Definición 7.1. El conjunto de todos los puntos en el plano para los cuales la suma de las distancias a dos puntos fijos F 1 y F 2 es una constante dada se llama elipse.
La definición de una elipse da la siguiente forma de construirla geométricamente. Fijamos dos puntos F 1 y F 2 en el plano, y denotamos un valor constante no negativo por 2a. Sea la distancia entre los puntos F 1 y F 2 igual a 2c. Imagine que un hilo inextensible de longitud 2a se fija en los puntos F 1 y F 2, por ejemplo, con la ayuda de dos agujas. Está claro que esto es posible sólo para a ≥ c. Tirando del hilo con un lápiz, dibuje una línea, que será una elipse (Fig. 7.1).
Entonces, el conjunto descrito no está vacío si a ≥ c. Cuando a = c, la elipse es un segmento con extremos F 1 y F 2, y cuando c = 0, es decir si coinciden los puntos fijos especificados en la definición de una elipse, se trata de una circunferencia de radio a. Descartando estos casos degenerados, supondremos además, como regla, que a > c > 0.
Los puntos fijos F 1 y F 2 en la definición 7.1 de la elipse (ver Fig. 7.1) se llaman trucos de elipse, la distancia entre ellos, denotada por 2c, - longitud focal, y los segmentos F 1 M y F 2 M, conectando un punto arbitrario M en la elipse con sus focos, - radios focales.
La forma de la elipse está completamente determinada por la distancia focal |F 1 F 2 | = 2с y parámetro a, y su posición en el plano - por un par de puntos F 1 y F 2 .
De la definición de una elipse se deduce que es simétrica con respecto a una línea recta que pasa por los focos F 1 y F 2, así como con respecto a una línea recta que divide el segmento F 1 F 2 por la mitad y es perpendicular a él (Fig. 7.2, a). Estas líneas se llaman ejes de elipse. El punto O de su intersección es el centro de simetría de la elipse, y se llama el centro de la elipse, y los puntos de intersección de la elipse con los ejes de simetría (puntos A, B, C y D en la Fig. 7.2, a) - los vértices de la elipse.
el numero a se llama semieje mayor de una elipse, y b = √ (a 2 - c 2) - es eje semi-menor. Es fácil ver que para c > 0, el semieje mayor a es igual a la distancia del centro de la elipse a aquellos de sus vértices que están en el mismo eje que los focos de la elipse (vértices A y B en la Fig. 7.2, a), y el semieje menor b es igual a la distancia desde el centro de la elipse a sus otros dos vértices (vértices C y D en la Fig. 7.2, a).
Ecuación de elipse. Considere alguna elipse en el plano con focos en los puntos F 1 y F 2 , eje mayor 2a. Sea 2c la distancia focal, 2c = |F 1 F 2 |
Elegimos un sistema de coordenadas rectangular Oxy en el plano de modo que su origen coincida con el centro de la elipse, y los focos estén en abscisa(Fig. 7.2, b). Este sistema de coordenadas se llama canónico para la elipse en consideración, y las variables correspondientes son canónico.
En el sistema de coordenadas seleccionado, los focos tienen coordenadas F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Usando la fórmula para la distancia entre puntos, escribimos la condición |F 1 M| + |F2M| = 2a en coordenadas:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Esta ecuación es inconveniente porque contiene dos radicales cuadrados. Así que transformémoslo. Pasamos el segundo radical de la ecuación (7.2) al lado derecho y lo elevamos al cuadrado:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .
Después de abrir los paréntesis y reducir los términos semejantes, obtenemos
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
donde ε = c/a. Repetimos la operación de elevar al cuadrado para eliminar el segundo radical: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, o, dado el valor del parámetro ingresado ε, (a 2 - c 2) x 2 / un 2 + y 2 = un 2 - do 2 . Como a 2 - c 2 = b 2 > 0, entonces
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
La ecuación (7.4) se satisface con las coordenadas de todos los puntos que se encuentran en la elipse. Pero al derivar esta ecuación, se usaron transformaciones no equivalentes de la ecuación original (7.2): dos elevaciones al cuadrado que eliminan los radicales cuadrados. Elevar al cuadrado una ecuación es una transformación equivalente si ambos lados contienen cantidades con el mismo signo, pero no verificamos esto en nuestras transformaciones.
Es posible que no comprobemos la equivalencia de las transformaciones si consideramos lo siguiente. Un par de puntos F 1 y F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, sobre el plano define una familia de elipses con focos en estos puntos. Cada punto del plano, excepto los puntos del segmento F 1 F 2 , pertenece a alguna elipse de la familia especificada. En este caso, no hay dos elipses que se crucen, ya que la suma de los radios focales determina únicamente una elipse específica. Entonces, la familia de elipses sin intersecciones descrita cubre todo el plano, excepto los puntos del segmento F 1 F 2 . Considere un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (7.4) con un valor dado del parámetro a. ¿Se puede distribuir este conjunto entre varias elipses? Algunos de los puntos del conjunto pertenecen a una elipse de semieje mayor a. Sea un punto en este conjunto que se encuentra en una elipse con un eje semi-mayor a. Entonces las coordenadas de este punto obedecen a la ecuación
esos. las ecuaciones (7.4) y (7.5) tienen soluciones comunes. Sin embargo, es fácil comprobar que el sistema
para ã ≠ a no tiene soluciones. Para hacer esto, basta con excluir, por ejemplo, x de la primera ecuación:
que después de las transformaciones conduce a la ecuación
al no tener soluciones para ã ≠ a, porque . Entonces, (7.4) es la ecuación de una elipse con el semieje mayor a > 0 y el semieje menor b = √ (a 2 - c 2) > 0. Se llama la ecuación canónica de la elipse.
