Entonces, el problema de estudiar un sistema de vectores de dependencia lineal se reduce al problema de encontrar el rango de una matriz compuesta por los vectores de este sistema.

Cabe señalar que para p> n el sistema vectorial será linealmente dependiente.

Comentario: al componer la matriz A, los vectores del sistema se pueden tomar no como filas, sino como columnas.

Algoritmo para estudiar un sistema de vectores de dependencia lineal.

Analicemos el algoritmo usando ejemplos.

Ejemplos de investigación de un sistema de vectores de dependencia lineal.

Ejemplo.

Se da un sistema de vectores. Examínelo en busca de dependencia lineal.

Solución.

Dado que el vector c es cero, el sistema original de vectores es linealmente dependiente debido a la tercera propiedad.

Respuesta:

El sistema vectorial es linealmente dependiente.

Ejemplo.

Examine el sistema vectorial para determinar la dependencia lineal.

Solución.

No es difícil notar que las coordenadas del vector c son iguales a las coordenadas correspondientes del vector multiplicadas por 3, es decir ,. Por lo tanto, el sistema de vectores original es linealmente dependiente.

Dependencia lineal e independencia lineal de vectores.
La base de los vectores. Sistema de coordenadas afines

Hay un carrito con chocolates en la audiencia, y cada visitante de hoy recibirá una dulce pareja: geometría analítica con álgebra lineal. Este artículo tocará dos secciones de matemáticas superiores a la vez, y veremos cómo coexisten en una sola envoltura. ¡Pausa, come Twix! ... maldita sea, bueno, y argumentó tonterías. Aunque está bien, no voy a puntuar, al final, debe haber una actitud positiva para estudiar.

Dependencia lineal de vectores, independencia lineal de los vectores, base de vector y otros términos tienen no solo una interpretación geométrica, sino, sobre todo, un significado algebraico. El concepto mismo de "vector" desde el punto de vista del álgebra lineal no es siempre el vector "ordinario" que podemos representar en un plano o en el espacio. No tiene que buscar muy lejos la prueba, intente dibujar un vector de espacio de cinco dimensiones. O el vector meteorológico, para el que acabo de ir a Gismeteo: - temperatura y presión atmosférica, respectivamente. El ejemplo, por supuesto, es incorrecto desde el punto de vista de las propiedades del espacio vectorial, pero, sin embargo, nadie prohíbe formalizar estos parámetros con un vector. Aliento de otoño….

No, no te voy a cargar con teoría, espacios vectoriales lineales, la tarea es comprender definiciones y teoremas. Los nuevos términos (dependencia lineal, independencia, combinación lineal, base, etc.) son aplicables a todos los vectores desde un punto de vista algebraico, pero se darán ejemplos geométricos. Así, todo es sencillo, accesible y claro. Además de los problemas de geometría analítica, también consideraremos algunas tareas típicas del álgebra. Para dominar el material, es recomendable familiarizarse con las lecciones. Vectores para maniquíes y ¿Cómo calcular el determinante?

Dependencia lineal e independencia de vectores planos.
Base plana y sistema de coordenadas afines

Considere el plano de su escritorio de computadora (solo una mesa, mesita de noche, piso, techo, a quién le gusta qué). La tarea será la siguiente:

1) Seleccionar base de plano... En términos generales, un tablero de mesa tiene una longitud y un ancho, por lo que es intuitivamente claro que se requieren dos vectores para construir una base. Claramente, un vector no es suficiente, tres vectores son demasiado.

2) Basado en la base seleccionada establecer sistema de coordenadas(cuadrícula de coordenadas) para asignar coordenadas a todos los objetos de la mesa.

No se sorprenda, al principio las explicaciones estarán en los dedos. Además, en el tuyo. Por favor coloque dedo índice izquierdo en el borde de la encimera para que mire hacia el monitor. Este será un vector. Ahora pon dedo meñique derecho en el borde de la mesa de la misma manera, de modo que se dirija hacia la pantalla del monitor. Este será un vector. ¡Sonríe, te ves genial! ¿Y los vectores? Vectores de datos colineal, lo que significa linealmente expresados ​​entre sí:
, bueno, o viceversa :, donde es un número distinto de cero.

Se puede ver una imagen de esta acción en la lección. Vectores para maniquíes donde expliqué la regla de multiplicar un vector por un número.

¿Tus dedos establecerán una línea de base en el plano del escritorio de la computadora? Obviamente no. Los vectores colineales viajan hacia adelante y hacia atrás a lo largo de una dirección, y el plano tiene una longitud y una anchura.

