Comenzamos nuestro estudio de trigonometría con un triángulo rectángulo. Definamos qué son el seno y el coseno, así como la tangente y la cotangente de un ángulo agudo. Estos son los fundamentos de la trigonometría.
Recordar que ángulo recto es un ángulo igual a 90 grados. En otras palabras, la mitad de la esquina desplegada.
Esquina filosa- menos de 90 grados.
Ángulo obtuso- mayor de 90 grados. En relación con tal ángulo, "contundente" no es un insulto, sino un término matemático :-)
Dibujemos un triángulo rectángulo. Generalmente se denota un ángulo recto. Tenga en cuenta que el lado opuesto a la esquina se denota con la misma letra, solo que pequeña. Entonces, se denota el lado opuesto al ángulo A.
Un ángulo se denota con la letra griega correspondiente.
Hipotenusa Un triángulo rectángulo es el lado opuesto al ángulo recto.
Piernas- lados opuestos esquinas agudas.
El cateto opuesto a la esquina se llama opuesto(relativo al ángulo). La otra pierna, que se encuentra a un lado de la esquina, se llama adyacente.
Seno El ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:
Cosenoángulo agudo en un triángulo rectángulo - la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Tangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el cateto opuesto y el adyacente:
Otra definición (equivalente): la tangente de un ángulo agudo es la relación entre el seno de un ángulo y su coseno:
Cotangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el cateto adyacente y el opuesto (o, de manera equivalente, la relación entre el coseno y el seno):
Preste atención a las proporciones básicas para seno, coseno, tangente y cotangente, que se dan a continuación. Nos serán útiles para resolver problemas.
Probemos algunos de ellos.
Bien, hemos dado definiciones y fórmulas escritas. Pero, ¿por qué necesitamos seno, coseno, tangente y cotangente?
Lo sabemos la suma de los angulos de cualquier triangulo es.
Conocemos la relación entre fiestas triángulo rectángulo. Este es el teorema de Pitágoras: .
Resulta que conociendo dos ángulos en un triángulo, puedes encontrar el tercero. Conociendo dos lados en un triángulo rectángulo, puedes encontrar el tercero. Entonces, para los ángulos, su proporción, para los lados, los suyos. Pero, ¿qué hacer si en un triángulo rectángulo se conocen un ángulo (excepto el recto) y un lado, pero necesita encontrar otros lados?
Esto es a lo que se enfrentaba la gente en el pasado, haciendo mapas de la zona y del cielo estrellado. Después de todo, no siempre es posible medir directamente todos los lados de un triángulo.
Seno, coseno y tangente - también se les llama funciones trigonométricas del ángulo- dar la razón entre fiestas y esquinas triángulo. Conociendo el ángulo, puedes encontrar todas sus funciones trigonométricas usando tablas especiales. Y conociendo los senos, cosenos y tangentes de los ángulos de un triángulo y uno de sus lados, puedes encontrar el resto.
También dibujaremos una tabla de valores de seno, coseno, tangente y cotangente para ángulos "buenos" de a.
Observe los dos guiones rojos en la tabla. Para los valores correspondientes de los ángulos, la tangente y la cotangente no existen.
Analicemos varios problemas de trigonometría del Banco de tareas FIPI.
1. En un triángulo, el ángulo es , . Encontrar .
El problema se resuelve en cuatro segundos.
En la medida en , .
2. En un triángulo, el ángulo es , , . Encontrar .
Hallemos por el teorema de Pitágoras.
Problema resuelto.
A menudo, en los problemas hay triángulos con ángulos y o con ángulos y . ¡Memoriza las proporciones básicas para ellos de memoria!
Para un triángulo con ángulos y el cateto opuesto al ángulo en es igual a la mitad de la hipotenusa.
Un triángulo con ángulos y es isósceles. En él, la hipotenusa es veces más grande que el cateto.
Consideramos problemas para resolver triángulos rectángulos, es decir, para encontrar lados o ángulos desconocidos. ¡Pero eso no es todo! En las variantes del examen de matemáticas, existen muchas tareas donde aparece el seno, coseno, tangente o cotangente del ángulo exterior del triángulo. Más sobre esto en el siguiente artículo.
Preguntas más frecuentes
¿Es posible hacer un sello en un documento de acuerdo con la muestra proporcionada? Respuesta Si es posible. Envíe una copia escaneada o una foto de buena calidad a nuestra dirección de correo electrónico y le haremos el duplicado necesario.
¿Qué tipos de pago se aceptan?