Vista de elipse. El método geométrico de construcción de una elipse discutido anteriormente da una idea suficiente de la apariencia de una elipse. Pero la forma de una elipse también puede investigarse con la ayuda de su ecuación canónica (7.4). Por ejemplo, considerando y ≥ 0, puede expresar y en términos de x: y = b√(1 - x 2 /a 2) y, habiendo examinado esta función, construir su gráfica. Hay otra manera de construir una elipse. Un círculo de radio a con centro en el origen del sistema de coordenadas canónicas de la elipse (7.4) se describe mediante la ecuación x 2 + y 2 = a 2 . Si se comprime con el coeficiente a/b > 1 a lo largo de eje y, luego obtienes una curva que se describe mediante la ecuación x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, es decir, una elipse.
Observación 7.1. Si el mismo círculo se comprime con el coeficiente a/b
Excentricidad de elipse. La relación entre la distancia focal de una elipse y su eje mayor se llama excentricidad de elipse y denotada por ε. Para una elipse dada
ecuación canónica (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Si en (7.4) los parámetros a y b están relacionados por la desigualdad a
Para c = 0, cuando la elipse se convierte en un círculo, y ε = 0. En otros casos, 0
La ecuación (7.3) es equivalente a la ecuación (7.4) porque las ecuaciones (7.4) y (7.2) son equivalentes. Por lo tanto, (7.3) también es una ecuación de elipse. Además, la relación (7.3) es interesante porque da una fórmula libre de radicales simple para la longitud |F 2 M| uno de los radios focales del punto M(x; y) de la elipse: |F 2 M| = a + εx.
Se puede obtener una fórmula similar para el segundo radio focal a partir de consideraciones de simetría o repitiendo cálculos en los que, antes de elevar al cuadrado la ecuación (7.2), el primer radical se traslada al lado derecho, y no el segundo. Entonces, para cualquier punto M(x; y) en la elipse (ver Fig. 7.2)
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
y cada una de estas ecuaciones es una ecuación de elipse.
Ejemplo 7.1. Encontremos la ecuación canónica de una elipse con eje semi-mayor 5 y excentricidad 0.8 y construyámosla.
Conociendo el semieje mayor de la elipse a = 5 y la excentricidad ε = 0.8, encontramos su semieje menor b. Dado que b \u003d √ (a 2 - c 2), y c \u003d εa \u003d 4, entonces b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Entonces, la ecuación canónica tiene la forma x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Para construir una elipse, es conveniente dibujar un rectángulo con centro en el origen del sistema de coordenadas canónicas, cuyos lados sean paralelos a los ejes de simetría de la elipse e iguales a su ejes correspondientes (Fig. 7.4). Este rectángulo interseca con
los ejes de la elipse en sus vértices A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), y la elipse misma está inscrita en ella. En la fig. 7.4 también muestra los focos F 1.2 (±4; 0) de la elipse.
Propiedades geométricas de una elipse. Reescribamos la primera ecuación en (7.6) como |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Nótese que el valor de a / ε - x para a > c es positivo, ya que el foco F 1 no pertenece a la elipse. Este valor es la distancia a la línea vertical d: x = a/ε desde el punto M(x; y) a la izquierda de esta línea. La ecuación de la elipse se puede escribir como
|F 1 M|/(a/ε - x) = ε
Significa que esta elipse consta de aquellos puntos M (x; y) del plano para los cuales la relación entre la longitud del radio focal F 1 M y la distancia a la línea recta d es un valor constante igual a ε (Fig. 7.5).
La línea d tiene un "doble": una línea vertical d", simétrica a d con respecto al centro de la elipse, que viene dada por la ecuación x \u003d -a / ε. Con respecto a d", la elipse es descrito de la misma manera que con respecto a d. Ambas líneas d y d" se llaman directriz de elipse. Las directrizes de la elipse son perpendiculares al eje de simetría de la elipse, en el que se encuentran sus focos, y están separadas del centro de la elipse por una distancia a / ε \u003d a 2 / c (ver Fig. 7.5) .
La distancia p desde la directriz al foco más cercano a ella se llama parámetro focal de la elipse. Este parámetro es igual a
p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c
La elipse tiene otra propiedad geométrica importante: los radios focales F 1 M y F 2 M forman ángulos iguales con la tangente a la elipse en el punto M (figura 7.6).
Esta propiedad tiene un claro significado físico. Si se coloca una fuente de luz en el foco F 1, entonces el haz que sale de este foco, después de la reflexión desde la elipse, irá a lo largo del segundo radio focal, ya que después de la reflexión estará en el mismo ángulo con respecto a la curva que antes de la reflexión. . Así, todos los rayos que salen del foco F 1 se concentrarán en el segundo foco F 2 y viceversa. Con base en esta interpretación, esta propiedad se llama propiedad óptica de una elipse.
11.1. Conceptos básicos
Considere las líneas definidas por ecuaciones de segundo grado con respecto a las coordenadas actuales
Los coeficientes de la ecuación son números reales, pero al menos uno de los números A, B o C es distinto de cero. Tales líneas se llaman líneas (curvas) de segundo orden. Se establecerá a continuación que la ecuación (11.1) define un círculo, una elipse, una hipérbola o una parábola en el plano. Antes de proceder a esta afirmación, estudiemos las propiedades de las curvas enumeradas.
11.2. Circulo
La curva más simple de segundo orden es un círculo. Recuérdese que una circunferencia de radio R con centro en un punto es el conjunto de todos los puntos Μ del plano que satisfacen la condición . Deje que un punto en un sistema de coordenadas rectangulares tenga coordenadas x 0, y 0 a - un punto arbitrario del círculo (ver Fig. 48).
Entonces de la condición obtenemos la ecuación
(11.2)
La ecuación (11.2) se satisface con las coordenadas de cualquier punto del círculo dado y no con las coordenadas de ningún punto que no esté en el círculo.
La ecuación (11.2) se llama la ecuación canónica del círculo
En particular, suponiendo y , obtenemos la ecuación de un círculo con centro en el origen 
.
