Ejemplos de grandes divisores comunes. Encontrar nudos y la regla de los nudos

GCD es el máximo común denominador.

Para encontrar el máximo común divisor de varios números, necesita:

determinar los factores comunes a ambos números;
encontrar el producto de factores comunes.

Un ejemplo de cómo encontrar GCD:

Halla el MCD de los números 315 y 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Escribamos los factores comunes a ambos números:

3. Halla el producto de factores comunes:

MCD (315; 245) = 5 * 7 = 35.

Respuesta: MCD (315; 245) = 35.

Encontrar el NOC

El MCM es el mínimo común múltiplo.

Para encontrar el mínimo común múltiplo de varios números, necesita:

descomponer números en factores primos;
escriba los factores incluidos en la descomposición de uno de los números;
agregue a ellos los factores faltantes de la expansión del segundo número;
encuentre el producto de los factores resultantes.

Un ejemplo de cómo encontrar el LCM:

Halla el MCM de los números 236 y 328:

1. Descompongamos los números en factores primos:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Escribamos los factores incluidos en la descomposición de uno de los números y agreguemos los factores que faltan de la descomposición del segundo número:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Encuentre el producto de los factores resultantes:

MCM (236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Respuesta: MCM (236; 328) = 19352.

Para encontrar el MCD (máximo común divisor) de dos números, necesita:

2. Encuentre (subraye) todos los factores primos comunes en las expansiones resultantes.

3. Halla el producto de factores primos comunes.

Para encontrar el mcm (mínimo común múltiplo) de dos números, necesita:

1. Descomponga estos números en factores primos.

2. La expansión de uno de ellos debe complementarse con aquellos factores de expansión del otro número, que no están en la expansión del primero.

3. Calcule el producto de los factores obtenidos.

Este articulo trata sobre encontrar el máximo común divisor (mcd) dos o más números. Primero, considere el algoritmo euclidiano, le permite encontrar el MCD de dos números. Después de eso, nos centraremos en un método que le permite calcular el MCD de números como el producto de sus factores primos comunes. A continuación, descubriremos cómo encontrar el máximo común divisor de tres o más números y también daremos ejemplos de cómo calcular el MCD de números negativos.

Navegación de página.

Algoritmo de Euclides para encontrar GCD

Tenga en cuenta que si hubiéramos recurrido a la tabla de números primos desde el principio, habríamos descubierto que los números 661 y 113 son primos, de lo cual se podría decir inmediatamente que su máximo común divisor es 1.

Respuesta:

MCD (661, 113) = 1.

Encontrar mcd factorizando números en factores primos

Considere otra forma de encontrar GCD. El máximo común divisor se puede encontrar factorizando números en factores primos. Formulemos una regla: MCD de dos números enteros positivos a y b es igual al producto de todos los factores primos comunes que se encuentran en las descomposiciones de a y b en factores primos.

Démosle un ejemplo para aclarar la regla para encontrar GCD. Conozcamos la descomposición de los números 220 y 600 en factores primos, tienen la forma 220 = 2 · 2 · 5 · 11 y 600 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5. Los factores primos comunes involucrados en la factorización de números 220 y 600 son 2, 2 y 5. Por lo tanto, MCD (220, 600) = 2 2 5 = 20.

Por lo tanto, si descomponemos los números ayb en factores primos y encontramos el producto de todos sus factores comunes, entonces esto encontrará el máximo común divisor de los números ay b.

Considere un ejemplo de cómo encontrar GCD de acuerdo con la regla establecida.

Ejemplo.

Encuentra el máximo común denominador de 72 y 96.

Solución.

Dividamos los números 72 y 96 en factores primos:

Es decir, 72 = 2 2 2 3 3 y 96 = 2 2 2 2 2 3. Los factores primos comunes son 2, 2, 2 y 3. Por lo tanto, MCD (72, 96) = 2 2 2 3 = 24.

Respuesta:

MCD (72, 96) = 24.

En conclusión de este punto, observamos que la validez de la regla anterior para encontrar el MCD se deriva de la propiedad del máximo común divisor, que establece que MCD (m a 1, m b 1) = m MCD (a 1, b 1), donde m es cualquier número entero positivo.

Encontrar GCD de tres o más números

Encontrar el máximo común divisor de tres o más números se puede reducir al cálculo secuencial del MCD de dos números. Mencionamos esto al estudiar las propiedades de GCD. Allí formulamos y probamos el teorema: el máximo común divisor de varios números a 1, a 2, ..., ak es igual al número dk, que se encuentra en el cálculo secuencial de MCD (a 1, a 2) = d 2, MCD (d 2, a 3) = d 3, MCD (d 3, a 4) = d 4,…, MCD (d k-1, ak) = dk.

Veamos cómo se ve el proceso de encontrar el MCD de varios números considerando la solución de un ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra el máximo común divisor de cuatro números 78, 294, 570 y 36.

Solución.

En este ejemplo, a 1 = 78, a 2 = 294, a 3 = 570, a 4 = 36.

Primero, utilizando el algoritmo euclidiano, determinamos el máximo común divisor d 2 de los dos primeros números 78 y 294. Al dividir, obtenemos iguales 294 = 78 · 3 + 60; 78 = 60 1 + 18; 60 = 18 3 + 6 y 18 = 6 3. Por lo tanto, d 2 = mcd (78, 294) = 6.

Ahora calculemos d 3 = mcd (d 2, a 3) = mcd (6, 570)... Nuevamente aplicamos el algoritmo de Euclides: 570 = 6 · 95, por lo tanto, d 3 = MCD (6, 570) = 6.

Queda por calcular re 4 = mcd (re 3, a 4) = mcd (6, 36)... Dado que 36 es divisible por 6, entonces d 4 = MCD (6, 36) = 6.

Por lo tanto, el máximo común divisor de estos cuatro números es d 4 = 6, es decir, MCD (78, 294, 570, 36) = 6.

Respuesta:

MCD (78, 294, 570, 36) = 6.

La descomposición de números en factores primos también le permite calcular el mcd de tres o más números. En este caso, el máximo común divisor se encuentra como el producto de todos los factores primos comunes de los números dados.

Ejemplo.

Calcula el MCD de los números del ejemplo anterior usando sus factorizaciones primas.

Solución.

Expandimos los números 78, 294, 570 y 36 en factores primos, obtenemos 78 = 2 3 13, 294 = 2 3 7 7, 570 = 2 3 5 19, 36 = 2 2 3 3. Los factores primos comunes de todos estos cuatro números son 2 y 3. Por eso, MCD (78, 294, 570, 36) = 2 3 = 6.

Uno de los problemas que causa problemas a los escolares modernos, que están acostumbrados a usar calculadoras integradas en dispositivos en un lugar y en un lugar incorrecto, es encontrar el máximo común divisor (MCD) de dos o más números.

Es imposible resolver un problema matemático si no se sabe lo que se pregunta realmente. Para hacer esto, necesita saber qué significa esta o aquella expresión. utilizado en matemáticas.

Necesitas saber:

Si se puede usar un cierto número para contar varios objetos, por ejemplo, nueve pilares, dieciséis casas, entonces es natural. El más pequeño de estos será uno.
Cuando un número natural se divide por otro número natural, entonces dicen que el número más pequeño es el divisor del más grande.
Si dos o más números diferentes son divisibles por un cierto número sin resto, entonces dicen que este último será su divisor común (OD).
El mayor de los OD se llama el Divisor Común Máximo (GCD).
En este caso, cuando un número tiene solo dos divisores naturales (él mismo y uno), se le llama primo. El más pequeño de ellos es dos, y además, ella es la única pareja en su fila.
Si dos números tienen un máximo común divisor de uno, entonces serán primos entre sí.
Un número que tiene más de dos divisores se llama número compuesto.
El proceso en el que se encuentran todos los factores primos que, cuando se multiplican entre sí, darán un valor inicial en el producto en matemáticas se llama factorización prima. Además, los mismos factores en la expansión pueden ocurrir repetidamente.

En matemáticas, se aceptan las siguientes entradas:

Divisores D (45) = (1; 3; 5; 9; 45).
OD (8; 18) = (1; 2).
MCD (8; 18) = 2.

Varias formas de encontrar GCD

La forma más sencilla de responder a la pregunta es cómo encontrar gcd en el caso de que el número menor sea el divisor del mayor. En tal caso, será el máximo común divisor.

Por ejemplo, MCD (15; 45) = 15, MCD (48; 24) = 24.

Pero estos casos en matemáticas son muy raros, por lo que para encontrar GCD se utilizan técnicas más complejas, aunque todavía es muy recomendable marcar esta opción antes de comenzar a trabajar.

Método de descomposición en factores primos.

Si necesita encontrar el mcd de dos o más números diferentes, basta con descomponer cada uno de ellos en factores primos, para luego realizar el proceso de multiplicar los que están en cada uno de los números.

Ejemplo 1

Considere cómo encontrar MCD 36 y 90:

36 = 1*2*2*3*3;
90 = 1*2*3*3*5;

MCD (36; 90) = 1 * 2 * 3 * 3 = 18.

Ahora veamos cómo encontrar lo mismo. en caso de tres números, tomemos por ejemplo 54; 162; 42.

Ya sabemos cómo expandir 36, vamos a ocuparnos del resto:

162 = 1*2*3*3*3*3;
42 = 1*2*3*7;

Por lo tanto, MCD (36; 162; 42) = 1 * 2 * 3 = 6.

Cabe señalar que es completamente innecesario escribir la unidad en la expansión.

Considere una manera cómo factorizar de forma sencilla, para esto, a la izquierda, escribiremos el número que necesitamos, y a la derecha, escribiremos los divisores primos.

Las columnas se pueden separar mediante un signo de división o una línea vertical simple.

36/2 continuaremos nuestro proceso de división;
18/2 más;
9/3 y otra vez;
3/3 es ahora bastante elemental;
1 - el resultado está listo.

El 36 deseado = 2 * 2 * 3 * 3.

Camino euclidiano

Esta versión ha sido conocida por la humanidad desde los tiempos de la antigua civilización griega, es en muchos aspectos más simple y se atribuye al gran matemático Euclides, aunque antes se utilizaron algoritmos muy similares. Este método consiste en utilizar el siguiente algoritmo, dividimos el número más grande con el resto por el más pequeño. Luego dividimos nuestro divisor por el resto y continuamos actuando de esta manera en un círculo hasta que ocurra toda la división. El último valor será el máximo factor común deseado.

Demos un ejemplo del uso de este algoritmo.:

Intentemos averiguar qué es GCD para 816 y 252:

816/252 = 3 y el resto es 60. Ahora dividimos 252 entre 60;
252/60 = 4 en el resto, este tiempo será 12. Continuemos nuestro proceso circular, dividamos sesenta por doce;
60/12 = 5. Dado que esta vez no hemos recibido remanente, tenemos listo el resultado, doce será el valor que estamos buscando.

Entonces, al final de nuestro proceso tenemos gcd (816;252) = 12.

Acciones si es necesario determinar el GCD si se especifican más de dos valores

Ya hemos descubierto qué hacer en el caso de que haya dos números diferentes, ahora aprenderemos cómo actuar si los hay. 3 y mas.

A pesar de toda la aparente complejidad, esta tarea ya no nos causará problemas. Ahora elegimos dos números cualesquiera y determinamos el valor deseado para ellos. El siguiente paso es encontrar el MCD del resultado obtenido y el tercero de los valores dados. Luego, actuamos nuevamente de acuerdo con el principio que ya conocemos para el cuarto, quinto, y así sucesivamente.

Conclusión

Entonces, con la aparentemente gran complejidad de la tarea que se nos planteó desde el principio, de hecho, todo es simple, lo principal es poder realizar con precisión el proceso de división y ceñirse a cualquiera de los dos algoritmos descritos anteriormente.

Aunque ambos métodos son perfectamente aceptables, en una escuela ordinaria el primer método se usa con mucha más frecuencia... Esto se debe al hecho de que será necesaria la factorización prima al estudiar el siguiente tema del tutorial: determinar el máximo común múltiplo (LCM). Aún así, vale la pena señalar una vez más: la aplicación del algoritmo euclidiano de ninguna manera puede considerarse errónea.

Video

El video le mostrará cómo encontrar el máximo factor común.

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Este artículo está dedicado a una cuestión como encontrar el máximo común divisor. Primero, explicaremos de qué se trata, y daremos varios ejemplos, presentaremos las definiciones del máximo común divisor de 2, 3 o más números, después de lo cual nos detendremos en las propiedades generales de este concepto y las probaremos.

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¿Qué son los divisores comunes?

Para entender cuál es el máximo común divisor, primero establecemos cuál es el común divisor de números enteros.

En el artículo sobre múltiplos y divisores, dijimos que un número entero siempre tiene múltiples divisores. Aquí nos interesan los divisores de un cierto número de enteros a la vez, especialmente los comunes (los mismos) para todos. Anotemos la definición principal.

Definición 1

El divisor común de varios enteros es un número que puede ser un divisor de cada número del conjunto especificado.

Ejemplo 1

Aquí hay ejemplos de tal divisor: tres será un divisor común para los números - 12 y 9, ya que las igualdades 9 = 3 · 3 y - 12 = 3 · (- 4) son verdaderas. Los números 3 y - 12 tienen otros factores comunes, como 1, - 1 y - 3. Tomemos otro ejemplo. Los cuatro números enteros 3, - 11, - 8 y 19 tendrán dos factores comunes: 1 y - 1.

Conociendo las propiedades de la divisibilidad, podemos afirmar que cualquier número entero se puede dividir entre uno y menos uno, lo que significa que cualquier conjunto de números enteros ya tendrá al menos dos divisores comunes.

También tenga en cuenta que si tenemos un divisor común b para varios números, entonces los mismos números se pueden dividir por el número opuesto, es decir, por - b. En principio, solo podemos tomar factores positivos, entonces todos los factores comunes también serán mayores que 0. También puede utilizar este enfoque, pero no debe ignorar por completo los números negativos.

¿Cuál es el máximo divisor común (GCD)?

De acuerdo con las propiedades de divisibilidad, si b es divisor de un número entero a que no es igual a 0, entonces el módulo del número b no puede ser mayor que el módulo de a, por lo tanto, cualquier número que no sea igual a 0 tiene un número finito de divisores. Esto significa que el número de divisores comunes de varios enteros, al menos uno de los cuales es diferente de cero, también será finito, y de su conjunto completo siempre podemos seleccionar el número más grande (ya hemos hablado del concepto de mayor y el número entero más pequeño, le recomendamos que repita este material).

En lo que sigue, asumiremos que al menos uno del conjunto de números para los que necesitamos encontrar el máximo común divisor será diferente de 0. Si todos son iguales a 0, entonces cualquier número entero puede ser su divisor, y dado que hay infinitos de ellos, no podemos elegir el más grande. En otras palabras, es imposible encontrar el máximo común divisor para el conjunto de números igual a 0.

Pasamos a la formulación de la definición principal.

Definición 2

El máximo común divisor de varios números es el entero más grande que divide todos esos números.

Por escrito, el máximo común divisor se indica con mayor frecuencia mediante la abreviatura GCD. Para dos números, se puede escribir como GCD (a, b).

Ejemplo 2

¿Cuál es un ejemplo de un GCD para dos números enteros? Por ejemplo, para 6 y - 15 sería 3. Justifiquemos esto. Primero, anotamos todos los divisores de seis: ± 6, ± 3, ± 1, y luego todos los divisores de quince: ± 15, ± 5, ± 3 y ± 1. Después de eso elegimos los generales: estos son - 3, - 1, 1 y 3. Se debe seleccionar el mayor número de ellos. Este será 3.

Para tres o más números, la definición del máximo común divisor será muy parecida.

Definición 3

El máximo común divisor de tres o más números será el entero más grande que dividirá todos estos números al mismo tiempo.

Para los números a 1, a 2,…, a n, es conveniente denotar el divisor como MCD (a 1, a 2,…, a n). El valor del divisor en sí se escribe como MCD (a 1, a 2,…, a n) = b.

Ejemplo 3

Aquí hay ejemplos del máximo común divisor de varios números enteros: 12, - 8, 52, 16. Será igual a cuatro, lo que significa que podemos escribir que MCD (12, - 8, 52, 16) = 4.

Puede verificar la exactitud de esta declaración registrando todos los divisores de estos números y luego eligiendo el mayor de ellos.

En la práctica, a menudo hay casos en los que el máximo común divisor es igual a uno de los números. Esto sucede cuando todos los demás números se pueden dividir por un número dado (en el primer párrafo del artículo, dimos una prueba de esta afirmación).

Ejemplo 4

Entonces, el máximo común divisor de los números 60, 15 y - 45 es 15, ya que quince es divisible no solo entre 60 y - 45, sino también por sí mismo, y no existe un divisor mayor para todos estos números.

Un caso especial se compone de números coprimos. Son números enteros con un máximo común divisor de 1.

Propiedades básicas de gcd y algoritmo de Euclides

El máximo común divisor tiene algunas propiedades características. Formulémoslos en forma de teoremas y probemos cada uno de ellos.

Tenga en cuenta que estas propiedades están formuladas para números enteros mayores que cero y consideraremos solo divisores positivos.

Definición 4

Los números ayb tienen el máximo común divisor igual al mcd para b y a, es decir, mcd (a, b) = mcd (b, a). El intercambio de números no afecta el resultado final.

Esta propiedad se deriva de la definición misma de GCD y no necesita prueba.

Definición 5

Si el número a se puede dividir por el número b, entonces el conjunto de divisores comunes de estos dos números será similar al conjunto de divisores del número b, es decir, MCD (a, b) = b.

Probemos esta afirmación.

Prueba 1

Si los números ayb tienen factores comunes, entonces cualquiera de ellos se puede dividir por ellos. Al mismo tiempo, si a es un múltiplo de b, entonces cualquier divisor b también será un divisor de a, ya que la divisibilidad tiene una propiedad como la transitividad. Por tanto, cualquier divisor b será común para los números ay b. Esto prueba que si podemos dividir a por b, entonces el conjunto de todos los divisores de ambos números coincide con el conjunto de divisores de un número b. Y dado que el máximo divisor de cualquier número es este número en sí, entonces el máximo común divisor de los números ayb también será igual ab, es decir, Mcd (a, b) = b. Si a = b, entonces mcd (a, b) = mcd (a, a) = mcd (b, b) = a = b, por ejemplo, mcd (132, 132) = 132.

Usando esta propiedad, podemos encontrar el máximo común divisor de dos números si uno de ellos se puede dividir por el otro. Tal divisor es igual a uno de estos dos números, por el cual se puede dividir el segundo número. Por ejemplo, MCD (8, 24) = 8, ya que 24 es múltiplo de ocho.

Definición 6 Prueba 2

Intentemos probar esta propiedad. Inicialmente tenemos la igualdad a = b q + c, y cualquier divisor común de ayb también dividirá c, lo que se explica por la propiedad de divisibilidad correspondiente. Por lo tanto, cualquier divisor común de byc dividirá a. Esto significa que el conjunto de divisores comunes ayb coincide con el conjunto de divisores byc, incluido el mayor de ellos, lo que significa que la igualdad MCD (a, b) = MCD (b, c) es verdadera.

Definición 7

La siguiente propiedad se llama algoritmo de Euclides. Puede usarse para calcular el máximo común divisor de dos números, así como para probar otras propiedades de MCD.

Antes de formular la propiedad, le recomendamos que repita el teorema que probamos en el artículo sobre división con resto. Según él, el número divisible a se puede representar como bq + r, donde b es un divisor, q es un número entero (también se le llama cociente incompleto), y r es un resto que satisface la condición 0 ≤ r ≤ b .

Digamos que tenemos dos enteros mayores que 0, para los cuales se mantendrán las siguientes igualdades:

a = segundo q 1 + r 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Estas igualdades terminan cuando r k + 1 se convierte en 0. Esto sucederá sin falta, ya que la secuencia b> r 1> r 2> r 3, ... es una serie de números enteros decrecientes, que pueden incluir solo un número finito de ellos. Por tanto, r k es el máximo común divisor de ayb, es decir, r k = mcd (a, b).

En primer lugar, debemos demostrar que r k es un divisor común de los números ayb, y después de eso, que r k no es solo un divisor, sino el máximo común divisor de dos números dados.

Veamos la lista de igualdad de arriba, de abajo hacia arriba. Según la última igualdad,
r k - 1 se puede dividir por r k. Con base en este hecho, así como en la propiedad demostrada previamente del máximo común divisor, se puede argumentar que r k - 2 se puede dividir por r k, ya que
r k - 1 es divisible por r k y r k es divisible por r k.

La tercera igualdad desde abajo nos permite concluir que r k - 3 se puede dividir entre r k, y así sucesivamente. El segundo desde abajo es que b es divisible por r k, y el primero es que a es divisible por r k. De todo esto concluimos que r k es un divisor común de ay b.

Ahora demostremos que r k = mcd (a, b). ¿Que necesito hacer? Demuestre que cualquier divisor común de ayb dividirá r k. Lo denotamos por r 0.

Veamos la misma lista de igualdad, pero de arriba hacia abajo. Con base en la propiedad anterior, podemos concluir que r 1 es divisible por r 0, lo que significa que, según la segunda igualdad, r 2 es divisible por r 0. Bajamos todas las igualdades y de estas últimas llegamos a la conclusión de que r k es divisible por r 0. Por lo tanto, r k = mcd (a, b).

Habiendo considerado esta propiedad, concluimos que el conjunto de divisores comunes ayb es similar al conjunto de divisores del MCD de estos números. Esta afirmación, que es consecuencia del algoritmo euclidiano, nos permitirá calcular todos los divisores comunes de dos números dados.

Pasemos a otras propiedades.

Definición 8

Si ayb son números enteros distintos de 0, entonces debe haber otros dos números enteros u 0 y v 0, para los cuales la igualdad MCD (a, b) = a u 0 + b v 0 será válida.

La igualdad dada en el enunciado de propiedad es la representación lineal del máximo común divisor de ay b. Se llama relación de Bezout, y los números u 0 y v 0 se denominan coeficientes de Bezout.

Prueba 3

Demostremos esta propiedad. Escribamos una secuencia de igualdades según el algoritmo euclidiano:

La primera igualdad nos dice que r 1 = a - b q 1. Denotamos 1 = s 1 y - q 1 = t 1 y reescribimos esta igualdad como r 1 = s 1 a + t 1 b. Aquí los números s 1 y t 1 serán números enteros. La segunda igualdad nos permite concluir que r 2 = b - r 1 q 2 = b - (s 1 a + t 1 b) q 2 = - s 1 q 2 a + (1 - t 1 q 2) b. Denotamos - s 1 q 2 = s 2 y 1 - t 1 q 2 = t 2 y reescribimos la igualdad como r 2 = s 2 a + t 2 b, donde s 2 y t 2 también serán números enteros. Esto se debe a que la suma de números enteros, su producto y su diferencia también son números enteros. Exactamente de la misma manera obtenemos de la tercera igualdad r 3 = s 3 a + t 3 b, de la siguiente r 4 = s 4 a + t 4 b, etc. Finalmente, concluimos que r k = s k a + t k b para enteros s k y t k. Como rk = mcd (a, b), denotamos sk = u 0 y tk = v 0, Como resultado, podemos obtener una representación lineal de mcd en la forma requerida: mcd (a, b) = au 0 + bv 0.

Definición 9

MCD (m a, m b) = m MCD (a, b) para cualquier valor natural de m.

Prueba 4

Esta propiedad puede fundamentarse de la siguiente manera. Al multiplicar ambos lados de cada igualdad en el algoritmo de Euclides por el número m, obtenemos que MCD (m a, m b) = m r k, y r k es MCD (a, b). Por tanto, mcd (m a, m b) = m mcd (a, b). Es esta propiedad del máximo común divisor que se usa para encontrar el MCD mediante el método de factorización prima.

Definición 10

Si los números ayb tienen un divisor común p, entonces mcd (a: p, b: p) = mcd (a, b): p. En el caso en que p = mcd (a, b) obtenemos mcd (a: mcd (a, b), b: mcd (a, b) = 1, por lo tanto, los números a: mcd (a, b) y b : gcd (a, b) son coprime.

Dado que a = p (a: p) y b = p (b: p), con base en la propiedad anterior, podemos crear igualdades de la forma MCD (a, b) = MCD (p (a: p), p · (B: p)) = p · mcd (a: p, b: p), entre los cuales habrá una prueba de esta propiedad. Usamos esta afirmación cuando reducimos fracciones ordinarias a una forma irreducible.

Definición 11

El máximo común divisor a 1, a 2, ..., ak será el número dk, que se puede encontrar calculando secuencialmente MCD (a 1, a 2) = d 2, MCD (d 2, a 3) = d 3, MCD (d 3, a 4) = d 4,…, mcd (dk - 1, ak) = dk.

Esta propiedad es útil para encontrar el máximo común divisor de tres o más números. Puede usarse para reducir esta acción a operaciones con dos números. Su base es una consecuencia del algoritmo euclidiano: si el conjunto de divisores comunes a 1, a 2 y a 3 coincide con el conjunto d 2 y a 3, entonces coincide con los divisores d 3. Los divisores de los números a 1, a 2, a 3 y a 4 coincidirán con los divisores de d 3, lo que significa que también coincidirán con los divisores de d 4, y así sucesivamente. Al final, obtenemos que los divisores comunes de los números a 1, a 2,…, ak coinciden con los divisores de dk, y dado que el mayor divisor del número dk será este mismo número, entonces GCD (a 1, a 2,…, ak) = d k.

Eso es todo lo que nos gustaría decirte sobre las propiedades del máximo común divisor.

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Ahora y en el futuro, queremos decir que al menos uno de estos números es distinto de cero. Si todos los números dados son iguales a cero, entonces su divisor común es cualquier número entero, y dado que hay infinitos números enteros, no podemos hablar del mayor de ellos. Por lo tanto, no podemos hablar del máximo común divisor de números, cada uno de los cuales es igual a cero.

Ahora podemos dar determinando el máximo factor común dos números.

Definición.

Máximo común divisor dos enteros es el entero más grande que divide los dos enteros dados.

Para un registro breve del máximo común divisor, a menudo se usa la abreviatura GCD: mayor divisor común. Además, el máximo común divisor de dos números ayb a menudo se denomina mcd (a, b).

Vamos a dar ejemplo de máximo común divisor (mcd) dos enteros. El máximo común denominador de 6 y −15 es 3. Justifiquemos esto. Escribimos todos los divisores del número seis: ± 6, ± 3, ± 1, y los divisores del número −15 son los números ± 15, ± 5, ± 3 y ± 1. Ahora puedes encontrar todos los divisores comunes de los números 6 y -15, estos son los números -3, -1, 1 y 3. Dado que −3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .

Determinar el máximo común divisor de tres o más números enteros es similar a determinar el MCD de dos números.

Definición.

Máximo común divisor tres o más números enteros: este es el número entero más grande que divide simultáneamente todos los números dados.

El máximo común divisor de n números enteros a 1, a 2,…, a n se denotará como MCD (a 1, a 2,…, a n). Si se encuentra el valor b del máximo común divisor de estos números, entonces podemos escribir MCD (a 1, a 2, ..., a n) = b.

Como ejemplo, demos el MCD de cuatro enteros −8, 52, 16 y −12, es igual a 4, es decir, MCD (−8, 52, 16, −12) = 4. Esto se puede comprobar escribiendo todos los divisores de estos números, eligiendo los comunes y determinando el máximo común divisor.

Tenga en cuenta que el máximo común divisor de números enteros puede ser igual a uno de estos números. Esta afirmación es verdadera si todos estos números son divisibles por uno de ellos (la prueba se da en el siguiente párrafo de este artículo). Por ejemplo, MCD (15, 60, −45) = 15. Esto es cierto, ya que 15 divide a 15, 60 y −45, y no hay un divisor común de 15, 60 y −45 que exceda a 15.

De particular interés son los llamados números coprimos, aquellos enteros cuyo máximo común divisor es igual a uno.

Las mayores propiedades del divisor común, el algoritmo de Euclides

El factor común máximo tiene una serie de resultados característicos, en otras palabras, una serie de propiedades. Ahora enumeraremos los principales propiedades del máximo común divisor (MCD), los formularemos en forma de teoremas y presentaremos inmediatamente las demostraciones.

Formularemos todas las propiedades del máximo común divisor para enteros positivos, mientras que consideraremos solo los divisores positivos de estos números.

El máximo común divisor de ayb es igual al máximo común divisor de by a, es decir, mcd (a, b) = mcd (a, b).

Esta propiedad de MCD se deriva directamente de la definición del máximo común divisor.

Si a es divisible por b, entonces el conjunto de divisores comunes de los números ayb coincide con el conjunto de divisores del número b, en particular, MCD (a, b) = b.

Prueba.

Cualquier divisor común de los números ayb es un divisor de cada uno de estos números, incluido b. Por otro lado, dado que a es un múltiplo de b, entonces cualquier divisor de b también es un divisor de a debido al hecho de que la divisibilidad tiene la propiedad de transitividad, por lo tanto, cualquier divisor de b es un divisor común de ay b. Esto demostró que si a es divisible por b, entonces el conjunto de divisores de los números ayb coincide con el conjunto de divisores de un número b. Y dado que el máximo divisor del número b es el número b mismo, el máximo común divisor de los números ayb también es igual ab, es decir, MCD (a, b) = b.

En particular, si los números ayb son iguales, entonces Mcd (a, b) = mcd (a, a) = mcd (b, b) = a = b... Por ejemplo, MCD (132, 132) = 132.

La propiedad probada del mayor divisor nos permite encontrar el MCD de dos números cuando uno de ellos es divisible por el otro. En este caso, el MCD es igual a uno de estos números, por el cual se divide el otro número. Por ejemplo, MCD (8, 24) = 8, ya que 24 es múltiplo de ocho.

Si a = bq + c, donde a, b, cyq son números enteros, entonces el conjunto de divisores comunes de los números ayb coincide con el conjunto de divisores comunes de los números byc, en particular, MCD (a , b) = MCD (b, c).

Justifiquemos esta propiedad de la GCD.

Dado que la igualdad a = b q + c se cumple, entonces cualquier divisor común de los números ayb también divide c (esto se sigue de las propiedades de divisibilidad). Por la misma razón, cualquier divisor común de byc divide a a. Por lo tanto, el conjunto de divisores comunes de los números ayb es el mismo que el conjunto de divisores comunes de los números by c. En particular, el mayor de estos divisores comunes también debe coincidir, es decir, la siguiente igualdad MCD (a, b) = MCD (b, c) debe ser verdadera.

Ahora establecemos y probamos un teorema que es Algoritmo de Euclides... El algoritmo euclidiano le permite encontrar el MCD de dos números (consulte encontrar el MCD mediante el algoritmo euclidiano). Además, el algoritmo de Euclides nos permitirá probar las propiedades del máximo común divisor que se indican a continuación.

Antes de dar la formulación del teorema, recomendamos refrescar su memoria un teorema de la sección de la teoría, que establece que el dividendo a se puede representar como bq + r, donde b es un divisor, q es un número entero llamado cociente incompleto. , y r es un número entero que satisface la condición, llamado resto.

Entonces, supongamos que para dos enteros positivos distintos de cero a y b la serie de igualdades

termina cuando rk + 1 = 0 (lo cual es inevitable, ya que b> r 1> r 2> r 3, ... es una serie de números enteros decrecientes, y esta serie no puede contener más de un número finito de números positivos), entonces rk es el máximo común divisor de ayb, es decir, rk = mcd (a, b).

Prueba.

Primero demostremos que r k es un divisor común de los números ayb, después de lo cual demostraremos que r k no es solo un divisor, sino el máximo común divisor de los números ay b.

Avanzaremos a lo largo de las igualdades escritas de abajo hacia arriba. De la última igualdad podemos decir que r k - 1 es divisible por r k. Teniendo en cuenta este hecho, así como la propiedad anterior de MCD, la penúltima igualdad rk - 2 = rk - 1 qk + rk nos permite afirmar que rk - 2 es divisible por rk, ya que rk - 1 es divisible por rk y rk es divisible por r k. Por analogía, a partir de la tercera igualdad inferior, llegamos a la conclusión de que r k - 3 es divisible por r k. Etc. De la segunda igualdad obtenemos que b es divisible por r k, y de la primera igualdad obtenemos que a es divisible por r k. Por lo tanto, r k es un divisor común de ay b.

Queda por demostrar que r k = MCD (a, b). Pues, basta con mostrar que cualquier divisor común de los números ayb (lo denotamos por r 0) divide r k.

Avanzaremos a lo largo de las igualdades originales de arriba hacia abajo. En virtud de la propiedad anterior, de la primera igualdad se deduce que r 1 es divisible por r 0. Entonces de la segunda igualdad obtenemos que r 2 es divisible por r 0. Etc. De la última igualdad obtenemos que r k es divisible por r 0. Por tanto, r k = mcd (a, b).

De la propiedad considerada del máximo común divisor se deduce que el conjunto de divisores comunes de los números ayb coincide con el conjunto de divisores del máximo común divisor de estos números. Esta consecuencia del algoritmo euclidiano le permite encontrar todos los divisores comunes de dos números como divisores del MCD de estos números.

Sean ayb números enteros que no son simultáneamente cero, entonces existen tales números enteros u 0 y v 0, entonces la igualdad MCD (a, b) = a u 0 + b v 0 es verdadera. La última igualdad es una representación lineal del máximo común divisor de los números ayb, esta igualdad se llama relación de Bezout, y los números u 0 y v 0 se denominan coeficientes de Bezout.

Prueba.

Según el algoritmo de Euclides, podemos escribir las siguientes igualdades

De la primera igualdad tenemos r 1 = a - b q 1, y, denotando 1 = s 1 y −q 1 = t 1, esta igualdad toma la forma r 1 = s 1 a + t 1 b, y los números s 1 y t 1 son números enteros. Entonces de la segunda igualdad obtenemos r 2 = b - r 1 q 2 = b− (s 1 a + t 1 b) q 2 = −s 1 q 2 a + (1 - t 1 q 2) b... Denotando −s 1 q 2 = s 2 y 1 - t 1 q 2 = t 2, la última igualdad se puede escribir en la forma r 2 = s 2 a + t 2 b, y s 2 y t 2 son números enteros (ya que la suma, diferencia y producto de números enteros es un número entero). De manera similar, de la tercera igualdad obtenemos r 3 = s 3 a + t 3 b, de la cuarta r 4 = s 4 a + t 4 b, y así sucesivamente. Finalmente, r k = s k a + t k b, donde s k y t k son números enteros. Como r k = mcd (a, b), y, denotando s k = u 0 y t k = v 0, obtenemos una representación lineal de mcd de la forma requerida: mcd (a, b) = a u 0 + b v 0.

Si m es cualquier número natural, entonces Mcd (m a, m b) = m mcd (a, b).

El fundamento de esta propiedad del máximo común divisor es el siguiente. Si multiplicamos por m ambos lados de cada una de las igualdades del algoritmo euclidiano, obtenemos que mcd (m a, m b) = m r k, y r k es mcd (a, b). Por eso, Mcd (m a, m b) = m mcd (a, b).

Esta propiedad del máximo común divisor se basa en el método de hallar el MCD mediante factorización prima.

Sea p cualquier divisor común de los números ayb, entonces Mcd (a: p, b: p) = mcd (a, b): p, en particular, si p = mcd (a, b) tenemos Mcd (a: mcd (a, b), b: mcd (a, b)) = 1, es decir, los números a: mcd (a, b) yb: mcd (a, b) son primos relativos.

Dado que a = p (a: p) y b = p (b: p), y en virtud de la propiedad anterior, podemos escribir una cadena de igualdades de la forma Mcd (a, b) = mcd (p (a: p), p (b: p)) = p · MCD (a: p, b: p), de donde se sigue la igualdad que se prueba.

La propiedad recién probada del máximo común divisor es la base.

Ahora analizaremos la propiedad MCD, que reduce el problema de encontrar el máximo común divisor de tres o más números para encontrar secuencialmente el MCD de dos números.

El máximo común divisor de los números a 1, a 2, ..., ak es igual al número dk, que se encuentra en el cálculo secuencial de MCD (a 1, a 2) = d 2, MCD (d 2, a 3) = d 3, MCD (d 3, a 4) = d 4,…, mcd (d k-1, ak) = dk.

La prueba se basa en un corolario del algoritmo de Euclides. Los divisores comunes de los números a 1 y a 2 son los mismos que los divisores de d 2. Entonces los divisores comunes de los números a 1, a 2 y a 3 coinciden con los divisores comunes de los números d 2 y a 3, por lo tanto, coinciden con los divisores de d 3. Los factores comunes de los números a 1, a 2, a 3 y a 4 coinciden con los factores comunes de d 3 y a 4, por lo tanto, coinciden con los factores de d 4. Etc. Finalmente, los divisores comunes de los números a 1, a 2,…, a k coinciden con los divisores de d k. Y dado que el mayor divisor del número d k es el mismo número d k, entonces MCD (a 1, a 2, ..., a k) = d k.

Con esto concluye nuestro estudio de las principales propiedades del máximo común divisor.

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