Ecuación cuadrática: ¡fácil de resolver! *Más adelante en el texto "KU". Amigos, parecería que en matemáticas puede ser más fácil que resolver tal ecuación. Pero algo me dijo que mucha gente tiene problemas con él. Decidí ver cuántas impresiones da Yandex por solicitud por mes. Esto es lo que pasó, echa un vistazo:
¿Qué significa? Esto significa que alrededor de 70,000 personas al mes están buscando esta información, y esto es verano, y lo que sucederá durante el año escolar: habrá el doble de solicitudes. Esto no es sorprendente, porque los chicos y chicas que se graduaron hace mucho tiempo de la escuela y se están preparando para el examen están buscando esta información, y los escolares también están tratando de refrescar su memoria.
A pesar de que hay muchos sitios que cuentan cómo resolver esta ecuación, decidí contribuir también y publicar el material. En primer lugar, quiero que los visitantes vengan a mi sitio con esta solicitud; en segundo lugar, en otros artículos, cuando aparezca el discurso "KU", daré un enlace a este artículo; en tercer lugar, les contaré un poco más sobre su solución de lo que se suele decir en otros sitios. ¡Empecemos! El contenido del artículo:
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:
donde los coeficientes a,By con números arbitrarios, con a≠0.
En el curso escolar, el material se entrega de la siguiente forma: la división de ecuaciones en tres clases se realiza condicionalmente:
1. Tener dos raíces.
2. * Tener una sola raíz.
3. No tener raíces. Vale la pena señalar aquí que no tienen raíces reales.
¿Cómo se calculan las raíces? ¡Sólo!
Calculamos el discriminante. Debajo de esta palabra "terrible" se encuentra una fórmula muy simple:
Las fórmulas raíz son las siguientes:
*Estas fórmulas deben conocerse de memoria.
Inmediatamente puede escribir y resolver:
Ejemplo:
1. Si D > 0, entonces la ecuación tiene dos raíces.
2. Si D = 0, entonces la ecuación tiene una raíz.
3. Si D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Veamos la ecuación:
En esta ocasión, cuando el discriminante es cero, el curso escolar dice que se obtiene una raíz, aquí es igual a nueve. Así es, lo es, pero...
Esta representación es algo incorrecta. De hecho, hay dos raíces. Sí, sí, no se sorprenda, resultan dos raíces iguales y, para ser matemáticamente preciso, se deben escribir dos raíces en la respuesta:
X 1 = 3 X 2 = 3
Pero esto es así: una pequeña digresión. En la escuela, puedes escribir y decir que solo hay una raíz.
Ahora el siguiente ejemplo:
Como sabemos, la raíz de un número negativo no se extrae, por lo que no hay solución en este caso.
Ese es todo el proceso de decisión.
Función cuadrática.
Así es como se ve geométricamente la solución. Esto es extremadamente importante de entender (en el futuro, en uno de los artículos, analizaremos en detalle la solución de una desigualdad cuadrática).
Esta es una función de la forma:
donde x e y son variables
a, b, c son números dados, donde a ≠ 0
La gráfica es una parábola:
Es decir, resulta que al resolver una ecuación cuadrática con "y" igual a cero, encontramos los puntos de intersección de la parábola con el eje x. Puede haber dos de estos puntos (el discriminante es positivo), uno (el discriminante es cero) o ninguno (el discriminante es negativo). Más sobre la función cuadrática Puedes ver artículo de Inna Feldman.
Considere ejemplos:
Ejemplo 1: Decidir 2x 2 +8 X–192=0
a=2 b=8 c= -192
re = segundo 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Respuesta: x 1 = 8 x 2 = -12
* Podrías dividir inmediatamente los lados izquierdo y derecho de la ecuación por 2, es decir, simplificarla. Los cálculos serán más fáciles.
Ejemplo 2: Resolver x2–22 x+121 = 0
a=1 b=-22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Tenemos que x 1 \u003d 11 y x 2 \u003d 11
En la respuesta, está permitido escribir x = 11.
Respuesta: x = 11
Ejemplo 3: Resolver x2 –8x+72 = 0
a=1 b= -8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
El discriminante es negativo, no hay solución en números reales.
Respuesta: sin solucion
El discriminante es negativo. ¡Hay una solucion!
Aquí hablaremos sobre cómo resolver la ecuación en el caso de que se obtenga un discriminante negativo. ¿Sabes algo sobre números complejos? No entraré en detalles aquí sobre por qué y dónde surgieron y cuál es su papel específico y su necesidad en las matemáticas, este es un tema para un artículo extenso por separado.
El concepto de número complejo.
Un poco de teoría.
Un número complejo z es un número de la forma
z = a + bi
donde a y b son números reales, i es la llamada unidad imaginaria.
a+bi es un NÚMERO ÚNICO, no una suma.
La unidad imaginaria es igual a la raíz de menos uno:
Ahora considera la ecuación:
Obtenga dos raíces conjugadas.
Ecuación cuadrática incompleta.
Considere casos especiales, esto es cuando el coeficiente "b" o "c" es igual a cero (o ambos son iguales a cero). Se resuelven fácilmente sin discriminantes.
Caso 1. Coeficiente b = 0.
La ecuación toma la forma:
Transformemos:
Ejemplo:
4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
Caso 2. Coeficiente c = 0.
La ecuación toma la forma:
Transformar, factorizar:
*El producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero.
Ejemplo:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 o x–5 =0
X 1 = 0 X 2 = 5
Caso 3. Coeficientes b = 0 y c = 0.
Aquí es claro que la solución a la ecuación siempre será x = 0.
Propiedades útiles y patrones de coeficientes.
Hay propiedades que permiten resolver ecuaciones con coeficientes grandes.
peroX 2 + bx+ C=0 igualdad
a + B+ c = 0, luego
— si para los coeficientes de la ecuación peroX 2 + bx+ C=0 igualdad
a+ con =B, luego
Estas propiedades ayudan a resolver cierto tipo de ecuación.
Ejemplo 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0
La suma de los coeficientes es 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, entonces
Ejemplo 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0
Igualdad a+ con =B, medio
Regularidades de los coeficientes.
1. Si en la ecuación ax 2 + bx + c \u003d 0 el coeficiente "b" es (a 2 +1), y el coeficiente "c" es numéricamente igual al coeficiente "a", entonces sus raíces son
ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.
Ejemplo. Considera la ecuación 6x 2 +37x+6 = 0.
x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.
2. Si en la ecuación ax 2 - bx + c \u003d 0, el coeficiente "b" es (a 2 +1), y el coeficiente "c" es numéricamente igual al coeficiente "a", entonces sus raíces son
ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.
Ejemplo. Considere la ecuación 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Si en la ecuación ax 2 + bx - c = 0 coeficiente "b" es igual a (un 2 – 1), y el coeficiente “c” numéricamente igual al coeficiente "a", entonces sus raices son iguales
ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.
Ejemplo. Considere la ecuación 17x 2 + 288x - 17 = 0.
x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.
4. Si en la ecuación ax 2 - bx - c \u003d 0, el coeficiente "b" es igual a (a 2 - 1), y el coeficiente c es numéricamente igual al coeficiente "a", entonces sus raíces son
ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.
Ejemplo. Considera la ecuación 10x2 - 99x -10 = 0.
x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10
El teorema de Vieta.
El teorema de Vieta lleva el nombre del famoso matemático francés Francois Vieta. Usando el teorema de Vieta, uno puede expresar la suma y el producto de las raíces de un KU arbitrario en términos de sus coeficientes.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
En suma, el número 14 da solo 5 y 9. Estas son las raíces. Con cierta habilidad, usando el teorema presentado, puedes resolver muchas ecuaciones cuadráticas inmediatamente de forma oral.
El teorema de Vieta, además. conveniente porque después de resolver la ecuación cuadrática de la forma habitual (mediante el discriminante), se pueden comprobar las raíces resultantes. Recomiendo hacer esto todo el tiempo.
MÉTODO DE TRANSFERENCIA
Con este método, el coeficiente "a" se multiplica por el término libre, como "transferido" a él, por lo que se llama método de transferencia. Este método se usa cuando es fácil encontrar las raíces de una ecuación usando el teorema de Vieta y, lo que es más importante, cuando el discriminante es un cuadrado exacto.
Si pero± b+c≠ 0, entonces se utiliza la técnica de transferencia, por ejemplo:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
De acuerdo con el teorema de Vieta en la ecuación (2), es fácil determinar que x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1
Las raíces obtenidas de la ecuación hay que dividirlas por 2 (ya que las dos fueron “lanzadas” de x 2), obtenemos
x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.
¿Cuál es la razón? Mira lo que está pasando.
Los discriminantes de las ecuaciones (1) y (2) son:
Si observa las raíces de las ecuaciones, solo se obtienen diferentes denominadores, y el resultado depende precisamente del coeficiente en x 2:
Las segundas raíces (modificadas) son 2 veces más grandes.
Por lo tanto, dividimos el resultado por 2.
*Si sacamos un trío, dividimos el resultado por 3, y así sucesivamente.
Respuesta: x 1 = 5 x 2 = 0,5
cuadrados ur-ie y el examen.
Diré brevemente sobre su importancia: DEBE PODER DECIDIR rápidamente y sin pensar, necesita saber las fórmulas de las raíces y el discriminante de memoria. Muchas de las tareas que forman parte de las tareas USE se reducen a resolver una ecuación cuadrática (incluidas las geométricas).
¡Qué vale la pena señalar!
1. La forma de la ecuación puede ser "implícita". Por ejemplo, la entrada siguiente es posible:
15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.
Debe llevarlo a una forma estándar (para no confundirse al resolver).
2. Recuerde que x es un valor desconocido y puede denotarse con cualquier otra letra: t, q, p, h y otras.
NÚMEROS COMPLEJOS XI
§ 253. Extracción de raíces cuadradas de números negativos.
Resolver ecuaciones cuadráticas con discriminantes negativos
Como la conocemos,
I 2 = - 1.
Sin embargo,
(- I ) 2 = (- 1 I ) 2 = (- 1) 2 I 2 = -1.
Por lo tanto, hay al menos dos valores para la raíz cuadrada de - 1, a saber I Y - I . Pero tal vez hay algunos otros números complejos cuyos cuadrados son - 1?
Para aclarar esta cuestión, supongamos que el cuadrado de un número complejo un + bi es igual a - 1. Entonces
(un + bi ) 2 = - 1,
pero 2 + 2abi - B 2 = - 1
Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales y los coeficientes de las partes imaginarias son iguales. Es por eso
| { |
pero
2 - B
2 = - 1 |
Según la segunda ecuación del sistema (1), al menos uno de los números pero Y B debe ser igual a cero. Si B = 0, entonces la primera ecuación da pero 2 = - 1. Número pero reales y por lo tanto pero 2 > 0. Número no negativo pero 2 no puede ser igual a un número negativo - 1. Por lo tanto, la igualdad B = 0 es imposible en este caso. Queda por reconocer que pero = 0, pero luego de la primera ecuación del sistema obtenemos: - B 2 = - 1, B = ± 1.
Por lo tanto, los únicos números complejos cuyos cuadrados son -1 son los números I Y - I , Esto se escribe condicionalmente como:
√-1 = ± I .
Con un razonamiento similar, los estudiantes pueden verificar que hay exactamente dos números cuyos cuadrados son iguales a un número negativo: pero . Estos números son √ a I y -√ a I . Convencionalmente, se escribe así:
√- pero = ± √ a I .
Bajo √ a aquí se quiere decir la raíz aritmética, es decir, positiva. Por ejemplo, √4 = 2, √9 = 0,3; es por eso
√-4 = + 2I , √-9 = ± 3 I
Si antes, al considerar ecuaciones cuadráticas con discriminantes negativos, dijimos que tales ecuaciones no tienen raíces, ahora ya no es posible decirlo. Las ecuaciones cuadráticas con discriminantes negativos tienen raíces complejas. Estas raíces se obtienen mediante fórmulas conocidas por nosotros. Sea, por ejemplo, dada la ecuación X 2 + 2X + 5 = 0; luego
X 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 I .
Entonces esta ecuación tiene dos raíces: X 1 = - 1 +2I , X 2 = - 1 - 2I . Estas raíces son mutuamente conjugadas. Es interesante notar que su suma es igual a - 2, y el producto es 5, por lo que se cumple el teorema de Vieta.
Ejercicios
2022. (Us tn o.) Resuelva las ecuaciones:
pero) X 2 = - 16; B) X 2 = - 2; en 3 X 2 = - 5.
2023. Encuentra todos los números complejos cuyos cuadrados son iguales:
pero) I ; b) 1/2 - √ 3/2 I ;
2024. Resuelve ecuaciones cuadráticas:
pero) X 2 - 2X + 2 = 0; segundo) 4 X 2 + 4X + 5 = 0; en) X 2 - 14X + 74 = 0.
Resolver sistemas de ecuaciones (No. 2025, 2026):
| { |
x+y
= 6 |
| { |
2X-
3y
= 1 |
2027. Demostrar que las raíces de una ecuación cuadrática con coeficientes reales y discriminante negativo son mutuamente conjugadas.
2028. Demostrar que el teorema de Vieta es cierto para cualquier ecuación cuadrática, y no solo para ecuaciones con discriminante no negativo.
2029. Escribe una ecuación cuadrática con coeficientes reales, cuyas raíces son:
a) X 1 = 5 - I , X 2 = 5 + I ; B) X 1 = 3I , X 2 = - 3I .
2030. Componer una ecuación cuadrática con coeficientes reales, una de cuyas raíces sea igual a (3 - I ) (2I - 4).
2031. Escribe una ecuación cuadrática con coeficientes reales, una de cuyas raíces sea 32 -
I
1- 3I
.
Con este programa de matemáticas puedes resolver ecuación cuadrática.
El programa no solo da la respuesta al problema, sino que también muestra el proceso de solución de dos maneras:
- usando el discriminante
- usando el teorema de Vieta (si es posible).
Además, la respuesta se muestra exacta, no aproximada.
Por ejemplo, para la ecuación \(81x^2-16x-1=0\), la respuesta se muestra de esta forma:
Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria en preparación para pruebas y exámenes, al evaluar conocimientos antes del Examen Estatal Unificado, para que los padres controlen la solución de muchos problemas en matemáticas y álgebra. ¿O tal vez es demasiado caro para ti contratar a un tutor o comprar nuevos libros de texto? ¿O simplemente quieres hacer tu tarea de matemáticas o álgebra lo más rápido posible? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con una solución detallada.
De esta forma, podrás realizar tu propia formación y/o la formación de tus hermanos o hermanas menores, a la vez que se incrementa el nivel de formación en el campo de las tareas a resolver.
Si no está familiarizado con las reglas para ingresar un polinomio cuadrado, le recomendamos que se familiarice con ellas.
Reglas para ingresar un polinomio cuadrado
Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.
Los números se pueden ingresar como enteros o fracciones.
