Por ejemplo, para el trinomio \(3x^2+2x-7\), el discriminante será \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Y para el trinomio \(x^2-5x+11\), será igual a \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

El discriminante se denota con la letra \(D\) y se usa a menudo al resolver. Además, por el valor del discriminante, puedes entender cómo se ve el gráfico (ver más abajo).

Raíces discriminantes y de ecuación

El valor del discriminante muestra la cantidad de la ecuación cuadrática:
- si \(D\) es positivo, la ecuación tendrá dos raíces;
- si \(D\) es igual a cero - sólo una raíz;
- si \(D\) es negativo, no hay raíces.

No es necesario aprender esto, es fácil llegar a tal conclusión, simplemente sabiendo que del discriminante (es decir, \(\sqrt(D)\) está incluido en la fórmula para calcular las raíces de la ecuación: \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) y \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\) Veamos cada caso con más detalle.

Si el discriminante es positivo

En este caso, la raíz es un número positivo, lo que significa que \(x_(1)\) y \(x_(2)\) tendrán un valor diferente, porque en la primera fórmula \(\sqrt(D) \) se suma, y ​​en el segundo - se resta. Y tenemos dos raíces diferentes.

Ejemplo : Encuentra las raíces de la ecuación \(x^2+2x-3=0\)
Solución :

Responder : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Si el discriminante es cero

¿Y cuántas raíces habrá si el discriminante es cero? Razonemos.

Las fórmulas raíz se ven así: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) y \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Y si el discriminante es cero, entonces la raíz también es cero. Entonces resulta:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Es decir, los valores de las raíces de la ecuación coincidirán, porque sumar o restar cero no cambia nada.

Ejemplo : Encuentra las raíces de la ecuación \(x^2-4x+4=0\)
Solución :

\(x^2-4x+4=0\)		Escribimos los coeficientes:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Calcula el discriminante usando la fórmula \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Encontrar las raíces de la ecuación
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Tenemos dos raíces idénticas, por lo que no tiene sentido escribirlas por separado, las escribimos como una sola.

Responder : \(x=2\)

Con este programa de matemáticas puedes resolver ecuación cuadrática.

El programa no solo da la respuesta al problema, sino que también muestra el proceso de solución de dos maneras:
- usando el discriminante
- usando el teorema de Vieta (si es posible).

Además, la respuesta se muestra exacta, no aproximada.
Por ejemplo, para la ecuación \(81x^2-16x-1=0\), la respuesta se muestra de esta forma:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ en lugar de esto: \(x_1 = 0.247; \ cuádruple x_2 = -0.05 \)

Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria en preparación para pruebas y exámenes, al evaluar conocimientos antes del Examen Estatal Unificado, para que los padres controlen la solución de muchos problemas en matemáticas y álgebra. ¿O tal vez es demasiado caro para ti contratar a un tutor o comprar nuevos libros de texto? ¿O simplemente quieres hacer tu tarea de matemáticas o álgebra lo más rápido posible? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con una solución detallada.

De esta forma, podrás realizar tu propia formación y/o la formación de tus hermanos o hermanas menores, a la vez que se incrementa el nivel de formación en el campo de las tareas a resolver.

Si no está familiarizado con las reglas para ingresar un polinomio cuadrado, le recomendamos que se familiarice con ellas.

Reglas para ingresar un polinomio cuadrado

Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Los números se pueden ingresar como enteros o fracciones.
Además, los números fraccionarios se pueden ingresar no solo en forma de decimal, sino también en forma de fracción ordinaria.

Reglas para ingresar fracciones decimales.
En las fracciones decimales, la parte fraccionaria del entero se puede separar con un punto o una coma.
Por ejemplo, puede ingresar decimales como este: 2.5x - 3.5x^2

Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Solo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.

El denominador no puede ser negativo.

Al ingresar una fracción numérica, el numerador está separado del denominador por un signo de división: /
La parte entera está separada de la fracción por un ampersand: &
Entrada: 3 y 1/3 - 5 y 6/5z +1/7z^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Al ingresar una expresión puedes usar paréntesis. En este caso, al resolver una ecuación cuadrática, primero se simplifica la expresión introducida.
Por ejemplo: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Resolver

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Un poco de teoría.

Ecuación cuadrática y sus raíces. Ecuaciones cuadráticas incompletas

cada una de las ecuaciones
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
tiene la forma
\(ax^2+bx+c=0, \)
donde x es una variable, a, b y c son números.
En la primera ecuación a = -1, b = 6 y c = 1,4, en la segunda a = 8, b = -7 y c = 0, en la tercera a = 1, b = 0 y c = 4/9. Tales ecuaciones se llaman ecuaciones cuadráticas.

Definición.
ecuación cuadrática se llama una ecuación de la forma ax 2 +bx+c=0, donde x es una variable, a, b y c son unos números, y \(a \neq 0 \).

Los números a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática. El número a se llama el primer coeficiente, el número b es el segundo coeficiente y el número c es la intersección.

En cada una de las ecuaciones de la forma ax 2 +bx+c=0, donde \(a \neq 0 \), la mayor potencia de la variable x es un cuadrado. De ahí el nombre: ecuación cuadrática.

Tenga en cuenta que una ecuación cuadrática también se llama ecuación de segundo grado, ya que su lado izquierdo es un polinomio de segundo grado.

Una ecuación cuadrática en la que el coeficiente en x 2 es 1 se llama ecuación cuadrática reducida. Por ejemplo, las ecuaciones cuadráticas dadas son las ecuaciones
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Si en la ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0 al menos uno de los coeficientes b o c es igual a cero, entonces tal ecuación se llama ecuación cuadrática incompleta. Entonces, las ecuaciones -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 son ecuaciones cuadráticas incompletas. En el primero de ellos b=0, en el segundo c=0, en el tercero b=0 y c=0.

Las ecuaciones cuadráticas incompletas son de tres tipos:
1) ax 2 +c=0, donde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, donde \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Considere la solución de ecuaciones de cada uno de estos tipos.

