Un sistema de coordenadas rectangular en un plano está formado por dos ejes de coordenadas X'X e Y'Y mutuamente perpendiculares. Los ejes de coordenadas se cruzan en el punto O, que se llama origen, cada eje tiene una dirección positiva. La dirección positiva de los ejes (en el sistema de coordenadas de la derecha) se elige de modo que cuando el eje X'X se gira en sentido antihorario por 90 °, su dirección positiva coincide con la dirección positiva del eje Y'Y. Los cuatro ángulos (I, II, III, IV) formados por los ejes coordenados X'X e Y'Y se denominan ángulos coordenados (ver Fig. 1).
La posición del punto A en el plano está definida por dos coordenadas xey. La coordenada x es igual a la longitud del segmento OB, la coordenada y es la longitud del segmento OC en las unidades seleccionadas. Los segmentos OB y OC están definidos por líneas trazadas desde el punto A paralelo a los ejes Y'Y y X'X, respectivamente. La coordenada x se llama abscisa del punto A, la coordenada y es la ordenada del punto A. Escribe como: A (x, y).
Si el punto A se encuentra en el ángulo coordenado I, entonces el punto A tiene abscisas y ordenadas positivas. Si el punto A se encuentra en el ángulo de coordenadas II, entonces el punto A tiene una abscisa negativa y una ordenada positiva. Si el punto A se encuentra en el ángulo coordenado III, entonces el punto A tiene abscisas y ordenadas negativas. Si el punto A se encuentra en el ángulo de coordenadas IV, entonces el punto A tiene una abscisa positiva y una ordenada negativa.
Sistema de coordenadas rectangulares en el espacio formado por tres ejes de coordenadas OX, OY y OZ mutuamente perpendiculares. Los ejes de coordenadas se cruzan en el punto O, que se denomina origen de coordenadas, en cada eje se selecciona la dirección positiva indicada por las flechas y la unidad de medida de los segmentos de línea en los ejes. Las unidades son las mismas para todos los ejes. OX - eje de abscisas, OY - eje de ordenadas, OZ - eje de aplicación. La dirección positiva de los ejes se elige de modo que cuando el eje OX se gira en sentido antihorario 90 °, su dirección positiva coincide con la dirección positiva del eje OY, si esta rotación se observa desde la dirección positiva del eje OZ. Este sistema de coordenadas se llama diestro. Si se toma el pulgar de la mano derecha para la dirección X, el dedo índice para la dirección Y y el dedo medio para la dirección Z, entonces se forma un sistema de coordenadas a la derecha. El sistema de coordenadas de la izquierda está formado por dedos análogos de la mano izquierda. Los sistemas de coordenadas derecho e izquierdo no se pueden alinear para que coincidan los ejes correspondientes (ver Fig. 2).
La posición del punto A en el espacio está determinada por tres coordenadas x, y y z. La coordenada x es igual a la longitud del segmento OB, la coordenada y es la longitud del segmento OC y la coordenada z es la longitud del segmento OD en las unidades seleccionadas. Los segmentos OB, OC y OD están definidos por planos trazados desde el punto A paralelo a los planos YOZ, XOZ y XOY, respectivamente. La coordenada x se llama abscisa del punto A, la coordenada y es la ordenada del punto A y la coordenada z es la aplicada del punto A. Escriba lo siguiente: A (a, b, c).
Orty
Un sistema de coordenadas rectangular (de cualquier dimensión) también se describe mediante un conjunto de vectores unitarios codirigidos con los ejes de coordenadas. El número de vectores unitarios es igual a la dimensión del sistema de coordenadas y todos son perpendiculares entre sí.
En el caso tridimensional, tales vectores unitarios generalmente se denotan I j k o mi X mi y mi z. En este caso, en el caso de un sistema de coordenadas diestro, son válidas las siguientes fórmulas con un producto vectorial de vectores:
- [I j]=k ;
- [j k]=I ;
- [k I]=j .
Historia
Por primera vez, Rene Descartes introdujo un sistema de coordenadas rectangulares en su obra "Discurso sobre el método" en 1637. Por lo tanto, el sistema de coordenadas rectangulares también se llama - sistema de coordenadas Cartesianas... El método de coordenadas para describir objetos geométricos sentó las bases de la geometría analítica. Pierre Fermat también contribuyó al desarrollo del método de coordenadas, pero sus trabajos se publicaron por primera vez después de su muerte. Descartes y Fermat utilizaron el método de coordenadas solo en el plano.
El método de coordenadas para el espacio tridimensional fue aplicado por primera vez por Leonard Euler ya en el siglo XVIII.
ver también
Enlaces
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Vea qué es el "sistema de coordenadas cartesianas" en otros diccionarios:
SISTEMA DE COORDENADAS DECARTIANAS, un sistema de coordenadas rectilíneas en un plano o en el espacio (generalmente con ejes mutuamente perpendiculares y las mismas escalas a lo largo de los ejes). El nombre de R. Descartes (ver René DECART). Descartes presentó por primera vez ... ... diccionario enciclopédico
SISTEMA DE COORDENADAS DECARTIANAS- un sistema de coordenadas rectangular en un plano o en el espacio, en el que las escalas a lo largo de los ejes son las mismas y los ejes de coordenadas son mutuamente perpendiculares. D. s. K. denotado por las letras x:, y para un punto en el plano o x, y, z para un punto en el espacio. (Cm.… …
EL SISTEMA DE COORDENADAS DE DECARD, un sistema introducido por Rene DECARTE, en el que la posición de un punto está determinada por la distancia desde él a las líneas (ejes) que se cruzan entre sí. En la versión más simple del sistema, los ejes (indicados como xey) son perpendiculares ... ... Diccionario enciclopédico científico y técnico
sistema de coordenadas Cartesianas
Un sistema de coordenadas rectilíneas (ver Coordenadas) en un plano o en el espacio (generalmente con las mismas escalas a lo largo de los ejes). El propio R. Descartes en "Geometría" (1637) utilizó sólo un sistema de coordenadas en un plano (en general, oblicuo). A menudo… … Gran enciclopedia soviética
Un conjunto de definiciones que implementa un método de coordenadas, es decir, una forma de determinar la posición de un punto o cuerpo usando números u otros símbolos. La colección de números que determinan la posición de un punto en particular se llama coordenadas de ese punto. En ... ... Wikipedia
sistema cartesiano- Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Sistema cartesiano; Sistema cartesiano de coordenadas vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Sistema cartesiano, f; Sistema cartesiano ... ... Fizikos terminų žodynas
SISTEMA COORDINADO- un conjunto de condiciones que determinan la posición de un punto en una línea recta, en un plano, en el espacio. Hay varios S. a: cartesianos, oblicuos, cilíndricos, esféricos, curvilíneos, etc. Magnitudes lineales y angulares que determinan la posición ... ... Gran Enciclopedia Politécnica
Sistema de coordenadas rectilíneas ortonormales en el espacio euclidiano. D. p. Con. Dado que en el plano está establecido por dos ejes rectos de coordenadas mutuamente perpendiculares, en cada uno de ellos se elige una dirección positiva y un segmento de la unidad ... Enciclopedia de las matemáticas
Un sistema de coordenadas rectangular es un sistema de coordenadas rectilíneo con ejes mutuamente perpendiculares en un plano o en el espacio. El sistema de coordenadas más simple y, por lo tanto, el más utilizado. Es muy fácil y sencillo generalizar para ... ... Wikipedia
Libros
- Dinámica de fluidos computacional. Bases teóricas. Guía de estudio, Pavlovsky Valery Alekseevich, Nikushchenko Dmitry Vladimirovich. El libro está dedicado a una presentación sistemática de los fundamentos teóricos para la formulación de problemas de modelado matemático de flujos de líquidos y gases. Se presta especial atención a las cuestiones de construcción ...
Determinar la posición de un punto en el espacio
Entonces, la posición de cualquier punto en el espacio se puede determinar solo en relación con algunos otros puntos. El punto relativo al cual se considera la posición de otros puntos se llama punto de referencia ... También usaremos otro nombre para el punto de referencia: punto de observación ... Por lo general, un punto de referencia (o punto de observación) está asociado con algún tipo de sistema coordinado que ellos llaman marco de referencia. En el marco de referencia seleccionado, la posición de CADA punto está determinada por TRES coordenadas.
Sistema de coordenadas cartesiano (o rectangular) de la derecha
Este sistema de coordenadas consta de tres líneas rectas dirigidas perpendiculares entre sí, también llamadas ejes de coordenadas intersección en un punto (origen). El punto de origen suele estar indicado por la letra O.
Los ejes de coordenadas se denominan:
1. El eje de abscisas se designa como OX;
2. Eje Y - denotado como OY;
3. Eje de aplicación - denotado como OZ
Ahora expliquemos por qué este sistema de coordenadas se llama diestro. Miremos el plano XOY desde la dirección positiva del eje OZ, por ejemplo desde el punto A, como se muestra en la figura.
Supongamos que comenzamos a rotar el eje OX alrededor del punto O. Entonces, el sistema de coordenadas correcto tiene una propiedad tal que si miramos el plano XOY desde cualquier punto en el semiaeje positivo OZ (tenemos este punto A), entonces, al girar el eje OX 90 en sentido antihorario, su dirección positiva coincidirá con la dirección positiva del eje OY.
Esta decisión se tomó en el mundo científico, pero tenemos que aceptarla tal como es.
Entonces, después de haber decidido un sistema de referencia (en nuestro caso, un sistema de coordenadas cartesiano de la derecha), la posición de cualquier punto se describe a través de los valores de sus coordenadas, o en otras palabras, a través de los valores de las proyecciones de este punto sobre el eje de coordenadas.
Está escrito así: A (x, y, z), donde x, y, z son las coordenadas del punto A.
Se puede pensar en un sistema de coordenadas rectangular como las líneas de intersección de tres planos mutuamente perpendiculares.
Cabe señalar que puede orientar un sistema de coordenadas rectangulares en el espacio como desee, y solo se debe cumplir una condición: el origen de las coordenadas debe coincidir con el origen (o punto de observación).
Sistema de coordenadas esféricas
La posición de un punto en el espacio se puede describir de otra manera. Supongamos que hemos elegido una región del espacio en la que se encuentra el punto de referencia O (o punto de observación), y también conocemos la distancia desde el punto de referencia a algún punto A. Conectemos estos dos puntos de la línea recta OA. Esta línea se llama vector de radio y denotado como r... Todos los puntos que tienen el mismo valor del vector de radio se encuentran en la esfera, cuyo centro está en el origen (o punto de observación), y el radio de esta esfera es, respectivamente, el vector de radio.
Por lo tanto, nos resulta obvio que conocer la magnitud del vector de radio no nos da una respuesta inequívoca sobre la posición del punto de interés para nosotros. Necesitamos DOS coordenadas más, porque para determinar unívocamente la ubicación de un punto, el número de coordenadas debe ser igual a TRES.
A continuación, procederemos de la siguiente manera: construiremos dos planos mutuamente perpendiculares que, naturalmente, darán una línea de intersección, y esta línea será infinita, porque los planos en sí no están limitados por nada. Establezcamos un punto en esta línea y designémoslo, por ejemplo, como punto O1. Ahora combinemos este punto O1 con el centro de la esfera - punto O y veamos qué sucede.
Y el resultado es una imagen muy interesante:
Tanto uno como el otro avión central aviones.
La intersección de estos planos con la superficie de la esfera denotará grande circulos
Uno de estos círculos, arbitrariamente, lo llamaremos ECUADOR entonces se llamará otro círculo EL MERIDIANO PRINCIPAL.
La línea de intersección de dos planos determinará de manera única la dirección LÍNEA DEL MERIDIANO PRINCIPAL.
Los puntos de intersección de la línea del meridiano principal con la superficie de la esfera se denotarán como M1 y M2.
A través del centro de la esfera, punto O en el plano del meridiano principal, trazar una línea recta perpendicular a la línea del meridiano principal. Esta línea se llama EJE POLAR .
El eje polar cruzará la superficie de la esfera en dos puntos, que se denominan LOS POLOS DE LA ESFERA. Designemos estos puntos como Р1 y Р2.
Determinar las coordenadas de un punto en el espacio
Ahora consideraremos el proceso de determinar las coordenadas de un punto en el espacio, así como también daremos nombres a estas coordenadas. Para completar, al determinar la posición de un punto, indicaremos las direcciones principales desde las que se cuentan las coordenadas, así como la dirección positiva al contar.
1. Establezca la posición en el espacio del punto de referencia (o punto de observación). Designemos este punto con la letra O.
2. Construya una esfera cuyo radio sea igual a la longitud del vector de radio del punto A. (El vector de radio del punto A es la distancia entre los puntos O y A). El centro de la esfera se encuentra en el punto de referencia O.
3. Establecemos la posición en el espacio del plano del ECUADOR y, en consecuencia, el plano del MERIDIANO PRINCIPAL. Cabe recordar que estos planos son mutuamente perpendiculares y centrales.
