- La probabilidad es el grado (medida relativa, evaluación cuantitativa) de la posibilidad de que ocurra un determinado evento. Cuando las razones por las que un posible evento realmente ocurra superan a las razones opuestas, entonces el evento se llama probable, de otra manera improbable o improbable. La preponderancia de los motivos positivos sobre los negativos, y viceversa, puede ser en diversos grados, como resultado de lo cual la probabilidad (e improbabilidad) es más o menos. Por lo tanto, la probabilidad se evalúa a menudo a un nivel cualitativo, especialmente en los casos en que una evaluación cuantitativa más o menos precisa es imposible o extremadamente difícil. Son posibles varias gradaciones de "niveles" de probabilidad.
El estudio de la probabilidad desde un punto de vista matemático es una disciplina especial: la teoría de la probabilidad. En la teoría de la probabilidad y la estadística matemática, el concepto de probabilidad se formaliza como una característica numérica de un evento - una medida probabilística (o su valor) - una medida en un conjunto de eventos (subconjuntos de un conjunto de eventos elementales), tomando valores De
(\ Displaystyle 0)
(\ Displaystyle 1)
Significado
(\ Displaystyle 1)
Corresponde a un evento válido. Un evento imposible tiene una probabilidad de 0 (lo contrario generalmente no siempre es cierto). Si la probabilidad de que ocurra un evento es
(\ Displaystyle p)
Entonces la probabilidad de que no ocurra es
(\ Displaystyle 1-p)
En particular, la probabilidad
(\ Displaystyle 1/2)
Significa la probabilidad igual de ocurrencia y no ocurrencia del evento.
La definición clásica de probabilidad se basa en la noción de igual probabilidad de resultados. La probabilidad es la relación entre el número de resultados favorables a un evento dado y el número total de resultados igualmente posibles. Por ejemplo, la probabilidad de obtener "cara" o "cruz" al lanzar una moneda al azar es 1/2 si se supone que solo existen estas dos posibilidades y son igualmente posibles. Esta "definición" clásica de probabilidad se puede generalizar al caso de un número infinito de valores posibles, por ejemplo, si algún evento puede ocurrir con la misma probabilidad en cualquier punto (el número de puntos es infinito) en un área limitada determinada. del espacio (plano), entonces la probabilidad de que ocurra en alguna parte de esta área admisible es igual a la relación entre el volumen (área) de esta parte y el volumen (área) del área de todos los posibles puntos.
La "determinación" empírica de la probabilidad se asocia con la frecuencia de ocurrencia del evento sobre la base de que con un número suficientemente grande de pruebas, la frecuencia debe tender al grado objetivo de posibilidad de este evento. En la presentación moderna de la teoría de la probabilidad, la probabilidad se define axiomáticamente, como un caso especial de la teoría abstracta de la medida de un conjunto. Sin embargo, el vínculo entre la medida abstracta y la probabilidad, que expresa el grado de posibilidad de ocurrencia de un evento, es precisamente la frecuencia de su observación.
La descripción probabilística de ciertos fenómenos se ha generalizado en la ciencia moderna, en particular en la econometría, la física estadística de sistemas macroscópicos (termodinámicos), donde incluso en el caso de la descripción determinista clásica del movimiento de partículas, la descripción determinista de todo el sistema de partículas no es prácticamente posible y conveniente. En física cuántica, los procesos descritos en sí mismos son de naturaleza probabilística.
El concepto básico de la teoría de la probabilidad es el concepto de evento aleatorio. Por un evento aleatorio es un evento que, bajo ciertas condiciones, puede ocurrir o no. Por ejemplo, golpear un objeto o fallar al disparar a este objeto con un arma determinada es un evento aleatorio.
El evento se llama de confianza si, como resultado de la prueba, ocurre necesariamente. Imposible se denomina evento que no puede ocurrir como resultado de la prueba.
Los eventos aleatorios se llaman inconsistente en un ensayo determinado si no pueden aparecer dos juntos.
Formulario de eventos aleatorios grupo completo si en cada ensayo cualquiera de ellos puede aparecer y ningún otro evento incompatible con ellos puede aparecer.