La ecuación circular (11.2) después de transformaciones simples tomará la forma . Al comparar esta ecuación con la ecuación general (11.1) de una curva de segundo orden, es fácil ver que se cumplen dos condiciones para la ecuación del círculo:
1) los coeficientes en x 2 y y 2 son iguales entre sí;
2) no hay ningún miembro que contenga el producto xy de las coordenadas actuales.
Consideremos el problema inverso. Poniendo en la ecuación (11.1) los valores y , obtenemos
Transformemos esta ecuación:
(11.4)
De ello se deduce que la ecuación (11.3) define un círculo bajo la condición 
. Su centro está en el punto 
, y el radio
.
Si 
, entonces la ecuación (11.3) tiene la forma
.
Se satisface con las coordenadas de un solo punto. 
. En este caso, dicen: “el círculo ha degenerado en un punto” (tiene radio cero).
Si 
, entonces la ecuación (11.4), y por lo tanto la ecuación equivalente (11.3), no determinará ninguna línea, ya que el lado derecho de la ecuación (11.4) es negativo y el lado izquierdo no es negativo (digamos: "círculo imaginario").
11.3. Elipse
Ecuación canónica de una elipse
Elipse es el conjunto de todos los puntos del plano, la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos dados de este plano, llamados trucos , es un valor constante mayor que la distancia entre los focos.
Denote los focos por F1 Y F2, la distancia entre ellos en 2 C, y la suma de las distancias desde un punto arbitrario de la elipse a los focos - a través de 2 a(ver figura 49). Por definición 2 a > 2C, es decir. a
> C.
Para derivar la ecuación de una elipse, elegimos un sistema de coordenadas tal que los focos F1 Y F2 se encuentran sobre el eje y el origen coincide con el punto medio del segmento F 1 F 2. Entonces los focos tendrán las siguientes coordenadas: y .
Sea un punto arbitrario de la elipse. Entonces, de acuerdo con la definición de una elipse, i.e.
Esto, de hecho, es la ecuación de una elipse.
Transformamos la ecuación (11.5) a una forma más simple de la siguiente manera:
Porque a>desde, luego . Pongamos
(11.6)
Entonces la última ecuación toma la forma o
(11.7)
Se puede probar que la ecuación (11.7) es equivalente a la ecuación original. Se llama la ecuación canónica de la elipse .
Elipse es una curva de segundo orden.
Estudio de la forma de una elipse según su ecuación
Establezcamos la forma de la elipse usando su ecuación canónica.
1. La ecuación (11.7) contiene x e y solo en potencias pares, por lo que si un punto pertenece a una elipse, entonces los puntos también pertenecen a ella. De ello se deduce que la elipse es simétrica con respecto a los ejes y , así como con respecto al punto , que se llama centro de la elipse.
2. Encuentra los puntos de intersección de la elipse con los ejes de coordenadas. Poniendo , encontramos dos puntos y , en los que el eje interseca a la elipse (ver Fig. 50). Poniendo en la ecuación (11.7), encontramos los puntos de intersección de la elipse con el eje: y . puntos A 1 ,
A2 , B1, B2 llamado los vértices de la elipse. Segmentos A 1 A2 Y B1 B2, así como sus longitudes 2 a y 2 B se llaman respectivamente ejes mayor y menor elipse. Números a Y B se llaman grandes y pequeños, respectivamente. semiejes elipse.
3. De la ecuación (11.7) se deduce que cada término del lado izquierdo no excede de uno, es decir hay desigualdades y o y . Por tanto, todos los puntos de la elipse se encuentran dentro del rectángulo formado por las rectas.
4. En la ecuación (11.7), la suma de los términos no negativos y es igual a uno. En consecuencia, al aumentar un término, el otro disminuirá, es decir, si aumenta, entonces disminuye y viceversa.
De lo dicho se deduce que la elipse tiene la forma que se muestra en la Fig. 50 (curva cerrada ovalada).
Más sobre la elipse
La forma de la elipse depende de la relación. Cuando la elipse se convierte en un círculo, la ecuación de la elipse (11.7) toma la forma . Como característica de la forma de una elipse, la relación se usa con más frecuencia. La relación de la mitad de la distancia entre los focos y el semieje mayor de la elipse se denomina excentricidad de la elipse y o6o se denota con la letra ε ("épsilon"):
con 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде
Esto muestra que cuanto menor sea la excentricidad de la elipse, menos achatada será la elipse; si ponemos ε = 0, entonces la elipse se convierte en un círculo.
Sea M(x; y) un punto arbitrario de la elipse con focos F 1 y F 2 (ver Fig. 51). Las longitudes de los segmentos F 1 M=r 1 y F 2 M = r 2 se denominan radios focales del punto M. Obviamente,
hay fórmulas
Las rectas se llaman
Teorema 11.1. Si es la distancia desde un punto arbitrario de la elipse a algún foco, d es la distancia desde el mismo punto a la directriz correspondiente a este foco, entonces la relación es un valor constante igual a la excentricidad de la elipse:
De la igualdad (11.6) se sigue que . Si , entonces la ecuación (11.7) define una elipse, cuyo eje mayor se encuentra en el eje Oy, y el eje menor se encuentra en el eje Ox (ver Fig. 52). Los focos de tal elipse están en los puntos y , donde 
.
11.4. Hipérbola
Ecuación canónica de una hipérbola
Hipérbole se llama el conjunto de todos los puntos del plano, el módulo de la diferencia de distancias de cada uno de los cuales a dos puntos dados de este plano, se llama trucos , es un valor constante, menor que la distancia entre los focos.
Denote los focos por F1 Y F2 la distancia entre ellos a través de 2s, y el módulo de la diferencia de distancias desde cada punto de la hipérbola a los focos a través de 2a. Por definición 2a < 2s, es decir. a < C.
Para derivar la ecuación de la hipérbola, elegimos un sistema de coordenadas tal que los focos F1 Y F2 se encuentran en el eje, y el origen coincidió con el punto medio del segmento F 1 F 2(ver figura 53). Entonces los focos tendrán coordenadas y
Sea un punto arbitrario de la hipérbola. Entonces, de acuerdo con la definición de una hipérbola 
o , es decir, después de simplificaciones, como se hizo al derivar la ecuación de la elipse, obtenemos
ecuación canónica de una hipérbola
(11.9)
(11.10)
Una hipérbola es una línea de segundo orden.
Investigación de la forma de una hipérbola según su ecuación
Establezcamos la forma de la hipérbola usando su ecuación cacónica.
1. La ecuación (11.9) contiene x e y solo en potencias pares. Por tanto, la hipérbola es simétrica con respecto a los ejes y , así como con respecto al punto , que se llama el centro de la hipérbola.
2. Encuentra los puntos de intersección de la hipérbola con los ejes de coordenadas. Poniendo en la ecuación (11.9), encontramos dos puntos de intersección de la hipérbola con el eje : y . Introduciendo (11.9), obtenemos , que no puede ser. Por lo tanto, la hipérbola no corta el eje y.
Los puntos y se llaman picos hipérbolas y el segmento
eje real , sección - semieje real hipérbole.
El segmento de recta que une los puntos se llama eje imaginario , número b- eje imaginario . Rectángulo con lados 2a Y 2b llamado el rectángulo principal de una hipérbola .
3. De la ecuación (11.9) se sigue que el minuendo no es menor que uno, es decir, que o . Esto significa que los puntos de la hipérbola están ubicados a la derecha de la línea (la rama derecha de la hipérbola) ya la izquierda de la línea (la rama izquierda de la hipérbola).
4. De la ecuación (11.9) de la hipérbola, se puede ver que cuando aumenta, también aumenta. Esto se sigue del hecho de que la diferencia mantiene un valor constante igual a uno.
De lo dicho se sigue que la hipérbola tiene la forma que se muestra en la figura 54 (una curva que consta de dos ramas ilimitadas).
Asíntotas de una hipérbola
La recta L se llama asíntota 
de una curva K ilimitada si la distancia d desde el punto M de la curva K hasta esta línea tiende a cero cuando el punto M se mueve a lo largo de la curva K indefinidamente desde el origen. La Figura 55 ilustra el concepto de asíntota: la línea L es una asíntota para la curva K.
Demostremos que la hipérbola tiene dos asíntotas:
(11.11)
Como las rectas (11.11) y la hipérbola (11.9) son simétricas con respecto a los ejes de coordenadas, basta considerar sólo aquellos puntos de las rectas indicadas que se encuentran en el primer cuadrante.
Tome en una línea recta un punto N que tenga la misma abscisa x que un punto en una hipérbola 
(ver Fig. 56), y encuentre la diferencia ΜN entre las ordenadas de la línea recta y la rama de la hipérbola:
Como puede ver, a medida que aumenta x, aumenta el denominador de la fracción; numerador es un valor constante. Por lo tanto, la longitud del segmento 
ΜN tiende a cero. Dado que ΜN es mayor que la distancia d desde el punto Μ hasta la línea, entonces d aún más tiende a cero. Así, las rectas son asíntotas de la hipérbola (11.9).
Al construir una hipérbola (11.9), es recomendable construir primero el rectángulo principal de la hipérbola (ver Fig. 57), dibujar líneas que pasen por los vértices opuestos de este rectángulo: las asíntotas de la hipérbola y marcar los vértices y la hipérbola .
La ecuación de una hipérbola equilátera.
cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas
La hipérbola (11.9) se llama equilátera si sus semiejes son iguales (). Su ecuación canónica
(11.12)
Las asíntotas de una hipérbola equilátera tienen ecuaciones y por lo tanto son bisectrices de los ángulos coordenados.
Considere la ecuación de esta hipérbola en un nuevo sistema de coordenadas (ver Fig. 58), obtenido a partir del antiguo rotando los ejes de coordenadas en un ángulo. Usamos las fórmulas para la rotación de los ejes de coordenadas:
Sustituimos los valores de x e y en la ecuación (11.12):
La ecuación de una hipérbola equilátera, para la cual los ejes Ox y Oy son asíntotas, tendrá la forma .
Más sobre la hipérbole
excentricidad hipérbola (11.9) es la relación entre la distancia entre los focos y el valor del eje real de la hipérbola, denotada por ε:
Dado que para una hipérbola , la excentricidad de la hipérbola es mayor que uno: . La excentricidad caracteriza la forma de una hipérbola. De hecho, se sigue de la igualdad (11.10) que i.e. Y 
.
De esto se puede ver que cuanto menor es la excentricidad de la hipérbola, menor es la relación de sus semiejes, lo que significa que más se extiende su rectángulo principal.
La excentricidad de una hipérbola equilátera es . En realidad,
Radios focales 
Y 
para los puntos de la rama derecha de la hipérbola tienen la forma y , y para la izquierda - 
Y 
.
Las líneas rectas se llaman directriz de una hipérbola. Como para la hipérbola ε > 1, entonces . Esto quiere decir que la directriz derecha se encuentra entre el centro y el vértice derecho de la hipérbola, la directriz izquierda se encuentra entre el centro y el vértice izquierdo.
Las directrizes de una hipérbola tienen la misma propiedad que las directrizes de una elipse.
La curva definida por la ecuación es también una hipérbola, cuyo eje real 2b se encuentra en el eje Oy, y el eje imaginario 2 a- en el eje Buey. En la Figura 59, se muestra como una línea de puntos.
Obviamente, las hipérbolas y tienen asíntotas comunes. Tales hipérbolas se llaman conjugadas.
11.5. Parábola
Ecuación de parábola canónica
Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano, cada uno de los cuales está a la misma distancia de un punto dado, llamado foco, y de una línea dada, llamada directriz. La distancia del foco F a la directriz se llama parámetro de la parábola y se denota por p (p > 0).
