En el caso general, esta tarea implica un enfoque creativo, ya que no existe un método universal para resolverlo. Sin embargo, intentemos dar algunas pistas.
En la gran mayoría de los casos, la descomposición del polinomio en factores se basa en la consecuencia del teorema de Bezout, es decir, se encuentra o selecciona la raíz y se reduce el grado del polinomio en uno al dividir por. Al polinomio resultante se le busca una raíz y se repite el proceso hasta completar la expansión.
Si no se puede encontrar la raíz, se utilizan métodos de descomposición específicos: desde la agrupación hasta la introducción de términos adicionales mutuamente excluyentes.
La presentación adicional se basa en las habilidades para resolver ecuaciones de grados superiores con coeficientes enteros.
Poner entre paréntesis el factor común.
Empecemos por el caso más sencillo, cuando el término libre es igual a cero, es decir, el polinomio tiene la forma .
Obviamente, la raíz de dicho polinomio es , es decir, el polinomio se puede representar como .
Este método no es más que sacando el factor común entre paréntesis.
Ejemplo.
Descomponer un polinomio de tercer grado en factores.
Decisión.
Es obvio que es la raíz del polinomio, es decir, X se puede poner entre paréntesis:
Encuentra las raíces de un trinomio cuadrado 
Por lo tanto, 
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Factorización de un polinomio con raíces racionales.
Primero, considere el método de expandir un polinomio con coeficientes enteros de la forma , el coeficiente en el grado más alto es igual a uno.
En este caso, si el polinomio tiene raíces enteras, entonces son divisores del término libre.
Ejemplo.
Decisión.
Verifiquemos si hay raíces enteras. Para hacer esto, escribimos los divisores del número -18
: . Es decir, si el polinomio tiene raíces enteras, entonces están entre los números escritos. Verifiquemos estos números secuencialmente según el esquema de Horner. Su conveniencia también radica en que al final también obtendremos los coeficientes de expansión del polinomio: 
Es decir, x=2 y x=-3 son las raíces del polinomio original y se puede representar como un producto:
Queda por desarrollar el trinomio cuadrado.
El discriminante de este trinomio es negativo, por lo que no tiene raíces reales.
Responder:
Comentario:
en lugar del esquema de Horner, se podría utilizar la selección de una raíz y la subsiguiente división de un polinomio por un polinomio.
Ahora considere la descomposición de un polinomio con coeficientes enteros de la forma , y el coeficiente en el grado más alto no es igual a uno.
En este caso, el polinomio puede tener raíces fraccionariamente racionales.
Ejemplo.
Factoriza la expresión.
Decisión.
Cambiando la variable y=2x, pasamos a un polinomio con un coeficiente igual a uno en el grado más alto. Para hacer esto, primero multiplicamos la expresión por 4
.
Si la función resultante tiene raíces enteras, entonces se encuentran entre los divisores del término libre. Vamos a escribirlos:
Calcula secuencialmente los valores de la función g(y) en estos puntos hasta llegar a cero. 
Se dan 8 ejemplos de factorización de polinomios. Incluyen ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas y bicuadráticas, ejemplos de polinomios recursivos y ejemplos de cómo encontrar raíces enteras de polinomios de tercer y cuarto grado.
1. Ejemplos con la solución de una ecuación cuadrática
Ejemplo 1.1
X 4 + x 3 - 6 x 2.
Decisión
sacar x 2
para corchetes:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Raíces de ecuaciones:
, .
.
Responder
Ejemplo 1.2
Factorización de un polinomio de tercer grado:
X 3 + 6x2 + 9x.
Decisión
Sacamos x de los paréntesis:
.
Resolvemos la ecuación cuadrática x 2 + 6 x + 9 = 0:
Su discriminante es .
Como el discriminante es igual a cero, las raíces de la ecuación son múltiplos: ;
.
De aquí obtenemos la descomposición del polinomio en factores:
.
Responder
Ejemplo 1.3
Factorizando un polinomio de quinto grado:
X 5 - 2x4 + 10x3.
