El volumen de un cuerpo de revolución alrededor de y. Lección "Cálculo de los volúmenes de cuerpos de revolución usando una integral definida

Al igual que con el problema de encontrar el área, necesita habilidades de dibujo confiables; esto es casi lo más importante (ya que las integrales en sí mismas a menudo serán fáciles). Puede dominar una técnica gráfica competente y rápida con la ayuda de materiales metodológicos y transformaciones geométricas de gráficos. Pero, de hecho, he hablado repetidamente sobre la importancia de los dibujos en la lección.

En general, hay muchas aplicaciones interesantes en el cálculo integral; usando una integral definida, puede calcular el área de una figura, el volumen de un cuerpo de revolución, la longitud del arco, el área de superficie de rotación , y mucho más. Así que será divertido, ¡sé optimista!

Imagina una figura plana en el plano de coordenadas. ¿Representado? ... Me pregunto quién presentó qué ... =))) Ya hemos encontrado su área. Pero, además, esta figura también se puede girar, y girar de dos formas:

- alrededor del eje de abscisas;
- alrededor del eje y.

En este artículo se discutirán ambos casos. El segundo método de rotación es especialmente interesante, causa las mayores dificultades, pero de hecho la solución es casi la misma que en la rotación más común alrededor del eje x. Como bono, volveré a el problema de hallar el area de una figura, y te dirá cómo encontrar el área de la segunda manera, a lo largo del eje. Ni siquiera es una ventaja, ya que el material encaja bien en el tema.

Comencemos con el tipo de rotación más popular.

figura plana alrededor de un eje

Ejemplo 1

Calcular el volumen del cuerpo obtenido al girar la figura delimitada por líneas alrededor del eje.

Solución: Como en el problema del área, la solución comienza con un dibujo de una figura plana. Es decir, en el plano es necesario construir una figura delimitada por líneas, sin olvidar que la ecuación define el eje. En las páginas se puede encontrar cómo hacer un dibujo de manera más racional y rápida. Gráficas y Propiedades de Funciones Elementales Y Integral definida. Cómo calcular el área de una figura. Este es un recordatorio chino y no me detengo en este punto.

El dibujo aquí es bastante simple:

La figura plana deseada está sombreada en azul, y es la que gira alrededor del eje.Como resultado de la rotación, se obtiene un platillo volador ligeramente en forma de huevo, que es simétrico alrededor del eje. De hecho, el cuerpo tiene un nombre matemático, pero es demasiado perezoso para especificar algo en el libro de referencia, así que seguimos adelante.

¿Cómo calcular el volumen de un cuerpo de revolución?

El volumen de un cuerpo de revolución se puede calcular mediante la fórmula:

En la fórmula, debe haber un número antes de la integral. Dio la casualidad de que todo lo que gira en la vida está conectado con esta constante.

Cómo establecer los límites de integración "a" y "be", creo, es fácil de adivinar a partir del dibujo completo.

Función... ¿qué es esta función? Miremos el dibujo. La figura plana está delimitada por el gráfico de parábola desde arriba. Esta es la función implícita en la fórmula.

En tareas prácticas, a veces se puede ubicar una figura plana debajo del eje. Esto no cambia nada: el integrando en la fórmula se eleva al cuadrado: , por lo tanto la integral siempre es no negativa, lo cual es bastante lógico.

Calcular el volumen del cuerpo de revolución utilizando esta fórmula:

Como ya señalé, la integral casi siempre resulta simple, lo principal es tener cuidado.

Responder:

En la respuesta, es necesario indicar la dimensión - unidades cúbicas. Es decir, en nuestro cuerpo de rotación hay aproximadamente 3,35 "cubos". ¿Por qué exactamente cúbico? unidades? Porque la formulación más universal. Puede haber centímetros cúbicos, puede haber metros cúbicos, puede haber kilómetros cúbicos, etc., así son los hombrecitos verdes que tu imaginación puede meter en un platillo volador.

Ejemplo 2

Encuentre el volumen del cuerpo formado por la rotación alrededor del eje de la figura delimitada por las líneas , ,

Este es un ejemplo de bricolaje. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Consideremos dos problemas más complejos, que también se encuentran a menudo en la práctica.

Ejemplo 3

Calcular el volumen del cuerpo obtenido al girar alrededor del eje de abscisas de la figura delimitada por las rectas , y

Solución: Dibuje una figura plana en el dibujo, delimitada por las líneas , , , , sin olvidar que la ecuación define el eje:

La cifra deseada está sombreada en azul. Cuando gira alrededor del eje, se obtiene una dona tan surrealista con cuatro esquinas.

El volumen del cuerpo de revolución se calcula como diferencia de volumen corporal.

Primero, veamos la figura que está en un círculo rojo. Cuando gira alrededor del eje, se obtiene un cono truncado. Denotemos el volumen de este cono truncado como .

Considere la figura que está encerrada en un círculo verde. Si rotas esta figura alrededor del eje, también obtendrás un cono truncado, solo que un poco más pequeño. Denotemos su volumen por .

Y, obviamente, la diferencia de volúmenes es exactamente el volumen de nuestro “donut”.

Usamos la fórmula estándar para encontrar el volumen de un cuerpo de revolución:

1) La figura encerrada en un círculo rojo está delimitada desde arriba por una línea recta, por lo tanto:

2) La figura encerrada en un círculo verde está delimitada desde arriba por una línea recta, por lo tanto:

3) El volumen del cuerpo de revolución deseado:

Responder:

Es curioso que en este caso se pueda comprobar la solución mediante la fórmula escolar para calcular el volumen de un cono truncado.

La decisión en sí a menudo se hace más corta, algo como esto:

Ahora tomemos un descanso y hablemos de ilusiones geométricas.

Las personas a menudo tienen ilusiones asociadas con los volúmenes, que Perelman (otro) notó en el libro. geometría interesante. Mire la figura plana en el problema resuelto: parece tener un área pequeña y el volumen del cuerpo de revolución es un poco más de 50 unidades cúbicas, lo que parece demasiado grande. Por cierto, la persona promedio en toda su vida bebe un líquido con un volumen de una habitación de 18 metros cuadrados, que, por el contrario, parece ser un volumen demasiado pequeño.

En general, el sistema educativo en la URSS realmente fue el mejor. El mismo libro de Perelman, publicado allá por 1950, desarrolla muy bien, como decía el humorista, el razonamiento y te enseña a buscar soluciones originales no estándar a los problemas. Recientemente releí algunos capítulos con mucho interés, lo recomiendo, es accesible hasta para los humanitarios. No, no tienes que sonreír que sugerí un pasatiempo bespontovy, la erudición y una perspectiva amplia en la comunicación es una gran cosa.

Después de una digresión lírica, es apropiado resolver una tarea creativa:

Ejemplo 4

Calcular el volumen de un cuerpo formado por rotación alrededor del eje de una figura plana delimitada por las líneas , , donde .

Este es un ejemplo de bricolaje. Tenga en cuenta que todo sucede en la banda, en otras palabras, en realidad se dan límites de integración listos para usar. Dibuja correctamente gráficos de funciones trigonométricas, te recordaré el material de la lección sobre transformaciones geométricas de grafos: si el argumento es divisible por dos: , entonces los gráficos se estiran a lo largo del eje dos veces. Es deseable encontrar al menos 3-4 puntos según tablas trigonométricas para completar con mayor precisión el dibujo. Solución completa y respuesta al final de la lección. Por cierto, la tarea se puede resolver racionalmente y no muy racionalmente.

Cálculo del volumen de un cuerpo formado por rotación.
figura plana alrededor de un eje

El segundo párrafo será aún más interesante que el primero. La tarea de calcular el volumen de un cuerpo de revolución alrededor del eje y también es un invitado bastante frecuente en los trabajos de prueba. De paso se considerará problema de hallar el area de una figura la segunda forma: integración a lo largo del eje, esto le permitirá no solo mejorar sus habilidades, sino también enseñarle cómo encontrar la solución más rentable. ¡También tiene un significado práctico! Como recordó con una sonrisa mi profesora de métodos de enseñanza de las matemáticas, muchos graduados le agradecieron con las palabras: “Su materia nos ayudó mucho, ahora somos gerentes efectivos y administramos a nuestro personal de manera óptima”. Aprovechando esta oportunidad, también le expreso mi gran gratitud, especialmente porque uso el conocimiento adquirido para el propósito previsto =).

Lo recomiendo para que todos lo lean, incluso los tontos completos. Además, el material asimilado del segundo párrafo será de inestimable ayuda en el cálculo de integrales dobles..

Ejemplo 5

Dada una figura plana delimitada por líneas , , .

1) Encuentra el área de una figura plana delimitada por estas líneas.
2) Hallar el volumen del cuerpo obtenido al girar una figura plana delimitada por estas líneas alrededor del eje.

¡Atención! Incluso si solo quieres leer el segundo párrafo, primero necesariamente lee el primero!

Solución: La tarea consta de dos partes. Comencemos con el cuadrado.

1) Ejecutemos el dibujo:

Es fácil ver que la función define la rama superior de la parábola y la función define la rama inferior de la parábola. Ante nosotros hay una parábola trivial, que "yace de lado".

La figura deseada, cuyo área se encuentra, está sombreada en azul.

¿Cómo encontrar el área de una figura? Se puede encontrar de la manera "habitual", que se consideró en la lección. Integral definida. Cómo calcular el área de una figura. Además, el área de la figura se encuentra como la suma de las áreas:
- en el segmento ;
- en el segmento.

Es por eso:

¿Qué tiene de malo la solución habitual en este caso? Primero, hay dos integrales. En segundo lugar, las raíces bajo integrales y las raíces en integrales no son un regalo, además, uno puede confundirse al sustituir los límites de integración. De hecho, las integrales, por supuesto, no son mortales, pero en la práctica todo es mucho más triste, solo recogí funciones "mejores" para la tarea.

Hay una forma más racional de resolverlo: consiste en pasar a funciones inversas e integrar a lo largo del eje.

¿Cómo pasar a funciones inversas? En términos generales, debe expresar de "x" a "y". Primero, tratemos con la parábola:

Esto es suficiente, pero asegurémonos de que la misma función se pueda derivar de la rama inferior:

Con una línea recta, todo es más fácil:

Ahora mire el eje: incline periódicamente la cabeza hacia la derecha 90 grados mientras explica (¡esto no es una broma!). La figura que necesitamos se encuentra en el segmento, que está indicado por la línea de puntos roja. Además, en el segmento, la línea recta se encuentra sobre la parábola, lo que significa que el área de la figura debe encontrarse utilizando la fórmula que ya le es familiar: . ¿Qué ha cambiado en la fórmula? Sólo una carta, y nada más.

! Nota: Deben establecerse los límites de integración a lo largo del eje estrictamente de abajo hacia arriba!

Encontrar el área:

En el segmento , por lo tanto:

Preste atención a cómo realicé la integración, esta es la forma más racional, y en el siguiente párrafo de la tarea quedará claro por qué.

Para los lectores que duden de la corrección de la integración, encontraré derivados:

Se obtiene el integrando original, lo que significa que la integración se realiza correctamente.

Responder:

2) Calcular el volumen del cuerpo formado por la rotación de esta figura alrededor del eje.

Voy a volver a dibujar el dibujo en un diseño ligeramente diferente:

Entonces, la figura sombreada en azul gira alrededor del eje. El resultado es una "mariposa flotante" que gira alrededor de su eje.

Para encontrar el volumen del cuerpo de revolución, integraremos a lo largo del eje. Primero tenemos que pasar a las funciones inversas. Esto ya se ha hecho y descrito en detalle en el párrafo anterior.

Ahora inclinamos la cabeza hacia la derecha nuevamente y estudiamos nuestra figura. Obviamente, el volumen del cuerpo de revolución debe hallarse como la diferencia entre los volúmenes.

Giramos la figura encerrada en un círculo rojo alrededor del eje, lo que da como resultado un cono truncado. Denotemos este volumen por .

Rotamos la figura, en un círculo verde, alrededor del eje y la denotamos a través del volumen del cuerpo de revolución resultante.

El volumen de nuestra mariposa es igual a la diferencia de volúmenes.

Usamos la fórmula para encontrar el volumen de un cuerpo de revolución:

¿En qué se diferencia de la fórmula del párrafo anterior? Solo en letras.

Y aquí está la ventaja de la integración de la que hablaba hace un rato, es mucho más fácil de encontrar que elevar el integrando a la cuarta potencia.

Responder:

Sin embargo, una mariposa enfermiza.

Tenga en cuenta que si la misma figura plana se gira alrededor del eje, entonces resultará un cuerpo de revolución completamente diferente, de un volumen diferente, naturalmente.

Ejemplo 6

Dada una figura plana delimitada por rectas, y un eje.

1) Ve a funciones inversas y encuentra el área de una figura plana acotada por estas rectas integrando sobre la variable .
2) Calcular el volumen del cuerpo obtenido al girar una figura plana delimitada por estas líneas alrededor del eje.

Este es un ejemplo de bricolaje. Quienes lo deseen también pueden encontrar el área de la figura de la forma "habitual", completando así la prueba del punto 1). Pero si, repito, giras una figura plana alrededor del eje, entonces obtienes un cuerpo de rotación completamente diferente con un volumen diferente, por cierto, la respuesta correcta (también para aquellos a los que les gusta resolver).

La solución completa de los dos elementos propuestos de la tarea al final de la lección.

¡Ah, y no olvides inclinar la cabeza hacia la derecha para comprender los cuerpos de rotación y la integración!

figura plana alrededor de un eje

Ejemplo 3

Dada una figura plana delimitada por líneas , , .

1) Encuentra el área de una figura plana delimitada por estas líneas.

2) Hallar el volumen del cuerpo obtenido al girar una figura plana delimitada por estas líneas alrededor del eje.

¡Atención! Incluso si solo quieres leer el segundo párrafo, primero necesariamente lee el primero!

Solución: La tarea consta de dos partes. Comencemos con el cuadrado.

1) Ejecutemos el dibujo:

Es fácil ver que la función define la rama superior de la parábola y la función define la rama inferior de la parábola. Ante nosotros hay una parábola trivial, que "yace de lado".

La figura deseada, cuyo área se encuentra, está sombreada en azul.

¿Cómo encontrar el área de una figura? Se puede encontrar de la manera "normal". Además, el área de la figura se encuentra como la suma de las áreas:

- en el segmento ;

- en el segmento.

Es por eso:

Hay una forma más racional de resolverlo: consiste en pasar a funciones inversas e integrar a lo largo del eje.

¿Cómo pasar a funciones inversas? En términos generales, debe expresar de "x" a "y". Primero, tratemos con la parábola:

Esto es suficiente, pero asegurémonos de que la misma función se pueda derivar de la rama inferior:

Con una línea recta, todo es más fácil:

! Nota : Límites de integración del eje debe ser arregladoestrictamente de abajo hacia arriba !

Encontrar el área:

En el segmento , por lo tanto:

Preste atención a cómo realicé la integración, esta es la forma más racional, y en el siguiente párrafo de la tarea quedará claro por qué.

Para los lectores que duden de la corrección de la integración, encontraré derivados:

Se obtiene el integrando original, lo que significa que la integración se realiza correctamente.

Responder:

2) Calcular el volumen del cuerpo formado por la rotación de esta figura alrededor del eje.

Voy a volver a dibujar el dibujo en un diseño ligeramente diferente:

Entonces, la figura sombreada en azul gira alrededor del eje. El resultado es una "mariposa flotante" que gira alrededor de su eje.

Ahora inclinamos la cabeza hacia la derecha nuevamente y estudiamos nuestra figura. Obviamente, el volumen del cuerpo de revolución debe hallarse como la diferencia entre los volúmenes.

Giramos la figura encerrada en un círculo rojo alrededor del eje, lo que da como resultado un cono truncado. Denotemos este volumen por .

Rotamos la figura, en un círculo verde, alrededor del eje y la denotamos a través del volumen del cuerpo de revolución resultante.

El volumen de nuestra mariposa es igual a la diferencia de volúmenes.

Usamos la fórmula para encontrar el volumen de un cuerpo de revolución:

¿En qué se diferencia de la fórmula del párrafo anterior? Solo en letras.

Y aquí está la ventaja de la integración de la que hablaba hace un rato, es mucho más fácil de encontrar que elevar preliminarmente el integrando a la cuarta potencia.

Responder:

Tenga en cuenta que si la misma figura plana se gira alrededor del eje, entonces resultará un cuerpo de revolución completamente diferente, de un volumen diferente, naturalmente.

Ejemplo 7

Calcular el volumen del cuerpo formado por la rotación alrededor del eje de la figura delimitada por las curvas y .

Solución: Hagamos un dibujo:

En el camino, nos familiarizamos con los gráficos de algunas otras funciones. Un gráfico tan interesante de una función par....

Para el propósito de encontrar el volumen del cuerpo de revolución, es suficiente usar la mitad derecha de la figura, que sombreé en azul. Ambas funciones son pares, sus gráficas son simétricas respecto al eje y nuestra figura también es simétrica. Así, la parte sombreada de la derecha, girando alrededor del eje, coincidirá con seguridad con la parte izquierda sin sombrear.

El volumen de un cuerpo de revolución se puede calcular mediante la fórmula:

En la fórmula, debe haber un número antes de la integral. Dio la casualidad de que todo lo que gira en la vida está conectado con esta constante.

Cómo establecer los límites de integración "a" y "be", creo, es fácil de adivinar a partir del dibujo completo.

Función... ¿qué es esta función? Miremos el dibujo. La figura plana está limitada por el gráfico parabólico en la parte superior. Esta es la función implícita en la fórmula.

En tareas prácticas, a veces se puede ubicar una figura plana debajo del eje. Esto no cambia nada: el integrando en la fórmula está al cuadrado:, por lo tanto la integral siempre es no negativa , lo cual es bastante lógico.

Calcular el volumen del cuerpo de revolución utilizando esta fórmula:

Como ya señalé, la integral casi siempre resulta simple, lo principal es tener cuidado.

Responder:

Ejemplo 2

Encuentre el volumen de un cuerpo formado por rotación alrededor del eje de la figura delimitada por líneas,

Este es un ejemplo de bricolaje. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Consideremos dos problemas más complejos, que también se encuentran a menudo en la práctica.

Ejemplo 3

Calcular el volumen del cuerpo obtenido al girar alrededor del eje de abscisas de la figura delimitada por las rectas ,, y

Solución: Dibujemos una figura plana en el dibujo, delimitada por líneas ,,,, sin olvidar que la ecuación establece el eje:

La cifra deseada está sombreada en azul. Cuando gira alrededor del eje, se obtiene una dona tan surrealista con cuatro esquinas.

El volumen del cuerpo de revolución se calcula como diferencia de volumen corporal.

Primero, veamos la figura que está en un círculo rojo. Cuando gira alrededor del eje, se obtiene un cono truncado. Denote el volumen de este cono truncado por.

Considere la figura que está encerrada en un círculo verde. Si rotas esta figura alrededor del eje, también obtendrás un cono truncado, solo que un poco más pequeño. Denotemos su volumen por .

Y, obviamente, la diferencia de volúmenes es exactamente el volumen de nuestro “donut”.

Usamos la fórmula estándar para encontrar el volumen de un cuerpo de revolución:

1) La figura encerrada en un círculo rojo está delimitada desde arriba por una línea recta, por lo tanto:

2) La figura encerrada en un círculo verde está delimitada desde arriba por una línea recta, por lo tanto:

3) El volumen del cuerpo de revolución deseado:

Responder:

Es curioso que en este caso se pueda comprobar la solución mediante la fórmula escolar para calcular el volumen de un cono truncado.

La decisión en sí a menudo se hace más corta, algo como esto:

Ahora tomemos un descanso y hablemos de ilusiones geométricas.

Después de una digresión lírica, es apropiado resolver una tarea creativa:

Ejemplo 4

Calcular el volumen de un cuerpo formado por rotación alrededor del eje de una figura plana delimitada por las líneas, donde.

Este es un ejemplo de bricolaje. Tenga en cuenta que todo sucede en la banda, en otras palabras, en realidad se dan límites de integración listos para usar. Dibuja correctamente gráficos de funciones trigonométricas, te recordaré el material de la lección sobre transformaciones geométricas de grafos : si el argumento es divisible por dos: , entonces los gráficos se estiran a lo largo del eje dos veces. Es deseable encontrar al menos 3-4 puntos según tablas trigonométricas para completar con mayor precisión el dibujo. Solución completa y respuesta al final de la lección. Por cierto, la tarea se puede resolver racionalmente y no muy racionalmente.

Definición 3. Un cuerpo de revolución es un cuerpo obtenido al girar una figura plana alrededor de un eje que no interseca a la figura y se encuentra en el mismo plano que ella.

El eje de rotación también puede intersectar la figura si es el eje de simetría de la figura.

Teorema 2.
, eje
y segmentos de recta
Y

gira alrededor de un eje
. Entonces, el volumen del cuerpo de revolución resultante se puede calcular mediante la fórmula

(2)

Prueba. Para tal cuerpo, la sección con la abscisa es un circulo de radio
, medio
y la fórmula (1) da el resultado deseado.

Si la figura está limitada por las gráficas de dos funciones continuas
Y
y segmentos de línea
Y
, es más
Y
, entonces al girar alrededor del eje de abscisas, obtenemos un cuerpo cuyo volumen

Ejemplo 3 Calcular el volumen de un toro obtenido al girar un círculo limitado por un círculo

alrededor del eje x.

R solución. El círculo especificado está acotado desde abajo por la gráfica de la función
, y por encima -
. La diferencia de los cuadrados de estas funciones:

Volumen deseado

(la gráfica del integrando es el semicírculo superior, por lo que la integral escrita arriba es el área del semicírculo).

Ejemplo 4 Segmento parabólico con base
y altura , gira alrededor de la base. Calcule el volumen del cuerpo resultante ("limón" de Cavalieri).

R solución. Coloque la parábola como se muestra en la figura. entonces su ecuacion
, y
. Encontremos el valor del parámetro. :
. Entonces, el volumen deseado:

Teorema 3. Sea un trapezoide curvilíneo acotado por la gráfica de una función continua no negativa
, eje
y segmentos de recta
Y
, es más
, gira alrededor de un eje
. Entonces, el volumen del cuerpo de revolución resultante se puede encontrar mediante la fórmula

(3)

idea de prueba Dividir el segmento
puntos

, en partes y dibujar líneas rectas
. Todo el trapezoide se descompondrá en tiras, que pueden considerarse aproximadamente rectángulos con una base
y altura
.

El cilindro resultante de la rotación de dicho rectángulo se corta a lo largo de la generatriz y se despliega. Obtenemos un "casi" paralelepípedo con dimensiones:
,
Y
. su volumen
. Entonces, para el volumen de un cuerpo de revolución tendremos una igualdad aproximada

Para obtener la igualdad exacta, debemos pasar al límite en
. La suma escrita arriba es la suma integral para la función
, por lo tanto, en el límite obtenemos la integral de la fórmula (3). El teorema ha sido probado.

Observación 1. En los teoremas 2 y 3, la condición
puede omitirse: la fórmula (2) generalmente es insensible al signo
, y en la fórmula (3) basta
reemplazado por
.

Ejemplo 5 Segmento parabólico (base
, altura ) gira alrededor de la altura. Encuentre el volumen del cuerpo resultante.

Solución. Ordene la parábola como se muestra en la figura. Y aunque el eje de rotación cruza la figura, el eje es el eje de simetría. Por lo tanto, solo se debe considerar la mitad derecha del segmento. Ecuación de parábola
, y
, medio
. Tenemos para el volumen:

Observación 2. Si el límite curvilíneo de un trapezoide curvilíneo está dado por las ecuaciones paramétricas
,
,
Y
,
entonces las fórmulas (2) y (3) se pueden usar con el reemplazo sobre el
Y
sobre el
cuando cambia t desde
antes de .

Ejemplo 6 La figura está acotada por el primer arco de la cicloide.
,
,
, y el eje de abscisas. Encuentre el volumen del cuerpo obtenido al rotar esta figura alrededor de: 1) el eje
; 2) ejes
.

Solución. 1) Fórmula general
En nuestro caso:

2) Fórmula general
Para nuestra figura:

Alentamos a los estudiantes a que hagan todos los cálculos ellos mismos.

Observación 3. Sea un sector curvilíneo delimitado por una línea continua
y rayos
,

, gira alrededor del eje polar. El volumen del cuerpo resultante se puede calcular mediante la fórmula.

Ejemplo 7 Parte de una figura limitada por una cardioide
, acostado fuera del círculo
, gira alrededor del eje polar. Encuentre el volumen del cuerpo resultante.

Solución. Ambas rectas, y por tanto la figura que limitan, son simétricas respecto al eje polar. Por lo tanto, es necesario considerar sólo la parte para la cual
. Las curvas se cortan en
Y

en
. Además, la figura se puede considerar como la diferencia de dos sectores y, por lo tanto, el volumen se puede calcular como la diferencia de dos integrales. Tenemos:

Tareas para una solución independiente.

1. Un segmento circular cuya base
, altura , gira alrededor de la base. Encuentre el volumen del cuerpo de revolución.

2. Calcular el volumen de un paraboloide de revolución cuya base , y la altura es .

3. Figura limitada por un astroide
,
gira alrededor del eje x. Encuentre el volumen del cuerpo, que se obtiene en este caso.

4. Figura delimitada por líneas
Y
gira alrededor del eje x. Encuentre el volumen del cuerpo de revolución.

Cómo calcular el volumen de un cuerpo de revolución
utilizando una integral definida?

En general, hay muchas aplicaciones interesantes en el cálculo integral, con la ayuda de una integral definida, puede calcular el área de la figura, el volumen del cuerpo de rotación, la longitud del arco, el área de superficie de rotación, y mucho más. Así que será divertido, ¡sé optimista!

- alrededor del eje x;
- alrededor del eje y.

Comencemos con el tipo de rotación más popular.

figura plana alrededor de un eje

Calcular el volumen del cuerpo obtenido al girar la figura delimitada por líneas alrededor del eje.

Solución: Como en el problema del área, la solución comienza con un dibujo de una figura plana. Es decir, en el plano es necesario construir una figura delimitada por líneas, sin olvidar que la ecuación define el eje. En las páginas se puede encontrar cómo hacer un dibujo de manera más racional y rápida. Gráficas y Propiedades de Funciones Elementales Y . Este es un recordatorio chino y no me detengo en este punto.

El dibujo aquí es bastante simple:

¿Cómo calcular el volumen de un cuerpo de revolución?

El volumen de un cuerpo de revolución se puede calcular mediante la fórmula:

En la fórmula, debe haber un número antes de la integral. Dio la casualidad de que todo lo que gira en la vida está conectado con esta constante.

Cómo establecer los límites de integración "a" y "be", creo, es fácil de adivinar a partir del dibujo completo.

Función... ¿qué es esta función? Miremos el dibujo. La figura plana está delimitada por el gráfico de parábola desde arriba. Esta es la función implícita en la fórmula.

Calcular el volumen del cuerpo de revolución utilizando esta fórmula: