esquina entre rectas en el espacio llamaremos a cualquiera de los ángulos adyacentes formados por dos rectas trazadas por un punto arbitrario paralelo a los datos.
Sean dadas dos rectas en el espacio:
Obviamente, el ángulo φ entre las líneas se puede tomar como el ángulo entre sus vectores directores y . Como , entonces de acuerdo con la fórmula para el coseno del ángulo entre los vectores obtenemos
Las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas son equivalentes a las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de sus vectores directores y:
dos seguidos son paralelos si y sólo si sus respectivos coeficientes son proporcionales, es decir yo 1 paralelo yo 2 si y solo si paralelo 
.
dos seguidos perpendicular si y sólo si la suma de los productos de los coeficientes correspondientes es igual a cero: .
En meta entre linea y plano
Deja que la línea D- no perpendicular al plano θ;
D′− proyección de una línea recta D al plano θ;
El menor de los ángulos entre rectas D Y D′ vamos a llamar ángulo entre recta y plano.
Lo denotaremos como φ=( D,θ)
Si D⊥θ , entonces ( D,θ)=π/2
Oye→j→k→− sistema de coordenadas rectangulares.
Ecuación plana:
θ: Hacha+Por+cz+D=0
Consideramos que la recta viene dada por un punto y un vector director: D[METRO 0,pags→]
Vector norte→(A,B,C)⊥θ
Entonces queda por encontrar el ángulo entre los vectores. norte→ y pags→, lo denotamos como γ=( norte→,pags→).
Si el ángulo γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Si el ángulo γ>π/2, entonces el ángulo requerido φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Luego, ángulo entre recta y plano se puede calcular usando la fórmula:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ AP 1+pb 2+c.p. 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√pags 21+pags 22+pags 23
Pregunta 29. El concepto de una forma cuadrática. La definición de signo de las formas cuadráticas.
Forma cuadrática j (x 1, x 2, ..., x n) n variables reales x 1, x 2, ..., x n se llama suma de la forma 
, (1)
donde aij son unos números llamados coeficientes. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que aij = un ji.
La forma cuadrática se llama válido, si aij
О GR. Matriz de forma cuadrática se llama matriz compuesta por sus coeficientes. La forma cuadrática (1) corresponde a una única matriz simétrica 
es decir. UNA T = UNA. Por lo tanto, la forma cuadrática (1) se puede escribir en forma matricial j ( X) = x T Ah, donde xT = (X 1 X 2 … x norte). (2)
Y viceversa, cualquier matriz simétrica (2) corresponde a una única forma cuadrática hasta la notación de variables.
El rango de la forma cuadrática se llama el rango de su matriz. La forma cuadrática se llama no degenerado, si su matriz es no singular PERO. (recuerde que la matriz PERO se llama no degenerado si su determinante es distinto de cero). De lo contrario, la forma cuadrática es degenerada.
positivo definitivo(o estrictamente positivo) si
j ( X) > 0 , para cualquiera X = (X 1 , X 2 , …, x norte), excepto X = (0, 0, …, 0).
La matriz PERO forma cuadrática definida positiva j ( X) también se llama definida positiva. Por lo tanto, una forma cuadrática definida positiva corresponde a una única matriz definida positiva y viceversa.
La forma cuadrática (1) se llama definido negativo(o estrictamente negativo) si
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x norte), excepto X = (0, 0, …, 0).
De manera similar a lo anterior, una matriz cuadrática definida negativa también se llama definida negativa.
Por lo tanto, una forma cuadrática definida positivamente (negativamente) j ( X) alcanza el valor mínimo (máximo) j ( X*) = 0 para X* = (0, 0, …, 0).
Tenga en cuenta que la mayoría de las formas cuadráticas no tienen signos definidos, es decir, no son ni positivas ni negativas. Tales formas cuadráticas desaparecen no solo en el origen del sistema de coordenadas, sino también en otros puntos.
Cuándo norte> 2, se requieren criterios especiales para verificar la definición de signo de una forma cuadrática. Considerémoslos.
Mayores Menores forma cuadrática se llaman menores:
es decir, estos son menores de orden 1, 2,…, norte matrices PERO, ubicado en la esquina superior izquierda, el último de ellos coincide con el determinante de la matriz PERO.
Criterio de definición positiva (criterio de Silvestre)
X) = x T Ah es definida positiva, es necesario y suficiente que todos los principales menores de la matriz PERO fueron positivos, es decir: METRO 1 > 0, METRO 2 > 0, …, hombre > 0. Criterio de certeza negativa Para que la forma cuadrática j ( X) = x T Ah es definido negativo, es necesario y suficiente que sus principales menores de orden par sean positivos, y los de orden impar sean negativos, es decir: METRO 1 < 0, METRO 2 > 0, METRO 3 < 0, …, (–1)norte
ÁNGULO ENTRE PLANOS
Consideremos dos planos α 1 y α 2 dados respectivamente por las ecuaciones:
Bajo ángulo entre dos planos nos referimos a uno de los ángulos diedros formados por estos planos. Es obvio que el ángulo entre los vectores normales y los planos α 1 y α 2 es igual a uno de los ángulos diédricos adyacentes indicados o 
. Es por eso 
. Porque 
Y 
, luego
.
