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Requiere conocimiento de las fórmulas básicas de trigonometría: la suma de los cuadrados del seno y el coseno, la expresión de la tangente a través del seno y el coseno, y otros. Para quienes los hayan olvidado o no los conozcan, recomendamos leer el artículo "".
Entonces, conocemos las fórmulas trigonométricas básicas, es hora de usarlas en la práctica. Resolver ecuaciones trigonométricas con el enfoque correcto, es una actividad bastante emocionante, como, por ejemplo, resolver un cubo de Rubik.
Basado en el nombre en sí, está claro que una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que la incógnita está bajo el signo de la función trigonométrica.
Existen las llamadas ecuaciones trigonométricas más simples. Así es como se ven: sinx = a, cos x = a, tg x = a. Considerar cómo resolver tales ecuaciones trigonométricas, para mayor claridad, usaremos el círculo trigonométrico ya familiar.
sinx = a
cos x = a
tg x = a
cuna x = a
Cualquier ecuación trigonométrica se resuelve en dos etapas: llevamos la ecuación a la forma más simple y luego la resolvemos como la ecuación trigonométrica más simple.
Hay 7 métodos principales mediante los cuales se resuelven las ecuaciones trigonométricas.
Método de sustitución de variables y sustitución
Resolver ecuaciones trigonométricas mediante factorización
Reducción a una ecuación homogénea
Resolver ecuaciones yendo a la mitad del ángulo
Introduciendo un ángulo auxiliar
Resuelve la ecuación 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 = 0
Usando las fórmulas de reducción, obtenemos:
2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0
Reemplace cos (x + / 6) con y para simplificar y obtenga la ecuación cuadrática habitual:
2 años 2 - 3 años + 1 + 0
Cuyas raíces y 1 = 1, y 2 = 1/2
Ahora vayamos en orden inverso
Sustituimos los valores de y encontrados y obtenemos dos respuestas:
¿Cómo resolver la ecuación sin x + cos x = 1?
Mueva todo a la izquierda para que 0 quede a la derecha:
sin x + cos x - 1 = 0
Usaremos las identidades anteriores para simplificar la ecuación:
sin x - 2 sin 2 (x / 2) = 0
Hacemos la factorización:
2 sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) = 0
2 pecado (x / 2) * = 0
Obtenemos dos ecuaciones
Una ecuación es homogénea con respecto al seno y el coseno si todos sus términos con respecto al seno y el coseno tienen la misma potencia del mismo ángulo. Para resolver una ecuación homogénea, proceda de la siguiente manera:
a) transferir todos sus miembros al lado izquierdo;
b) eliminar todos los factores comunes entre paréntesis;
c) igualar todos los factores y corchetes a 0;
d) se obtiene entre paréntesis una ecuación homogénea de menor grado, que a su vez se divide en seno o coseno en mayor grado;
e) resuelva la ecuación resultante para tg.
Resuelva la ecuación 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Usemos la fórmula sin 2 x + cos 2 x = 1 y eliminemos los dos abiertos a la derecha:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Dividir por cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Reemplaza tg x con y y obtén una ecuación cuadrática:
y 2 + 4y +3 = 0, cuyas raíces son y 1 = 1, y 2 = 3
A partir de aquí encontramos dos soluciones a la ecuación original:
x 2 = arctan 3 + k
Resuelve la ecuación 3sin x - 5cos x = 7
Pasando ax / 2:
6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)
Mueve todo a la izquierda:
2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0
Dividir por cos (x / 2):
tg 2 (x / 2) - 3 tg (x / 2) + 6 = 0
Para su consideración, tomamos una ecuación de la forma: a sin x + b cos x = c,
donde a, b, c son algunos coeficientes arbitrarios y se desconoce x.
Dividimos ambos lados de la ecuación en:
Ahora los coeficientes de la ecuación, según las fórmulas trigonométricas, tienen las propiedades de sin y cos, a saber: su módulo no es mayor que 1 y la suma de cuadrados = 1. Denotémoslos como cos y sin, respectivamente, donde es el llamado ángulo auxiliar. Entonces la ecuación tomará la forma:
cos * sin x + sin * cos x = С
o sin (x +) = C
La solución a esta ecuación trigonométrica más simple es
x = (-1) k * arcsin С - + k, donde
Tenga en cuenta que cos y sin se utilizan indistintamente.
Resuelve la ecuación sin 3x - cos 3x = 1
En esta ecuación, los coeficientes son:
a =, b = -1, entonces dividimos ambos lados por = 2
Las ecuaciones trigonométricas no son el tema más fácil. Dolorosamente son diversos). Por ejemplo, tales:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)
senx + cos2x + tg3x = ctg4x
Etc ...
Pero estos (y todos los demás) monstruos trigonométricos tienen dos características comunes y obligatorias. El primero, no lo creerá, hay funciones trigonométricas en las ecuaciones.) Segundo: todas las expresiones con x se encuentran dentro de estas mismas funciones.¡Y solo ahí! Si aparece x en cualquier lugar fuera de, por ejemplo, sin2x + 3x = 3, esta ya será una ecuación de tipo mixto. Tales ecuaciones requieren un enfoque individual. No los consideraremos aquí.
Tampoco resolveremos ecuaciones malignas en esta lección.) Aquí nos ocuparemos de las ecuaciones trigonométricas más simples.¿Por qué? Si, porque la solucion alguna Las ecuaciones trigonométricas tienen dos etapas. En la primera etapa, la ecuación del mal se reduce a una simple mediante varias transformaciones. En el segundo, se resuelve esta ecuación más simple. Ninguna otra manera.
Entonces, si tiene problemas en la segunda etapa, la primera etapa no tiene mucho sentido).
¿Cómo son las ecuaciones trigonométricas elementales?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Aquí a denota cualquier número. Alguien.
Por cierto, dentro de la función puede que no haya una x pura, sino algún tipo de expresión, como por ejemplo:
cos (3x + π / 3) = 1/2
etc. Esto complica la vida, pero no afecta el método de resolver la ecuación trigonométrica.
¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas?
Las ecuaciones trigonométricas se pueden resolver de dos formas. Primera forma: utilizando la lógica y el círculo trigonométrico. Consideraremos este camino aquí. La segunda forma, usar memoria y fórmulas, se discutirá en la próxima lección.
La primera forma es clara, confiable y difícil de olvidar). Es buena para resolver ecuaciones trigonométricas, desigualdades y todo tipo de ejemplos engañosos no estándar. ¡La lógica es más fuerte que la memoria!)
Resolver ecuaciones usando el círculo trigonométrico.
Incluimos lógica elemental y la capacidad de utilizar el círculo trigonométrico. ¿¡No puedes!? Sin embargo ... es difícil para ti en trigonometría ...) Pero no importa. Eche un vistazo a las lecciones "Círculo trigonométrico ... ¿Qué es?" y "Contar ángulos en un círculo trigonométrico". Allí todo es sencillo. A diferencia de los tutoriales ...)
Oh tú sabes !? ¿¡E incluso dominaste el "Trabajo práctico con el círculo trigonométrico"!? Felicidades. Este tema será cercano y comprensible para usted.) Lo que es especialmente agradable, al círculo trigonométrico no le importa qué ecuación resuelva. Seno, coseno, tangente, cotangente: todo es uno para él. Solo hay un principio de solución.
Entonces tomamos cualquier ecuación trigonométrica elemental. Al menos esto:
cosx = 0,5
Necesitamos encontrar la X. En términos humanos, necesitas encuentre el ángulo (x), cuyo coseno es 0.5.
¿Cómo usamos el círculo antes? Trazamos una esquina. En grados o radianes. Y inmediatamente visto funciones trigonométricas de este ángulo. Ahora hagamos lo contrario. Dibujemos un coseno igual a 0.5 en el círculo e inmediatamente ver inyección. Todo lo que queda es escribir la respuesta.) ¡Sí, sí!
Dibuja un círculo y marca un coseno de 0,5. En el eje del coseno, por supuesto. Como esto:
Ahora dibujemos el ángulo que nos da este coseno. Mueva el cursor del mouse sobre el dibujo (o toque la imagen en la tableta) y ver este mismo rincón NS.
¿Qué ángulo es el coseno 0.5?
x = π / 3
porque 60 °= cos ( π / 3) = 0,5
Alguien se reirá escépticamente, sí ... Dicen, valió la pena el círculo cuando ya todo está claro ... Puedes, por supuesto, reír ...) Pero el caso es que esta es una respuesta errónea. O mejor dicho, insuficiente. Los expertos en círculos entienden que todavía hay un montón de ángulos aquí, que también dan un coseno igual a 0.5.
Si gira el lado móvil del OA giro completo, el punto A volverá a su posición original. Con el mismo coseno igual a 0,5. Aquellos. el ángulo cambiará 360 ° o 2π radianes, y el coseno no lo es. El nuevo ángulo 60 ° + 360 ° = 420 ° también será la solución a nuestra ecuación, ya que
Puede enrollar un número infinito de vueltas tan completas ... Y todos estos nuevos ángulos serán soluciones a nuestra ecuación trigonométrica. Y todos ellos de alguna manera deben escribirse en respuesta. Todo. De lo contrario, la decisión no cuenta, sí ...)
Las matemáticas saben cómo hacer esto de una manera sencilla y elegante. En una respuesta corta, escribe conjunto sin fin soluciones. Así es como se ve para nuestra ecuación:
x = π / 3 + 2π norte, norte ∈ Z
Voy a descifrar. Todavía escribo significativamente más agradable que dibujar estúpidamente algunas letras misteriosas, ¿verdad?)
π / 3 - esta es la misma esquina que nosotros vio en el círculo y identificado según la tabla de coseno.
2π es una revolución completa en radianes.
norte es el número de llenos, es decir entero revoluciones. Está claro que norte puede ser 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... y así sucesivamente. Como lo indica una breve nota:
n ∈ Z
norte pertenece ∈ ) al conjunto de números enteros ( Z ). Por cierto, en lugar de la letra norte las letras bien pueden usarse k, m, t etc.
Esta entrada significa que puede tomar cualquier norte ... Al menos -3, al menos 0, al menos +55. Lo que quieras. Si inserta ese número en la respuesta, obtiene un ángulo específico que definitivamente resolverá nuestra dura ecuación).
O, en otras palabras, x = π / 3 es la única raíz del conjunto infinito. Para obtener todas las demás raíces, es suficiente agregar cualquier número de revoluciones completas a π / 3 ( norte ) en radianes. Aquellos. 2π n radián.
¿Todo? No. Deliberadamente estiro el placer. Para recordarlo mejor. Recibimos solo una parte de las respuestas a nuestra ecuación. Escribiré esta primera parte de la solución de la siguiente manera:
x 1 = π / 3 + 2π norte, norte ∈ Z
x 1 - no una raíz, es toda una serie de raíces, escritas en forma abreviada.
¡Pero también hay ángulos que también dan un coseno de 0,5!
Volvamos a nuestra imagen, que se usó para escribir la respuesta. Ahí está ella:
Pase el mouse sobre la imagen y ver otro rincón que también da un coseno de 0,5.¿A qué crees que es igual? Los triángulos son iguales ... ¡Sí! Es igual a la esquina NS solo se vuelve a poner en la dirección negativa. Esta es la esquina -NS. Pero ya hemos descubierto la x. π / 3 o 60 °. Por lo tanto, podemos escribir con seguridad:
x 2 = - π / 3
Bueno, y, por supuesto, suma todos los ángulos que se obtienen a través de giros completos:
x 2 = - π / 3 + 2π norte, norte ∈ Z
Eso es todo). En el círculo trigonométrico, vio(que entiende, por supuesto)) todosángulos que dan un coseno igual a 0,5. Y escribieron estos ángulos en forma matemática breve. La respuesta produjo dos series interminables de raíces:
x 1 = π / 3 + 2π norte, norte ∈ Z
x 2 = - π / 3 + 2π norte, norte ∈ Z
Esta es la respuesta correcta.
