El área de la superficie lateral del prisma. ¡Hola! En esta publicación, analizaremos un grupo de tareas sobre estereometría. Considere una combinación de cuerpos: un prisma y un cilindro. Por el momento, este artículo completa toda la serie de artículos relacionados con la consideración de tipos de tareas en estereometría.

Si aparecen nuevas tareas en el banco de tareas, entonces, por supuesto, habrá adiciones al blog en el futuro. Pero lo que ya hay es suficiente para que puedas aprender a resolver todos los problemas con una respuesta corta como parte del examen. El material será suficiente para los próximos años (el programa de matemáticas es estático).

Las tareas presentadas están relacionadas con el cálculo del área del prisma. Observo que a continuación consideramos un prisma recto (y, en consecuencia, un cilindro recto).

Sin saber fórmulas, entendemos que la superficie lateral de un prisma son todas sus caras laterales. En un prisma recto, las caras laterales son rectángulos.

El área de la superficie lateral de dicho prisma es igual a la suma de las áreas de todas sus caras laterales (es decir, rectángulos). Si hablamos de un prisma regular en el que está inscrito un cilindro, entonces es claro que todas las caras de este prisma son rectángulos IGUALES.

Formalmente, el área de la superficie lateral de un prisma regular se puede expresar de la siguiente manera:

27064. Un prisma cuadrangular regular está circunscrito a un cilindro cuyo radio de base y altura son iguales a 1. Halla el área de la superficie lateral del prisma.

La superficie lateral de este prisma consta de cuatro rectángulos de igual área. La altura de la cara es igual a 1, la arista de la base del prisma es igual a 2 (son dos radios del cilindro), por lo tanto el área de la cara lateral es igual a:

Superficie lateral:

73023. Halla el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular circunscrito a un cilindro cuyo radio de base es √0,12 y cuya altura es 3.

El área de la superficie lateral de este prisma es igual a la suma de las áreas de las tres caras laterales (rectángulos). Para encontrar el área de la cara lateral, necesita saber su altura y la longitud del borde de la base. La altura es tres. Encuentra la longitud del borde de la base. Considere la proyección (vista superior):

Tenemos un triángulo regular en el que está inscrita una circunferencia de radio √0,12. Del triángulo rectángulo AOC podemos encontrar AC. Y luego AD (AD=2AC). Por definición de tangente:

Entonces AD \u003d 2AC \u003d 1.2 Por lo tanto, el área de la superficie lateral es igual a:

27066. Halla el área de la superficie lateral de un prisma hexagonal regular circunscrito a un cilindro cuyo radio de base es √75 y cuya altura es 1.

El área deseada es igual a la suma de las áreas de todas las caras laterales. Para un prisma hexagonal regular, las caras laterales son rectángulos iguales.

Para encontrar el área de una cara, necesitas saber su altura y la longitud de la arista base. La altura es conocida, es igual a 1.

Encuentra la longitud del borde de la base. Considere la proyección (vista superior):

Tenemos un hexágono regular en el que está inscrita una circunferencia de radio √75.

Considere un triángulo rectángulo ABO. Conocemos el cateto OB (este es el radio del cilindro). también podemos determinar el ángulo AOB, es igual a 300 (el triángulo AOC es equilátero, OB es una bisectriz).

Usemos la definición de la tangente en un triángulo rectángulo:

AC \u003d 2AB, ya que OB es una mediana, es decir, divide AC por la mitad, lo que significa AC \u003d 10.

Así, el área de la cara lateral es 1∙10=10 y el área de la superficie lateral es:

76485. Halla el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular inscrito en un cilindro cuyo radio de base es 8√3 y cuya altura es 6.

El área de la superficie lateral del prisma especificado de tres caras de igual tamaño (rectángulos). Para encontrar el área, necesitas saber la longitud del borde de la base del prisma (sabemos la altura). Si consideramos la proyección (vista superior), entonces tenemos un triángulo regular inscrito en un círculo. El lado de este triángulo se expresa en términos del radio como:

Detalles de esta relación. asi sera igual

Entonces el área de la cara lateral es igual a: 24∙6=144. Y el área requerida:

245354. Un prisma cuadrangular regular está circunscrito cerca de un cilindro cuyo radio base es 2. El área de la superficie lateral del prisma es 48. Encuentra la altura del cilindro.

Definición.

Este es un hexágono, cuyas bases son dos cuadrados iguales y las caras laterales son rectángulos iguales.

costilla lateral es el lado común de dos caras laterales adyacentes

Altura del prisma es un segmento de recta perpendicular a las bases del prisma

prisma diagonal- un segmento que une dos vértices de las bases que no pertenecen a la misma cara

plano diagonal- un plano que pasa por la diagonal del prisma y sus aristas laterales

Sección diagonal- los límites de la intersección del prisma y el plano diagonal. La sección diagonal de un prisma cuadrangular regular es un rectángulo.

Sección perpendicular (sección ortogonal)- esta es la intersección de un prisma y un plano dibujado perpendicularmente a sus bordes laterales

Elementos de un prisma cuadrangular regular

La figura muestra dos prismas cuadrangulares regulares, que están marcados con las letras correspondientes:

• Las bases ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 son iguales y paralelas entre sí
• Caras laterales AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C y CC 1 D 1 D, cada una de las cuales es un rectángulo
• Superficie lateral - la suma de las áreas de todas las caras laterales del prisma
• Superficie total: la suma de las áreas de todas las bases y caras laterales (la suma del área de la superficie lateral y las bases)
• Costillas laterales AA 1 , BB 1 , CC 1 y DD 1 .
• Diagonal B 1 D
• Base diagonal BD
• Sección diagonal BB 1 D 1 D
• Sección perpendicular A 2 B 2 C 2 D 2 .

Propiedades de un prisma cuadrangular regular

• las bases son dos cuadrados iguales
• las bases son paralelas entre si
• Los lados son rectángulos.
• Las caras laterales son iguales entre sí.
• Las caras laterales son perpendiculares a las bases.
• Las costillas laterales son paralelas entre sí e iguales.
• Sección perpendicular perpendicular a todas las nervaduras laterales y paralela a las bases
• Ángulos de sección perpendicular - Derecho
• La sección diagonal de un prisma cuadrangular regular es un rectángulo.
• Perpendicular (sección ortogonal) paralela a las bases

Fórmulas para un prisma cuadrangular regular

Instrucciones para resolver problemas.

Al resolver problemas sobre el tema " prisma cuadrangular regular" implica que:

prisma correcto- un prisma en cuya base se encuentra un polígono regular, y las aristas laterales son perpendiculares a los planos de la base. Es decir, un prisma cuadrangular regular contiene en su base cuadrado. (ver arriba las propiedades de un prisma cuadrangular regular) Nota. Esto es parte de la lección con tareas de geometría (sección geometría sólida - prisma). Aquí están las tareas que causan dificultades en la resolución. Si necesita resolver un problema de geometría, que no está aquí, escríbalo en el foro. Para denotar la acción de extraer una raíz cuadrada en la resolución de problemas, se utiliza el símbolo√ .

Una tarea.

En un prisma cuadrangular regular, el área de la base es de 144 cm 2 y la altura es de 14 cm Halla la diagonal del prisma y el área total de la superficie.

Solución.
Un cuadrilátero regular es un cuadrado.
En consecuencia, el lado de la base será igual a

√144 = 12 cm.
De donde la diagonal de la base de un prisma rectangular regular será igual a
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

La diagonal de un prisma regular forma un triángulo rectángulo con la diagonal de la base y la altura del prisma. En consecuencia, según el teorema de Pitágoras, la diagonal de un prisma cuadrangular regular dado será igual a:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22cm

Responder: 22cm

Una tarea

Halla el área total de la superficie de un prisma cuadrangular regular si su diagonal es de 5 cm y la diagonal de la cara lateral es de 4 cm.

Solución.
Dado que la base de un prisma cuadrangular regular es un cuadrado, el lado de la base (denotado como a) se encuentra mediante el teorema de Pitágoras:

un 2 + un 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

La altura de la cara lateral (indicada como h) será entonces igual a:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
h2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

La superficie total será igual a la suma de la superficie lateral y el doble de la base.

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Respuesta: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Cualquier polígono puede estar en la base del prisma: un triángulo, un cuadrilátero, etc. Ambas bases son exactamente iguales y, en consecuencia, por lo que los ángulos de las caras paralelas están conectados entre sí, siempre son paralelos. En la base de un prisma regular se encuentra un polígono regular, es decir, uno en el que todos los lados son iguales. En un prisma recto, los bordes entre las caras laterales son perpendiculares a la base. En este caso, un polígono con cualquier número de ángulos puede estar en la base de un prisma recto. Un prisma cuya base es un paralelogramo se llama paralelepípedo. Un rectángulo es un caso especial de un paralelogramo. Si esta figura se encuentra en la base y las caras laterales están ubicadas en ángulo recto con la base, el paralelepípedo se llama rectangular. El segundo nombre de este cuerpo geométrico es rectangular.

como se ve ella

Hay bastantes prismas rectangulares en el entorno del hombre moderno. Este, por ejemplo, es el cartón habitual de debajo de los zapatos, componentes de la computadora, etc. Mira alrededor. Incluso en una habitación, seguramente verás muchos prismas rectangulares. Esta es una caja de computadora, una estantería, un refrigerador, un gabinete y muchos otros artículos. La forma es extremadamente popular principalmente porque le permite usar el espacio de la manera más eficiente posible, ya sea que esté decorando el interior o empaquetando cosas en cartón antes de mudarse.

Propiedades de un prisma rectangular

Un prisma rectangular tiene una serie de propiedades específicas. Cualquier par de caras puede servir como suyo, ya que todas las caras adyacentes están ubicadas en el mismo ángulo entre sí, y este ángulo es de 90 °. El volumen y el área de superficie de un prisma rectangular es más fácil de calcular que cualquier otro. Toma cualquier objeto que tenga la forma de un prisma rectangular. Mide su largo, ancho y alto. Para encontrar el volumen, basta con multiplicar estas medidas. Es decir, la fórmula se ve así: V \u003d a * b * h, donde V es el volumen, a y b son los lados de la base, h es la altura que coincide con el borde lateral de este cuerpo geométrico. El área base se calcula mediante la fórmula S1=a*b. Para obtener la superficie lateral, primero debes calcular el perímetro de la base usando la fórmula P=2(a+b) y luego multiplicarlo por la altura. Resulta la fórmula S2=P*h=2(a+b)*h. Para calcular el área total de la superficie de un prisma rectangular, se suma el doble del área de la base y el área de la superficie lateral. La fórmula es S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

poliedros

El principal objeto de estudio de la estereometría son los cuerpos tridimensionales. Cuerpo es una parte del espacio limitada por alguna superficie.

poliedro Un cuerpo cuya superficie consta de un número finito de polígonos planos se llama. Un poliedro se llama convexo si se encuentra en un lado del plano de cada polígono plano en su superficie. La parte común de tal plano y la superficie de un poliedro se llama borde. Las caras de un poliedro convexo son polígonos convexos planos. Los lados de las caras se llaman aristas del poliedro, y los vértices vértices del poliedro.

Por ejemplo, un cubo consta de seis cuadrados que son sus caras. Contiene 12 aristas (lados de cuadrados) y 8 vértices (vértices de cuadrados).

Los poliedros más simples son los prismas y las pirámides, que estudiaremos más adelante.

Prisma

Definición y propiedades de un prisma

prisma Se llama poliedro que consta de dos polígonos planos que se encuentran en planos paralelos combinados por traslación paralela, y todos los segmentos que conectan los puntos correspondientes de estos polígonos. Los polígonos se llaman bases de prisma, y los segmentos que conectan los vértices correspondientes de los polígonos son bordes laterales del prisma.

Altura del prisma llamado la distancia entre los planos de sus bases (). Un segmento que une dos vértices de un prisma que no pertenecen a la misma cara se llama prisma diagonal(). El prisma se llama n-carbón si su base es un n-ágono.

Cualquier prisma tiene las siguientes propiedades, que se derivan del hecho de que las bases del prisma se combinan por traslación paralela:

1. Las bases del prisma son iguales.

2. Los bordes laterales del prisma son paralelos e iguales.

La superficie de un prisma está formada por bases y superficie lateral. La superficie lateral del prisma consta de paralelogramos (esto se deduce de las propiedades del prisma). El área de la superficie lateral de un prisma es la suma de las áreas de las caras laterales.

prisma recto

El prisma se llama derecho si sus aristas laterales son perpendiculares a las bases. De lo contrario, el prisma se llama oblicuo.

Las caras de un prisma recto son rectángulos. La altura de un prisma recto es igual a sus caras laterales.

superficie de prisma completo es la suma del área de la superficie lateral y las áreas de las bases.

prisma correcto se llama prisma recto con un polígono regular en la base.

Teorema 13.1. El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro y la altura del prisma (o, de manera equivalente, a la arista lateral).

Prueba. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos cuyas bases son los lados de los polígonos en las bases del prisma, y ​​las alturas son los bordes laterales del prisma. Entonces, por definición, el área de la superficie lateral es:

,

donde es el perímetro de la base de un prisma recto.

Paralelepípedo

Si los paralelogramos se encuentran en las bases de un prisma, entonces se llama paralelepípedo. Todas las caras de un paralelepípedo son paralelogramos. En este caso, las caras opuestas del paralelepípedo son paralelas e iguales.

Teorema 13.2. Las diagonales del paralelepípedo se cortan en un punto y el punto de intersección se divide por la mitad.

Prueba. Considere dos diagonales arbitrarias, por ejemplo, y . Porque las caras del paralelepípedo son paralelogramos, luego y , lo que significa que según T unas dos rectas paralelas a la tercera . Además, esto significa que las rectas y se encuentran en el mismo plano (el plano). Este plano interseca planos paralelos y a lo largo de líneas paralelas y . Así, un cuadrilátero es un paralelogramo, y por la propiedad de un paralelogramo, sus diagonales se cortan y el punto de intersección se divide por la mitad, lo cual se requería demostrar.

Un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo se llama cuboides. Todas las caras de un paralelepípedo son rectángulos. Las longitudes de los bordes no paralelos de un paralelepípedo rectangular se denominan dimensiones lineales (medidas). Hay tres tamaños (ancho, alto, largo).

Teorema 13.3. En un paralelepípedo, el cuadrado de cualquier diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones. (demostrado aplicando dos veces la T de Pitágoras).

Un paralelepípedo rectangular en el que todas las aristas son iguales se llama cubo.

Tareas

13.1 ¿Cuántas diagonales tiene norte- prisma de carbono

13.2 En un prisma triangular inclinado, las distancias entre las aristas laterales son 37, 13 y 40. Halla la distancia entre la cara lateral mayor y la arista lateral opuesta.

13.3 A través del lado de la base inferior de un prisma triangular regular, se dibuja un plano que interseca las caras laterales a lo largo de segmentos, el ángulo entre los cuales es . Encuentre el ángulo de inclinación de este plano a la base del prisma.

Definición 1. Superficie prismática
Teorema 1. Sobre secciones paralelas de una superficie prismática
Definición 2. Sección perpendicular de una superficie prismática
Definición 3. Prisma
Definición 4. Altura del prisma
Definición 5. Prisma directo
Teorema 2. El área de la superficie lateral del prisma.

Paralelepípedo:
Definición 6. Paralelepípedo
Teorema 3. Sobre la intersección de las diagonales de un paralelepípedo
Definición 7. Paralelepípedo recto
Definición 8. Paralelepípedo rectangular
Definición 9. Dimensiones de un paralelepípedo
Definición 10. Cubo
Definición 11. Romboedro
Teorema 4. Sobre las diagonales de un paralelepípedo rectangular
Teorema 5. Volumen de un prisma
Teorema 6. Volumen de un prisma recto
Teorema 7. Volumen de un paralelepípedo rectangular

prisma se llama poliedro, en el que dos caras (bases) se encuentran en planos paralelos, y las aristas que no se encuentran en estas caras son paralelas entre sí.
Las caras distintas de las bases se llaman lateral.
Los lados de las caras laterales y las bases se llaman bordes del prisma, los extremos de las aristas se llaman la parte superior del prisma. costillas laterales llamadas aristas que no pertenecen a las bases. La unión de las caras laterales se llama superficie lateral del prisma, y la unión de todas las caras se llama toda la superficie del prisma. Altura del prisma se llama la perpendicular que cae desde el punto de la base superior al plano de la base inferior o la longitud de esta perpendicular. prisma recto llamado prisma, en el que las aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases. correcto llamado prisma recto (Fig. 3), en cuya base se encuentra un polígono regular.

Designaciones:
l - costilla lateral;
P - perímetro de la base;
S o - área de la base;
H - altura;
P ^ - perímetro de la sección perpendicular;
S b - superficie lateral;
V - volumen;
S p - área de la superficie total del prisma.

V = SH S p \u003d S b + 2S o S segundo = P^l

Definición 1 . Una superficie prismática es una figura formada por partes de varios planos paralelos a una línea recta limitada por aquellas líneas rectas a lo largo de las cuales estos planos se cortan sucesivamente entre sí *; estas rectas son paralelas entre si y se llaman bordes de la superficie prismática.
*Se supone que cada dos planos consecutivos se cortan y que el último plano corta al primero.

Teorema 1 . Las secciones de una superficie prismática por planos paralelos entre sí (pero no paralelos a sus bordes) son polígonos iguales.
Sean ABCDE y A"B"C"D"E" secciones de una superficie prismática por dos planos paralelos. Para comprobar que estos dos polígonos son iguales, basta demostrar que los triángulos ABC y A"B"C" son iguales y tienen el mismo sentido de rotación y que lo mismo vale para los triángulos ABD y A"B"D", ABE y A"B"E". Pero los lados correspondientes de estos triángulos son paralelos (por ejemplo, AC es paralelo a A "C") como las líneas de intersección de un cierto plano con dos planos paralelos; se sigue que estos lados son iguales (por ejemplo, AC es igual a A"C") como lados opuestos de un paralelogramo, y que los ángulos formados por estos lados son iguales y tienen la misma dirección.

Definición 2 . Una sección perpendicular de una superficie prismática es una sección de esta superficie por un plano perpendicular a sus bordes. En base al teorema anterior, todas las secciones perpendiculares de una misma superficie prismática serán polígonos iguales.

Definición 3 . Un prisma es un poliedro delimitado por una superficie prismática y dos planos paralelos entre sí (pero no paralelos a los bordes de la superficie prismática)
Los rostros que se encuentran en estos últimos planos se llaman bases de prisma; caras pertenecientes a una superficie prismática - caras laterales; bordes de la superficie prismática - bordes laterales del prisma. En virtud del teorema anterior, las bases del prisma son polígonos iguales. Todas las caras laterales del prisma paralelogramos; todos los bordes laterales son iguales entre sí.
Es obvio que si la base del prisma ABCDE y una de las aristas AA" se dan en magnitud y dirección, entonces es posible construir un prisma trazando las aristas BB", CC", .., iguales y paralelas a el borde AA".

Definición 4 . La altura de un prisma es la distancia entre los planos de sus bases (HH").

Definición 5 . Un prisma se llama línea recta si sus bases son secciones perpendiculares de una superficie prismática. En este caso, la altura del prisma es, por supuesto, su costilla lateral; los bordes laterales se rectángulos.
Los prismas se pueden clasificar por el número de caras laterales, igual al número de lados del polígono que le sirve de base. Así, los prismas pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.

Teorema 2 . El área de la superficie lateral del prisma es igual al producto de la arista lateral y el perímetro de la sección perpendicular.
Sea ABCDEA"B"C"D"E" el prisma dado y sea abcde su sección perpendicular, de modo que los segmentos ab, bc, .. sean perpendiculares a sus aristas laterales. La cara ABA"B" es un paralelogramo; su área es igual al producto de la base AA” a una altura que corresponde a ab; el área de la cara BCV "C" es igual al producto de la base BB" por la altura bc, etc. Por lo tanto, la superficie lateral (es decir, la suma de las áreas de las caras laterales) es igual al producto de la arista lateral, es decir, la longitud total de los segmentos AA", BB", .., por la suma ab+bc+cd+de+ea.