Ejemplo. Determinar el ángulo entre planos. X+2y-3z+4=0 y 2 X+3y+z+8=0.
Condición de paralelismo de dos planos.
Dos planos α 1 y α 2 son paralelos si y solo si sus vectores normales y son paralelos, y por lo tanto 
.
Entonces, dos planos son paralelos entre sí si y solo si los coeficientes en las coordenadas correspondientes son proporcionales:
o
Condición de perpendicularidad de los planos.
Es claro que dos planos son perpendiculares si y solo si sus vectores normales son perpendiculares, y por lo tanto, o .
De este modo, .
Ejemplos.
DIRECTO EN EL ESPACIO.
ECUACION VECTORIAL DIRECTA.
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DIRECTAS
La posición de una línea recta en el espacio se determina completamente especificando cualquiera de sus puntos fijos METRO 1 y un vector paralelo a esta recta.
Un vector paralelo a una recta se llama estrella de guía el vector de esta línea.
Así que deja la recta yo pasa por un punto METRO 1 (X 1 , y 1 , z 1) sobre una recta paralela al vector .
Considere un punto arbitrario M(x,y,z) en línea recta. Se puede ver en la figura que 
.
Los vectores y son colineales, por lo que existe tal número t, qué , dónde está el multiplicador t puede tomar cualquier valor numérico dependiendo de la posición del punto METRO en línea recta. Factor t se llama parámetro. Denotar los vectores de radio de los puntos METRO 1 y METRO respectivamente, a través de y , obtenemos . Esta ecuación se llama vector ecuación de línea recta. Muestra que cada valor de parámetro t corresponde al radio vector de algún punto METRO acostado en línea recta.
Escribimos esta ecuación en forma de coordenadas. Darse cuenta de , 
y desde aquí
Las ecuaciones resultantes se llaman paramétrico ecuaciones de linea recta
Al cambiar el parámetro t cambio de coordenadas X, y Y z y punto METRO se mueve en línea recta.
ECUACIONES CANÓNICAS DIRECTAS
Permitir METRO 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punto que se encuentra en una línea recta yo, Y 
es su vector director. Nuevamente, tome un punto arbitrario en una línea recta M(x,y,z) y considere el vector .
Es claro que los vectores y son colineales, por lo que sus respectivas coordenadas deben ser proporcionales, por lo tanto
– canónico ecuaciones de linea recta
Observación 1. Tenga en cuenta que las ecuaciones canónicas de la línea podrían obtenerse de las ecuaciones paramétricas eliminando el parámetro t. De hecho, a partir de las ecuaciones paramétricas obtenemos 
o .
Ejemplo. Escribe la ecuación de una recta. 
de forma paramétrica.
Denotar 
, por eso X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Observación 2. Sea la línea perpendicular a uno de los ejes de coordenadas, por ejemplo, el eje Buey. Entonces el vector director de la recta es perpendicular Buey, Como consecuencia, metro=0. En consecuencia, las ecuaciones paramétricas de la línea recta toman la forma
Eliminando el parámetro de las ecuaciones t, obtenemos las ecuaciones de la recta en la forma
Sin embargo, también en este caso, acordamos escribir formalmente las ecuaciones canónicas de la línea recta en la forma 
. Por lo tanto, si el denominador de una de las fracciones es cero, significa que la línea es perpendicular al eje de coordenadas correspondiente.
Del mismo modo, las ecuaciones canónicas 
corresponde a una recta perpendicular a los ejes Buey Y Oye o eje paralelo Onz.
Ejemplos.
ECUACIONES GENERALES UNA LÍNEA DIRECTA COMO LÍNEA DE INTERCEPCIÓN DE DOS PLANOS
A través de cada línea recta en el espacio pasa un número infinito de planos. Dos cualesquiera de ellos, intersecándose, lo definen en el espacio. Por lo tanto, las ecuaciones de cualquiera de estos dos planos, consideradas juntas, son las ecuaciones de esta recta.
En general, cualesquiera dos planos no paralelos dados por las ecuaciones generales
determinar su línea de intersección. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones generales derecho.
Ejemplos.
Construir una línea recta dada por ecuaciones 
Para construir una línea, es suficiente encontrar dos de sus puntos. La forma más fácil es elegir los puntos de intersección de la línea con los planos de coordenadas. Por ejemplo, el punto de intersección con el plano xOy obtenemos de las ecuaciones de una recta, asumiendo z= 0:
Resolviendo este sistema, encontramos el punto METRO 1 (1;2;0).
Del mismo modo, suponiendo y= 0, obtenemos el punto de intersección de la recta con el plano xOz:
De las ecuaciones generales de una línea recta, se puede proceder a sus ecuaciones canónicas o paramétricas. Para hacer esto, necesitas encontrar algún punto. METRO 1 en la línea y el vector de dirección de la línea.
Coordenadas del punto METRO 1 obtenemos de este sistema de ecuaciones, dando a una de las coordenadas un valor arbitrario. Para encontrar el vector de dirección, tenga en cuenta que este vector debe ser perpendicular a ambos vectores normales 
Y 
. Por tanto, para el vector director de la recta yo puedes tomar el producto cruz de vectores normales:
.
Ejemplo. Dar las ecuaciones generales de la recta. 
a la forma canónica.
Encuentra un punto en una línea recta. Para ello, elegimos arbitrariamente una de las coordenadas, por ejemplo, y= 0 y resuelve el sistema de ecuaciones:
Los vectores normales de los planos que definen la línea tienen coordenadas 
Por lo tanto, el vector director será recto
. Como consecuencia, yo: 
.
ÁNGULO ENTRE DERECHAS
esquina entre rectas en el espacio llamaremos a cualquiera de los ángulos adyacentes formados por dos rectas trazadas por un punto arbitrario paralelo a los datos.
Sean dadas dos rectas en el espacio:
Obviamente, el ángulo φ entre las líneas se puede tomar como el ángulo entre sus vectores directores y . Como , entonces de acuerdo con la fórmula para el coseno del ángulo entre los vectores obtenemos
Este material está dedicado a un concepto como el ángulo entre dos líneas rectas que se cruzan. En el primer párrafo, explicaremos qué es y lo mostraremos en ilustraciones. Luego analizaremos cómo puede encontrar el seno, el coseno de este ángulo y el ángulo en sí (consideraremos por separado los casos con un plano y un espacio tridimensional), le daremos las fórmulas necesarias y mostraremos con ejemplos cómo se aplican exactamente. en la práctica.
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Para comprender qué es un ángulo formado en la intersección de dos líneas, debemos recordar la definición misma de ángulo, perpendicularidad y punto de intersección.
Definición 1
Llamamos a dos rectas que se cortan si tienen un punto en común. Este punto se llama el punto de intersección de las dos líneas.
Cada línea se divide por el punto de intersección en rayos. En este caso, ambas rectas forman 4 ángulos, de los cuales dos son verticales y dos adyacentes. Si conocemos la medida de uno de ellos, entonces podemos determinar los otros restantes.
Digamos que sabemos que uno de los ángulos es igual a α. En tal caso, el ángulo que es vertical a él también será igual a α. Para encontrar los ángulos restantes, necesitamos calcular la diferencia 180 ° - α. Si α es igual a 90 grados, entonces todos los ángulos serán rectos. Las líneas que se cruzan en ángulo recto se llaman perpendiculares (se dedica un artículo separado al concepto de perpendicularidad).
Echa un vistazo a la imagen:
Procedamos a la formulación de la definición principal.
Definición 2
El ángulo formado por dos rectas que se cortan es la medida del menor de los 4 ángulos que forman estas dos rectas.
Se debe sacar una conclusión importante de la definición: el tamaño del ángulo en este caso estará expresado por cualquier número real en el intervalo (0, 90] . Si las líneas son perpendiculares, entonces el ángulo entre ellas será en cualquier caso igual a 90 grados.
La capacidad de encontrar la medida del ángulo entre dos líneas que se cruzan es útil para resolver muchos problemas prácticos. El método de solución se puede seleccionar entre varias opciones.
Para empezar, podemos tomar métodos geométricos. Si sabemos algo sobre ángulos adicionales, podemos conectarlos al ángulo que necesitamos usando las propiedades de formas iguales o similares. Por ejemplo, si conocemos los lados de un triángulo y necesitamos calcular el ángulo entre las líneas en las que se encuentran estos lados, entonces el teorema del coseno es adecuado para resolver. Si tenemos un triángulo rectángulo en la condición, para los cálculos también necesitaremos saber el seno, el coseno y la tangente del ángulo.
El método de coordenadas también es muy conveniente para resolver problemas de este tipo. Vamos a explicar cómo usarlo correctamente.
Tenemos un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas) O x y con dos líneas rectas. Vamos a denotarlos con las letras a y b. En este caso, las líneas rectas se pueden describir usando cualquier ecuación. Las líneas originales tienen un punto de intersección M . ¿Cómo determinar el ángulo deseado (lo denotaremos α) entre estas líneas?
Comencemos con la formulación del principio básico de encontrar un ángulo bajo condiciones dadas.
Sabemos que conceptos tales como vector rector y vector normal están íntimamente relacionados con el concepto de línea recta. Si tenemos la ecuación de alguna recta, podemos sacar de ella las coordenadas de estos vectores. Podemos hacer esto para dos líneas que se cruzan a la vez.
El ángulo formado por dos líneas que se cortan se puede encontrar usando:
- ángulo entre vectores de dirección;
- ángulo entre vectores normales;
- el ángulo entre el vector normal de una recta y el vector director de la otra.
Ahora veamos cada método por separado.
1. Supongamos que tenemos una línea a con vector de dirección a → = (a x , a y) y una línea b con vector de dirección b → (b x , b y) . Ahora separemos dos vectores a → y b → desde el punto de intersección. Después de eso, veremos que cada uno estará ubicado en su propia línea. Entonces tenemos cuatro opciones para su posición relativa. Ver ilustración:
Si el ángulo entre dos vectores no es obtuso, será el ángulo que necesitamos entre las rectas a y b que se cortan. Si es obtuso, entonces el ángulo deseado será igual al ángulo adyacente al ángulo a → , b → ^ . Así, α = a → , b → ^ si a → , b → ^ ≤ 90 ° , y α = 180 ° - a → , b → ^ si a → , b → ^ > 90 ° .
Partiendo del hecho de que los cosenos de ángulos iguales son iguales, podemos reescribir las igualdades resultantes de la siguiente manera: cos α = cos a → , b → ^ si a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - un → , segundo → ^ = - cos un → , segundo → ^ si un → , segundo → ^ > 90 ° .
En el segundo caso se utilizaron fórmulas de reducción. De este modo,
porque α porque un → , segundo → ^ , porque un → , segundo → ^ ≥ 0 - porque un → , segundo → ^ , porque un → , segundo → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Escribamos la última fórmula en palabras:
Definición 3
El coseno del ángulo formado por dos rectas que se cortan será igual al módulo del coseno del ángulo entre sus vectores directores.
La forma general de la fórmula para el coseno del ángulo entre dos vectores a → = (a x, a y) y b → = (b x, b y) se ve así:
porque un → , segundo → ^ = un → , segundo → ^ un → segundo → = un x segundo x + un y + segundo y un x 2 + un y 2 segundo x 2 + segundo y 2
De ahí podemos derivar la fórmula para el coseno del ángulo entre dos rectas dadas:
porque α = un x segundo x + un y + segundo y un x 2 + un y 2 segundo x 2 + segundo y 2 = un x segundo x + un y + segundo y un x 2 + un y 2 segundo x 2 + segundo y 2
Entonces el ángulo en sí se puede encontrar usando la siguiente fórmula:
α = una r c porque una x segundo x + una y + segundo y una x 2 + una y 2 segundo x 2 + segundo y 2
Aquí a → = (a x , a y) y b → = (b x , b y) son los vectores directores de las rectas dadas.
Pongamos un ejemplo de resolución del problema.
Ejemplo 1
En un sistema de coordenadas rectangulares, se dan dos líneas de intersección a y b en el plano. Se pueden describir mediante ecuaciones paramétricas x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R y x 5 = y - 6 - 3 . Calcula el ángulo entre estas líneas.
Solución
Tenemos una ecuación paramétrica en la condición, lo que significa que para esta línea podemos escribir inmediatamente las coordenadas de su vector de dirección. Para hacer esto, debemos tomar los valores de los coeficientes en el parámetro, es decir. la recta x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R tendrá un vector director a → = (4 , 1) .
La segunda línea recta se describe mediante la ecuación canónica x 5 = y - 6 - 3 . Aquí podemos tomar las coordenadas de los denominadores. Por tanto, esta recta tiene un vector director b → = (5 , - 3) .
A continuación, procedemos directamente a encontrar el ángulo. Para hacer esto, simplemente sustituya las coordenadas disponibles de los dos vectores en la fórmula anterior α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Obtenemos lo siguiente:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°
Responder: Estas líneas forman un ángulo de 45 grados.
Podemos resolver un problema similar encontrando el ángulo entre vectores normales. Si tenemos una recta a con un vector normal na → = (nax , nay) y una recta b con un vector normal nb → = (nbx , nby) , entonces el ángulo entre ellas será igual al ángulo entre na → y nb → o el ángulo que será adyacente a na → , nb → ^ . Este método se muestra en la imagen:
Las fórmulas para calcular el coseno del ángulo entre las líneas que se intersecan y este ángulo mismo usando las coordenadas de los vectores normales se ven así:
porque α = porque norte un → , norte segundo → ^ = norte un X norte segundo X + norte un y + norte segundo y norte un X 2 + norte un y 2 norte segundo X 2 + norte segundo y 2
Aquí n a → y n b → denotan los vectores normales de dos rectas dadas.
Ejemplo 2
Se dan dos líneas rectas en un sistema de coordenadas rectangulares usando las ecuaciones 3 x + 5 y - 30 = 0 y x + 4 y - 17 = 0 . Encuentra el seno, el coseno del ángulo entre ellos y la magnitud de ese ángulo.
Solución
Las líneas rectas originales se dan usando ecuaciones de líneas rectas normales de la forma A x + B y + C = 0 . Denota el vector normal n → = (A , B) . Encontremos las coordenadas del primer vector normal para una línea recta y escríbalas: n a → = (3 , 5) . Para la segunda línea x + 4 y - 17 = 0 el vector normal tendrá coordenadas n b → = (1 , 4) . Ahora suma los valores obtenidos a la fórmula y calcula el total:
porque α = porque norte un → , norte segundo → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Si conocemos el coseno de un ángulo, podemos calcular su seno usando la identidad trigonométrica básica. Dado que el ángulo α formado por líneas rectas no es obtuso, entonces sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.
En este caso, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sen 7 2 34 .
Respuesta: cos α = 23 2 34 , sen α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sen 7 2 34
Analicemos el último caso: encontrar el ángulo entre las líneas, si conocemos las coordenadas del vector director de una línea y el vector normal de la otra.
Suponga que la línea a tiene un vector de dirección a → = (a x , a y) , y la línea b tiene un vector normal n b → = (n b x , n b y) . Necesitamos posponer estos vectores desde el punto de intersección y considerar todas las opciones para su posición relativa. Ver imagen:
Si el ángulo entre los vectores dados no supera los 90 grados, resulta que complementará el ángulo entre a y b en un ángulo recto.
una → , norte segundo → ^ = 90 ° - α si una → , norte segundo → ^ ≤ 90 ° .
Si es menos de 90 grados, obtenemos lo siguiente:
a → , norte segundo → ^ > 90 ° , luego a → , norte segundo → ^ = 90 ° + α
Usando la regla de igualdad de cosenos de ángulos iguales, escribimos:
porque un → , norte segundo → ^ = cos (90 ° - α) = pecado α para un → , norte segundo → ^ ≤ 90 ° .
porque un → , norte segundo → ^ = cos 90 ° + α = - sin α en un → , norte segundo → ^ > 90 ° .
De este modo,
sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 0 - porque a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Formulemos una conclusión.
Definición 4
Para encontrar el seno del ángulo entre dos rectas que se intersecan en un plano, necesitas calcular el módulo del coseno del ángulo entre el vector director de la primera recta y el vector normal de la segunda.
Escribamos las fórmulas necesarias. Encontrar el seno de un ángulo:
pecado α = porque un → , norte segundo → ^ = un X norte segundo X + un y norte segundo y un X 2 + un y 2 norte segundo X 2 + norte segundo y 2
Encontrar la esquina en sí:
α = una r c pecado = una X norte segundo X + una y norte segundo y una X 2 + una y 2 norte segundo X 2 + norte segundo y 2
Aquí a → es el vector director de la primera línea, y n b → es el vector normal de la segunda.
Ejemplo 3
Dos rectas que se cortan están dadas por las ecuaciones x - 5 = y - 6 3 y x + 4 y - 17 = 0 . Encuentra el ángulo de intersección.
Solución
Tomamos las coordenadas del vector director y normal de las ecuaciones dadas. Resulta a → = (- 5 , 3) y n → b = (1 , 4) . Tomamos la fórmula α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 y consideramos:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Tenga en cuenta que tomamos las ecuaciones del problema anterior y obtuvimos exactamente el mismo resultado, pero de una manera diferente.
Responder:α = a r c pecado 7 2 34
Aquí hay otra forma de encontrar el ángulo deseado usando los coeficientes de pendiente de las líneas dadas.
Tenemos una línea a , que se define en un sistema de coordenadas rectangulares usando la ecuación y = k 1 · x + b 1 , y una línea b , definida como y = k 2 · x + b 2 . Estas son ecuaciones de rectas con pendiente. Para encontrar el ángulo de intersección, use la fórmula:
α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , donde k 1 y k 2 son las pendientes de las rectas dadas. Para obtener este registro se utilizaron fórmulas para la determinación del ángulo a través de las coordenadas de los vectores normales.
Ejemplo 4
Hay dos líneas rectas que se cortan en el plano, dadas por las ecuaciones y = - 3 5 x + 6 y y = - 1 4 x + 17 4 . Calcular el ángulo de intersección.
Solución
Las pendientes de nuestras líneas son iguales a k 1 = - 3 5 y k 2 = - 1 4 . Sumámoslos a la fórmula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 y calculamos:
α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34
Responder:α = a r c cos 23 2 34
En las conclusiones de este párrafo, debe notarse que las fórmulas para encontrar el ángulo dadas aquí no tienen que aprenderse de memoria. Para ello basta con conocer las coordenadas de las guías y/o vectores normales de las rectas dadas y poder determinarlas mediante diferentes tipos de ecuaciones. Pero es mejor recordar o escribir las fórmulas para calcular el coseno de un ángulo.
Cómo calcular el ángulo entre líneas que se cruzan en el espacio
El cálculo de dicho ángulo puede reducirse al cálculo de las coordenadas de los vectores directores ya la determinación de la magnitud del ángulo formado por estos vectores. Para tales ejemplos, usamos el mismo razonamiento que hemos dado antes.
Digamos que tenemos un sistema de coordenadas rectangulares ubicado en el espacio 3D. Contiene dos líneas a y b con el punto de intersección M . Para calcular las coordenadas de los vectores directores, necesitamos conocer las ecuaciones de estas rectas. Denote los vectores de dirección a → = (a x , a y , a z) y b → = (b x , b y , b z) . Para calcular el coseno del ángulo entre ellos, usamos la fórmula:
porque α = porque un → , segundo → ^ = un → , segundo → un → segundo → = un x segundo x + un y segundo y + un z segundo z un x 2 + un y 2 + un z 2 segundo x 2 + segundo y 2 + segundo z 2
Para encontrar el ángulo en sí, necesitamos esta fórmula:
α = una r c porque una x segundo x + una y segundo y + una z segundo z una x 2 + una y 2 + una z 2 segundo x 2 + segundo y 2 + segundo z 2
Ejemplo 5
Tenemos una línea recta definida en el espacio 3D usando la ecuación x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Se sabe que se cruza con el eje O z. Calcula el ángulo de intersección y el coseno de ese ángulo.
Solución
Denotemos el ángulo a calcular con la letra α. Escribamos las coordenadas del vector director de la primera recta - a → = (1 , - 3 , - 2) . Para el eje de aplicación, podemos tomar como guía el vector de coordenadas k → = (0 , 0 , 1). Hemos recibido los datos necesarios y podemos añadirlos a la fórmula deseada:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Como resultado, obtuvimos que el ángulo que necesitamos será igual a a r c cos 1 2 = 45 °.
Responder: porque α = 1 2 , α = 45 ° .
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Oh-oh-oh-oh-oh ... bueno, es metálico, como si leyeras la oración para ti mismo =) Sin embargo, la relajación ayudará, especialmente porque hoy compré accesorios adecuados. Por lo tanto, pasemos a la primera sección, espero que al final del artículo mantenga un estado de ánimo alegre.
Disposición mutua de dos rectas
El caso cuando la sala canta en coro. Dos líneas pueden:
1) partido;
2) ser paralelo: ;
3) o se cruzan en un solo punto: .
ayuda para tontos : por favor recuerda el signo matemático intersecciones, ocurrirá muy a menudo. La entrada significa que la línea se cruza con la línea en el punto.
¿Cómo determinar la posición relativa de dos líneas?
Comencemos con el primer caso:
Dos rectas coinciden si y solo si sus respectivos coeficientes son proporcionales, es decir, existe tal número "lambda" que las igualdades
Consideremos líneas rectas y compongamos tres ecuaciones a partir de los coeficientes correspondientes: . De cada ecuación se sigue que, por lo tanto, estas rectas coinciden.
De hecho, si todos los coeficientes de la ecuación 
multiplicar por -1 (cambiar de signo), y todos los coeficientes de la ecuación 
reduce por 2, obtienes la misma ecuación: .
El segundo caso cuando las rectas son paralelas:
Dos líneas son paralelas si y solo si sus coeficientes en las variables son proporcionales: 
, pero.
Como ejemplo, considere dos líneas rectas. Comprobamos la proporcionalidad de los coeficientes correspondientes a las variables: 
Sin embargo, es claro que.
Y el tercer caso, cuando las líneas se cruzan:
Dos rectas se intersecan si y solo si sus coeficientes de las variables NO son proporcionales, es decir NO existe tal valor de "lambda" que se cumplan las igualdades 
Entonces, para líneas rectas compondremos un sistema: 
De la primera ecuación se sigue que , y de la segunda ecuación: , por lo tanto, el sistema es inconsistente (sin soluciones). Por lo tanto, los coeficientes en las variables no son proporcionales.
Conclusión: las líneas se cruzan
En problemas prácticos, se puede utilizar el esquema de solución que acabamos de considerar. Por cierto, es muy similar al algoritmo para verificar la colinealidad de los vectores, que consideramos en la lección. El concepto de (no) dependencia lineal de los vectores. base vectorial . Pero hay un paquete más civilizado:
Ejemplo 1
Averigüe la posición relativa de las líneas: 
Solución basado en el estudio de vectores directores de líneas rectas:
a) De las ecuaciones encontramos los vectores directores de las rectas: 
.
, por lo que los vectores no son colineales y las líneas se intersecan.
Por si acaso, pondré una piedra con punteros en la encrucijada:
El resto salta sobre la piedra y sigue, directo a Kashchei the Deathless =)
b) Encuentra los vectores directores de las rectas: 
Las líneas tienen el mismo vector de dirección, lo que significa que son paralelas o iguales. Aquí el determinante no es necesario.
Obviamente, los coeficientes de las incógnitas son proporcionales, mientras que .
Veamos si la igualdad es verdadera: 
De este modo,
c) Hallar los vectores directores de las rectas: 
Calculemos el determinante, compuesto por las coordenadas de estos vectores: 
, por lo tanto, los vectores de dirección son colineales. Las rectas son paralelas o coinciden.
El factor de proporcionalidad "lambda" es fácil de ver directamente a partir de la relación de vectores de dirección colineal. Sin embargo, también se puede encontrar a través de los coeficientes de las propias ecuaciones: 
.
Ahora veamos si la igualdad es verdadera. Ambos términos libres son cero, entonces:
El valor resultante satisface esta ecuación (cualquier número generalmente la satisface).
Por lo tanto, las líneas coinciden.
Responder:
Muy pronto aprenderá (o incluso ya habrá aprendido) a resolver el problema planteado verbalmente, literalmente, en cuestión de segundos. En este sentido, no veo ninguna razón para ofrecer algo para una solución independiente, es mejor colocar un ladrillo más importante en la base geométrica:
¿Cómo trazar una recta paralela a una dada?
Por ignorancia de esta tarea tan simple, el ruiseñor ladrón castiga severamente.
Ejemplo 2
La recta viene dada por la ecuación . Escribe una ecuación para una línea paralela que pasa por el punto.
Solución: Denote la línea desconocida con la letra . ¿Qué dice la condición al respecto? La recta pasa por el punto. Y si las líneas son paralelas, entonces es obvio que el vector director de la línea "ce" también es adecuado para construir la línea "de".
Sacamos el vector director de la ecuación:
Responder:
La geometría del ejemplo parece simple: 
La verificación analítica consta de los siguientes pasos:
1) Verificamos que las rectas tengan el mismo vector director (si la ecuación de la recta no está bien simplificada, entonces los vectores serán colineales).
2) Comprobar si el punto satisface la ecuación resultante.
La verificación analítica en la mayoría de los casos es fácil de realizar oralmente. Mire las dos ecuaciones y muchos de ustedes rápidamente descubrirán cómo las líneas son paralelas sin ningún dibujo.
Los ejemplos de auto-resolución de hoy serán creativos. Porque todavía tienes que competir con Baba Yaga, y ella, ya sabes, es una amante de todo tipo de acertijos.
Ejemplo 3
Escribe una ecuación para una línea que pasa por un punto paralelo a la línea si
Hay una forma racional y no muy racional de resolver. El camino más corto es al final de la lección.
Trabajamos un poco con líneas paralelas y volveremos a ellas más adelante. El caso de líneas coincidentes es de poco interés, así que consideremos un problema que es bien conocido por usted del currículo escolar:
¿Cómo encontrar el punto de intersección de dos rectas?
si recto 
se intersecan en el punto, entonces sus coordenadas son la solución sistemas de ecuaciones lineales
¿Cómo encontrar el punto de intersección de las rectas? Resuelve el sistema.
Para ti significado geométrico de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos líneas rectas que se cruzan (la mayoría de las veces) en un plano.
Ejemplo 4
Encuentra el punto de intersección de las rectas
Solución: Hay dos formas de resolver: gráfica y analítica.
La forma gráfica es simplemente dibujar las líneas dadas y encontrar el punto de intersección directamente desde el dibujo: 
Aquí está nuestro punto: . Para verificar, debe sustituir sus coordenadas en cada ecuación de una línea recta, deben caber tanto allí como allí. En otras palabras, las coordenadas de un punto son la solución del sistema. De hecho, consideramos una forma gráfica de resolver sistemas de ecuaciones lineales
con dos ecuaciones, dos incógnitas.
El método gráfico, por supuesto, no es malo, pero tiene desventajas notables. No, el punto no es que los estudiantes de séptimo grado decidan de esta manera, el punto es que llevará tiempo hacer un dibujo correcto y EXACTO. Además, algunas líneas no son tan fáciles de construir, y el punto de intersección en sí puede estar en algún lugar del trigésimo reino fuera de la hoja del cuaderno.
Por lo tanto, es más conveniente buscar el punto de intersección por el método analítico. Resolvamos el sistema: 
Para resolver el sistema se utilizó el método de suma de ecuaciones por términos. Para desarrollar las habilidades relevantes, visite la lección ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones?
Responder:
La verificación es trivial: las coordenadas del punto de intersección deben satisfacer cada ecuación del sistema.
Ejemplo 5
Halla el punto de intersección de las rectas si se intersecan.
Este es un ejemplo de bricolaje. La tarea se puede dividir convenientemente en varias etapas. El análisis de la condición sugiere que es necesario:
1) Escribe la ecuación de una línea recta.
2) Escribe la ecuación de una línea recta.
3) Averigüe la posición relativa de las líneas.
4) Si las rectas se cortan, encuentra el punto de intersección.
El desarrollo de un algoritmo de acciones es típico para muchos problemas geométricos, y me concentraré repetidamente en esto.
Solución completa y respuesta al final del tutorial:
Un par de zapatos aún no se ha desgastado, ya que llegamos a la segunda sección de la lección:
Lineas perpendiculares. La distancia de un punto a una recta.
Ángulo entre líneas
Comencemos con una tarea típica y muy importante. En la primera parte, aprendimos cómo construir una línea recta paralela a la dada, y ahora la cabaña con patas de pollo girará 90 grados:
¿Cómo trazar una recta perpendicular a una dada?
Ejemplo 6
La recta viene dada por la ecuación . Escribe una ecuación para una línea perpendicular que pasa por un punto.
Solución: Se sabe por suposición que . Sería bueno encontrar el vector de dirección de la línea recta. Como las líneas son perpendiculares, el truco es simple:
De la ecuación “quitamos” el vector normal: , que será el vector director de la recta.