Para resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +c=0 para \(c \neq 0 \), se traslada su término libre al lado derecho y se dividen ambas partes de la ecuación por a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Como \(c \neq 0 \), entonces \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Si \(-\frac(c)(a)>0 \), entonces la ecuación tiene dos raíces.

Si \(-\frac(c)(a) Para resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) factorizar su lado izquierdo y obtener la ecuación
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matriz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(matriz) \right. \)

Por lo tanto, una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) siempre tiene dos raíces.

Una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 \u003d 0 es equivalente a la ecuación x 2 \u003d 0 y, por lo tanto, tiene una sola raíz 0.

La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática

Consideremos ahora cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas en las que tanto los coeficientes de las incógnitas como el término libre son distintos de cero.

Resolvemos la ecuación cuadrática en forma general y como resultado obtenemos la fórmula de las raíces. Entonces esta fórmula se puede aplicar para resolver cualquier ecuación cuadrática.

Resolver la ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0

Dividiendo sus dos partes por a, obtenemos la ecuación cuadrática reducida equivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformamos esta ecuación resaltando el cuadrado del binomio:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Flecha derecha \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

La expresión raíz se llama discriminante de una ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0 ("discriminante" en latín - distintivo). Se denota con la letra D, es decir
\(D = b^2-4ac\)

Ahora, usando la notación del discriminante, reescribimos la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), donde \(D= b^2-4ac \)

Es obvio que:
1) Si D>0, entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces.
2) Si D=0, entonces la ecuación cuadrática tiene una raíz \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Si D Así, dependiendo del valor del discriminante, la ecuación cuadrática puede tener dos raíces (para D > 0), una raíz (para D = 0) o ninguna raíz (para D Al resolver una ecuación cuadrática usando esta fórmula , es recomendable hacerlo de la siguiente manera:
1) calcular el discriminante y compararlo con cero;
2) si el discriminante es positivo o igual a cero, entonces usa la fórmula de la raíz, si el discriminante es negativo, entonces escribe que no hay raíces.

teorema de Vieta

La ecuación cuadrática dada ax 2 -7x+10=0 tiene raíces 2 y 5. La suma de las raíces es 7 y el producto es 10. Vemos que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente, tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre. Cualquier ecuación cuadrática reducida que tenga raíces tiene esta propiedad.

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al segundo coeficiente, tomado con signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre.

Esos. El teorema de Vieta establece que las raíces x 1 y x 2 de la ecuación cuadrática reducida x 2 +px+q=0 tienen la propiedad:
\(\left\( \begin(matriz)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(matriz) \right. \)

Este tema puede parecer complicado al principio debido a las muchas fórmulas no tan simples. No solo las ecuaciones cuadráticas en sí mismas tienen entradas largas, sino que las raíces también se encuentran a través del discriminante. Hay tres fórmulas nuevas en total. No es muy fácil de recordar. Esto es posible solo después de la solución frecuente de tales ecuaciones. Entonces todas las fórmulas serán recordadas por sí mismas.

Vista general de la ecuación cuadrática

Aquí se propone su notación explícita, cuando el grado más grande se escribe primero y luego, en orden descendente. A menudo hay situaciones en las que los términos se diferencian. Entonces es mejor reescribir la ecuación en orden descendente del grado de la variable.

Introduzcamos la notación. Se presentan en la siguiente tabla.

Si aceptamos estas notaciones, todas las ecuaciones cuadráticas se reducen a la siguiente notación.

Además, el coeficiente a ≠ 0. Denotemos esta fórmula con el número uno.

Cuando se da la ecuación, no está claro cuántas raíces habrá en la respuesta. Porque una de las tres opciones siempre es posible:

• la solución tendrá dos raíces;
• la respuesta será un número;
• La ecuación no tiene raíces en absoluto.

Y si bien la decisión no llega al final, es difícil entender cuál de las opciones caerá en un caso particular.

Tipos de registros de ecuaciones cuadráticas

Las tareas pueden tener diferentes entradas. No siempre se verán como la fórmula general de una ecuación cuadrática. A veces le faltarán algunos términos. Lo que se escribió arriba es la ecuación completa. Si elimina el segundo o tercer término, obtiene algo diferente. Estos registros también se denominan ecuaciones cuadráticas, solo que incompletas.

Además, sólo pueden desaparecer los términos para los cuales los coeficientes "b" y "c". El número "a" no puede ser igual a cero bajo ninguna circunstancia. Porque en este caso la fórmula se convierte en una ecuación lineal. Las fórmulas para la forma incompleta de las ecuaciones serán las siguientes:

Entonces, solo hay dos tipos, además de las completas, también hay ecuaciones cuadráticas incompletas. Sea la primera fórmula el número dos y la segunda el número tres.

El discriminante y la dependencia del número de raíces de su valor

Este número debe ser conocido para poder calcular las raíces de la ecuación. Siempre se puede calcular, sin importar cuál sea la fórmula de la ecuación cuadrática. Para calcular el discriminante, debe usar la igualdad escrita a continuación, que tendrá el número cuatro.

Después de sustituir los valores de los coeficientes en esta fórmula, puede obtener números con diferentes signos. Si la respuesta es sí, entonces la respuesta a la ecuación serán dos raíces diferentes. Con un número negativo, las raíces de la ecuación cuadrática estarán ausentes. Si es igual a cero, la respuesta será uno.

¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática completa?

De hecho, la consideración de este tema ya ha comenzado. Porque primero necesitas encontrar el discriminante. Después de que se aclara que hay raíces de la ecuación cuadrática y se conoce su número, debe usar las fórmulas para las variables. Si hay dos raíces, entonces debe aplicar dicha fórmula.

Como contiene el signo "±", habrá dos valores. La expresión bajo el signo de la raíz cuadrada es el discriminante. Por lo tanto, la fórmula se puede reescribir de otra manera.

Fórmula cinco. Del mismo registro se puede ver que si el discriminante es cero, entonces ambas raíces tomarán los mismos valores.

Si aún no se ha resuelto la solución de ecuaciones cuadráticas, es mejor anotar los valores de todos los coeficientes antes de aplicar las fórmulas discriminante y variable. Más tarde este momento no causará dificultades. Pero al principio hay confusión.

¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática incompleta?

Todo es mucho más simple aquí. Incluso no hay necesidad de fórmulas adicionales. Y no necesitarás los que ya han sido escritos para lo discriminante y lo desconocido.

Primero, considere la ecuación incompleta número dos. En esta igualdad se supone sacar del paréntesis el valor desconocido y resolver la ecuación lineal, que quedará entre paréntesis. La respuesta tendrá dos raíces. El primero es necesariamente igual a cero, porque hay un factor que consiste en la propia variable. El segundo se obtiene resolviendo una ecuación lineal.

La ecuación incompleta en el número tres se resuelve transfiriendo el número del lado izquierdo de la ecuación al lado derecho. Luego necesitas dividir por el coeficiente frente a la incógnita. Solo queda extraer la raíz cuadrada y no olvides escribirla dos veces con signos opuestos.

Las siguientes son algunas acciones que te ayudarán a aprender cómo resolver todo tipo de igualdades que se convierten en ecuaciones cuadráticas. Ayudarán al alumno a evitar errores por falta de atención. Estas deficiencias son la causa de las malas calificaciones al estudiar el extenso tema "Ecuaciones cuadráticas (Grado 8)". Posteriormente, estas acciones no necesitarán ser realizadas constantemente. Porque habrá un hábito estable.

• Primero necesitas escribir la ecuación en forma estándar. Es decir, primero el término con mayor grado de la variable, y luego -sin el grado y el último- sólo un número.

• Si aparece un signo menos antes del coeficiente "a", puede complicar el trabajo de un principiante para estudiar ecuaciones cuadráticas. Es mejor deshacerse de él. Para ello, toda igualdad debe multiplicarse por "-1". Esto significa que todos los términos cambiarán de signo al contrario.

• De la misma manera, se recomienda deshacerse de las fracciones. Simplemente multiplique la ecuación por el factor apropiado para que los denominadores se cancelen.

Ejemplos

Se requiere resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x2 + 8 + 3x = 0;

12x + x2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

La primera ecuación: x 2 - 7x \u003d 0. Está incompleta, por lo tanto, se resuelve como se describe para la fórmula número dos.

Después del paréntesis, resulta: x (x - 7) \u003d 0.

La primera raíz toma el valor: x 1 \u003d 0. La segunda se encontrará a partir de la ecuación lineal: x - 7 \u003d 0. Es fácil ver que x 2 \u003d 7.

Segunda ecuación: 5x2 + 30 = 0. Nuevamente incompleta. Solo se resuelve como se describe para la tercera fórmula.

Después de transferir 30 al lado derecho de la ecuación: 5x 2 = 30. Ahora debes dividir por 5. Resulta: x 2 = 6. Las respuestas serán números: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Tercera ecuación: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Aquí y a continuación, la solución de ecuaciones cuadráticas comenzará reescribiéndolas en una forma estándar: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Ahora es el momento de usar el segundo consejo útil y multiplique todo por menos uno. Resulta que x 2 + 2x - 15 \u003d 0. De acuerdo con la cuarta fórmula, debes calcular el discriminante: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Es un numero positivo. De lo dicho anteriormente, resulta que la ecuación tiene dos raíces. Deben calcularse de acuerdo con la quinta fórmula. Según esto, resulta que x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Entonces x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

La cuarta ecuación x 2 + 8 + 3x \u003d 0 se convierte en esto: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Su discriminante es igual a este valor: -23. Dado que este número es negativo, la respuesta a esta tarea será la siguiente entrada: "No hay raíces".

La quinta ecuación 12x + x 2 + 36 = 0 se debe reescribir de la siguiente manera: x 2 + 12x + 36 = 0. Después de aplicar la fórmula del discriminante se obtiene el número cero. Esto significa que tendrá una raíz, a saber: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

La sexta ecuación (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) requiere transformaciones, que consisten en el hecho de que necesitas traer términos semejantes, antes de abrir los paréntesis. En lugar del primero habrá una expresión de este tipo: x 2 + 2x + 1. Después de la igualdad, aparecerá esta entrada: x 2 + 3x + 2. Después de contar términos similares, la ecuación tomará la forma: x 2 - x \u003d 0. Se ha vuelto incompleto. Similar a él ya se ha considerado un poco más alto. Las raíces de esto serán los números 0 y 1.

Seguimos estudiando el tema. solución de ecuaciones". Ya nos hemos familiarizado con las ecuaciones lineales y ahora nos vamos a familiarizar con ecuaciones cuadráticas.

Primero, discutiremos qué es una ecuación cuadrática, cómo se escribe en forma general y daremos definiciones relacionadas. Después de eso, usando ejemplos, analizaremos en detalle cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas incompletas. A continuación, pasemos a resolver ecuaciones completas, obtener la fórmula para las raíces, familiarizarnos con el discriminante de una ecuación cuadrática y considerar soluciones a ejemplos típicos. Finalmente, trazamos las conexiones entre raíces y coeficientes.

Navegación de página.

¿Qué es una ecuación cuadrática? sus tipos

Primero necesitas entender claramente qué es una ecuación cuadrática. Por lo tanto, es lógico comenzar hablando de ecuaciones cuadráticas con la definición de ecuación cuadrática, así como definiciones relacionadas con ella. Después de eso, puede considerar los principales tipos de ecuaciones cuadráticas: reducidas y no reducidas, así como ecuaciones completas e incompletas.

Definición y ejemplos de ecuaciones cuadráticas

Definición.

Ecuación cuadrática es una ecuación de la forma a x 2 + b x + c = 0, donde x es una variable, a , b y c son algunos números y a es diferente de cero.

Digamos de inmediato que las ecuaciones cuadráticas a menudo se llaman ecuaciones de segundo grado. Esto se debe a que la ecuación cuadrática es ecuación algebraica segundo grado.

La definición sondeada nos permite dar ejemplos de ecuaciones cuadráticas. Entonces 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, etc. son ecuaciones cuadráticas.

Definición.

Números a, b y c se llaman coeficientes de la ecuación cuadrática a x 2 + b x + c \u003d 0, y el coeficiente a se denomina primero, o mayor, o coeficiente en x 2, b es el segundo coeficiente, o coeficiente en x, y c es un miembro libre.

Por ejemplo, tomemos una ecuación cuadrática de la forma 5 x 2 −2 x−3=0, aquí el coeficiente principal es 5, el segundo coeficiente es −2 y el término libre es −3. Tenga en cuenta que cuando los coeficientes b y/o c son negativos, como en el ejemplo que se acaba de dar, se usa la forma abreviada de la ecuación cuadrática de la forma 5 x 2 −2 x−3=0, no 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Vale la pena señalar que cuando los coeficientes a y / o b son iguales a 1 o −1, entonces generalmente no están explícitamente presentes en la notación de la ecuación cuadrática, lo que se debe a las peculiaridades de la notación de tales. Por ejemplo, en la ecuación cuadrática y 2 −y+3=0, el coeficiente principal es uno y el coeficiente en y es −1.

Ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas

Dependiendo del valor del coeficiente principal, se distinguen ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas. Demos las definiciones correspondientes.

Definición.

Una ecuación cuadrática en la que el coeficiente principal es 1 se llama ecuación cuadrática reducida. De lo contrario, la ecuación cuadrática es no reducido.

Según esta definición, las ecuaciones cuadráticas x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, etc. - reducido, en cada uno de ellos el primer coeficiente es igual a uno. Y 5 x 2 −x−1=0 , etc. - ecuaciones cuadráticas no reducidas, sus coeficientes principales son diferentes de 1 .

De cualquier ecuación cuadrática no reducida, al dividir sus dos partes por el coeficiente principal, se puede pasar a la reducida. Esta acción es una transformación equivalente, es decir, la ecuación cuadrática reducida obtenida de esta forma tiene las mismas raíces que la ecuación cuadrática original no reducida, o como ella, no tiene raíces.

Tomemos un ejemplo de cómo se realiza la transición de una ecuación cuadrática no reducida a una reducida.

Ejemplo.

De la ecuación 3 x 2 +12 x−7=0, pasa a la ecuación cuadrática reducida correspondiente.

Solución.

Basta con que realicemos la división de ambas partes de la ecuación original por el coeficiente principal 3, que es distinto de cero, para que podamos realizar esta acción. Tenemos (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , que es lo mismo que (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , y así sucesivamente (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , de donde . Entonces obtuvimos la ecuación cuadrática reducida, que es equivalente a la original.

Responder:

Ecuaciones cuadráticas completas e incompletas

Hay una condición a≠0 en la definición de una ecuación cuadrática. Esta condición es necesaria para que la ecuación a x 2 +b x+c=0 sea exactamente cuadrada, ya que con a=0 en realidad se convierte en una ecuación lineal de la forma b x+c=0 .

En cuanto a los coeficientes b y c, pueden ser iguales a cero, tanto por separado como juntos. En estos casos, la ecuación cuadrática se llama incompleta.

Definición.

La ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0 se llama incompleto, si al menos uno de los coeficientes b , c es igual a cero.

A su momento

Definición.

Ecuación cuadrática completa es una ecuación en la que todos los coeficientes son diferentes de cero.

Estos nombres no se dan por casualidad. Esto quedará claro a partir de la siguiente discusión.

Si el coeficiente b es igual a cero, entonces la ecuación cuadrática toma la forma a x 2 +0 x+c=0 , y es equivalente a la ecuación a x 2 +c=0 . Si c=0 , es decir, la ecuación cuadrática tiene la forma a x 2 +b x+0=0 , entonces se puede reescribir como a x 2 +b x=0 . Y con b=0 y c=0 obtenemos la ecuación cuadrática a·x 2 =0. Las ecuaciones resultantes difieren de la ecuación cuadrática completa en que sus lados izquierdos no contienen un término con la variable x, ni un término libre, ni ambos. De ahí su nombre: ecuaciones cuadráticas incompletas.

Entonces las ecuaciones x 2 +x+1=0 y −2 x 2 −5 x+0,2=0 son ejemplos de ecuaciones cuadráticas completas, y x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 son ecuaciones cuadráticas incompletas.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

De la información del párrafo anterior se desprende que existe tres tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

• a x 2 =0 , le corresponden los coeficientes b=0 y c=0;
• a x 2 +c=0 cuando b=0 ;
• y a x 2 + b x = 0 cuando c = 0 .

Analicemos en orden cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas incompletas de cada uno de estos tipos.

a x 2 \u003d 0

Comencemos resolviendo ecuaciones cuadráticas incompletas en las que los coeficientes b y c sean iguales a cero, es decir, con ecuaciones de la forma a x 2 =0. La ecuación a·x 2 =0 es equivalente a la ecuación x 2 =0, que se obtiene de la original dividiendo sus dos partes por un número a distinto de cero. Obviamente, la raíz de la ecuación x 2 \u003d 0 es cero, ya que 0 2 \u003d 0. Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que se explica, en efecto, para cualquier número p distinto de cero, se produce la desigualdad p 2 >0, lo que implica que para p≠0, nunca se alcanza la igualdad p 2 =0.

Entonces, la ecuación cuadrática incompleta a x 2 \u003d 0 tiene una sola raíz x \u003d 0.

Como ejemplo, damos la solución de una ecuación cuadrática incompleta −4·x 2 =0. Es equivalente a la ecuación x 2 \u003d 0, su única raíz es x \u003d 0, por lo tanto, la ecuación original tiene una sola raíz cero.