Para derivar la ecuación de la parábola, elegimos el sistema de coordenadas Oxy de modo que el eje Oxy pase por el foco F perpendicular a la directriz en la dirección de la directriz a F, y el origen O esté ubicado en el medio entre el foco y la directriz (ver figura 60). En el sistema seleccionado, el foco F tiene coordenadas , y la ecuación de la directriz tiene la forma , o .
1. En la ecuación (11.13), la variable y está incluida en un grado par, lo que significa que la parábola es simétrica respecto al eje Ox; el eje x es el eje de simetría de la parábola.
2. Como ρ > 0, de (11.13) se sigue que . Por lo tanto, la parábola se ubica a la derecha del eje y.
3. Cuando tenemos y \u003d 0. Por lo tanto, la parábola pasa por el origen.
4. Con un aumento ilimitado en x, el módulo y también aumenta indefinidamente. La parábola tiene la forma (forma) que se muestra en la Figura 61. El punto O (0; 0) se denomina vértice de la parábola, el segmento FM \u003d r se denomina radio focal del punto M.
Ecuaciones , , ( p>0) también definen parábolas, se muestran en la Figura 62
Es fácil demostrar que la gráfica de un trinomio cuadrado, donde , B y C son números reales cualesquiera, es una parábola en el sentido de su definición anterior.
11.6. Ecuación general de rectas de segundo orden
Ecuaciones de curvas de segundo orden con ejes de simetría paralelos a los ejes de coordenadas
Encontremos primero la ecuación de una elipse con centro en el punto , cuyos ejes de simetría son paralelos a los ejes de coordenadas Ox y Oy y los semiejes, respectivamente, son a Y B. Situemos en el centro de la elipse O 1 el origen del nuevo sistema de coordenadas , cuyos ejes y semiejes a Y B(ver figura 64):
Y finalmente, las parábolas que se muestran en la Figura 65 tienen ecuaciones correspondientes.
La ecuacion
Las ecuaciones de una elipse, hipérbola, parábola y la ecuación de un círculo después de las transformaciones (abrir corchetes, mover todos los términos de la ecuación en una dirección, traer términos semejantes, introducir nueva notación para los coeficientes) se pueden escribir usando una sola ecuación de la forma
donde los coeficientes A y C no son iguales a cero al mismo tiempo.
Surge la pregunta: ¿alguna ecuación de la forma (11.14) determina una de las curvas (circunferencia, elipse, hipérbola, parábola) de segundo orden? La respuesta viene dada por el siguiente teorema.
Teorema 11.2. La ecuación (11.14) siempre define: un círculo (para A = C), o una elipse (para A C > 0), o una hipérbola (para A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.
Ecuación general de segundo orden
Consideremos ahora la ecuación general de segundo grado con dos incógnitas:
Se diferencia de la ecuación (11.14) por la presencia de un término con el producto de coordenadas (B¹ 0). Es posible, girando los ejes de coordenadas en un ángulo a, transformar esta ecuación de modo que el término con el producto de coordenadas esté ausente en ella.
Usar fórmulas para girar ejes
Expresemos las coordenadas antiguas en función de las nuevas:
Elegimos el ángulo a para que el coeficiente en x "y" desaparezca, es decir, para que la igualdad
Por lo tanto, cuando los ejes giran un ángulo a que satisface la condición (11.17), la ecuación (11.15) se reduce a la ecuación (11.14).
Producción: la ecuación general de segundo orden (11.15) define en el plano (salvo en los casos de degeneración y decaimiento) las siguientes curvas: circunferencia, elipse, hipérbola, parábola.
Nota: Si A = C, entonces la ecuación (11.17) pierde su significado. En este caso cos2α = 0 (ver (11.16)), entonces 2α = 90°, es decir, α = 45°. Entonces, en A = C, el sistema de coordenadas debe girarse 45 °.
Una elipse es el lugar geométrico de los puntos en un plano, la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos dados F_1, y F_2 es un valor constante (2a), mayor que la distancia (2c) entre esos puntos dados (Fig. 3.36, a). Esta definición geométrica expresa propiedad focal de una elipse.
Propiedad focal de una elipse
Los puntos F_1 y F_2 se denominan focos de la elipse, la distancia entre ellos 2c=F_1F_2 es la distancia focal, el punto medio O del segmento F_1F_2 es el centro de la elipse, el número 2a es la longitud del eje mayor de la elipse. elipse (respectivamente, el número a es el semieje mayor de la elipse). Los segmentos F_1M y F_2M que conectan un punto arbitrario M de la elipse con sus focos se denominan radios focales del punto M. Un segmento de línea que conecta dos puntos de una elipse se llama cuerda de la elipse.
La razón e=\frac(c)(a) se llama excentricidad de la elipse. De la definición (2a>2c) se sigue que 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Definición geométrica de una elipse, expresando su propiedad focal, es equivalente a su definición analítica - la línea dada por la ecuación canónica de la elipse:
De hecho, introduzcamos un sistema de coordenadas rectangulares (Fig. 3.36, c). El centro O de la elipse se toma como origen del sistema de coordenadas; la recta que pasa por los focos (el eje focal o el primer eje de la elipse), la tomaremos como eje de abscisas (la dirección positiva sobre ella desde el punto F_1 hasta el punto F_2); la línea recta perpendicular al eje focal y que pasa por el centro de la elipse (el segundo eje de la elipse) se toma como el eje y (la dirección en el eje y se elige de modo que el sistema de coordenadas rectangular Oxy sea correcto ).
Formulemos la ecuación de una elipse usando su definición geométrica, que expresa la propiedad focal. En el sistema de coordenadas seleccionado, determinamos las coordenadas de los focos. F_1(-c,0),~F_2(c,0). Para un punto arbitrario M(x,y) perteneciente a la elipse, tenemos:
\vlínea\,\overrightarrow(F_1M)\,\vlínea\,+\vlínea\,\overrightarrow(F_2M)\,\vlínea\,=2a.