Respuesta Puede pagar el documento en el momento de la recepción por parte del servicio de mensajería, después de verificar la corrección del llenado y la calidad del diploma. Esto también se puede hacer en la oficina de las empresas postales que ofrecen servicios de pago contra reembolso.
Todos los términos de entrega y pago de documentos se describen en la sección "Pago y Entrega". También estamos dispuestos a escuchar sus sugerencias sobre las condiciones de entrega y pago del documento.
¿Puedo estar seguro de que después de realizar un pedido no desaparecerá con mi dinero? Respuesta Tenemos una experiencia bastante larga en el campo de la producción de diplomas. Tenemos varios sitios que se actualizan constantemente. Nuestros especialistas trabajan en diferentes partes del país, produciendo más de 10 documentos al día. A lo largo de los años, nuestros documentos han ayudado a muchas personas a resolver sus problemas de empleo o cambiar a trabajos mejor pagados. Nos hemos ganado la confianza y el reconocimiento de los clientes, por lo que no hay absolutamente ninguna razón para que hagamos esto. Es más, es sencillamente imposible hacerlo físicamente: pagas tu pedido en el momento de recibirlo en tus manos, no hay prepago.
¿Puedo solicitar un diploma de cualquier universidad? Respuesta En general, sí. Llevamos casi 12 años trabajando en este ámbito. Durante este tiempo se ha conformado una base de datos casi completa de documentos emitidos por casi todas las universidades del país y para diferentes años de emisión. Todo lo que necesita es elegir una universidad, especialidad, documento y completar un formulario de pedido.
¿Qué debo hacer si encuentro errores tipográficos y errores en un documento?
Respuesta Al recibir un documento de nuestra empresa de mensajería o correo, le recomendamos que revise cuidadosamente todos los detalles. Si se encuentra una errata, error o inexactitud, tiene derecho a no tomar el diploma, y debe indicar las deficiencias encontradas personalmente al mensajero o por escrito mediante el envío de un correo electrónico.
Tan pronto como sea posible, corregiremos el documento y lo reenviaremos a la dirección especificada. Por supuesto, el envío correrá a cargo de nuestra empresa.
Para evitar tales malentendidos, antes de completar el formulario original, enviamos un diseño del futuro documento al correo del cliente para la verificación y aprobación de la versión final. Antes de enviar el documento por mensajería o correo, también tomamos una foto y un video adicionales (incluso en luz ultravioleta) para que tenga una idea visual de lo que obtendrá al final.
¿Qué debe hacer para solicitar un diploma de su empresa?
Respuesta Para solicitar un documento (certificado, diploma, certificado académico, etc.), debe completar un formulario de pedido en línea en nuestro sitio web o proporcionar su correo electrónico para que le enviemos un formulario de cuestionario, que debe completar y enviar De vuelta a nosotros.
Si no sabe qué indicar en algún campo del formulario de pedido/cuestionario, déjelos en blanco. Por lo tanto, aclararemos toda la información que falta por teléfono.
Últimas revisiones
Alexei:
Necesitaba obtener un diploma para conseguir un trabajo como gerente. Y lo más importante, tengo experiencia y habilidades, pero sin un documento no puedo, conseguiré un trabajo en cualquier lugar. Una vez en su sitio, todavía decidí comprar un diploma. ¡El diploma se completó en 2 días! ¡Ahora tengo un trabajo que nunca antes soñé! ¡Gracias!
En este artículo, vamos a echar un vistazo completo a . Las identidades trigonométricas básicas son igualdades que establecen una relación entre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo, y permiten encontrar cualquiera de estas funciones trigonométricas a través de otra conocida.
Inmediatamente enumeramos las principales identidades trigonométricas, que analizaremos en este artículo. Las anotamos en una tabla, ya continuación damos la derivación de estas fórmulas y damos las explicaciones necesarias.
Navegación de página.
Relación entre el seno y el coseno de un ángulo
A veces no hablan de las identidades trigonométricas básicas enumeradas en la tabla anterior, sino de una sola identidad trigonométrica básica amable 
. La explicación de este hecho es bastante sencilla: las igualdades se obtienen a partir de la identidad trigonométrica básica después de dividir ambas partes por y respectivamente, y las igualdades 
y 
se derivan de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. Hablaremos de esto con más detalle en los siguientes párrafos.
Es decir, es la igualdad la que tiene especial interés, a la que se le dio el nombre de identidad trigonométrica principal.
Antes de probar la identidad trigonométrica básica, damos su formulación: la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es idénticamente igual a uno. Ahora demostrémoslo.
