¿Crees que aún queda tiempo antes del examen y tendrás tiempo para prepararte? Quizás esto sea así. Pero en cualquier caso, cuanto antes comience el entrenamiento el estudiante, más exitosamente aprobará los exámenes. Hoy decidimos dedicar un artículo a las desigualdades logarítmicas. Esta es una de las tareas, lo que significa una oportunidad para obtener un punto extra.
¿Ya sabes qué es un logaritmo (log)? Realmente lo esperamos. Pero incluso si no tiene una respuesta a esta pregunta, esto no es un problema. Comprender qué es un logaritmo es muy sencillo.
¿Por qué exactamente 4? Necesita elevar el número 3 a tal potencia para obtener 81. Cuando comprenda el principio, puede proceder a cálculos más complejos.
Pasaste las desigualdades hace varios años. Y desde entonces, se encuentran constantemente en matemáticas. Si tiene problemas para resolver desigualdades, consulte la sección correspondiente.
Ahora que hemos llegado a conocer los conceptos por separado, pasemos a considerarlos en general.
La desigualdad logarítmica más simple.
Las desigualdades logarítmicas más simples no se limitan a este ejemplo, hay tres más, solo con diferentes signos. ¿Por qué es necesario? Para comprender mejor cómo resolver desigualdades con logaritmos. Ahora vamos a dar un ejemplo más aplicable, todavía es bastante simple, dejaremos desigualdades logarítmicas complejas para más adelante.
¿Cómo solucionar esto? Todo comienza con ODZ. Vale la pena saber más al respecto si siempre desea resolver fácilmente cualquier desigualdad.
¿Qué es ODU? ODZ para desigualdades logarítmicas
La abreviatura significa rango de valores válidos. En las tareas del examen, esta redacción aparece a menudo. ODZ es útil para usted no solo en el caso de desigualdades logarítmicas.
Eche otro vistazo al ejemplo anterior. Consideraremos el DHS en función de él, para que comprenda el principio y la solución de desigualdades logarítmicas no plantee preguntas. De la definición del logaritmo se deduce que 2x + 4 debe ser mayor que cero. En nuestro caso, esto significa lo siguiente.
Este número debe ser positivo por definición. Resuelve la desigualdad anterior. Esto se puede hacer incluso de forma oral, aquí está claro que X no puede ser menor que 2. La solución a la desigualdad será la definición del rango de valores admisibles.
Ahora pasemos a resolver la desigualdad logarítmica más simple.
Descartamos los propios logaritmos de ambos lados de la desigualdad. ¿Qué nos queda como resultado? Desigualdad simple.
No es difícil solucionarlo. X debe ser mayor que -0,5. Ahora combinamos los dos valores obtenidos en el sistema. Así,
Este será el rango de valores admisibles para la desigualdad logarítmica considerada.
¿Por qué necesitas ODZ? Esta es una oportunidad para descartar respuestas incorrectas e imposibles. Si la respuesta no está dentro del rango de valores aceptables, entonces la respuesta simplemente no tiene sentido. Vale la pena recordar esto durante mucho tiempo, ya que en el examen a menudo es necesario buscar ODZ, y no solo concierne a las desigualdades logarítmicas.
Algoritmo para resolver la desigualdad logarítmica
La solución consta de varias etapas. Primero, necesita encontrar el rango de valores válidos. Habrá dos valores en el ODZ, lo discutimos anteriormente. A continuación, debes resolver la desigualdad en sí. Los métodos de solución son los siguientes:
- método de sustitución del multiplicador;
- descomposición;
- método de racionalización.
Dependiendo de la situación, debe utilizar uno de los métodos anteriores. Vayamos directamente a la solución. Revelaremos el método más popular que es adecuado para resolver tareas USE en casi todos los casos. A continuación, veremos el método de descomposición. Puede ayudar si se encuentra con desigualdades particularmente difíciles. Entonces, el algoritmo para resolver la desigualdad logarítmica.
Ejemplos de soluciones :
¡No hemos tomado esa desigualdad por nada! Presta atención a la base. Recuerde: si es mayor que uno, el signo permanece igual cuando se encuentra el rango de valores aceptables; de lo contrario, se debe cambiar el signo de desigualdad.
Como resultado, obtenemos la desigualdad:
Ahora traemos el lado izquierdo a la forma de la ecuación igual a cero. En lugar del signo “menos” ponemos “igual”, resuelve la ecuación. Así, encontraremos la ODZ. Esperamos que no tenga problemas para resolver una ecuación tan simple. Las respuestas son -4 y -2. Eso no es todo. Debe mostrar estos puntos en el gráfico, colocar el "+" y el "-". ¿Qué se necesita hacer para esto? Sustituye números de intervalos en la expresión. Donde los valores son positivos, ponemos "+" allí.
Responder: x no puede ser mayor que -4 ni menor que -2.
Encontramos el rango de valores válidos solo para el lado izquierdo, ahora necesitamos encontrar el rango de valores válidos para el lado derecho. Esto es mucho más sencillo. Respuesta: -2. Integramos ambas áreas obtenidas.
Y solo ahora comenzamos a abordar la desigualdad en sí.
Simplifiquemos todo lo posible para que sea más fácil de resolver.
Vuelva a aplicar el método de espaciado en la solución. Omitamos los cálculos, con él todo está claro del ejemplo anterior. Responder.
Pero este método es adecuado si la desigualdad logarítmica tiene la misma base.
La solución de ecuaciones logarítmicas y desigualdades con diferentes bases implica la reducción inicial a una base. Luego siga el método anterior. Pero también hay un caso más complicado. Considere uno de los tipos más difíciles de desigualdades logarítmicas.
Desigualdades logarítmicas de base variable
¿Cómo resolver desigualdades con tales características? Sí, y eso se puede encontrar en el examen. Resolver las desigualdades de la siguiente manera también será beneficioso para su proceso educativo. Entenderemos el problema en detalle. Descartemos la teoría, vayamos directo a la práctica. Para resolver desigualdades logarítmicas, basta con leer el ejemplo una vez.
Para resolver la desigualdad logarítmica de la forma presentada, es necesario reducir el lado derecho al logaritmo con la misma base. El principio se asemeja a transiciones equivalentes. Como resultado, la desigualdad se verá así.
En realidad, queda por crear un sistema de desigualdades sin logaritmos. Usando el método de racionalización, pasamos a un sistema equivalente de desigualdades. Comprenderá la regla en sí misma cuando sustituya los valores correspondientes y realice un seguimiento de sus cambios. El sistema tendrá las siguientes desigualdades.
Usando el método de racionalización al resolver desigualdades, debe recordar lo siguiente: es necesario restar uno de la base, x, por la definición del logaritmo, se resta de ambos lados de la desigualdad (derecha de izquierda), dos expresiones se multiplican y se colocan bajo el signo original con respecto a cero.
La solución adicional se lleva a cabo mediante el método de intervalos, aquí todo es simple. Es importante que comprenda las diferencias en los métodos de solución, entonces todo comenzará a funcionar fácilmente.
Hay muchos matices en las desigualdades logarítmicas. Los más simples son bastante fáciles de resolver. ¿Cómo asegurarte de que puedes resolver cada uno de ellos sin problemas? Ya ha recibido todas las respuestas en este artículo. Ahora tienes una larga práctica por delante. Practique constantemente para resolver una variedad de problemas dentro del examen y podrá obtener la puntuación más alta. ¡Buena suerte en tu difícil negocio!
Entre toda la variedad de desigualdades logarítmicas, las desigualdades con base variable se estudian por separado. Se resuelven mediante una fórmula especial, que por alguna razón rara vez se dice en la escuela:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0
En lugar de la casilla de verificación "∨", puede poner cualquier signo de desigualdad: más o menos. Lo principal es que en ambas desigualdades los signos son los mismos.
Entonces nos deshacemos de los logaritmos y reducimos el problema a la desigualdad racional. Este último es mucho más fácil de resolver, pero cuando se descartan los logaritmos, pueden aparecer raíces adicionales. Para cortarlos, basta con encontrar el rango de valores aceptables. Si ha olvidado el ODZ del logaritmo, le recomiendo encarecidamente que lo repita; consulte "Qué es un logaritmo".
Todo lo relacionado con el rango de valores permitidos debe escribirse y resolverse por separado:
f (x)\u003e 0; g (x)\u003e 0; k (x)\u003e 0; k (x) ≠ 1.
Estas cuatro desigualdades constituyen un sistema y deben cumplirse simultáneamente. Cuando se encuentra el rango de valores aceptables, queda cruzarlo con la solución de la desigualdad racional, y la respuesta está lista.
Tarea. Resuelve la desigualdad:
Primero, escribamos el ODZ del logaritmo:
Las dos primeras desigualdades se cumplen de forma automática, y habrá que describir la última. Dado que el cuadrado de un número es cero si y solo si el número en sí es cero, tenemos:
x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Resulta que la ODZ del logaritmo son todos los números excepto cero: x ∈ (−∞ 0) ∪ (0; + ∞). Ahora resolvemos la principal desigualdad:
Realizamos la transición de una desigualdad logarítmica a una racional. En la desigualdad original hay un signo "menos", lo que significa que la desigualdad resultante también debe estar con un signo "menos". Tenemos:
(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) x 2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.
Los ceros de esta expresión: x \u003d 3; x \u003d −3; x \u003d 0. Además, x \u003d 0 es una raíz de la segunda multiplicidad, lo que significa que al pasar por ella, el signo de la función no cambia. Tenemos:
Obtenemos x ∈ (−∞ −3) ∪ (3; + ∞). Este conjunto está completamente contenido en la ODZ del logaritmo, lo que significa que esta es la respuesta.
Transformar desigualdades logarítmicas
A menudo, la desigualdad original difiere de la anterior. Es fácil solucionar este problema mediante las reglas estándar para trabajar con logaritmos; consulte "Propiedades básicas de los logaritmos". A saber:
- Cualquier número puede representarse como un logaritmo con una base determinada;
- La suma y diferencia de logaritmos con las mismas bases se pueden reemplazar con un logaritmo.
También me gustaría recordarles el rango de valores válidos. Dado que la desigualdad original puede contener varios logaritmos, es necesario encontrar el ODV para cada uno de ellos. Por tanto, el esquema general para resolver desigualdades logarítmicas es el siguiente:
- Encuentre el ODV de cada logaritmo incluido en la desigualdad;
- Reducir la desigualdad a la estándar según las fórmulas de suma y resta de logaritmos;
- Resuelva la desigualdad resultante de acuerdo con el esquema anterior.
Tarea. Resuelve la desigualdad:
Encontremos el dominio de definición (ODV) del primer logaritmo:
Resolvemos por el método de intervalos. Encuentra los ceros del numerador:
3x - 2 \u003d 0;
x \u003d 2/3.
Luego los ceros del denominador:
x - 1 \u003d 0;
x \u003d 1.
Marcamos los ceros y signos en la flecha de coordenadas:
Obtenemos x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). El segundo logaritmo de ODV será el mismo. No lo crea, puede comprobarlo. Ahora transformamos el segundo logaritmo para que haya un dos en la base:
Como puede ver, los tripletes en la base y delante del logaritmo se han contraído. Recibió dos logaritmos con la misma base. Los agregamos:
log 2 (x - 1) 2< 2;
log 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .
Recibió la desigualdad logarítmica estándar. Deshacerse de los logaritmos usando la fórmula. Dado que la desigualdad original contiene un signo menor que, la expresión racional resultante también debe ser menor que cero. Tenemos:
(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Tenemos dos juegos:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
- Respuesta del candidato: x ∈ (−1; 3).
Queda por cruzar estos conjuntos, obtenemos la respuesta real:
Estamos interesados \u200b\u200ben la intersección de conjuntos, por lo que seleccionamos los intervalos rellenados en ambas flechas. Obtenemos x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - todos los puntos están perforados.
A menudo, al resolver desigualdades logarítmicas, se encuentran problemas con una base variable del logaritmo. Entonces, una desigualdad de la forma
es una desigualdad escolar estándar. Como regla general, para resolverlo, se aplica una transición a un conjunto equivalente de sistemas:
La desventaja de este método es la necesidad de resolver siete desigualdades, sin contar dos sistemas y un conjunto. Ya con determinadas funciones cuadráticas, resolver un conjunto puede llevar mucho tiempo.
Se puede proponer una forma alternativa, menos laboriosa, de resolver esta desigualdad estándar. Para ello tenemos en cuenta el siguiente teorema.
Teorema 1. Sea una función creciente continua en el conjunto X. Entonces en este conjunto el signo del incremento de la función coincidirá con el signo del incremento del argumento, es decir, dónde 
.
Nota: si una función decreciente continua en el conjunto X, entonces.
Volvamos a la desigualdad. Vayamos al logaritmo decimal (puedes ir a cualquiera con una base constante mayor que uno).
Ahora puedes usar el teorema, anotando en el numerador el incremento de las funciones 
y en el denominador. Entonces es verdad
Como resultado, el número de cálculos que conducen a la respuesta se reduce aproximadamente a la mitad, lo que no solo ahorra tiempo, sino que también le permite potencialmente cometer menos errores aritméticos y de "descuido".
Ejemplo 1.
Comparando con (1) encontramos 
, 
, .
Pasando a (2) tendremos:
Ejemplo 2.
Comparando con (1) encontramos ,,.
Pasando a (2) tendremos:
Ejemplo 3.
Dado que el lado izquierdo de la desigualdad es una función creciente para y 
, entonces se establece la respuesta.
El conjunto de ejemplos en los que se puede aplicar el Teorema 1 se puede ampliar fácilmente si se tiene en cuenta el Teorema 2.
Deja en el set X funciones ,,, y en este conjunto los signos y coinciden, es decir , entonces será justo.
Ejemplo 4.
Ejemplo 5.
Con el enfoque estándar, el ejemplo se resuelve de acuerdo con el esquema: el producto es menor que cero, cuando los factores son de signos opuestos. Aquellos. Se considera el conjunto de dos sistemas de desigualdades, en el que, como se indicó al principio, cada desigualdad se divide en siete más.
Si tenemos en cuenta el Teorema 2, entonces cada uno de los factores, teniendo en cuenta (2), puede ser reemplazado por otra función que tenga el mismo signo en este ejemplo O.D.Z.
El método de sustituir el incremento de una función por un incremento del argumento, teniendo en cuenta el Teorema 2, resulta muy conveniente a la hora de resolver los problemas típicos C3 del examen.
Ejemplo 6.
Ejemplo 7.
... Denotemos. Obtenemos
... Tenga en cuenta que el reemplazo implica :. Volviendo a la ecuación, obtenemos
.
Ejemplo 8.
En los teoremas que usamos, no hay restricción sobre las clases de funciones. En este artículo, por ejemplo, los teoremas se han aplicado a la solución de desigualdades logarítmicas. Los siguientes ejemplos demostrarán la promesa del método para resolver otros tipos de desigualdades.