Definición de números racionales:
Un número racional es un número que se puede representar como una fracción. El numerador de tal fracción pertenece al conjunto de los números enteros, y el denominador pertenece al conjunto de los números naturales.
¿Por qué los números se llaman racionales?
En latín "ratio" (ratio) significa razón. Los números racionales se pueden representar como una razón, es decir, en otras palabras, como una fracción.
ejemplo de numero racional
El número 2/3 es un número racional. ¿Por qué? Este número se representa como una fracción, cuyo numerador pertenece al conjunto de los números enteros y el denominador pertenece al conjunto de los números naturales.
Para más ejemplos de números racionales, vea el artículo.
Números racionales iguales
Diferentes fracciones pueden representar el mismo número racional.
Considere el número racional 3/5. Este número racional es igual a
Reduce el numerador y el denominador por un factor común de 2:
| 6 | = | 2 * 3 | = | 3 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 2 * 5 | 5 |
Obtuvimos la fracción 3/5, lo que significa que
) son números con signo positivo o negativo (entero y fraccionario) y cero. Un concepto más preciso de números racionales suena así:
número racional- un número que está representado por una fracción simple Minnesota, donde el numerador metro son números enteros y el denominador norte- números enteros, por ejemplo 2/3.
Las fracciones infinitas no periódicas NO están incluidas en el conjunto de números racionales.
un/b, donde a∈ Z (a pertenece a enteros) B∈ norte (B pertenece a los números naturales).
Uso de números racionales en la vida real.
En la vida real, el conjunto de números racionales se usa para contar las partes de algunos objetos enteros divisibles, Por ejemplo, pasteles u otros alimentos que se cortan en pedazos antes de su consumo, o para una estimación aproximada de las relaciones espaciales de los objetos extensos.
Propiedades de los números racionales.
Propiedades básicas de los números racionales.
1. orden a y B hay una regla que te permite identificar de forma única entre ellos 1-pero y solo una de las 3 relaciones: “<», «>" o "=". Esta regla es - regla de pedido y formularlo así:
- 2 números positivos a = m a / n a y b=m b /n b relacionados por la misma relación que 2 enteros ma⋅ nótese bien y m b⋅ n / A;
- 2 números negativos a y B relacionado por la misma relación que 2 números positivos |b| y |un|;
- Cuándo a positivo, y B- negativo, entonces a>b.
∀ a, b∈ Q(un ∨ a>b∨ a=b)
2. operación de suma. Para todos los números racionales a y B hay regla de suma, que los pone en correspondencia con cierto número racional C. Sin embargo, el número en sí C- eso suma números a y B y se conoce como (a+b) suma.
regla de suma tiene este aspecto:
ma/n a + m b/norte segundo =(ma⋅ nb+mb⋅ n / A)/(n / A⋅ nótese bien).
∀ a, b∈ q∃ !(a+b)∈ q
3. operación de multiplicación. Para todos los números racionales a y B hay regla de multiplicación, los asocia con cierto número racional C. El numero c se llama trabajo números a y B y denota (a⋅b), y el proceso de encontrar este número se llama multiplicación.
regla de multiplicación tiene este aspecto: hombre⋅ metro segundo norte segundo = metro un⋅ m b n a⋅ nótese bien.
∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q
4. Transitividad de la relación de orden. Para tres números racionales cualesquiera a, B y C Si a menos B y B menos C, entonces a menos C, y si a es igual B y B es igual C, entonces a es igual C.
∀ a B C∈ Q(un ∧ B ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)
5. Conmutatividad de la suma. A partir de un cambio en los lugares de los términos racionales, la suma no cambia.
∀ a, b∈ Qa+b=b+a
6. Asociatividad de la suma. El orden de suma de 3 números racionales no afecta el resultado.
∀ a B C∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)
7. Presencia de cero. Hay un número racional 0, conserva todos los demás números racionales cuando se suma.
∃ 0 ∈ q∀ a∈ Qa+0=a
8. Presencia de números opuestos. Cualquier número racional tiene un número racional opuesto, sumarlos da 0.
∀ a∈ q∃ (−a)∈ Qa+(−a)=0
9. Conmutatividad de la multiplicación. Al cambiar los lugares de los factores racionales, el producto no cambia.
∀ a, b∈ control de calidad⋅ b=b⋅ a
10. Asociatividad de la multiplicación. El orden de la multiplicación de 3 números racionales no afecta el resultado.
∀ a B C∈ Q(un⋅ B)⋅ c=a⋅ (B⋅ C)
11. Disponibilidad de una unidad. Hay un número racional 1, conserva todos los demás números racionales en el proceso de multiplicación.
∃ 1 ∈ q∀ a∈ control de calidad⋅ 1 = un
12. Presencia de recíprocos. Cualquier número racional distinto de cero tiene un número racional inverso, multiplicando por el cual obtenemos 1 .
∀ a∈ q∃ a−1∈ control de calidad⋅ a−1=1
13. Distributividad de la multiplicación con respecto a la suma. La operación de multiplicación está relacionada con la suma usando la ley de distribución:
∀ a B C∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ C
14. Conexión de la relación de orden con la operación de suma. El mismo número racional se suma a los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional.
∀ a B C∈ control de calidad ⇒ a+c
15. Conexión de la relación de orden con la operación de multiplicación. Los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional se pueden multiplicar por el mismo número racional no negativo.
∀ a B C∈ control de calidad>0∧ a ⇒ a⋅ C ⋅ C
16. Axioma de Arquímedes. Cualquiera que sea el número racional a, es fácil tomar tantas unidades que su suma será mayor a.
Definición de números racionales
Los números racionales son:
- Números naturales que se pueden representar como una fracción. Por ejemplo, $7=\frac(7)(1)$.
- Números enteros, incluido el número cero, que se pueden representar como una fracción positiva o negativa, o como cero. Por ejemplo, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
- Fracciones ordinarias (positivas o negativas).
- Números mixtos que se pueden representar como una fracción común impropia. Por ejemplo, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ y $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
- Un decimal finito y una fracción periódica infinita, que se pueden representar como una fracción común. Por ejemplo, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.
Observación 1
Tenga en cuenta que una fracción decimal no periódica infinita no se aplica a los números racionales, porque no se puede representar como una fracción ordinaria.
Ejemplo 1
Los números naturales $7, 670, 21 \ 456$ son racionales.
Los enteros $76, -76, 0, -555 \ 666$ son racionales.
Las fracciones ordinarias $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ son números racionales .
Así, los números racionales se dividen en positivos y negativos. El cero es un número racional, pero no es un número racional positivo o negativo.
Formulemos una definición más corta de números racionales.
Definición 3
Racional topónimos que se pueden representar como una fracción decimal periódica finita o infinita.
Se pueden sacar las siguientes conclusiones:
- los números enteros positivos y negativos y los números fraccionarios pertenecen al conjunto de los números racionales;
- los números racionales se pueden representar como una fracción que tiene un numerador entero y un denominador natural y es un número racional;
- los números racionales se pueden representar como cualquier decimal periódico que sea un número racional.
Cómo saber si un número es racional
- El número se especifica como una expresión numérica, que consta únicamente de números racionales y signos de operaciones aritméticas. En este caso, el valor de la expresión será un número racional.
- La raíz cuadrada de un número natural es un número racional solo si la raíz es un número que es el cuadrado perfecto de algún número natural. Por ejemplo, $\sqrt(9)$ y $\sqrt(121)$ son números racionales porque $9=3^2$ y $121=11^2$.
- La raíz $n$ésima de un número entero es un número racional solo si el número debajo del signo de la raíz es la potencia $n$ésima de algún número entero. Por ejemplo, $\sqrt(8)$ es un número racional, porque $8=2^3$.