Tales vectores se denominan linealmente dependiente.

Referencia: Las palabras "lineal", "lineal" denotan el hecho de que no hay cuadrados, cubos, otros grados, logaritmos, senos, etc. en ecuaciones matemáticas, expresiones. Solo hay expresiones y dependencias lineales (1er grado).

Vectores de dos aviones linealmente dependiente si y solo si son colineales.

Cruza los dedos sobre la mesa para que haya algún ángulo entre ellos, excepto 0 o 180 grados. Vectores de dos avioneslinealmente no dependiente si y solo si no son colineales... Entonces, se obtiene la base. No hay por qué avergonzarse de que la base resultara ser "oblicua" con vectores no perpendiculares de diferentes longitudes. Muy pronto veremos que no solo un ángulo de 90 grados es adecuado para su construcción, y no solo vectores unitarios de igual longitud

Ningún avión de vector forma única descompuesto sobre la base:
, donde están los números reales. Los números se llaman coordenadas vectoriales en esta base.

También se dice que vectorpresentado en la forma combinación lineal vectores de base... Es decir, la expresión se llama descomposición del vectorsobre la base o combinación lineal vectores base.

Por ejemplo, podemos decir que un vector se descompone en una base ortonormal del plano, o podemos decir que se representa como una combinación lineal de vectores.

Vamos a formular definición de línea de base formalmente: Plano base un par de vectores linealmente independientes (no colineales) se llama, , en donde ningún un vector plano es una combinación lineal de vectores básicos.

Un punto esencial en la definición es el hecho de que los vectores se toman en un cierto orden... ¡Las bases son dos bases completamente diferentes! Como dice el refrán, el dedo meñique de la mano izquierda no se puede reorganizar en el lugar del dedo meñique de la mano derecha.

Descubrimos la base, pero no es suficiente establecer una cuadrícula de coordenadas y asignar coordenadas a cada elemento en el escritorio de su computadora. ¿Por qué no lo suficiente? Los vectores son libres y deambulan por todo el avión. Entonces, ¿cómo asignas coordenadas a esos lugares sucios en la mesa que quedaron de tu tumultuoso fin de semana? Se necesita un punto de partida. Y ese punto de referencia es un punto familiar para todos: el origen de las coordenadas. Tratar con el sistema de coordenadas:

Empezaré con el sistema "escolar". Ya en la lección introductoria Vectores para maniquíes He resaltado algunas de las diferencias entre un sistema de coordenadas rectangular y una base ortonormal. Aquí hay una imagen típica:

Cuando se habla de sistema de coordenadas rectangulares, la mayoría de las veces se refieren al origen, los ejes de coordenadas y la escala a lo largo de los ejes. Intente escribir en el motor de búsqueda "sistema de coordenadas rectangulares", y verá que muchas fuentes le informarán acerca de los ejes de coordenadas familiares de los grados 5-6 y cómo colocar puntos en el plano.

Por otro lado, uno tiene la impresión de que un sistema de coordenadas rectangular es bastante posible de definir en términos de una base ortonormal. Y este es casi el caso. La redacción es la siguiente:

origen, y ortonormal se da la base sistema de coordenadas del plano rectangular cartesiano ... Es decir, el sistema de coordenadas rectangular inequívocamente definido por un solo punto y dos vectores ortogonales unitarios. Es por eso que ves el dibujo que di arriba: en problemas geométricos, tanto los vectores como los ejes de coordenadas se dibujan a menudo (pero no siempre).

Creo que todos entienden que usar un punto (origen) y una base ortonormal CUALQUIER PUNTO del avión y CUALQUIER VECTOR del avión puede asignar coordenadas. En sentido figurado, "todo se puede numerar en un plano".

¿Los vectores de coordenadas tienen que ser unitarios? No, pueden tener una longitud arbitraria distinta de cero. Considere un punto y dos vectores ortogonales de longitud arbitraria distinta de cero:

Tal base se llama ortogonal... El origen de coordenadas con vectores establece la cuadrícula de coordenadas, y cualquier punto del plano, cualquier vector tiene sus coordenadas en esta base. Por ejemplo, o. Un inconveniente obvio es que los vectores de coordenadas en general tienen diferentes longitudes distintas de una. Si las longitudes son iguales a uno, se obtiene la base ortonormal habitual.

! Nota : en la base ortogonal, así como abajo en las bases afines del plano y el espacio, las unidades a lo largo de los ejes se consideran CONDICIONAL... Por ejemplo, una unidad a lo largo de la abscisa contiene 4 cm y una unidad a lo largo de la ordenada 2 cm. Esta información es suficiente para convertir las coordenadas "no estándar" en "nuestros centímetros habituales" si es necesario.