Escribiendo esta igualdad en forma de coordenadas, obtenemos:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Pasamos el segundo radical al lado derecho, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación y damos términos semejantes:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((xc)^2+y^2)+(xc)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((xc )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Dividiendo por 4, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
a^2(xc)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Flecha izquierda-derecha~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
denotar b=\sqrt(a^2-c^2)>0, obtenemos b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Dividiendo ambas partes por a^2b^2\ne0 , llegamos a la ecuación canónica de la elipse:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Por lo tanto, el sistema de coordenadas elegido es canónico.
Si los focos de la elipse coinciden, entonces la elipse es un círculo (Fig. 3.36.6), ya que a=b. En este caso, cualquier sistema de coordenadas rectangulares con origen en el punto O\equiv F_1\equiv F_2, y la ecuación x^2+y^2=a^2 es la ecuación de un círculo de centro O y radio a .
Razonando hacia atrás, se puede demostrar que todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (3.49), y solo ellos, pertenecen al lugar geométrico de los puntos, llamado elipse. En otras palabras, la definición analítica de una elipse es equivalente a su definición geométrica, que expresa la propiedad focal de la elipse.
Propiedad de directorio de una elipse
Las directrizes de una elipse son dos rectas que pasan paralelas al eje de ordenadas del sistema de coordenadas canónicas a la misma distancia \frac(a^2)(c) de él. Para c=0, cuando la elipse es un círculo, no hay directriz (podemos suponer que las directriz se eliminan infinitamente).
Elipse con excentricidad 0
De hecho, por ejemplo, para foco F_2 y directriz d_2 (Fig. 3.37.6) la condición \frac(r_2)(\rho_2)=e se puede escribir en forma de coordenadas:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Deshacerse de la irracionalidad y reemplazar e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, llegamos a la ecuación canónica de la elipse (3.49). Se puede realizar un razonamiento similar para el foco F_1 y la directriz d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Ecuación de elipse en coordenadas polares
La ecuación de la elipse en el sistema de coordenadas polares F_1r\varphi (Fig.3.37,c y 3.37(2)) tiene la forma
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
donde p=\frac(b^2)(a) es el parámetro focal de la elipse.
De hecho, elijamos el foco izquierdo F_1 de la elipse como el polo del sistema de coordenadas polares y el rayo F_1F_2 como el eje polar (Fig. 3.37, c). Entonces para un punto arbitrario M(r,\varphi) , según la definición geométrica (propiedad focal) de una elipse, tenemos r+MF_2=2a . Expresamos la distancia entre los puntos M(r,\varphi) y F_2(2c,0) (ver ):
\begin(alineado)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(alineado)
Por tanto, en forma de coordenadas, la ecuación de la elipse F_1M+F_2M=2a tiene la forma
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Aislamos el radical, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, dividimos por 4 y damos términos semejantes:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Expresamos el radio polar r y hacemos la sustitución e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
QED
El significado geométrico de los coeficientes en la ecuación de la elipse.
Encontremos los puntos de intersección de la elipse (ver Fig. 3.37, a) con los ejes de coordenadas (vértices de los zllips). Sustituyendo y=0 en la ecuación, encontramos los puntos de intersección de la elipse con el eje de abscisas (con el eje focal): x=\pm a . Por tanto, la longitud del segmento del eje focal encerrado en la elipse es igual a 2a. Este segmento, como se señaló anteriormente, se denomina eje mayor de la elipse, y el número a es el semieje mayor de la elipse. Sustituyendo x=0, obtenemos y=\pm b. Por tanto, la longitud del segmento del segundo eje de la elipse encerrado dentro de la elipse es igual a 2b. Este segmento se llama eje menor de la elipse, y el número b se llama semieje menor de la elipse.
En realidad, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, y la igualdad b=a se obtiene solo en el caso c=0 cuando la elipse es un círculo. Actitud k=\frac(b)(a)\leqslant1 se llama el factor de contracción de la elipse.
Observaciones 3.9
1. Las líneas x=\pm a,~y=\pm b limitan el rectángulo principal en el plano de coordenadas, dentro del cual se encuentra la elipse (ver Fig. 3.37, a).
2. Una elipse se puede definir como el lugar geométrico de los puntos obtenidos al contraer un círculo a su diámetro.
De hecho, supongamos que en el sistema de coordenadas rectangulares Oxy, la ecuación del círculo tiene la forma x^2+y^2=a^2. Cuando se comprime al eje x con un factor de 0 \begin(casos)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(casos) Sustituyendo x=x" y y=\frac(1)(k)y" en la ecuación de la circunferencia, obtenemos una ecuación para las coordenadas de la imagen M"(x",y") del punto M(x ,y) : (x")^2+(\izquierda(\frac(1)(k)\cdot y"\derecha)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} ya que b=k\cdot a . Esta es la ecuación canónica de la elipse. 3. Los ejes de coordenadas (del sistema de coordenadas canónicas) son los ejes de simetría de la elipse (llamados ejes principales de la elipse), y su centro es el centro de simetría. En efecto, si el punto M(x,y) pertenece a la elipse . entonces los puntos M"(x,-y) y M""(-x,y) , simétricos al punto M con respecto a los ejes de coordenadas, también pertenecen a la misma elipse. 4. A partir de la ecuación de una elipse en un sistema de coordenadas polares r=\frac(p)(1-e\cos\varfi)(ver Fig. 3.37, c), se aclara el significado geométrico del parámetro focal: esta es la mitad de la longitud de la cuerda de la elipse que pasa por su foco perpendicular al eje focal (r = p en \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. La excentricidad e caracteriza la forma de la elipse, es decir, la diferencia entre la elipse y el círculo. Cuanto mayor es e, más alargada es la elipse, y cuanto más cerca está e de cero, más cerca está la elipse del círculo (Fig. 3.38, a). De hecho, dado que e=\frac(c)(a) y c^2=a^2-b^2 , obtenemos e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} donde k es el factor de contracción de la elipse, 0 6. Ecuación \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 para 7. Ecuación \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b define una elipse con centro en el punto O "(x_0, y_0), cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas (Fig. 3.38, c). Esta ecuación se reduce a la canónica usando traslación paralela (3.36). Para a=b=R la ecuación (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 describe un círculo de radio R con centro en el punto O"(x_0,y_0) . Ecuación paramétrica de una elipse en el sistema de coordenadas canónicas tiene la forma \begin(casos)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(casos)0\leqslant t<2\pi.
De hecho, sustituyendo estas expresiones en la ecuación (3.49), llegamos a la identidad trigonométrica básica \cos^2t+\sin^2t=1. Ejemplo 3.20. dibujar elipse \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 en el sistema de coordenadas canónicas Oxy. Encuentre semiejes, distancia focal, excentricidad, relación de aspecto, parámetro focal, ecuaciones de directriz. Solución. Comparando la ecuación dada con la canónica, determinamos los semiejes: a=2 - el semieje mayor, b=1 - el semieje menor de la elipse. Construimos el rectángulo principal con lados 2a=4,~2b=2 centrado en el origen (Fig.3.39). Dada la simetría de la elipse, la encajamos en el rectángulo principal. Si es necesario, determinamos las coordenadas de algunos puntos de la elipse. Por ejemplo, sustituyendo x=1 en la ecuación de la elipse, obtenemos \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ cuádruple y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Por lo tanto, los puntos con coordenadas \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- pertenecen a una elipse. Calcular la relación de compresión k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); longitud focal 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); excentricidad e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parámetro focal p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Componemos las ecuaciones de la directriz: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Flecha izquierda-derecha~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Clases de Álgebra y Geometría. Semestre 1. Lección 15. Elipse. Capítulo 15 Objeto 1. Definiciones basicas. Definición. Una elipse es la GMT de un plano, cuya suma de distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es un valor constante. Definición. La distancia desde un punto arbitrario M del plano hasta el foco de la elipse se llama radio focal del punto M. Designaciones: Por definición de una elipse, un punto M es un punto de la elipse si y solo si Darse cuenta de Por definición de una elipse, sus focos son puntos fijos, por lo que la distancia entre ellos también es un valor constante para la elipse dada. Definición. La distancia entre los focos de una elipse se llama distancia focal. Designacion: de un triangulo Denote por b el número igual a Definición. Actitud se llama la excentricidad de la elipse. Introduzcamos un sistema de coordenadas en el plano dado, que llamaremos canónico para la elipse. Definición. El eje sobre el que se encuentran los focos de la elipse se denomina eje focal. Construyamos el PDSC canónico para la elipse, ver Fig.2. Elegimos el eje focal como el eje de abscisas, y dibujamos el eje de ordenadas a través del medio del segmento Entonces los focos tienen coordenadas artículo 2. Ecuación canónica de una elipse. Teorema. En el sistema de coordenadas canónico para una elipse, la ecuación de la elipse tiene la forma: Prueba. Realizaremos la demostración en dos etapas. En la primera etapa, demostraremos que las coordenadas de cualquier punto que se encuentre sobre la elipse satisfacen la ecuación (4). En la segunda etapa, probaremos que cualquier solución de la ecuación (4) da las coordenadas de un punto que se encuentra en la elipse. De aquí se seguirá que la ecuación (4) se satisface por aquellos y sólo aquellos puntos del plano de coordenadas que se encuentran sobre la elipse. De aquí y de la definición de la ecuación de la curva, se seguirá que la ecuación (4) es una ecuación de elipse. 1) Sea el punto M(x, y) un punto de la elipse, es decir la suma de sus radios focales es 2a: Usamos la fórmula para la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas y encontramos los radios focales de un punto M dado usando esta fórmula: Movamos una raíz hacia el lado derecho de la igualdad y la elevamos al cuadrado: Reduciendo, obtenemos: Damos similares, reducimos por 4 y aislamos el radical: Nosotros cuadrados Abra los corchetes y acorte de donde obtenemos: Usando la igualdad (2), obtenemos: Dividiendo la última igualdad por 2) Ahora permita que un par de números (x, y) satisfagan la ecuación (4) y sea M(x, y) el punto correspondiente en el plano de coordenadas Oxy. Entonces de (4) se sigue: Sustituimos esta igualdad en la expresión de los radios focales del punto M: Aquí hemos usado la igualdad (2) y (3). De este modo, Ahora observe que de la igualdad (4) se sigue que De esto, a su vez, se sigue que De las igualdades (5) se sigue que El teorema ha sido probado. Definición. La ecuación (4) se llama la ecuación canónica de la elipse. Definición. Los ejes de coordenadas canónicas de la elipse se denominan ejes principales de la elipse. Definición. El origen del sistema de coordenadas canónicas de una elipse se denomina centro de la elipse. artículo 3. Propiedades de la elipse. Teorema. (Propiedades de una elipse.) 1. En el sistema de coordenadas canónico para la elipse, todos los puntos de la elipse estan en el rectangulo 2. Los puntos se encuentran en 3. Una elipse es una curva simétrica sus ejes principales. 4. El centro de la elipse es su centro de simetría. Prueba. 1, 2) Se sigue inmediatamente de la ecuación canónica de la elipse. 