Además, los números fraccionarios se pueden ingresar no solo en forma de decimal, sino también en forma de fracción ordinaria.
Reglas para ingresar fracciones decimales.
En las fracciones decimales, la parte fraccionaria del entero se puede separar con un punto o una coma.
Por ejemplo, puede ingresar decimales como este: 2.5x - 3.5x^2
Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Solo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.
El denominador no puede ser negativo.
Al ingresar una fracción numérica, el numerador está separado del denominador por un signo de división: /
La parte entera está separada de la fracción por un ampersand: &
Entrada: 3 y 1/3 - 5 y 6/5z +1/7z^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)
Al ingresar una expresión puedes usar paréntesis. En este caso, al resolver una ecuación cuadrática, primero se simplifica la expresión introducida.
Por ejemplo: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Resolver
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Porque Hay mucha gente que quiere solucionar el problema, tu petición está en cola.
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Si usted noté un error en la solución, luego puede escribir sobre ello en el formulario de comentarios .
No lo olvide indicar que tarea tu decides que entrar en los campos.
Nuestros juegos, rompecabezas, emuladores:
Un poco de teoría.
Ecuación cuadrática y sus raíces. Ecuaciones cuadráticas incompletas
cada una de las ecuaciones
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
tiene la forma
\(ax^2+bx+c=0, \)
donde x es una variable, a, b y c son números.
En la primera ecuación a = -1, b = 6 y c = 1,4, en la segunda a = 8, b = -7 y c = 0, en la tercera a = 1, b = 0 y c = 4/9. Tales ecuaciones se llaman ecuaciones cuadráticas.
Definición.
ecuación cuadrática se llama una ecuación de la forma ax 2 +bx+c=0, donde x es una variable, a, b y c son unos números, y \(a \neq 0 \).
Los números a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática. El número a se llama el primer coeficiente, el número b es el segundo coeficiente y el número c es la intersección.
En cada una de las ecuaciones de la forma ax 2 +bx+c=0, donde \(a \neq 0 \), la mayor potencia de la variable x es un cuadrado. De ahí el nombre: ecuación cuadrática.
Tenga en cuenta que una ecuación cuadrática también se llama ecuación de segundo grado, ya que su lado izquierdo es un polinomio de segundo grado.
Una ecuación cuadrática en la que el coeficiente en x 2 es 1 se llama ecuación cuadrática reducida. Por ejemplo, las ecuaciones cuadráticas dadas son las ecuaciones
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Si en la ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0 al menos uno de los coeficientes b o c es igual a cero, entonces tal ecuación se llama ecuación cuadrática incompleta. Entonces, las ecuaciones -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 son ecuaciones cuadráticas incompletas. En el primero de ellos b=0, en el segundo c=0, en el tercero b=0 y c=0.
Las ecuaciones cuadráticas incompletas son de tres tipos:
1) ax 2 +c=0, donde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, donde \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.
Considere la solución de ecuaciones de cada uno de estos tipos.
Para resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +c=0 para \(c \neq 0 \), se traslada su término libre al lado derecho y se dividen ambas partes de la ecuación por a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Como \(c \neq 0 \), entonces \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Si \(-\frac(c)(a)>0 \), entonces la ecuación tiene dos raíces.
Si \(-\frac(c)(a) Para resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) factorizar su lado izquierdo y obtener la ecuación
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matriz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(matriz) \right. \)
Por lo tanto, una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) siempre tiene dos raíces.
Una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 \u003d 0 es equivalente a la ecuación x 2 \u003d 0 y, por lo tanto, tiene una sola raíz 0.
La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática
Consideremos ahora cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas en las que tanto los coeficientes de las incógnitas como el término libre son distintos de cero.
Resolvemos la ecuación cuadrática en forma general y como resultado obtenemos la fórmula de las raíces. Entonces esta fórmula se puede aplicar para resolver cualquier ecuación cuadrática.
Resolver la ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0
Dividiendo sus dos partes por a, obtenemos la ecuación cuadrática reducida equivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Transformamos esta ecuación resaltando el cuadrado del binomio:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Flecha derecha \)
La expresión raíz se llama discriminante de una ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0 ("discriminante" en latín - distintivo). Se denota con la letra D, es decir
\(D = b^2-4ac\)
Ahora, usando la notación del discriminante, reescribimos la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), donde \(D= b^2-4ac \)
Es obvio que:
1) Si D>0, entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces.
2) Si D=0, entonces la ecuación cuadrática tiene una raíz \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Si D Así, dependiendo del valor del discriminante, la ecuación cuadrática puede tener dos raíces (para D > 0), una raíz (para D = 0) o ninguna raíz (para D Al resolver una ecuación cuadrática usando esta fórmula , es recomendable hacerlo de la siguiente manera:
1) calcular el discriminante y compararlo con cero;
2) si el discriminante es positivo o igual a cero, entonces usa la fórmula de la raíz, si el discriminante es negativo, entonces escribe que no hay raíces.
teorema de Vieta
La ecuación cuadrática dada ax 2 -7x+10=0 tiene raíces 2 y 5. La suma de las raíces es 7 y el producto es 10. Vemos que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente, tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre. Cualquier ecuación cuadrática reducida que tenga raíces tiene esta propiedad.
La suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al segundo coeficiente, tomado con signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre.
Esos. El teorema de Vieta establece que las raíces x 1 y x 2 de la ecuación cuadrática reducida x 2 +px+q=0 tienen la propiedad:
\(\left\( \begin(matriz)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(matriz) \right. \)
trabajemos con ecuaciones cuadráticas. ¡Estas son ecuaciones muy populares! En su forma más general, la ecuación cuadrática se ve así:
Por ejemplo:
Aquí pero =1; B = 3; C = -4
Aquí pero =2; B = -0,5; C = 2,2
Aquí pero =-3; B = 6; C = -18
Bueno, ya captas la idea...
¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas? Si tienes una ecuación cuadrática en esta forma, entonces todo es simple. Recuerda la palabra mágica discriminante . ¡Un raro estudiante de secundaria no ha escuchado esta palabra! La frase "decidir a través del discriminante" es tranquilizadora y tranquilizadora. ¡Porque no hay necesidad de esperar trucos del discriminante! Es simple y sin problemas de usar. Entonces, la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática se ve así:
La expresión bajo el signo de la raíz es la misma discriminante. Como puedes ver, para encontrar x, usamos solo a, b y c. Esos. coeficientes de la ecuación cuadrática. Simplemente sustituya cuidadosamente los valores a, b y c en esta fórmula y considerar. Sustituir con tus signos! Por ejemplo, para la primera ecuación pero =1; B = 3; C= -4. Aquí escribimos:
Ejemplo casi resuelto:
Eso es todo.
¿Qué casos son posibles cuando se usa esta fórmula? Solo hay tres casos.
1. El discriminante es positivo. Esto significa que puedes extraer la raíz de él. Si la raíz se extrae bien o mal es otra cuestión. Es importante lo que se extrae en principio. Entonces tu ecuación cuadrática tiene dos raíces. Dos soluciones diferentes.
2. El discriminante es cero. Entonces tienes una solución. Estrictamente hablando, esta no es una sola raíz, sino dos idénticos. Pero esto juega un papel en las desigualdades, donde estudiaremos el tema con más detalle.
3. El discriminante es negativo. Un número negativo no toma la raíz cuadrada. Bueno esta bien. Esto significa que no hay soluciones.
Todo es muy simple. ¿Y tú qué crees, no te puedes equivocar? pues si como...
Los errores más comunes son la confusión con los signos de valores a, b y c. O mejor dicho, no con sus signos (¿dónde hay que confundirse?), sino con la sustitución de valores negativos en la fórmula para calcular las raíces. Aquí, se guarda un registro detallado de la fórmula con números específicos. Si hay problemas con los cálculos, así que hazlo!
Supongamos que necesitamos resolver el siguiente ejemplo:
Aquí a = -6; b = -5; c=-1
Digamos que sabe que rara vez obtiene respuestas la primera vez.
Bueno, no seas perezoso. Tomará 30 segundos escribir una línea extra. Y el número de errores caerá bruscamente. Entonces escribimos en detalle, con todos los corchetes y signos:
Parece increíblemente difícil pintar con tanto cuidado. Pero solo parece. Intentalo. Bueno, o elegir. ¿Qué es mejor, rápido o correcto? Además, te haré feliz. Después de un tiempo, no habrá necesidad de pintar todo con tanto cuidado. Simplemente saldrá bien. Especialmente si aplica técnicas prácticas, que se describen a continuación. ¡Este ejemplo malvado con un montón de desventajas se resolverá fácilmente y sin errores!
Entonces, como resolver ecuaciones cuadraticas a través del discriminante que recordamos. O aprendido, que también es bueno. ¿Puedes identificar correctamente a, b y c. Sabes cómo con cuidado sustituirlos en la fórmula raíz y con cuidado contar el resultado. ¿Entendiste que la palabra clave aquí es - ¿con cuidado?
Sin embargo, las ecuaciones cuadráticas a menudo se ven ligeramente diferentes. Por ejemplo, así:
Esta ecuaciones cuadráticas incompletas . También se pueden resolver mediante el discriminante. Solo necesitas averiguar correctamente qué es igual aquí a, b y c.
¿Dio cuenta? En el primer ejemplo a = 1; b = -4; pero C? ¡No existe en absoluto! Bueno, sí, así es. En matemáticas, esto significa que c = 0 ! Eso es todo. Sustituye cero en la fórmula en lugar de C, y todo saldrá bien para nosotros. Del mismo modo con el segundo ejemplo. Sólo cero no tenemos aquí desde, pero B !
Pero las ecuaciones cuadráticas incompletas se pueden resolver mucho más fácilmente. Sin ningún tipo de discriminación. Considere la primera ecuación incompleta. ¿Qué se puede hacer en el lado izquierdo? ¡Puedes quitar la X de los corchetes! Vamos a sacarlo.