Una solución corta en este caso se puede emitir de la siguiente manera:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 + c = 0

Ahora considere cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas incompletas, en las que el coeficiente b es igual a cero y c≠0, es decir, ecuaciones de la forma a x 2 +c=0. Sabemos que la transferencia de un término de un lado de la ecuación al otro con signo opuesto, así como la división de ambos lados de la ecuación por un número distinto de cero, dan una ecuación equivalente. Por tanto, se pueden realizar las siguientes transformaciones equivalentes de la ecuación cuadrática incompleta a x 2 +c=0:

• mover c al lado derecho, lo que da la ecuación a x 2 =−c,
• y dividimos ambas partes por a , obtenemos .

La ecuación resultante nos permite sacar conclusiones sobre sus raíces. Dependiendo de los valores de a y c, el valor de la expresión puede ser negativo (por ejemplo, si a=1 y c=2, entonces) o positivo, (por ejemplo, si a=−2 y c=6 , entonces ), no es igual a cero , porque por condición c≠0 . Analizaremos por separado los casos y .

Si , entonces la ecuación no tiene raíces. Esta afirmación se deriva del hecho de que el cuadrado de cualquier número es un número no negativo. De esto se sigue que cuando , entonces para cualquier número p la igualdad no puede ser verdadera.

Si , entonces la situación con las raíces de la ecuación es diferente. En este caso, si recordamos, entonces la raíz de la ecuación se vuelve obvia de inmediato, es el número, ya que. Es fácil adivinar que el número también es la raíz de la ecuación, de hecho, . Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que se puede demostrar, por ejemplo, por contradicción. Vamos a hacerlo.

Denotemos las raíces recién expresadas de la ecuación como x 1 y −x 1 . Supongamos que la ecuación tiene otra raíz x 2 diferente de las raíces indicadas x 1 y −x 1 . Se sabe que la sustitución en la ecuación en lugar de x de sus raíces convierte la ecuación en una verdadera igualdad numérica. Para x 1 y −x 1 tenemos , y para x 2 tenemos . Las propiedades de las igualdades numéricas nos permiten realizar restas término por término de igualdades numéricas verdaderas, por lo que al restar las partes correspondientes de las igualdades se obtiene x 1 2 − x 2 2 =0. Las propiedades de las operaciones con números nos permiten reescribir la igualdad resultante como (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Sabemos que el producto de dos números es igual a cero si y solo si al menos uno de ellos es igual a cero. Por tanto, de la igualdad obtenida se sigue que x 1 −x 2 =0 y/o x 1 +x 2 =0 , que es lo mismo, x 2 =x 1 y/o x 2 = −x 1 . Entonces hemos llegado a una contradicción, ya que al principio dijimos que la raíz de la ecuación x 2 es diferente de x 1 y −x 1 . Esto prueba que la ecuación no tiene otras raíces que y .

Vamos a resumir la información en este párrafo. La ecuación cuadrática incompleta a x 2 +c=0 es equivalente a la ecuación , que

• no tiene raíces si,
• tiene dos raíces y si .

Considere ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma a·x 2 +c=0 .

Empecemos con la ecuación cuadrática 9 x 2 +7=0 . Tras trasladar el término libre al lado derecho de la ecuación, tomará la forma 9·x 2 =−7. Dividiendo ambos lados de la ecuación resultante por 9, llegamos a . Como se obtiene un número negativo en el lado derecho, esta ecuación no tiene raíces, por lo tanto, la ecuación cuadrática incompleta original 9 x 2 +7=0 no tiene raíces.

Resolvamos otra ecuación cuadrática incompleta −x 2 +9=0. Transferimos los nueve al lado derecho: -x 2 \u003d -9. Ahora dividimos ambas partes por −1, obtenemos x 2 =9. El lado derecho contiene un número positivo, del cual concluimos que o . Después escribimos la respuesta final: la ecuación cuadrática incompleta −x 2 +9=0 tiene dos raíces x=3 o x=−3.

a x 2 + b x = 0

Queda por abordar la solución del último tipo de ecuaciones cuadráticas incompletas para c=0. Las ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma a x 2 +b x=0 le permiten resolver método de factorización. Evidentemente, podemos, situados en el lado izquierdo de la ecuación, para lo cual basta con sacar el factor común x fuera de paréntesis. Esto nos permite pasar de la ecuación cuadrática incompleta original a una ecuación equivalente de la forma x·(a·x+b)=0 . Y esta ecuación es equivalente al conjunto de dos ecuaciones x=0 y a x+b=0, la última de las cuales es lineal y tiene una raíz x=−b/a.

Entonces, la ecuación cuadrática incompleta a x 2 +b x=0 tiene dos raíces x=0 y x=−b/a.

Para consolidar el material, analizaremos la solución de un ejemplo específico.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación.

Solución.

Sacamos x de los paréntesis, esto da la ecuación. Es equivalente a dos ecuaciones x=0 y . Resolvemos la ecuación lineal resultante: , y después de dividir el número mixto por una fracción ordinaria, encontramos . Por lo tanto, las raíces de la ecuación original son x=0 y .

Después de obtener la práctica necesaria, las soluciones de tales ecuaciones se pueden escribir brevemente:

Responder:

x=0 , .

Discriminante, fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática

Para resolver ecuaciones cuadráticas, existe una fórmula raíz. vamos a escribir la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática: , donde re=b 2 −4 a c- así llamado discriminante de una ecuación cuadrática. La notación esencialmente significa que .

Es útil saber cómo se obtuvo la fórmula de la raíz y cómo se aplica para encontrar las raíces de las ecuaciones cuadráticas. Lidiemos con esto.

Derivación de la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática

Necesitamos resolver la ecuación cuadrática a·x 2 +b·x+c=0 . Realicemos algunas transformaciones equivalentes:

• Podemos dividir ambas partes de esta ecuación por un número a distinto de cero, como resultado obtenemos la ecuación cuadrática reducida.
• Ahora seleccionar un cuadrado completo en su lado izquierdo: . Después de eso, la ecuación tomará la forma .
• En esta etapa, es posible realizar la transferencia de los dos últimos términos al lado derecho con el signo opuesto, tenemos .
• Y transformemos también la expresión del lado derecho: .

Como resultado, llegamos a la ecuación , que es equivalente a la ecuación cuadrática original a·x 2 +b·x+c=0 .

Ya hemos resuelto ecuaciones similares en forma en los párrafos anteriores cuando analizamos . Esto nos permite sacar las siguientes conclusiones con respecto a las raíces de la ecuación:

• si , entonces la ecuación no tiene soluciones reales;
• si , entonces la ecuación tiene la forma , por tanto, , de la que es visible su única raíz;
• si , entonces o , que es lo mismo que o , es decir, la ecuación tiene dos raíces.

Por lo tanto, la presencia o ausencia de las raíces de la ecuación y, por tanto, la ecuación cuadrática original, depende del signo de la expresión del lado derecho. A su vez, el signo de esta expresión está determinado por el signo del numerador, ya que el denominador 4 a 2 siempre es positivo, es decir, el signo de la expresión b 2 −4 a c . Esta expresión b 2 −4 a c se llama discriminante de una ecuación cuadrática y marcado con la letra D. A partir de aquí, la esencia del discriminante es clara: por su valor y signo, se concluye si la ecuación cuadrática tiene raíces reales y, de ser así, cuál es su número: uno o dos.

Volvemos a la ecuación , la reescribimos usando la notación del discriminante: . Y concluimos:

• si D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• si D=0, entonces esta ecuación tiene una sola raíz;
• finalmente, si D>0, entonces la ecuación tiene dos raíces o , que se pueden reescribir en la forma o , y luego de expandir y reducir las fracciones a un denominador común, obtenemos .

Así que derivamos las fórmulas para las raíces de la ecuación cuadrática, se ven como , donde el discriminante D se calcula mediante la fórmula D=b 2 −4 a c .

Con su ayuda, con un discriminante positivo, puedes calcular ambas raíces reales de una ecuación cuadrática. Cuando el discriminante es igual a cero, ambas fórmulas dan el mismo valor de raíz correspondiente a la única solución de la ecuación cuadrática. Y con un discriminante negativo, al tratar de usar la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática, nos encontramos ante sacar la raíz cuadrada de un número negativo, lo que nos lleva fuera del ámbito del currículum escolar. Con un discriminante negativo, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales, pero tiene un par complejo conjugado raíces, que se pueden encontrar usando las mismas fórmulas de raíz que obtuvimos.

Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas usando fórmulas de raíz

En la práctica, al resolver una ecuación cuadrática, puede usar inmediatamente la fórmula raíz, con la cual calcular sus valores. Pero esto se trata más de encontrar raíces complejas.

Sin embargo, en un curso de álgebra escolar, generalmente no hablamos de raíces complejas, sino de raíces reales de una ecuación cuadrática. En este caso, es recomendable primero encontrar el discriminante antes de usar las fórmulas para las raíces de la ecuación cuadrática, asegurarse de que no sea negativo (de lo contrario, podemos concluir que la ecuación no tiene raíces reales), y después de eso calcular los valores de las raíces.

El razonamiento anterior nos permite escribir algoritmo para resolver una ecuación cuadrática. Para resolver la ecuación cuadrática a x 2 + b x + c \u003d 0, necesitas:

• utilizando la fórmula discriminante D=b 2 −4 a c calcular su valor;
• concluir que la ecuación cuadrática no tiene raíces reales si el discriminante es negativo;
• calcular la raíz única de la ecuación usando la fórmula si D=0;
• encontrar dos raíces reales de una ecuación cuadrática usando la fórmula de la raíz si el discriminante es positivo.

Aquí solo notamos que si el discriminante es igual a cero, también se puede usar la fórmula, dará el mismo valor que .

Puede pasar a ejemplos de aplicación del algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas

Considere las soluciones de tres ecuaciones cuadráticas con discriminante positivo, negativo y cero. Habiendo tratado con su solución, por analogía será posible resolver cualquier otra ecuación cuadrática. Empecemos.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación x 2 +2 x−6=0 .

Solución.

En este caso, tenemos los siguientes coeficientes de la ecuación cuadrática: a=1, b=2 y c=−6. De acuerdo con el algoritmo, primero debe calcular el discriminante, para esto sustituimos los indicados a, b y c en la fórmula discriminante, tenemos re=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Como 28>0, es decir, el discriminante es mayor que cero, la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales. Encontrémoslos por la fórmula de raíces , obtenemos , aquí podemos simplificar las expresiones obtenidas haciendo factorizando el signo de la raiz seguido de reducción de fracciones:

Responder:

Pasemos al siguiente ejemplo típico.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación cuadrática −4 x 2 +28 x−49=0 .

Solución.

Empezamos por encontrar el discriminante: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Por lo tanto, esta ecuación cuadrática tiene una sola raíz, que encontramos como , es decir,

Responder:

x=3,5 .

Queda por considerar la solución de ecuaciones cuadráticas con discriminante negativo.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación 5 y 2 +6 y+2=0 .

Solución.

Estos son los coeficientes de la ecuación cuadrática: a=5 , b=6 y c=2 . Sustituyendo estos valores en la fórmula discriminante, tenemos re=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. El discriminante es negativo, por lo tanto, esta ecuación cuadrática no tiene raíces reales.

Si necesita especificar raíces complejas, entonces usamos la conocida fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática y realizamos operaciones con numeros complejos:

Responder:

no hay raíces reales, las raíces complejas son: .

Una vez más, notamos que si el discriminante de la ecuación cuadrática es negativo, entonces la escuela generalmente escribe la respuesta de inmediato, en la que indican que no hay raíces reales y que no encuentran raíces complejas.

Fórmula raíz para coeficientes de segundo par

La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, donde D=b 2 −4 ac le permite obtener una fórmula más compacta que le permite resolver ecuaciones cuadráticas con un coeficiente par en x (o simplemente con un coeficiente que parece 2 n , por ejemplo, o 14 ln5=2 7 ln5 ). Saquémosla.

Digamos que necesitamos resolver una ecuación cuadrática de la forma a x 2 +2 n x + c=0 . Encontremos sus raíces usando la fórmula que conocemos. Para ello calculamos el discriminante re=(2 norte) 2 −4 un c=4 norte 2 −4 un c=4 (n 2 −un c), y luego usamos la fórmula raíz:

Denote la expresión n 2 −ac como D 1 (a veces se denota D "). Luego, la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática considerada con el segundo coeficiente 2 n toma la forma , donde re 1 = norte 2 −un c .

Es fácil ver que D=4·D 1 , o D 1 =D/4 . En otras palabras, D 1 es la cuarta parte del discriminante. Está claro que el signo de D 1 es el mismo que el signo de D . Es decir, el signo D 1 también es un indicador de la presencia o ausencia de las raíces de la ecuación cuadrática.

Entonces, para resolver una ecuación cuadrática con el segundo coeficiente 2 n, necesitas

• Calcular D 1 =n 2 −a·c ;
• Si D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Si D 1 =0, entonces calcule la única raíz de la ecuación usando la fórmula;
• Si D 1 >0, entonces encuentre dos raíces reales usando la fórmula.

Considere la solución del ejemplo utilizando la fórmula raíz obtenida en este párrafo.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación cuadrática 5 x 2 −6 x−32=0 .

Solución.

El segundo coeficiente de esta ecuación se puede representar como 2·(−3) . Es decir, puede reescribir la ecuación cuadrática original en la forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , aquí a=5 , n=−3 y c=−32 , y calcular la cuarta parte de la discriminante: re 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Como su valor es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales. Los encontramos usando la fórmula raíz correspondiente:

Tenga en cuenta que era posible usar la fórmula habitual para las raíces de una ecuación cuadrática, pero en este caso, se tendría que hacer más trabajo de cálculo.

Responder:

Simplificación de la forma de ecuaciones cuadráticas

A veces, antes de embarcarse en el cálculo de las raíces de una ecuación cuadrática mediante fórmulas, no está de más hacerse la pregunta: “¿Es posible simplificar la forma de esta ecuación”? De acuerdo en que, en términos de cálculos, será más fácil resolver la ecuación cuadrática 11 x 2 −4 x −6=0 que 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Por lo general, se logra una simplificación de la forma de una ecuación cuadrática multiplicando o dividiendo ambos lados por algún número. Por ejemplo, en el párrafo anterior logramos lograr una simplificación de la ecuación 1100 x 2 −400 x −600=0 dividiendo ambos lados por 100 .

Una transformación similar se lleva a cabo con ecuaciones cuadráticas, cuyos coeficientes no son . En este caso, ambas partes de la ecuación suelen dividirse por los valores absolutos de sus coeficientes. Por ejemplo, tomemos la ecuación cuadrática 12 x 2 −42 x+48=0. valores absolutos de sus coeficientes: mcd(12, 42, 48)= mcd(mcd(12, 42), 48)= mcd(6, 48)=6. Dividiendo ambas partes de la ecuación cuadrática original por 6 , llegamos a la ecuación cuadrática equivalente 2 x 2 −7 x+8=0 .

Y la multiplicación de ambas partes de la ecuación cuadrática se suele hacer para deshacerse de los coeficientes fraccionarios. En este caso, la multiplicación se realiza sobre los denominadores de sus coeficientes. Por ejemplo, si ambas partes de una ecuación cuadrática se multiplican por LCM(6, 3, 1)=6, entonces tomará una forma más simple x 2 +4 x−18=0.

Como conclusión de este párrafo, notamos que casi siempre se elimina el menos en el coeficiente más alto de la ecuación cuadrática cambiando los signos de todos los términos, lo que corresponde a multiplicar (o dividir) ambas partes por −1. Por ejemplo, normalmente de la ecuación cuadrática −2·x 2 −3·x+7=0 se pasa a la solución 2·x 2 +3·x−7=0 .

Relación entre raíces y coeficientes de una ecuación cuadrática

La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática expresa las raíces de una ecuación en términos de sus coeficientes. Con base en la fórmula de las raíces, puedes obtener otras relaciones entre las raíces y los coeficientes.

Las fórmulas más conocidas y aplicables del teorema de Vieta de la forma y . En particular, para la ecuación cuadrática dada, la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con el signo opuesto, y el producto de las raíces es el término libre. Por ejemplo, por la forma de la ecuación cuadrática 3 x 2 −7 x+22=0, inmediatamente podemos decir que la suma de sus raíces es 7/3 y el producto de las raíces es 22/3.

Usando las fórmulas ya escritas, puedes obtener una serie de otras relaciones entre las raíces y los coeficientes de la ecuación cuadrática. Por ejemplo, puedes expresar la suma de los cuadrados de las raíces de una ecuación cuadrática en términos de sus coeficientes: .

Bibliografía.

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Discriminante es un término ambiguo. Este artículo se centrará en el discriminante de un polinomio, que te permite determinar si un polinomio dado tiene soluciones reales. La fórmula para un polinomio cuadrado se encuentra en el curso escolar de álgebra y análisis. ¿Cómo encontrar el discriminante? ¿Qué se necesita para resolver la ecuación?

Un polinomio cuadrático o una ecuación de segundo grado se llama i * w ^ 2 + j * w + k igual a 0, donde "i" y "j" son los coeficientes primero y segundo, respectivamente, "k" es una constante, a veces llamada "intersección", y "w" es una variable Sus raíces serán todos los valores de la variable en la que se convierte en una identidad. Tal igualdad se puede reescribir como el producto de i, (w - w1) y (w - w2) igual a 0. En este caso, es obvio que si el coeficiente "i" no desaparece, entonces la función en el lado izquierdo se convertirá en cero sólo si x toma el valor w1 o w2. Estos valores son el resultado de poner a cero el polinomio.

Para encontrar el valor de una variable en la que el polinomio cuadrado se anula, se usa una construcción auxiliar, construida sobre sus coeficientes y llamada discriminante. Esta construcción se calcula según la fórmula D es igual a j * j - 4 * i * k. ¿Por qué se está utilizando?

1. Ella dice si hay resultados válidos.
2. Ella ayuda a calcularlos.

Cómo este valor muestra la presencia de raíces reales:

• Si es positivo, entonces puedes encontrar dos raíces en la región de los números reales.
• Si el discriminante es cero, entonces ambas soluciones son iguales. Podemos decir que solo hay una solución, y es del reino de los números reales.
• Si el discriminante es menor que cero, entonces el polinomio no tiene raíces reales.

Opciones de cálculo para fijar el material.

Para suma (7 * w^2; 3 * w; 1) igual a 0 calculamos D por la fórmula 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 obtenemos -19. Un valor discriminante por debajo de cero indica que no hay resultados en la recta real.

Si consideramos 2*w^2 - 3*w+1 equivalente a 0, entonces D se calcula como (-3) al cuadrado menos el producto de los números (4; 2; 1) y es igual a 9 - 8, es decir, 1. Un valor positivo indica dos resultados en la recta real.

Si tomamos la suma (w^2; 2 * w; 1) y la igualamos a 0, D se calcula como dos al cuadrado menos el producto de los números (4; 1; 1). Esta expresión se simplificará a 4 - 4 y se convertirá en cero. Resulta que los resultados son los mismos. Si observa detenidamente esta fórmula, quedará claro que se trata de un "cuadrado completo". Esto significa que la igualdad se puede reescribir en la forma (w + 1) ^ 2 = 0. Se hizo evidente que el resultado de este problema es "-1". En una situación en la que D es igual a 0, el lado izquierdo de la igualdad siempre se puede colapsar de acuerdo con la fórmula "cuadrado de la suma".

Usando el Discriminante para Calcular Raíces

Esta construcción auxiliar no solo muestra la cantidad de soluciones reales, sino que también ayuda a encontrarlas. La fórmula general para calcular la ecuación de segundo grado es la siguiente:

w = (-j +/- d) / (2 * i), donde d es el discriminante a la potencia de 1/2.

Supongamos que el discriminante está por debajo de cero, entonces d es imaginario y los resultados son imaginarios.

D es cero, entonces d igual a D elevado a 1/2 también es cero. Solución: -j/(2*i). Considerando 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0 nuevamente, encontramos resultados equivalentes a -2 / (2 * 1) = -1.

Supongamos que D > 0, entonces d es un número real, y la respuesta aquí se divide en dos partes: w1 = (-j + d) / (2 * i) y w2 = (-j - d) / (2 * i) . Ambos resultados serán válidos. Veamos 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Aquí el discriminante y d son unos. Entonces w1 es (3 + 1) dividido por (2 * 2) o 1, y w2 es (3 - 1) dividido por 2 * 2 o 1/2.

El resultado de igualar una expresión cuadrada a cero se calcula según el algoritmo:

1. Determinación del número de soluciones válidas.
2. Cálculo d = D^(1/2).
3. Encontrar el resultado según la fórmula (-j +/- d) / (2 * i).
4. Sustitución del resultado recibido en igualdad inicial por verificación.

Algunos casos especiales

Dependiendo de los coeficientes, la solución se puede simplificar un poco. Obviamente, si el coeficiente delante de la variable a la segunda potencia es cero, entonces se obtiene una igualdad lineal. Cuando el coeficiente delante de la variable es cero a la primera potencia, entonces son posibles dos opciones:

1. el polinomio se expande en la diferencia de cuadrados con un término libre negativo;
2. para una constante positiva, no se pueden encontrar soluciones reales.

Si el término libre es cero, entonces las raíces serán (0; -j)

Pero hay otros casos especiales que simplifican la búsqueda de una solución.

Ecuación de segundo grado reducida

Lo dado se llama tal trinomio cuadrado, donde el coeficiente delante del término más alto es uno. Para esta situación es aplicable el teorema de Vieta, que dice que la suma de las raíces es igual al coeficiente de la variable a la primera potencia, multiplicado por -1, y el producto corresponde a la constante "k".

Por tanto, w1 + w2 es igual a -j y w1 * w2 es igual a k si el primer coeficiente es uno. Para verificar la exactitud de tal representación, podemos expresar w2 = -j - w1 a partir de la primera fórmula y sustituirla en la segunda igualdad w1 * (-j - w1) = k. El resultado es la igualdad original w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Es importante tener en cuenta que i * w ^ 2 + j * w + k = 0 se puede reducir dividiendo por "i". El resultado será: w^2 + j1 * w + k1 = 0 donde j1 es igual a j/i y k1 es igual a k/i.

Veamos el ya resuelto 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 con los resultados w1 = 1 y w2 = 1/2. Es necesario dividirlo por la mitad, como resultado, w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Comprobemos que las condiciones del teorema son ciertas para los resultados encontrados: 1 + 1/2 = 3/2 y 1 * 1/2 = 1/2.

Incluso el segundo factor

Si el factor de la variable a la primera potencia (j) es divisible por 2, entonces será posible simplificar la fórmula y buscar una solución a través de un cuarto del discriminante D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. resulta w = (-j +/- d/2) / i, donde d/2 = D/4 elevado a 1/2.

Si i = 1 y el coeficiente j es par, entonces la solución es el producto de -1 y la mitad del coeficiente en la variable w, más/menos la raíz del cuadrado de esta mitad, menos la constante "k". Fórmula: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Discriminante de orden superior

El discriminante de segundo grado considerado anteriormente es el caso especial más comúnmente utilizado. En el caso general, el discriminante de un polinomio es los cuadrados multiplicados de las diferencias de las raíces de este polinomio. Por tanto, un discriminante igual a cero indica la presencia de al menos dos soluciones múltiples.

Considere i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Digamos que el discriminante es mayor que cero. Esto significa que hay tres raíces en la región de los números reales. En cero, hay múltiples soluciones. Si D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Nuestro video le informará en detalle sobre el cálculo del discriminante.

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