• 09.10.2014

  El preamplificador que se muestra en la figura está diseñado para su uso con 4 tipos de fuentes de sonido, como un micrófono, un reproductor de CD, una grabadora de radio, etc. En este caso, el preamplificador tiene una entrada, que puede cambiar la sensibilidad de 50 mV a 500 mV. el voltaje de salida del amplificador es de 1000 mV. Conectando diferentes fuentes de señal al cambiar el interruptor SA1, siempre obtenemos ...

• 20.09.2014

  La fuente de alimentación está diseñada para una carga con una potencia de 15 ... 20 W. La fuente se fabrica de acuerdo con el esquema de un convertidor de alta frecuencia de pulsos de ciclo único. Se ensambla un autogenerador en el transistor, que opera a una frecuencia de 20 ... 40 kHz. La frecuencia es ajustada por el condensador C5. Los elementos VD5, VD6 y C6 forman un circuito de arranque de autogenerador. En el circuito secundario, después del puente rectificador, hay un estabilizador lineal convencional en un microcircuito, que le permite tener ...

• 28.09.2014

  La figura muestra un generador en un microcircuito K174XA11, cuya frecuencia está controlada por voltaje. Cuando la capacitancia C1 cambia de 560 a 4700pF, se puede obtener un amplio rango de frecuencia, mientras que la frecuencia se ajusta cambiando la resistencia R4. Por ejemplo, el autor descubrió que, con C1 \u003d 560pF, la frecuencia del generador se puede cambiar con R4 de 600Hz a 200kHz, ...

• 03.10.2014

  La unidad está diseñada para alimentar un ULF potente, está diseñada para un voltaje de salida de ± 27 V y así sucesivamente cargas de hasta 3 A en cada brazo. La fuente de alimentación es bipolar, fabricada con transistores compuestos completos KT825-KT827. Ambos brazos del estabilizador están hechos según el mismo circuito, pero en el otro brazo (no mostrado) se cambia la polaridad de los condensadores y se utilizan transistores del otro ...

La capacidad de calcular el volumen de figuras espaciales es importante al resolver una serie de problemas prácticos en geometría. Una de las formas más comunes es la pirámide. En este artículo, veremos pirámides completas y truncadas.

Pirámide como figura tridimensional

Todos conocen las pirámides de Egipto, por lo que tienen una buena idea de qué figura se discutirá. Sin embargo, las estructuras de piedra egipcias son solo un caso especial de una enorme clase de pirámides.

En general, el objeto geométrico considerado es una base poligonal, cada vértice de la cual está conectado a algún punto en el espacio que no pertenece al plano base. Esta definición conduce a una figura que consta de un n-gon y n triángulos.

Cualquier pirámide consta de n + 1 caras, 2 * n aristas y n + 1 vértices. Dado que la figura en consideración es un poliedro perfecto, el número de elementos marcados obedece a la igualdad de Euler:

2 * n \u003d (n + 1) + (n + 1) - 2.

El polígono en la base da el nombre de la pirámide, por ejemplo, triangular, pentagonal, etc. En la foto de abajo se muestra un conjunto de pirámides con diferentes bases.

El punto en el que se conectan los n triángulos de la figura se llama la parte superior de la pirámide. Si deja caer una perpendicular desde ella a la base y la cruza en el centro geométrico, entonces esa figura se llamará línea recta. Si no se cumple esta condición, se forma una pirámide inclinada.

Una figura recta, cuya base está formada por un n-gon equilátero (conforme), se llama regular.

La fórmula del volumen de una pirámide.

Para calcular el volumen de la pirámide, usaremos el cálculo integral. Para ello, dividimos la figura con planos de corte paralelos a la base en un número infinito de capas delgadas. La siguiente figura muestra una pirámide cuadrangular con altura hy longitud lateral L, en la que una capa de sección delgada está marcada con un cuadrilátero.

El área de cada una de estas capas se puede calcular mediante la fórmula:

Una (z) \u003d UNA 0 * (h-z) 2 / h 2.

Aquí A 0 es el área base, z es el valor de la coordenada vertical. Se puede ver que si z \u003d 0, entonces la fórmula da el valor A 0.

Para obtener la fórmula del volumen de la pirámide, se debe calcular la integral sobre toda la altura de la figura, es decir:

V \u003d ∫ h 0 (A (z) * dz).

Sustituyendo la dependencia A (z) y calculando la antiderivada, llegamos a la expresión:

V \u003d -A 0 * (h-z) 3 / (3 * h 2) | h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Obtuvimos la fórmula para el volumen de la pirámide. Para encontrar el valor de V, basta con multiplicar la altura de la figura por el área de la base y luego dividir el resultado por tres.

Tenga en cuenta que la expresión resultante es válida para calcular el volumen de un tipo arbitrario de pirámide. Es decir, se puede inclinar y su base puede ser un n-gon arbitrario.

y su volumen

La fórmula general para el volumen obtenida en el párrafo anterior se puede refinar en el caso de una pirámide de base regular. El área de dicha base se calcula utilizando la siguiente fórmula:

A 0 \u003d n / 4 * L 2 * ctg (pi / n).

Aquí L es la longitud del lado de un polígono regular con n vértices. El símbolo pi es pi.

Sustituyendo la expresión de A 0 en la fórmula general, obtenemos el volumen de la pirámide regular:

V n \u003d 1/3 * n / 4 * L 2 * h * ctg (pi / n) \u003d n / 12 * L 2 * h * ctg (pi / n).

Por ejemplo, para una pirámide triangular, esta fórmula conduce a la siguiente expresión:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Para una pirámide cuadrangular regular, la fórmula del volumen toma la forma:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Determinar los volúmenes de pirámides regulares requiere conocer el lado de su base y la altura de la figura.

Pirámide truncada

Supongamos que tomamos una pirámide arbitraria y cortamos de ella una parte de la superficie lateral que contiene el vértice. La forma restante se llama pirámide truncada. Ya consta de dos bases n-gonales y n trapezoides que las conectan. Si el plano de corte era paralelo a la base de la figura, entonces se forma una pirámide truncada con bases similares paralelas. Es decir, las longitudes de los lados de uno de ellos se pueden obtener multiplicando las longitudes del otro por algún coeficiente k.

La imagen de arriba muestra una regular truncada, se puede ver que su base superior, como la inferior, está formada por un hexágono regular.

La fórmula que se puede derivar usando un cálculo integral similar es:

V \u003d 1/3 * h * (UNA 0 + UNA 1 + √ (UNA 0 * UNA 1)).

Donde A 0 y A 1 son las áreas de las bases inferior (grande) y superior (pequeña), respectivamente. La variable h denota la altura de la pirámide truncada.

El volumen de la pirámide de Keops

Es curioso resolver el problema de determinar el volumen que contiene en su interior la mayor pirámide egipcia.

En 1984, los egiptólogos británicos Mark Lehner y Jon Goodman establecieron las dimensiones exactas de la pirámide de Keops. Su altura original era de 146,50 metros (actualmente unos 137 metros). La longitud promedio de cada uno de los cuatro lados de la estructura fue de 230,363 metros. La base de la pirámide es cuadrada con alta precisión.

Usaremos las cifras anteriores para determinar el volumen de este gigante de piedra. Dado que la pirámide es cuadrangular regular, entonces la fórmula es válida para ella:

Sustituimos los números, obtenemos:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

El volumen de la pirámide de Keops es de casi 2,6 millones de m 3. A modo de comparación, observemos que la piscina olímpica tiene un volumen de 2,5 mil m 3. Es decir, para llenar toda la pirámide de Keops, se necesitarán más de 1000 de estos grupos.

- Se trata de un poliedro, que está formado por la base de la pirámide y la sección paralela a ella. Podemos decir que una pirámide truncada es una pirámide con la parte superior truncada. Esta forma tiene muchas propiedades únicas:

• Las caras laterales de la pirámide son trapecios;
• Las nervaduras laterales de una pirámide truncada regular tienen la misma longitud y están inclinadas hacia la base en el mismo ángulo;
• Las bases son como polígonos;
• En una pirámide truncada regular, las caras son trapezoides isósceles idénticos, cuya área es igual. También están inclinados hacia la base en el mismo ángulo.

La fórmula para el área de la superficie lateral de una pirámide truncada es la suma de las áreas de sus lados:

Dado que los lados de la pirámide truncada son trapezoides, tendrá que usar la fórmula para calcular los parámetros área trapezoidal... Para una pirámide truncada correcta, puede aplicar una fórmula de área diferente. Dado que todos sus lados, caras y ángulos en la base son iguales, es posible aplicar los perímetros de la base y la apotema, así como deducir el área a través del ángulo en la base.

Si, de acuerdo con las condiciones en una pirámide truncada regular, se dan la apotema (altura del lado lateral) y las longitudes de los lados de la base, entonces el área se puede calcular a través del producto medio de la suma de los perímetros de las bases y la apotema:

Veamos un ejemplo de cálculo del área de superficie lateral de una pirámide truncada.
Se da una pirámide pentagonal regular. Apotema l \u003d 5 cm, la longitud de la cara en la base grande es una \u003d 6 cm, y el borde en la base más pequeña si \u003d 4 cm Calcula el área de la pirámide truncada.

Primero, encontremos los perímetros de las bases. Dado que se nos da una pirámide pentagonal, entendemos que las bases son pentágonos. Esto significa que una figura con cinco lados idénticos se encuentra en las bases. Encuentra el perímetro de la base más grande:

De la misma forma, encontramos el perímetro de la base más pequeña:

Ahora podemos calcular el área de la pirámide truncada correcta. Sustituimos los datos en la fórmula:

Por lo tanto, calculamos el área de una pirámide truncada regular a través de los perímetros y la apotema.

Otra forma de calcular el área de la superficie lateral de una pirámide regular es la fórmula a través de las esquinas en la base y el área de estas mismas bases.

Echemos un vistazo a un ejemplo de cálculo. Recuerde que esta fórmula se aplica solo a la pirámide truncada correcta.

Sea una pirámide cuadrangular regular. El borde de la base inferior es a \u003d 6 cm y el borde de la base superior es b \u003d 4 cm El ángulo diedro en la base es β \u003d 60 °. Encuentre el área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular.

Primero, calculemos el área de las bases. Dado que la pirámide es correcta, todas las caras de las bases son iguales entre sí. Considerando que existe un cuadrilátero en la base, entendemos que será necesario calcular área cuadrada... Es el producto del ancho y el largo, pero estos valores son los mismos al cuadrado. Encuentra el área de la base más grande:


Ahora usamos los valores encontrados para calcular el área de la superficie lateral.

Conociendo algunas fórmulas simples, calculamos fácilmente el área del trapezoide lateral de la pirámide truncada a través de varios valores.

Pirámide. Pirámide truncada

Pirámide se llama poliedro, una de cuyas caras es un polígono ( base ), y todas las demás caras son triángulos con un vértice común ( caras laterales ) (figura 15). La pirámide se llama correcto si su base es un polígono regular y la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base (Fig. 16). Una pirámide triangular en la que todos los bordes son iguales se llama tetraedro .

Costilla lateral pirámide es el lado de la cara lateral que no pertenece a la base Altura Se llama pirámide a la distancia desde su vértice hasta el plano de la base. Todos los bordes laterales de una pirámide regular son iguales entre sí, todos los bordes laterales son triángulos isósceles iguales. La altura de la cara lateral de una pirámide regular dibujada desde la parte superior se llama apotema . Sección diagonal la sección de la pirámide se denomina plano que pasa por dos bordes laterales que no pertenecen a una cara.

Superficie lateral pirámide se llama la suma de las áreas de todas las caras laterales. Superficie total llamado la suma de las áreas de todas las caras laterales y la base.

Teoremas

1. Si en una pirámide todos los bordes laterales están igualmente inclinados al plano de la base, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito alrededor de la base.

2. Si en la pirámide todos los bordes laterales tienen la misma longitud, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito alrededor de la base.

3. Si en la pirámide todas las caras están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base.

Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, la fórmula es correcta:

dónde V - volumen;

S principal - área de la base;

H - la altura de la pirámide.

Para la pirámide correcta, las fórmulas son correctas:

dónde pags - perímetro de la base;

h a - apotema;

H - altura;

S lleno

Lado S

S principal - área de la base;

V - el volumen de la pirámide correcta.

Pirámide truncada llamada la parte de la pirámide, encerrada entre la base y el plano secante, paralela a la base de la pirámide (Fig. 17). Pirámide truncada regular Se denomina parte de una pirámide regular, encerrada entre la base y el plano secante paralelo a la base de la pirámide.

Cimientos pirámides truncadas - polígonos similares. Caras laterales - trapezoide. Altura una pirámide truncada es la distancia entre sus bases. Diagonal una pirámide truncada se denomina segmento que conecta sus vértices que no se encuentran en la misma cara. Sección diagonal una sección de una pirámide truncada se denomina plano que pasa por dos bordes laterales que no pertenecen a una cara.