La identidad trigonométrica básica se usa muy a menudo en transformación de expresiones trigonométricas. Permite reemplazar la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo por uno. No menos a menudo, la identidad trigonométrica básica se usa en orden inverso: la unidad se reemplaza por la suma de los cuadrados del seno y el coseno de cualquier ángulo.
Tangente y cotangente a través de seno y coseno
Identidades que conectan la tangente y la cotangente con el seno y el coseno de un ángulo de la forma y 
se siguen inmediatamente de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. De hecho, por definición, el seno es la ordenada de y, el coseno es la abscisa de x, la tangente es la razón de la ordenada a la abscisa, es decir, 
, y la cotangente es la razón de la abscisa a la ordenada, es decir, 
.
Debido a esta obviedad de las identidades y a menudo, las definiciones de tangente y cotangente no se dan a través de la razón de la abscisa y la ordenada, sino a través de la razón del seno y el coseno. Entonces, la tangente de un ángulo es la razón del seno al coseno de este ángulo, y la cotangente es la razón del coseno al seno.
Para concluir este apartado, cabe señalar que las identidades y vale para todos los ángulos para los que las funciones trigonométricas en ellos tienen sentido. Entonces, la fórmula es válida para cualquier otra cosa que no sea (de lo contrario, el denominador será cero y no definimos la división por cero), y la fórmula - para todo , diferente de , donde z es cualquiera .
Relación entre tangente y cotangente
Una identidad trigonométrica aún más obvia que las dos anteriores es la identidad que conecta la tangente y la cotangente de un ángulo de la forma . Está claro que tiene lugar para cualquier ángulo que no sea , de lo contrario, la tangente o la cotangente no están definidas.
Prueba de la fórmula muy simple. Por definición y de donde 
. La prueba podría haberse realizado de una manera ligeramente diferente. Desde y , entonces 
.
Entonces, la tangente y la cotangente de un ángulo, en el que tienen sentido, es.
Las relaciones entre las principales funciones trigonométricas - seno, coseno, tangente y cotangente - se dan fórmulas trigonométricas. Y dado que hay bastantes conexiones entre las funciones trigonométricas, esto también explica la abundancia de fórmulas trigonométricas. Algunas fórmulas conectan las funciones trigonométricas de un mismo ángulo, otras - las funciones de un ángulo múltiple, otras - te permiten bajar el grado, la cuarta - para expresar todas las funciones a través de la tangente de un medio ángulo, etc.
En este artículo enumeramos en orden todas las fórmulas trigonométricas básicas, que son suficientes para resolver la gran mayoría de los problemas de trigonometría. Para facilitar la memorización y el uso, los agruparemos según su propósito y los ingresaremos en tablas.
Navegación de página.
Identidades trigonométricas básicas
Identidades trigonométricas básicas establecer la relación entre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo. Se derivan de la definición de seno, coseno, tangente y cotangente, así como del concepto de círculo unitario. Te permiten expresar una función trigonométrica a través de cualquier otra.
Para una descripción detallada de estas fórmulas de trigonometría, su derivación y ejemplos de aplicación, consulte el artículo.
Fórmulas de reparto
Fórmulas de reparto se derivan de las propiedades de seno, coseno, tangente y cotangente, es decir, reflejan la propiedad de periodicidad de las funciones trigonométricas, la propiedad de simetría y también la propiedad de desplazamiento en un ángulo dado. Estas fórmulas trigonométricas le permiten pasar de trabajar con ángulos arbitrarios a trabajar con ángulos que van de cero a 90 grados.
El fundamento de estas fórmulas, una regla mnemotécnica para memorizarlas y ejemplos de su aplicación se pueden estudiar en el artículo.
fórmulas de adición
Fórmulas de suma trigonométrica Muestre cómo las funciones trigonométricas de la suma o diferencia de dos ángulos se expresan en términos de las funciones trigonométricas de estos ángulos. Estas fórmulas sirven como base para la derivación de las siguientes fórmulas trigonométricas.
Fórmulas para el doble, el triple, etc. esquina
Fórmulas para el doble, el triple, etc. ángulo (también se les llama fórmulas de ángulos múltiples) muestran cómo las funciones trigonométricas de doble, triple, etc. Los ángulos () se expresan en términos de funciones trigonométricas de un solo ángulo. Su derivación se basa en fórmulas de adición.
Se recopila información más detallada en el artículo fórmulas para doble, triple, etc. ángulo
Fórmulas de medio ángulo
Fórmulas de medio ángulo Muestre cómo las funciones trigonométricas de un semiángulo se expresan en términos del coseno de un ángulo entero. Estas fórmulas trigonométricas se derivan de las fórmulas de doble ángulo.
