Lección y presentación sobre el tema: "Desigualdades cuadradas, ejemplos de soluciones"
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Chicos, ya sabemos cómo resolver ecuaciones cuadráticas. Ahora aprendamos a resolver también desigualdades cuadradas.
Desigualdad cuadrada una desigualdad de este tipo se llama:
$ ax ^ 2 + bx + c> 0 $.
El signo de desigualdad puede ser cualquiera, los coeficientes a, b, c son cualquier número ($ a ≠ 0 $).
Todas las reglas que definimos para las desigualdades lineales también funcionan aquí. ¡Repite estas reglas tú mismo!
Introduzcamos una regla más importante:
Si el trinomio $ ax ^ 2 + bx + c $ tiene un discriminante negativo, entonces si sustituye cualquier valor de x, el signo del trinomio será el mismo que el signo del coeficiente a.
Ejemplos de resolución de desigualdad cuadrada
se puede resolver trazando gráficos o trazando intervalos. Veamos ejemplos de soluciones a desigualdades.Ejemplos.
1. Resuelve la desigualdad: $ x ^ 2-2x-8
Solución:
Encuentra las raíces de la ecuación $ x ^ 2-2x-8 = 0 $.
$ x_1 = 4 $ y $ x_2 = -2 $.
Construyamos una gráfica de la ecuación cuadrática. El eje de abscisas se cruza en los puntos 4 y -2. 2. Resolver la desigualdad: $ 5x-6 Solución: Construyamos una gráfica de la ecuación cuadrática, el eje de abscisas se cruza en los puntos 2 y 3. 3. Resuelve la desigualdad: $ 2 ^ 2 + 2x + 1≥0 $. Solución: 4. Resuelve la desigualdad: $ x ^ 2 + x-2 Desigualdad cuadrada - "DESDE y HASTA".En este artículo, consideraremos la solución de desigualdades cuadradas, que se llama a las sutilezas. Recomiendo estudiar detenidamente el material del artículo sin perderse nada. No podrás dominar el artículo de inmediato, te recomiendo hacerlo de varias formas, hay mucha información. Contenido: Introducción. ¡Importante! Introducción. ¡Importante! La desigualdad cuadrada es una desigualdad de la forma: Si toma una ecuación cuadrática y reemplaza el signo igual con cualquiera de los anteriores, obtiene una desigualdad cuadrática. Resolver una desigualdad significa responder la pregunta en qué valores de x será verdadera esta desigualdad. Ejemplos: 10
X 2
– 6
X+12 ≤ 0
2
X 2
+ 5
X –500 > 0
– 15
X 2
– 2
X+13 > 0
8
X 2
– 15
X+45≠ 0
La desigualdad cuadrada se puede especificar implícitamente, por ejemplo: 10
X 2
– 6
X+14
X 2
–5
X +2≤ 56
2
X 2
> 36
8
X 2
<–15
X 2
– 2
X+13
0> – 15
X 2
– 2
X+13
En este caso, es necesario realizar transformaciones algebraicas y llevarlo a la forma estándar (1). * Los coeficientes pueden ser tanto fraccionarios como irracionales, pero estos ejemplos son raros en el currículo escolar y en las tareas de USE no se encuentran en absoluto. Pero no se alarme si, por ejemplo, se encuentra con: Esta también es una desigualdad cuadrada. Primero, consideraremos un algoritmo de solución simple que no requiere una comprensión de qué es una función cuadrática y cómo se ve su gráfica en el plano de coordenadas en relación con los ejes de coordenadas. Si puede memorizar información con firmeza y durante mucho tiempo, mientras la refuerza regularmente con la práctica, entonces el algoritmo lo ayudará. Además, si, como dicen, necesitas resolver tal desigualdad "de una vez", entonces el algoritmo te ayudará. Si lo sigue, puede implementar fácilmente la decisión. Si estás en la escuela, te recomiendo encarecidamente que comiences a estudiar el artículo de la segunda parte, que explica el objetivo de la solución (ver más abajo desde el punto -). Si hay una comprensión de la esencia, entonces no será necesario no aprender, no memorizar el algoritmo especificado, puede resolver fácilmente y rápidamente cualquier desigualdad cuadrada. Por supuesto, uno debería comenzar inmediatamente la explicación precisamente desde el gráfico de la función cuadrática y una explicación del significado en sí, pero decidí “construir” el artículo así. ¡Otro punto teórico! Mira la fórmula para factorizar un trinomio cuadrado: donde x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática ax 2+
bx+ c = 0
* Para resolver la desigualdad cuadrada, será necesario factorizar el trinomio cuadrado. El algoritmo que se presenta a continuación también se denomina método de intervalos. Es adecuado para resolver desigualdades de la forma F(X)>0,
F(X)<0
, F(X) ≥0 yF(X)≤0
... Tenga en cuenta que puede haber más de dos factores, por ejemplo: (x - 10) (x + 5) (x - 1) (x + 104) (x + 6) (x - 1)<0
Algoritmo de resolución. El método de los intervalos. Ejemplos. La desigualdad se da hacha 2
+
bx+ c> 0 (cualquier signo).
1. Escribe la ecuación cuadrática hacha 2
+
bx+ c = 0
y resolverlo. Obtenemos x 1 y x 2- las raíces de la ecuación cuadrática. 2. Sustituimos en la fórmula (2) el coeficiente a
y raíces. : una (x –
X 1
)(X –
x 2)> 0
3. Determine los intervalos en la recta numérica (las raíces de la ecuación dividen el eje numérico en intervalos): 4. Determine los "signos" en los intervalos (+ o -) sustituyendo un valor arbitrario "x" de cada intervalo obtenido en la expresión: una (x –
X 1
)(X –
x 2)
y marcarlos. 5. Solo queda escribir los intervalos que nos interesan, están marcados: - signo "+" si la desigualdad era "> 0" o "≥0". - signo "-", si la desigualdad era "<0» или «≤0».
¡¡¡NOTA!!!
Los signos de la desigualdad en sí pueden ser: estrictos son ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».
¿Cómo afecta esto el resultado de la decisión? Con signos estrictos de desigualdad, los límites del intervalo NO ESTÁN INCLUIDOS en la solución, mientras que en la respuesta el intervalo en sí está escrito en la forma ( X 1
;
X 2
) - paréntesis. Para signos de desigualdad no estrictos, los límites del intervalo se incluyen en la solución y la respuesta se escribe en la forma [ X 1
;
X 2
] - corchetes. * Esto se aplica no solo a las desigualdades cuadradas. El corchete significa que el límite del intervalo en sí está incluido en la solución. Verá esto con ejemplos. Analicemos algunos para eliminar todas las preguntas sobre esto. En teoría, el algoritmo puede parecer algo complicado, de hecho, todo es sencillo. EJEMPLO 1: Resolver X 2
– 60
X+500 ≤ 0
Resolver la ecuación cuadrática X 2
–60
X+500=0
D =
B 2
–4
C.A = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600
Encuentra las raíces: Sustituye el coeficiente a X 2
–60
X+500 = (x - 50) (x - 10)
Escribimos la desigualdad en la forma (x-50) (x-10) ≤ 0
Las raíces de la ecuación dividen el eje numérico en intervalos. Mostrémoslos en la recta numérica: Obtuvimos tres intervalos (–∞; 10), (10; 50) y (50; + ∞). Determinamos los "signos" en los intervalos, lo hacemos sustituyendo valores arbitrarios de cada intervalo obtenido en la expresión (x - 50) (x - 10) y observamos la correspondencia del "signo" obtenido con el firmar la desigualdad (x-50) (x-10) ≤ 0:
en x = 2 (x - 50) (x - 10) =
384> 0 es incorrecto en x = 20 (x-50) (x-10) =
–300 < 0 верно
en x = 60 (x-50) (x-10) = 500> 0 incorrecto La solución es el intervalo. Para todos los valores de x de este intervalo, la desigualdad será verdadera. * Tenga en cuenta que hemos puesto corchetes. Para x = 10 y x = 50, la desigualdad también será cierta, es decir, los límites se incluyen en la solución. Respuesta: x∊ De nuevo: - Los límites del intervalo se incluyen en la solución de la desigualdad cuando la condición contiene el signo ≤ o ≥ (desigualdad no estricta). En este caso, en el boceto, se acostumbra mostrar las raíces resultantes con un círculo rayado. - Los límites del intervalo NO ESTÁN INCLUIDOS en la solución de la desigualdad cuando la condición contiene el signo< или >(desigualdad estricta). En este caso, es habitual mostrar la raíz en el boceto con un círculo SIN SOMBREAR. EJEMPLO 2: Resolver X 2
+ 4
X–21 > 0
Resolver la ecuación cuadrática X 2
+ 4
X–21 = 0
D =
B 2
–4
C.A = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100
Encuentra las raíces: Sustituye el coeficiente a y raíces en la fórmula (2), obtenemos: X 2
+ 4
X–21 = (x - 3) (x + 7)
Escribimos la desigualdad en la forma (x - 3) (x + 7)> 0.
Las raíces de la ecuación dividen el eje numérico en intervalos. Marquémoslos en la recta numérica: * La desigualdad no es estricta, por lo tanto, las designaciones de las raíces NO están sombreadas. Recibió tres intervalos (–∞; –7), (–7; 3) y (3; + ∞). Determinamos los "signos" en los intervalos, lo hacemos sustituyendo valores arbitrarios de estos intervalos en la expresión (x - 3) (x + 7) y observamos la correspondencia con la desigualdad (x - 3) (x + 7)> 0:
en x = –10 (–10–3) (- 10 +7) = 39> 0 verdadero en x = 0 (0–3) (0 +7) = –21< 0 неверно
en x = 10 (10-3) (10 +7) = 119> 0 verdadero La solución será dos intervalos (–∞; –7) y (3; + ∞). Para todos los valores de x de estos intervalos, la desigualdad será verdadera. * Tenga en cuenta que hemos puesto paréntesis. Para x = 3 y x = –7, la desigualdad será incorrecta; los límites no se incluyen en la solución. Respuesta: x∊ (–∞; –7) U (3; + ∞) EJEMPLO 3: Resolver –
X 2
–9
X–20 > 0
Resolver la ecuación cuadrática –
X 2
–9
X–20 = 0.
a = –1
B = –9
C = –20
D =
B 2
–4
C.A = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.
Encuentra las raíces: Sustituye el coeficiente a y raíces en la fórmula (2), obtenemos: –
X 2
–9
X–20 = - (x - (- 5)) (x - (- 4)) = - (x + 5) (x + 4)
Escribimos la desigualdad en la forma - (x + 5) (x + 4)> 0.
Las raíces de la ecuación dividen el eje numérico en intervalos. Nota sobre la recta numérica: * La desigualdad es estricta, por lo tanto, las designaciones de las raíces no están sombreadas. Recibió tres intervalos (–∞; –5), (–5; –4) y (–4; + ∞). Definimos "signos" a intervalos, lo hacemos por sustitución en la expresión - (x + 5) (x + 4) valores arbitrarios de estos intervalos y observe la correspondencia con la desigualdad - (x + 5) (x + 4)> 0:
en x = –10 - (–10 + 5) (- 10 +4) = –30< 0 неверно
en x = –4,5 - (–4,5 + 5) (- 4,5 + 4) = 0,25> 0 verdadero en x = 0 - (0 + 5) (0 +4) = –20< 0 неверно
* Tenga en cuenta que los límites no están incluidos en la solución. Para x = –5 y x = –4, la desigualdad será incorrecta. ¡COMENTARIO! Al resolver una ecuación cuadrática, es posible que obtengamos una raíz o no habrá raíces en absoluto, luego, al usar este método a ciegas, pueden surgir dificultades para determinar la solución. ¡Pequeño resumen! El método es bueno y es conveniente usarlo, especialmente si está familiarizado con la función cuadrática y conoce las propiedades de su gráfica. Si no es así, léalo, pasemos a la siguiente sección. Usando una gráfica de una función cuadrática. ¡Recomendar! Cuadrático es una función de la forma: Su gráfica es una parábola, las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba o hacia abajo: El gráfico se puede colocar de la siguiente manera: puede cruzar el eje x en dos puntos, puede tocarlo en un punto (vértice), no puede cruzarlo. Más sobre esto más adelante. Ahora veamos este enfoque con un ejemplo. Todo el proceso de solución consta de tres etapas. Resuelve la desigualdad X 2
+2
X –8 >0.