Decisión
sacar x 3
para corchetes:
.
Resolvemos la ecuación cuadrática x 2 - 2 x + 10 = 0.
Su discriminante es .
Como el discriminante es menor que cero, las raíces de la ecuación son complejas: ;
, .
La factorización de un polinomio tiene la forma:
.
Si estamos interesados en factorizar con coeficientes reales, entonces:
.
Responder
Ejemplos de factorización de polinomios usando fórmulas
Ejemplos con polinomios bicuadráticos
Ejemplo 2.1
Factoriza el polinomio bicuadrático:
X 4 + x 2 - 20.
Decisión
Aplicar las fórmulas:
un 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
un 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Responder
Ejemplo 2.2
Factorización de un polinomio que se reduce a bicuadrático:
X 8 + x 4 + 1.
Decisión
Aplicar las fórmulas:
un 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
un 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Responder
Ejemplo 2.3 con polinomio recursivo
Factorizando el polinomio recursivo:
.
Decisión
El polinomio recursivo tiene un grado impar. Por lo tanto tiene una raíz x = - 1
. Dividimos el polinomio por x - (-1) = x + 1. Como resultado, obtenemos:
.
Hacemos una sustitución:
, ;
;
;
.
Responder
Ejemplos de factorización de polinomios con raíces enteras
Ejemplo 3.1
Factorización de un polinomio:
.
Decisión
Supongamos que la ecuación
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Entonces, hemos encontrado tres raíces:
X 1 = 1
, X 2 = 2
, X 3 = 3
.
Como el polinomio original es de tercer grado, no tiene más de tres raíces. Como hemos encontrado tres raíces, son simples. Entonces
.
Responder
Ejemplo 3.2
Factorización de un polinomio:
.
Decisión
Supongamos que la ecuación
tiene al menos una raíz entera. entonces es el divisor del numero 2
(un miembro sin x). Es decir, la raíz entera puede ser uno de los números:
-2, -1, 1, 2
.
Sustituye estos valores uno por uno:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Si asumimos que esta ecuación tiene una raíz entera, entonces es un divisor del número 2
(un miembro sin x). Es decir, la raíz entera puede ser uno de los números:
1, 2, -1, -2
.
Sustituye x = -1
:
.
Así que hemos encontrado otra raíz x 2
= -1
. Sería posible, como en el caso anterior, dividir el polinomio por , pero agruparemos los términos:
.
Dado que la ecuación x 2 + 2 = 0 no tiene raíces reales, entonces la factorización del polinomio tiene la forma.
La factorización de polinomios es una transformación idéntica, como resultado de lo cual un polinomio se transforma en un producto de varios factores: polinomios o monomios.
Hay varias formas de factorizar polinomios.
Método 1. Poner entre paréntesis el factor común.
Esta transformación se basa en la ley distributiva de la multiplicación: ac + bc = c(a + b). La esencia de la transformación es destacar el factor común en los dos componentes en consideración y "sacarlo" de los corchetes.
Factoricemos el polinomio 28x 3 - 35x 4.
Decisión.
1. Encontramos un divisor común para los elementos 28x3 y 35x4. Para el 28 y el 35 serán 7; para x 3 y x 4 - x 3. En otras palabras, nuestro factor común es 7x3.
2. Representamos cada uno de los elementos como un producto de factores, uno de los cuales
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.
3. Poner entre paréntesis el factor común
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).
Método 2. Usar fórmulas de multiplicación abreviadas. La "maestría" de dominar este método es notar en la expresión una de las fórmulas para la multiplicación abreviada.
Factoricemos el polinomio x 6 - 1.
Decisión.
1. Podemos aplicar la fórmula de diferencia de cuadrados a esta expresión. Para hacer esto, representamos x 6 como (x 3) 2 y 1 como 1 2, es decir 1. La expresión tomará la forma:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).
2. A la expresión resultante, podemos aplicar la fórmula de la suma y diferencia de cubos:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Asi que,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Método 3. Agrupación. El método de agrupación consiste en combinar las componentes de un polinomio de tal manera que sea fácil realizar operaciones sobre ellas (suma, resta, sacando un factor común).