Considere un grupo completo de eventos aleatorios incompatibles igualmente posibles. Tales eventos se llamarán resultados o eventos elementales... El éxodo se llama favorable la ocurrencia del evento $ A $, si la ocurrencia de este resultado implica la ocurrencia del evento $ A $.
Ejemplo. La urna contiene 8 bolas numeradas (cada bola tiene un número del 1 al 8). Las bolas con los números 1, 2, 3 son rojas, el resto son negras. La aparición de una bola con el número 1 (o el número 2 o el número 3) es un hecho favorable para la aparición de la bola roja. La aparición de la bola con el número 4 (o el número 5, 6, 7, 8) es un hecho favorable para la aparición de la bola negra.
Probabilidad del evento$ A $ es la razón entre el número $ m $ de resultados favorables a este evento y el número total $ n $ de todos los resultados elementales inconsistentes igualmente posibles que forman el grupo completo $$ P (A) = \ frac (m) ( norte). \ quad (1) $$
Propiedad 1. La probabilidad de un evento confiable es igual a uno.
Propiedad 2. La probabilidad de un evento imposible es cero.
Propiedad 3. La probabilidad de un evento aleatorio es un número positivo entre cero y uno.
Entonces, la probabilidad de cualquier evento satisface la doble desigualdad $ 0 \ le P (A) \ le 1 $.
Materiales útiles
Calculadoras en línea
Un gran estrato de problemas resueltos mediante la fórmula (1) se refiere al tema de la probabilidad hipergeométrica. Debajo de los enlaces, puede encontrar descripciones de problemas populares y calculadoras en línea para sus soluciones:
- Problema con las bolas (hay $ k $ bolas blancas y $ n $ negras en la urna, saque $ m $ bolas ...)
- Problema con las piezas (la caja contiene $ k $ piezas estándar y $ n $ piezas defectuosas, saque $ m $ piezas ...)
- Problema con los boletos de lotería ($ k $ boletos ganadores y $ n $ no ganadores participan en la lotería, $ m $ boletos comprados ...)
Artículos tutoriales con ejemplos
- ¿Cómo hallas la probabilidad en los problemas de lanzamiento de monedas?
Ejemplos de soluciones para probabilidad clásica
Ejemplo. La urna contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se sacó una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de bolas extraídas no exceda de 10?
Solución. Deja el evento A= (El número de bolas extraídas no supera las 10). El número de casos favorables para la ocurrencia del evento. A es igual al número de todos los casos posibles metro=norte= 10. Por eso, R(A) = 1. Evento Un fiable.
Ejemplo. Hay 10 bolas en la urna: 6 blancas y 4 negras. Sacaron dos bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean blancas?
Solución. Puede sacar dos bolas de cada diez de las siguientes formas :.
El número de veces que hay dos bolas blancas entre estas dos bolas es 
.
Buscando probabilidad 
.
Ejemplo. Hay 15 bolas en la urna: 5 blancas y 10 negras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar la bola azul de la urna?
Solución. Como no hay bolas azules en la urna, entonces metro=0, norte= 15. Por tanto, la probabilidad requerida R= 0. El evento de sacar la bola azul imposible.
Ejemplo. Se extrae una carta de una baraja de 36 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca una carta de Corazones?
Solución... Número de resultados elementales (número de cartas) norte= 36. Evento A= (Aparición de una carta de palo de corazón). El número de casos favorables para la ocurrencia del evento. A, metro= 9. Por eso, 
.
Teoría breve
Para una comparación cuantitativa de eventos según el grado de posibilidad de que ocurran, se introduce una medida numérica, que se denomina probabilidad de un evento. La probabilidad de un evento aleatorio Se llama un número, que es una expresión de la medida de la posibilidad objetiva de que ocurra un evento.
Los valores que determinan cuán significativos son los motivos objetivos para esperar la ocurrencia de un evento, se caracterizan por la probabilidad del evento. Cabe destacar que la probabilidad es un valor objetivo que existe independientemente del conocedor y está condicionado por todo el conjunto de condiciones que contribuyen al surgimiento de un evento.
Las explicaciones que hemos dado al concepto de probabilidad no son una definición matemática, ya que no cuantifican el concepto. Existen varias definiciones de probabilidad de un evento aleatorio que se utilizan ampliamente para resolver problemas específicos (definición clásica, geométrica de probabilidad, estadística, etc.).