Esperar, principio general de resolución de ecuaciones trigonométricas usar un círculo es claro. Marcamos en el círculo el coseno (seno, tangente, cotangente) de la ecuación dada, dibujamos los ángulos correspondientes y escribimos la respuesta. Por supuesto, necesitas averiguar qué tipo de rincones somos. vio en el círculo. A veces no es tan obvio. Bueno, como dije, aquí se requiere lógica).
Por ejemplo, analicemos una ecuación trigonométrica más:
¡Tenga en cuenta que el número 0.5 no es el único número posible en las ecuaciones!) Es más conveniente para mí escribirlo que raíces y fracciones.
Trabajamos según el principio general. Dibuja un círculo, marca (¡en el eje del seno, por supuesto!) 0.5. Dibujamos a la vez todos los ángulos correspondientes a este seno. Consigamos la siguiente imagen:
Lidiar con el ángulo primero NS en el primer trimestre. Recordamos la tabla de senos y determinamos el valor de este ángulo. Es un asunto sencillo:
x = π / 6
Recordamos los giros completos y, con la conciencia tranquila, anotamos la primera serie de respuestas:
x 1 = π / 6 + 2π norte, norte ∈ Z
Medio hecho. Pero ahora necesitamos definir segunda esquina ... Esto es más astuto que en los cosenos, sí ... ¡Pero la lógica nos salvará! Cómo determinar el segundo ángulo a través de x? ¡Sí, fácil! Los triángulos de la imagen son iguales y la esquina roja NS igual al ángulo NS ... Solo se cuenta desde el ángulo π en la dirección negativa. Por lo tanto, es rojo.) Y para la respuesta necesitamos un ángulo, medido correctamente, del semieje OX positivo, es decir, desde un ángulo de 0 grados.
Pase el cursor sobre la imagen y vea todo. Quité la primera esquina para no complicar la imagen. El ángulo que nos interesa (dibujado en verde) será igual a:
π - x
X lo sabemos π / 6 ... Por tanto, la segunda esquina será:
π - π / 6 = 5π / 6
De nuevo recordamos la suma de revoluciones completas y anotamos la segunda serie de respuestas:
x 2 = 5π / 6 + 2π norte, norte ∈ Z
Eso es todo. La respuesta completa consta de dos series de raíces:
x 1 = π / 6 + 2π norte, norte ∈ Z
x 2 = 5π / 6 + 2π norte, norte ∈ Z
Las ecuaciones con tangente y cotangente se pueden resolver fácilmente usando el mismo principio general para resolver ecuaciones trigonométricas. Si, por supuesto, sabe cómo dibujar tangente y cotangente en un círculo trigonométrico.
En los ejemplos anteriores, utilicé el valor de seno y coseno de la tabla: 0.5. Aquellos. uno de esos significados que el alumno conoce debe. Ahora ampliemos nuestras capacidades para todos los demás valores.¡Decide, así que decide!)
Entonces, digamos que necesitamos resolver esta ecuación trigonométrica:
No existe tal valor de coseno en tablas cortas. Ignoramos este terrible hecho a sangre fría. Dibuja un círculo, marca 2/3 en el eje del coseno y dibuja los ángulos correspondientes. Obtenemos esta imagen.
Vamos a resolverlo, para empezar, con un ángulo en el primer trimestre. Si hubiera sabido a qué es igual X, ¡habrían escrito la respuesta de inmediato! No sabemos ... ¿¡Fracaso !? ¡Calma! ¡Las matemáticas no abandonan a los suyos en problemas! Ella ideó arcosenos para este caso. ¿No lo sé? En vano. Descúbrelo, es mucho más fácil de lo que crees. Debajo de este enlace, no hay un solo encantamiento complicado sobre "funciones trigonométricas inversas" ... Esto es superfluo en este tema.