3, 4) Sea M(x, y) un punto arbitrario de la elipse. Entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (4). Pero entonces las coordenadas de los puntos también satisfacen la ecuación (4) y, por tanto, son los puntos de la elipse, de donde se siguen los enunciados del teorema. El teorema ha sido probado. Definición. La cantidad 2a se llama eje mayor de la elipse, la cantidad a se llama semieje mayor de la elipse. Definición. La cantidad 2b se llama eje menor de la elipse, la cantidad b se llama semieje menor de la elipse. Definición. Los puntos de intersección de una elipse con sus ejes principales se denominan vértices de la elipse. Comentario. Una elipse se puede construir de la siguiente manera. En un avión, "martillamos un clavo" en los trucos y les sujetamos un hilo de longitud. De la definición de excentricidad se sigue que Fijamos un número a y dejamos que c tienda a cero. entonces en Esforcémonos ahora artículo 4. Ecuaciones paramétricas de una elipse. Teorema. Permitir son las ecuaciones paramétricas de la elipse en el sistema de coordenadas canónico para la elipse. Prueba. Basta probar que el sistema de ecuaciones (6) es equivalente a la ecuación (4), es decir tienen el mismo conjunto de soluciones. 1) Sea (x, y) una solución arbitraria del sistema (6). Dividir la primera ecuación por a, la segunda por b, elevar al cuadrado ambas ecuaciones y sumar: Esos. cualquier solución (x, y) del sistema (6) satisface la ecuación (4). 2) Por el contrario, sea el par (x, y) una solución a la ecuación (4), es decir De esta igualdad se sigue que el punto de coordenadas De la definición de seno y coseno se sigue inmediatamente que El teorema ha sido probado. Comentario. Se puede obtener una elipse como resultado de una "compresión" uniforme de un círculo de radio a sobre el eje de abscisas. Permitir Con esta transformación, cada punto del círculo "pasa" a otro punto del plano, que tiene la misma abscisa, pero una ordenada más pequeña. Expresemos la antigua ordenada del punto en función de la nueva: y sustituimos en la ecuación circular: De aquí obtenemos: De esto se deduce que si, antes de la transformación de "compresión", el punto M(x, y) yacía sobre el círculo, es decir sus coordenadas satisficieron la ecuación del círculo, luego, después de la transformación de "compresión", este punto "pasó" al punto artículo 5. Tangente a una elipse. Teorema. Permitir Entonces la ecuación de la tangente a esta elipse en el punto Prueba. Basta con considerar el caso cuando el punto de tangencia se encuentra en el primer o segundo cuarto del plano de coordenadas: Usemos la ecuación de la tangente a la gráfica de la función donde Sustituimos el valor encontrado de la derivada en la ecuación tangente (10): de donde obtenemos: Esto implica: Dividamos esta ecuación en Queda por señalar que La ecuación de tangente (8) se demuestra de manera similar en el punto de tangente que se encuentra en el tercer o cuarto cuarto del plano de coordenadas. Y, finalmente, podemos ver fácilmente que la ecuación (8) da la ecuación de la tangente en los puntos El teorema ha sido probado. artículo 6. La propiedad del espejo de una elipse. Teorema. La tangente a la elipse tiene ángulos iguales con los radios focales del punto tangente. Permitir El teorema establece que Esta igualdad se puede interpretar como la igualdad de los ángulos de incidencia y reflexión de un haz de luz procedente de una elipse liberada de su foco. Esta propiedad se llama la propiedad del espejo de la elipse: Un haz de luz emitido desde el foco de la elipse, después de la reflexión del espejo de la elipse, pasa a través de otro foco de la elipse. Demostración del teorema. Para demostrar la igualdad de ángulos (11), demostramos la semejanza de triángulos Ecuación paramétrica de una elipse
son los focos de la elipse, 
son los radios focales del punto M.
es un valor constante. Esta constante generalmente se denota como 2a:
.
(1)
.
.
sigue que 
, es decir.
.
, es decir.
.
(2)
(3)
perpendicular al eje focal.
,
.
.
(4)
.
,
, de donde obtenemos:
.
:
.
, obtenemos la igualdad (4), p.t.d.
.
.
. Igualmente, 
.
o 
y porqué 
, entonces se sigue la siguiente desigualdad:
.
o 
Y
,
.
(5)
, es decir. el punto M(x, y) es un punto de la elipse, etc.
,
.
. Luego tomamos un lápiz y lo usamos para estirar el hilo. Luego, movemos la punta del lápiz a lo largo del plano, asegurándonos de que el hilo esté tenso.
,
Y 
. En el límite obtenemos
o 
es la ecuación del círculo.
. Luego 
,
y vemos que en el límite la elipse degenera en un segmento de recta 
en la notación de la figura 3.
son números reales arbitrarios. Entonces el sistema de ecuaciones
,
(6)
.
.
se encuentra en un círculo de radio unidad con centro en el origen, es decir es un punto del círculo trigonométrico, que corresponde a algún ángulo 
:
,
, donde 
, de donde se sigue que el par (x, y) es una solución del sistema (6), etc.
es la ecuación de una circunferencia con centro en el origen. La "compresión" del círculo al eje de abscisas no es más que la transformación del plano de coordenadas, realizada según la siguiente regla. A cada punto M(x, y) ponemos en correspondencia un punto del mismo plano 
, donde 
,
es el factor de "compresión".
.
.
(7)
, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación de la elipse (7). Si queremos obtener la ecuación de una elipse con un semieje menor b, entonces necesitamos tomar el factor de compresión
.
- punto arbitrario de la elipse
.
parece:
.
(8)
. La ecuación de la elipse en el semiplano superior tiene la forma:
.
(9)
en el punto 
:
es el valor de la derivada de esta función en el punto 
. La elipse en el primer cuarto se puede ver como un gráfico de la función (8). Encontremos su derivada y su valor en el punto de contacto:
,
. Aquí hemos aprovechado que el punto de contacto 
es un punto de la elipse y por tanto sus coordenadas satisfacen la ecuación de la elipse (9), es decir
.
,
:
.
, porque punto 
pertenece a la elipse y sus coordenadas satisfacen su ecuación.
,
:
o 
, Y 
o 
.
- punto de contacto 
,
son los radios focales del punto tangente, P y Q son las proyecciones de los focos sobre la tangente trazada a la elipse en el punto 
.
.
(11)
Y 
, en el que los lados 
Y 
será similar. Como los triángulos son rectángulos, basta probar la igualdad