4. La intersección de estos planos con la superficie de la esfera determina la posición del círculo ecuatorial, el círculo del meridiano principal, así como la dirección de la línea del meridiano principal y el eje polar.
5. Determine la posición de los polos del eje polar y los polos de la línea del meridiano principal. (Los polos del eje polar son los puntos de intersección del eje polar con la superficie de la esfera. Los polos de la línea del meridiano principal son los puntos de intersección de la línea del meridiano principal con la superficie de la esfera).
6. A través del punto A y el eje polar construimos un plano, al que llamaremos el plano del meridiano del punto A. Cuando este plano se cruza con la superficie de la esfera, obtenemos un gran círculo, al que llamaremos MERIDIANO. del punto A.
7. El meridiano del punto A intersecará el círculo del ECUADOR en algún punto, que denotamos como E1.
8. La posición del punto E1 en el círculo ecuatorial está determinada por la longitud del arco entre los puntos M1 y E1. La cuenta regresiva es en sentido antihorario. El arco del círculo ecuatorial encerrado entre los puntos M1 y E1 se llama punto LARGO A. La longitud se denota con la letra .
Resumamos el resultado intermedio. Por el momento, conocemos DOS de TRES coordenadas que describen la posición del punto A en el espacio; este es el vector de radio (r) y la longitud (). Ahora definiremos la tercera coordenada. Esta coordenada está determinada por la posición del punto A en su meridiano. Pero la posición del punto de partida desde el que se realiza el recuento no está determinada de forma unívoca: podemos empezar a contar tanto desde el polo de la esfera (punto P1) como desde el punto E1, es decir, desde el punto de intersección de las líneas meridianas. del punto A y el ecuador (o en otras palabras, desde la línea del ecuador).
En el primer caso, la posición del punto A en el meridiano se llama DISTANCIA POLAR (denotada como R) y se determina por la longitud del arco entre el punto P1 (o el punto polar de la esfera) y el punto A. El recuento se realiza a lo largo de la línea del meridiano desde el punto P1 al punto A.
En el segundo caso, cuando la cuenta es desde la línea del ecuador, la posición del punto A en la línea del meridiano se llama LATITUD (denotada como y está determinada por la longitud del arco entre el punto E1 y el punto A.
Ahora finalmente podemos decir que la posición del punto A en un sistema de coordenadas esféricas se determina mediante:
La longitud del radio de la esfera (r),
La longitud del arco de longitud (),
Longitud del arco de la distancia polar (p)
En este caso, las coordenadas del punto A se escribirán de la siguiente manera: A (r, , p)
Si usamos un marco de referencia diferente, entonces la posición del punto A en un sistema de coordenadas esféricas se determina mediante:
La longitud del radio de la esfera (r),
La longitud del arco de longitud (),
Latitud de la longitud del arco ()
En este caso, las coordenadas del punto A se escribirán de la siguiente manera: A (r, , )
Métodos de medición de arco
Surge la pregunta: ¿cómo medimos estos arcos? La forma más sencilla y natural es medir directamente las longitudes de los arcos con una regla flexible, y esto es posible si las dimensiones de la esfera son comparables a las dimensiones de una persona. Pero, ¿qué hacer si esta condición no es factible?
En este caso, recurriremos a la medición de la longitud de arco RELATIVA. Como estándar, tomaremos la circunferencia, parte que es el arco que nos interesa. ¿Cómo puedo hacer eso?
Construcción de un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas
en la superficie
El sistema de coordenadas rectangulares cartesianas en el plano está formado por dos ejes de coordenadas perpendiculares entre sí. BUEY 1 y BUEY 2 que se cruzan en el punto O, llamado origen (Fig. 1). En cada eje, se selecciona la dirección positiva indicada por las flechas y la unidad de medida para los segmentos de línea en los ejes. Las unidades suelen ser las mismas para todos los ejes (lo cual es opcional). V diestro el sistema de coordenadas, la dirección positiva de los ejes se elige de modo que cuando la dirección del eje es BUEY 2 arriba, eje BUEY 1 miró a la derecha. BUEY 1 - eje de abscisas, BUEY 2 es el eje de ordenadas. Cuatro esquinas (I, II, III, IV) formadas por los ejes de coordenadas BUEY 1 y BUEY 2 , se llaman ángulos coordenados o cuadrantes.