¿Y qué hay de eso? ¡Y el hecho de que el producto sea igual a cero si, y sólo si, alguno de los factores es igual a cero! ¿No crees? Bueno, ¡entonces encuentra dos números distintos de cero que, cuando se multipliquen, darán cero!
¿No funciona? Algo...
Por lo tanto, podemos escribir con seguridad: x = 0, o x = 4
Todo. Estas serán las raíces de nuestra ecuación. Ambos encajan. Al sustituir cualquiera de ellos en la ecuación original, obtenemos la identidad correcta 0 = 0. Como puedes ver, la solución es mucho más sencilla que a través del discriminante.
La segunda ecuación también se puede resolver fácilmente. Movemos 9 al lado derecho. Obtenemos:
Queda por extraer la raíz del 9, y listo. Obtener:
también dos raíces . x = +3 y x = -3.
Así es como se resuelven todas las ecuaciones cuadráticas incompletas. Ya sea quitando X de los corchetes, o simplemente transfiriendo el número a la derecha, y luego extrayendo la raíz.
Es extremadamente difícil confundir estos métodos. Sencillamente porque en el primer caso tendrás que sacar la raíz de X, lo cual es algo incomprensible, y en el segundo caso no hay nada que sacar entre paréntesis...
Ahora tome nota de las técnicas prácticas que reducen drásticamente el número de errores. Los mismos que se deben a la falta de atención... Para los que luego es penoso e insultante...
Primera recepción. No seas perezoso antes de resolver una ecuación cuadrática para convertirla en una forma estándar. ¿Qué significa esto?
Supongamos que, después de cualquier transformación, obtienes la siguiente ecuación:
¡No te apresures a escribir la fórmula de las raíces! Es casi seguro que mezclarás las probabilidades a, b y c. Construya el ejemplo correctamente. Primero, x al cuadrado, luego sin cuadrado, luego un miembro libre. Me gusta esto:
Y de nuevo, ¡no te apresures! El menos antes de la x al cuadrado puede molestarte mucho. Olvidarlo es fácil... Deshazte del menos. ¿Cómo? ¡Sí, como se enseñó en el tema anterior! Necesitamos multiplicar toda la ecuación por -1. Obtenemos:
Y ahora puedes escribir con seguridad la fórmula de las raíces, calcular el discriminante y completar el ejemplo. Decide por tu cuenta. Deberías terminar con las raíces 2 y -1.
Segunda recepción.¡Revisa tus raíces! Según el teorema de Vieta. ¡No te preocupes, te lo explicaré todo! Comprobación última cosa la ecuacion. Esos. aquel por el cual escribimos la fórmula de las raíces. Si (como en este ejemplo) el coeficiente un = 1, comprueba las raíces fácilmente. Es suficiente para multiplicarlos. Debería obtener un término gratuito, es decir, en nuestro caso -2. ¡Presta atención, no 2, sino -2! miembro gratuito con tu signo
. Si no funcionó, significa que ya se equivocaron en alguna parte. Busque un error. Si funcionó, debes doblar las raíces. Última y última comprobación. debe ser una proporción B desde opuesto
firmar. En nuestro caso -1+2 = +1. un coeficiente B, que está antes de la x, es igual a -1. Entonces, ¡todo está bien!
Es una pena que sea tan simple solo para ejemplos donde x al cuadrado es puro, con un coeficiente un = 1¡Pero al menos revisa tales ecuaciones! Habrá menos errores.
Recepción tercero. Si tu ecuación tiene coeficientes fraccionarios, ¡deshazte de las fracciones! Multiplica la ecuación por el denominador común como se describe en la sección anterior. Al trabajar con fracciones, los errores, por alguna razón, suben...
Por cierto, prometí un ejemplo malvado con un montón de desventajas para simplificar. ¡Por favor! Aquí está él.
Para no confundirnos con los menos, multiplicamos la ecuación por -1. Obtenemos:
¡Eso es todo! ¡Decidir es divertido!
Así que recapitulemos el tema.
Consejos prácticos:
1. Antes de resolver, llevamos la ecuación cuadrática a la forma estándar, la construimos Correcto.
2. Si hay un coeficiente negativo delante de la x en el cuadrado, lo eliminamos multiplicando toda la ecuación por -1.
3. Si los coeficientes son fraccionarios, eliminamos las fracciones multiplicando toda la ecuación por el factor correspondiente.
4. Si x al cuadrado es puro, su coeficiente es igual a uno, la solución se puede verificar fácilmente usando el teorema de Vieta. ¡Hazlo!
Ecuaciones fraccionarias. ODZ.
Seguimos dominando las ecuaciones. Ya sabemos cómo trabajar con ecuaciones lineales y cuadráticas. Queda la última vista ecuaciones fraccionarias. O también se les llama mucho más sólidos: ecuaciones racionales fraccionarias. Esto es lo mismo.
Ecuaciones fraccionarias.