Los números racionales son densos en todas partes del eje numérico: entre cada dos números racionales que no son iguales entre sí, se puede ubicar al menos un número racional (por lo tanto, un número infinito de números racionales). Al mismo tiempo, el conjunto de números racionales se caracteriza por una cardinalidad contable (es decir, todos los elementos del conjunto pueden numerarse). Los antiguos griegos demostraron que hay números que no se pueden escribir como fracción. Demostraron que no existe un número racional cuyo cuadrado sea igual a $2$. Entonces los números racionales no eran suficientes para expresar todas las cantidades, lo que más tarde dio lugar a la aparición de los números reales. El conjunto de los números racionales, a diferencia de los números reales, es de dimensión cero.
Numeros racionales
cuarteles
- Orden. a y B existe una regla que permite identificar de forma unívoca entre ellos una y sólo una de las tres relaciones: “<
», « >' o ' = '. Esta regla se llama regla de pedido y se formula de la siguiente manera: dos números no negativos y están relacionados por la misma relación que dos números enteros y ; dos números no positivos a y B están relacionados por la misma relación que dos números no negativos y ; si de repente a no negativo y B- negativo, entonces a > B. src="/fotos/wiki/archivos/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" borde="0">
suma de fracciones
- operación de suma. Para cualquier numero racional a y B hay un llamado regla de suma C. Sin embargo, el número en sí C llamado suma números a y B y se denota , y el proceso de encontrar dicho número se llama suma. La regla de la suma tiene la siguiente forma:
.
- operación de multiplicación. Para cualquier numero racional a y B hay un llamado regla de multiplicación, lo que los pone en correspondencia con algún número racional C. Sin embargo, el número en sí C llamado trabajo números a y B y se denota , y el proceso de encontrar dicho número también se llama multiplicación. La regla de la multiplicación es la siguiente:
.
- Transitividad de la relación de orden. Para cualquier triple de números racionales a , B y C Si a menos B y B menos C, entonces a menos C, y si a es igual B y B es igual C, entonces a es igual C. 6435">Conmutatividad de la suma. La suma no cambia al cambiar los lugares de los términos racionales.
- Asociatividad de la suma. El orden en que se suman tres números racionales no afecta el resultado.
- La presencia del cero. Hay un número racional 0 que conserva todos los demás números racionales cuando se suman.
- La presencia de números opuestos. Cualquier número racional tiene un número racional opuesto, que, cuando se suma, da 0.
- Conmutatividad de la multiplicación. Al cambiar los lugares de los factores racionales, el producto no cambia.
- Asociatividad de la multiplicación. El orden en que se multiplican tres números racionales no afecta el resultado.
- La presencia de una unidad. Hay un número racional 1 que conserva todos los demás números racionales cuando se multiplica.
- La presencia de recíprocos. Cualquier número racional tiene un número racional inverso, que, cuando se multiplica, da 1.
- Distributividad de la multiplicación con respecto a la suma. La operación de multiplicación es consistente con la operación de suma a través de la ley de distribución:
- Conexión de la relación de orden con la operación de adición. El mismo número racional se puede sumar a los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" borde="0">
- Axioma de Arquímedes. Cualquiera que sea el número racional a, puedes tomar tantas unidades que su suma excederá a. src="/fotos/wiki/archivos/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" borde="0">
Propiedades adicionales
Todas las demás propiedades inherentes a los números racionales no se señalan como básicas porque, en términos generales, ya no se basan directamente en las propiedades de los números enteros, sino que pueden demostrarse sobre la base de las propiedades básicas dadas o directamente mediante la definición de algún objeto matemático. Hay muchas de estas propiedades adicionales. Aquí tiene sentido citar sólo algunos de ellos.
Src="/fotos/wiki/archivos/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" borde="0">
Establecer contabilidad
Numeración de números racionales
Para estimar el número de números racionales, necesitas encontrar la cardinalidad de su conjunto. Es fácil demostrar que el conjunto de los números racionales es contable. Para ello, basta con dar un algoritmo que enumere los números racionales, es decir, establezca una biyección entre los conjuntos de números racionales y naturales.
El más simple de estos algoritmos es el siguiente. Se compila una tabla infinita de fracciones ordinarias, en cada I-ésima línea en cada j th columna de la cual es una fracción. Para mayor precisión, se supone que las filas y columnas de esta tabla están numeradas a partir de uno. Las celdas de la tabla se denotan, donde I- el número de fila de la tabla en la que se encuentra la celda, y j- número de columna.
La tabla resultante es gestionada por una "serpiente" según el siguiente algoritmo formal.
Estas reglas se buscan de arriba a abajo y la siguiente posición es seleccionada por la primera coincidencia.
En el proceso de tal derivación, cada nuevo número racional se asigna al siguiente número natural. Es decir, a las fracciones 1/1 se les asigna el número 1, a las fracciones 2/1, el número 2, etc. Cabe señalar que solo se numeran las fracciones irreducibles. El signo formal de irreductibilidad es la igualdad a la unidad del máximo común divisor del numerador y denominador de la fracción.
Siguiendo este algoritmo, uno puede enumerar todos los números racionales positivos. Esto significa que el conjunto de números racionales positivos es contable. Es fácil establecer una biyección entre los conjuntos de números racionales positivos y negativos, simplemente asignando a cada número racional su opuesto. Ese. el conjunto de los números racionales negativos también es contable. Su unión también es contable por la propiedad de los conjuntos contables. El conjunto de los números racionales también es contable como la unión de un conjunto numerable con uno finito.
La afirmación sobre la contabilidad del conjunto de los números racionales puede causar cierto desconcierto, ya que a primera vista da la impresión de que es mucho más grande que el conjunto de los números naturales. De hecho, este no es el caso, y hay suficientes números naturales para enumerar todos los racionales.
Insuficiencia de los números racionales
La hipotenusa de tal triángulo no está expresada por ningún número racional
Números racionales de la forma 1 / norte en general norte Se pueden medir cantidades arbitrariamente pequeñas. Este hecho crea la impresión engañosa de que los números racionales pueden medir cualquier distancia geométrica en general. Es fácil demostrar que esto no es cierto.
notas
Literatura
- I. Kushnir. Manual de matemáticas para escolares. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
- P. S. Alexandrov. Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. - M.: cabeza. edición Phys.-Math. iluminado. edición "Ciencia", 1977
- I. L. Khmelnitsky. Introducción a la teoría de los sistemas algebraicos
Enlaces
Fundación Wikimedia. 2010 .
En esta subsección damos varias definiciones de números racionales. A pesar de las diferencias de redacción, todas estas definiciones tienen el mismo significado: los números racionales combinan números enteros y números fraccionarios, al igual que los números enteros combinan números naturales, sus números opuestos y el número cero. En otras palabras, los números racionales generalizan números enteros y fraccionarios.
Empecemos con definiciones de numeros racionales que se percibe como la más natural.
Definición.
Numeros racionales son números que se pueden escribir como una fracción común positiva, una fracción común negativa o el número cero.
De la definición sondeada se sigue que un número racional es:
cualquier numero natural norte. De hecho, cualquier número natural se puede representar como una fracción ordinaria, por ejemplo, 3=3/1 .
· Cualquier número entero, en particular, el número cero. De hecho, cualquier número entero se puede escribir como fracción común positiva, como fracción común negativa o como cero. Por ejemplo, 26=26/1 , .
Cualquier fracción ordinaria (positiva o negativa). Esto se establece directamente por la definición dada de números racionales.
· Cualquier número mixto. De hecho, siempre es posible representar un número mixto como una fracción común impropia. Por ejemplo, y.
· Cualquier fracción decimal finita o fracción periódica infinita. Esto es así porque las fracciones decimales especificadas se convierten en fracciones ordinarias. por ejemplo, un 0,(3)=1/3 .
También está claro que cualquier decimal infinito que no se repite NO es un número racional, ya que no se puede representar como una fracción común.
Ahora podemos traer fácilmente ejemplos de numeros racionales. Números 4 ,903 , 100 321 son números racionales, ya que son números naturales. Números enteros 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 también son ejemplos de números racionales. fracciones comunes 4/9 , 99/3 , también son ejemplos de números racionales. Los números racionales también son números.
Los ejemplos anteriores muestran que hay números racionales tanto positivos como negativos, y el número racional cero no es ni positivo ni negativo.
La definición anterior de números racionales se puede formular en una forma más corta.
Definición.
Numeros racionales nombra un numero que se pueda escribir como fraccion z/n, donde z es un número entero y norte- número natural.
Probemos que esta definición de números racionales es equivalente a la anterior. Sabemos que podemos considerar la barra de una fracción como un signo de división, entonces de las propiedades de la división de números enteros y las reglas para dividir números enteros, se sigue la validez de las siguientes igualdades y. Así que esa es la prueba.
Damos ejemplos de números racionales basados en esta definición. Números −5 , 0 , 3 , y son números racionales, ya que se pueden escribir como fracciones con numerador entero y denominador natural de la forma y respectivamente.
La definición de números racionales también se puede dar en la siguiente formulación.
Definición.
Numeros racionales son números que se pueden escribir como una fracción decimal periódica finita o infinita.
Esta definición también es equivalente a la primera definición, ya que cualquier fracción ordinaria corresponde a una fracción decimal finita o periódica y viceversa, y cualquier número entero puede asociarse a una fracción decimal con ceros después del punto decimal.
Por ejemplo, números 5 , 0 , −13 , son ejemplos de números racionales, ya que se pueden escribir como las siguientes fracciones decimales 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 y −7,(18) .
Terminamos la teoría de esta sección con las siguientes afirmaciones:
los números enteros y fraccionarios (positivos y negativos) forman el conjunto de los números racionales;
Todo número racional se puede representar como una fracción con un numerador entero y un denominador natural, y cada una de esas fracciones es un número racional;
Cada número racional se puede representar como una fracción decimal periódica finita o infinita, y cada una de esas fracciones representa algún número racional.
Parte superior de la página
La suma de números racionales positivos es conmutativa y asociativa,
("a, b í Q +) a + b= b + a;
("a, b, c í Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)
Antes de formular la definición de multiplicación de números racionales positivos, considere el siguiente problema: se sabe que la longitud del segmento X se expresa como una fracción en la unidad de longitud E, y la longitud del segmento unitario se mide utilizando la unidad E 1 y se expresa como una fracción. ¿Cómo encontrar el número que representará la longitud del segmento X, si lo mide usando la unidad de longitud E 1?
Como X=E, entonces nX=mE, y del hecho de que E =E 1 se sigue que qE=pE 1 . Multiplicamos la primera igualdad obtenida por q, y la segunda por m. Entonces (nq)X \u003d (mq)E y (mq)E \u003d (mp)E 1, de donde (nq)X \u003d (mp)E 1. Esta igualdad muestra que la longitud del segmento x en la unidad de longitud se expresa como una fracción, y por lo tanto , =, es decir la multiplicación de fracciones está asociada al paso de una unidad de longitud a otra al medir la longitud de un mismo segmento.
Definición Si un número positivo a está representado por una fracción, y un número racional positivo b es una fracción, entonces su producto es el número a b, que está representado por una fracción.
Multiplicación de números racionales positivos conmutativo, asociativo y distributivo con respecto a la suma y la resta. La demostración de estas propiedades se basa en la definición de multiplicación y suma de números racionales positivos, así como en las correspondientes propiedades de suma y multiplicación de números naturales.
46. Como sabes sustracción es lo opuesto a la suma.
Si a y B - números positivos, luego restar el número b del número a significa encontrar un número c que, cuando se suma al número b, da el número a.
a - b = c o c + b = a
La definición de resta es válida para todos los números racionales. Es decir, la resta de números positivos y negativos puede sustituirse por la suma.
Para restar otro de un número, debes sumar el número opuesto al minuendo.
O, de otra forma, podemos decir que la resta del número b es la misma suma, pero con el número opuesto al número b.
a - b = a + (- b)
Ejemplo.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Ejemplo.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Vale la pena recordar las expresiones a continuación.
0 - un = - un
un - 0 = un
un - un = 0
Reglas para restar números negativos
La resta del número b es la suma con el número opuesto al número b.
Esta regla se conserva no solo al restar un número más pequeño de un número más grande, sino que también te permite restar un número más grande de un número más pequeño, es decir, siempre puedes encontrar la diferencia entre dos números.
La diferencia puede ser un número positivo, un número negativo o cero.
Ejemplos de resta de números negativos y positivos.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Es conveniente recordar la regla de los signos, que permite reducir el número de paréntesis.
El signo más no cambia el signo del número, por lo que si hay un signo más delante del paréntesis, el signo entre paréntesis no cambia.
+ (+ un) = + un
+ (- un) = - un
El signo menos delante de los corchetes invierte el signo del número entre paréntesis.
- (+ a) = - a
- (- un) = + un
Se puede ver a partir de las igualdades que si hay signos idénticos antes y dentro de los corchetes, obtenemos "+", y si los signos son diferentes, obtenemos "-".
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
La regla de los signos también se conserva si no hay un número entre paréntesis, sino una suma algebraica de números.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Tenga en cuenta que si hay varios números entre paréntesis y hay un signo menos delante de los paréntesis, entonces los signos delante de todos los números en estos paréntesis deben cambiar.
Para recordar la regla de los signos, puedes hacer una tabla para determinar los signos de un número.
Regla de signos para números + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
O aprender una regla simple.
Dos negativos hacen un afirmativo,
Más veces menos es igual a menos.
Reglas para dividir números negativos.
Para encontrar el módulo del cociente, debes dividir el módulo del dividendo por el módulo del divisor.
Entonces, para dividir dos números con los mismos signos, necesitas:
Divide el módulo del dividendo por el módulo del divisor;
Ponga un signo "+" delante del resultado.
Ejemplos de división de números con diferentes signos:
También puedes usar la siguiente tabla para determinar el signo del cociente.
La regla de los signos al dividir
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -
Al calcular expresiones "largas" en las que solo aparecen multiplicaciones y divisiones, es muy conveniente usar la regla de los signos. Por ejemplo, para calcular una fracción.
Puede prestar atención a que en el numerador hay 2 signos "menos", que, cuando se multiplican, darán un "más". También hay tres signos menos en el denominador que, cuando se multiplican, darán un signo menos. Por lo tanto, al final, el resultado será con un signo menos.
La reducción de fracciones (acciones adicionales con módulos de números) se realiza de la misma manera que antes:
El cociente de dividir cero por un número distinto de cero es cero.
0: a = 0, a ≠ 0
¡NO divida por cero!
Todas las reglas previamente conocidas para dividir por uno también se aplican al conjunto de números racionales.
un: 1 = un
un: (- 1) = - un
a: a = 1, donde a es cualquier número racional.
Las dependencias entre los resultados de la multiplicación y la división, conocidas para números positivos, también se conservan para todos los números racionales (excepto el número cero):
si a × b = c; a = c: b; b = c: un;
si a: b = c; a = c × b; b=a:c
Estas dependencias se utilizan para encontrar el factor desconocido, el dividendo y el divisor (al resolver ecuaciones), así como para comprobar los resultados de la multiplicación y la división.
Un ejemplo de encontrar lo desconocido.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2
Información similar.