Punto B A en el eje de coordenadas BUEY 1 ;
Punto C- proyección ortogonal de un punto A en el eje de coordenadas BUEY 2 ;
Construcción de un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas en el espacio
El sistema de coordenadas rectangulares cartesianas en el espacio está formado por tres ejes de coordenadas perpendiculares entre sí. BUEY, OY y ONZ... Los ejes de coordenadas se intersecan en un punto O, que se denomina origen, en cada eje se selecciona la dirección positiva indicada por las flechas y la unidad de medida de los segmentos de línea en los ejes. Las unidades suelen ser las mismas para todos los ejes (lo cual es opcional). BUEY- eje de abscisas, OY- eje de ordenadas, ONZ- el eje del aplicador.
Si el pulgar derecho se toma como dirección X, índice - para dirección Y y el del medio - para la dirección Z, entonces se forma Derecha sistema coordinado. El sistema de coordenadas de la izquierda está formado por dedos análogos de la mano izquierda. En otras palabras, la dirección positiva de los ejes se elige de modo que cuando se gira el eje BUEY 90 ° en sentido antihorario, su dirección positiva coincide con la dirección positiva del eje OY, si esta rotación se observa desde el lado de la dirección positiva del eje ONZ... Es imposible combinar los sistemas de coordenadas derecho e izquierdo para que coincidan los ejes correspondientes (Fig. 2). Punto F- proyección ortogonal de un punto A en el plano de coordenadas OXY; Punto mi- proyección ortogonal de un punto A en el plano de coordenadas OYZ; Punto GRAMO- proyección ortogonal de un punto A en el plano de coordenadas BUEY Z ;
Representación de diseño de un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas en el espacio mostrado en las Figuras 3, 4 y 5.
Determinación de las coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas
La cuestión principal de cualquier sistema de coordenadas es la cuestión de determinar las coordenadas de un punto ubicado en su plano o espacio.
Determinar las coordenadas de un punto en el plano del sistema de coordenadas cartesiano
Posición del punto A en el plano está definido por dos coordenadas - X y y (figura 5). Coordinar X igual a la longitud del segmento transmisión exterior, coordinar y - la longitud del segmento jefe en las unidades seleccionadas. Segmentos transmisión exterior y jefe definido por líneas dibujadas desde el punto A paralelo a los ejes OY y BUEY respectivamente. Coordinar X llamada abscisa (lat. abscisa- segmento), coordinar y - ordenada (lat. ordenadas- dispuestos en orden) puntos A... Escrito así:
Si el punto A se encuentra en el ángulo coordenado I, entonces tiene una abscisa positiva y una ordenada. Si el punto A se encuentra en el ángulo coordenado II, entonces - abscisa negativa y ordenada positiva. Si el punto A se encuentra en el ángulo coordenado III, entonces tiene abscisas y ordenadas negativas. Si el punto A se encuentra en el ángulo de coordenadas IV, entonces - una abscisa positiva y una ordenada negativa.
Así es como se definen las coordenadas en el sistema de coordenadas cartesianas en el plano.
Un sistema de coordenadas rectangulares en el espacio se llama triplete de ejes mutuamente perpendiculares que se cruzan en un punto O, llamado origen.
Los ejes de coordenadas generalmente se indican con letras y se denominan, respectivamente, eje de abscisas, eje de ordenadas, eje de aplicación o eje Oy, eje (Fig. 33).
Los vectores unitarios de las coordenadas de los ejes Ox, Oy, Oz se indican, respectivamente, o utilizaremos principalmente la última designación.
Se hace una distinción entre los sistemas de coordenadas derecho e izquierdo.
El sistema de coordenadas se llama diestro, si desde el final del tercer orto hasta el giro del primer orto al segundo, se considera que ocurre contra la manecilla del reloj (Fig. 34, a).
El sistema de coordenadas se denomina zurdo si desde el extremo del tercer eje unitario se ve que la rotación desde la primera unidad unitaria a la segunda unidad unitaria va en el sentido de las agujas del reloj (Fig. 34, b).
Por lo tanto, si el tornillo se atornilla en la dirección del vector k, girándolo desde, entonces, en el caso del sistema derecho, la rosca debe ser derecha y, en el caso del sistema izquierdo, izquierda (Fig.35).
Muchas posiciones del álgebra vectorial no dependen de si usamos un sistema de coordenadas derecho o izquierdo. Sin embargo, a veces esta circunstancia importa. En lo que sigue, siempre usaremos el sistema de coordenadas de la mano derecha, como es habitual en física.