Primera etapa
Resolviendo la ecuación X 2
+2
X–8=0.
D =
B 2
–4
C.A = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36
Encuentra las raíces: Tenemos x 1 = 2 y x 2 = - 4. Segunda fase
Construyendo una parábola y =X 2
+2
X–8
por puntos: Puntos: 4 y 2 son los puntos de intersección de la parábola y el eje del buey. ¡Es así de simple! ¿Qué has hecho? Resolvimos la ecuación cuadrática X 2
+2
X–8=0.
Mira su entrada en este formulario: 0 = x 2+ 2x - 8
Cero para nosotros es el valor de "y". Cuando y = 0, obtenemos las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje x. Podemos decir que el valor cero "y" es el eje del oh. Ahora mira qué valores de x la expresión X 2
+2
X – 8
más (o menos) cero? Según el gráfico de la parábola, no es difícil determinar, como dicen, todo está a la vista: 1. Para x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен X 2
+2
X –8
será positivo. 2. A –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен X 2
+2
X –8
será negativo. 3. Para x> 2, la rama de la parábola se encuentra por encima del eje x. Con la x indicada, el término de tres X 2
+2
X –8
será positivo. Tercera etapa
Por la parábola, podemos ver inmediatamente en qué x la expresión X 2
+2
X–8
mayor que cero, igual a cero, menor que cero. Esta es la esencia del tercer paso de la solución, es decir, ver e identificar las áreas positivas y negativas de la figura. Comparamos el resultado obtenido con la desigualdad original y escribimos la respuesta. En nuestro ejemplo, es necesario determinar todos los valores de x en los que la expresión X 2
+2
X–8
Por encima de cero. Hicimos esto en la segunda etapa. Queda por anotar la respuesta. Respuesta: x∊ (–∞; –4) U (2; ∞). En resumen: habiendo calculado las raíces de la ecuación en el primer paso, podemos marcar los puntos obtenidos en el eje x (estos son los puntos de intersección de la parábola con el eje x). A continuación, construimos esquemáticamente una parábola y ya podemos ver la solución. ¿Por qué esquemático? No necesitamos una gráfica matemáticamente precisa. E imagine, por ejemplo, si las raíces son 10 y 1500, intente construir un gráfico preciso en una hoja en una celda con tal aumento de valores. ¡Surge la pregunta! Bueno, tenemos las raíces, bueno, las marcamos en el eje oh, pero dibujamos la ubicación de la parábola en sí, ¿con ramas hacia arriba o hacia abajo? ¡Aquí todo es sencillo! El coeficiente en x 2 te dirá: - si es mayor que cero, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba. - si es menor que cero, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo. En nuestro ejemplo, es igual a uno, es decir, es positivo. *¡Nota! Si la desigualdad contiene un signo no estricto, es decir, ≤ o ≥, entonces las raíces en la recta numérica deben estar sombreadas, esto convencionalmente significa que el límite del intervalo en sí está incluido en la solución de la desigualdad. En este caso, las raíces no están sombreadas (arrancadas), ya que nuestra desigualdad es estricta (hay un signo ">"). Además, en la respuesta, en este caso, se colocan paréntesis, no corchetes (los límites no se incluyen en la solución). Se ha escrito mucho, probablemente he confundido a alguien. Pero si resuelves al menos 5 desigualdades usando parábolas, entonces no hay límite para tu admiración. ¡Es así de simple! Entonces, en resumen: 1. Escribimos la desigualdad y la llevamos a la estándar. 2. Escribe la ecuación cuadrática y resuélvela. 3. Dibuja el eje x, marca las raíces resultantes, dibuja esquemáticamente una parábola, se ramifica hacia arriba si el coeficiente en x 2 es positivo, o ramifica hacia abajo si es negativo. 4. Determina áreas visualmente positivas o negativas y escribe la respuesta a la desigualdad original. Veamos algunos ejemplos. EJEMPLO 1: Resolver X 2
–15
X+50 > 0
Primera etapa. Resolver la ecuación cuadrática X 2
–15
X+50=0
D =
B 2
–4
C.A = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25
Encuentra las raíces: Segunda fase. Construimos el eje oh. Marquemos las raíces obtenidas. Dado que nuestra desigualdad es estricta, no los sombrearemos. Construimos esquemáticamente una parábola, se ubica con ramas hacia arriba, ya que el coeficiente en x 2 es positivo: Etapa tres. Determinar áreas visualmente positivas y negativas, aquí las marcamos Colores diferentes para mayor claridad, no es necesario que haga esto. Escribimos la respuesta. Respuesta: x∊ (–∞; 5) U (10; ∞). * El signo U denota solución de unificación. Figurativamente puede expresarlo así, la solución es "este" Y "este" intervalo. EJEMPLO 2: Resolver –
X 2
+
X+20 ≤ 0
Primera etapa. Resolver la ecuación cuadrática –
X 2
+
X+20=0
D =
B 2
–4
C.A = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81
Encuentra las raíces: Segunda fase. Construimos el eje oh. Marquemos las raíces obtenidas. Dado que nuestra desigualdad no es estricta, sombreamos las designaciones de las raíces. De manera esquemática, construimos una parábola, se ubica con ramas hacia abajo, ya que el coeficiente en x 2 es negativo (es igual a –1): Etapa tres. Determine las áreas visualmente positivas y negativas. Compare con la desigualdad original (nuestro signo es ≤ 0). La desigualdad será cierta para x ≤ - 4 y x ≥ 5. Escribimos la respuesta. Respuesta: x∊ (–∞; –4] U ∪ [\ frac (2) (3); ∞) \) El algoritmo anterior funciona cuando el discriminante es mayor que cero, es decir, tiene raíz \ (2 \). ¿Qué hacer en otros casos? Por ejemplo, tal: \ (1) x ^ 2 + 2x + 9> 0 \) \ (2) x ^ 2 + 6x + 9≤0 \) \ (3) -x ^ 2-4x-4> 0 \) \ (4) -x ^ 2-64<0\) \ (D = 4-36 = -32<0\) \ (D = -4 \ cdot 64<0\) Es decir, la expresión: Es decir, la expresión: ¿Cómo encontrar la x para la cual el trinomio cuadrado es igual a cero? Necesitas resolver la ecuación cuadrática correspondiente. Con esta información en mente, resolvamos las desigualdades cuadradas: 1) \ (x ^ 2 + 2x + 9> 0 \) La desigualdad, podría decirse, nos hace la pregunta: "¿para qué \ (x \) es la expresión de la izquierda mayor que cero?" Arriba, ya lo hemos averiguado para cualquiera. En la respuesta, puede escribir así: "para cualquier \ (x \)", pero es mejor expresar la misma idea en el lenguaje de las matemáticas. Respuesta: \ (x∈ (-∞; ∞) \) 2) \ (x ^ 2 + 6x + 9≤0 \) Pregunta de desigualdad: "¿para qué \ (x \) es la expresión de la izquierda menor o igual que cero?" No puede ser menor que cero, pero igual a cero es bastante. Y para averiguar en qué afirmación sucederá esto, resolveremos la ecuación cuadrática correspondiente. Pongamos nuestra expresión junto por \ (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 \). Ahora solo el cuadrado nos obstaculiza. Pensemos juntos: ¿qué número en el cuadrado es cero? ¡Cero! Esto significa que el cuadrado de la expresión es cero solo si la expresión en sí es cero. \ (x + 3 = 0 \) Este número será la respuesta. Respuesta: \ (- 3 \) 3) \ (- x ^ 2-4x-4> 0 \) ¿Cuándo la expresión de la izquierda es mayor que cero? Como ya se mencionó anteriormente, la expresión de la izquierda es negativa o igual a cero, no puede ser positiva. Entonces la respuesta es nunca. Escribamos "nunca" en el lenguaje de las matemáticas, usando el símbolo "conjunto vacío" - \ (∅ \). Respuesta: \ (x∈∅ \) 4) \ (- x ^ 2-64<0\) ¿Cuándo la expresión de la izquierda es menor que cero? Es siempre. Esto significa que la desigualdad es válida para cualquier \ (x \). Respuesta: \ (x∈ (-∞; ∞) \) ¡Atención! Qué ha pasado "desigualdad cuadrada"?¡No hay duda!) Si tomas ningún ecuación cuadrática y reemplace el signo en ella "="
(igual) a cualquier icono de desigualdad ( > ≥ < ≤ ≠
), obtenemos una desigualdad cuadrada. Por ejemplo: 1. x 2 -8x + 12 ≥
0
2. -x 2 + 3x >
0
3. x 2 ≤
4
Bueno, ya captas la idea ...) No en vano conecté ecuaciones y desigualdades aquí. El punto es que el primer paso para resolver ningún desigualdad cuadrada - Resuelve la ecuación a partir de la cual se obtiene esta desigualdad. Por esta razón, la incapacidad de resolver ecuaciones cuadráticas conduce automáticamente a un completo fracaso en las desigualdades. ¿Está clara la pista?) En todo caso, vea cómo resolver ecuaciones cuadráticas. Allí se detalla todo. Y en esta lección trataremos específicamente las desigualdades. La desigualdad lista para solución tiene la forma: a la izquierda - un trinomio cuadrado ax 2 + bx + c, a la derecha - cero. El signo de desigualdad puede ser absolutamente cualquiera. Los dos primeros ejemplos están aquí. ya están listos para una solución. El tercer ejemplo aún debe prepararse. Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti). Puedes practicar la resolución de ejemplos y conocer tu nivel. Prueba de validación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!) puede familiarizarse con funciones y derivadas. Definición de desigualdad cuadrada Observación 1 La desigualdad cuadrada se llama porque la variable se eleva al cuadrado. También las desigualdades cuadradas se llaman desigualdades de segundo grado. Ejemplo 1 Ejemplo. $ 7x ^ 2-18x + 3 0 $, $ 11z ^ 2 + 8 \ le 0 $ son desigualdades cuadradas. Como puede ver en el ejemplo, no todos los elementos de la desigualdad de la forma $ ax ^ 2 + bx + c> 0 $ están presentes. Por ejemplo, en la desigualdad $ \ frac (5) (11) y ^ 2 + \ sqrt (11) y> 0 $ no hay término libre (sumando $ con $), y en la desigualdad $ 11z ^ 2 + 8 \ le 0 $ no hay término con coeficiente $ b $. Estas desigualdades también son cuadradas, pero también se denominan desigualdades cuadradas incompletas... Simplemente significa que los coeficientes $ b $ o $ c $ son iguales a cero. Al resolver desigualdades cuadradas, se utilizan los siguientes métodos básicos: Observación 2 Manera gráfica de resolver desigualdades cuadradas $ ax ^ 2 + bx + c> 0 $ (o con el signo $ Estos intervalos son resolviendo la desigualdad cuadrada. Observación 3 El método de intervalos para resolver desigualdades cuadradas de la forma $ ax ^ 2 + bx + c> 0 $ (el signo de desigualdad también puede ser $ Soluciones de la desigualdad al cuadrado con el signo $ "" $ - intervalos positivos, con los signos $ "≤" $ y $ "≥" $ - intervalos negativos y positivos (respectivamente), incluyendo los puntos que corresponden a los ceros del trinomio. El método para resolver una desigualdad cuadrada al aislar el cuadrado de un binomio consiste en pasar a una desigualdad equivalente de la forma $ (x-n) ^ 2> m $ (o con el signo $ Observación 4 A menudo, al resolver desigualdades, es necesario reducirlas a desigualdades cuadradas de la forma $ ax ^ 2 + bx + c> 0 $ (el signo de desigualdad también puede ser $ desigualdades que se reducen a cuadrados. Observación 5 La forma más sencilla de reducir las desigualdades a cuadrados es reorganizar los términos en la desigualdad original o transferirlos, por ejemplo, del lado derecho al izquierdo. Por ejemplo, al transferir todos los términos de la desigualdad $ 7x> 6-3x ^ 2 $ del lado derecho al izquierdo, obtenemos una desigualdad cuadrada de la forma $ 3x ^ 2 + 7x-6> 0 $. Si reorganizamos los términos en el lado izquierdo de la desigualdad $ 1,5y-2 + 5,3x ^ 2 \ ge 0 $ en orden decreciente del grado de la variable $ y $, entonces esto conducirá a un equivalente desigualdad cuadrada de la forma $ 5,3x ^ 2 + 1,5y-2 \ ge 0 $. Al resolver desigualdades racionales, a menudo utilizan su reducción para cuadrar las desigualdades. En este caso, es necesario transferir todos los términos al lado izquierdo y transformar la expresión resultante a la forma de un trinomio cuadrado. Ejemplo 2 Ejemplo. Reduce la desigualdad $ 7 \ cdot (x + 0.5) \ cdot x> (3 + 4x) ^ 2-10x ^ 2 + 10 $ al cuadrado. Solución. Transferimos todos los términos al lado izquierdo de la desigualdad: $ 7 \ cdot (x + 0.5) \ cdot x- (3 + 4x) ^ 2 + 10x ^ 2-10> 0 $. Usando las fórmulas de multiplicación abreviadas y expandiendo los paréntesis, simplificamos la expresión en el lado izquierdo de la desigualdad: $ 7x ^ 2 + 3.5x-9-24x-16x ^ 2 + 10x ^ 2-10> 0 $; $ x ^ 2-21.5x-19> 0 $. Respuesta: $ x ^ 2-21.5x-19> 0 $.
Nuestro trinomio cuadrado toma valores menores que cero donde el gráfico de la función se encuentra debajo del eje de abscisas.
Mirando la gráfica de la función, obtenemos la respuesta: $ x ^ 2-2x-8 Respuesta: $ -2
Transforma la desigualdad: $ -x ^ 2 + 5x-6 Divide la desigualdad por menos uno. No olvidemos cambiar el signo: $ x ^ 2-5x + 6> 0 $.
Encuentra las raíces del trinomio: $ x_1 = 2 $ y $ x_2 = 3 $.
Nuestro trinomio cuadrado toma valores mayores que cero donde el gráfico de la función se encuentra sobre el eje de abscisas. Mirando la gráfica de la función, obtenemos la respuesta: $ 5x-6
Encontremos las raíces de nuestro trinomio, para esto calculamos el discriminante: $ D = 2 ^ 2-4 * 2 = -4 El discriminante es menor que cero. Usemos la regla que presentamos al principio. El signo de la desigualdad será el mismo que el signo del coeficiente del cuadrado. En nuestro caso, el coeficiente es positivo, lo que significa que nuestra ecuación será positiva para cualquier valor de x.
Respuesta: Para todo x, la desigualdad es mayor que cero.
Solución:
Busquemos las raíces del trinomio y colóquelas en la línea de coordenadas: $ x_1 = -2 $ y $ x_2 = 1 $. 
Si $ x> 1 $ y $ x Si $ x> -2 $ y $ x Respuesta: $ x> -2 $ y $ xProblemas para resolver desigualdades cuadradas
Resolver desigualdades:
a) $ x ^ 2-11x + 30 b) $ 2x + 15≥x ^ 2 $.
c) $ 3x ^ 2 + 4x + 3 d) $ 4x ^ 2-5x + 2> 0 $. 
La solución será el intervalo (–5; –4). Para todos los valores de "x" que le pertenecen, la desigualdad será verdadera.
Desigualdades cuadradas con discriminante negativo y cero
Si \ (D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).
\ (x ^ 2 + 2x + 9 \) es positivo para cualquier \ (x \), porque \ (a = 1> 0 \)
\ (- x ^ 2-64 \) - negativo para cualquier \ (x \), porque \ (a = -1<0\)Si \ (D = 0 \), entonces el trinomio cuadrado para un valor \ (x \) es igual a cero, y para todos los demás tiene un signo constante, que coincide con el signo del coeficiente \ (a \) .
\ (x ^ 2 + 6x + 9 \) - igual a cero para \ (x = -3 \) y positivo para todos los demás x, ya que \ (a = 1> 0 \)
\ (- x ^ 2-4x-4 \) - es igual a cero para \ (x = -2 \) y negativo para todos los demás, porque \ (a = -1<0\).
\ (D = 4-36 = -32<0\)
\ (D = 36-36 = 0 \)
\ (x = -3 \)
\ (D = 16-16 = 0 \)
\ (D = -4 \ cdot 64<0\)
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