Su conclusión y ejemplos de aplicación se pueden encontrar en el artículo.
Fórmulas de reducción
Fórmulas trigonométricas para grados decrecientes están diseñados para facilitar la transición de potencias naturales de funciones trigonométricas a senos y cosenos en primer grado, pero múltiples ángulos. En otras palabras, permiten reducir las potencias de las funciones trigonométricas a las primeras.
Fórmulas para la suma y diferencia de funciones trigonométricas
El objetivo principal fórmulas de suma y diferencia para funciones trigonométricas consiste en el paso al producto de funciones, muy útil a la hora de simplificar expresiones trigonométricas. Estas fórmulas también son muy utilizadas en la resolución de ecuaciones trigonométricas, ya que permiten factorizar la suma y diferencia de senos y cosenos.
Fórmulas para el producto de senos, cosenos y seno por coseno
El paso del producto de funciones trigonométricas a la suma o diferencia se realiza mediante las fórmulas del producto de senos, cosenos y seno por coseno.
Derechos de autor de estudiantes inteligentes
Reservados todos los derechos.
Protegido por la ley de derechos de autor. Ninguna parte de www.site, incluidos los materiales internos y el diseño externo, puede reproducirse de ninguna forma ni utilizarse sin el permiso previo por escrito del titular de los derechos de autor.
Identidades trigonométricas son igualdades que establecen una relación entre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo, lo que permite encontrar cualquiera de estas funciones, siempre que se conozca alguna otra.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alfa \cdot ctg \alfa = 1
Esta identidad dice que la suma del cuadrado del seno de un ángulo y el cuadrado del coseno de un ángulo es igual a uno, lo que en la práctica permite calcular el seno de un ángulo cuando se conoce su coseno y viceversa. .
Al convertir expresiones trigonométricas, esta identidad se usa con mucha frecuencia, lo que le permite reemplazar la suma de los cuadrados del coseno y el seno de un ángulo con uno y también realizar la operación de reemplazo en orden inverso.
Encontrar tangente y cotangente a través de seno y coseno
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Estas identidades se forman a partir de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. Después de todo, si miras, entonces, por definición, la ordenada de y es el seno y la abscisa de x es el coseno. Entonces la tangente será igual a la razón \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), y la relación \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- será una cotangente.
Agregamos que solo para tales ángulos \alpha para los cuales las funciones trigonométricas incluidas en ellos tienen sentido, se producirán las identidades , ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Por ejemplo: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) es válido para ángulos \alpha que son diferentes de \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- para un ángulo \alpha distinto de \pi z , z es un número entero.
Relación entre tangente y cotangente
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Esta identidad es válida solo para ángulos \alpha que son diferentes de \frac(\pi)(2)z. De lo contrario, no se determinará ni la cotangente ni la tangente.
En base a los puntos anteriores, obtenemos que tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alfa=\frac(x)(y). De ahí se sigue que tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Por lo tanto, la tangente y la cotangente de un ángulo en el que tienen sentido son números mutuamente recíprocos.
Relaciones entre tangente y coseno, cotangente y seno
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- la suma del cuadrado de la tangente del ángulo \alpha y 1 es igual al inverso del cuadrado del coseno de este ángulo. Esta identidad es válida para todos los \alpha que no sean \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- la suma de 1 y el cuadrado de la cotangente del ángulo \alpha , es igual al inverso del cuadrado del seno del ángulo dado. Esta identidad es válida para cualquier \alpha que no sea \pi z .
Ejemplos con soluciones a problemas usando identidades trigonométricas
Ejemplo 1
Encuentra \sin \alpha y tg \alpha si \cos \alpha=-\frac12 y \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Mostrar solución
Solución
Las funciones \sin \alpha y \cos \alpha están unidas por la fórmula \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1. Sustituyendo en esta fórmula \cos \alpha = -\frac12, obtenemos:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Esta ecuación tiene 2 soluciones:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Por condición \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . En el segundo cuarto, el seno es positivo, entonces \sen \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Para encontrar tg \alpha , usamos la fórmula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Ejemplo 2
Encuentra \cos \alpha y ctg \alpha si y \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Mostrar solución
Solución
Sustituyendo en la fórmula \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1 número condicional \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), obtenemos \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Esta ecuación tiene dos soluciones. \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Por condición \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . En el segundo cuarto, el coseno es negativo, entonces \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Para encontrar ctg \alpha , usamos la fórmula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Conocemos los valores correspondientes.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).