La definición clásica de la probabilidad de un evento. reduce este concepto a un concepto más elemental de sucesos igualmente posibles, que ya no está sujeto a definición y se supone intuitivamente claro. Por ejemplo, si el dado es un cubo uniforme, entonces la caída de cualquiera de las caras de este cubo serán eventos igualmente posibles.
Dejemos que un evento confiable se divida en casos igualmente posibles, la suma de los cuales da un evento. Es decir, los casos de los que se escinde se denominan favorables para el evento, ya que la aparición de uno de ellos asegura la ofensiva.
La probabilidad de un evento se indicará con el símbolo.
La probabilidad de un evento es igual a la razón del número de casos favorables al mismo, del número total de los únicos casos posibles, igualmente posibles e inconsistentes al número, es decir,
Ésta es la definición clásica de probabilidad. Por lo tanto, para encontrar la probabilidad de un evento, es necesario, después de considerar los diversos resultados de la prueba, encontrar un conjunto de los únicos casos posibles, igualmente posibles e inconsistentes, para calcular su número total n, el número de casos m, favorables para este evento, y luego realizar el cálculo de acuerdo con la fórmula anterior.
La probabilidad de un evento igual a la razón entre el número de resultados favorables del evento de la experiencia y el número total de resultados de la experiencia se llama probabilidad clásica evento al azar.
Las siguientes propiedades de la probabilidad se derivan de la definición:
Propiedad 1. La probabilidad de cierto evento es igual a uno.
Propiedad 2. La probabilidad de un evento imposible es cero.
Propiedad 3. La probabilidad de un evento aleatorio es un número positivo entre cero y uno.
Propiedad 4. La probabilidad de ocurrencia de eventos que forman un grupo completo es igual a uno.
Propiedad 5. La probabilidad de que ocurra el evento opuesto se determina de la misma manera que la probabilidad de que ocurra el evento A.
El número de ocurrencias que favorecen la ocurrencia del evento contrario. Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra el evento opuesto es igual a la diferencia entre la unidad y la probabilidad de que ocurra el evento A:
Una ventaja importante de la definición clásica de probabilidad de un evento es que con su ayuda se puede determinar la probabilidad de un evento sin recurrir a la experiencia, sino partiendo del razonamiento lógico.
Cuando se cumplen una serie de condiciones, seguramente sucederá un evento confiable, y lo imposible no necesariamente sucederá. Entre los eventos que, al crear un conjunto de condiciones, pueden ocurrir o no, se puede contar con la aparición de algunos con más razón, con la aparición de otros con menos razón. Si, por ejemplo, hay más bolas blancas en una urna que negras, entonces hay más razones para esperar la aparición de una bola blanca cuando se saca de la urna al azar que la aparición de una bola negra.
Se examina la página siguiente.
Un ejemplo de solución del problema.
Ejemplo 1
La caja contiene 8 bolas blancas, 4 negras y 7 rojas. Se extraen 3 bolas al azar. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos: - se extrae al menos 1 bola roja, - hay al menos 2 bolas del mismo color, - hay al menos 1 bola roja y 1 blanca.
La solucion del problema
Encontramos el número total de resultados de prueba como el número de combinaciones de 19 (8 + 4 + 7) elementos de 3:
Encuentra la probabilidad de un evento- eliminado al menos 1 bola roja (1,2 o 3 bolas rojas)
Buscando probabilidad:
Deja el evento- hay al menos 2 bolas del mismo color (2 o 3 bolas blancas, 2 o 3 bolas negras y 2 o 3 bolas rojas)
Número de resultados favorables al evento:
Buscando probabilidad:
Deja el evento- hay al menos una bola roja y una blanca
(1 rojo, 1 blanco, 1 negro o 1 rojo, 2 blancos o 2 rojos, 1 blanco)
Número de resultados favorables al evento:
Buscando probabilidad:
Respuesta: P (A) = 0,773; P (C) = 0,7688; P (D) = 0,6068
Ejemplo 2
Se lanzan dos dados. Encuentre la probabilidad de que la suma de los puntos sea al menos 5.
Solución
Sea el evento la suma de puntos no menos de 5
Usemos la definición clásica de probabilidad:
Número total de posibles resultados del ensayo
El número de juicios favorables al evento que nos interesa.
Un punto, dos puntos ..., pueden aparecer seis puntos en el borde tirado del primer dado. de manera similar, son posibles seis resultados en la segunda tirada del dado. Cada uno de los resultados de lanzar el primer dado se puede combinar con cada uno de los resultados del segundo. Por lo tanto, el número total de posibles resultados de pruebas elementales es igual al número de ubicaciones con repeticiones (una elección con ubicaciones de 2 elementos de un conjunto de 6):
Encuentre la probabilidad del evento opuesto: la suma de los puntos es menor que 5
Las siguientes combinaciones de puntos perdidos favorecerán el evento:
| № | 1er hueso | Segundo hueso | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 4 | 3 | 1 | 5 | 1 | 3 |
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Ejemplos de tareas relacionadas
Fórmula de probabilidad total. Fórmula de Bayes
Usando el ejemplo de resolución del problema, se consideran la fórmula de probabilidad total y la fórmula de Bayes, y también qué son las hipótesis y las probabilidades condicionales.
“El lector ya ha notado en nuestra presentación el uso frecuente del término“ probabilidad ”.
Este es un rasgo característico de la lógica moderna en contraposición a la lógica antigua y medieval. El lógico moderno comprende que todo nuestro conocimiento es sólo más o menos probabilístico, y no fiable, como están acostumbrados a pensar los filósofos y teólogos. No le preocupa demasiado el hecho de que la inferencia inductiva solo dé credibilidad a su conclusión, ya que no espera nada más. Sin embargo, dudará si encuentra motivos para dudar incluso de la probabilidad de su encarcelamiento.
Por tanto, los dos problemas se han vuelto mucho más importantes en la lógica moderna que en épocas anteriores. Primero, es la naturaleza de la probabilidad, y segundo, el significado de la inducción. Analicemos brevemente estos problemas.
Hay, respectivamente, dos tipos de probabilidad: definida e indefinida.
Un cierto tipo de probabilidad ocurre en la teoría matemática de la probabilidad, donde se discuten problemas como tirar los dados o las monedas. Ocurre donde hay varias posibilidades, y ninguna de ellas debe preferirse a la otra. Si lanza una moneda, debería salir cara o cruz, pero ambas parecen igualmente probables. Por lo tanto, las probabilidades de cara y cruz son del 50%, se toma 1 como fiabilidad. Del mismo modo, si lanza un dado, puede caer por cualquiera de las seis caras, y no hay razón para favorecer a una de ellas, por lo que la probabilidad de que cada una sea de 1/6. Las compañías de seguros utilizan este tipo de probabilidad en su trabajo. No saben qué edificio se quemará, pero saben qué porcentaje de edificios se incendia anualmente. No saben cuánto tiempo vivirá una persona en particular, pero sí conocen la esperanza de vida promedio en un período determinado. En todos estos casos, la estimación de la probabilidad en sí misma no es simplemente probable, excepto en el sentido en que todo conocimiento es solo probable. La estimación de probabilidad en sí misma puede tener un alto grado de probabilidad. De lo contrario, las compañías de seguros irían a la quiebra.
Se han realizado grandes esfuerzos para aumentar la probabilidad de inducción, pero hay razones para creer que todos estos intentos fueron en vano. La característica de probabilidad de las inferencias inductivas es casi siempre, como dije antes, incierta.
Ahora te explicaré de qué se trata.
Se ha vuelto trivial decir que todo el conocimiento humano es incorrecto. Evidentemente, existen distintos tipos de errores. Si digo eso Buda Vivió en el siglo VI. antes del nacimiento de Cristo, la probabilidad de error será muy alta. Si digo eso César fue eliminado, la probabilidad de error será pequeña.
Si digo que ahora hay una gran guerra, entonces la probabilidad de error es tan pequeña que solo un filósofo o un lógico pueden admitir su existencia. Estos ejemplos se relacionan con eventos históricos, pero existe una gradación similar con respecto a las leyes científicas. Algunas de ellas tienen un carácter explícito de hipótesis, a las que nadie dará un estatus más serio por la falta de datos empíricos a su favor, mientras que otras parecen tan definidas que prácticamente no hay duda por parte de los científicos sobre su veracidad. (Cuando digo "verdad", me refiero a "verdad aproximada", ya que toda ley científica está sujeta a algún tipo de enmienda).
La probabilidad es algo entre lo que estamos seguros y lo que estamos más o menos inclinados a admitir, si esta palabra se entiende en el sentido de la teoría matemática de la probabilidad.
Sería más correcto hablar de grados de certeza o grados de confiabilidad. ... Este es un concepto más amplio de lo que he llamado "cierta probabilidad", que también es más importante ".
Bertrand Russell, El arte de hacer inferencias / El arte de pensar, M., "Casa de los libros intelectuales", 1999, p. 50-51.
Esta es la relación entre el número de observaciones en las que ocurrió el evento en cuestión y el número total de observaciones. Esta interpretación está permitida en el caso de un número suficientemente grande de observaciones o experimentos. Por ejemplo, si aproximadamente la mitad de las personas que se encuentran en la calle son mujeres, entonces podemos decir que la probabilidad de que una persona se encuentre en la calle resulte ser una mujer es 1/2. En otras palabras, una estimación de la probabilidad de un evento puede ser la frecuencia de su ocurrencia en una larga serie de repeticiones independientes de un experimento aleatorio.
Probabilidad en matemáticas
En el enfoque matemático moderno, la probabilidad clásica (es decir, no cuántica) viene dada por la axiomática de Kolmogorov. La probabilidad es la medida PAGS, que se especifica en el set X llamado espacio de probabilidad. Esta medida debe tener las siguientes propiedades:
De estas condiciones se desprende que la medida de probabilidad PAGS tambien tiene la propiedad aditividad: si los conjuntos A 1 y A 2 no se crucen, entonces. Para demostrar que necesitas poner todo A 3 , A 4, ... igual al conjunto vacío y aplicar la propiedad de aditividad contable.
La medida de probabilidad se puede determinar no para todos los subconjuntos del conjunto X... Basta definirlo en un sigma-álgebra que consta de algunos subconjuntos del conjunto X... Además, los eventos aleatorios se definen como subconjuntos medibles del espacio. X, es decir, como elementos del álgebra sigma.
Sentido de probabilidad
Cuando encontramos que las razones de que algún hecho posible ocurra realmente superan las razones opuestas, consideramos este hecho probable, de lo contrario - increíble... Esta preponderancia de bases positivas sobre negativas, y viceversa, puede representar un conjunto indefinido de grados, como resultado de lo cual probabilidad(y improbabilidad) sucede más o menos .
Los hechos individuales complejos no permiten un cálculo preciso de los grados de su probabilidad, pero incluso aquí es importante establecer algunas subdivisiones grandes. Así, por ejemplo, en el ámbito jurídico, cuando un hecho personal sometido a juicio se establece sobre la base de un testimonio, siempre permanece, estrictamente hablando, sólo probable, y es necesario saber qué tan significativa es esta probabilidad; en el derecho romano, aquí se aceptaba una división cuádruple: probatio plena(donde la probabilidad prácticamente se convierte en credibilidad), Más - probatio menos plena, entonces - probatio semiplena mayor y finalmente probatio semiplena menor .
Además de la cuestión de la probabilidad de un caso, tanto en el campo del derecho como en el campo de la moral (con un cierto punto de vista ético), la cuestión de qué tan probable es que un hecho determinado constituya una violación de la ley. puede surgir una ley general. Esta pregunta, que sirve como motivo principal en la jurisprudencia religiosa del Talmud, también provocó construcciones sistemáticas muy complejas y una enorme literatura, dogmática y polémica, en la teología moral católica romana (especialmente desde finales del siglo XVI).