Y la segunda pregunta, que en realidad ha sido respondida: ¿el ángulo entre los vectores base es necesariamente igual a 90 grados? ¡No! Como dice la definición, los vectores base deben ser solo no colineal... Por consiguiente, el ángulo puede ser cualquier otro que 0 y 180 grados.

El punto del avión llamado origen, y no colineal vectores, , colocar sistema de coordenadas de plano afín :

A veces, este sistema de coordenadas se llama oblicuo sistema. Los puntos y vectores se muestran en el dibujo como ejemplos:

Como comprenderá, el sistema de coordenadas afines es aún menos conveniente, las fórmulas para las longitudes de vectores y segmentos, que consideramos en la segunda parte de la lección, no funcionan en él. Vectores para maniquíes, muchas fórmulas deliciosas asociadas con producto escalar de vectores... Pero las reglas para sumar vectores y multiplicar un vector por un número, las fórmulas para dividir un segmento a este respecto, así como algunos otros tipos de problemas que consideraremos pronto, son verdaderas.

Y la conclusión es que el caso particular más conveniente del sistema de coordenadas afines es el sistema rectangular cartesiano. Por lo tanto, ella, querida, la mayoría de las veces tienes que contemplar. ... Sin embargo, todo en esta vida es relativo, hay muchas situaciones en las que es apropiado oblicua (o alguna otra, por ejemplo, polar) sistema coordinado. Sí, y a los humanoides les pueden gustar esos sistemas =)

Pasemos a la parte práctica. Todas las tareas de esta lección son verdaderas tanto para un sistema de coordenadas rectangulares como para el caso afín general. Aquí no hay nada complicado, todo el material está disponible incluso para un escolar.

¿Cómo determinar la colinealidad de vectores en un plano?

Algo típico. Para que dos vectores del plano sean colineales, es necesario y suficiente que sus respectivas coordenadas sean proporcionales Esencialmente, esto es un detalle de coordenadas de la relación obvia.

Ejemplo 1

a) Compruebe si los vectores son colineales.
b) ¿Los vectores forman una base?

Solución:
a) Averigüemos si existe un coeficiente de proporcionalidad para los vectores tal que se satisfagan las igualdades:

Definitivamente les contaré sobre la versión "tío" de la aplicación de esta regla, que es bastante efectiva en la práctica. La idea es averiguar la proporción de inmediato y ver si es correcta:

Compongamos la proporción a partir de las razones de las coordenadas correspondientes de los vectores:

Acortamos:
, por lo tanto, las coordenadas correspondientes son proporcionales, por lo tanto,

El ratio podría estar compuesto y viceversa, esta es una opción equivalente:

Para la autocomprobación, puede utilizar el hecho de que los vectores colineales se expresan linealmente entre sí. En este caso, hay igualdades. Su validez se verifica fácilmente mediante acciones elementales con vectores:

b) Dos vectores del plano forman una base si no son colineales (linealmente independientes). Examinemos los vectores para determinar la colinealidad. Compongamos el sistema:

De la primera ecuación se deduce que de la segunda ecuación se sigue que, por tanto, el sistema es inconsistente(sin soluciones). Por tanto, las coordenadas correspondientes de los vectores no son proporcionales.

Conclusión: los vectores son linealmente independientes y forman una base.

Una versión simplificada de la solución se ve así:

Compongamos la proporción a partir de las coordenadas correspondientes de los vectores:
, por lo tanto, estos vectores son linealmente independientes y forman una base.

Por lo general, los revisores no rechazan esta opción, pero surge un problema en los casos en que algunas coordenadas son iguales a cero. Como esto: . O así:. O así:. ¿Cómo actuar aquí a través de la proporción? (de hecho, no se puede dividir por cero). Es por esta razón que llamé a la solución simplificada "amigo".

Respuesta: a), b) forma.

Un pequeño ejemplo creativo para una solución independiente:

Ejemplo 2

¿A qué valor del parámetro serán colineales los vectores?

En la muestra de solución, el parámetro se encuentra a través de la proporción.

Existe una elegante forma algebraica de verificar la colinealidad de los vectores., Sistematizamos nuestro conocimiento y lo agregamos como el quinto punto:

Para dos vectores del plano, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

2) los vectores forman una base;
3) los vectores no son colineales;

+ 5) el determinante compuesto por las coordenadas de estos vectores es distinto de cero.

Respectivamente, las siguientes declaraciones opuestas son equivalentes:
1) los vectores son linealmente dependientes;
2) los vectores no forman una base;
3) los vectores son colineales;
4) los vectores se pueden expresar linealmente entre sí;
+ 5) el determinante compuesto por las coordenadas de estos vectores es igual a cero.

Espero muchísimo que en este momento ya comprenda todos los términos y declaraciones que ha encontrado.

Consideremos con más detalle el nuevo quinto punto: dos vectores del plano son colineales si y solo si el determinante compuesto por las coordenadas de estos vectores es igual a cero :. Para utilizar esta función, por supuesto, debe poder encontrar determinantes.

Nosotros resolveremos Ejemplo 1 de la segunda forma:

a)
, entonces estos vectores son colineales.

b) Dos vectores del plano forman una base si no son colineales (linealmente independientes). Calculemos el determinante compuesto por las coordenadas de los vectores:
, por lo que los vectores son linealmente independientes y forman una base.

Respuesta: a), b) forma.

Parece mucho más compacto y bonito que una solución con proporciones.

Con la ayuda del material considerado, es posible establecer no solo la colinealidad de los vectores, sino también probar el paralelismo de los segmentos de línea. Consideremos un par de problemas con formas geométricas específicas.

Ejemplo 3

Se dan los vértices del cuadrilátero. Demuestre que un cuadrilátero es un paralelogramo.

Prueba: No es necesario construir un dibujo en el problema, ya que la solución será puramente analítica. Recordemos la definición de paralelogramo:
Paralelogramo llamado cuadrilátero, en el que los lados opuestos son paralelos por pares.

Por tanto, es necesario demostrar:
1) paralelismo de lados opuestos y;
2) paralelismo de lados opuestos y.

Demostramos:

1) Encontrar vectores:

Calculemos el determinante compuesto por las coordenadas de los vectores:

2) Encuentra vectores:

El resultado es el mismo vector ("según la escuela" - vectores iguales). La colinealidad es bastante obvia, pero la decisión es aún mejor redactar correctamente, con arreglo. Calculemos el determinante compuesto por las coordenadas de los vectores:
, por lo tanto, estos vectores son colineales, y.

Conclusión: Los lados opuestos de un cuadrilátero son pares paralelos, lo que significa que es un paralelogramo por definición. Q.E.D.

Más formas buenas y diferentes:

Ejemplo 4

Se dan los vértices del cuadrilátero. Demuestre que el cuadrilátero es un trapezoide.

Para una formulación más rigurosa de la demostración, es mejor, por supuesto, hacerse con la definición de trapezoide, pero basta con recordar cómo es.

Ésta es una tarea independiente. Vea la solución completa al final del tutorial.

Y ahora es el momento de pasar silenciosamente del avión al espacio:

¿Cómo determinar la colinealidad de los vectores espaciales?

La regla es muy parecida. Para que dos vectores espaciales sean colineales, es necesario y suficiente que sus coordenadas correspondientes sean proporcionales a.

Ejemplo 5

Descubra si los siguientes vectores espaciales son colineales:

a) ;
B)
v)

Solución:
a) Compruebe si existe un coeficiente de proporcionalidad para las coordenadas correspondientes de los vectores:

El sistema no tiene solución, por lo que los vectores no son colineales.

"Simplificado" se elabora comprobando la proporción. En este caso:
- las coordenadas correspondientes no son proporcionales, lo que significa que los vectores no son colineales.

Respuesta: los vectores no son colineales.

b-c) Estos son elementos para decisión independiente. Intenta diseñarlo de dos formas.

Existe un método para verificar la colinealidad de los vectores espaciales y a través de un determinante de tercer orden, este método se destaca en el artículo Producto vectorial de vectores.

Al igual que en el caso del plano, las herramientas consideradas se pueden utilizar para estudiar el paralelismo de segmentos espaciales y líneas rectas.

Bienvenidos a la segunda sección:

Dependencia lineal e independencia de vectores del espacio tridimensional.
Base espacial y sistema de coordenadas afines

Muchos de los patrones que hemos considerado en el plano también serán válidos para el espacio. Traté de minimizar el resumen de la teoría, ya que la mayor parte de la información ya ha sido mordida. No obstante, le recomiendo que lea atentamente la parte introductoria, ya que aparecerán nuevos términos y conceptos.

