Considere ejemplos de división de decimales bajo esta luz.
Ejemplo.
Divide decimal 1.2 por decimal 0.48.
Solución.
Respuesta:
1,2:0,48=2,5 .
Ejemplo.
Divide el decimal periódico 0.(504) por el decimal 0,56.
Solución.
Traduzcamos la fracción decimal periódica a una ordinaria:. También traducimos la fracción decimal final 0.56 a una ordinaria, tenemos 0.56 \u003d 56/100. Ahora podemos pasar de dividir los decimales originales a dividir fracciones ordinarias y terminar los cálculos: .
Traduzcamos la fracción ordinaria resultante a una fracción decimal dividiendo el numerador por el denominador en una columna:
Respuesta:
0,(504):0,56=0,(900) .
El principio de dividir infinitas fracciones decimales no periódicas difiere del principio de dividir fracciones decimales finitas y periódicas, ya que las fracciones decimales no periódicas no se pueden convertir en fracciones ordinarias. La división de infinitas fracciones decimales no periódicas se reduce a la división de fracciones decimales finitas, para lo cual se realiza números de redondeo hasta cierto nivel. Además, si uno de los números con los que se realiza la división es una fracción decimal final o periódica, entonces también se redondea al mismo dígito que la fracción decimal no periódica.
Ejemplo.
Divide el decimal infinito no recurrente 0.779... por el decimal final 1.5602.
Solución.
Primero necesitas redondear las fracciones decimales para pasar de dividir una fracción decimal infinita que no se repite a dividir fracciones decimales finitas. Podemos redondear a centésimas: 0.779…≈0.78 y 1.5602≈1.56. Así, 0.779…:1.5602≈0.78:1.56= 78/100:156/100=78/100 100/156= 78/156=1/2=0,5 .
Respuesta:
0,779…:1,5602≈0,5 .
Dividir un número natural por una fracción decimal y viceversa
La esencia del enfoque de dividir un número natural por una fracción decimal y de dividir una fracción decimal por un número natural no es diferente de la esencia de dividir fracciones decimales. Es decir, las fracciones finitas y periódicas se reemplazan por fracciones ordinarias y las infinitas fracciones no periódicas se redondean.
Para ilustrar, considere el ejemplo de dividir una fracción decimal por un número natural.
Ejemplo.
Divide la fracción decimal 25,5 entre el número natural 45.
Solución.
Reemplazando la fracción decimal 25,5 por una fracción ordinaria 255/10=51/2, la división se reduce a dividir una fracción ordinaria por un número natural: . La fracción resultante en notación decimal es 0.5(6) .
Respuesta:
25,5:45=0,5(6) .
División de una fracción decimal por un número natural por una columna
La división de fracciones decimales finales por números naturales se realiza convenientemente por una columna por analogía con la división por una columna de números naturales. Aquí está la regla de la división.
A dividir un decimal por un número natural por una columna, necesario:
- agregue algunos dígitos a la derecha en la fracción decimal divisible 0 (durante la división, si es necesario, puede agregar cualquier número de ceros, pero es posible que estos ceros no sean necesarios);
- realice la división por una columna de una fracción decimal por un número natural de acuerdo con todas las reglas para dividir por una columna de números naturales, pero cuando se completa la división de la parte entera de la fracción decimal, entonces en la privada debe poner una coma y continuar la división.
Digamos de inmediato que como resultado de dividir una fracción decimal finita por un número natural, se puede obtener una fracción decimal final o una fracción decimal periódica infinita. De hecho, después de la división de todos los lugares decimales de la fracción divisible distinta de 0, podemos obtener un resto 0 y obtendremos una fracción decimal final, o el resto comenzará a repetirse periódicamente y obtendremos un decimal periódico. fracción.
Abordemos todas las complejidades de dividir fracciones decimales en números naturales por una columna al resolver ejemplos.
Ejemplo.
Divide el decimal 65.14 por 4 .
Solución.
Realicemos la división de una fracción decimal por un número natural por una columna. Agreguemos un par de ceros a la derecha en el registro de la fracción 65.14, mientras obtenemos la fracción decimal igual a 65.1400 (ver fracciones decimales iguales y desiguales). Ahora puedes empezar a dividir la parte entera de la fracción decimal 65.1400 por un número natural 4 por una columna: 
Esto completa la división de la parte entera de la fracción decimal. Aquí en privado necesitas poner un punto decimal y continuar la división: 
Hemos llegado a un resto de 0, en esta etapa termina la división por una columna. Como resultado, tenemos 65,14:4=16,285.
Respuesta:
65,14:4=16,285 .
Ejemplo.
Divide 164,5 entre 27.
Solución.
Dividamos una fracción decimal por un número natural por una columna. Después de dividir la parte entera, obtenemos la siguiente imagen: 
Ahora ponemos una coma en privado y continuamos la división con una columna: 
Ahora se ve claramente que los remanentes de 25, 7 y 16 han comenzado a repetirse, mientras que los números 9, 2 y 5 se repiten en el cociente. Entonces, dividir el decimal 164.5 por 27 nos da el decimal periódico 6.0(925) .
Respuesta:
164,5:27=6,0(925) .
División de fracciones decimales por una columna
La división de una fracción decimal por una fracción decimal se puede reducir a dividir una fracción decimal por un número natural por una columna. Para hacer esto, el dividendo y el divisor deben multiplicarse por un número tal 10, o 100, o 1000, etc., para que el divisor se convierta en un número natural, y luego dividir por un número natural por una columna. Podemos hacer esto debido a las propiedades de la división y la multiplicación, ya que a:b=(a 10):(b 10) , a:b=(a 100):(b 100) y así sucesivamente.
En otras palabras, dividir un decimal final por un decimal final, Necesitar:
- en el dividendo y el divisor, mueva la coma a la derecha tantos caracteres como haya después del punto decimal en el divisor, si al mismo tiempo no hay suficientes caracteres en el dividendo para mover la coma, entonces debe agregar el número requerido de ceros a la derecha;
- después de eso, realice la división por una columna de una fracción decimal por un número natural.
Considere, al resolver un ejemplo, la aplicación de esta regla para dividir por una fracción decimal.
Ejemplo.
Haz la división de columnas 7.287 por 2.1.
Solución.
Desplacemos la coma en estas fracciones decimales un dígito a la derecha, esto nos permitirá pasar de dividir la fracción decimal 7.287 por la fracción decimal 2.1 a dividir la fracción decimal 72.87 por el número natural 21. Vamos a dividir por una columna: 
Respuesta:
7,287:2,1=3,47 .
Ejemplo.
Divide el decimal 16,3 entre el decimal 0,021.
Solución.
Mueve la coma en el dividendo y el divisor a la derecha 3 dígitos. Obviamente, no hay suficientes dígitos en el divisor para llevar la coma, así que agreguemos el número requerido de ceros a la derecha. Ahora dividamos la columna de la fracción 16300.0 por el número natural 21: 
A partir de este momento comienzan a repetirse los residuos 4, 19, 1, 10, 16 y 13, lo que significa que también se repetirán los números 1, 9, 0, 4, 7 y 6 del cociente. Como resultado, obtenemos una fracción decimal periódica 776,(190476) .
Respuesta:
16,3:0,021=776,(190476) .
Tenga en cuenta que la regla expresada le permite dividir un número natural por una fracción decimal final por una columna.
Ejemplo.
Dividir el número natural 3 por la fracción decimal 5.4.
Solución.
Después de mover la coma 1 dígito a la derecha, llegamos a dividir el número 30,0 por 54. Vamos a dividir por una columna: 
.
Esta regla también se puede aplicar al dividir infinitas fracciones decimales por 10, 100, .... Por ejemplo, 3,(56):1000=0.003(56) y 593.374…:100=5.93374… .
Dividir decimales por 0,1, 0,01, 0,001, etc.
Dado que 0.1 \u003d 1/10, 0.01 \u003d 1/100, etc., de la regla de división por una fracción ordinaria se deduce que dividir una fracción decimal por 0.1, 0.01, 0.001, etc. es como multiplicar el decimal dado por 10, 100, 1000, etc. respectivamente.
En otras palabras, para dividir una fracción decimal por 0.1, 0.01, ... necesita mover la coma a la derecha 1, 2, 3, ... dígitos, y si no hay suficientes dígitos en la fracción decimal para mueva la coma, luego debe agregar el número requerido a los ceros correctos.
Por ejemplo, 5.739:0.1=57.39 y 0.21:0.00001=21,000 .
La misma regla se puede aplicar al dividir infinitos decimales por 0,1, 0,01, 0,001, etc. En este caso, debe tener mucho cuidado con la división de fracciones periódicas, para no confundirse con el período de la fracción, que se obtiene como resultado de la división. Por ejemplo, 7.5(716):0.01=757,(167), ya que luego de mover la coma en el registro de fracción decimal 7.5716716716... dos dígitos a la derecha, tenemos el registro 757.167167.... Con infinitos decimales no periódicos, todo es más sencillo: 394,38283…:0,001=394382,83… .
Dividir una fracción o número mixto por un decimal y viceversa
La división de una fracción ordinaria o de un número mixto por una fracción decimal finita o periódica, así como la división de una fracción decimal finita o periódica por una fracción ordinaria o de un número mixto, se reduce a la división de fracciones ordinarias. Para ello, se reemplazan las fracciones decimales por las correspondientes fracciones ordinarias, y se representa el número mixto como una fracción impropia.
Al dividir una fracción decimal no periódica infinita por una fracción ordinaria o un número mixto y viceversa, se debe proceder a dividir fracciones decimales, reemplazando la fracción ordinaria o número mixto por la fracción decimal correspondiente.
Bibliografía.
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- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemáticas (un manual para aspirantes a escuelas técnicas): Proc. subsidio.- M.; Más alto escuela, 1984.-351 p., il.
En la escuela, estas acciones se estudian de simples a complejas. Por lo tanto, ciertamente es necesario dominar el algoritmo para realizar las operaciones anteriores usando ejemplos simples. Para que luego no haya dificultades para dividir fracciones decimales en una columna. Después de todo, esta es la versión más difícil de tales tareas.
Este tema requiere un estudio constante. Las lagunas en el conocimiento son inaceptables aquí. Este principio debe ser aprendido por todos los estudiantes que ya están en el primer grado. Por lo tanto, si se salta varias lecciones seguidas, tendrá que dominar el material usted mismo. De lo contrario, luego habrá problemas no solo con las matemáticas, sino también con otras materias relacionadas con ellas.
El segundo requisito previo para un estudio exitoso de las matemáticas es pasar a ejemplos de división en una columna solo después de haber dominado la suma, la resta y la multiplicación.
Será difícil para un niño dividir si no ha aprendido la tabla de multiplicar. Por cierto, es mejor aprenderlo de la tabla de Pitágoras. No hay nada superfluo, y la multiplicación es más fácil de digerir en este caso.
¿Cómo se multiplican los números naturales en una columna?
Si hay dificultad para resolver ejemplos en una columna para división y multiplicación, entonces es necesario comenzar a resolver el problema con la multiplicación. Porque la división es el inverso de la multiplicación:
- Antes de multiplicar dos números, debes mirarlos cuidadosamente. Elige el que tenga más dígitos (más largo), anótalo primero. Coloque el segundo debajo de él. Además, los números de la categoría correspondiente deben estar bajo la misma categoría. Es decir, el dígito más a la derecha del primer número debe estar encima del dígito más a la derecha del segundo.
- Multiplique el dígito más a la derecha del número de abajo por cada dígito del número de arriba, comenzando desde la derecha. Escribe la respuesta debajo de la línea de modo que su último dígito quede debajo del que se multiplicó.
- Repita lo mismo con el otro dígito del número de abajo. Pero el resultado de la multiplicación debe desplazarse un dígito a la izquierda. En este caso, su último dígito estará debajo del que se multiplicó.
Continúe esta multiplicación en una columna hasta que se agoten los números en el segundo multiplicador. Ahora necesitan ser doblados. Esta será la respuesta deseada.
Algoritmo para multiplicar en una columna de fracciones decimales
Primero, se supone que hay que imaginar que no se dan fracciones decimales, sino naturales. Es decir, elimine las comas de ellos y luego proceda como se describe en el caso anterior.
La diferencia comienza cuando se escribe la respuesta. En este punto, es necesario contar todos los números que están después de los puntos decimales en ambas fracciones. Esa es la cantidad de ellos que necesita contar desde el final de la respuesta y poner una coma allí.
Conviene ilustrar este algoritmo con un ejemplo: 0,25 x 0,33:
¿Cómo empezar a aprender a dividir?
Antes de resolver ejemplos de división en una columna, se supone recordar los nombres de los números que están en el ejemplo de división. El primero de ellos (el que divide) es el divisible. El segundo (dividido por él) es un divisor. La respuesta es privada.
Después de eso, usando un ejemplo simple y cotidiano, explicaremos la esencia de esta operación matemática. Por ejemplo, si toma 10 dulces, entonces es fácil dividirlos en partes iguales entre mamá y papá. Pero, ¿qué sucede si necesita distribuirlos a sus padres y hermano?
Después de eso, puede familiarizarse con las reglas de división y dominarlas con ejemplos específicos. Los simples al principio, y luego pasando a los más y más complejos.
Algoritmo para dividir números en una columna
Primero, presentamos el procedimiento para números naturales que son divisibles por un número de un solo dígito. También serán la base para divisores de varios dígitos o fracciones decimales. Solo entonces se supone que debe hacer pequeños cambios, pero más sobre eso más adelante:
- Antes de hacer una división en una columna, debes averiguar dónde están el dividendo y el divisor.
- Anota el dividendo. A la derecha hay un divisor.
- Dibuja una esquina a la izquierda y abajo cerca de la última esquina.
- Determina el dividendo incompleto, es decir, el número que será el mínimo para la división. Por lo general, consta de un dígito, máximo de dos.
- Elija el número que se escribirá primero en la respuesta. Debe ser el número de veces que cabe el divisor en el dividendo.
- Escribe el resultado de multiplicar este número por un divisor.
- Escríbelo debajo de un divisor incompleto. Realiza la resta.
- Lleva al resto el primer dígito después de la parte que ya se ha dividido.
- Nuevamente elija el número para la respuesta.
- Repita la multiplicación y la resta. Si el resto es cero y el dividendo se acabó, entonces el ejemplo está hecho. De lo contrario, repita los pasos: demoler el número, recoger el número, multiplicar, restar.
¿Cómo resolver una división larga si hay más de un dígito en el divisor?
El algoritmo en sí coincide completamente con lo descrito anteriormente. La diferencia será el número de dígitos del dividendo incompleto. Ahora debería haber al menos dos de ellos, pero si resultan ser menores que el divisor, entonces se supone que funciona con los tres primeros dígitos.
Hay otro matiz en esta división. El hecho es que el resto y la cifra llevada a él a veces no son divisibles por un divisor. Entonces se supone que debe atribuir una cifra más en orden. Pero al mismo tiempo, la respuesta debe ser cero. Si los números de tres dígitos se dividen en una columna, es posible que sea necesario demoler más de dos dígitos. Luego se introduce la regla: los ceros en la respuesta deben ser uno menos que el número de dígitos anotados.
Puede considerar tal división usando el ejemplo: 12082: 863.
- El divisible incompleto en él es el número 1208. El número 863 se coloca en él una sola vez. Por lo tanto, en respuesta, se supone que debe poner 1 y escribir 863 debajo de 1208.
- Después de la resta, el resto es 345.
- Para él necesitas demoler el número 2.
- En el número 3452, 863 cabe cuatro veces.
- Cuatro deben ser escritos en respuesta. Además, cuando se multiplica por 4, se obtiene este número.
- El resto después de la resta es cero. Es decir, la división está completa.
La respuesta en el ejemplo es 14.
¿Qué pasa si el dividendo termina en cero?
¿O algunos ceros? En este caso, se obtiene un resto cero y todavía hay ceros en el dividendo. No te desesperes, todo es más fácil de lo que parece. Basta con atribuir a la respuesta todos los ceros que quedaron sin dividir.
Por ejemplo, necesita dividir 400 entre 5. El dividendo incompleto es 40. Cinco se coloca en él 8 veces. Esto significa que se supone que la respuesta debe escribirse 8. Al restar, no queda resto. Es decir, se acaba la división, pero queda cero en el dividendo. Habrá que añadirlo a la respuesta. Por lo tanto, dividir 400 por 5 da 80.
¿Qué pasa si necesitas dividir un decimal?
De nuevo, este número parece un número natural, si no fuera por la coma que separa la parte entera de la parte fraccionaria. Esto sugiere que la división de fracciones decimales en una columna es similar a la descrita anteriormente.
La única diferencia será el punto y coma. Se supone que debe responderse inmediatamente, tan pronto como se anote el primer dígito de la parte fraccionaria. De otra manera, se puede decir así: la división de la parte entera ha terminado: coloque una coma y continúe con la solución.
Al resolver ejemplos para dividir en una columna con fracciones decimales, debe recordar que se puede asignar cualquier número de ceros a la parte después del punto decimal. A veces esto es necesario para completar los números hasta el final.
División de dos decimales
Puede parecer complicado. Pero solo al principio. Después de todo, ya está claro cómo realizar la división en una columna de fracciones por un número natural. Entonces, necesitamos reducir este ejemplo a la forma ya familiar.
Hazlo facil. Necesitas multiplicar ambas fracciones por 10, 100, 1000 o 10 000, o quizás un millón si la tarea lo requiere. Se supone que el multiplicador se elige en función de cuántos ceros hay en la parte decimal del divisor. Es decir, como resultado, tendrás que dividir una fracción por un número natural.
Y será en el peor de los casos. Después de todo, puede resultar que el dividendo de esta operación se convierta en un número entero. Luego, la solución del ejemplo con división en una columna de fracciones se reducirá a la opción más simple: operaciones con números naturales.
Como ejemplo: 28.4 dividido por 3.2:
- Primero, se deben multiplicar por 10, ya que en el segundo número solo hay un dígito después del punto decimal. Multiplicando dará 284 y 32.
- Se supone que deben estar divididos. Y a la vez el número entero es 284 por 32.
- El primer número coincidente para la respuesta es 8. Al multiplicarlo da 256. El resto es 28.
- La división de la parte entera ha terminado y se supone que se debe poner una coma en la respuesta.
- Demoler hasta el resto 0.
- Tome 8 de nuevo.
- Resto: 24. Súmale otro 0.
- Ahora necesitas tomar 7.
- El resultado de la multiplicación es 224, el resto es 16.
- Demuela otro 0. Tome 5 y obtenga exactamente 160. El resto es 0.
División completada. El resultado del ejemplo 28.4:3.2 es 8.875.
¿Qué pasa si el divisor es 10, 100, 0,1 o 0,01?
Al igual que con la multiplicación, aquí no se necesita la división larga. Basta con mover la coma en la dirección correcta para un cierto número de dígitos. Además, de acuerdo con este principio, puede resolver ejemplos con números enteros y fracciones decimales.
Entonces, si necesita dividir por 10, 100 o 1000, entonces la coma se mueve hacia la izquierda tantos dígitos como ceros hay en el divisor. Es decir, cuando un número es divisible por 100, la coma debe moverse dos dígitos hacia la izquierda. Si el dividendo es un número natural, se supone que la coma está al final.
Esta acción produce el mismo resultado que si el número se multiplicara por 0,1, 0,01 o 0,001. En estos ejemplos, la coma también se mueve hacia la izquierda un número de dígitos igual a la longitud de la parte fraccionaria.
Al dividir por 0,1 (etc.) o multiplicar por 10 (etc.), la coma debe moverse hacia la derecha un dígito (o dos, tres, según el número de ceros o la longitud de la parte fraccionaria).
Vale la pena señalar que la cantidad de dígitos dada en el dividendo puede no ser suficiente. Luego, los ceros que faltan se pueden asignar a la izquierda (en la parte entera) o a la derecha (después del punto decimal).
División de fracciones periódicas
En este caso, no podrá obtener la respuesta exacta al dividir en una columna. ¿Cómo resolver un ejemplo si se encuentra una fracción con un punto? Aquí es necesario pasar a las fracciones ordinarias. Y luego realizar su división de acuerdo con las reglas previamente estudiadas.
Por ejemplo, necesita dividir 0, (3) por 0,6. La primera fracción es periódica. Se convierte a la fracción 3/9, que después de la reducción dará 1/3. La segunda fracción es el decimal final. Es aún más fácil escribir uno ordinario: 6/10, que es igual a 3/5. La regla para dividir fracciones ordinarias prescribe reemplazar la división por la multiplicación y el divisor por el recíproco de un número. Es decir, el ejemplo se reduce a multiplicar 1/3 por 5/3. La respuesta es 5/9.
Si el ejemplo tiene diferentes fracciones...
Entonces hay varias soluciones posibles. Primero, puedes intentar convertir una fracción ordinaria en un decimal. Luego divida ya dos decimales de acuerdo con el algoritmo anterior.
En segundo lugar, cada fracción decimal final se puede escribir como una fracción común. Simplemente no siempre es conveniente. La mayoría de las veces, tales fracciones resultan ser enormes. Sí, y las respuestas son engorrosas. Por lo tanto, el primer enfoque se considera más preferible.
§ 107. Suma de fracciones decimales.La suma de decimales se hace de la misma manera que la suma de números enteros. Veamos esto con ejemplos.
1) 0,132 + 2,354. Firmemos los términos uno debajo del otro.
Aquí, de la suma de 2 milésimas con 4 milésimas, se obtuvieron 6 milésimas;
de la suma de 3 centésimas con 5 centésimas, resultó 8 centésimas;
de sumar 1 décima con 3 décimas -4 décimas y
de sumar 0 enteros con 2 enteros - 2 enteros.
2) 5,065 + 7,83.
No hay milésimas en el segundo término, por lo que es importante no cometer errores al firmar los términos uno debajo del otro.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Aquí, al sumar milésimas, obtenemos 21 milésimas; escribimos 1 debajo de las milésimas y 2 sumado a las centésimas, por lo que en el lugar de las centésimas obtuvimos los siguientes términos: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; en suma dan 19 centésimas, firmamos 9 bajo centésimas, y 1 se contaba como décimas, etc.
Así, al sumar fracciones decimales, se debe observar el siguiente orden: las fracciones se firman una debajo de la otra de modo que en todos los términos los mismos dígitos estén uno debajo del otro y todas las comas estén en la misma columna vertical; a la derecha de los lugares decimales de algunos términos, atribuyen, al menos mentalmente, tal número de ceros que todos los términos después del punto decimal tienen el mismo número de dígitos. Luego se realiza la suma por dígitos, comenzando por el lado derecho, y en la cantidad resultante se coloca una coma en la misma columna vertical que en estos términos.
§ 108. Resta de fracciones decimales.
La resta de decimales se hace de la misma manera que la resta de números enteros. Mostremos esto con ejemplos.
1) 9,87 - 7,32. Firmemos el sustraendo debajo del minuendo para que las unidades de un mismo dígito queden una debajo de la otra:
2) 16.29 - 4.75. Firmemos el sustraendo debajo del minuendo, como en el primer ejemplo:
Para restar décimas, había que tomar una unidad entera de 6 y dividirla en décimas.
3) 14.0213-5.350712. Firmemos el sustraendo debajo del minuendo:
La resta se realizó de la siguiente manera: como no podemos restar 2 millonésimas de 0, debemos referirnos al dígito más cercano a la izquierda, es decir, a las cienmilésimas, pero también hay cero en lugar de las cienmilésimas, entonces tomamos 1 diezmilésima de 3 diezmilésimas y lo dividimos en cienmilésimas, obtenemos 10 cienmilésimas, de las cuales 9 cienmilésimas quedan en la categoría de cienmilésimas, y 1 cienmilésima se tritura en millonésimas, obtenemos 10 millonésimas. Así, en los últimos tres dígitos, obtuvimos: millonésimas 10, cienmilésimas 9, diezmilésimas 2. Para mayor claridad y comodidad (no olvidar), estos números se escriben encima de los dígitos fraccionarios correspondientes de la reducción. Ahora podemos empezar a restar. Restamos 2 millonésimas de 10 millonésimas, obtenemos 8 millonésimas; restamos 1 cienmilésima de 9 cienmilésimas, obtenemos 8 cienmilésimas, etc.