El concepto de probabilidad permite una cierta expresión numérica cuando se aplica solo a los hechos que forman parte de ciertas series homogéneas. Entonces (en el ejemplo más simple), cuando alguien lanza una moneda cien veces seguidas, encontramos aquí una fila general o grande (la suma de todas las caídas de monedas), que se compone de dos parciales o más pequeños, en este caso numéricamente iguales, filas (cae cara "y cae" cruz "); La probabilidad de que esta vez la moneda caiga cruz, es decir, que este nuevo miembro de la serie general pertenezca a esta de las dos series menores, es igual a la fracción que expresa la razón numérica entre esta serie pequeña y la grande, a saber, 1/2, es decir, la misma probabilidad pertenece a una u otra de las dos filas privadas. En ejemplos menos simples, la conclusión no se puede deducir directamente de los datos del problema en sí, sino que requiere una inducción preliminar. Entonces, por ejemplo, la pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que un recién nacido determinado viva hasta los 80 años? Aquí debe haber una serie general, o grande, de un número conocido de personas nacidas en condiciones similares y que mueren a diferentes edades (este número debe ser lo suficientemente grande para eliminar las desviaciones aleatorias y lo suficientemente pequeño para mantener la homogeneidad de la serie, por para una persona, nacida, por ejemplo, en San Petersburgo en una familia cultural rica, el millón de habitantes de la ciudad, una parte significativa de la cual consiste en personas de varios grupos que podrían morir prematuramente: soldados, periodistas, trabajadores de peligrosos profesiones: representa un grupo demasiado heterogéneo para una definición real de probabilidad); que esta fila general consista en diez mil vidas humanas; incluye filas más pequeñas que representan el número de supervivientes de esta o aquella edad; una de estas series más pequeñas representa el número de personas que viven hasta los 80 años. Pero es imposible determinar el número de este número más pequeño (como todos los demás). a priori; esto se hace de forma puramente inductiva, a través de la estadística. Supongamos que los estudios estadísticos han establecido que de 10,000 Petersburgo de clase media sólo 45 sobreviven hasta los 80 años; así, esta serie menor se relaciona con la grande, como 45 en 10,000, y la probabilidad de que una persona determinada pertenezca a esta serie menor, es decir, de vivir hasta los 80 años, se expresa en la fracción 0.0045. El estudio de la probabilidad desde un punto de vista matemático es una disciplina especial: la teoría de la probabilidad.
ver también
Notas (editar)
Literatura
- Alfred Renyi. Letras de probabilidad / per. con Hung. D. Saas y A. Crumley, ed. B.V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
- B. V. Gnedenko Curso de teoría de la probabilidad. M., 2007, 42 p.
- V. I. Kuptsov Determinismo y probabilidad. M., 1976, 256 pág.
Fundación Wikimedia. 2010.
Sinónimos:Antónimos:
Vea qué es "Probabilidad" en otros diccionarios:
General Scientific y Philos. categoría que denota el grado cuantitativo de la posibilidad de ocurrencia de eventos aleatorios masivos bajo condiciones de observación fijas, que caracteriza la estabilidad de sus frecuencias relativas. En lógica, el grado semántico ... ... Enciclopedia filosófica
PROBABILIDAD, un número en el rango de cero a uno, inclusive, que representa la posibilidad de que ocurra este evento. La probabilidad de un evento se define como la relación entre el número de posibilidades de que un evento ocurra y el número total de posibles ... ... Diccionario enciclopédico científico y técnico
Con toda probabilidad .. Diccionario de sinónimos y expresiones rusas de significado similar. bajo. ed. N. Abramova, M.: Diccionarios rusos, 1999. probabilidad, posibilidad, verosimilitud, azar, posibilidad objetiva, maza, admisibilidad, riesgo. Hormiga. imposibilidad ... ... Diccionario de sinónimos
probabilidad- Una medida de lo que es probable que suceda. Nota Definición matemática de probabilidad: "un número real en el rango de 0 a 1, que se refiere a un evento aleatorio". El número puede reflejar la frecuencia relativa en una serie de observaciones ... ... Guía del traductor técnico
Probabilidad- "una característica matemática numérica del grado de posibilidad de que ocurra un evento en ciertas condiciones determinadas que puede repetirse un número ilimitado de veces". Basado en este clásico ... ... Diccionario de Economía y Matemáticas
- (probabilidad) Posibilidad de que ocurra cualquier evento o resultado determinado. Se puede representar como una escala con divisiones de 0 a 1. Si la probabilidad de un evento es cero, su ocurrencia es imposible. Con una probabilidad igual a 1, la ofensiva ... Glosario empresarial