Para una pirámide truncada, las siguientes fórmulas son válidas:

(4)

dónde S 1 , S 2 - áreas de las bases superior e inferior;

S lleno - superficie total;

Lado S - área de superficie lateral;

H - altura;

V - el volumen de la pirámide truncada.

Para una pirámide truncada correcta, la fórmula es correcta:

dónde pags 1 , pags 2 - perímetros de base;

h a - la apotema de la pirámide truncada regular.

Ejemplo 1. En una pirámide triangular regular, el ángulo diedro en la base es de 60º. Encuentre la tangente del ángulo de inclinación del borde lateral al plano de la base.

Decisión. Hagamos un dibujo (fig. 18).

La pirámide es regular, por lo que en la base hay un triángulo equilátero y todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. El diedro de la base es el ángulo de inclinación de la cara lateral de la pirámide al plano de la base. El ángulo lineal es el ángulo una entre dos perpendiculares: y es decir La parte superior de la pirámide se proyecta en el centro del triángulo (el centro de la circunferencia y el círculo inscrito en el triángulo A B C). El ángulo de inclinación de la nervadura lateral (por ejemplo SB) Es el ángulo entre el propio borde y su proyección sobre el plano base. Para costilla SB este ángulo será el ángulo SBD... Para encontrar la tangente, necesitas conocer las piernas. ENTONCES y transmisión exterior... Deje que la longitud del segmento BD es igual a 3 y... Punto ACERCA DE sección BD se divide en partes: y De encontramos ENTONCES: De encontramos:

Responder:

Ejemplo 2. Encuentre el volumen de una pirámide cuadrangular truncada regular si las diagonales de sus bases son cm y cm, y la altura es 4 cm.

Decisión. Para encontrar el volumen de la pirámide truncada, usaremos la fórmula (4). Para encontrar el área de las bases, necesitas encontrar los lados de los cuadrados de la base, conociendo sus diagonales. Los lados de las bases son 2 cm y 8 cm, respectivamente. Entonces el área de las bases y Habiendo sustituido todos los datos en la fórmula, calculamos el volumen de la pirámide truncada:

Responder: 112 cm 3.

Ejemplo 3. Encuentre el área de la cara lateral de una pirámide truncada triangular regular, cuyos lados de las bases miden 10 cm y 4 cm, y la altura de la pirámide es de 2 cm.

Decisión. Hagamos un dibujo (fig. 19).

La cara lateral de esta pirámide es un trapezoide isósceles. Para calcular el área de un trapezoide, necesita conocer la base y la altura. Las bases están dadas por condición, solo se desconoce la altura. Lo encontraremos de donde Y 1 mi perpendicular desde el punto Y 1 en el plano de la base inferior, UNA 1 re - perpendicular desde Y 1 en COMO. Y 1 mi \u003d 2 cm, ya que esta es la altura de la pirámide. Encontrar Delaware haremos un dibujo adicional, en el que representaremos una vista superior (fig. 20). Punto ACERCA DE - proyección de los centros de las bases superior e inferior. ya que (ver fig.20) y por otro lado Okay Es el radio del círculo inscrito y OM - radio inscrito en un círculo:

MK \u003d DE.

Por el teorema de Pitágoras de

Área de la cara lateral:

Responder:

Ejemplo 4. En la base de la pirámide se encuentra un trapezoide isósceles, cuyas bases yy si (una> si). Cada cara lateral forma un ángulo con el plano de la base de la pirámide igual a j... Calcula el área de superficie total de la pirámide.

Decisión. Hagamos un dibujo (fig. 21). Superficie total de la pirámide SABCD igual a la suma de las áreas y el área del trapezoide A B C D.

Usemos el enunciado de que si todas las caras de la pirámide están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces el vértice se proyecta en el centro del círculo inscrito en la base. Punto ACERCA DE - proyección de vértice S en la base de la pirámide. Triángulo CÉSPED es la proyección ortogonal del triángulo CSD en el plano de la base. Por el teorema sobre el área de la proyección ortogonal de una figura plana, obtenemos:

Del mismo modo, significa Así, la tarea se redujo a encontrar el área del trapezoide A B C D... Dibuja un trapezoide A B C Dpor separado (fig.22). Punto ACERCA DE - el centro del círculo inscrito en el trapezoide.

Dado que un círculo se puede inscribir en un trapezoide, ya sea De, por el teorema de Pitágoras, tenemos