Como su nombre lo indica, estas ecuaciones necesariamente contienen fracciones. Pero no solo fracciones, sino fracciones que tienen desconocido en el denominador. Al menos en uno. Por ejemplo:
Déjame recordarte, si en los denominadores solamente números, estas son ecuaciones lineales.
como decidir ecuaciones fraccionarias? En primer lugar, ¡deshazte de las fracciones! Después de eso, la ecuación, con mayor frecuencia, se convierte en lineal o cuadrática. Y luego sabemos qué hacer... En algunos casos, puede convertirse en una identidad, como 5=5 o una expresión incorrecta, como 7=2. Pero esto rara vez sucede. A continuación lo mencionaré.
Pero, ¿cómo deshacerse de las fracciones? Muy simple. Aplicando todas las mismas transformaciones idénticas.
Necesitamos multiplicar toda la ecuación por la misma expresión. ¡Para que todos los denominadores disminuyan! Todo será inmediatamente más fácil. Lo explico con un ejemplo. Digamos que necesitamos resolver la ecuación:
¿Cómo se enseñaban en la escuela primaria? Transferimos todo en una dirección, lo reducimos a un denominador común, etc. ¡Olvídate de lo mal que sueñas! Esto es lo que necesitas hacer cuando sumas o restas expresiones fraccionarias. O trabajar con desigualdades. Y en las ecuaciones, inmediatamente multiplicamos ambas partes por una expresión que nos dará la oportunidad de reducir todos los denominadores (es decir, en esencia, por un denominador común). ¿Y cuál es esta expresión?
En el lado izquierdo, para reducir el denominador, necesitas multiplicar por x+2. Y a la derecha, se requiere la multiplicación por 2. Entonces, la ecuación debe multiplicarse por 2(x+2). Multiplicamos:
Esta es la multiplicación habitual de fracciones, pero escribiré en detalle:
Tenga en cuenta que todavía no estoy abriendo el paréntesis. (x + 2)! Entonces, en su totalidad, lo escribo:
En el lado izquierdo, se reduce por completo (x+2), y en el derecho 2. ¡Según se requiera! Después de la reducción obtenemos lineal la ecuacion:
¡Cualquiera puede resolver esta ecuación! x = 2.
Resolvamos otro ejemplo, un poco más complicado:
Si recordamos que 3 = 3/1, y 2x = 2x/ 1 se puede escribir:
Y nuevamente nos deshacemos de lo que realmente no nos gusta, de las fracciones.
Vemos que para reducir el denominador con x, es necesario multiplicar la fracción por (x - 2). Y las unidades no son un obstáculo para nosotros. Bueno, vamos a multiplicar. Todos lado izquierdo y todos lado derecho:
Corchetes de nuevo (x - 2) No revelo. Trabajo con el soporte como un todo, ¡como si fuera un solo número! Esto siempre debe hacerse, de lo contrario no se reducirá nada.
Con un sentimiento de profunda satisfacción, cortamos (x - 2)¡y obtenemos la ecuación sin fracciones, en una regla!
Y ahora abrimos los paréntesis:
Damos similares, transferimos todo al lado izquierdo y obtenemos:
Ecuación cuadrática clásica. Pero el menos por delante no es bueno. Siempre puedes deshacerte de él multiplicando o dividiendo por -1. Pero si miras de cerca el ejemplo, notarás que es mejor dividir esta ecuación por -2. ¡De un solo golpe, el menos desaparecerá y los coeficientes se volverán más bonitos! Dividimos por -2. En el lado izquierdo, término por término, y en el lado derecho, simplemente divida cero por -2, cero y obtenga:
Resolvemos por el discriminante y comprobamos según el teorema de Vieta. Obtenemos x=1 y x=3. Dos raíces.
Como puede ver, en el primer caso, la ecuación después de la transformación se volvió lineal, y aquí es cuadrática. Sucede que después de deshacerse de las fracciones, todas las x se reducen. Queda algo, como 5=5. Esto significa que x puede ser cualquier cosa. Sea lo que sea, seguirá siendo reducido. Y obtén la pura verdad, 5=5. Pero, después de deshacerse de las fracciones, puede resultar completamente falso, como 2=7. Y esto significa que sin soluciones! Con cualquier x, resulta ser falso.
Se dio cuenta de la forma principal de resolver ecuaciones fraccionarias? Es simple y lógico. Cambiamos la expresión original para que desaparezca todo lo que no nos gusta. O interferir. En este caso, son fracciones. Haremos lo mismo con todo tipo de ejemplos complejos con logaritmos, senos y otros horrores. Nosotros siempre vamos a deshacernos de todo esto.
Sin embargo, necesitamos cambiar la expresión original en la dirección que necesitamos De acuerdo a las reglas, si... Cuyo desarrollo es la preparación para el examen de matemáticas. Aquí estamos aprendiendo.
Ahora aprenderemos cómo eludir uno de los las principales emboscadas en el examen! Pero antes, a ver si caes en ello o no.
Tomemos un ejemplo simple:
El asunto ya es familiar, multiplicamos ambas partes por (x - 2), obtenemos:
Recuerda, con paréntesis (x - 2)¡Trabajamos como con una expresión integral!