Ahora, en lugar del plano de la mesa de la computadora, exploremos el espacio tridimensional. Primero, creemos su base. Alguien está ahora en la habitación, alguien está en la calle, pero en cualquier caso, no podemos alejarnos de las tres dimensiones: ancho, largo y alto. Por lo tanto, para construir la base, se requieren tres vectores espaciales. Uno o dos vectores no son suficientes, el cuarto es superfluo.

Y nuevamente calentamos nuestros dedos. Levante la mano y sepárela. pulgar, índice y dedo medio... Estos serán vectores, miran en diferentes direcciones, tienen diferentes longitudes y tienen diferentes ángulos entre sí. ¡Felicitaciones, su línea de base 3D está lista! Por cierto, no hay necesidad de demostrárselo a los profesores, no importa cómo tuerzas los dedos, y no puedes salirte de las definiciones =)

A continuación, hagamos una pregunta importante, ¿Cualesquiera tres vectores forman una base de espacio tridimensional?? Presione con tres dedos firmemente contra la parte superior del escritorio de la computadora. ¿Qué sucedió? Tres vectores están ubicados en el mismo plano y, a grandes rasgos, una de nuestras medidas ha desaparecido: la altura. Tales vectores son coplanar y es bastante obvio que no se crea la base del espacio tridimensional.

Cabe señalar que los vectores coplanares no tienen que estar en el mismo plano, pueden estar en planos paralelos (simplemente no hagas esto con los dedos, así que solo Salvador Dalí salió =)).

Definición: los vectores se llaman coplanar si hay un plano al que son paralelos. Es lógico agregar aquí que si tal plano no existe, entonces los vectores tampoco serán coplanares.

Tres vectores coplanares siempre son linealmente dependientes, es decir, se expresan linealmente entre sí. Para simplificar, imaginemos de nuevo que se encuentran en el mismo plano. En primer lugar, los vectores no solo son coplanares, también pueden ser colineales, luego cualquier vector puede expresarse en términos de cualquier vector. En el segundo caso, si, por ejemplo, los vectores no son colineales, entonces el tercer vector se expresa a través de ellos de una manera única: (y por qué, es fácil de adivinar a partir de los materiales de la sección anterior).

Lo contrario también es cierto: tres vectores no coplanares son siempre linealmente independientes, es decir, no se expresan de ninguna manera entre sí. Y, obviamente, solo esos vectores pueden formar la base del espacio tridimensional.

Definición: La base del espacio tridimensional. es un triple de vectores linealmente independientes (no coplanares), tomado en cierto orden, y cualquier vector de espacio forma única descompuesto de acuerdo con la base dada, donde están las coordenadas del vector en la base dada

Permítanme recordarles que también podemos decir que el vector está representado en la forma combinación lineal vectores base.

El concepto de sistema de coordenadas se introduce exactamente de la misma manera que para el caso plano; un punto y tres vectores linealmente independientes cualesquiera son suficientes:

origen, y no coplanar vectores, tomado en cierto orden, colocar sistema de coordenadas afines del espacio tridimensional :

Por supuesto, la cuadrícula de coordenadas es "oblicua" e inconveniente, pero, sin embargo, el sistema de coordenadas construido nos permite inequívocamente determinar las coordenadas de cualquier vector y las coordenadas de cualquier punto en el espacio. De manera similar al plano, algunas fórmulas, que ya he mencionado, no funcionarán en el sistema de coordenadas afines del espacio.

El caso especial más familiar y conveniente del sistema de coordenadas afines, como todos suponen, es sistema de coordenadas del espacio rectangular:

Un punto en el espacio llamado origen, y ortonormal se da la base sistema de coordenadas rectangulares cartesianas del espacio ... Imagen familiar:

Antes de pasar a las tareas prácticas, reorganizamos la información:

Para tres vectores del espacio, las siguientes declaraciones son equivalentes:
1) los vectores son linealmente independientes;
2) los vectores forman una base;
3) los vectores no son coplanares;
4) los vectores no pueden expresarse linealmente entre sí;
5) el determinante compuesto por las coordenadas de estos vectores es distinto de cero.

Las declaraciones opuestas, creo, son comprensibles.

La dependencia / independencia lineal de los vectores espaciales se verifica tradicionalmente mediante un determinante (elemento 5). El resto de tareas prácticas tendrán un marcado carácter algebraico. Es hora de colgar el palo geométrico en el clavo y empuñar el bate de béisbol de álgebra lineal:

Tres vectores del espacio coplanar si y solo si el determinante compuesto por las coordenadas de estos vectores es igual a cero :.

Llamo su atención sobre un pequeño matiz técnico: las coordenadas de los vectores se pueden escribir no solo en columnas, sino también en filas (el valor del determinante no cambiará a partir de esto; consulte las propiedades de los determinantes). Pero es mucho mejor en columnas, ya que es más rentable para resolver algunos problemas prácticos.

Para aquellos lectores que se han olvidado un poco de los métodos de cálculo de determinantes, y tal vez incluso se hayan guiado mal por ellos, les recomiendo una de mis lecciones más antiguas: ¿Cómo calcular el determinante?

Ejemplo 6

Compruebe si los siguientes vectores forman la base del espacio tridimensional:

Solución: De hecho, toda la solución se reduce a calcular el determinante.

a) Calcule el determinante compuesto por las coordenadas de los vectores (el determinante se expande en la primera línea):

, por lo tanto, los vectores son linealmente independientes (no coplanares) y forman la base del espacio tridimensional.

Respuesta: estos vectores forman una base

b) Este es un punto para una decisión independiente. Solución completa y respuesta al final del tutorial.

También hay tareas creativas:

Ejemplo 7

¿A qué valor del parámetro serán coplanares los vectores?

Solución: Los vectores son coplanares si y solo si el determinante compuesto por las coordenadas de estos vectores es cero:

Esencialmente, necesitas resolver una ecuación con un determinante. Ponemos ceros como cometas en jerboas: es más rentable abrir el determinante en la segunda línea y deshacerse de inmediato de las desventajas:

Realizamos más simplificaciones y reducimos el asunto a la ecuación lineal más simple:

Respuesta: en

Es fácil de verificar aquí, para esto debe sustituir el valor resultante en el determinante original y asegurarse de reabrirlo.

En conclusión, consideraremos otro problema típico, de naturaleza más algebraica y tradicionalmente incluido en el curso de álgebra lineal. Está tan extendido que merece un tema aparte:

Demuestre que 3 vectores forman la base del espacio tridimensional
y encuentra las coordenadas del cuarto vector en esta base

Ejemplo 8

Vectores dados. Demuestre que los vectores forman la base del espacio tridimensional y encuentre las coordenadas del vector en esta base.

Solución: Primero, nos ocupamos de la condición. Por condición, se dan cuatro vectores y, como puede ver, ya tienen coordenadas de alguna manera. No nos interesa en qué base se trata. Y lo siguiente es interesante: tres vectores bien pueden formar una nueva base. Y la primera etapa coincide completamente con la solución del Ejemplo 6, debe verificar si los vectores son realmente linealmente independientes:

Calculemos el determinante compuesto por las coordenadas de los vectores:

, por lo tanto, los vectores son linealmente independientes y forman una base del espacio tridimensional.

! Importante : coordenadas de vectores necesariamente anote en columnas determinante, no en cadenas. De lo contrario, habrá confusión en el algoritmo de solución adicional.- las coordenadas del método del vector de Cramer aquí no son hielo en absoluto ;-)

Y, como ya señalé, la tarea es de naturaleza algebraica. Los vectores que se consideraron no son necesariamente vectores que se puedan dibujar en el espacio, sino, en primer lugar, vectores arbitrarios del curso de álgebra lineal... Para el caso de los vectores bidimensionales, puede formular y resolver un problema similar; la solución será técnicamente mucho más simple y, por lo tanto, la pasé por alto en el párrafo anterior.

El mismo problema con vectores tridimensionales para una solución independiente:

Ejemplo 9

Vectores dados. Demuestre que los vectores forman una base y encuentre las coordenadas del vector en esta base. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales por el método de Cramer.

Solución completa y una muestra aproximada de acabado al final del tutorial.

De manera similar, puede considerar cuatro dimensiones, cinco dimensiones, etc. espacios vectoriales, donde los vectores tienen 4, 5 y más coordenadas, respectivamente. Para estos espacios vectoriales, también existe el concepto de dependencia lineal, independencia lineal de los vectores, hay una base, incluida la descomposición ortonormal, de un vector en términos de la base. Sí, tales espacios no se pueden dibujar geométricamente, pero todas las reglas, propiedades y teoremas de los casos bidimensionales y tridimensionales funcionan en ellos: álgebra pura ... Aunque, quién sabe, puede que no sea puro ..., pero nosotros redondearé - ya me costó mucho hablar sobre cuestiones filosóficas hablar en el artículo Derivadas parciales de funciones de tres variables que apareció antes de este tutorial.

¡Los vectores de amor y los vectores te amarán!

Dependencia lineal e independencia de vectores.