Así, al restar fracciones decimales, se observa el siguiente orden: el sustraendo se firma debajo del reducido de modo que los mismos dígitos estén uno debajo del otro y todas las comas estén en la misma columna vertical; a la derecha, atribuyen, al menos mentalmente, en la reducida o restada tantos ceros para que tengan el mismo número de dígitos, luego restan por dígitos, comenzando por el lado derecho, y en la diferencia resultante ponen una coma en el misma columna vertical en la que se ubica en reducida y restada.
§ 109. Multiplicación de fracciones decimales.
Considere algunos ejemplos de multiplicación de fracciones decimales.
Para encontrar el producto de estos números, podemos razonar de la siguiente manera: si el factor se multiplica por 10, entonces ambos factores serán números enteros y luego podemos multiplicarlos de acuerdo con las reglas para multiplicar números enteros. Pero sabemos que cuando uno de los factores aumenta varias veces, el producto aumenta en la misma cantidad. Esto significa que el número que resulta de multiplicar factores enteros, es decir, 28 por 23, es 10 veces mayor que el producto real, y para obtener el producto real, debe reducir el producto encontrado en 10 veces. Por lo tanto, aquí debe realizar una multiplicación por 10 una vez y una división por 10 una vez, pero la multiplicación y la división por 10 se realizan moviendo la coma hacia la derecha y hacia la izquierda un signo. Por lo tanto, debe hacer esto: en el multiplicador, mueva la coma hacia la derecha en un signo, de esto será igual a 23, luego debe multiplicar los números enteros resultantes:
Este producto es 10 veces más grande que el verdadero. Por lo tanto, debe reducirse 10 veces, para lo cual movemos la coma un carácter hacia la izquierda. Así, obtenemos
28 2,3 = 64,4.
Para fines de verificación, puede escribir una fracción decimal con un denominador y realizar una acción de acuerdo con la regla para multiplicar fracciones ordinarias, es decir
2) 12,27 0,021.
La diferencia entre este ejemplo y el anterior es que aquí ambos factores están representados por fracciones decimales. Pero aquí, en el proceso de multiplicación, no prestaremos atención a las comas, es decir, aumentaremos temporalmente el multiplicador 100 veces y el multiplicador 1000 veces, lo que aumentará el producto 100 000 veces. Así, multiplicando 1227 por 21, obtenemos:
1 227 21 = 25 767.
Teniendo en cuenta que el producto resultante es 100.000 veces mayor que el verdadero, ahora debemos reducirlo 100.000 veces colocándole correctamente una coma, entonces obtenemos:
32,27 0,021 = 0,25767.
Vamos a revisar:
Así, para multiplicar dos fracciones decimales basta, sin prestar atención a las comas, con multiplicarlas por enteros y en el producto separar con una coma del lado derecho tantos decimales como había en el multiplicando y en el factor juntos.
En el último ejemplo, el resultado es un producto con cinco decimales. Si no se requiere una mayor precisión, se realiza el redondeo de la fracción decimal. Al redondear, debe usar la misma regla que se indicó para los números enteros.
§ 110. Multiplicación mediante tablas.
La multiplicación de decimales a veces se puede hacer usando tablas. Para este propósito, puede, por ejemplo, usar esas tablas de multiplicar de números de dos dígitos, cuya descripción se proporcionó anteriormente.
1) Multiplica 53 por 1,5.
Multiplicaremos 53 por 15. En la tabla, este producto es igual a 795. Encontramos el producto de 53 por 15, pero nuestro segundo factor fue 10 veces menor, lo que significa que el producto debe reducirse 10 veces, es decir
53 1,5 = 79,5.
2) Multiplica 5,3 por 4,7.
Primero, encontramos en la tabla el producto de 53 por 47, será 2491. Pero como aumentamos el multiplicando y el multiplicador en un total de 100 veces, entonces el producto resultante es 100 veces mayor de lo que debería ser; entonces tenemos que reducir este producto por un factor de 100:
5,3 4,7 = 24,91.
3) Multiplica 0,53 por 7,4.
Primero encontramos en la tabla el producto de 53 por 74; esto será 3922. Pero como hemos aumentado el multiplicador 100 veces, y el multiplicador 10 veces, el producto ha aumentado 1000 veces; entonces ahora tenemos que reducirlo por un factor de 1,000:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. División de decimales.
Veremos la división decimal en este orden:
1. División de una fracción decimal por un número entero,
1. División de una fracción decimal por un número entero.
1) Divide 2,46 entre 2.
Dividimos por 2 primeros enteros, luego décimas y finalmente centésimas.
2) Divide 32,46 entre 3.
32,46: 3 = 10,82.
Dividimos 3 decenas por 3, luego comenzamos a dividir 2 unidades por 3; como el número de unidades del dividendo (2) es menor que el divisor (3), tuvimos que poner 0 en el cociente; además, al resto demolimos 4 décimas y dividimos 24 décimas por 3; recibió en privado 8 décimas y finalmente dividió 6 centésimas.
3) Divide 1.2345 entre 5.
1,2345: 5 = 0,2469.
Aquí, en el cociente en primer lugar, resultaron cero números enteros, ya que un número entero no es divisible por 5.
4) Divide 13,58 entre 4.
La peculiaridad de este ejemplo es que cuando recibimos 9 centésimas en privado, entonces se encontró un resto igual a 2 centésimas, dividimos este resto en milésimas, obtuvimos 20 milésimas y llevamos la división al final.
Regla. La división de una fracción decimal por un número entero se realiza de la misma forma que la división de números enteros, y los residuos resultantes se convierten en fracciones decimales, cada vez más pequeñas; la división continúa hasta que el resto es cero.
2. División de una fracción decimal por una fracción decimal.
1) Divide 2,46 entre 0,2.
Ya sabemos cómo dividir una fracción decimal por un número entero. Pensemos si este nuevo caso de división también se puede reducir al anterior. En un momento, consideramos la notable propiedad del cociente, que consiste en el hecho de que permanece invariable mientras el dividendo y el divisor aumentan o disminuyen por el mismo número de veces. Fácilmente realizaríamos la división de los números que se nos ofrecen si el divisor fuera un número entero. Para ello, basta con aumentarlo 10 veces, y para obtener el cociente correcto es necesario aumentar el dividendo la misma cantidad de veces, es decir, 10 veces. Entonces la división de estos números será reemplazada por la división de tales números:
y no hay necesidad de hacer ninguna enmienda en privado.
Hagamos esta división:
Entonces 2.46: 0.2 = 12.3.
2) Divide 1,25 entre 1,6.
Aumentamos el divisor (1.6) en 10 veces; para que el cociente no cambie, aumentamos el dividendo 10 veces; 12 enteros no son divisibles por 16, entonces escribimos en el cociente 0 y dividimos 125 décimas entre 16, obtenemos 7 décimas en el cociente y el resto es 13. Dividimos 13 décimas en centésimas asignando cero y dividimos 130 centésimas entre 16, etc. Preste atención a lo siguiente:
a) cuando no se obtienen números enteros en el cociente, entonces se escriben ceros en su lugar;
b) cuando después de restar la cifra del dividendo al resto se obtiene un número que no es divisible por el divisor, entonces se escribe cero en el cociente;
c) cuando, después de haber quitado el último dígito del dividendo, la división no termina, entonces, asignando ceros a los restos, continúa la división;
d) si el dividendo es un número entero, entonces al dividirlo por una fracción decimal, su aumento se realiza asignándole ceros.
Por lo tanto, para dividir un número por una fracción decimal, debe descartar una coma en el divisor y luego aumentar el dividendo tantas veces como aumentó el divisor cuando se eliminó la coma, y luego realizar la división de acuerdo con la regla de dividir la fracción decimal por un número entero.
§ 112. Cociente aproximado.
En el párrafo anterior, consideramos la división de fracciones decimales, y en todos los ejemplos que resolvimos, la división se llevó al final, es decir, se obtuvo un cociente exacto. Sin embargo, en la mayoría de los casos no se puede obtener el cociente exacto, por mucho que extendamos la división. Aquí hay uno de esos casos: divide 53 entre 101.
Ya hemos recibido cinco dígitos en el cociente, pero la división aún no ha terminado y no hay esperanza de que termine, ya que los números que hemos encontrado antes comienzan a aparecer en el resto. Los números también se repetirán en el cociente: obviamente, después del número 7, aparecerá el número 5, luego el 2, y así hasta el infinito. En tales casos, la división se interrumpe y se limita a los primeros dígitos del cociente. Este privado se llama aproximado. Cómo realizar la división en este caso, lo mostraremos con ejemplos.
Que se requiera dividir 25 por 3. Es obvio que el cociente exacto, expresado como una fracción entera o decimal, no se puede obtener de tal división. Por lo tanto, buscaremos un cociente aproximado:
25: 3 = 8 y resto 1
El cociente aproximado es 8; es, por supuesto, menor que el cociente exacto, porque queda un resto de 1. Para obtener el cociente exacto, debe agregar al cociente aproximado encontrado, es decir, a 8, la fracción que resulta de dividir el resto , igual a 1, por 3; será una fracción 1/3. Esto significa que el cociente exacto se expresará como un número mixto 8 1/3. Como 1/3 es una fracción propia, es decir, una fracción, menos que uno, entonces, descartándolo, suponemos error, cual menos que uno. privado 8 voluntad cociente aproximado hasta uno con desventaja. Si tomamos 9 en lugar de 8, también permitimos un error menor que uno, ya que no sumaremos una unidad entera, sino 2/3. Un testamento tan privado cociente aproximado hasta uno con exceso.
Tomemos otro ejemplo ahora. Que sea necesario dividir 27 entre 8. Como aquí no obtendremos un cociente exacto expresado como un número entero, buscaremos un cociente aproximado:
27: 8 = 3 y resto 3.
Aquí el error es 3/8, es menor que uno, lo que significa que el cociente aproximado (3) se encuentra hasta uno con un inconveniente. Continuamos la división: partimos el resto de 3 en décimas, nos salen 30 décimas; Vamos a dividirlos por 8.
Conseguimos en privado en el acto décimas 3 y en el resto b décimas. Si nos limitamos al número 3.3 en particular y descartamos el resto 6, permitiremos un error de menos de una décima. ¿Por qué? Porque el cociente exacto se obtendría cuando sumamos a 3,3 el resultado de dividir 6 décimas entre 8; de esta división sería 6/80, que es menos de una décima. (¡Compruebe!) Por lo tanto, si nos limitamos a las décimas en el cociente, entonces podemos decir que hemos encontrado el cociente exacto a una décima(con desventaja).
Continuemos la división para encontrar un lugar decimal más. Para hacer esto, dividimos 6 décimas en centésimas y obtenemos 60 centésimas; Vamos a dividirlos por 8.
En privado en tercer lugar resultó 7 y en el resto 4 centésimas; si los descartamos, entonces permitimos un error de menos de una centésima, porque 4 centésimas divididas por 8 es menos de una centésima. En tales casos, se dice que se encuentra el cociente. precisión a la centésima(con desventaja).
En el ejemplo que ahora estamos considerando, puedes obtener el cociente exacto, expresado como una fracción decimal. Para ello, basta con dividir el último resto, 4 centésimas, en milésimas y dividir por 8.
Sin embargo, en la gran mayoría de los casos es imposible obtener un cociente exacto y hay que limitarse a sus valores aproximados. Ahora consideraremos un ejemplo de este tipo:
40: 7 = 5,71428571...
Los puntos al final del número indican que la división no está completa, es decir, la igualdad es aproximada. Por lo general, la igualdad aproximada se escribe así:
40: 7 = 5,71428571.
Tomamos el cociente con ocho decimales. Pero si no se requiere una precisión tan grande, uno puede limitarse a la parte entera del cociente, es decir, el número 5 (más precisamente, 6); para mayor precisión se podrían tomar en cuenta las décimas y tomar el cociente igual a 5.7; si por alguna razón esta precisión es insuficiente, entonces podemos detenernos en centésimas y tomar 5.71, etc. Escribamos los cocientes individuales y nómbrelos.
El primer cociente aproximado hasta uno 6.
El segundo » » » a la décima 5.7.
Tercera » » » hasta la centésima 5.71.
Cuarto » » » hasta la milésima parte de 5.714.
Por lo tanto, para encontrar un cociente aproximado con una precisión de algunos, por ejemplo, el tercer lugar decimal (es decir, hasta una milésima), la división se detiene tan pronto como se encuentra este signo. En este caso, se debe recordar la regla establecida en el § 40.
§ 113. Los problemas más simples de interés.
Después de estudiar fracciones decimales, resolveremos algunos problemas de porcentajes más.
Estos problemas son similares a los que resolvimos en el departamento de fracciones ordinarias; pero ahora escribiremos las centésimas en forma de fracciones decimales, es decir, sin un denominador designado explícitamente.
En primer lugar, debe poder cambiar fácilmente de una fracción ordinaria a una fracción decimal con un denominador de 100. Para hacer esto, debe dividir el numerador por el denominador:
La siguiente tabla muestra cómo un número con un símbolo % (porcentaje) se reemplaza por un decimal con un denominador de 100:
Consideremos ahora algunos problemas.
1. Encontrar porcentajes de un número dado.
Tarea 1. Solo 1.600 personas viven en un pueblo. El número de niños en edad escolar es el 25% de la población total. ¿Cuántos niños en edad escolar hay en este pueblo?
En este problema, necesitas encontrar el 25%, o 0,25, de 1600. El problema se resuelve multiplicando:
1.600 0,25 = 400 (niños).
Por lo tanto, el 25% de 1600 es 400.
Para una clara comprensión de esta tarea, es útil recordar que por cada cien habitantes hay 25 niños en edad escolar. Por lo tanto, para encontrar el número de todos los niños en edad escolar, primero puede averiguar cuántas centenas hay en el número 1600 (16) y luego multiplicar 25 por el número de centenas (25 x 16 = 400). De esta manera se puede comprobar la validez de la solución.
Tarea 2. Las cajas de ahorro dan a los depositantes el 2% de los ingresos anuales. ¿Cuánto ingreso por año recibirá un depositante que haya depositado: a) 200 rublos? b) 500 rublos? c) 750 rublos? d) 1000 rublos?
En los cuatro casos, para resolver el problema será necesario calcular 0,02 de las cantidades indicadas, es decir, cada uno de estos números habrá que multiplicarlos por 0,02. Vamos a hacerlo:
a) 200 0,02 = 4 (rublos),
b) 500 0,02 = 10 (rublos),
c) 750 0,02 = 15 (rublos),
d) 1.000 0,02 = 20 (rublos).
Cada uno de estos casos puede ser verificado por las siguientes consideraciones. Las Cajas de Ahorros entregan a los depositantes el 2% de los ingresos, es decir, el 0,02 de la cantidad depositada en ahorros. Si la cantidad fuera de 100 rublos, entonces 0,02 serían 2 rublos. Esto significa que cada cien aporta al depositante 2 rublos. ingreso. Por lo tanto, en cada uno de los casos considerados, es suficiente averiguar cuántos cientos hay en un número dado y multiplicar 2 rublos por este número de cientos. En el ejemplo a) centenas de 2, entonces
2 2 \u003d 4 (rublos).
En el ejemplo d) las centenas son 10, lo que significa
2 10 \u003d 20 (rublos).
2. Encontrar un número por su porcentaje.
Tarea 1. En la primavera, la escuela graduó a 54 estudiantes, lo que representa el 6% del número total de estudiantes. ¿Cuántos estudiantes había en la escuela durante el último año académico?
Aclaremos primero el significado de este problema. La escuela graduó a 54 alumnos, lo que representa el 6% del total de alumnos, es decir, 6 centésimas (0,06) de todos los alumnos de la escuela. Esto quiere decir que conocemos la parte de los alumnos expresada por el número (54) y la fracción (0,06), ya partir de esta fracción debemos hallar el número entero. Por lo tanto, tenemos ante nosotros un problema ordinario de encontrar un número por su fracción (§ 90 p. 6). Los problemas de este tipo se resuelven por división:
Esto significa que había 900 estudiantes en la escuela.
Es útil verificar tales problemas resolviendo el problema inverso, es decir, después de resolver el problema, debería, al menos en su mente, resolver el problema del primer tipo (encontrar el porcentaje de un número dado): tomar el número encontrado ( 900) tal como se da y encuentre el porcentaje indicado en el problema resuelto a partir de él, a saber:
900 0,06 = 54.
Tarea 2. La familia gasta 780 rublos en comida durante el mes, lo que representa el 65% de los ingresos mensuales del padre. Determine su ingreso mensual.
Esta tarea tiene el mismo significado que la anterior. Da parte de las ganancias mensuales, expresadas en rublos (780 rublos), e indica que esta parte es el 65%, o 0,65, de las ganancias totales. Y lo deseado es la totalidad de las ganancias:
780: 0,65 = 1 200.
Por lo tanto, las ganancias deseadas son 1200 rublos.
3. Encontrar el porcentaje de números.
Tarea 1. La biblioteca escolar tiene un total de 6.000 libros. Entre ellos hay 1.200 libros de matemáticas. ¿Qué porcentaje de libros de matemáticas componen el número total de libros en la biblioteca?
Ya hemos considerado (§97) este tipo de problema y llegamos a la conclusión de que para calcular el porcentaje de dos números, debe encontrar la proporción de estos números y multiplicarla por 100.
En nuestra tarea, necesitamos encontrar el porcentaje de los números 1200 y 6000.
Primero encontramos su proporción y luego la multiplicamos por 100:
Por lo tanto, el porcentaje de los números 1200 y 6000 es 20. En otras palabras, los libros de matemáticas representan el 20% del número total de todos los libros.
Para comprobarlo, resolvemos el problema inverso: hallar el 20% de 6000:
6 000 0,2 = 1 200.
Tarea 2. La planta debe recibir 200 toneladas de carbón. Ya se han entregado 80 toneladas ¿Qué porcentaje de carbón se ha entregado a la planta?
Este problema pregunta qué porcentaje es un número (80) de otro (200). La relación de estos números será 80/200. Multipliquemos por 100:
Esto significa que se ha entregado el 40% del carbón.
Encuentra el primer dígito del cociente (el resultado de la división). Para hacer esto, divide el primer dígito del dividendo por el divisor. Escribe el resultado debajo del divisor.
- En nuestro ejemplo, el primer dígito del dividendo es 3. Divide 3 entre 12. Dado que 3 es menor que 12, el resultado de la división será 0. Escribe 0 debajo del divisor: este es el primer dígito del cociente.
Multiplica el resultado por el divisor. Escribe el resultado de la multiplicación debajo del primer dígito del dividendo, ya que este es el número que acabas de dividir por el divisor.
- En nuestro ejemplo, 0 × 12 = 0, así que escribe 0 debajo de 3.
Resta el resultado de la multiplicación del primer dígito del dividendo. Escribe tu respuesta en una nueva línea.
- En nuestro ejemplo: 3 - 0 = 3. Escribe 3 directamente debajo de 0.
Baja el segundo dígito del dividendo. Para ello, anota el siguiente dígito del dividendo junto al resultado de la resta.
- En nuestro ejemplo, el dividendo es 30. El segundo dígito del dividendo es 0. Muévelo hacia abajo escribiendo 0 junto a 3 (el resultado de la resta). Obtendrás el número 30.
Divide el resultado por un divisor. Encontrarás el segundo dígito del privado. Para hacer esto, divide el número en la línea de abajo por el divisor.
- En nuestro ejemplo, divide 30 entre 12. 30 ÷ 12 = 2 más algo de resto (porque 12 x 2 = 24). Escribe 2 después de 0 debajo del divisor: este es el segundo dígito del cociente.
- Si no puede encontrar un dígito adecuado, itere sobre los dígitos hasta que el resultado de multiplicar cualquier dígito por un divisor sea menor y más cercano al último número ubicado en la columna. En nuestro ejemplo, considere el número 3. Multiplíquelo por el divisor: 12 x 3 = 36. Dado que 36 es mayor que 30, el número 3 no es adecuado. Ahora considera el número 2. 12 x 2 = 24. 24 es menor que 30, por lo que el número 2 es la solución correcta.
Repita los pasos anteriores para encontrar el siguiente dígito. El algoritmo descrito se utiliza en cualquier problema de división larga.
- Multiplica el segundo cociente por el divisor: 2 x 12 = 24.
- Escribe el resultado de la multiplicación (24) debajo del último número en la columna (30).
- Resta el número más pequeño del más grande. En nuestro ejemplo: 30 - 24 = 6. Escribe el resultado (6) en una nueva línea.
Si quedan dígitos en el dividendo que se pueden mover hacia abajo, continúe con el proceso de cálculo. De lo contrario, continúe con el siguiente paso.
- En nuestro ejemplo, bajó el último dígito del dividendo (0). Así que continúa con el siguiente paso.
Si es necesario, use un punto decimal para expandir el dividendo. Si el dividendo es divisible por el divisor, en la última línea obtendrá el número 0. Esto significa que el problema está resuelto y la respuesta (en forma de número entero) se escribe debajo del divisor. Pero si cualquier dígito que no sea 0 está en la parte inferior de la columna, debe expandir el dividendo colocando un punto decimal y asignando 0. Recuerde que esto no cambia el valor del dividendo.
- En nuestro ejemplo, en la última línea está el número 6. Por lo tanto, a la derecha de 30 (dividendo), escriba un punto decimal y luego escriba 0. También coloque un punto decimal después de los dígitos del cociente encontrados, que escribe debajo del divisor (¡no escribas nada después de esta coma todavía!) .
Repita los pasos anteriores para encontrar el siguiente dígito. Lo principal es no olvidar poner un punto decimal tanto después del dividendo como después de los dígitos encontrados del privado. El resto del proceso es similar al proceso descrito anteriormente.
- En nuestro ejemplo, baje el 0 (que escribió después del punto decimal). Obtendrás el número 60. Ahora divide este número por el divisor: 60 ÷ 12 = 5. Escribe 5 después del 2 (y después del punto decimal) debajo del divisor. Este es el tercer dígito del cociente. Así que la respuesta final es 2,5 (el cero delante del 2 se puede ignorar).
La división por un decimal se reduce a la división por un número natural.
Regla para dividir un número por una fracción decimal
Para dividir un número por una fracción decimal es necesario tanto en el dividendo como en el divisor desplazar la coma tantos dígitos a la derecha como haya en el divisor después de la coma decimal. Después de eso, divide por un número natural.
Ejemplos.
Realizar división por decimal:
Para dividir por una fracción decimal, debe mover la coma tantos dígitos hacia la derecha tanto en el dividendo como en el divisor como haya después del punto decimal en el divisor, es decir, por un signo. Obtenemos: 35.1: 1.8 \u003d 351: 18. Ahora realizamos la división por una esquina. Como resultado, obtenemos: 35,1: 1,8 = 19,5.
2) 14,76: 3,6
Para realizar la división de fracciones decimales, tanto en el dividendo como en el divisor, mueva la coma hacia la derecha un signo: 14.76: 3.6 \u003d 147.6: 36. Ahora lo realizamos en un número natural. Resultado: 14,76: 3,6 = 4,1.
Para realizar la división por una fracción decimal de un número natural es necesario, tanto en el dividendo como en el divisor, desplazar hacia la derecha tantos caracteres como haya en el divisor después de la coma decimal. Dado que la coma no está escrita en el divisor en este caso, completamos la cantidad de caracteres que faltan con ceros: 70: 1.75 \u003d 7000: 175. Dividimos los números naturales resultantes con una esquina: 70: 1.75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.
4) 0,1218: 0,058
Para dividir una fracción decimal en otra, desplazamos la coma a la derecha tanto en el dividendo como en el divisor tantos dígitos como haya en el divisor después de la coma decimal, es decir, tres dígitos. Por lo tanto, 0.1218: 0.058 \u003d 121.8: 58. La división por una fracción decimal fue reemplazada por la división por un número natural. Compartimos un rincón. Tenemos: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.
5) 0,0456: 3,8