59. Ondas estacionarias. Vibraciones de cuerdas.
Onda estacionaria: oscilaciones en sistemas oscilatorios distribuidos con una disposición característica de máximos alternos (antinodos) y mínimos (nodos) de amplitud. En la práctica, dicha onda se produce cuando hay reflejos de obstáculos y falta de homogeneidad como resultado de la superposición de la onda reflejada sobre la incidente. En este caso, la frecuencia, fase y coeficiente de atenuación de la onda en el punto de reflexión son extremadamente importantes.
Ejemplos de onda estacionaria son las vibraciones de las cuerdas, las vibraciones del aire en un tubo de órgano; en la naturaleza - ondas Schumann.
Una onda puramente estacionaria, estrictamente hablando, solo puede existir en ausencia de pérdidas en el medio y la reflexión completa de las ondas desde el límite. Por lo general, además de las ondas estacionarias, las ondas viajeras también están presentes en el medio, suministrando energía a los lugares de su absorción o radiación.
Se utiliza un tubo de Rubens para demostrar ondas estacionarias en gas.
Ecuación de vibración de cuerdas se refiere a ecuaciones de tipo hiperbólico.
Cada punto de la cuerda se puede caracterizar por el valor de su abscisa x. Para determinar la posición de la cuerda en el tiempo t, es suficiente conocer las componentes del vector de desplazamiento del punto x en el tiempo t.
Supondremos que los desplazamientos de las cuerdas se encuentran en el mismo plano (x, U) y que el vector de desplazamiento
es perpendicular en cualquier momento al eje x; entonces el proceso de oscilación puede describirse mediante una función U (x, t) (ver figura).
La función U (x, t) caracteriza el movimiento vertical de la cuerda.
Ecuación de vibración de cuerdas.
a \u003d constante - depende de la elasticidad, rigidez, masa, etc.
Existen los siguientes métodos para resolver la ecuación de vibración de la cuerda
Método D'Alembert (método de ondas viajeras, método de características);
Método de Fourier (método de onda estacionaria, método de separación variable).
60. Volumen y tono del sonido.
Las ondas sonoras son longitudinales.
sísmica - transversal y longitudinal
20 - 20 000 Hz\u003e… ..
infra ultra
sonido sonido
Un tono es un sonido de una frecuencia.
Entonado es una frecuencia adicional.
El timbre es el tono de un sonido.
Ruido: muchas frecuencias.
El volumen del sonido depende de la amplitud de la vibración.
El tono depende de la frecuencia de vibración.
61. Efecto Doppler.
El efecto Doppler es un cambio en la frecuencia y longitud de onda registrada por el receptor, causado por el movimiento de su fuente y / o el movimiento del receptor. Es fácil observarlo en la práctica, cuando un automóvil con sirena encendida pasa junto al observador. Supongamos que la sirena emite un cierto tono y no cambia. Cuando el automóvil no se mueve en relación con el observador, escucha exactamente el tono que suena la sirena. Pero si el automóvil se acerca al observador, la frecuencia de las ondas sonoras aumentará (y la longitud disminuirá) y el observador escuchará un tono más alto que el que realmente suena la sirena. En el momento en que el automóvil pasa junto al observador, escucha el mismo tono que emite la sirena. Y cuando el automóvil avanza más y ya se está alejando y no se acerca, el observador escuchará un tono más bajo, debido a la frecuencia más baja (y, en consecuencia, más larga) de las ondas sonoras.
Para ondas que se propagan en cualquier medio (por ejemplo, sonido), es necesario tener en cuenta el movimiento tanto de la fuente como del receptor de las ondas con respecto a este medio. Para las ondas electromagnéticas (por ejemplo, la luz), para cuya propagación no se necesita ningún medio, solo importa el movimiento relativo de la fuente y el receptor.
El efecto fue descrito por primera vez por Christian Doppler en 1842.
También es importante el caso en que una partícula cargada se mueve en un medio con una velocidad relativista. En este caso, la radiación de Cherenkov se registra en el sistema de laboratorio, que está directamente relacionada con el efecto Doppler.
La fuente de ondas se mueve hacia la izquierda. Luego, la frecuencia de las ondas de la izquierda se vuelve más alta (más), y de la derecha, más baja (menos), en otras palabras, si la fuente de ondas alcanza las ondas emitidas por ella, entonces la longitud de onda disminuye. Si se quita, la longitud de onda aumenta.
| " |
propósito del trabajo : estudio de los fenómenos ondulatorios, condiciones para la existencia de ondas estacionarias, estudio de las propiedades elásticas de una cuerda.
Disposiciones teóricas básicas
Deje que el punto oscilante esté en un medio, todas las partículas del cual están interconectadas. Luego, la energía de vibración del punto se puede transferir a los puntos circundantes, haciendo que vibren. El fenómeno de propagación de vibraciones en un medio se llama onda. En este caso, las partículas oscilantes no se mueven con el proceso oscilatorio de propagación, sino que oscilan alrededor de sus posiciones de equilibrio.
Si una sola onda se propaga libremente en un medio ilimitado, entonces se llama viajera. Compongamos la ecuación de una onda viajera, que nos permite determinar el desplazamiento de cualquier punto de la onda en cualquier momento.
R
Figura: 9.1. A la derivación de la ecuación de onda viajera
t’.
Encuentre el desplazamiento de los elementos de la cadena en función de la coordenada x
y tiempo
t,
es decir, la función 
... Obviamente, para el punto x=0,
=
D(t’)=
Como en 
t’
(figura 9.1). Suponga que corriendo a lo largo de la cuerda en 
la perturbación se propaga a cierta velocidad 
... Elemento de cadena de desplazamiento x en el momento t igual al desplazamiento del elemento x=0
en el momento t’
=
si la distancia entre ellos es igual a la distancia que recorre la perturbación en el tiempo t-
t’
con velocidad 
... Entonces los puntos x=0
y x=
x
fluctuar en una fase: x=
(t-
t’),
,
... Por lo tanto, la ecuación de una onda sinusoidal viajera
=
=
Como en 
t’
, es decir
.
(9.1)
Transformamos la función (9.1): 
... Denotamos 
=
k y llámalo el número de la ola, luego 
=
... De ahí la velocidad 
,
... El valor 
igual a la distancia que supera la perturbación durante el período de oscilación, la llamaremos longitud de onda, es decir 
entonces 
,
.
La ecuación (9.1) es la ecuación de una onda viajera unidimensional (o plana). Para una dada x le permite determinar la posición del punto (con la coordenada de la posición de equilibrio x) en cualquier momento t... Para una dada t le permite determinar la posición instantánea de todos los puntos oscilantes.
Por tanto, vemos que hay una doble periodicidad en el movimiento ondulatorio. Por un lado, cada partícula del medio realiza un movimiento periódico en el tiempo, por otro lado, en cada momento del tiempo, todas las partículas se ubican en una línea cuya forma se repite periódicamente en el espacio.
SOBRE 
limitemos la velocidad de propagación de las vibraciones longitudinales a lo largo de una varilla infinitamente larga con una sección transversal constante.
PAG
Figura: 9.2. Propagación de deformaciones elásticas a lo largo de la barra
(Fig. 9.2) cerca de esta sección, el material de la varilla se compacta y se produce una deformación por compresión. Aparecen fuerzas elásticas que tienden a restaurar la densidad original, como resultado de lo cual se produce la compresión de las regiones vecinas y, por lo tanto, la perturbación de la densidad local cerca del borde izquierdo de la varilla se propaga hacia la derecha con una velocidad 
... Impulso de fuerza elástica 
es igual 
... Si E es el módulo de compresión, también llamado módulo de Young, entonces 
... Durante 
la deformación se extiende a lo largo de la distancia 
... La masa de la sección de la varilla cubierta por deformación aumentará en 
debido a un aumento en la densidad del material por 
.Porque 
entonces 
... De acuerdo con la segunda ley de Newton, el momento de la fuerza elástica es igual al cambio en el momento, es decir 
... Sustituyendo todas las cantidades, obtenemos
o 
,
(9.2)
dónde 
- densidad climática del material de la varilla.
La ecuación (9.1) describe una onda que se propaga en la dirección positiva del eje oh.Cuando la dirección de propagación de la onda cambia a la opuesta, el segundo término en el argumento del coseno cambia de signo, ya que 
es reemplazado por 
.
(9.3)
Consideremos ahora la propagación de una onda en una cuerda fija en ambos lados. En este caso, una onda que se mueve en una dirección, llegando al segundo extremo fijo de la cuerda, se reflejará y se propagará en la dirección opuesta. Así, el fenómeno de superposición de ondas que se propagan en direcciones opuestas surgirá a lo largo de la cuerda. Si las propiedades del medio no cambian bajo la influencia de la onda que se propaga, entonces se cumplirá el principio de superposición, según el cual cada onda se propaga en el medio independientemente de las demás. En este caso, el desplazamiento resultante z Las partículas del medio se definirán como la suma de los desplazamientos. z 1 y z 2 causado por el paso de ondas individuales. Como resultado, se observará amplificación o atenuación de las oscilaciones en varios puntos del medio, dependiendo de las fases de las perturbaciones entrantes.
La adición de ondas, en las que se forman amplificaciones y atenuaciones de la amplitud de vibración en diferentes puntos del medio, se denomina interferencia. ondas. Este patrón de interferencia persiste en el tiempo.
Consideremos la interferencia de dos ondas con la misma amplitud, que se propagan en direcciones opuestas, como en el caso de una cuerda fija en ambos lados. Es necesario tener en cuenta el siguiente fenómeno. Después de la reflexión desde el extremo fijo, la deformación reflejada tiene el signo opuesto. Esto queda claro si tenemos en cuenta que, dado que no hay desplazamiento del extremo fijo todo el tiempo, se desarrollan fuerzas en el punto de unión que impiden que la cuerda se doble hacia adentro. Estas fuerzas generan un doblez del signo contrario, que comienza a propagarse en sentido contrario. Por tanto, en la deformación reflejada, el signo del desplazamiento se invierte. Si se refleja una onda armónica, ese cambio es equivalente a una "pérdida" de media onda durante la reflexión.
Por tanto, superponiendo las dos ondas dará lo siguiente:
Usando la fórmula de diferencia sinusoidal, obtenemos
.
(9.4)
Esta expresión se llama ecuación de una onda estacionaria, mientras que se asume el modo de oscilaciones constantes, es decir, el modo que surge después de repetidos viajes de ondas entre las fijaciones de la cuerda. De (9.4) se ve que en una onda estacionaria todos los puntos del medio (cualquier valor x) oscilan armónicamente con la frecuencia angular .
La amplitud de vibración es diferente para diferentes puntos y se determina a partir de (9.4) de la siguiente manera:
.
(9.5)
De la última expresión se deduce que hay puntos del medio, llamados nodos, en los que no hay oscilaciones. Z metro \u003d 0, por lo tanto z \u003d 0. Las coordenadas de estos puntos se determinan a partir de la condición de igualdad a cero del seno en la expresión (9.5), es decir
.
(9.6)
Por tanto, dado que 
, obtenemos
.
Por tanto, la distancia entre nodos adyacentes es la mitad de la longitud de onda. Dado que los nodos permanecen en reposo todo el tiempo, no hay transferencia direccional de energía en una onda estacionaria; la energía no puede pasar a través del nodo. La energía se transmite a lo largo de la cuerda solo mediante una onda viajera.
Aquellos puntos en los que el valor de amplitud alcanza su máximo 
se llaman antinodos. Como se desprende de la expresión (9.5), las coordenadas de estos puntos se determinan a partir de la condición 
, es decir, corresponden a la ecuación 
... Vemos que la distancia entre antinodos adyacentes también es igual a la mitad de la longitud de onda.
Factor 
al pasar por el nodo, cambia de signo, como resultado de lo cual difiere la fase de oscilaciones en diferentes lados del nodo. Todos los puntos ubicados entre dos nodos adyacentes oscilan en la misma fase (sus desviaciones tienen el mismo signo). La condición de inmovilidad de ambos extremos de la cuerda fija lleva al hecho de que un número entero de medias ondas debe caber a lo largo de la cuerda:
.
(9.7)
Por lo tanto, una onda estacionaria se forma solo con la proporción adecuada de tamaño de cuerda y longitud de onda (frecuencia de vibración). Para diferentes valores norte \u003d 1, 2, ... obtenemos diferentes tipos, o modos, vibraciones, mientras norte determina el número de antinodos, no de nodos. De (9.6), teniendo en cuenta (9.7), obtenemos la fórmula para las frecuencias a las que se establecen ondas estacionarias en la cuerda
,
(9.8)
Frecuencias 
se denominan frecuencias naturales de la cuerda. Frecuencia 
llamada frecuencia fundamental, el resto 
- armónicos. Vemos que las frecuencias naturales determinadas por la fórmula (9.8) no dependen del módulo de Young del material. Este resultado se debe al hecho de que hemos descuidado el cambio en la tensión de la cuerda durante las vibraciones.
En el caso general, pueden existir simultáneamente en una cuerda vibraciones con diferentes frecuencias naturales. Entonces, junto con el tono principal norte \u003d 1, los armónicos se pueden excitar norte = 2, 3, 4,….
Las ecuaciones obtenidas anteriormente describen el movimiento de una cuerda idealmente flexible en el vacío. Cuando una cuerda real vibra, siempre se pierde energía.
Parte de la energía se pierde debido a la fricción con el aire, la otra parte sale por los extremos de la cuerda, etc. Se utiliza un vibrador para mantener vibraciones no amortiguadas. Si la energía de las pérdidas se compensa exactamente con la energía proveniente del vibrador, entonces se pueden observar ondas estacionarias en la cuerda. Pero ahora la energía debe transmitirse a lo largo de la cuerda. Por lo tanto, junto con las ondas estacionarias, existirán ondas viajeras, como resultado de lo cual los nodos estarán algo borrosos. Si las pérdidas de energía durante el período son pequeñas en comparación con el almacenamiento de energía vibratoria en la cuerda, entonces la distorsión de las ondas estacionarias por la onda viajera será insignificante.
Otra aproximación en la teoría anterior es el descuido de la falta de homogeneidad de las cuerdas. En una cuerda real, tanto la densidad como la tensión pueden ser funciones continuas de la coordenada X... Por ejemplo, si la cuerda se suspende verticalmente, tener en cuenta la masa de la cuerda resultará en más tensión en la parte superior que en la inferior. Cualquier falta de homogeneidad conducirá a la distorsión del modo de vibración, ya que las vibraciones sinusoidales en el espacio son características solo para los modos normales de sistemas homogéneos.
¡NO CREERÁS lo que está haciendo tu cuerda!En esta publicación, intentaré delinear 3 temas relacionados: cómo vibra una cuerda de guitarra, cómo funcionan las armonoletas y por qué el sonido de una pastilla de guitarra eléctrica cambia según su ubicación en relación con la cuerda.
He hecho varios videos con espectrogramas como ejemplos. Es una cosa sencilla. Tiempo horizontal, frecuencia vertical, brillo de línea significa intensidad de frecuencia. El espectrograma dice mucho sobre el sonido.
Todas las notas musicales aparecen en el espectrograma como una serie de líneas paralelas:
Video 1: espectrograma de una melodía tocada en una guitarra eléctrica
Esto se debe a que cualquier oscilación periódica compleja (y, por tanto, cualquier nota musical) consiste en una serie de oscilaciones de múltiples frecuencias o puede representarse como tal suma. Se denominan armónicos: primero, segundo, tercero, etc. La frecuencia del segundo armónico es dos veces mayor que la del primero, el tercer armónico es tres veces mayor que la del primero, y así sucesivamente. Entonces, el espectro de una nota con una frecuencia de 100 Hz consiste en una frecuencia de 100 Hz y sus múltiplos. Una cuerda de guitarra puede tener de varias a varias docenas de armónicos. Es difícil nombrar su número exacto; por regla general, cuanto más alto es el armónico, más débil es y más rápido decae. Por tanto, describiré estas series así: (100, 200, 300, 400, 500, ...) Hz. Es posible que a la fila le falten algunos armónicos (observe más de cerca el video 1), lo que no impide que la nota sea una nota.
Cuando escriben que "una nota tiene tal o cual frecuencia", se refiere a la frecuencia del primer armónico.
La "distribución" de armónicos en términos de niveles puede ser diferente: algunos son más fuertes, otros más débiles. El timbre del sonido depende de esto: muchos armónicos superiores - el sonido es brillante, penetrante, un poco - el sonido es suave, apagado. Aquí hay una nota (A 110 Hz) en diferentes instrumentos:
Video 2: Una nota (110 Hz) tocada por diferentes instrumentos
Movimiento
Tome una quinta cuerda A abierta como ejemplo. La frecuencia de su primer armónico es 110 Hz.
¿Por qué exactamente el quinto? Aquí están las frecuencias de todas las cuerdas abiertas en afinación estándar:E: aproximadamente 329,63 Hz
B: aproximadamente 246,94 Hz
G: aproximadamente 196 Hz
D: aproximadamente 146,83 Hz
A: exactamente 110 Hz
E: aproximadamente 82,4 HzEstá claro por qué el quinto.
Un punto importante: En esta publicación, hablando de la "cuerda", de la "longitud de la cuerda", del patrón de vibraciones, etc., me referiré exactamente a la parte de la cuerda que vibra, de la cejilla al puente o del traste al puente. si se presiona la cuerda ... No lo discutiré todo el tiempo.
La cuerda realiza simultáneamente muchos modos diferentes de vibración.
El primer swing es el más simple:
Oscilación del primer armónico de una cuerda (haga clic para abrir una imagen animada)
La cuerda vibra en un "arco", con la frecuencia del primer armónico (en nuestro ejemplo, 110 Hz). En el centro de la cuerda, la amplitud de vibración es mayor y cuanto más cerca de los bordes, más débil es.
Puede parecer que así es como vibra la cuerda, pero esto es solo una parte de la imagen.
Segundo swing:
Oscilación del segundo armónico de una cuerda (se puede hacer clic)
La cuerda vibra, por así decirlo, en mitades separadas, en direcciones opuestas. La mitad vibra dos veces más a menudo que toda la cuerda, por lo que la segunda vibración es dos veces más alta que la primera. En nuestro caso, la frecuencia del segundo armónico es 220 Hz.
En el medio de cada una de las "mitades" la oscilación es máxima. Cuanto más cerca de los bordes o del medio de la cuerda, más débil es la vibración. Hay una cosa curiosa en el medio de la cadena: el llamado nodo de oscilación... Este es el lugar, ubicado justo entre las mitades, en el que no hay una segunda oscilación armónica. Puede haber otras oscilaciones, pero el segundo armónico definitivamente no estará aquí.
Tercer swing:
Oscilación del tercer armónico de una cuerda (se puede hacer clic)
Aquí la cuerda ya vibra en "tercios": los tercios externos van en una dirección, el medio en la dirección opuesta. Y la frecuencia de esta vibración es tres veces mayor que la del primer armónico (en nuestro caso, 330 Hz). Ya hay dos nodos de vibración, en los puntos que dividen la cuerda en tres partes iguales.
El resto de vibraciones se disponen según el mismo principio. Cuanto más lejos, mayor es la frecuencia de vibración, el número de partes y "nodos" entre ellos:
Amplitud de vibraciones de los diez primeros armónicos de la cuerda en sus diferentes partes
En resumen: en diferentes puntos de la cuerda, ocurren diferentes patrones de vibraciones, con diferentes proporciones de armónicos. Por ejemplo, en el medio de una cuerda, el segundo armónico está ausente, pero el primero o el tercero está completo. Por ejemplo, si toma la punta de la cuerda muy cerca del borde de la cuerda, entonces el primer armónico será pequeño allí y el cuarto, notablemente más que el primero. Y cada armónico tiene su propia "distribución de cuerdas".
Flazolet
Ahora veamos el armónico natural más simple: tocamos la cuerda con el dedo de nuestra mano izquierda por encima del duodécimo traste, y con la mano derecha tiramos de la cuerda y conseguimos una nota una octava más alta.
¿Qué tipo de magia? ¿Como sucedió esto? Vamos a averiguarlo ahora.
Volvamos a la quinta cuerda con varios armónicos (110, 220, 330, 440, 550, ...) hertz.
Cuando simplemente se tira de una cuerda, hay todos los posibles armónicos en su vibración. Pero cuando eliminas los armónicos, el dedo que tocó la cuerda elimina algunos de los armónicos. Si el dedo está por encima del nodo de alguna vibración armónica, no interfiere con esta vibración (algo como esto). En otros casos, interfiere y la oscilación desaparece.
En nuestro ejemplo, el dedo está en el medio de la cuerda: en este lugar, todos los armónicos pares tienen un nodo de vibración y todos los impares tienen una vibración máxima. Por lo tanto, el dedo deja solo los armónicos pares y “corta” todos los impares. Y la cuerda, en lugar de dar su rango completo de armónicos (110, 220, 330, 440, 550, ...) hertz, ahora da el rango de (220, 440, 660, 880, 1100, ...) ) hercios. Esto significa que en lugar de una nota con una frecuencia de 110 Hz, ahora suena una nota con una frecuencia de 220 Hz (armónicos: una frecuencia de 220 Hz y sus múltiplos). Y esta es una nota una octava más alta.
Aumentar la frecuencia de una nota 2 veces siempre hace que esa nota sea una octava más alta. Por ejemplo, una nota a 220 Hz es una octava más alta que una nota a 110 Hz.
Una relación de frecuencia de 3: 2 da una quinta. Por ejemplo, una nota a 660 Hz es un quinto más alta que una nota a 440 Hz.
Una proporción de 4: 3 da un cuarto de galón.
Una proporción de 5: 4 es un tercio mayor.
La proporción 6: 5 es un tercio menor.
De hecho, todo es un poco más complicado, pero más sobre eso en otro momento.
El dedo sobre el traste 7 o 19 está por encima del nodo de vibración del tercer armónico. Por lo tanto, silencia todo excepto el tercer armónico y sus múltiplos (3º, 6º, 9º, ..). La frecuencia de una nota de tal armónico aumentará 3 veces y en lugar de una nota en una cuerda abierta, obtendrá una nota una octava + quinta por encima de ella.
Un dedo por encima del 5º o 24º traste deja solo el 4º armónico y sus múltiplos y eleva la frecuencia de la nota 4 veces (más 2 octavas).
El dedo sobre el cuarto traste, el noveno o el decimosexto traste está por encima del quinto nodo armónico y eleva la frecuencia de la nota 5 veces (más 2 octavas y un tercio mayor).
Video 3: Flajaulets en una tercera cuerda abierta versus una cuerda abierta normal. Traste 12, 7, 5 y 4
Los armónicos artificiales (clásicos de dos dedos, púa de balancín o armónicos de tep) tienen una técnica de ejecución diferente, pero el principio de funcionamiento es el mismo: forzamos la cuerda a vibrar y al mismo tiempo prohibimos que vibre en un punto específico, así "apagando" algunos de los armónicos ...
Una advertencia: los armónicos artificiales generalmente se tocan con cuerdas hacia abajo. Y en la cuerda presionada, los puntos donde necesita hacer los armónicos se desplazan. Por ejemplo, si presiona una nota hasta el segundo traste, todos los puntos armónicos se moverán 2 trastes más cerca del puente: el centro de la cuerda está ahora en el traste 14, los puntos que dividen la cuerda en tercios ahora están en el 9 o el 21, y así sucesivamente.
Pastilla y cuerda
Ahora volvamos de los armónicos a la producción de sonido habitual y veamos qué sucede cuando la pastilla quita las cuerdas.
Para cada armónico, la amplitud de vibración varía según el punto de la cuerda que estemos considerando. Esta dependencia es diferente para diferentes armónicos, de modo que cada punto de la cuerda tiene su propia imagen de armónicos. La pastilla magnética de una guitarra o bajo eléctrico no elimina las vibraciones de toda la cuerda, sino solo de la pequeña parte que está debajo de ella. Intentemos averiguar cómo la imagen de las vibraciones depende de qué punto de la cuerda quitamos.
Si la pastilla se encuentra por encima del nodo de vibración de algún armónico, entonces no lo eliminará. Si está cerca del nodo, lo eliminará, pero débilmente. Cuanto más lejos de los nodos, más armónico entrará en la pastilla.
Si tiene un stratocaster a mano, puede hacer un experimento simple: adhiérase a un combo, o lo que sea, lo principal, con un sonido limpio, sin carga. Cambie a sonido puente. Toca un armónico abierto en cualquier cuerda en el quinto traste. Cambie al sonido del cuello. Toma el mismo armónico. La diferencia será radical: en el segundo caso, prácticamente no hay sonido.Esto se debe a que la pastilla del mástil de la stratocaster se encuentra a casi 1/4 de la longitud de la cuerda al aire. Por lo tanto, prácticamente no capta el cuarto armónico de una cuerda al aire (y sus múltiplos). Y cuando eliminamos los armónicos abiertos en el quinto traste, solo dejamos estos armónicos.
Digamos que la pastilla está colocada exactamente debajo de la mitad de la cuerda (línea gris en la imagen de abajo). En este punto, todos los armónicos impares tienen una oscilación máxima y todos los pares tienen un "nodo". Por lo tanto, en la salida de esta pastilla solo habrá armónicos impares y no pares. Por ejemplo, si toma la misma cadena A, en lugar de la fila (110, 220, 330, 440, 550, ...) Hz, el sensor mostrará la fila (110, 330, 550, 770, 990, ...) Hz. Tenga en cuenta que, a diferencia de los armónicos, esto no dará otra nota: todos los armónicos siguen siendo divisibles por 110 hercios, y no por otra cosa.
Ahora veamos un ejemplo más realista. Tomemos tres pastillas:
"Cuello": a una distancia de 1/4 de la longitud de la cuerda desde el puente,
"Puente": 1/20 de la longitud de la cuerda desde el puente,
y "medio" - entre ellos, aproximadamente 1/7 de la longitud de la cuerda desde el puente
(así es aproximadamente como se ubican los tres singles en el stratocaster) ...
Y veamos qué armónicos de la cuerda abierta y en qué cantidades entrarán en estos sensores.
Por ejemplo, en la imagen de arriba, está claro que la pastilla del “cuello” (línea azul) no “escuchará” el cuarto armónico (así como el octavo y todos los demás armónicos que son múltiplos del cuarto). El segundo, sexto y décimo "escuchará" tanto como sea posible. El primero es el 70 por ciento, y así sucesivamente. Repasemos los 10 armónicos en las cuatro posiciones y veamos esas imágenes de armónicos:
Amplitud de vibraciones de los primeros diez armónicos de una cuerda en cuatro puntos (haga clic para abrir en tamaño completo)
Ya puede ver por qué la pastilla del mástil suena más "profunda" que la pastilla del puente: obtiene armónicos mucho más bajos.
Se descubrió algo interesante: la pastilla funciona como un filtro; en cada caso hay una serie característica de caídas en el patrón armónico. Cuanto más cerca del puente, más altas y menos frecuentes son estas caídas (para el "sensor rojo", la primera caída caerá en el 20º armónico). Si el sensor está por encima de un nodo de algún armónico, pierde por completo este armónico y todos sus múltiplos. Si no, la caída caerá en algún lugar entre los armónicos, como en nuestro "sensor verde". La posición de la caída relativa a los armónicos cambia EXACTAMENTE tantas veces como el sensor se ha acercado o alejado del puente.
Con la cuerda abierta, lo descubrimos. Cuando presionamos la cuerda en cualquier traste, su parte vibrante se acorta y todo el patrón de vibración se comprime hacia el puente: todos los puntos y secciones (máximos, nodos armónicos y todo lo demás) se desplazan a un nuevo lugar. La pastilla, por supuesto, permaneció donde estaba, por lo que ahora "escucha" una imagen diferente de armónicos.
Y las frecuencias de estos armónicos también resultarán diferentes; después de todo, la cuerda se acortó y, por lo tanto, se aumentó la frecuencia de sus vibraciones. Entonces pasan dos cosas:
1. La imagen completa de las vibraciones de la cuerda está "comprimida": todos los puntos (medio, tercio de la cuerda, etc.) se mueven y se acercan N veces más al puente. Dado que la pastilla no se ha movido a ninguna parte, su posición relativa a la cuerda está ahora N veces "más lejos" del puente. Y a partir de esto, la posición de los "dips" con respecto a los armónicos disminuye en un factor de N.
2. La frecuencia de vibración de la cuerda y las frecuencias de todos los armónicos se vuelven más altas en los MISMOS N tiempos.
Estos dos fenómenos se equilibran completamente entre sí: cuántas veces aumenta la frecuencia de los armónicos, la posición de las "caídas" en relación con los armónicos disminuye en la misma cantidad. Como resultado, las frecuencias de "caídas" en hercios para nuestra cadena no cambian.
No lo describiré en detalle, solo lo ilustraré con mis dedos.Considere una pastilla "azul" colocada a 1/4 de la longitud de la cuerda desde el puente. Toma la quinta cuerda abierta. Emite vibraciones con frecuencias (110, 220, 330, 440, 550, ...) Hz, y el sonido, debido a su ubicación, "falla" el 4to armónico y sus múltiplos, es decir, frecuencias de 440, 880 , 1320 Hz, etc.
Presiona la misma cuerda hasta el traste 12. Ahora la cuerda vibra con frecuencias (220, 440, 660, 880, 1100, ...) Hz, y la pastilla está en el medio y "pierde" todos los armónicos pares, es decir, todos iguales 440, 880, 1320 Hz , etc., etc. Ahora bien, no es cada cuarto, sino cada segundo armónico, pero las frecuencias son las mismas.
Esto es fácil de comprobar: conectamos la guitarra, encendemos el analizador de espectro, seleccionamos una de las pastillas y hacemos un deslizamiento a lo largo de toda la cuerda. Verás muescas de frecuencia características que NO DEPENDEN del traste en el que se encuentra la nota:
Video 4: Caídas de frecuencia en la misma cuerda, filmada primero con un single de puente, luego un single de cuello.
Cuanto más cerca esté la pastilla del puente, menos frecuentes y mayores serán las caídas.
La posición de los "saltos" depende solo de dos cosas:
1. Frecuencia de vibración de una cuerda abierta.
2. La posición de la pastilla con respecto a la cuerda.
Por lo tanto, el "filtro" de cada cuerda será el suyo: cuanto más alta se afine la cuerda, más altas y menos frecuentes serán las caídas. Esto se ve claramente cuando se juega con fuerza bruta pura, por ejemplo:
Video 4: Muescas de frecuencia de las seis cuerdas, filmadas con un solo cuello. Rompiendo acordes, filmado por él.
La principal razón por la que el sonido de las pastillas ubicadas bajo diferentes secciones de la cuerda es diferente es el "filtro", que se obtiene debido a que los armónicos se distribuyen de cierta manera a lo largo de la cuerda. Este filtro siempre existe dondequiera que se encuentre el sensor. Su estructura es la misma, solo cambia la escala.
Una de las consecuencias de todo esto es que cuanto más cerca del puente, más afecta al sonido el cambio de posición de la pastilla. Si mueve la pastilla del mástil un par de centímetros hacia un lado, las frecuencias del "filtro" cambiarán en un pequeño porcentaje. Si mueve el sensor del puente en la misma cantidad, las frecuencias cambiarán en varias decenas de por ciento. Porque la pregunta no es cuánto se ha movido el sensor, sino cuántas veces está más cerca / más lejos del puente. Debemos tomar todo logarítmicamente.
En particular, a veces surge la pregunta: ¿cuál de las bobinas debe dejarse funcionando cuando se corta la humbucker? Entonces, para un humbucker de cuello, la diferencia entre las bobinas resultará ser bastante pequeña, y para un humbucker de puente, será radical.
Recientemente VKontakte
Deja a lo largo del eje x Dos ondas armónicas planas con las mismas frecuencias y amplitudes se propagan entre sí:
.
Todas las partículas del medio elástico, cubiertas por el proceso ondulatorio, participarán en las oscilaciones excitadas por cada una de las ondas:
x \u003d x 1 + x 2 \u003d +.
Usando la fórmula trigonométrica para la suma de cosenos, obtenemos
dónde Y(x) \u003d 2Acos kx.
La expresión resultante muestra que las partículas del medio elástico, cubiertas por dos procesos ondulatorios, realizan oscilaciones armónicas con frecuencia w.
La amplitud de vibración de las partículas del medio depende de la coordenada x.
En puntos cuyas coordenadas cumplen la condición kx = ± nortep, donde norte\u003d 0, 1, 2, 3 ... cos kx \u003d ± 1 y la amplitud de vibración de las partículas del medio es máxima. Tales puntos se llaman antinodos... Las coordenadas de los antinodos están determinadas por la relación 
.
En los puntos correspondientes a la condición, la amplitud es cero, es decir, las partículas del medio en estos puntos no vibran en absoluto. Tales puntos se llaman nudos... Las coordenadas de los nodos están determinadas por la relación 
.
Dado que la amplitud de las oscilaciones de las partículas del medio está determinada por su coordenada y no depende del tiempo, la posición de los nodos y antinodos no cambia. Los nodos y antinodos permanecen en un solo lugar. Por tanto, la onda resultante de la superposición de ondas contrapropagantes de la misma frecuencia se denomina de pie.
Considere una cuerda estirada, cuyos extremos están sujetos rígidamente. Deje que la longitud de la cuerda sea l.
Supongamos que se excitan vibraciones en esta cuerda.
Se puede pensar en una cuerda como una colección de elementos interconectados infinitamente pequeños. Las vibraciones de uno de esos elementos deben involucrar a otros elementos de cuerda en el proceso vibratorio. En consecuencia, si se excitan vibraciones en la cuerda, surgirá una onda elástica en ella.
El extremo de la cuerda está rígidamente fijo y no puede vibrar. En consecuencia, no puede excitar vibraciones en el entorno al que está adherido. Por tanto, la onda que llega al final de la cuerda se reflejará por completo.
Esto significa que dos ondas opuestas se propagarán a lo largo de la cuerda y .
Como se muestra arriba, cuando tales ondas se superponen, se genera una onda estacionaria. Esto significa que puede producirse una onda estacionaria en una cuerda con extremos fijos.
Ya que estamos hablando de una cuerda con extremos rígidos, siempre debe haber nudos en los extremos de la cuerda.
A partir de las expresiones para calcular las coordenadas de nodos y antinodos, se puede ver que los nodos vecinos (así como los antinodos) están espaciados 1/2 entre sí.
Por lo tanto, la longitud de la cuerda debe ser tal que la mitad de la longitud de onda se ajuste a ella un número entero de veces:
dónde norte = 1, 2, 3...
Esto, a su vez, significa que en una cadena larga l Pueden surgir ondas estacionarias de solo ciertas frecuencias
Estas frecuencias se llaman frecuencias naturales cadenas, o frecuencias de vibraciones normales. Las oscilaciones con tales frecuencias se denominan armónicos (oscilaciones con una frecuencia correspondiente a norte \u003d 1 se llama primer armónico, norte \u003d 2 - segundo armónico, etc.).
Velocidad de grupo
En ciencia y tecnología, las ondas se utilizan ampliamente para transmitir información. Sin embargo, una onda armónica solo puede transmitir información de que hay una fuente de onda en alguna parte.
Para que las ondas puedan transmitir la cantidad de información requerida, deben cambiarse (por ejemplo, para emitir ondas en forma de pulsos, o para cambiar la amplitud de la onda, su frecuencia y la fase inicial). Tal onda se llama modulada.
Con la ayuda de ondas elásticas moduladas, se determina la profundidad de los mares y océanos (ecosonda), y las ondas electromagnéticas moduladas permiten la transmisión de radio y televisión.
Pero si las ondas moduladas difieren de las armónicas en la capacidad de transferir información, entonces quizás también tengan otras diferencias.
Investiguemos uno de los aspectos de este problema: encuentre la velocidad con la que la onda modulada transfiere energía.
Para hacer esto, considere dos ondas viajeras transversales planas igualmente dirigidas, cuyas oscilaciones ocurren en un plano, cuyas amplitudes son iguales y las frecuencias son casi las mismas.
.
Esta ola se puede representar como
,
 |
,
es decir, es una onda con una amplitud que varía lentamente, o modulada, igual que en la figura.
La imagen que se muestra aquí corresponde a un determinado momento en el tiempo. Al momento siguiente, se moverá hacia la derecha.
Encontremos la velocidad con la que se propagará la onda modulada. Para simplificar, considere el punto en el que la amplitud es máxima: la velocidad de movimiento de este punto es igual a la velocidad de la onda modulada.
El comportamiento del punto con la máxima amplitud se describe mediante la expresión ... Pero esta expresión se puede interpretar como la ecuación de una onda viajera con una frecuencia cíclica dw \u003d w 1 –w 2 y número de onda dk = k 1 – k 2 .
Para cualquier onda viajera, y w \u003d kv... Entonces la velocidad del punto con la máxima amplitud será
,
dónde v 1 y v Velocidad bifásica de ondas con frecuencias cíclicas w 1 y w 2, respectivamente.
Si no hay variación, entonces v 1 = v 2 = v y, es decir, la "cresta" de dicha onda se mueve con la velocidad de fase.
Si el medio es dispersivo, entonces la velocidad 
... Esto significa que la cresta se mueve a una velocidad diferente a la v 1 y v 2 .
Si recordamos que la energía de las oscilaciones es proporcional al cuadrado de la amplitud, entonces es fácil deducir que la mayor parte de la energía transportada por dicha onda se concentra donde la amplitud de la onda es grande. Esto significa que la velocidad resultante u es la tasa de transferencia de energía.
Esta velocidad tu y llamó grupo:
Es importante notar que el frente de onda se propaga con la velocidad del grupo.
Ondas electromagnéticas
A mediados del siglo XIX. Se descubrieron varias de las leyes más importantes en el campo de la electricidad y el magnetismo. Gran parte de los descubrimientos en esta área provienen de Michael Faraday.
Este destacado científico, que es legítimamente considerado el fundador de la electrodinámica moderna, por extraño que parezca, no sabía matemáticas.
Por tanto, los fenómenos que descubrió no tenían descripción matemática.
En 1854, James Clerk Maxwell, que acababa de graduarse, fue contratado en la Universidad de Cambridge. El objetivo principal de su actividad, eligió la descripción matemática de los descubrimientos de Faraday.
Lo logró (véanse las Secciones 5.6, 5.7). Uno de los resultados del trabajo de Maxwell es la predicción de la existencia de ondas electromagnéticas.
Unos veinte años después, el físico alemán Heinrich Hertz obtuvo de forma experimental ondas electromagnéticas.
Consideremos el mecanismo de ocurrencia y algunas características de las ondas electromagnéticas.
Supongamos que el campo eléctrico en el vacío es creado por una carga que produce oscilaciones armónicas.
El campo eléctrico creado por tal carga también debería cambiar con el tiempo de acuerdo con una ley de armónicos.
La densidad de la corriente de desplazamiento creada por el campo eléctrico cambiante es. Dado que la derivada de una función armónica es una función armónica, la corriente de desplazamiento también cambiará de manera armónica.
La corriente de polarización crea un campo magnético
.
La integral de una función armónica también es una función armónica. En consecuencia, el campo magnético creado por la corriente de desplazamiento cambiará de acuerdo con una ley armónica.
Es importante señalar que el cambio en los campos eléctrico y magnético se describe mediante la misma función armónica.
La corriente de polarización coincide en dirección con el vector ¶ mi .
El vector de inducción del campo magnético siempre es perpendicular a la corriente que lo creó.
Esto significa que el campo magnético creado por el campo eléctrico cambiante será perpendicular a él.
De acuerdo con la ecuación de Maxwell sobre la circulación del vector mi , un campo magnético cambiante genera uno eléctrico. Además, el campo eléctrico generado será perpendicular al magnético cambiante.
Esto, a su vez, significa que incluso si la carga que creó el campo eléctrico cambiante desaparece, los campos eléctricos y magnéticos cambiantes continuarán propagándose en el espacio en forma de onda electromagnética.
Un análisis más riguroso nos permite mostrar que los campos eléctricos y magnéticos cambiantes se describen mediante ecuaciones de onda:
dónde desde - la velocidad de la luz en el vacío (si una onda electromagnética se propaga en un medio, se utiliza la velocidad de la luz en este medio).
La solución a estas ecuaciones es la siguiente:
,
donde las amplitudes mi y H relacionado por la razón 
.
 |
También se puede demostrar que si el vector mi paralelo al eje x, y el vector B es paralelo al eje a, entonces la onda electromagnética se propaga a lo largo del eje z (ver dibujo). En otras palabras, vectores mi , H y el vector de velocidad de la onda electromagnética c forman un triplete de la derecha.
Es importante notar que la vacilación mi y H en fase.
Trabajo de laboratorio
Estudio de la dependencia de la frecuencia de vibraciones de una cuerda con la fuerza de tensión de la longitud y la densidad lineal del material de la cuerda. Equipo: Instalación que incluye un dispositivo para tensar una cuerda con un dinamómetro, una regla de medición con umbrales móviles, una lámpara eléctrica con un soporte, una fotocélula, un amplificador de baja frecuencia, un osciloscopio y un contador universal; martillo de goma; juego de cuerdas. Vibraciones de cuerda como ejemplo de onda estacionaria En la práctica, las ondas estacionarias surgen cuando las ondas se reflejan en obstáculos: una onda que cae sobre un obstáculo y viaja hacia él ...
Trabajo de laboratorio No. 25
VIBRACION DE CUERDA
Objeto del trabajo:
Estudiar el movimiento vibratorio de una cuerda. Estudio de la dependencia de la frecuencia de vibraciones de una cuerda con la fuerza de tensión, longitud y densidad lineal del material de la cuerda.
Equipo:
Instalación, que incluye un dispositivo para tensar una cuerda con un dinamómetro, una regla de medición con umbrales móviles, una bombilla con portalámparas, una fotocélula, un amplificador de baja frecuencia, un osciloscopio y un contador universal; martillo de goma; juego de cuerdas.
La duración del trabajo es de 4 horas.
Parte teórica.
1. Ondas elásticas
Onda elástica Se denomina proceso de propagación de una perturbación en un medio elástico, acompañado de la transferencia de energía. Un papel especial en la teoría de ondas lo juegaondas armónicas, en el que el cambio en el estado del medio se produce según la ley del seno o coseno.
Superficie de onda se llama el lugar geométrico de los puntos que oscilan en la misma fase. ENola plana Las superficies de onda son un conjunto de planos paralelos entre sí.
Considere una onda plana armónica que se propaga a lo largo del ejex ... Introduzcamos la notación: - desviación de la posición de equilibrio del punto del medio con la coordenadax en este momentot ... La figura 1 muestra una gráfica de la función para un momento fijot.
Fig.1 - Vista de la función durante un momento fijot.
Longitud de onda λ es la distancia sobre la que se propaga la onda en un tiempo igual al período de oscilación:
donde V ¿Es la velocidad de propagación de la onda yT - período de fluctuaciones. Como puede verse en la Fig.1, la longitud de onda también se puede definir como la distancia entre los puntos más cercanos del medio, oscilando con una diferencia de fase de 2π ... Dada la relación entre período y frecuencia, obtenemos:
(1)
Deje que la fuente de oscilación ubicada en el puntox \u003d 0 fluctúa según la ley, dondea - amplitud de desplazamiento;ω - frecuencia cíclica. Entonces oscilaciones en un punto con una coordenadax se retrasará el tiempo necesario para que la onda viaje desde la fuente hasta un punto determinado:
Teniendo en cuenta la relación (1), obtenemos:
La cantidad se llamanúmero de ola ... Con esta designación en mente:
(2)
Esta expresión se llamaecuación de onda plana... Si la onda se propaga en la dirección de los valores del eje negativox , entonces su ecuación tomará la forma:
(3)
La ecuación de cualquier onda es una solución a una ecuación diferencial llamadaecuación de onda... Para una onda armónica plana que se propaga a lo largo del ejex , la ecuación de onda tiene la forma:
(4)
La validez de esta afirmación se puede verificar fácilmente mediante una simple sustitución de la ecuación de onda plana (2) en la ecuación de onda (4).
2. Ondas estacionarias
Onda estacionaria Se denomina proceso oscilatorio que surge de la superposición de dos ondas planas contrapropagantes con la misma frecuencia y amplitud.
Usando esta definición, derivamos la ecuación de onda estacionaria. Ecuaciones de dos ondas planas que se propagan a lo largo del eje.x en direcciones opuestas:
Cuando estas ondas se superponen, se produce un proceso oscilatorio:
Transformando esta expresión según la fórmula para la suma de cosenos, obtenemos:
(5)
Eso es lo que es ecuación de onda estacionaria... El factor describe vibraciones armónicas. Sin embargo, como puede verse en la fórmula (5), la amplitud de estas oscilaciones depende de la coordenadax conforme a la ley. La figura 2 (a) muestra la forma de la función de onda estacionaria para varios puntos secuenciales fijos en el tiempot ... La figura 2 (b) también muestra una función similar para una onda viajera ordinaria. Comparando estas cifras, podemos concluir que una onda estacionaria es un tipo especial de movimiento oscilatorio y, a pesar del nombre, en el sentido estricto de la palabra, no es una onda, ya que una onda estacionaria no transfiere energía en el espacio.
Figura: 2 - Vista de la función de las ondas estacionarias (a) y viajeras (b) durante varios momentos secuenciales fijos de tiempot.
Los puntos en los que desaparece la amplitud de la oscilación de la onda estacionaria,se llaman nodos ... En los nodos, los puntos del medio no realizan vibraciones (ver Fig. 2, a). Las coordenadas de los nodos deben cumplir la condición:
(6)
Los puntos en los que la amplitud de las oscilaciones es máxima (ver Fig.2, a) se denominan antinodos ... En consecuencia, las coordenadas de los antinodos satisfacen la condición:
(7)
3. Vibraciones de cuerdas como ejemplo de onda estacionaria
En la práctica, las ondas estacionarias surgen cuando las ondas se reflejan desde obstáculos: una onda que incide sobre un obstáculo y una onda reflejada que corre hacia él, superponiéndose entre sí, dan una onda estacionaria.
Otro ejemplo de ondas estacionarias son las vibraciones de una cuerda estirada unida en ambos extremos. Los extremos de la cuerda no pueden vibrar, lo que significa que en estos puntos la onda estacionaria debe tener nodos. En consecuencia, solo se pueden excitar tales oscilaciones, cuya longitud de onda permite que se realice esta condición. En otras palabras, la mitad de la longitud de onda debe ajustarse a la longitud de la cuerda un número entero de veces, como se muestra en la Fig. 3. Numeremos estas vibraciones, comenzando con la longitud de onda más grande, y anotemos la relación entre la longitud de la cuerda y la longitud de onda de la vibración con el númeronorte (ver Fig. 3). En términos generales, esta relación es:
O (8)
Las longitudes de onda (8) corresponden a frecuencias:
donde V - velocidad de fase ondas: la velocidad con la que las vibraciones se propagan a lo largo de la cuerda. Estas frecuencias se llamanfrecuencias naturales. Vibraciones armónicas con frecuencias naturales. Es oscilaciones naturales (normales) o armónicos... Frecuencia ν correspondienten \u003d 1 se llama frecuencia fundamental:
(9)
Figura: 3 - Vibraciones naturales de la cuerda
La velocidad de fase de la onda es constante en el tiempo y está determinada por la densidadρ el material de la cuerda y su tensiónF (ver Apéndice):
(10)
Sustituya en la expresión de la frecuencia fundamental (9):
(11)
La verificación experimental de esta relación es el contenido principal de este trabajo de laboratorio.
Descripción de instalación
La vista externa y el diagrama de instalación se muestran en la Fig. cuatro.
La cuerda (1) se estira entre la clavija de afinación (2), que regula la fuerza de tensión, y el dinamómetro de resorte (3) que la mide. La cuerda está sostenida por dos selletas triangulares móviles (4). Su longitud se ajusta moviendo estos umbrales a lo largo de la regla de medición (5). El hilo se encuentra entre la bombilla (6) y la fotocélula ranurada (7).
Las vibraciones de la cuerda se excitan con un ligero golpe de un mazo de goma. Como resultado, la iluminación de la fotocélula y la señal que genera cambian a la misma frecuencia con la que vibra la cuerda. La señal de la fotocélula a través del amplificador (8) va al osciloscopio (9) y al contador universal (10), que mide la frecuencia de la señal.
Figura: 4 - Aspecto (a) y diagrama (b) de la instalación para medir la frecuencia de vibraciones de las cuerdas
parte experimental
Ejercicio 1. Medir la dependencia de la frecuencia de vibración de la cuerda con la fuerza de tensión.
- Antes de tirar de la cuerda, es necesario poner a cero el dinamómetro. Si la cuerda ya está tensa al girar la clavija, libere la tensión hasta que no haya tensión. Habiendo aflojado el tornillo de fijación en la superficie lateral del cuerpo cilíndrico del dinamómetro, asegúrese de que el borde del cuerpo coincida con la división cero de la escala del dinamómetro. Apriete el tornillo de retención.
- Para la verificación experimental de la relación (17) entre la frecuencia de vibraciones de la cuerda y la fuerza de tensión, se utiliza un alambre de Constantan con un diámetro de sección transversal.d \u003d 0,4 mm (cable n. ° 1). Colóquelo entre el gancho del dinamómetro y el gancho con el hilo unido al partidor. En este caso, la cuerda debe descansar sobre los sillines triangulares. Gire la clavija lentamente para ajustar la tensión de la cuerdaF \u003d 10 N.
- Establezca la longitud de la cuerda moviendo la tuerca a lo largo de la reglal \u003d 50 ver Aquí y abajo, la longitud de la cuerda se entiende como la distancia entre los ángulos superiores de los umbrales. Se puede medir tanto por la posición de los umbrales en la regla (pos. 5 Fig. 4), como directamente usando una regla de metal.
- Encienda el osciloscopio. Ajustamiento "VOLTIOS / DIV "Establecer el canal correspondiente en la posición"1 "(Ver Fig. 5). Ajustamiento "HORA / DIV "Establecer en posición"2 ms ".
- Encienda el amplificador (el interruptor se encuentra en la parte posterior del dispositivo). Establecer el ajuste "Amplificación "a la posición" 10 2 "(Ver Fig. 6). Botón "AC / DC »Debe soltarse, que corresponde a la señal de entrada variable. Ponga el control de amplitud en la posición media.
- Encienda el contador universal (el interruptor se encuentra en la parte posterior del instrumento). Usando el botón "Modo "Ponlo en el"Cosa análoga "(Ver Fig. 7). Usando el botón "Función "Establecer el modo de medición de frecuencia"Freq ". Usando el Set "Establecer el modo"Dígitos ". Haga clic en el "Comienzo ". La luz sobre este botón se encenderá, lo que indica que el contador está listo para medir la frecuencia.
Figura: 5 - Aspecto de la pantalla del osciloscopio.
Figura: 6 - Vista exterior del panel frontal del amplificador.
Figura: 7 - Vista exterior del panel frontal del contador universal.
- Inmediatamente antes de medir la frecuencia, asegúrese de que:
- La longitud de la cuerda es correcta (las selletas pueden cambiar ligeramente cuando se cambia la tensión de la cuerda);
- La tensión corresponde al valor requerido (la tensión puede cambiar al mover los umbrales);
- La sombra de la cuerda coincide con la rendija del fotodetector. Para hacer esto, debe mirar el fotodetector desde abajo o usar un espejo.
Estos controles deben repetirse antescada medición posterior.
- Haga vibrar la cuerda con un ligero golpe con un mazo de goma. El medidor no comienza a medir la frecuencia inmediatamente, sino después de que los armónicos altos se hayan desvanecido. Este proceso se puede monitorear con un osciloscopio: en el momento de la medición, se deben observar en su pantalla oscilaciones cercanas a sinusoidales (ver Fig. 5).
- Repita las mediciones, aumentando gradualmente la fuerza de tracción paraF \u003d 40 N, en pasos de 5 N.
¡No intente ajustar la fuerza de tensión de una cuerda de Constantan con un diámetro de 0,4 mm a más de 40 N! Esto puede provocar su ruptura.
Ingrese los resultados de la medición en la tabla:
Tabla 1.
|
F, H |
ν, Hz |
ν 2, Hz 2 |
Hz 2 |
- Complete el resto de las celdas de la Tabla 1. Iguale el error de medición de frecuencia y el error de medición de la fuerza de tensión -. Trace el cuadrado de la frecuencia frente a la fuerza de tracción. Según (11), esta dependencia es lineal:
(12)
Determina la pendiente de la recta a partir de la gráfica. Con este valor, calcule la densidad lineal del cable.ρ l y su error.
- La densidad lineal y aparente están relacionadas por la relación:
, (13)
donde S y d - respectivamente, el área y el diámetro de la sección transversal del alambre. Usando esta fórmula, determine la densidad aparente del constantanρ y el error de este valor. Se supone que el error al medir la longitud de la cuerda es igual y el error al medir el diámetro de la cuerda es.
Ejercicio 2. Medida de la dependencia de la frecuencia de vibración de una cuerda con su longitud.
- Para comprobar experimentalmente la relación (11) entre la frecuencia de vibraciones de la cuerda y su longitud, como en el primer ejercicio, se utiliza un alambre de constantan con un diámetro de sección transversal.d \u003d 0,4 mm (cable n. ° 1).
- Establecer la longitud de la cuerdal \u003d 30 cm y tensión de la cuerdaF \u003d 30 N.
- Mide la frecuencia de la cuerda.
- Aumentando gradualmente la longitud de la cuerda hastal \u003d 60 cm con un paso de 5 cm, mida la dependencia de la frecuencia de vibración de la cuerda con su longitud. Ingrese los resultados en la tabla:
Tabla 2.
|
l, cm |
ν, Hz |
Milisegundo |
Milisegundo |
- Habiendo llenado las celdas restantes de la Tabla 2, elabore un gráfico de la dependencia del período de oscilación de la cuerda con su longitud. Según (17), esta dependencia debería ser lineal:
(14)
Determina la pendiente de la recta a partir de la gráfica. Con este valor, calcule la densidad lineal del cable, la densidad aparente del constantan y las incertidumbres de estos valores.
Ejercicio 3. Medida de la dependencia de la frecuencia de vibraciones de la cuerda de la densidad lineal del material.
- Los datos sobre los alambres utilizados para la verificación experimental de la relación (11) entre la frecuencia de vibraciones de la cuerda y la densidad lineal del material se dan en la Tabla 3.
Tabla 3.
|
Material |
Diámetro de la sección transversald, mm |
Densidad a Granelρ, g / cm 3 |
Densidad linealρ l, g / m |
|
|
Tantalio |
0,471 ± 0,002 |
|||
|
Constantan |
0,620 ± 0,002 |
|||
|
Níquel |
0,647 ± 0,002 |
|||
|
Cobre |
1,110 ± 0,002 |
|||
|
Cobre |
1,794 ± 0,003 |
Estos cables no pueden soportar altas tensiones. Por lo tanto, ¡no intente ajustar la fuerza de tracción a más de 20 N!
- Configurando alternativamente para cada cuerda la longitudl \u003d 50 cm y tensión de la cuerdaF \u003d 20 H, mida sus frecuencias de vibración. Ingrese los resultados en la tabla.
- Grafique los puntos experimentales en la gráfica teórica de la frecuencia de vibración de la cuerda frente a la densidad lineal, construida durante la tarea de diseño. Haz una conclusión.
Preparación para el trabajo.
1. Conceptos físicos, cantidades, leyes, cuyo conocimiento es necesario para el desempeño exitoso del trabajo:
- oscilaciones armónicas, amplitud, fase, frecuencia;
- ondas en un medio elástico;
- velocidad de onda, frecuencia, longitud de onda;
- ecuación de onda plana;
- ecuación de onda;
- ondas estacionarias, nodos y antinodos;
- vibraciones de cuerdas, armónicos;
2. Genere la fórmula (11)
3. Tarea estimada. Usando la fórmula (11), para una cadena de longitudl \u003d 50 ver estirado con fuerzaF \u003d 20 N, trace en papel cuadriculado un gráfico de la frecuencia de vibración frente a la densidad lineal en el rangoρ l de 0 a 2 g / m2 en incrementos de 0,2 g / m2.
4. Formular el objetivo principal del trabajo y el orden de su implementación.
Apéndice 1. Derivación de la fórmula para la velocidad de una onda en una cuerda.
En la Fig. 1-1 muestra esquemáticamente una cuerda estirada. Seleccionemos un pequeño fragmento y escribamos la segunda ley de Newton para él:
donde y son las fuerzas que actúan sobre los extremos izquierdo y derecho de la cuerda, respectivamente.
Figura: 1-1 - A la derivación de la ecuación ondulatoria de las vibraciones de las cuerdas.
En proyecciones sobre el eje verticalξ :
En pequeños desplazamientos, y la tangente de la pendiente de la curva a su vez es igual a la derivada de la función :. Por lo tanto, .
La masa por unidad de longitud de la cuerda se llama densidad lineal. Entonces, la masa del fragmento se puede expresar a través de su longitud :. Para pequeñas vibraciones, la longitud del fragmento de cuerda se puede tomar igual a su proyección sobre el eje.X :. Como resultado, obtenemos:
Ignorando el cambio de fuerzaF a lo largo del cable, obtenemos:
Esto no es más que una ecuación de onda que describe la propagación de una onda con una velocidad
Literatura
1. Irodov I.E. Procesos ondulatorios. Leyes básicas.- M.: BINOM. Laboratorio de conocimientos básicos, 2004, §§1.1 - 1.6.
2. Saveliev I.V. Curso de física general. Ondas. Óptica - M.: Astrel AST, 2003; §§1.1, 1.4, 1.5, 1.7, 1.8.
PÁGINA 5
Ecuación 3 EMBED
Ecuación 3 EMBED
α 2
Ecuación EMBED.3 Ecuación EMBED.3
Ecuación 3 EMBED
α 1
λ \u003d VT
260,5 Hz
Encimera
Amplificador
Osciloscopio
b) Onda viajera
a) Onda estacionaria
Espesor
Nodos
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