Factorizamos el polinomio x 3 - 3x 2 + 5x - 15.
Decisión.
1. Agrupa los componentes de esta manera: el 1º con el 2º y el 3º con el 4º
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).
2. En la expresión resultante, sacamos los factores comunes entre paréntesis: x 2 en el primer caso y 5 en el segundo.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).
3. Sacamos el factor común x - 3 y obtenemos:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).
Asi que,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Arreglemos el material.
Factoriza el polinomio a 2 - 7ab + 12b 2 .
Decisión.
1. Representamos el monomio 7ab como la suma 3ab + 4ab. La expresión tomará la forma:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 . 
Abramos los paréntesis y obtengamos:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .
2. Agrupa las componentes del polinomio de esta forma: la 1ª con la 2ª y la 3ª con la 4ª. Obtenemos:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).
3. Saquemos los factores comunes:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).
4. Saquemos el factor común (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).
Asi que,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
sitio, con copia total o parcial del material, se requiere un enlace a la fuente.
Teniendo en cuenta la multiplicación de polinomios, memorizamos varias fórmulas, a saber: fórmulas para (a + b)², para (a - b)², para (a + b) (a - b), para (a + b)³ y para (a – b)³.
Si un polinomio dado resulta coincidir con una de estas fórmulas, entonces será posible factorizarlo. Por ejemplo, el polinomio a² - 2ab + b², sabemos, es igual a (a - b)² [o (a - b) (a - b), es decir, logramos factorizar a² - 2ab + b² en 2 factores]; además
Considere el segundo de estos ejemplos. Vemos que el polinomio dado aquí se ajusta a la fórmula obtenida al elevar al cuadrado la diferencia de dos números (el cuadrado del primer número, menos el producto de dos por el primer número y el segundo, más el cuadrado del segundo número): x 6 es el cuadrado del primer número, y por lo tanto, el primer número en sí mismo es x 3, el cuadrado del segundo número es el último término del polinomio dado, es decir, 1, el segundo número en sí mismo es, por lo tanto, también 1; el producto de dos por el primer número y el segundo es el término -2x 3, porque 2x 3 \u003d 2 x 3 1. Por lo tanto, nuestro polinomio se obtuvo elevando al cuadrado la diferencia entre los números x 3 y 1, es decir, es igual a (x 3 - 12 . Considere otro cuarto ejemplo. Vemos que este polinomio a 2 b 2 - 25 se puede considerar como la diferencia de los cuadrados de dos números, a saber, el cuadrado del primer número es a 2 b 2, por lo tanto, el primer número en sí es ab, el cuadrado de el segundo número es 25, por lo que el segundo número en sí mismo es 5. Por lo tanto, nuestro polinomio puede considerarse obtenido al multiplicar la suma de dos números por su diferencia, es decir
(ab + 5) (ab - 5).
A veces sucede que en un polinomio dado los términos no están en el orden al que estamos acostumbrados, por ejemplo.
9a 2 + b 2 + 6ab - mentalmente podemos reorganizar el segundo y el tercer término, y entonces nos quedará claro que nuestro trinomio = (3a + b) 2.
... (reordenar mentalmente el primer y segundo término).
25a 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2 etc
Considere otro polinomio
a 2 + 2ab + 4b 2 .
Vemos que su primer término es el cuadrado del número a y el tercer término es el cuadrado del número 2b, pero el segundo término no es el producto de dos por el primer número y el segundo, tal producto sería igual a 2a 2b = 4ab. Por lo tanto, es imposible aplicar la fórmula del cuadrado de la suma de dos números a este polinomio. Si alguien escribió que a 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2, entonces esto sería incorrecto: debe considerar cuidadosamente todos los términos del polinomio antes de aplicarle la factorización mediante fórmulas.
40. La combinación de ambos métodos. A veces, al descomponer polinomios en factores, se debe combinar la técnica de sacar el factor común entre paréntesis y la técnica de aplicar fórmulas. Aquí hay unos ejemplos:
1. 2a 3 – 2ab 2 . Primero, sacamos el factor común 2a entre paréntesis y obtenemos 2a (a 2 - b 2). El factor a 2 - b 2, a su vez, se descompone según la fórmula en factores (a + b) y (a - b).
A veces es necesario aplicar el método de expansión por fórmulas repetidamente:
1. a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)
Vemos que el primer factor a 2 + b 2 no se ajusta a ninguna de las fórmulas familiares; además, recordando los casos especiales de división (Sec. 37), estableceremos que a 2 + b 2 (la suma de los cuadrados de dos números) no factoriza en absoluto. El segundo de los factores obtenidos a 2 - b 2 (la diferencia por el cuadrado de dos números) se descompone en factores (a + b) y (a - b). Asi que,
41. Aplicación de casos especiales de división. Con base en el ítem 37, podemos escribir inmediatamente que, por ejemplo,
Considere, usando ejemplos específicos, cómo factorizar un polinomio.
Desarrollaremos polinomios de acuerdo con .
Factorización de polinomios:
Comprueba si hay un factor común. si, es igual a 7cd. Vamos a sacarlo de paréntesis:
La expresión entre paréntesis consta de dos términos. Ya no hay un factor común, la expresión no es una fórmula para la suma de cubos, lo que significa que la descomposición está completa.
Comprueba si hay un factor común. No. El polinomio consta de tres términos, por lo que verificamos si hay una fórmula cuadrada completa. Dos términos son los cuadrados de las expresiones: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², el tercer término es igual al doble del producto de estas expresiones: 2∙5x∙3y=30xy. Entonces este polinomio es un cuadrado perfecto. Dado que el doble producto tiene un signo menos, entonces esto es:
Comprobamos si es posible sacar el factor común fuera de paréntesis. Hay un factor común, es igual a a. Vamos a sacarlo de paréntesis:
Hay dos términos entre paréntesis. Comprobamos si existe una fórmula para la diferencia de cuadrados o la diferencia de cubos. a² es el cuadrado de a, 1=1². Entonces, la expresión entre paréntesis se puede escribir de acuerdo con la fórmula de la diferencia de cuadrados:
Hay un factor común, es igual a 5. Lo sacamos de paréntesis:
entre paréntesis hay tres términos. Comprueba si la expresión es un cuadrado perfecto. Dos términos son cuadrados: 16=4² y a² es el cuadrado de a, el tercer término es igual al doble del producto de 4 y a: 2∙4∙a=8a. Por lo tanto, es un cuadrado perfecto. Como todos los términos van con signo "+", la expresión entre paréntesis es el cuadrado completo de la suma:
El factor común -2x se saca entre paréntesis:
Entre paréntesis está la suma de los dos términos. Comprobamos si la expresión dada es la suma de cubos. 64=4³, x³-cubo x. Entonces, el binomio se puede expandir de acuerdo con la fórmula:
Hay un factor común. Pero, dado que el polinomio consta de 4 miembros, primero, y solo después, sacaremos el factor común de los paréntesis. Agrupamos el primer término con el cuarto, en el segundo - con el tercero:
De los primeros corchetes sacamos el factor común 4a, del segundo - 8b:
Todavía no hay un multiplicador común. Para obtenerlo, del segundo paréntesis sacaremos los paréntesis “-”, mientras que cada signo entre paréntesis cambiará al contrario:
Ahora sacamos el factor común (1-3a) entre paréntesis:
En el segundo paréntesis hay un factor común 4 (este es el mismo factor que no sacamos de los paréntesis al principio del ejemplo):
Como el polinomio consta de cuatro términos, realizamos la agrupación. Agrupamos el primer término con el segundo, el tercero con el cuarto:
No hay factor común en los primeros paréntesis, pero hay una fórmula para la diferencia de cuadrados, en los segundos paréntesis el factor común es -5:
Ha aparecido un factor común (4m-3n). Saquémoslo de los corchetes.