Si está al tanto, basta con decirse a sí mismo: "X es el ángulo, cuyo coseno es 2/3". E inmediatamente, puramente por la definición del arcocoseno, puede escribir:
Recordamos giros adicionales y escribimos con calma la primera serie de raíces de nuestra ecuación trigonométrica:
x 1 = arcos 2/3 + 2π norte, norte ∈ Z
La segunda serie de raíces también se registra casi automáticamente para el segundo ángulo. Todo es igual, solo x (arccos 2/3) estará con un signo menos:
x 2 = - arcos 2/3 + 2π norte, norte ∈ Z
¡Y eso es todo! Esta es la respuesta correcta. Incluso más fácil que con los valores de la tabla. No necesitas recordar nada.) Por cierto, los más atentos notarán que esta imagen con la solución a través del coseno inverso en esencia, no difiere de la imagen de la ecuación cosx = 0.5.
¡Exactamente! ¡El principio general es el general! Especialmente hice dos dibujos casi idénticos. El círculo nos muestra el ángulo NS por su coseno. La mesa es un coseno, o no, el círculo no lo sabe. ¿Cuál es este ángulo, π / 3, o qué tipo de coseno inverso? Eso depende de nosotros.
Con seno la misma canción. Por ejemplo:
Dibuja el círculo nuevamente, marca el seno igual a 1/3, dibuja las esquinas. La imagen se ve así:
Nuevamente, la imagen es casi la misma que para la ecuación senx = 0,5. Nuevamente, comience en la esquina en el primer cuarto. ¿Qué es x si su seno es 1/3? ¡No hay problema!
Entonces el primer paquete de raíces está listo:
x 1 = arcos en 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Nos ocupamos de la segunda esquina. En el ejemplo con un valor de tabla de 0.5, fue:
π - x
¡Entonces aquí será exactamente lo mismo! Solo x es diferente, arcos en 1/3. ¿¡Y qué!? Puede escribir con seguridad el segundo paquete de raíces:
x 2 = π - arcos en 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Esta es una respuesta absolutamente correcta. Aunque no parece muy familiar. Pero es comprensible, espero.)
Así es como se resuelven las ecuaciones trigonométricas usando un círculo. Este camino es claro y comprensible. Es él quien guarda en ecuaciones trigonométricas con la selección de raíces en un intervalo dado, en desigualdades trigonométricas - generalmente se resuelven casi siempre en un círculo. En definitiva, en aquellas tareas que sean un poco más difíciles que las estándar.
¿Apliquemos nuestro conocimiento en la práctica?)
Resolver ecuaciones trigonométricas:
Al principio es más simple, desde esta lección.
Ahora más difícil.
Pista: aquí es donde tienes que reflexionar sobre el círculo. Personalmente.)
Y ahora son aparentemente sin pretensiones ... También se les llama casos especiales.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Sugerencia: aquí debe averiguar en un círculo dónde hay dos series de respuestas y dónde está una ... Y cómo, en lugar de dos series de respuestas, escriba una. ¡Sí, para que no se pierda ni una sola raíz del número infinito!)
Bueno, muy simples):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Pista: aquí necesitas saber qué es arcoseno, arcocoseno? ¿Qué es arco tangente, arco cotangente? Las definiciones más simples. ¡Pero no es necesario que recuerde ningún valor de la tabla!)
Las respuestas son, por supuesto, un desastre):
x 1= arcosen0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcosen0,3 + 2
¿No todo sale bien? Sucede. Vuelve a leer la lección. Solamente pensativamente(hay una palabra tan desactualizada ...) Y siga los enlaces. Los enlaces principales son sobre el círculo. Sin ella, en trigonometría, como cruzar la calle con una venda en los ojos. A veces funciona.)
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Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.
Introducción 2
Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas 5
Algebraico 5
Resolver ecuaciones usando la condición de igualdad para funciones trigonométricas del mismo nombre 7
Factorizar 8
Reducción a la ecuación homogénea 10
Introducción a la esquina auxiliar 11
Convertir trabajo en suma 14
Sustitución universal 14
Conclusión 17
Introducción
Hasta el décimo grado, el orden de las acciones de muchos ejercicios que conducen a la meta, por regla general, se define de manera inequívoca. Por ejemplo, ecuaciones y desigualdades lineales y cuadráticas, ecuaciones fraccionarias y ecuaciones reducibles a cuadráticas, etc. Sin examinar en detalle el principio de resolución de cada uno de los ejemplos anteriores, observemos qué es lo común que es necesario para su solución exitosa.
En la mayoría de los casos, es necesario establecer a qué tipo de tarea pertenece la tarea, recordar la secuencia de acciones que conducen a la meta y realizar estas acciones. Obviamente, el éxito o el fracaso de un estudiante en dominar los métodos de resolución de ecuaciones depende principalmente de cuánto podrá determinar correctamente el tipo de ecuación y recordar la secuencia de todas las etapas de su solución. Por supuesto, esto supone que el estudiante tiene las habilidades para realizar transformaciones y cálculos idénticos.
Una situación completamente diferente ocurre cuando un estudiante se encuentra con ecuaciones trigonométricas. Al mismo tiempo, no es difícil establecer el hecho de que la ecuación es trigonométrica. Las dificultades surgen al encontrar un orden de acciones que conduzca a un resultado positivo. Y aquí el alumno se enfrenta a dos problemas. Es difícil determinar el tipo a partir de la apariencia de la ecuación. Y sin conocer el tipo, es casi imposible elegir la fórmula correcta entre varias docenas disponibles.
Para ayudar a los estudiantes a encontrar el camino correcto en el complejo laberinto de ecuaciones trigonométricas, primero se les presentan las ecuaciones que, después de introducir una nueva variable, se reducen a cuadrados. Luego se resuelven las ecuaciones homogéneas y se reducen a ellas. Todo termina, por regla general, con ecuaciones, para cuya solución es necesario factorizar el lado izquierdo, igualando luego cada uno de los factores a cero.
Al darse cuenta de que la docena y media de ecuaciones analizadas en las lecciones claramente no es suficiente para iniciar al estudiante en un viaje independiente en el "mar" trigonométrico, el maestro agrega algunas recomendaciones más de él mismo.
Para resolver la ecuación trigonométrica, se debe intentar:
Reducir todas las funciones incluidas en la ecuación a "ángulos iguales";
Reducir la ecuación a "funciones idénticas";
Factoriza el lado izquierdo de la ecuación, etc.
Pero, a pesar del conocimiento de los tipos básicos de ecuaciones trigonométricas y varios principios para encontrar su solución, muchos estudiantes todavía se encuentran en un callejón sin salida antes de cada ecuación que es ligeramente diferente de las que se resolvieron antes. No está claro por qué uno debe esforzarse, teniendo esta o aquella ecuación, por qué en un caso es necesario aplicar las fórmulas del ángulo doble, en la otra mitad, y en la tercera, las fórmulas de adición, etc.
Definición 1. La trigonométrica es una ecuación en la que la incógnita está contenida bajo el signo de funciones trigonométricas.
Definición 2. Dicen que una ecuación trigonométrica tiene los mismos ángulos si todas las funciones trigonométricas incluidas en ella tienen argumentos iguales. Se dice que una ecuación trigonométrica tiene las mismas funciones si contiene solo una de las funciones trigonométricas.
Definición 3. El grado de un monomio que contiene funciones trigonométricas es la suma de los exponentes de las potencias de las funciones trigonométricas incluidas en él.
Definición 4. Una ecuación se llama homogénea si todos los monomios incluidos en ella tienen el mismo grado. Este grado se llama orden de la ecuación.
Definición 5. Ecuación trigonométrica que contiene solo funciones pecado y porque, se llama homogéneo si todos los monomios con respecto a las funciones trigonométricas tienen el mismo grado, y las funciones trigonométricas en sí tienen ángulos iguales y el número de monomios es 1 más que el orden de la ecuación.
Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.
La resolución de ecuaciones trigonométricas consta de dos etapas: transformar la ecuación para obtener su forma más simple y resolver la ecuación trigonométrica más simple resultante. Hay siete métodos básicos para resolver ecuaciones trigonométricas.
I. Método algebraico. Este método es bien conocido por el álgebra. (Método de sustitución variable y sustitución).
Resuelve ecuaciones.
1)
Introducimos la notación X=2 pecado3 t, obtenemos
Resolviendo esta ecuación, obtenemos: 
o 
aquellos. puede ser escrito
Al registrar la decisión recibida debido a la presencia de signos. 
la licenciatura 
no tiene sentido escribir.
Respuesta: 
Nosotros denotamos 
Obtenemos la ecuación cuadrática 
... Sus raíces son números 
y 
... Por lo tanto, esta ecuación se reduce a las ecuaciones trigonométricas más simples. 
y 
... Resolviéndolos, encontramos que 
o 
.
Respuesta: 
; 
.
Nosotros denotamos 
no satisface la condición 
Medio 
Respuesta: 
Transformemos el lado izquierdo de la ecuación:
Por tanto, esta ecuación inicial se puede escribir como:
, es decir.
Designando 
, obtenemos 
Habiendo resuelto esta ecuación cuadrática, tenemos:
no satisface la condición 
Escribimos la solución a la ecuación original:
Respuesta: 
Sustitución 
reduce esta ecuación a una ecuación cuadrática 
... Sus raíces son números 
y 
... Porque 
, entonces la ecuación dada no tiene raíces.
Respuesta: no hay raíces.
II... Solución de ecuaciones utilizando la condición de igualdad de funciones trigonométricas similares.
a) 
, si
B) 
, si
v) 
, si 
Usando estas condiciones, considere la solución de las siguientes ecuaciones:
6) 
Usando lo que se dijo en la parte a), encontramos que la ecuación tiene una solución si y solo si 
.
Resolviendo esta ecuación, encontramos 
.
Tenemos dos grupos de soluciones: 
.
7) Resuelve la ecuación: 
.
Usando la condición b), deducimos que 
.
Resolviendo estas ecuaciones cuadráticas, obtenemos:
.
8) Resuelve la ecuación 
.
De esta ecuación deducimos eso. Resolviendo esta ecuación cuadrática, encontramos que 
.
III... Factorización.
Consideramos este método por ejemplos.
9) Resuelve la ecuación 
.
Solución. Mover todos los términos de la ecuación a la izquierda :.
Transformamos y factorizamos la expresión del lado izquierdo de la ecuación: 
.
.
.
1)
2) 
Porque 
y 
no tomes el valor cero
al mismo tiempo, dividimos ambas partes
ecuaciones para 
, 
Respuesta: 
10) Resuelve la ecuación:
Solución.
o 
Respuesta: 
11) Resuelve la ecuación
Solución:
1)
2)
3)
, 
Respuesta: 
IV... Reducción a una ecuación homogénea.
Para resolver una ecuación homogénea necesitas:
Mueva todos sus miembros al lado izquierdo;
Saque todos los factores comunes de los paréntesis;
Ponga todos los factores y paréntesis a cero;
Los paréntesis equivalentes a cero dan una ecuación homogénea de menor grado, que debe dividirse por 
(o 
) en el grado superior;
Resuelva la ecuación algebraica resultante para 
.
Veamos algunos ejemplos:
12) Resuelve la ecuación:
Solución.
Divide ambos lados de la ecuación por 
, 
Introduciendo la notación 
, llamado
raíces de esta ecuación: 
por lo tanto 1) 
2) 
Respuesta: 
13) Resuelve la ecuación:
Solución. Usando las fórmulas del doble ángulo y la identidad trigonométrica básica, reducimos esta ecuación a la mitad del argumento:
Después de reducir dichos términos, tenemos:
Dividiendo la última ecuación homogénea por 
, obtenemos
Yo designare 
, obtenemos la ecuación cuadrática 
cuyas raíces son los números 
Por lo tanto 
Expresión 
desaparece en 
, es decir. a 
, 
.
Nuestra solución a la ecuación no incluye estos números.
Respuesta: 
, .
V... Introducción de un ángulo auxiliar.
Considere una ecuación de la forma
Dónde a B C- coeficientes, X- el desconocido.
Dividimos ambos lados de esta ecuación por 
Ahora los coeficientes de la ecuación tienen las propiedades del seno y el coseno, a saber: el módulo de cada uno de ellos no excede de uno, y la suma de sus cuadrados es 1.
Entonces podemos denotarlos en consecuencia 
(aquí 
- ángulo auxiliar) y nuestra ecuación toma la forma :.
Luego 
Y su decisión
Tenga en cuenta que las designaciones introducidas son mutuamente intercambiables.
14) Resuelve la ecuación: 
Solución. Aquí 
, entonces dividimos ambos lados de la ecuación por 
Respuesta: 
15) Resuelve la ecuación
Solución. Porque 
, entonces esta ecuación es equivalente a la ecuación
Porque 
, entonces hay un ángulo tal que 
, 
(aquellos. 
).
Tenemos 
Porque 
, luego finalmente obtenemos:
.
Tenga en cuenta que una ecuación de la forma tiene una solución si y solo si 
16) Resuelve la ecuación:
Para resolver esta ecuación, agrupamos funciones trigonométricas con los mismos argumentos
Divide ambos lados de la ecuación por dos
Transformamos la suma de funciones trigonométricas en un producto:
Respuesta: 
VI... Convertir una obra en una suma.
Aquí se utilizan las fórmulas correspondientes.
17) Resuelve la ecuación:
Solución. Convierta el lado izquierdo a la suma:
Vii.Sustitución universal.
, 
estas fórmulas son verdaderas para todos 
Sustitución 
llamado universal.
18) Resuelve la ecuación: 
Solución: Reemplazar y 
a su expresión a través de 
y denotar 
.
Obtenemos una ecuación racional 
que se convierte en cuadrado 
.
Las raíces de esta ecuación son los números 
.
Por tanto, el problema se redujo a resolver dos ecuaciones 
.
Encontramos eso 
.
Ver valor 
no satisface la ecuación original, que se verifica al verificar - sustitución de este valor t en la ecuación original.
Respuesta: 
.
Comentario. La ecuación 18 podría resolverse de otra manera.
Divida ambos lados de esta ecuación por 5 (es decir, por 
): 
.
Porque 
, entonces hay tal número 
, qué 
y 
... Por tanto, la ecuación toma la forma: 
o 
... De esto encontramos que 
dónde 
.
19) Resuelve la ecuación 
.
Solución. Dado que las funciones 
y 
tienen el mayor valor igual a 1, entonces su suma es igual a 2, si 
y 
, simultáneamente, es decir 
.
Respuesta: 
.
Al resolver esta ecuación, se utilizó la acotación de las funciones y.
Conclusión.
Trabajando en el tema "Soluciones de ecuaciones trigonométricas", es útil que cada profesor siga estas recomendaciones:
Sistematizar métodos para la resolución de ecuaciones trigonométricas.
Elija usted mismo los pasos para realizar el análisis de la ecuación y los signos de la conveniencia de utilizar uno u otro método de solución.
Piense en las formas de autocontrol de sus actividades para la implementación del método.
Aprenda a componer "sus" ecuaciones para cada uno de los métodos estudiados.
Apéndice 1
Resolver ecuaciones homogéneas u homogéneas.
1. | Resp. |
Resp. |
|
Resp. |
|
5. | Resp. |
Resp. |
|
7. | Resp. |
Resp. |
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