Aplicación del trabajo de curso de la integral. Aplicación integral

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Tema de investigación

Aplicación del cálculo integral en planificación familiar

La urgencia del problema

Cada vez más, en las esferas social y económica, las matemáticas se utilizan para calcular el grado de desigualdad en la distribución del ingreso, es decir, el cálculo integral. Al estudiar la aplicación práctica de la integral, aprendemos:

¿Cómo funciona la integral y el cálculo del área usando la integral ayuda en la asignación de costos de materiales?

Cómo una integral ayudará a ahorrar dinero para las vacaciones.

objetivo

planificar los gastos familiares mediante cálculo integral

Tareas

Explore el significado geométrico de la integral.
Considere los métodos de integración en las esferas social y económica de la vida.
Realiza una previsión de los costes materiales de una familia a la hora de reformar un apartamento utilizando la integral.
Calcule la cantidad de consumo energético de la familia para el año, teniendo en cuenta el cálculo integral.
Calcule el monto del depósito de ahorro en Sberbank para vacaciones.

Hipótesis

el cálculo integral ayuda en los cálculos económicos al planificar los ingresos y gastos familiares.

Etapas de investigación

Estudió el significado geométrico de la integral y los métodos de integración en las esferas social y económica de la vida.
Calculamos los costos de material necesarios para la renovación de un apartamento utilizando una integral.
Calculamos la cantidad de consumo de electricidad en el apartamento y el costo de la electricidad de la familia durante un año.
Consideramos una de las opciones para reponer los ingresos familiares a través de depósitos en Sberbank utilizando un integral.

Objeto de estudio

cálculo inegralnye en las esferas social y económica de la vida.

Métodos

Análisis de la literatura sobre el tema "Aplicación práctica del cálculo intral"
Estudio de los métodos de integración en la resolución de problemas de cálculo de áreas y volúmenes de figuras mediante una integral.
Análisis de gastos e ingresos familiares mediante cálculo integral.

Proceso de trabajo

Revisión de la literatura sobre "Aplicación práctica del cálculo integral"
Resolver un sistema de problemas para calcular áreas y volúmenes de figuras usando una integral.
Cálculo de gastos e ingresos familiares mediante cálculo integral: renovación de habitación, volumen de electricidad, aportes a Sberbank por vacaciones.

Nuestros resultados

¿Cómo la integral y el cálculo del volumen utilizando la integral ayudan a predecir el consumo de electricidad?

conclusiones

El cálculo económico de los fondos necesarios para la renovación de un apartamento se puede realizar de forma más rápida y precisa utilizando un cálculo integral.

Es más fácil y rápido calcular el consumo energético de una familia con la ayuda del cálculo integral y Microsoft Office Excel, lo que significa que es posible predecir la factura de luz de la familia por un año.

El beneficio de los depósitos en Sberbank se puede calcular mediante un cálculo integral, lo que significa planificar unas vacaciones familiares.

Lista de recursos

Ediciones impresas:

Libro de texto. Álgebra y el inicio del análisis 10-11 grados. A.G. Mordkovich. Mnemosyne. M: 2007
Libro de texto. Álgebra y el inicio del análisis de los grados 10-11. A. Educación de Kolmogorov. M: 2007
Matemáticas para sociólogos y economistas. Akhtyamov A.M. M.: FIZMATLIT, 2004 .-- 464 p.
Vygodsky, Computación integral, Manual de matemáticas superiores, Prosveshchenie, 2000

Información de la historia de la aparición de la derivada: El lema de muchos matemáticos del siglo XVII. fue: "Siga adelante y tenga fe en la exactitud de los resultados para usted
vendrá. "
El término "derivado" - (derivado francés - detrás, detrás) fue introducido en 1797 por J. Lagrange. También presentó
notación moderna y ", f".
designación lim - abreviatura de la palabra latina limes (borde, borde). El término "límite" fue introducido por I. Newton.
I. Newton llamó a la derivada fluxia, y la función en sí misma - fluida.
G. Leibniz habló sobre la relación diferencial y denotó la derivada de la siguiente manera:
Lagrange Joseph Louis (1736-1813)
Matemático y mecánico francés

Newton:

“Este mundo estaba envuelto en una profunda oscuridad. ¡Hágase la luz! Y entonces
Newton apareció ". A. Pogue.
Isaac Newton (1643-1727) uno de los creadores
calculo diferencial.
Su obra principal es "Principios matemáticos
filosofía natural "- mostró un colosal
influencia en el desarrollo de las ciencias naturales, se convirtió
punto de inflexión en la historia de las ciencias naturales.
Newton introdujo el concepto de derivada, estudiando leyes.
mecánica, revelando así su mecánica
sentido.

¿Cómo se llama la derivada de una función?

La derivada de una función en un punto dado se llama límite.
la relación entre el incremento de la función en este punto y
incremento de argumento cuando incremento de argumento
tiende a cero.

El significado físico de la derivada.

La velocidad es una derivada del camino con respecto al tiempo:
v (t) \u003d S ′ (t)
La aceleración es una derivada
velocidad a lo largo del tiempo:
una (t) \u003d v ′ (t) \u003d S ′ ′ (t)

El significado geométrico de la derivada:

Pendiente de la tangente al gráfico
función es igual a la derivada de esta función,
calculado en el punto de tangencia.
f ′ (x) \u003d k \u003d tga

Derivado en ingeniería eléctrica:

En nuestros hogares, en el transporte, en las fábricas: funciona en todas partes
electricidad. Medios de corriente eléctrica
movimiento direccional de carga eléctrica libre
partículas.
La característica cuantitativa de la corriente eléctrica es la fuerza
Actual.
EN
circuito de corriente eléctrica, la carga eléctrica cambia con
a lo largo del tiempo según la ley q \u003d q (t). La corriente I es la derivada
cargar q a tiempo.
En ingeniería eléctrica, se utiliza principalmente el funcionamiento con CA.
Una corriente eléctrica que cambia con el tiempo se llama
variables. El circuito de CA puede contener varios
elementos: dispositivos calefactores, bobinas, condensadores.
Obtener corriente eléctrica alterna se basa en la ley
inducción electromagnética, cuya redacción contiene
derivada del flujo magnético.

Derivado en química:

◦ Y en química, diferencial
cálculo para la construcción de modelos matemáticos de química
reacciones y posterior descripción de sus propiedades.
◦ La química es la ciencia de las sustancias, de las transformaciones químicas.
Sustancias
◦ La química estudia los patrones de varias reacciones.
◦ La velocidad de una reacción química es el cambio
concentración de reactivos por unidad de tiempo.
◦ Dado que la velocidad de reacción v cambia continuamente durante
proceso, generalmente se expresa por la derivada de la concentración
reactivos en el tiempo.

Derivado en geografía:

La idea detrás del modelo sociológico de Thomas Malthus es que el crecimiento de la población
proporcionalmente a la población en un momento dado t a través de N (t) ,. Modelo
Malthus hizo un buen trabajo al describir la población de los Estados Unidos desde 1790 hasta 1860
años. Hoy este modelo no funciona en la mayoría de países.

Integral y su aplicación:

Un poco de historia:

La historia del concepto de integral se remonta a
a los matemáticos de la Antigua Grecia y la Antigua
Roma.
Las obras del científico de la antigua Grecia Eudoxo de Cnido (c. 408-c. 355 a. C.) en
encontrar volúmenes de cuerpos y cálculos
áreas de figuras planas.

El cálculo integral se generalizó en el siglo XVII. Científicos:
G. Leibniz (1646-1716) e I. Newton (1643-1727) descubrieron de forma independiente
amigo y casi simultáneamente la fórmula, más tarde llamada la fórmula
Newton - Leibniz, que usamos. Que fórmula matemática
un filósofo y un físico no sorprende a nadie, porque la matemática es un lenguaje en el que
dice la naturaleza misma.

Símbolo introducido
Leibniz (1675). Esta señal es
cambio de la letra latina S
(la primera letra de la palabra suma). La palabra integral
inventado
J. Bernoulli (1690). Probablemente viene de
Latín integero, que se traduce como
restaurar a su estado anterior, restaurar.
Los límites de la integración ya fueron señalados por L. Euler
(1707-1783). En 1697 apareció el nombre
nueva rama de las matemáticas - integral
cálculo. Fue presentado por Bernoulli.

En análisis matemático, una integral de una función se llama
extensión del concepto de suma. Proceso de búsqueda integral
llamado integración. Este proceso se usa comúnmente cuando
encontrar cantidades tales como área, volumen, masa, desplazamiento, etc.
cuando se da la tasa o distribución de cambios en esta cantidad
en relación con alguna otra cantidad (posición, tiempo, etc.).

¿Qué es una integral?

Integral es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático, que
surge al resolver problemas de encontrar el área bajo la curva, el camino recorrido por
movimiento desigual, la masa de un cuerpo no homogéneo, etc., así como en el problema de
restaurar una función a partir de su derivada

Los científicos prueban todo lo físico
para expresar fenómenos en la forma
fórmula matemática. cómo
solo tenemos una fórmula, además
ya puedes usarlo
contar cualquier cosa. Y la integral
es uno de los principales
herramientas para trabajar con
funciones.

Métodos de integración:

1. Tabular.
2.Reducción a una transformación tabular del integrando
expresiones en suma o diferencia.
3. Integración mediante sustitución de variables (sustitución).
4. Integración por partes.

Aplicación integral:

◦ Matemáticas
◦ Calcular formas S.
◦ Longitud del arco de la curva.
◦ V cuerpos en S paralelos
secciones.
◦ V del cuerpo de revolución, etc.
Física
Obra A de fuerza variable.
S - movimiento (trayectoria).
Cálculo de masa.
Cálculo del momento de inercia de la línea,
círculo, cilindro.
◦ Calcular coordenada central
gravedad.
◦ Cantidad de calor, etc.
◦
◦
◦
◦

Vladimir 2002

Universidad Estatal de Vladimir, Departamento de Física General y Aplicada

Introducción

El símbolo integral se introdujo desde 1675 y las cuestiones del cálculo integral se han abordado desde 1696. Aunque la integral es estudiada principalmente por matemáticos, los físicos también han contribuido a esta ciencia. Prácticamente ninguna fórmula en física está completa sin cálculo diferencial e integral. Por eso, decidí investigar la integral y su aplicación.

Historia del cálculo integral

La historia del concepto de integral está estrechamente relacionada con los problemas de encontrar cuadraturas. Los matemáticos de la antigua Grecia y Roma llamaron a los problemas de cuadratura de una u otra figura plana los problemas de cálculo de áreas. La palabra latina para quadratura significa "cuadratura". La necesidad de un término especial se explica por el hecho de que en la antigüedad (y más tarde, hasta el siglo XVIII), el concepto de números reales aún no estaba suficientemente desarrollado. Los matemáticos operaban con sus contrapartes geométricas o cantidades escalares, que no se pueden multiplicar. Por lo tanto, el problema de encontrar áreas tenía que formularse, por ejemplo, así: "Construye un cuadrado del mismo tamaño que un círculo dado". (Este problema clásico de "cuadrar el círculo" de un círculo "no puede resolverse, como saben, con un compás y una regla).

El símbolo ò fue introducido por Leibniz (1675). Esta señal es un cambiando la letra latina S (la primera letra de la palabra summ una). La palabra integral en sí fue inventada por Ya. B e r u l l y (1690) Probable oh viene del latín integro cuales traducido cómo llevar al estado anterior, restaurar. (De Verdad, la operación de integración restaura función, diferenciando cuál es el integrando que se obtiene función.) Quizás el origen del término int gral sea diferente: la palabra entero significa todo.

En la literatura moderna, muchos de todos antiderivadas para la función f (X) también se llama integral indefinida. Este concepto fue señalado por Leibniz, quien notó que al principio figurativo las funciones se diferencian por una constante arbitraria. segundo

se llama integral definida (la designación fue introducida por K. Fourier (1768-1830), pero los límites de la integración ya estaban señalados por Oye lehr).

Muchos logros importantes de los matemáticos de la antigua Grecia en la resolución de problemas para encontrar cuadraturas (p. Ej. mi. el cálculo de áreas) de figuras planas, así como las cubaturas (cálculo de volúmenes) de cuerpos están asociados con la aplicación del método de agotamiento propuesto por Eudoxo de Cnidus (c. 408 - c. 355 aC). Usando este método, Eudoxo demostró, por ejemplo, que las áreas de dos círculos están relacionadas como cuadrados de sus diámetros, y el volumen de un cono es igual a 1/3 del volumen de un cilindro que tiene la misma base y altura.

El método Eudoxo fue mejorado por Arquímedes. Las principales etapas que caracterizan el método. Arquímedes: 1) se prueba que el área de un círculo es menor que el área de cualquier polígono regular descrito a su alrededor, pero mayor que el área de cualquier inscrito; 2) está probado que para una duplicación ilimitada del número de lados, la diferencia entre las áreas de estos muchos carbón ikov tiende a cero; 3) para calcular el área de un círculo, queda por encontrar el valor al que tiende la razón del área de un polígono regular con una duplicación ilimitada del número de sus lados.

Con la ayuda del método de agotamiento, una serie de otras consideraciones ingeniosas (incluso con la participación de modelos de mecánica), Arquímedes resolvió muchos problemas. Dio una estimación para el número p (3.10 / 71

Arquímedes anticipó muchas de las ideas del cálculo integral. (Agregamos que en la práctica también demostró los primeros teoremas sobre límites). Pero pasaron más de mil quinientos años antes de que estas ideas se expresaran claramente y se llevaran al nivel del cálculo.

Los matemáticos del siglo XVII, que recibieron muchos resultados nuevos, aprendieron de las obras de Arquímedes. Se utilizó activamente otro método: el método de lo indivisible, que también se originó en la antigua Grecia (está asociado principalmente con las opiniones atomistas de Demócrito). Por ejemplo, curvilíneo trapezoide (Fig.1, a) imaginaban compuestos por segmentos verticales de longitud f (x), a los que, sin embargo, atribuían ya sea área igual al valor infinitesimal f (x). De acuerdo con este entendimiento, el área requerida se consideró igual a la suma

un número infinitamente grande de áreas infinitamente pequeñas. A veces incluso se enfatizó que los términos individuales en esta suma son ceros, pero ceros de un tipo especial, que sumados en un número infinito dan una suma positiva bien definida.

En tal apariencia ahora al menos dudoso basado en I. Kepler (1571-1630) en sus obras "Nueva Astronomía".

(1609) y "Estereometría de barriles de vino" (1615) calcularon correctamente un número de áreas (por ejemplo, el área de una figura delimitada por una elipse) y volúmenes (el cuerpo se cortó en 6 placas finamente delgadas). Estos estudios fueron continuados por los matemáticos italianos B. Cavalieri (1598-1647) y E. Torricelli (1608-1647). El principio formulado por B. Cavalieri, introducido por él bajo algunos supuestos adicionales, conserva su significado en nuestro tiempo.

Suponga que se requiere encontrar el área de la figura que se muestra en la Figura 1, b, donde las curvas que delimitan la figura desde arriba y desde abajo tienen las ecuaciones y \u003d f (x) e y \u003d f (x) + c.

Al presentar una figura formada por "indivisibles", en la terminología de Cavalieri, columnas infinitamente delgadas, notamos que todas tienen una longitud común de c. Moviéndolos en dirección vertical, podemos hacer un rectángulo con una base b-a y una altura c. Por lo tanto, el área requerida es igual al área del rectángulo resultante, es decir

S \u003d S1 \u003d c (segundo - a).

El principio general de Cavalieri para las áreas de figuras planas se formula de la siguiente manera: Deje que las líneas de un cierto conjunto de paralelos se crucen con las figuras F1 y F2 a lo largo de segmentos de igual longitud (Fig. 1, c). Entonces las áreas de las figuras F1 y F2 son iguales.

Un principio similar funciona en estereometría y es útil para encontrar volúmenes.

En el siglo XVII. Se hicieron muchos descubrimientos relacionados con el cálculo integral. Entonces, P. Ferma ya en 1629 el problema de cuadratura de cualquier curva y \u003d xn, donde n es un número entero (es decir, esencialmente derivó la fórmula ò xndx \u003d (1 / n + 1) xn + 1), y sobre esta base resolvió una serie de tareas para encontrar los centros de gravedad. I. Kepler, mientras derivaba sus famosas leyes del movimiento planetario, en realidad se basó en la idea de integración aproximada. I. Barrow (1630-1677), el maestro de Newton, estuvo cerca de comprender la conexión entre integración y diferenciación. El trabajo sobre la representación de funciones en forma de series de potencia fue de gran importancia.

Sin embargo, a pesar de la importancia de los resultados obtenidos por muchos matemáticos extremadamente inventivos del siglo XVII, todavía no existía el cálculo. Era necesario resaltar las ideas generales que subyacen a la solución de muchos problemas particulares, así como establecer una conexión entre las operaciones de diferenciación e integración, lo que da un algoritmo bastante general. Esto fue hecho por Newton y Leibniz, quienes de forma independiente descubrieron un hecho conocido como la fórmula de Newton-Leibniz. Así, finalmente se formó el método general. Todavía teníamos que aprender a encontrar las antiderivadas de muchas funciones, dar nuevo cálculo lógico, etc. Pero lo principal ya estaba hecho: se había creado el cálculo diferencial e integral.

Los métodos de análisis matemático se desarrollaron activamente en el siglo siguiente (en primer lugar, debemos mencionar los nombres de L. Euler, quien completó un estudio sistemático de la integración de funciones elementales, e I. Bernoulli). El desarrollo del cálculo integral contó con la participación de los matemáticos rusos M.V. Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya.Bunyakovsky (1804-1889), P.L. Ch Byshev (1821-1894). De fundamental importancia fueron, en particular, los resultados de Chebyshev, quien demostró que existen integrales que no pueden expresarse en términos de funciones elementales.

Una presentación rigurosa de la teoría de la integral apareció solo en el siglo pasado. La solución a este problema está asociada con los nombres de O. Koshi, uno de los más grandes matemáticos, el científico alemán B. Riemann (1826-1866), el matemático francés G. Darboux (1842-1917).

Las respuestas a muchas preguntas relacionadas con la existencia de áreas y volúmenes de figuras se obtuvieron con la creación de la teoría de la medida por K. Jordan (1838-1922).

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