Los límites dan muchos problemas a todos los estudiantes de matemáticas. Para resolver el límite, a veces tienes que usar muchos trucos y elegir entre una variedad de soluciones exactamente la que sea adecuada para un ejemplo en particular.

En este artículo, no lo ayudaremos a comprender los límites de sus habilidades o comprender los límites del control, pero intentaremos responder la pregunta: ¿cómo comprender los límites en matemáticas superiores? La comprensión viene con la experiencia, así que al mismo tiempo daremos algunos ejemplos detallados de resolución de límites con explicaciones.

El concepto de límite en matemáticas.

La primera pregunta es: ¿cuál es el límite y el límite de qué? Podemos hablar de los límites de las sucesiones y funciones numéricas. Nos interesa el concepto de límite de una función, ya que es con ellos que los estudiantes se encuentran con mayor frecuencia. Pero primero, la definición más general de un límite:

Digamos que hay alguna variable. Si este valor en el proceso de cambio se acerca indefinidamente a un cierto número a , entonces a es el límite de este valor.

Para una función definida en algún intervalo f(x)=y el limite es el numero A , al que tiende la función cuando X tendiendo a un cierto punto a . Punto a pertenece al intervalo en el que se define la función.

Suena engorroso, pero está escrito de manera muy simple:

Lim- De inglés límite- límite.

También hay una explicación geométrica para la definición del límite, pero aquí no entraremos en la teoría, ya que estamos más interesados ​​en el lado práctico que en el teórico del problema. cuando decimos eso X tiende a algún valor, esto significa que la variable no toma el valor de un número, sino que se aproxima infinitamente a él.

Tomemos un ejemplo concreto. El desafío es encontrar el límite.

Para resolver este ejemplo, sustituimos el valor x=3 en una función. Obtenemos:

Por cierto, si está interesado, lea un artículo separado sobre este tema.

en los ejemplos X puede tender a cualquier valor. Puede ser cualquier número o infinito. Aquí hay un ejemplo cuando X tiende a infinito:

Es intuitivamente claro que cuanto mayor sea el número en el denominador, menor será el valor que tomará la función. Entonces, con un crecimiento ilimitado X significado 1/x disminuirá y se aproximará a cero.

Como puede ver, para resolver el límite, solo necesita sustituir el valor por el que luchar en la función X . Sin embargo, este es el caso más simple. A menudo, encontrar el límite no es tan obvio. Dentro de los límites hay incertidumbres de tipo 0/0 o infinito/infinito . ¿Qué hacer en tales casos? ¡Usa trucos!

Incertidumbres dentro

Incertidumbre de la forma infinito/infinito

Sea un límite:

Si intentamos sustituir infinito en la función, obtenemos infinito tanto en el numerador como en el denominador. En general, vale la pena decir que hay un cierto elemento de arte en la resolución de tales incertidumbres: debe notar cómo puede transformar la función de tal manera que desaparezca la incertidumbre. En nuestro caso, dividimos el numerador y el denominador por X en grado superior. ¿Lo que sucederá?

Del ejemplo ya considerado anteriormente, sabemos que los términos que contienen x en el denominador tenderán a cero. Entonces la solución al límite es:

Para descubrir ambigüedades de tipo infinito/infinito dividir el numerador y el denominador por X al más alto grado.

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Otro tipo de incertidumbre: 0/0

Como siempre, la sustitución en la función de valor x=-1 da 0 en el numerador y el denominador. Mire un poco más de cerca y notará que tenemos una ecuación cuadrática en el numerador. Busquemos las raíces y escribamos:

Reducimos y obtenemos:

Entonces, si encuentra ambigüedad de tipo 0/0 - factorizar el numerador y el denominador.

Para facilitarte la resolución de ejemplos, aquí tienes una tabla con los límites de algunas funciones:

La regla de L'Hopital dentro

Otra forma poderosa de eliminar ambos tipos de incertidumbres. ¿Cuál es la esencia del método?

Si hay incertidumbre en el límite, tomamos la derivada del numerador y el denominador hasta que desaparezca la incertidumbre.

Visualmente, la regla de L'Hopital se ve así:

Punto importante : debe existir el límite, en el que las derivadas del numerador y el denominador están en lugar del numerador y el denominador.

Y ahora un ejemplo real:

Hay una incertidumbre típica 0/0 . Toma las derivadas del numerador y el denominador:

Voila, la incertidumbre se elimina rápida y elegantemente.

Esperamos que pueda poner en práctica esta información y encontrar la respuesta a la pregunta "cómo resolver límites en matemáticas superiores". Si necesita calcular el límite de una secuencia o el límite de una función en un punto, y no hay tiempo para este trabajo a partir de la palabra "absolutamente", consulte para obtener una solución rápida y detallada.

Se dan enunciados de los principales teoremas y propiedades de las sucesiones numéricas con límites. Contiene la definición de una sucesión y su límite. Se consideran operaciones aritméticas con sucesiones, propiedades relacionadas con las desigualdades, criterios de convergencia, propiedades de sucesiones infinitamente pequeñas e infinitamente grandes.

Secuencias

Secuencia numérica llamada ley (regla), según la cual, a cada número natural se le asigna un número.
El número se llama el n-ésimo miembro o elemento de la secuencia.
En lo que sigue, supondremos que los elementos de la sucesión son números reales.

limitado, si existe un número M tal que para todo n real .

cara superior Las secuencias se denominan el más pequeño de los números que limita la secuencia desde arriba. Es decir, este es un número s para el cual para todo n y para cualquier , existe tal elemento de la sucesión que excede a s′ : .

cara inferior Las secuencias nombran el mayor de los números que delimitan la secuencia desde abajo. Es decir, este es un número i para el cual para todo n y para cualquier , existe un elemento de la sucesión que es menor que i : .

El borde superior también se llama límite superior exacto, y el límite inferior límite inferior preciso. Los conceptos de límites superior e inferior son válidos no solo para secuencias, sino también para cualquier conjunto de números reales.

Determinación del límite de una secuencia

El número a se llama límite de la sucesión., si para cualquier número positivo existe tal número natural N , dependiendo de , que para todos los números naturales la desigualdad
.
El límite de una secuencia se denota de la siguiente manera:
.
O en .

Usando los símbolos lógicos de existencia y universalidad, la definición del límite se puede escribir de la siguiente manera:
.

Intervalo abierto (a - ε, a + ε) se llama la vecindad ε del punto a.

Una secuencia que tiene un límite se llama secuencia convergente. También se dice que la secuencia converge a un Una sucesión que no tiene límite se llama divergente.

punto un no es el límite de la sucesión, si existe tal que para cualquier n natural existe un m natural >n, qué
.
.
Esto significa que puede elegir tal vecindad ε del punto a , fuera de la cual habrá un número infinito de elementos de la secuencia.

Propiedades de límites finitos de sucesiones

Propiedades básicas

Un punto a es el límite de una sucesión si y sólo si fuera de cualquier vecindad de este punto está número finito de elementos secuencias o el conjunto vacío.

Si el número a no es el límite de la sucesión, entonces existe tal vecindad del punto a, fuera de la cual existe número infinito de elementos de secuencia.

Teorema de unicidad para el límite de una secuencia numérica. Si una secuencia tiene un límite, entonces es única.

Si una sucesión tiene un límite finito, entonces limitado.

Si cada elemento de la secuencia es igual al mismo numero C : , entonces esta sucesión tiene un límite igual al número C .

Si la secuencia agregue, suelte o cambie los primeros m elementos, entonces esto no afectará su convergencia.

Pruebas de propiedades básicas dado en la pagina
Propiedades básicas de límites finitos de sucesiones >>> .

Aritmética con límites

Sean límites finitos y secuencias y . Y sea C una constante, es decir, un número dado. Entonces
;
;
;
, Si .
En el caso del cociente, se supone que para todo n .

Si, entonces.

Pruebas de propiedad aritmética dado en la pagina
Propiedades aritméticas de límites finitos de sucesiones >>> .

Propiedades asociadas a las desigualdades

Si los elementos de la sucesión, a partir de algún número, satisfacen la desigualdad , entonces el límite a de esta sucesión también satisface la desigualdad .

Si los elementos de la sucesión, a partir de algún número, pertenecen a un intervalo cerrado (segmento), entonces el límite a también pertenece a este intervalo: .

Si y y elementos de sucesiones, a partir de algún número, satisfacen la desigualdad , entonces .

Si y, a partir de algún número, , entonces .
En particular, si, a partir de algún número, , entonces
si, entonces;
si, entonces.

Si y , entonces .

Sea y . si un < b , entonces existe un número natural N tal que para todo n > norte la desigualdad se satisface.

Pruebas de propiedades relacionadas con las desigualdades dado en la pagina
Propiedades de los límites de secuencia relacionados con >>> desigualdades.

Sucesiones infinitesimales e infinitesimales

Secuencia infinitesimal

Secuencia se llama sucesión infinitesimal si su límite es cero:
.

suma y diferencia número finito de secuencias infinitesimales es una secuencia infinitesimal.

Producto de una secuencia acotada a un infinitesimal es una secuencia infinitesimal.

Producto de un número finito secuencias infinitesimales es una secuencia infinitesimal.

Para que una sucesión tenga un límite a , es necesario y suficiente que , donde es una sucesión infinitesimal.

Pruebas de propiedades de sucesiones infinitesimales dado en la pagina
Secuencias infinitamente pequeñas - definición y propiedades >>> .

Secuencia infinitamente grande

Secuencia se llama secuencia infinita, si para cualquier número positivo existe tal número natural N , dependiendo de , que para todos los números naturales la desigualdad
.
En este caso, escriba
.
O en .
Dicen que tiende al infinito.

Si , a partir de algún número N , entonces
.
si, entonces
.

Si las sucesiones son infinitamente grandes, entonces, a partir de algún número N, se define una sucesión que es infinitamente pequeña. Si son una secuencia infinitesimal con elementos distintos de cero, entonces la secuencia es infinitamente grande.

Si la sucesión es infinitamente grande y la sucesión está acotada, entonces
.

Si los valores absolutos de los elementos de la secuencia están limitados desde abajo por un número positivo (), y es infinitamente pequeño con elementos distintos de cero, entonces
.

En detalles definición de una secuencia infinitamente grande con ejemplos dado en la pagina
Definición de una secuencia infinitamente grande >>> .
Pruebas de propiedades de secuencias infinitamente grandes dado en la pagina
Propiedades de secuencias infinitamente grandes >>> .

Criterios de convergencia de secuencias

Secuencias monótonas

La secuencia se llama estrictamente creciente, si para todo n se cumple la siguiente desigualdad:
.
En consecuencia, por estrictamente decreciente secuencia, se cumple la siguiente desigualdad:
.
Para no decreciente:
.
Para no creciente:
.

De ello se deduce que una sucesión estrictamente creciente tampoco es decreciente. Una sucesión estrictamente decreciente tampoco es creciente.

La secuencia se llama monótono si es no decreciente o no creciente.

Una secuencia monótona está limitada en al menos un lado por . Una sucesión no decreciente está acotada por debajo: . Una sucesión no creciente está acotada superiormente: .

teorema de Weierstrass. Para que una sucesión no decreciente (no creciente) tenga un límite finito, es necesario y suficiente que esté acotada por arriba (por abajo). Aquí M es un número.

Dado que cualquier secuencia no decreciente (no creciente) está acotada desde abajo (desde arriba), el teorema de Weierstrass se puede reformular de la siguiente manera:

Para que una sucesión monótona tenga un límite finito, es necesario y suficiente que esté acotada: .

Secuencia monotónica ilimitada tiene un límite infinito, igual para secuencias no decrecientes y no crecientes.

Prueba del teorema de Weierstrass dado en la pagina
Teorema de Weierstrass sobre el límite de una sucesión monótona >>> .

Criterio de Cauchy para la convergencia de secuencias

Condición de Cauchy. Una secuencia satisface la condición de Cauchy si para cualquiera existe un número natural tal que para todos los números naturales n y m que satisfacen la condición, la desigualdad
.
Las sucesiones que satisfacen la condición de Cauchy también se denominan secuencias fundamentales.

Criterio de Cauchy para la convergencia de secuencias. Para que una sucesión tenga un límite finito, es necesario y suficiente que satisfaga la condición de Cauchy.

Prueba del criterio de convergencia de Cauchy dado en la pagina
Criterio de convergencia de Cauchy para una secuencia >>> .

subsecuencias

Teorema de Bolzano-Weierstrass. De cualquier secuencia acotada, se puede distinguir una subsecuencia convergente. Y de cualquier secuencia ilimitada: una subsecuencia infinitamente grande que converge hacia o hacia .

Prueba del teorema de Bolzano-Weierstrass dado en la pagina
Teorema de Bolzano-Weierstrass >>> .

Las definiciones, los teoremas y las propiedades de las subsucesiones y los límites parciales se analizan en la página
Subsucesiones y límites parciales de sucesiones >>>.

Referencias:
CM. Nikolsky. Curso de análisis matemático. Volumen 1. Moscú, 1983.
LD Kudryavtsev. Curso de análisis matemático. Volumen 1. Moscú, 2003.
VIRGINIA. Zorich. Análisis matemático. Parte 1. Moscú, 1997.
VIRGINIA. Ilyin, E.G. Pozniak. Fundamentos del análisis matemático. Parte 1. Moscú, 2005.

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Teoría de los límites- una de las secciones de análisis matemático, que uno puede dominar, otras apenas calculan los límites. La cuestión de encontrar límites es bastante general, ya que existen decenas de trucos soluciones límite varios tipos. Se pueden encontrar los mismos límites tanto con la regla de L'Hopital como sin ella. Sucede que el programa en una serie de funciones infinitesimales le permite obtener rápidamente el resultado deseado. Hay un conjunto de trucos y trucos que le permiten encontrar el límite de una función de cualquier complejidad. En este artículo, intentaremos comprender los principales tipos de límites que se encuentran con mayor frecuencia en la práctica. No daremos aquí la teoría y definición del límite, hay muchos recursos en Internet donde se masca esto. Por lo tanto, hagamos cálculos prácticos, es aquí donde comienza "¡No sé! ¡No sé cómo! ¡No nos enseñaron!"

Cálculo de límites por el método de sustitución

Ejemplo 1 Encontrar el límite de una función
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Solución: En teoría, los ejemplos de este tipo se calculan mediante la sustitución habitual

El límite es 18/11.
No hay nada complicado y sabio dentro de tales límites: sustituyeron el valor, calcularon, escribieron el límite en respuesta. Sin embargo, sobre la base de dichos límites, a todos se les enseña que, en primer lugar, es necesario sustituir un valor en la función. Además, los límites complican, introducen el concepto de infinito, incertidumbre y similares.

Límite con incertidumbre de tipo infinito dividido por infinito. Métodos de revelación de incertidumbre

Ejemplo 2 Encontrar el límite de una función
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinito).
Solución: Se da un límite de la forma polinomio dividido por un polinomio, y la variable tiende a infinito

Una simple sustitución del valor al que la variable debe encontrar los límites no ayudará, obtenemos una incertidumbre de la forma infinito dividido por infinito.
Teoría del bote de los límites El algoritmo para calcular el límite consiste en encontrar el mayor grado de "x" en el numerador o denominador. A continuación, se simplifica el numerador y el denominador y se encuentra el límite de la función.

Como el valor tiende a cero cuando la variable tiende a infinito, se desprecian o se escriben en la expresión final como ceros.

Inmediatamente de la práctica, puede obtener dos conclusiones que son una pista en los cálculos. Si la variable tiende a infinito y el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces el límite es igual a infinito. De lo contrario, si el polinomio en el denominador es de mayor orden que en el numerador, el límite es cero.
La fórmula del límite se puede escribir como

Si tenemos una función de la forma de un logaritmo ordinario sin fracciones, entonces su límite es igual a infinito

El siguiente tipo de límites se refiere al comportamiento de funciones cercanas a cero.

Ejemplo 3 Encontrar el límite de una función
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Solución: Aquí no se requiere sacar el principal multiplicador del polinomio. Exactamente lo contrario, es necesario encontrar la potencia más pequeña del numerador y el denominador y calcular el límite

valor x^2; x tiende a cero cuando la variable tiende a cero Por lo tanto, se desprecian, así obtenemos

que el límite es 2.5.

ahora ya sabes como hallar el limite de una funcion una especie de polinomio dividido por un polinomio si la variable tiende a infinito o 0. Pero esto es solo una pequeña y fácil parte de los ejemplos. Del siguiente material aprenderás cómo descubrir las incertidumbres de los límites de una función.

Límite con incertidumbre de tipo 0/0 y métodos para su cálculo

Inmediatamente todos recuerdan la regla según la cual no se puede dividir por cero. Sin embargo, la teoría de los límites en este contexto significa funciones infinitesimales.
Veamos algunos ejemplos para ilustrar.

Ejemplo 4 Encontrar el límite de una función
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Solución: Al sustituir el valor de la variable x = -1 en el denominador, obtenemos cero, obtenemos lo mismo en el numerador. Entonces tenemos incertidumbre de la forma 0/0.
Es fácil lidiar con tal incertidumbre: necesita factorizar el polinomio, o más bien, seleccionar un factor que convierta la función en cero.

Después de la descomposición, el límite de la función se puede escribir como

Esa es toda la técnica para calcular el límite de una función. Hacemos lo mismo si hay un límite de la forma de un polinomio dividido por un polinomio.

Ejemplo 5 Encontrar el límite de una función
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Solución: espectáculos de sustitución directa
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
que tenemos incertidumbre de tipo 0/0.
Divide los polinomios por el factor que introduce la singularidad


Hay profesores que enseñan que los polinomios de segundo orden, es decir, el tipo de "ecuaciones cuadráticas" deben resolverse mediante el discriminante. Pero la práctica real muestra que es más largo y más complicado, así que deshazte de las funciones dentro de los límites de acuerdo con el algoritmo especificado. Así, escribimos la función en forma de factores simples y calculamos en el límite

Como puede ver, no hay nada complicado en el cálculo de tales límites. Sabes dividir polinomios a la hora de estudiar los límites, al menos según el programa, ya deberías aprobar.
Entre las tareas de incertidumbre de tipo 0/0 las hay en las que es necesario aplicar las fórmulas de la multiplicación abreviada. Pero si no los conoce, al dividir el polinomio por el monomio, puede obtener la fórmula deseada.

Ejemplo 6 Encontrar el límite de una función
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Solución: Tenemos una incertidumbre de tipo 0/0. En el numerador, usamos la fórmula para la multiplicación abreviada

y calcule el límite deseado

Método de revelación de incertidumbre por multiplicación por el conjugado

El método se aplica a los límites en los que las funciones irracionales generan incertidumbre. El numerador o denominador se vuelve cero en el punto de cálculo y no se sabe cómo encontrar el límite.

Ejemplo 7 Encontrar el límite de una función
Lim((raíz cuadrada(x+2)-raíz cuadrada(7x-10))/(3x-6), x=2).
Solución: Representemos la variable en la fórmula del límite

Al sustituir, obtenemos una incertidumbre de tipo 0/0.
Según la teoría de los límites, el esquema para eludir esta singularidad consiste en multiplicar una expresión irracional por su conjugado. Para mantener la expresión sin cambios, el denominador debe dividirse por el mismo valor

Por la regla de la diferencia de cuadrados, simplificamos el numerador y calculamos el límite de la función

Simplificamos los términos que crean una singularidad en el límite y realizamos la sustitución

Ejemplo 8 Encontrar el límite de una función
Lim((raíz cuadrada(x-2)-raíz cuadrada(2x-5))/(3-x), x=3).
Solución: La sustitución directa muestra que el límite tiene una singularidad de la forma 0/0.

Para expandir, multiplicar y dividir por el conjugado al numerador

Escribe la diferencia de cuadrados.

Simplificamos los términos que introducen una singularidad y encontramos el límite de la función

Ejemplo 9 Encontrar el límite de una función
Lim((x^2+x-6)/(raíz cuadrada(3x-2)-2), x=2).
Solución: Sustituir el dos en la fórmula

Obtener incertidumbre 0/0.
Se debe multiplicar el denominador por la expresión conjugada, y en el numerador resolver la ecuación cuadrática o factorizar, teniendo en cuenta la singularidad. Como se sabe que 2 es una raíz, entonces la segunda raíz se encuentra por el teorema de Vieta

Por lo tanto, escribimos el numerador en la forma

y poner en el límite

Habiendo reducido la diferencia de cuadrados, nos deshacemos de las características en el numerador y denominador

De la manera anterior, puede deshacerse de la singularidad en muchos ejemplos, y la aplicación debe notarse en todas partes donde la diferencia dada de las raíces se convierte en cero al sustituir. Otros tipos de límites se refieren a funciones exponenciales, funciones infinitesimales, logaritmos, límites singulares y otras técnicas. Pero puede leer sobre esto en los siguientes artículos sobre límites.

Para los que quieran aprender a encontrar los límites en este artículo hablaremos de ello. No profundizaremos en la teoría, generalmente se da en conferencias por parte de los profesores. Entonces, la "teoría aburrida" debe estar delineada en sus cuadernos. Si este no es el caso, puede leer libros de texto tomados de la biblioteca de la institución educativa o en otros recursos de Internet.

Entonces, el concepto de límite es bastante importante en el estudio del curso de matemáticas superiores, especialmente cuando te encuentras con el cálculo integral y comprendes la relación entre el límite y la integral. En el material actual, se considerarán ejemplos simples, así como formas de resolverlos.

Ejemplos de soluciones

Ejemplo 1

Calcula a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Solución

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ A menudo nos envían estos límites pidiendo ayuda para resolverlos. Decidimos resaltarlos como un ejemplo separado y explicar que estos límites simplemente deben recordarse, como regla. Si no puede resolver su problema, envíenoslo. Proporcionaremos una solución detallada. Podrá familiarizarse con el progreso del cálculo y recopilar información. ¡Esto lo ayudará a obtener un crédito del maestro de manera oportuna!

Respuesta

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \to \to 0) \frac (1)(x) = 0 $$

Qué hacer con la incertidumbre de la forma: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Ejemplo 3

Resolver $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Solución

Como siempre, comenzamos sustituyendo el valor de $ x $ en la expresión debajo del signo de límite. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ ¿Que sigue? ¿Cuál debería ser el resultado? Como esto es una incertidumbre, esto todavía no es una respuesta y continuamos con el cálculo. Como tenemos un polinomio en los numeradores, lo descomponemos en factores usando la fórmula familiar $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. ¿Recordado? ¡Multa! Ahora ve y aplícalo con la canción :) Obtenemos que el numerador $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Seguimos resolviendo dada la transformación anterior: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Respuesta

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Llevemos el límite de los dos últimos ejemplos al infinito y consideremos la incertidumbre: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Ejemplo 5

Calcula $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Solución

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ ¿Qué hacer? ¿Cómo ser? No entres en pánico, porque lo imposible es posible. Es necesario quitar los corchetes tanto en el numerador como en el denominador X, y luego reducirlo. Después de eso, trata de calcular el límite. Difícil... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Usando la definición del Ejemplo 2 y sustituyendo infinito por x, obtenemos: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Respuesta

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritmo para el cálculo de límites

Entonces, resumamos brevemente los ejemplos analizados y hagamos un algoritmo para resolver los límites:

1. Sustituye el punto x en la expresión que sigue al signo de límite. Si se obtiene un cierto número, o el infinito, entonces el límite se resuelve por completo. De lo contrario, tenemos incertidumbre: "cero dividido por cero" o "infinito dividido por infinito" y pasamos a los siguientes párrafos de la instrucción.
2. Para eliminar la incertidumbre "cero dividido por cero" necesitas factorizar el numerador y el denominador. Reducir similares. Sustituye el punto x en la expresión debajo del signo de límite.
3. Si la incertidumbre es "infinito dividido por infinito", entonces sacamos tanto en el numerador como en el denominador x de mayor grado. Acortamos las x. Sustituimos los valores de x por debajo del límite en la expresión restante.

En este artículo, te familiarizaste con los conceptos básicos de resolución de límites, que se usan a menudo en el curso de Cálculo. Por supuesto, estos no son todos los tipos de problemas que ofrecen los examinadores, sino solo los límites más simples. Hablaremos sobre otros tipos de tareas en futuros artículos, pero primero debe aprender esta lección para poder continuar. Discutiremos qué hacer si hay raíces, grados, estudiaremos funciones equivalentes infinitesimales, límites maravillosos, la regla de L'Hopital.

Si no puede descubrir los límites por su cuenta, no entre en pánico. ¡Siempre estamos felices de ayudar!