Definiciones de sistemas vectoriales linealmente dependientes e independientes

Definición 22

Supongamos que tenemos un sistema de n-vectores y tenemos un conjunto de números, entonces

(11)

se llama combinación lineal de un sistema dado de vectores con un conjunto dado de coeficientes.

Definición 23

Un sistema de vectores se llama linealmente dependiente si hay un conjunto de coeficientes, de los cuales al menos uno no es igual a cero, de modo que la combinación lineal de un sistema dado de vectores con este conjunto de coeficientes es igual a un vector cero:

Deja entonces

Definición 24 ( mediante la representación de un vector del sistema como una combinación lineal de los demás)

Un sistema de vectores se denomina linealmente dependiente si al menos uno de los vectores de este sistema se puede representar como una combinación lineal de los vectores restantes de este sistema.

Declaración 3

Las definiciones 23 y 24 son equivalentes.

Definición 25(a través de una combinación lineal cero)

Un sistema de vectores se llama linealmente independiente si una combinación lineal cero de este sistema es posible solo si todos son iguales a cero.

Definición 26(por la imposibilidad de representar un vector del sistema como una combinación lineal de los demás)

Un sistema de vectores se denomina linealmente independiente si ninguno de los vectores de este sistema puede representarse como una combinación lineal de otros vectores de este sistema.

Propiedades de sistemas de vectores linealmente dependientes e independientes

Teorema 2 (vector cero en el sistema de vectores)

Si hay un vector cero en el sistema de vectores, entonces el sistema es linealmente dependiente.

—Déjalo, entonces.

Obtenemos, por tanto, por la definición de un sistema de vectores linealmente dependiente en términos de la combinación lineal cero (12) el sistema es linealmente dependiente.

Teorema 3 (subsistema dependiente en el sistema vectorial)

Si un sistema de vectores tiene un subsistema linealmente dependiente, entonces todo el sistema también es linealmente dependiente.

 Sea un subsistema linealmente dependiente, entre los cuales al menos uno no es igual a cero:

Por tanto, según la Definición 23, el sistema es linealmente dependiente. 

Teorema 4

Cualquier subsistema de un sistema linealmente independiente es linealmente independiente.

 Por contradicción. Sea el sistema linealmente independiente y haya un subsistema linealmente dependiente en él. Pero luego, según el Teorema 3, todo el sistema también será linealmente dependiente. Contradicción. Por lo tanto, un subsistema de un sistema linealmente independiente no puede ser linealmente dependiente.

El significado geométrico de la dependencia e independencia lineal del sistema vectorial

Teorema 5

Dos vectores son linealmente dependientes si y solo si.

 Necesitar.

y - dependen linealmente de que se satisfaga la condición. Entonces, es decir

Adecuación.

son linealmente dependientes. 

Corolario 5.1

El vector cero es colineal con cualquier vector

Corolario 5.2

Para que dos vectores sean linealmente independientes, es necesario y suficiente que no sea colineal.

Teorema 6

Para que un sistema de tres vectores sea linealmente dependiente, es necesario y suficiente que estos vectores sean coplanares .

 Necesitar.

Por lo tanto, linealmente dependiente, un vector se puede representar como una combinación lineal de los otros dos.

dónde y. De acuerdo con la regla del paralelogramo, hay una diagonal de un paralelogramo con lados, pero un paralelogramo (una figura plana es coplanar) también coplanar.

Adecuación.

Coplanar. Aplicamos tres vectores al punto O:

- linealmente dependiente

Corolario 6.1

El vector cero es coplanar con cualquier par de vectores.

Corolario 6.2

Para que los vectores sean linealmente independientes, es necesario y suficiente que no sean coplanares.

Corolario 6.3

Cualquier vector plano se puede representar como una combinación lineal de dos vectores no colineales cualesquiera del mismo plano.

Teorema 7

Cuatros vectores cualesquiera en el espacio son linealmente dependientes .

 Considere 4 casos:

Dibuja un plano a través de vectores, luego un plano a través de vectores y un plano a través de vectores. Luego dibujamos los planos que pasan por el punto D, paralelos a los pares de vectores; ; respectivamente. Construye un paralelepípedo a lo largo de las líneas de intersección de planos. transmisión exterior 1 D 1 C 1 ABDC.

Considerar transmisión exterior 1 D 1 C 1 - paralelogramo por construcción de acuerdo con la regla del paralelogramo.

Considere un OADD 1 - paralelogramo (de la propiedad del paralelepípedo), luego

Ecuación EMBED.3.

Por el teorema 1 tal que. Entonces, y por definición 24, el sistema vectorial es linealmente dependiente. 

Corolario 7.1

La suma de tres vectores no coplanares en el espacio es un vector que coincide con la diagonal del paralelepípedo construido sobre estos tres vectores aplicados a un origen común, y el comienzo del vector suma coincide con el origen común de estos tres vectores.

Corolario 7.2

Si tomamos 3 vectores no coplanares en el espacio, entonces cualquier vector de este espacio se puede descomponer en una combinación lineal de estos tres vectores.

Sea el campo de escalares y F su conjunto base. Sea un espacio aritmético -dimensional sobre un sistema arbitrario de vectores del espacio

DEFINICIÓN. Una combinación lineal de un sistema de vectores es una suma de la forma donde. Los escalares se denominan coeficientes de combinación lineal. Una combinación lineal se denomina no trivial si al menos uno de sus coeficientes es distinto de cero. Una combinación lineal se llama trivial si todos sus coeficientes son cero.

DEFINICIÓN. El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de un sistema se denomina casco lineal de este sistema y se denota por. La envolvente lineal de un sistema vacío es un conjunto que consta de un vector cero.

Entonces, por definición,

Es fácil ver que el casco lineal de un sistema dado de vectores se cierra bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación de vectores por escalares.

DEFINICIÓN. Un sistema de vectores se llama linealmente independiente si, para cualquier escalar, las igualdades se siguen de la igualdad. Sistema de vector vacío

considerado linealmente independiente.

En otras palabras, un sistema finito de vectores es linealmente independiente si y solo si cualquier combinación lineal no trivial de vectores del sistema no es igual al vector cero.

DEFINICIÓN. Un sistema de vectores se llama linealmente dependiente si existen escalares que no son todos iguales a cero, de manera que

En otras palabras, un sistema finito de vectores se llama linealmente dependiente si hay una combinación lineal no trivial de vectores del sistema igual al vector cero.

Sistema vectorial

se llama sistema de vectores unitarios del espacio vectorial Este sistema de vectores es linealmente independiente. De hecho, para cualquier escalar, la igualdad implica igualdad y, por tanto, igualdad.

Considere las propiedades de dependencia e independencia lineal del sistema vectorial.

PROPIEDAD 1.1. El sistema de vectores que contiene el vector cero es linealmente dependiente.

Prueba. Si en el sistema de vectores uno de los vectores, por ejemplo, el vector es cero, entonces la combinación lineal de los vectores del sistema, cuyos coeficientes son cero, excepto el coeficiente at es igual al vector cero. Por lo tanto, tal sistema de vectores es linealmente dependiente.

PROPIEDAD 1.2. Un sistema de vectores es linealmente dependiente si algunos de sus subsistemas son linealmente dependientes.

Prueba. Sea un subsistema linealmente dependiente del sistema y al menos uno de los coeficientes es distinto de cero. Entonces, en consecuencia, el sistema de vectores es linealmente dependiente.

CONSECUENCIA. Cualquier subsistema de un sistema linealmente independiente es linealmente independiente.

PROPIEDAD 1.3. Sistema vectorial

en el que es linealmente dependiente si y solo si al menos uno de los vectores es una combinación lineal de los vectores precedentes.

Prueba. Sea el sistema (1) linealmente dependiente y luego hay escalares que no son todos iguales a cero, de modo que

Denotamos por k el mayor de los números que satisfacen la condición Entonces la igualdad (2) se puede escribir en la forma

Tenga en cuenta que de lo contrario, por lo tanto, ya que. De (3) sigue la igualdad

Supongamos ahora que el vector es una combinación lineal de los vectores que lo preceden, es decir, Entonces, es decir, el subsistema del sistema (1) es linealmente dependiente. Por lo tanto, según la propiedad 1.2, el sistema original (1) también es linealmente dependiente.

PROPIEDAD 1.4. Si el sistema de vectores es linealmente independiente y el sistema de vectores

es linealmente dependiente, entonces el vector v se expresa linealmente a través de los vectores

y, además, de una forma única.

Prueba. Por hipótesis, el sistema (2) es linealmente dependiente, es decir, no hay todos los escalares iguales a cero, de modo que

Además, dado que contradice la independencia lineal del sistema (1). De (3) sigue la igualdad

Dado que el sistema (1) es linealmente independiente, esto implica que

PROPIEDAD 1.5. Si

Prueba. La condición significa que hay escalares tales que

La condición significa que existen escalares tales que

En virtud de (1) y (2), obtenemos

TEOREMA 1.2. Si

entonces el sistema vectorial es linealmente dependiente. Prueba (por inducción).