Aquí ya no escribí el de los denominadores, es indigno... Y no puse corchetes en los denominadores, excepto por x - 2 no hay nada, no se puede dibujar. Acortamos:
Abrimos los corchetes, movemos todo a la izquierda, damos similares:
Resolvemos, comprobamos, obtenemos dos raíces. x = 2 Y x = 3. Multa.
Supongamos que la tarea dice que escriba la raíz, o su suma, si hay más de una raíz. ¿Qué escribiremos?
Si decide que la respuesta es 5, usted fueron emboscados. Y la tarea no se contará para ti. Trabajaron en vano... La respuesta correcta es 3.
¡¿Qué pasa?! Y tratas de comprobar. Sustituye los valores de la incógnita en inicial ejemplo. y si en x = 3 todo crece junto maravillosamente, obtenemos 9 = 9, luego con x = 2¡dividir entre cero! Lo que absolutamente no se puede hacer. Medio x = 2 no es una solución, y no se tiene en cuenta en la respuesta. Esta es la llamada raíz extraña o extra. Simplemente lo descartamos. Sólo hay una raíz final. x = 3.
¡¿Cómo es eso?! Escucho exclamaciones indignadas. ¡Nos enseñaron que una ecuación se puede multiplicar por una expresión! ¡Esta es la misma transformación!
Sí, idéntico. Bajo una pequeña condición - la expresión por la cual multiplicamos (dividimos) - diferente de cero. PERO x - 2 en x = 2 es igual a cero! Así que todo es justo.
Y ahora que puedo hacer?! No multiplicar por expresión? ¿Revisas cada vez? ¡Otra vez poco claro!
¡Tranquilamente! ¡Sin pánico!
En esta difícil situación, tres letras mágicas nos salvarán. Sé lo que estabas pensando. ¡Derecha! Esta ODZ . Área de Valores Vigentes.
Entre todo el curso del currículo escolar de álgebra, uno de los temas más voluminosos es el tema de las ecuaciones cuadráticas. En este caso, una ecuación cuadrática se entiende como una ecuación de la forma ax 2 + bx + c \u003d 0, donde a ≠ 0 (se lee: a multiplicado por x al cuadrado más be x más ce es igual a cero, donde a no es igual a cero). En este caso, el lugar principal lo ocupan las fórmulas para encontrar el discriminante de una ecuación cuadrática del tipo especificado, que se entiende como una expresión que le permite determinar la presencia o ausencia de raíces en una ecuación cuadrática, así como su número (si lo hay).
Fórmula (ecuación) del discriminante de una ecuación cuadrática
La fórmula generalmente aceptada para el discriminante de una ecuación cuadrática es la siguiente: D \u003d b 2 - 4ac. Al calcular el discriminante usando la fórmula indicada, uno no solo puede determinar la presencia y el número de raíces de una ecuación cuadrática, sino también elegir un método para encontrar estas raíces, de las cuales hay varias, según el tipo de ecuación cuadrática.
¿Qué significa si el discriminante es cero \ Fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática si el discriminante es cero
El discriminante, como se desprende de la fórmula, se denota con la letra latina D. En el caso de que el discriminante sea cero, se debe concluir que la ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0 , tiene una sola raíz, que se calcula a partir de una fórmula simplificada. Esta fórmula se aplica solo cuando el discriminante es cero y se ve así: x = –b/2a, donde x es la raíz de la ecuación cuadrática, b y a son las variables correspondientes de la ecuación cuadrática. Para encontrar la raíz de una ecuación cuadrática, es necesario dividir el valor negativo de la variable b por el doble del valor de la variable a. La expresión resultante será la solución de una ecuación cuadrática.
Resolver una ecuación cuadrática a través del discriminante
Si al calcular el discriminante con la fórmula anterior se obtiene un valor positivo (D es mayor que cero), entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces, las cuales se calculan con las siguientes fórmulas: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) /2a. La mayoría de las veces, el discriminante no se calcula por separado, sino que la expresión raíz en forma de fórmula discriminante simplemente se sustituye en el valor D, del cual se extrae la raíz. Si la variable b tiene un valor par, entonces para calcular las raíces de una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0, también puedes usar las siguientes fórmulas: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, donde k = b/2.
En algunos casos, para la solución práctica de ecuaciones cuadráticas, puede usar el Teorema de Vieta, que dice que para la suma de las raíces de una ecuación cuadrática de la forma x 2 + px + q \u003d 0, el valor x 1 + x 2 \u003d -p será verdadero, y para el producto de las raíces de la ecuación especificada - expresión x 1 xx 2 = q.
¿Puede el discriminante ser menor que cero?
Al calcular el valor del discriminante, uno puede encontrarse con una situación que no cae en ninguno de los casos descritos, cuando el discriminante tiene un valor negativo (es decir, menor que cero). En este caso, generalmente se acepta que una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0, no tiene raíces reales, por lo que su solución se limitará al cálculo del discriminante, y las fórmulas anteriores para las raíces de la ecuación cuadrática no se aplicará en este caso se. Al mismo tiempo, en la respuesta a la ecuación cuadrática, está escrito que "la ecuación no tiene raíces reales".
Vídeo explicativo: