Desarrollo metódico en álgebra (Grado 10) sobre el tema: Ecuaciones de los grados más altos. Ecuaciones de grados superiores

En general, la ecuación que tiene un grado superior a 4 no se puede resolver en radicales. Pero a veces todavía podemos encontrar las raíces del polinomio de pie a la izquierda en la ecuación del grado más alto, si la presentamos en forma de un producto de polinomios hasta un grado de no más del 4º. La solución de tales ecuaciones se basa en la descomposición de los polinomios a los multiplicadores, por lo que le recomendamos que repita este tema antes de aprender este artículo.

La mayoría de las veces tiene que lidiar con las ecuaciones de títulos más altos con los coeficientes enteros. En estos casos, podemos tratar de encontrar raíces racionales, y luego descomponer un polinomio a los multiplicadores para convertirlo en una ecuación de grado inferior que simplemente decidirá. Como parte de este material, consideraremos solo tales ejemplos.

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Ecuaciones del más alto grado con coeficientes enteros.

Todas las ecuaciones que tienen una forma A N x N + A N - 1 x N - 1 +. . . + A 1 x + A 0 \u003d 0, podemos conducir a la ecuación de la misma medida usando la multiplicación de ambas partes por un n n n - 1 y reemplazando la variable del formulario y \u003d a n x:

a N x N + A N - 1 x N - 1 +. . . + A 1 x + A 0 \u003d 0 Ann · xn + an - 1 · ann - 1 · xn - 1 + ... + a 1 · (an) n - 1 · x + a 0 · (an) n - 1 \u003d 0 y \u003d ans ⇒ yn + bn - 1 yn - 1 + ... + b 1 y + b 0 \u003d 0

Aquellos coeficientes que resultaron al final también serán enteros. Por lo tanto, tendremos que resolver la ecuación dada de N-noere con los coeficientes enteros que tienen una forma x n + a n x n - 1 + ... + A 1 x + A 0 \u003d 0.

Calcula las raíces enteras de la ecuación. Si la ecuación tiene raíces enteras, debe buscarlas entre los divisores de un término libre A 0. Los escribimos y lo sustituiremos en la igualdad inicial a su vez, revisando el resultado. Tan pronto como recibamos la identidad y encontramos una de las raíces de la ecuación, podemos escribirla en la forma x - x 1 · p n - 1 (x) \u003d 0. Aquí X 1 es la raíz de la ecuación, y P N - 1 (X) es un privado de dividir X N + A N X N - 1 + ... + A 1 x + A 0 a x - x 1.

Sustituamos los divisores descargados restantes en P N - 1 (X) \u003d 0, comenzando con X 1, ya que las raíces se pueden repetir. Después de recibir la identidad, se considera que la raíz x 2 se considera que la ecuación se puede escribir en el formulario (x - x 1) (x - x 2) · pn - 2 (x) \u003d 0. El PN - 2 (x) será privado de la División P N - 1 (X) a X - X 2.

Seguimos pasando por los divisores. Encontramos todas las raíces enteras y denotamos su número como m. Después de eso, la ecuación inicial se puede representar como x - x 1 x - x 2 · ... · x - x m · p n - m (x) \u003d 0. Aquí, P N - M (X) es un grado N - m polinomio. Para el cálculo, es conveniente usar el esquema de Horner.

Si nuestra ecuación inicial tiene coeficientes completos, no podemos dar lugar a raíces fraccionadas.

Finalmente, obtuvimos la ecuación P N - M (X) \u003d 0, cuyas raíces se pueden encontrar de cualquier manera conveniente. Pueden ser irracionales o complejos.

Permítanos mostrar un ejemplo específico, como se aplica un esquema de solución.

Ejemplo 1.

Condición: Encuentre la solución de la ecuación x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d 0.

Decisión

Empecemos con los hallazgos de todas las raíces.

Tenemos un miembro libre igual a menos tres. Tiene divisores igual a 1, - 1, 3 y - 3. Sustituya a la ecuación original y veamos cuáles de ellos se les dará las identidades.

Para X, igual a uno, obtenemos 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 \u003d 0, significa que la unidad será la raíz de esta ecuación.

Ahora realizaremos las divisiones del polinomio x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 en (x - 1) en la columna:

Entonces, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 \u003d 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · - 1 + 3 \u003d 0

Tuvimos una identidad, significa que encontramos otra raíz de la ecuación igual a 1.

Dividimos el polinomio X 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 en (x + 1) en la columna:

Conseguimos eso

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) \u003d \u003d (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Sustituimos el siguiente divisor en la igualdad x 2 + x + 3 \u003d 0, comenzando desde - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

La igualdad obtenida al final será incorrecta, significa que la ecuación ya no tiene las raíces enteras.

Las raíces restantes serán las raíces de la expresión x 2 + x + 3.

D \u003d 1 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 11< 0

De esto se deduce de esto que esta cuadrada tres decletas no hay raíces válidas, pero hay conjugado exhaustivamente: X \u003d - 1 2 ± I 11 2.

Especificaremos que, en lugar de dividir en la columna, puede usar el esquema GUNNER. Esto se hace así: después de haber identificado la primera raíz de la ecuación, rellene la tabla.

En la tabla de coeficientes, podemos ver inmediatamente los coeficientes del individuo de dividir los polinomios, significa que x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

Después de encontrar la siguiente raíz, igual a - 1, obtenemos lo siguiente:

Respuesta: x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d - 1 2 ± I 11 2.

Ejemplo 2.

Condición: Decidir la ecuación x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 \u003d 0.

Decisión

Un miembro gratuito tiene divisores 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.

Revísalos en orden:

1 4 - 1 3 - 5 · 1 2 + 12 \u003d 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 · (- 1) 2 + 12 \u003d 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 - 5 · 2 2 + 12 \u003d 0

Entonces, X \u003d 2 será la raíz de la ecuación. Splitamos x 4 a x 3 - 5 x 2 + 12 en X - 2, utilizando el esquema de Gunner:

Como resultado, obtenemos X - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) \u003d 0.

2 3 + 2 2 - 3 · 2 - 6 \u003d 0

Entonces, 2 será la raíz de nuevo. Splitamos x 3 + x 2 - 3 x - 6 \u003d 0 a x - 2:

Como resultado, obtenemos (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) \u003d 0.

Verificar que los divisores restantes no tienen sentido, ya que la igualdad x 2 + 3 x + 3 \u003d 0 es más rápida y más conveniente para resolver con la ayuda de discriminante.

Spest Square Ecuación:

x 2 + 3 x + 3 \u003d 0 d \u003d 3 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 3< 0

Obtenemos un par de raíces conjugadas integremente: X \u003d - 3 2 ± I 3 2.

Respuesta: X \u003d - 3 2 ± I 3 2.

Ejemplo 3.

Condición: Encuentre la ecuación x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 \u003d 0 raíces válidas.

Decisión

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 \u003d 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 \u003d 0

Realizamos un registro de 2 3 de ambas partes de la ecuación:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 \u003d 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 \u003d 0

Reemplazamos las variables y \u003d 2 x:

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 \u003d 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 \u003d 0

Como resultado, tuvimos una ecuación estándar 4º, que se puede resolver de acuerdo con el esquema estándar. Revisamos los divisores, dividimos y obtenemos como resultado que tiene 2 raíces válidas y \u003d - 2, y \u003d 3 y dos complejos. La decisión enteramente aquí no llevaremos. En virtud del reemplazo con las raíces válidas de esta ecuación, x \u003d y 2 \u003d - y 2 2 \u003d - 1 y x \u003d y 2 \u003d 3 2 será x \u003d 3 2.

Respuesta: x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3 2

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Objetivos básicos:

Asegure el concepto de una ecuación completa.
Formular métodos básicos para resolver las ecuaciones de grados superiores (n > 3).
Para entrenar los métodos básicos para resolver las ecuaciones de los grados más altos.
Toque la vista de la ecuación para determinar la forma más efectiva de resolverlo.

Formas, métodos y técnicas pedagógicas que son utilizadas por el profesor en la lección:

Un sistema de capacitación en seminario de lectura (conferencias, una explicación de un nuevo material, seminarios - resolver problemas).
Tecnologías de la información y la comunicación (encuesta frontal, trabajo oral con la clase).
Aprendizaje diferenciado, grupo e formularios individuales.
El uso de un método de investigación en la capacitación dirigida al desarrollo del aparato matemático y las habilidades mentales de cada estudiante en particular.
El material de impresión es un resumen corta individual de la lección (conceptos básicos, fórmulas, aprobación, el material de las conferencias se comprime como esquemas o tablas).

Plan de estudios:

Tiempo de organización.
Propósito de la etapa: incluir a los estudiantes en actividades de aprendizaje, determinar el significado de la lección.
Actualización del conocimiento de los estudiantes.
Propósito del escenario: actualizar el conocimiento de los estudiantes sobre los temas relacionados anteriormente.
Estudiando un nuevo tema (conferencia). Propósito de la etapa: formular los métodos básicos para resolver las ecuaciones de grados superiores (n > 3)
Resumiendo.
Propósito del escenario: resalta una vez más los puntos clave en el material estudiado en la lección.
Tarea.
Propósito del escenario: formular la tarea para los estudiantes.

Lección abstracta

1. momento organizacional.

Formulación del tema de la lección: "ecuaciones de los más altos grados. Métodos de resolverlos.

2. Actualización del conocimiento de los estudiantes.

Encuesta teórica - conversación. Repita parte de la información estudiada previamente de la teoría. Los estudiantes formulan definiciones básicas y dan la formulación de los teoremas necesarios. Las muestras se dan demostrando el nivel de conocimiento previamente obtenido.

El concepto de una ecuación con una variable.
El concepto de la raíz de la ecuación, resolviendo la ecuación.
El concepto de una ecuación lineal con una variable, el concepto de una ecuación cuadrada con una variable.
El concepto de equivalencia de ecuaciones, ecuaciones de la investigación (el concepto de raíces extranjeras), la transición no es una consecuencia (caso de pérdida de raíces).
El concepto de toda una expresión racional con una variable.
El concepto de toda una ecuación racional. NORTE.- Incluso. Forma estándar de toda una ecuación racional. La ecuación racional de enteros reducidos.
La transición al agregado de las ecuaciones de grados más bajos al descomponer la ecuación inicial para los multiplicadores.
El concepto de polinomio. nORTE.- Grado de x.. Teorema corta. Corolario del teorema de la Mant. Teoremas de la raíz ( Z.-Korni I. P.-Morny) Equación racional total con coeficientes enteros (respectivamente dados y no pagados).
Esquema de Gorner.

3. Estudiando un nuevo tema.

Consideraremos toda una ecuación racional. nORTE.- Grado de vista estándar de una variable desconocida x: p n (x) \u003d 0, donde P N (X) \u003d A N x N + A N-1 X N-1 + A 1 X + A 0 - polinomio nORTE.- Grado de x., uNA. N ≠ 0. Si un uNA. n \u003d 1 Esta ecuación se llama la ecuación racional resultante. nORTE.- Incluso. Considerar las ecuaciones tales a diferentes valores. nORTE. y enumere los métodos básicos de su solución.

nORTE. \u003d 1 - Ecuación lineal.

nORTE. \u003d 2 - ecuación cuadrada. Fórmula discriminante. Fórmula para calcular las raíces. Vietá teorema. Selección de un cuadrado completo.

nORTE. \u003d 3 - ecuación cúbica.

Método de agrupación.

Ejemplo: x 3 - 4x 2 - x+ 4 \u003d 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 x. 1 = 4 , x 2 = 1, X. 3 = -1.

Devuelve la ecuación cúbica de la vista. hACHA. 3 + bx. 2 + bx. + uNA. \u003d 0. Decidimos, combinando a los miembros con los mismos coeficientes.

Ejemplo: x. 3 – 5x. 2 – 5x. + 1 = 0 (x. + 1)(x. 2 – 6x. + 1) = 0 x. 1 = -1, x. 2 = 3 + 2, x. 3 = 3 – 2.

Selección de z-raíces sobre la base del teorema. Esquema de Gorner. Al aplicar este método, es necesario hacer énfasis en el hecho de que la fuerza bruta en este caso es la final, y seleccionamos las raíces de acuerdo con un algoritmo específico de acuerdo con el teorema en Z.-Corces de una ecuación racional completa con coeficientes enteros.

Ejemplo: X. 3 – 9x. 2 + 23x.- 15 \u003d 0. Se da la ecuación. Beber a los divisores de miembros libres ( + 1; + 3; + 5; + quince). Aplicar el esquema de artillero:

	x. 3	x. 2	x. 1	x. 0	producción
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 - 9 \u003d -8	1 x (-8) + 23 \u003d 15	1 x 15 - 15 \u003d 0	1 - raíz
	x. 2	x. 1	x. 0

Obtenemos ( x. – 1)(x. 2 – 8x. + 15) = 0 x. 1 = 1, x. 2 = 3, x. 3 = 5.

Ecuación con coeficientes enteros. Selección de q-raíces sobre la base del teorema. Esquema de Gorner. Al aplicar este método, es necesario hacer énfasis en el hecho de que, en este caso, la final y las raíces seleccionamos en un algoritmo específico de acuerdo con el teorema en P.-Las costas no son una ecuación racional entera con los coeficientes enteros.

Ejemplo: 9. x. 3 + 27x. 2 – x. - 3 \u003d 0. La ecuación no es una soltera. Beber a los divisores de miembros libres ( + 1; + 3). Bebe los divideradores de coeficientes con el mayor grado de desconocido. ( + 1; + 3; + 9) En consecuencia, las raíces buscarán entre los valores ( + 1; + ; + ; + 3). Aplicar el esquema de artillero:

	x. 3	x. 2	x. 1	x. 0	producción
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 \u003d 36	1 x 36 - 1 \u003d 35	1 x 35 - 3 \u003d 32 ≠ 0	1 - no root
-1	9	-1 x 9 + 27 \u003d 18	-1 x 18 - 1 \u003d -19	-1 x (-19) - 3 \u003d 16 ≠ 0	-1 - no root
	9	x 9 + 27 \u003d 30	x 30 - 1 \u003d 9	x 9 - 3 \u003d 0	raíz
	x. 2	x. 1	x. 0

Obtenemos ( x. – )(9x. 2 + 30x. + 9) = 0 x. 1 = , x. 2 = - , x. 3 = -3.

Por conveniencia contando al seleccionar q -Tny Puede ser conveniente reemplazar la variable, vaya a la ecuación dada y seleccione Z Korni..

Si el miembro libre es 1

.

Si puede usar el reemplazo del tipo. y \u003d kx.

.

Fórmula Cardano. Hay un método universal para resolver ecuaciones cúbicas: esta es una fórmula de Cardano. Esta fórmula se asocia con los nombres de los matemáticos italianos Jerolamo Cardano (1501-1576), Nikolo Tartalia (1500-1557), SciPion del Ferro (1465-1526). Esta fórmula se encuentra más allá de nuestro curso.

nORTE. \u003d 4 - La ecuación del cuarto grado.

Método de agrupación.

Ejemplo: X. 4 + 2x. 3 + 5x. 2 + 4x. – 12 = 0 (x. 4 + 2x. 3) + (5x. 2 + 10x.) – (6x. + 12) = 0 (x. + 2)(x. 3 + 5x - 6) = 0 (x. + 2)(x.– 1)(x. 2 + x. + 6) = 0 x. 1 = -2, x. 2 = 1.

Método de la variable de reemplazo.

Ecuación de la biqueta de tipo hACHA. 4 + bx. 2 + S. = 0 .

Ejemplo: x. 4 + 5x. 2 - 36 \u003d 0. Reemplazo y = x. 2. De aquí y 1 = 4, y 2 \u003d -9. por lo tanto x. 1,2 = + 2 .

Ecuación retornal del cuarto grado de tipo. hACHA. 4 + Bx. 3 + C. x. 2 + bx. + uNA. = 0.

Decidimos, combinamos miembros con los mismos coeficientes al reemplazar el tipo

hACHA. 4 + bx. 3 + cx. 2 – bx. + uNA. = 0.

Generalizada la ecuación de retorno de la vista del cuarto grado. hACHA. 4 + bx. 3 + cx. 2 + kbx + k 2.a \u003d 0..

Reemplazo de lo común. Algunos reemplazos estándar.

Ejemplo 3. . Reemplazo del tipo común (Sigue de la especie de una ecuación específica).

nORTE. = 3.

Ecuación con coeficientes enteros. Selección de Q-Roots nORTE. = 3.

Formula general. Hay una solución universal a las ecuaciones de cuarto grado. Esta fórmula está asociada con el nombre de Louis Ferrari (1522-1565). Esta fórmula se encuentra más allá de nuestro curso.

nORTE. > 5 - Ecuaciones de grados quinto y superior.

Ecuación con coeficientes enteros. Selección de z-raíces sobre la base del teorema. Esquema de Gorner. El algoritmo es similar a lo anterior para nORTE. = 3.

Ecuación con coeficientes enteros. Selección de Q-Roots Basado en el teorema. Esquema de Gorner. El algoritmo es similar a lo anterior para nORTE. = 3.

Ecuaciones simétricas. Cualquier ecuación de retorno de un grado impar tiene una raíz x. \u003d -1 y después de descomponerlo a los multiplicadores, tenemos que una cosa tiene el formulario ( x. + 1), y la segunda fábrica es una ecuación de devolución incluso de grado (su grado por unidad es menor que el grado de ecuación de origen). Cualquier ecuación de retorno de un grado unido junto con la raíz de la especie. x \u003d φ. Contiene la raíz del formulario. Usando estas afirmaciones, resolvemos el problema, bajando el grado de ecuación investigada.

Método de la variable de reemplazo. Uso de homogeneidad.

No hay fórmula general para resolver ecuaciones completas del quinto grado (fue mostrado por el matemático italiano Paolo Ruffhini (1765-1822) y el matemático noruego de Niels Henrik Abel (1802-1829)) y más altos grados (esto mostró a los matemáticos franceses evaristres Galua (1811-1832)).

Recordemos una vez más que en la práctica es posible usar combinaciones Listado de métodos anteriores. Es conveniente pasar a las ecuaciones agregadas de títulos más bajos por descomposición de la ecuación inicial para multiplicadores..
Más allá de nuestra discusión de hoy siguió siendo ampliamente utilizada en la práctica. métodos gráficos Soluciones de ecuaciones I. métodos de solución aproximada. Ecuaciones de grados más altos.

Hay situaciones en las que la ecuación tiene r-raíces.

Utilice las propiedades de la monotonía de las funciones.

4. Summando.

Resumen: Ahora hemos dominado los principales métodos para resolver diversas ecuaciones de títulos más altos (para N > 3). Nuestra tarea es aprender a usar efectivamente los algoritmos enumerados anteriormente. Dependiendo de la vista de la ecuación, deberemos aprender a determinar qué método de resolución en este caso es el método más eficiente, así como el método aplicado correctamente.

5. Tarea.

: P.7, p. 164-174, №№ 33-36, 39-44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Posibles temas de informes o resúmenes sobre este tema:

Fórmula cardano
Solución gráfica resolviendo ecuaciones. Ejemplos de soluciones.
Métodos de soluciones aproximadas de ecuaciones.

Análisis de la asimilación del material y el interés de los estudiantes al tema:

La experiencia muestra que el interés de los estudiantes causa principalmente la posibilidad de selección. Z.-Morny I. P.-Comny ecuaciones con un algoritmo bastante simple usando un esquema de montaña. Además, los estudiantes están interesados \u200b\u200ben varios tipos estándar de variables, lo que permite simplificar significativamente el tipo de tarea. De particular interés generalmente causa métodos gráficos de solución. En este caso, también puede desmontar las tareas en el método gráfico de resolver ecuaciones; Discuta una vista general del gráfico para un polinomio 3, 4, 5 grados; Analizar como el número de raíces de las ecuaciones 3, 4, 5 grados con una vista del calendario correspondiente. A continuación se muestra una lista de libros en los que puede encontrar información adicional sobre este tema.

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Introducción

La solución de las ecuaciones algebraicas de los más altos grados con una desconocida es una de las tareas matemáticas más difíciles y más antiguas. Estos desafíos estaban comprometidos en los matemáticos más destacados de la antigüedad.

La solución de las ecuaciones n-essal es una tarea importante para las matemáticas modernas. El interés en ellos es bastante grande, ya que estas ecuaciones están estrechamente relacionadas con la búsqueda de las raíces de las ecuaciones que no son consideradas por el programa escolar en matemáticas.

Problema: La falta de habilidades para resolver las ecuaciones de títulos más altos en varias formas de que los estudiantes les impide prepararse con éxito para la certificación final de las matemáticas y las olimpiadas matemáticas, la capacitación en la clase matemática del perfil.

Datos incluidos identificados relevancia Nuestro trabajo "solución de las ecuaciones de grados superiores".

La posesión de las formas más simples de resolver las ecuaciones de N-Thread reduce el tiempo para realizar la tarea, en la que depende el resultado del trabajo y la calidad del proceso de aprendizaje.

Propósito del trabajo: El estudio de los métodos conocidos para resolver las ecuaciones de los grados más altos e identificar los más asequibles para la aplicación práctica.

Basado en la meta, lo siguiente. tareas:

Explore la literatura y los recursos de Internet sobre este tema;

Familiarizarse con los hechos históricos relacionados con este tema;

Describe varias formas de resolver los más altos grados.

comparar el grado de complejidad de cada uno de ellos;

Introducir compañeros de clase con los métodos de resolución de las ecuaciones de los más altos grados;

Cree una selección de ecuaciones para la aplicación práctica de cada uno de los métodos considerados.

Objeto de estudio - Ecuaciones de los más altos grados con una variable.

Tema de estudio - Métodos para resolver las ecuaciones de los más altos grados.

Hipótesis:un método común y un solo algoritmo, que permite un número finito de pasos para encontrar soluciones de las ecuaciones N-essal, no existe.

Métodos de búsqueda:

- Método bibliográfico (análisis de la literatura sobre el tema de la investigación);

- Método de clasificación;

- El método de análisis de alta calidad.

Importancia teóricala investigación es la sistematización de cómo resolver las ecuaciones de títulos más altos y la descripción de sus algoritmos.

Significado práctico - Material presentado sobre este tema y el desarrollo de la ayuda educativa para los estudiantes sobre este tema.

1. Eurode de grados superiores.

1.1 El concepto de la ecuación N-esencial.

Definición 1.La ecuación N-ES se llama la ecuación de la forma.

uNA. 0 xⁿ + A. 1 x.nORTE. -1 + A. 2 xⁿ. - ² + ... + anORTE. -1 x + A.n \u003d 0, donde los coeficientes uNA. 0, uNA. 1, uNA. 2…, uNA.nORTE. -1, uNA.n- cualquier número real, y , A. 0 ≠ 0 .

Polinomio uNA. 0 xⁿ + A. 1 x.nORTE. -1 + A. 2 xⁿ. - ² + ... + anORTE. -1 x + A.n se llama un grado de N-th Polynomial. Los coeficientes se distinguen por los nombres: uNA. 0 - coeficiente mayor; uNA.miembro sin N.

Definición 2. Soluciones o raíces para esta ecuación. son todos valores variables h.que agregue esta ecuación a la igualdad numérica derecha o en la cual el polinomio uNA. 0 xⁿ + A. 1 x.nORTE. -1 + A. 2 xⁿ. - ² + ... + anORTE. -1 x + A.n apela a cero. Dicho valor de la variable h.también llaman la raíz del polinomio. Resuelve la ecuación: significa encontrar todas sus raíces o establecer que no lo son.

Si un uNA. 0 \u003d 1, entonces tal ecuación se llama la ecuación racional reducida n -y la licenciatura.

Para las ecuaciones tercera y cuarta, las fórmulas Cardano y Ferrari existen expresando las raíces de estas ecuaciones a través de los radicales. Resultó que en la práctica rara vez disfrutan. Por lo tanto, si n ≥ 3, y los coeficientes de los números válidos de polinómicos, entonces, la búsqueda de las raíces de la ecuación no es la tarea fácil. Sin embargo, en muchos casos especiales, esta tarea se resuelve hasta el final. Vamos a morir en algunos de ellos.

1.2 Hechos históricos para resolver ecuaciones de títulos más altos.

Ya en la antigüedad, las personas se dieron cuenta de lo importante que aprenden a resolver las ecuaciones algebraicas. Hace unos 4,000 años, los científicos babilónicos poseían la solución de la ecuación cuadrada y resolvieron los sistemas de dos ecuaciones, de los cuales uno, el segundo grado. Con la ayuda de las ecuaciones de los más altos grados, se resolvieron una variedad de tareas de fianzas, arquitectura y asuntos militares, muchos y diversos temas de práctica y ciencias naturales se redujeron a ellos, ya que el lenguaje exacto de las matemáticas le permite expresar simplemente Los hechos y las relaciones que, al ser descritos por el lenguaje habitual, pueden parecer confusos y complejos.

Fórmula universal para encontrar las raíces de una ecuación algebraica. no h No graduado. Muchos, por supuesto, se les ocurrió al jefe de la idea de encontrar de cualquier grado n de fórmulas que expresarían las raíces de la ecuación a través de sus coeficientes, es decir, la ecuación en los radicales resolvería.

Solo en el siglo XVI, los matemáticos italianos lograron avanzar aún más, para encontrar fórmulas para n \u003d 3 y n \u003d 4. Al mismo tiempo, una pregunta sobre la solución general de las ecuaciones de 3er grados se involucró en Scypion, Dahp, Farro y Sus discípulos de Fiori y Tartalia.

En 1545, se publicó el libro de Matemáticas italianas D. Kardano "Gran arte, o en las Reglas de Álgebra", donde, junto con otros temas, Álgebra considera que las formas generales de resolver ecuaciones cúbicas, así como un método para resolver el 4º GRADO ECUACIONES, ABIERTE POR SU ESTUDIANTE L. FERRARI.

La declaración completa de temas relacionados con la solución de las ecuaciones de los grados 3er y 4, dio F. Viet.

En los años 20 del siglo XIX, los matemáticos noruegos N. Abel demostraron que las raíces de las ecuaciones de quinto grado no se pueden expresar a través de los radicales.

En el curso del estudio, se reveló que la ciencia moderna conoce muchas formas de resolver las ecuaciones n esenciales.

El resultado de la búsqueda de métodos para resolver las ecuaciones de títulos más altos, lo que es deficiente para resolver los métodos considerados en el programa escolar, fueron métodos basados \u200b\u200ben el uso del teorema de Vieta (para las ecuaciones de grado n\u003e 2.), los teoremas son sin barro, el esquema de Gorner, así como la fórmula Cardano y Ferrari para resolver ecuaciones cúbicas y las ecuaciones del cuarto grado.

El documento presenta los métodos de resolución de ecuaciones y sus especies que nos han convertido en un descubrimiento para nosotros. Estos incluyen: el método de los coeficientes indefinidos, la asignación de un grado completo, ecuaciones simétricas.

2. La solución de ecuaciones enteras de títulos más altos con coeficientes enteros.

2.1 Solución de ecuaciones del 3er grado. Fórmula D. Kartano

Considerar las ecuaciones de la vista x. 3 + px + q \u003d 0.Transformamos la ecuación de la forma general a la mente: x. 3 + px. 2 + Qx + r \u003d 0. Escribimos la fórmula de la cantidad de Cuba; Mezclar con la igualdad inicial y reemplazar y. Obtenemos la ecuación: y 3 + (Q -) (Y -) + (R - \u003d 0. Después de las transformaciones, tenemos: y 2 + PY + Q \u003d 0. Ahora, volveremos a escribir la fórmula de la cantidad de Cuba nuevamente:

(a + B.) 3 \u003d A. 3 + 3a 2 b + 3AB 2 + B. 3 \u003d A. 3 + B. 3 + 3AB (A + B), Reemplazar ( a + B.)sobre el x., Obtengo la ecuación x. 3 - 3ABX - (A 3 + B. 3) = 0. Ahora está claro que la ecuación inicial es equivalente al sistema: y resolvemos el sistema, obtenemos:

Obtuvimos una fórmula para resolver la ecuación anterior del tercer grado. Ella lleva el nombre de las matemáticas italianas Kardano.

Considere un ejemplo. Resolver la ecuación :.

Tengo r \u003d 15 I. p. \u003d 124, luego usando la fórmula Cardano para calcular la raíz de la ecuación

Conclusión: esta fórmula es buena, pero no es adecuada para resolver todas las ecuaciones cúbicas. Sin embargo, ella es engorrosa. Por lo tanto, en la práctica, rara vez se usa.

Pero el que dominará esta fórmula puede usarla cuando se resuelva las ecuaciones de tercer grado sobre el uso.

2.2 Vietá teorema

Desde el curso de las matemáticas, conocemos este teorema para la ecuación cuadrada, pero pocas personas saben que se usa para resolver las ecuaciones de los más altos grados.

Considere la ecuación:

descomponemos la parte izquierda de la ecuación de la fábrica, dividimos en ≠ 0.

El lado derecho de la ecuación está convirtiendo a la mente.

; Desde aquí es necesario anotar lo siguiente igual al sistema:

Las fórmulas derivadas por el velo para las ecuaciones cuadradas y demostradas por nosotros para las ecuaciones del 3er grado, son ciertas para los polinomios de los grados más altos.

Deja la ecuación cúbica:

Conclusión: Este método es universal y lo suficientemente fácil para comprender a los estudiantes, ya que el Vieta Teorem está familiarizado con el programa escolar para n = 2. Juntos, para encontrar las raíces de las ecuaciones utilizando este teorema, debe tener buenas habilidades de computación.

2.3 teorema bezu

Este teorema, nombrado por las matemáticas francesas del siglo XVIII, Zh. Polilla.

Teorema.Si la ecuación uNA. 0 xⁿ + A. 1 x.nORTE. -1 + A. 2 xⁿ. - ² + ... + anORTE. -1 x + A.n \u003d 0, en el que todos los coeficientes son enteros, y el miembro libre es diferente de cero, tiene una raíz completa, entonces esta raíz es un divisor de miembros gratuito.

Dado que en la parte izquierda de la ecuación de grado n-th, el teorema tiene otra interpretación.

Teorema. Al dividir el polinomio n-th grado. x. En rebote x - A. El residuo es igual al valor de la división. x \u003d A.. (letra uNA. Puede designar cualquier número válido o imaginario, es decir,. Cualquier número complejo).

Evidencia: permitir f (x.) Indica un grado de N-th polinomio arbitrario con respecto a la variable X y deja que se divide en torcido ( x-a.) Resultó en privado q (x.), y en el resto R.. Es obvio que q (x) Habrá un poco de polinomio (n - 1) -O grado relativamente x., y residuo R. Será la magnitud de constante, es decir. no dependiente x..

Si el residuo R. Era un polinomio del primer grado en relación con X, esto significaría que la división no se cumplió. Entonces, R. de x. no depende. Por definición de división, recibimos identidad: f (x) \u003d (x-a) q (x) + r.

La igualdad es válida para cualquier significado X, significa que es verdadero y x \u003d A.Obtendremos: f (a) \u003d (a-a) q (a) + r. Símbolo f (A.) Indica el valor del polinomio F (X.) Como x \u003d a, q (a) denota valor q (x.) Como x \u003d a.Residuo R. permaneció como él era antes, porque R. de x. no depende. Composición ( x - a) q (a) \u003d 0Desde el multiplicador ( x - a) \u003d 0, Un multiplicador q (a) Hay un cierto número. Por lo tanto, obtenemos de la igualdad: f (a) \u003d r,cH.T.D.

Ejemplo 1.Encuentra el equilibrio de la división del polinomio. x. 3 - 3x. 2 + 6x-5 en Bouncer

x-2. Por el teorema sin el : R \u003d f(2) = 23-322 + 62 -5 \u003d 3. Respuesta: R \u003d.3.

Cabe señalar que el teorema del barro no es tanto en sí mismo como sus propias consecuencias. (Anexo 1)

Partemos en la consideración de algunas técnicas para el uso del teorema de EUZA para resolver tareas prácticas. Cabe señalar que al resolver ecuaciones utilizando el teorema de Mouture, es necesario:

Encuentra a todos los divistas de un miembro gratuito;

De estos divisores para encontrar al menos una raíz de la ecuación;

La parte izquierda de la ecuación se divide en (Decir ah);

Escriba en la parte izquierda de la ecuación del producto del divisor y privado;

Resuelve la ecuación resultante.

Considere en el ejemplo de resolver la ecuación x 3 + 4h. 2 + x -6 = 0 .

Solución: Encuentra divistadores de miembros gratuitos ± 1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Calcular los valores cuando x \u003d1, 1 3 + 41 2 + 1- 6 \u003d 0. Dividimos la parte izquierda de la ecuación en ( x-1). La división ejecutará la "esquina", obtenemos:

Conclusión: El teorema de Moutness es uno de esos métodos que consideramos en nuestro trabajo se estudia en el programa de clases opcionales. Es difícil en la comprensión, porque debe poseerlo, debe conocer todas las consecuencias de ello, pero al mismo tiempo el teorema, el Mouture es uno de los principales asistentes de los estudiantes en el examen.

2.4 esquema de Gorner

Para dividir el polinomio en biccoon. x-α. Puede usar una técnica simple especial, inventada por matemáticos ingleses del siglo XVII, posteriormente llamado el esquema de Gorner. Además de encontrar las raíces de las ecuaciones, según el esquema de Horner, puede calcular fácilmente sus valores. Para hacer esto, es necesario sustituir el valor de la variable en el PN polinomial. (x) \u003d a 0 Xn + A. 1 X. n-1. + A. 2 Xⁿ. - ² + ... ++ anORTE. -1 x + A.norte. (uno)

Considere la división del polinomio (1) en el gordo. x.-α.

Exprese los coeficientes del privado incompleto B 0 xⁿ. - ¹+ b. 1 xⁿ. - ²+ b. 2 xⁿ. - ³+…+ bn. -1 y residuo r. a través de los coeficientes del PN polinomial ( x.) y el número α. b. 0 \u003d A. 0 , b. 1 = α b. 0 + A. 1 , b. 2 = α b. 1 + A. 2 …, bn. -1 =

= α bn. -2 + A.nORTE. -1 = α bn. -1 + A.nORTE. .

Los cálculos de acuerdo con el esquema de la ciudad se presentan en forma de la siguiente tabla:

	pero 0	uNA. 1	uNA. 2 ,
	b. 0 \u003d A. 0	b. 1 = α b. 0 + A. 1	b. 2 = α b. 1 + A. 2		r \u003d α.b. n-1. + A.nORTE.

En la medida en r \u003d PN (α), Que α es la raíz de la ecuación. Para verificar si α es una raíz múltiple, el esquema de montaña ya se puede aplicar a la B privada 0 x +.b. 1 x + ... +bn. -1 Mesa. Si en la columna BN -1 Resulta de nuevo 0, significa α es una raíz múltiple.

Considere un ejemplo: resolver la ecuación h. 3 + 4h. 2 + x -6 = 0.

Aplique al lado izquierdo de la ecuación, la descomposición de los multimolieros multimolores en la parte izquierda de la ecuación, el esquema del artillero.

Solución: Encuentra divistadores de miembros gratuitos ± 1; ± 2; ±3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

Coeficientes privados: el número 1, 5, 6 y el residuo r \u003d 0.

Significa h. 3 + 4h. 2 + h. - 6 = (h. - 1) (h. 2 + 5h. + 6) = 0.

De aquí: H. - 1 \u003d 0 o h. 2 + 5h. + 6 = 0.

h. = 1, h. 1 = -2; h. 2 = -3. Respuesta:1,- 2, - 3.

Conclusión: Por lo tanto, en la misma ecuación, mostramos el uso de dos formas diferentes de descomponerse sobre multistropios polinomios. En nuestra opinión, el esquema de Gorner es más práctico y económico.

2.5 Solución de ecuaciones de 4 grados. Método Ferrari

El estudiante de Cardano Louis Ferrari descubrió un método para resolver la ecuación del cuarto grado. El método Ferrari consiste en dos etapas.

Etapa I: Las ecuaciones de la forma parecen estar en forma de un trabajo de dos decretos cuadrados, esto sigue del hecho de que la ecuación del 3er grado y al menos una solución.

Etapa II: Las ecuaciones obtenidas se resuelven con la ayuda de la descomposición de los multiplicadores, sin embargo, para encontrar la descomposición requerida de los multiplicadores, las ecuaciones cúbicas deben resolverse.

La idea es presentar las ecuaciones en la forma A 2 \u003d B 2, donde A \u003d x. 2 + s,

Función B-lineal de x.. Luego, queda por resolver las ecuaciones a \u003d ± b.

Para mayor claridad, considere la ecuación: nos retiramos el cuarto grado, obtenemos: para cualquier d.la expresión será un cuadrado completo. Añadir a ambas partes de la ecuación.

En el lado izquierdo de la plaza completa, puedes recoger d.Para que el lado derecho (2) se convierta en un cuadrado completo. Imagina que lo hemos logrado. Entonces nuestra ecuación se ve así:

Encuentra la raíz posteriormente no será difícil. Para recoger correctamente d. Es necesario que el discriminante del lado derecho (3) haya apelado a cero, es decir.

Así que para encontrar d., Es necesario resolver esta ecuación del 3er grado. Tal ecuación auxiliar llamada disolvente.

Encuentro fácilmente una raíz completa del resolvento: d \u003d.1

Sustituyendo en (1) la ecuación obtendrá

Conclusión: el método Ferrari es universal, pero complicado y voluminoso. Al mismo tiempo, si se entiende el algoritmo de solución, las ecuaciones del cuarto grado pueden resolverse con este método.

2.6 Método de coeficientes inciertos.

El éxito de la solución de la ecuación del cuarto grado por parte del método Ferrari depende de si decidiremos si la ecuación del 3er grado, que no siempre tenemos éxito.

La esencia del método de los coeficientes indefinidos es que el tipo de factores a los que se descompone este polinomio se descompone, y los coeficientes de estos factores (también polinomios) se determinan multiplicando los factores e igualando a los coeficientes con los mismos grados de la variable.

Ejemplo: Decidir la ecuación:

Supongamos que la parte izquierda de nuestra ecuación se puede descomponer en dos decretos cuadrados con los coeficientes enteros, de la misma igualdad idéntica

Obviamente, los coeficientes delante de UNIC deben ser iguales a 1, y los miembros libres, en uno. + 1, en el otro - 1.

Sigue siendo incierto las fábricas que enfrentan h.. Denote a través de pero Y y para determinarlos, moviendo ambos tres colocados en el lado derecho de la ecuación.

Como resultado, obtenemos:

Ecuando a los coeficientes con los mismos grados. h.en las partes de Izquierda y Derecha de Igualdad (1), obtenemos el sistema para encontrar y

Decidir este sistema, tendremos

Entonces, nuestra ecuación es equivalente a la ecuación.

Al decidirlo, obtenemos las siguientes raíces :.

El método de los coeficientes indefinidos se basa en las siguientes afirmaciones: cualquier polinomio del cuarto grado de pie en la ecuación se puede descomponer en el producto de dos polinomios del segundo grado; Dos polinomios son idénticos de manera idéntica entonces y solo si sus coeficientes son iguales con los mismos grados. x.

2.7 ecuaciones simétricas

Definición.La ecuación de la especie se llama simétrica, si los primeros coeficientes en la ecuación a la izquierda son iguales a los primeros coeficientes de pie a la derecha.

Vemos que los primeros coeficientes a la izquierda son iguales a los primeros coeficientes a la derecha.

Si tal ecuación tiene un grado impar, entonces tiene una raíz h.= - 1. A continuación, podemos reducir el grado de la ecuación al compartirlo ( x +.uno). Resulta que en la división de una ecuación simétrica en ( x +.1) Resulta una ecuación simétrica de un grado uniforme. A continuación se presenta la prueba de la simetría de los coeficientes. (Apéndice 6) Nuestra tarea es aprender a resolver las ecuaciones simétricas de un grado uniforme.

Por ejemplo: (1)

Resolví la ecuación (1), divida h. 2 (en el grado promedio) \u003d 0.

Agrupó los términos con simétricos.

) + 3(x. +. Denotar w.= x. +, erigió ambas partes en un cuadrado, desde aquí \u003d W. 2 Entonces, 2 ( w. 2 o 2 w. 2 + 3 Resolviendo la ecuación, obtenemos w. = , w. \u003d 3. A continuación, volver a reemplazar x. + \u003d I. x. + \u003d 3. Obtenemos la ecuación y la primera no está resolviendo, y el segundo tiene dos raíces. Respuesta:.

Conclusión: este tipo de ecuaciones no es común, pero si lo atrapó, puede resolverse fácilmente y simplemente sin recurrir a la computación incómoda.

2.8 Asignación de un completo

Considere la ecuación.

El lado izquierdo es una cantidad de cubo (x + 1), es decir, es decir.

Retire la raíz del tercer grado de ambas partes:, entonces obtenemos

¿Dónde está la única raíz?

Resultados de la investigación

Según los resultados, llegamos a las siguientes conclusiones:

Debido a la teoría estudiada, nos familiarizamos con varios métodos para resolver ecuaciones completas de grados superiores;

La fórmula D. Cardano es compleja en uso y ofrece una mayor probabilidad a permitir errores al calcular;

- Método L. Ferrari permite la solución de la ecuación del cuarto grado a cúbico;

- El teorema se puede utilizar tanto para ecuaciones cúbicas como para las ecuaciones de cuarto grado; Es más comprensible y visual al aplicar para resolver ecuaciones;

El esquema de Gorner ayuda a reducir significativamente y simplificar los cálculos para resolver ecuaciones. Además de encontrar las raíces, según el esquema de montaña, puede calcular fácilmente los valores de los polinomios que enfrentan la parte izquierda de la ecuación;

De particular interés fueron las soluciones de ecuaciones mediante el método de los coeficientes inciertos, la solución de las ecuaciones simétricas.

Durante el trabajo de investigación, se encontró que con las formas más simples de resolver las ecuaciones del más alto, los estudiantes se familiarizan en la clase de Facultativo en Matemáticas, a partir de los grados 9 o 10, así como en los cursos especiales de las escuelas matemáticas de salida . Este hecho se establece como resultado de una encuesta de docentes de Matemáticas MBOU "SOSH No. 9" y los estudiantes que muestran un mayor interés en el tema de "Matemáticas".

Los métodos más populares para resolver las ecuaciones de grados más altos, que se encuentran en la resolución de la Olimpiada, las tareas competitivas y, como resultado de la capacitación para los estudiantes, son métodos basados \u200b\u200ben el uso del teorema de Mouture, el esquema de Gorner y la introducción de un nuevo variable.

Demostración de resultados de investigación, es decir, Métodos para resolver ecuaciones no estudiados en el currículo escolar en matemáticas, estoy interesado en los compañeros de clase.

Conclusión

Habiendo estudiado la literatura educativa y científica, los recursos de Internet en los foros educativos juveniles.

Tryphanova Marina Anatolyevna
profesor de matemáticas, Mou "Gymnasium No. 48 (multidisciplinario)", Talnakh

LECCIÓN DE TIPO DE TRIUNO:

Educativo:
sistematización y resumen del conocimiento resolviendo las ecuaciones de títulos más altos.
Desarrollando:
promover el desarrollo del pensamiento lógico, la capacidad de trabajar de forma independiente, las habilidades de la interconexión y el autocontrol, habilidades para hablar y escuchar.
Levantamiento:
desarrollo de hábitos para empleo permanente, criando capacidad de respuesta, trabajo duro, precisión.

Tipo de lección:

la lección para el uso integrado de conocimientos, habilidades y habilidades.

Clase de formulario:

llevar, Fizminutka, una variedad de formas de trabajo.

Equipo:

soporte abstracto, tarjetas con tareas, matriz de monitoreo de la lección.

Durante las clases

I. MOMENTO ORGANIZACIONAL

Mensaje el propósito de los estudiantes de la lección.
Comprobando la tarea (Apéndice 1). Trabajar con un resumen de referencia (Apéndice 2).

En la pizarra hay ecuaciones escritas y respuestas para cada uno de ellos. Los estudiantes revisan las respuestas y brindan un breve análisis de la solución de cada ecuación o responda a las preguntas del maestro (encuesta frontal). Auto-control: los estudiantes colocan las evaluaciones y alquilan un cuaderno para verificar al maestro para corregir las estimaciones o su aprobación. La escuela de calificaciones se registra en la pizarra:

"5+" - 6 ecuaciones;
"5" - 5 ecuaciones;
"4" - 4 ecuaciones;
"3" - 3 ecuaciones.

Preguntas profesor en casa:

1 ecuación

¿Qué variables de reemplazo se realiza en la ecuación?
¿Qué ecuación se obtiene después de reemplazar las variables?

2 ecuación

¿Qué tipo de polinomio fueron compartidos por ambas partes de la ecuación?
¿Qué variables de reemplazo se obtuvieron?

3 ecuación

¿Qué deben multiplicarse los polinomios para simplificar la solución de esta ecuación?

4 ecuación

Nombre F (x) función.
¿Cómo se encontraron las raíces restantes?

5 ecuación

¿Cuántas brechas se obtuvieron para resolver la ecuación?

6 ecuación

¿Qué métodos podrían resolver esta ecuación?
¿Cuál es la solución a la solución más racional?

II. El trabajo en grupos es la parte principal de la lección.

La clase se divide en 4 grupos. Cada grupo recibe una tarjeta con preguntas teóricas y prácticas (Apéndice 3): "Para desmontar la forma propuesta de resolver la ecuación y explicarlo en este ejemplo".

Trabajar en un grupo de 15 minutos.
Los ejemplos se registran en la placa (la placa se divide en 4 partes).
El informe de grupo pasa de 2 a 3 minutos.
El profesor ajusta los informes de grupos y ayuda con la dificultad.

El trabajo en grupos continúa en las tarjetas No. 5 - 8. Para cada ecuación se administra 5 minutos para discutir en el grupo. Luego, la Junta es un informe sobre esta ecuación, un breve análisis de la solución. La ecuación se puede resolver para no al final: se está finalizando la casa, pero se negocia la secuencia de su solución en la clase.

III. Trabajo independiente.Apéndice 4.

Cada estudiante recibe una tarea individual.
El trabajo a tiempo dura 20 minutos.
5 minutos antes del final de la lección, el profesor da respuestas abiertas para cada ecuación.
Los estudiantes cambian en un círculo de cuadernos y revisan las respuestas del camarada. Estimados.
Los cuadernos se entregan al profesor para verificar y ajustar las estimaciones.

IV. El resultado de la lección.

Tarea.

Decisión de ecuaciones inacabadas. Prepárese para un corte de control.

Estimacion.

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Firmas para diapositivas:

Ecuaciones de grados más altos (raíces del polinomio de una variable).

Conferencia de P LAN. № 1. Ecuaciones de los más altos grados en el curso de la escuela de las matemáticas. № 2. Tipo estándar de polinomio. № 3. Las raíces del polinomio. Esquema de Gorner. № 4. Raíces fraccionadas del polinomio. № 5. Ecuaciones de la forma: (x + a) (x + c) (x + c) ... \u003d un número 6. Ecuaciones retornales. No. 7. Ecuaciones uniformes. No. 8. Método de coeficientes inciertos. No. 9. Funcionalmente - Método gráfico. No. 10. Fórmulas de Vieta para mayores grados 'Ecuaciones. No. 11. Métodos no estándar para resolver las ecuaciones de grados más altos.

Ecuaciones de los más altos grados en el curso de la escuela de las matemáticas. Séptimo grado. Tipo estándar de polinomio. Acciones con polinomios. Descomposición de polinomios en multiplicadores. En la clase habitual de 42 horas, en la clase especial de 56 horas. 8 clase especial. Raíces enteras de la polinomia, división de polinomios, ecuaciones de retorno, la diferencia y la cantidad de bombas de los poderes de los dos mero, el método de los coeficientes inciertos. Yu.n. MakaryChev "Capítulos adicionales del curso de la escuela 8 Clase Algebras", M.L.Galitsky Colección de tareas en álgebra 8 - 9º grado ". 9 clase especial. Raíces racionales de polinomio. Ecuaciones de devolución generalizadas. Fórmulas de Vieta para ecuaciones de títulos más altos. N.ya. Vilenkin "Algebra grado 9 con estudio en profundidad. 11 clase especial. La identidad de los polinomios. Polinomio de varias variables. Funcionalmente: un método gráfico para resolver las ecuaciones de grados más altos.

Tipo estándar de polinomio. Polinomial P (x) \u003d A ⁿ x ⁿ + y P-1 x P-1 + ... + A₂H ² + A₁H + A₀. Llamado a un polinomio de una especie estándar. A P X ⁿ es un miembro superior del coeficiente Polinomial A P con un miembro superior del polinomio. En una p \u003d 1 p (x) se llama el polinomio anterior. A ₀ - Un miembro libre del Polinomial P (X). P - Grado de polinomio.

Las raíces enteras son polinomiales. Esquema de Gorner. Theorem No. 1. Si un entero A es la raíz del Polinomial P (X), A, A, A es un divisor de miembro gratuito P (X). Ejemplo número 1. Decidir la ecuación. X⁴ + 2x³ \u003d 11xx - 4x - 4 Presentamos la ecuación a la forma estándar. X⁴ + 2x³ - 11xqm + 4x + 4 \u003d 0. Tenemos un Polinomial P (x) \u003d X ⁴ + 2x³ - 11xqm + 4x + 4 Divisores de miembros libres: ± 1, ± 2, ± 4. x \u003d 1 ecuación de raíz porque P (1) \u003d 0, x \u003d 2 ecuación de raíz porque P (2) \u003d 0 teorema de la Mouture. El residuo de la división del Polinomial P (X) en biccoon (X - a) es igual a P (a). Corolario. Si A es la raíz del Polinomial P (X), entonces p (x) se divide en (x - a). En nuestra ecuación p (x) se divide en (x - 1) y en (x - 2), y por lo tanto (x - 1) (x - 2). Cuando se divide p (x) en (x ² - 3x + 2), resulta de treshile x ² + 5x + 2 \u003d 0, que tiene raíces x \u003d (- 5 ± √17) / 2

Raíces fraccionadas de polinomio. Teorema número 2. Si P / G es la raíz del Polinomial P (X), entonces P es un divisor de miembros gratuito, G es el divisor de coeficiente del coeficiente del miembro superior P (X). Ejemplo No. 2. Decide la ecuación. 6x³ - 11xx - 2x + 8 \u003d 0. Divisores de término libre: ± 1, ± 2, ± 4, ± 8. Ninguno de estos números satisface la ecuación. No hay raíces. Divisores naturales del coeficiente del miembro principal P (X): 1, 2, 3, 6. Posibles raíces fraccionantes de la ecuación: ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Los cheques están convencidos de que p (4/3) \u003d 0. x \u003d 4/3 raíz de la ecuación. Según el esquema de Horner, dividimos P (x) en (x - 4/3).

Ejemplos de auto-decisiones. Decidir ecuaciones: 9x³ - 18x \u003d x - 2, x ³ - x ² \u003d x - 1, x ³ - 3x² -3x + 1 \u003d 0, x ⁴ - 2x³ + 2x - 1 \u003d 0, x⁴ - 3x² + 2 \u003d 0 , x ⁵ + 5x³ - 6x² \u003d 0, x ³ + 4xqm + 5x + 2 \u003d 0, x⁴ + 4 x³ - x ² - 16x - 12 \u003d 0 4х³ + x ² - x + 5 \u003d 0 3x⁴ + 5x³ - 9x² - 9x + 10 \u003d 0. Respuestas: 1) ± 1/3; 2 2) ± 1, 3) -1; 2 ± √3, 4) ± 1, 5) ± 1; ± √2, 6) 0; 1 7) -2; -1, 8) -3; -uno; ± 2, 9) - 5/4 10) -2; - 5/3; uno.

Ecuaciones de la forma (x + a) (x + c) (x + c) (x + d) ... \u003d A. Ejemplo número 3. Decida la ecuación (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) \u003d 24. A \u003d 1, B \u003d 2, C \u003d 3, D \u003d 4 A + D \u003d B + C. Giro el primer soporte con el cuarto y segundo con el tercero. (x + 1) (x + 4) (x + 20 (x + 3) \u003d 24. (x ² + 5x + 4) (x ² + 5x + 6) \u003d 24. Sea x ² + 5x + 4 \u003d y , entonces (y + 2) \u003d 24, u² + 2y - 24 \u003d 0 y₁ \u003d - 6, u₂ \u003d 4. x ² + 5x + 4 \u003d -6 o x ² + 5x + 4 \u003d 4. x ² + 5x + 10 \u003d 0, d

Ejemplos de auto-decisiones. (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) \u003d -15, x (x + 4) (x + 5) (x + 9) + 96 \u003d 0, x (x + 3 ) (x + 5) (x + 8) + 56 \u003d 0, (x - 4) (x - 3) (x - 2) (x - 1) \u003d 24, (x - 3) (x -4) (x -4) ( x - 5) (x - 6) \u003d 1680, (x ² - 5x) (x + 3) (x - 8) + 108 \u003d 0, (x + 4) ² (x + 10) (x - 2) + 243 \u003d 0 (x ² + 3x + 2) (x ² + 9x + 20) \u003d 4, indicación: x + 3x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2), x ² + 9x + 20 \u003d (x + 4) (x + 5) Respuestas: 1) -4 ± √6; - 6; - 2. 6) - 1; 6; (5 ± √97) / 2 7) -7; -uno; -4 ± √3.

Ecuaciones retornales. Definición número 1. La ecuación de la forma: AH⁴ + VX ³ + CX ² + BX + A \u003d 0 se llama la ecuación de retorno del cuarto grado. Definición número 2. La ecuación de la forma: AH⁴ + VX ³ + CX ² + KVC + C² A \u003d 0 se llama una ecuación devuelta generalizada para el cuarto grado. K² a: a \u003d c²; SQ: B \u003d K. Ejemplo número 6. Decida la ecuación x ⁴ - 7x³ + 14xqm - 7x + 1 \u003d 0. Dividimos ambas partes de la ecuación en X ². x ² - 7x + 14 - 7 / x + 1 / x ² \u003d 0, (x ² + 1 / x ²) - 7 (x + 1 / x) + 14 \u003d 0. Sea x + 1 / x \u003d y. Construimos ambas partes de la igualdad en la plaza. x ² + 2 + 1 / x ² \u003d u², x ² + 1 / x ² \u003d u² - 2. Obtenemos la ecuación cuadrada U² - 7U + 12 \u003d 0, U₁ \u003d 3, Y \u003d 4. x + 1 / x \u003d 3 o x + 1 / x \u003d 4. Obtenemos dos ecuaciones: x ² - 3x + 1 \u003d 0, x ² - 4x + 1 \u003d 0. Ejemplo número 7. 3x⁴ - 2x³ - 31xqm + 10x + 75 \u003d 0. 75: 3 \u003d 25, 10: (- 2) \u003d -5, (-5) ² \u003d 25. La condición de la ecuación de retorno generalizada se realiza a \u003d -5. Se resuelve de forma análoga al ejemplo No. 6. Dividimos ambas partes de la ecuación en x ². 3x⁴ - 2x - 31 + 10 / x + 75 / x ² \u003d 0, 3 (x ⁴ + 25 / x ²) - 2 (x - 5 / x) - 31 \u003d 0. Deja x - 5 / x \u003d y, Construimos ambas partes de la igualdad en cuadrado x ² - 10 + 25 / x ² \u003d u², x ² + 25 / x ² \u003d uq² + 10. Tenemos una ecuación cuadrada 3ow ² - 2au - 1 \u003d 0, U₁ \u003d 1, U₂ \u003d - 1/3. x - 5 / x \u003d 1 o x - 5 / x \u003d -1/3. Obtamos dos ecuaciones: x ² - x - 5 \u003d 0 y 3x² + x - 15 \u003d 0

Ejemplos de auto-decisiones. 1. 78x⁴ - 133x³ + 78xqm - 133x + 78 \u003d 0, 2. x ⁴ - 5x³ + 10x² - 10x + 4 \u003d 0, 3. x ⁴ - x ³ - 10xqm + 2x + 4 \u003d 0, 4. 6x⁴ + 5x³ - 38xqm -10x + 24 \u003d 0, 5. x ⁴ + 2x³ - 11xqm + 4x + 4 \u003d 0, 6. x ⁴ - 5x³ + 10x² -10x + 4 \u003d 0. Respuestas: 1) 2/3; 3/2, 2) 1; 2 3) -1 ± √3; (3 ± √17) / 2, 4) -1 ± √3; (7 ± √337) / 12 5) 1; 2; (-5 ± √17) / 2, 6) 1; 2.

Ecuaciones uniformes. Definición. La ecuación de la forma A₀ U³ + A₁ U² V + A₂ UV² + A₃ V³ \u003d 0 se llama una ecuación homogénea del tercer grado en relación con u v. Definición. La ecuación de la forma A₀ U⁴ + A₁ U³v + A₂ u²v² + A₃ UV³ + A₄ V⁴ \u003d 0 se llama una ecuación homogénea del cuarto grado en relación con u v. Ejemplo número 8. Decidir la ecuación (x ² - x + 1) ³ + 2x⁴ (x ² - x + 1) - 3x⁶ \u003d 0 ecuación uniforme del tercer grado en relación con u \u003d x ² + 1, v \u003d x ². Dividimos ambas partes de la ecuación en X ⁶. Previamente revisado que X \u003d 0 no es la raíz de la ecuación. (x ² - x + 1 / x ²) ³ + 2 (x ² - x + 1 / x ²) - 3 \u003d 0. (x ² - x + 1) / x ²) \u003d y, y ³ + 2e - 3 \u003d 0, y \u003d 1 ecuación de raíz. Dividimos el Polinomial P (X) \u003d U³ + 2au - 3 en y - 1 según el esquema de montaña. En privado nos ponemos de tres azar, lo que no tiene raíces. Respuesta 1.

Ejemplos de auto-decisiones. 1. 2 (x ² + 6x + 1) ² + 5 (x² + 6x + 1) (x² + 1) + 2 (x² + 1) ² \u003d 0, 2. (x + 5) ⁴ - 13xqm (x + 5) ² + 36x⁴ \u003d 0, 3. 2 (x² + x + 1) ² - 7 (x - 1) ² \u003d 13 (x³ - 1), 4. 2 (x -1) ⁴ - 5 (x² - 3x + 2) ² + 2 (x - 2) ⁴ \u003d 0, 5. (x ² + x + 4) ² + 3x (x ² + x + 4) + 2x² \u003d 0, respuestas: 1) -1; -2 ± √3, 2) -5/3; -5/4; 5/2; 5 3) -1; -1/2; 2; 4 4) ± √2; 3 ± √2, 5) No hay raíces.

Método de coeficientes inciertos. Teorema número 3. Dos polinomios P \u200b\u200b(x) y G (x) son idénticos si y solo si tienen el mismo grado y coeficientes con los mismos grados de la variable en ambos polinomios son iguales. Ejemplo número 9. Decisid en multiplicadores de polinomios U⁴ - 4U³ + 5U² - 4U + 1. U⁴ - 4U³ + 5U² - 4U + 1 \u003d (u² + vo + c) (u² + ₁u + s₁) \u003d y ⁴ + u ³ (₁ + c) + U² (S₁ + C + V₁V) + U (Sun ₁ + SV ₁) + SS ₁. Según el Teorema No. 3, tenemos un sistema de ecuaciones: ₁ + B \u003d -4, C + C + V₁B \u003d 5, Sun ₁ + sv ₁ \u003d -4, SS ₁ \u003d 1. Es necesario resolver el sistema en enteros. La última ecuación en enteros puede tener soluciones: C \u003d 1, C₁ \u003d 1; C \u003d -1, s₁ \u003d -1. Sea C \u003d C ₁ \u003d 1, entonces tenemos de la primera ecuación en \u003d -4-in. Sustituamos en la segunda ecuación del sistema C² + 4B + 3 \u003d 0, B \u003d -1, V₁ \u003d -3 o B \u003d -3, V₁ \u003d -1. Estos valores son adecuados para la tercera ecuación del sistema. Cuando c \u003d c ₁ \u003d -1 d

Ejemplo número 10. Es un polinomio para descomponer un polinomio en ³ - 5U + 2. U ³ -5U + 2 \u003d (U + A) (U² + VO + C) \u003d U ³ + (A + C) U² + (AV + C) Altavoces y +. Tenemos un sistema de ecuaciones: A + B \u003d 0, AB + C \u003d -5, AC \u003d 2. Posibles soluciones completas de la tercera ecuación: (2; 1), (1; 2), (-2; -1 ), (-1; -2). Deje A \u003d -2, C \u003d -1. Desde la primera ecuación del sistema B \u003d 2, que satisface la segunda ecuación. Sustituyendo estos valores en la igualdad deseada obtendremos la respuesta: (y - 2) (u² + 2ow - 1). La segunda forma. U ³ - 5U + 2 \u003d y ³ -5U + 10 - 8 \u003d (y ³ - 8) - 5 (y - 2) \u003d (y - 2) (u² + 2u -1).

Ejemplos de auto-decisiones. Difundir en multiplicadores de polinomios: 1. U⁴ + 4U³ + 6У ² + 4U -8, 2. U⁴ - 4U³ + 7U² - 6U + 2, 3. X ⁴ + 324, 4. U⁴ -8U³ + 24U² -32U + 15, 5. Decida la ecuación utilizando el método de descomposición en multiplicadores: a) x ⁴ -3x² + 2 \u003d 0, b) x ⁵ + 5x³ -6x² \u003d 0. Respuestas: 1) (u² + 2ow -2) (u² + 2u +4), 2) (Y - 1) ² (U² -2U + 2), 3) (x ² -6x + 18) (x ² + 6x + 18), 4) (y - 1) (y - 3 ) (U² - 4U + 5), 5A) ± 1; ± √2, 5b) 0; uno.

Funcionalmente: un método gráfico para resolver las ecuaciones de grados más altos. Ejemplo número 11. Decida la ecuación x ⁵ + 5x -42 \u003d 0. La función y \u003d x ⁵ aumentando, la función y \u003d 42 - 5x disminuyendo (a

Ejemplos de auto-decisiones. 1. Usando la propiedad de la monotonía de la función, demuestre que la ecuación tiene la única raíz, y encuentra esta raíz: a) x ³ \u003d 10 - x, b) x ⁵ + 3x³ - 11√2 - x. Respuestas: a) 2, b) √2. 2. Decida la ecuación utilizando el método gráfico funcionalmente: a) x \u003d ³ √h, b) l x l \u003d ⁵ √h, c) 2 \u003d 6 - x, g) (1/3) \u003d x +4, d) ( x - 1) ² \u003d log₂ x, e) log \u003d (x + ½) ², g) 1 - √h \u003d ln x, h) √h - 2 \u003d 9 / x. Respuestas: a) 0; ± 1, b) 0; 1, c) 2, d) -1, d) 1; 2, e) ½, G) 1, H) 9.

Fórmulas de Vieta para ecuaciones de títulos más altos. Teorema No. 5 (Vietá teorema). Si la ecuación AX + AX \u200b\u200b+ AX \u200b\u200b+ ... + A₁H + A₀ tiene ns de varias raíces válidas X ₁, x ₂, ..., x, luego satisfacen las igualdades: para la ecuación cuadrada ah² + vx + c \u003d o : x ₁ + x ₂ \u003d -b / a, x₁h ₂ \u003d S / A; Para la ecuación cúbica, ³ + A₂H ² + A₁H + A₀ \u003d O: X ₁ + x ₂ + x ₃ \u003d -A₂ / А₃; x₁x ₂ + x₁x ₃ + x₂H ₃ \u003d А₁ / А₃; X₁H₂H ₃ \u003d -A₀ / А₃; ... para la ecuación de n-grado: x ₁ + x ₂ + ... x \u003d - a / a, x₁x ₂ + x ₃ x ₃ + ... + xx \u003d a / a, ..., x ₂ · ... · x \u003d (- 1) ⁿ а₀ / a. Se realiza el teorema inverso.

Ejemplo №13. Escriba la ecuación cúbica, cuyas raíces se invierten las raíces de la ecuación x ³ - 6xqm + 12x - 18 \u003d 0, y el coeficiente en x ³ es 2. 1. Por el teorema de la Vieta para la ecuación cúbica, nosotros Tener: x ₁ + x ₂ + x ₃ \u003d 6, x₁ ₂ + x₁x ₃ + x₂x ₃ \u003d 12, x₁x₂H ₃ \u003d 18. 2. Hacemos valores inversos de estas raíces y para ellos usamos el teorema inverso de la Vieta. 1 / x ₁ + 1 / x ₂ + 1 / x ₃ \u003d (x₂X ₃ + x₁x ₃ + x₁x ₂) / x₁x₂H ₃ \u003d 12/18 \u003d 2/3. 1 / X₁X ₂ + 1 / X₁X ₃ + 1 / x₂X ₃ \u003d (x ₃ + x ₂ + x ₁) / x₁x₂H ₃ \u003d 6/18 \u003d 1/3, 1 / x₁x ₃ \u003d 1/18. Obtenemos la ecuación x ³ + 2 / 3xqm + 1 / 3x - 1/18 \u003d 0 · 2 Respuesta: 2x³ + 4 / 3xqm + 2 / 3x -1/9 \u003d 0.

Ejemplos de auto-decisiones. 1. Escribe una ecuación cúbica, cuyas raíces son inversas los cuadrados de las raíces de la ecuación x ³ - 6xqm + 11x - 6 \u003d 0, y el coeficiente en x ³ es 8. Responder: 8x³ - 98 / 9xqm + 28 / 9x -2/9 \u003d 0. Métodos no estándar para resolver ecuaciones de grados más altos. Ejemplo número 12. Decida la ecuación x ⁴ -8x + 63 \u003d 0. APATULe la parte izquierda de la ecuación de los factores. Resaltamos cuadrados precisos. X⁴ - 8x + 63 \u003d (x ⁴ + 16xqm + 64) - (16xqm + 8x + 1) \u003d (x ² + 8) ² - (4x + 1) ² \u003d (x ² + 4x + 9) (x² - 4x + 7) \u003d 0. Ambos discriminantes son negativos. Respuesta: No hay raíces.

Ejemplo número 14. Decidir la ecuación 21x³ + x ² - 5x - 1 \u003d 0. Si el miembro libre de la ecuación es ± 1, la ecuación se convierte en la ecuación dada reemplazando x \u003d 1 / y. 21 / U³ + 1 / U² - 5 / Y - 1 \u003d 0 · U ³, Y ³ + 5U² - 21 \u003d 0. U \u003d -3 Ecuación de la raíz. (en + 3) (u² + 2ow -7) \u003d 0, y \u003d -1 ± 2√2. x ₁ \u003d -1/3, x ₂ \u003d 1 / -1 + 2√2 \u003d (2√2 + 1) / 7, x₃ \u003d 1 / -1 -2√2 \u003d (1-2√2) / 7 . Ejemplo número 15. Resolver la ecuación 4x³-10x² + 14x - 5 \u003d 0. Multiplica ambas partes de la ecuación en 2. 8x³ -20x² + 28x - 10 \u003d 0, (2x) ³ - 5 (2x) ² + 14 · (2x) -10 \u003d 0. Presentamos una nueva variable y \u003d 2x, obtenemos la ecuación reducida en ³ - 5U ² + 14U -10 \u003d 0, Y \u003d 1 raíz de la ecuación. (y - 1) (u² - 4th + 10) \u003d 0, d

Ejemplo número 16. Demuestre que la ecuación x ⁴ + x ³ + x - 2 \u003d 0 tiene una raíz positiva. Sea F (x) \u003d x ⁴ + x ³ + x - 2, f '(x) \u003d 4 x³ + 3xqm + 1\u003e o con x\u003e O. La función F (x) está aumentando en X\u003e O, y el valor F (O) \u003d -2. Obviamente, la ecuación tiene una raíz positiva de CH.T.D. Ejemplo número 17. Decidir la ecuación 8x (2xqm - 1) (8x⁴ - 8xqm + 1) \u003d 1. Si está sharygin "Curso opcional en matemáticas para el grado 11". Educación 1991 P90. 1. L x L 1 2x² - 1\u003e 1 y 8x⁴ -8x² + 1\u003e 1 2. Reemplazaremos x \u003d acogedor, en € (0; n). Con los valores restantes de Y, se repiten los valores de X, y la ecuación no tiene más de 7 raíces. 2xqm - 1 \u003d 2 COS² - 1 \u003d COS2Y, 8x⁴ - 8xqm + 1 \u003d 2 (2xqm - 1) ² - 1 \u003d 2 COS²2Y - 1 \u003d COS4Y. 3. La ecuación toma el formulario 8 COSYCOS2YCOS4Y \u003d 1. Multiplica ambas partes de la ecuación en SINY. 8 siinycosycos2ycos4y \u003d sediny. Aplicando 3 veces la fórmula del ángulo doble, obtenemos la ecuación SIN8Y \u003d SINLY, SIN8Y - SINYY \u003d 0

El final de la decisión del Ejemplo No. 17. Utilizamos la fórmula de diferencia sinusal. 2 Sin7Y / 2 · COS9Y / 2 \u003d 0. Teniendo en cuenta que en € (0; P), y \u003d 2pk / 3, k \u003d 1, 2, 3 o y \u003d n / 9 + 2pk / 9, k \u003d 0, 1, 2, 3. Volviendo a la variable x Nosotros Obtener respuesta: COS2 P / 7, COS4 P / 7, COS6 P / 7, COS P / 9, ½, COS5 P / 9, COS7 P / 9. Ejemplos de auto-decisiones. Encuentre todos los valores de A, en la que la ecuación (x ² + x) (x ² + 5x + 6) \u003d y tiene exactamente tres raíces. Respuesta: 9/16. Nota: Construye un gráfico de la parte izquierda de la ecuación. F max \u003d f (0) \u003d 9/16. Straight Y \u003d 9/16 cruza un gráfico de una función en tres puntos. Decidir la ecuación (x ² + 2x) ² - (x + 1) ² \u003d 55. Respuesta: -4; 2. Decidir la ecuación (x + 3) ⁴ + (x + 5) ⁴ \u003d 16. Respuesta: -5; -3. Decidir la ecuación 2 (x ² + x + 1) ² -7 (x - 1) ² \u003d 13 (x ³ - 1). La respuesta: -1; -1/2, 2; 4 Encuentre el número de raíces válidas de la ecuación x ³ - 12x + 10 \u003d 0 a [-3; 3/2]. Nota: Encuentra un derivado y explore Monot.

Ejemplos para autoproducción (continuación). 6. Encuentre el número de raíces válidas de la ecuación x ⁴ - 2x³ + 3/2 \u003d 0. Responder: 2 7. Deje x ₁, x ₂, x ₃ - Las raíces del Polinomial P (X) \u003d X³ - 6xqm -15x + 1. Encuentra x₁² + x ₂² + x ₃². Respuesta: 66. Nota: Aplique Vietá teorema. 8. Demostrar que en A\u003e O y material arbitrario en la ecuación X ³ + AH + B \u003d O tiene solo una raíz real. Nota: Deslice la prueba de desagradables. Aplicar el teorema de Vieta. 9. Decida la ecuación 2 (x ² + 2) ² \u003d 9 (x ³ + 1). Respuesta: ½; uno; (3 ± √13) / 2. Nota: Dé la ecuación a un homogéneo utilizando la igualdad x² + 2 \u003d x + 1 + x ² - x + 1, x ³ + 1 \u003d (x + 1) (x ² - x + 1). 10. Decida el sistema de ecuaciones x + y \u003d x ², 3ow - x \u003d u². Respuesta: (0; 0), (2; 2), (√2; 2 - √2), (- √2; 2 + √2). 11. Decidir el sistema: 4U² -3HU \u003d 2x -U, 5xqm - 3U² \u003d 4x - 2th. Respuesta: (O; O), (1; 1), (297/265; - 27/53).

Prueba. 1 opción. 1. Decidir la ecuación (x ² + x) - 8 (x ² + x) + 12 \u003d 0. 2. Decida la ecuación (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) \u003d - 15 . 3. Decidir la ecuación 12xqm (x - 3) + 64 (x - 3) ² \u003d x ⁴. 4. Decida la ecuación x ⁴ - 4 x³ + 5xqm - 4x + 1 \u003d 0 5. Decida el sistema de edades: x ² + 2 ² - x + 2ow \u003d 6, 1.5xqm + 3 ² - x + 5U \u003d 12.

2 Opción 1. (x ² - 4x) ² + 7 (x ² - 4x) + 12 \u003d 0. 2. x (x + 1) (x + 5) (x + 6) \u003d 24. 3. x ⁴ + + 18 (x + 4) ² \u003d 11xqm (x + 4). 4. x ⁴ - 5x³ + 6xqm - 5x + 1 \u003d 0. 5. x ² - 2h + o² + 2xqm - 9 \u003d 0, x - y - x² de + 3 \u003d 0. 3 Opción. 1. (x ² + 3x) ² - 14 (x ² + 3x) + 40 \u003d 0 2. (x - 5) (x - 3) (x + 3) (x + 1) \u003d - 35. 3. x4 + 8х² (x + 2) \u003d 9 (x + 2) ². 4. x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 \u003d 0. 5. x + u + x ² + en ² \u003d 18, hu + x ² + u² \u003d 19.

4 opciones. (x ² - 2x) ² - 11 (x ² - 2x) + 24 \u003d o. (x -7) (x - 4) (x - 2) (x + 1) \u003d -36. X⁴ + 3 (x -6) ² \u003d 4xqm (6 - x). X⁴ - 6x³ + 7xqm - 6x + 1 \u003d 0. x² + 3h + us² \u003d - 1, 2xqm - 3h - 3u ² \u003d - 4. Tarea adicional: el residuo de la división del Polinomial P (X) ON (X - 1) es 4, el balance de división en (x + 1) es 2, y cuando se divide en (x - 2) es 8. Encuentre el saldo de dividir P (x) a (x ³ - 2x² - x + 2) .

Respuestas e instrucciones: Opción número 1 No. 2. No. 3. No. 4. No. 5. 1. - 3; ± 2; 1 1; 2; 3. -cinco; -Four; uno; 2. Ecuación uniforme: u \u003d x -3, v \u003d x² -2; -uno; 3; 4. (2; 1); (2/3; 4/3). Nota: 1 · (-3) + 2 · 2 2. -6; -2; -4 ± √6. -3 ± 2√3; - cuatro; - 2. 1 ± √11; cuatro; - 2. Ecuación uniforme: u \u003d x + 4, v \u003d x² 1; 5; 3 ± √13. (2; 1); (0; 3); (- treinta). Nota: 2 · 2 + 1. 3. -6; 2; cuatro; 12 -3; -2; cuatro; 12 -6; -3; -uno; 2. U uniforme u \u003d x + 2, v \u003d x² -6; ± 3; 2 (2; 3), (3; 2), (-2 + √7; -2 - √7); (-2 - √7; -2 + √7). Nota: 2 -1. 4. (3 ± √5) / 2 2 ± √3 2 ± √3; (3 ± √5) / 2 (5 ± √21) / 2 (1; -2), (-1; 2). Nota: 1 · 4 + 2.

Decisión tarea adicional. Por el lodo del teorema: p (1) \u003d 4, p (-1) \u003d 2, p (2) \u003d 8. p (x) \u003d g (x) (x ³ - 2x² - x + 2) + ah² + vx + de. Sustituto 1; - uno; 2. P (1) \u003d G (1) · 0 + A + B + C \u003d 4, A + B + C \u003d 4. P (-1) \u003d A - B + C \u003d 2, P (2) \u003d 4A ² + 2V + C \u003d 8. Obtenemos resolviendo el sistema resultante de tres ecuaciones: A \u003d B \u003d 1, C \u003d 2. Respuesta: x ² + x + 2.

Criterio No. 1 - 2 puntos. 1 punto es un error de computación. № 2,3,4 - 3 puntos. 1 Puntuación: condujo a una ecuación cuadrada. 2 puntos - un error de computación. No. 5. - 4 puntos. 1 Puntuación: expresó una variable a través del otro. 2 puntos - tiene una de las soluciones. 3 puntos - un error de computación. Tarea adicional: 4 puntos. 1 Puntuación: aplicó el teorema de la MOUTE para los cuatro casos. 2 puntos - contabilizó un sistema de ecuaciones. 3 puntos - un error de computación.