cuales
conserva cierto signo, entonces

1) función
tiene un extremo local en el punto , si
toma valores de distintos signos en los semibarrios correspondientes;

2) función
no tiene un extremo local en el punto , si a la derecha y a la izquierda del punto
tiene el mismo signo.

Prueba . 1) Supongamos que en un semi-barrio
derivado
, y en

.

Así en el punto función
tiene un extremo local, a saber, un máximo local, que debía probarse.

2) Supongamos que a la izquierda y a la derecha del punto la derivada conserva su signo, por ejemplo,
. entonces en
Y
función
estrictamente monótonamente creciente, es decir:

Así, el extremo en el punto función
no lo hace, lo cual debía probarse.

Observación 1 . Si la derivada
al pasar por un punto cambia el signo de "+" a "-", luego en el punto función
tiene un máximo local, y si el signo cambia de "-" a "+", entonces un mínimo local.

Observación 2 . Una condición importante es la continuidad de la función.
en el punto . Si esta condición no se cumple, entonces el Teorema 1 puede no cumplirse.

Ejemplo . Se considera la función (Fig. 1):

Esta función se define en y es continua en todas partes excepto en el punto
, donde tiene una discontinuidad removible. Al pasar por un punto

cambia el signo de "-" a "+", pero la función no tiene un mínimo local en este punto, pero tiene un máximo local por definición. De hecho, cerca del punto
es posible construir una vecindad tal que para todos los argumentos de esta vecindad los valores de la función sean menores que el valor
. El teorema 1 no funcionó porque en el punto
la función tuvo un descanso.

Observación 3 . La primera condición extrema local suficiente no se puede utilizar cuando la derivada de la función
cambia de signo en cada semibarrio izquierdo y derecho del punto .

Ejemplo . La función que se considera es:

En la medida en
, luego
, y por lo tanto
, pero
. De este modo:

,

esos. en el punto
función
tiene un mínimo local por definición. Veamos si aquí funciona la primera condición suficiente para un extremo local.

Para
:

Para el primer término del lado derecho de la fórmula resultante, tenemos:

,

y por tanto en una pequeña vecindad del punto
el signo de la derivada está determinado por el signo del segundo término, es decir:

,

lo que significa que en cualquier vecindad del punto

tomará valores tanto positivos como negativos. De hecho, considere una vecindad arbitraria del punto
:
. Cuándo

,

luego

(Fig. 2), y cambia su signo aquí infinitas veces. Por lo tanto, la primera condición suficiente para un extremo local no se puede utilizar en el ejemplo anterior.