Componemos la ecuación de una recta por un punto y un vector director:
Responder: 
Vamos a desplegar el boceto geométrico:
Hmmm... Cielo anaranjado, mar anaranjado, camello anaranjado.
Verificación analítica de la solución:
1) Extraiga los vectores de dirección de las ecuaciones 
y con la ayuda producto escalar de vectores
concluimos que las rectas son efectivamente perpendiculares: .
Por cierto, puedes usar vectores normales, es aún más fácil.
2) Comprobar si el punto satisface la ecuación resultante 
.
La verificación, nuevamente, es fácil de realizar verbalmente.
Ejemplo 7
Encuentra el punto de intersección de rectas perpendiculares, si se conoce la ecuación 
y punto
Este es un ejemplo de bricolaje. Hay varias acciones en la tarea, por lo que es conveniente ordenar la solución punto por punto.
Nuestro emocionante viaje continúa:
Distancia de punto a línea
Ante nosotros hay una franja recta del río y nuestra tarea es llegar a ella por el camino más corto. No hay obstáculos, y la ruta más óptima será el movimiento a lo largo de la perpendicular. Es decir, la distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular.
La distancia en geometría se denota tradicionalmente con la letra griega "ro", por ejemplo: - la distancia desde el punto "em" hasta la línea recta "de".
Distancia de punto a línea 
se expresa por la formula
Ejemplo 8
Hallar la distancia de un punto a una recta 
Solución: todo lo que necesitas es sustituir cuidadosamente los números en la fórmula y hacer los cálculos:
Responder: 
Ejecutemos el dibujo: 
La distancia encontrada desde el punto hasta la línea es exactamente la longitud del segmento rojo. Si haces un dibujo en papel cuadriculado en una escala de 1 unidad. \u003d 1 cm (2 celdas), luego la distancia se puede medir con una regla común.
Considere otra tarea de acuerdo con el mismo dibujo:
La tarea es encontrar las coordenadas del punto, que es simétrico al punto con respecto a la línea. 
. Propongo realizar las acciones por su cuenta, sin embargo, delinearé el algoritmo de solución con resultados intermedios:
1) Encuentra una línea que sea perpendicular a una línea.
2) Encuentra el punto de intersección de las rectas: 
.
Ambas acciones se discuten en detalle en esta lección.
3) El punto es el punto medio del segmento. Conocemos las coordenadas del medio y uno de los extremos. Por fórmulas para las coordenadas del medio del segmento encontrar .
No estará de más comprobar que la distancia también es igual a 2,2 unidades.
Aquí pueden surgir dificultades en los cálculos, pero en la torre una microcalculadora ayuda mucho, permitiéndole contar fracciones ordinarias. He aconsejado muchas veces y lo recomendaré de nuevo.
¿Cómo hallar la distancia entre dos rectas paralelas?
Ejemplo 9
Hallar la distancia entre dos rectas paralelas
Este es otro ejemplo de una solución independiente. Una pequeña pista: hay infinitas maneras de resolver. Informe al final de la lección, pero mejor trata de adivinar por ti mismo, creo que lograste dispersar bien tu ingenio.
Ángulo entre dos rectas
Cualquiera que sea la esquina, entonces la jamba: 
En geometría, el ángulo entre dos rectas se toma como el ángulo MENOR, de lo que se sigue automáticamente que no puede ser obtuso. En la figura, el ángulo indicado por el arco rojo no se considera el ángulo entre líneas que se cruzan. Y su vecino “verde” o orientación opuesta esquina carmesí.
Si las líneas son perpendiculares, cualquiera de los 4 ángulos puede tomarse como el ángulo entre ellos.
¿Cómo son diferentes los ángulos? Orientación. Primero, la dirección de "desplazamiento" de la esquina es fundamentalmente importante. En segundo lugar, un ángulo orientado negativamente se escribe con un signo menos, por ejemplo, si .
¿Por qué dije esto? Parece que puedes arreglártelas con el concepto habitual de un ángulo. El caso es que en las fórmulas mediante las cuales encontraremos los ángulos, fácilmente se puede obtener un resultado negativo, y esto no debería tomarte por sorpresa. Un ángulo con un signo menos no es peor y tiene un significado geométrico muy específico. En el dibujo de un ángulo negativo, es imperativo indicar su orientación (en el sentido de las agujas del reloj) con una flecha.
¿Cómo encontrar el ángulo entre dos rectas? Hay dos fórmulas de trabajo:
Ejemplo 10
Hallar el ángulo entre rectas
Solución Y método uno
Considere dos líneas rectas dadas por ecuaciones en forma general: 
si recto no perpendicular, luego orientado el ángulo entre ellos se puede calcular usando la fórmula: 
Prestemos mucha atención al denominador - esto es exactamente producto escalar
vectores directores de rectas:
Si , entonces el denominador de la fórmula se anula, y los vectores serán ortogonales y las líneas serán perpendiculares. Por eso se hizo una reserva sobre la no perpendicularidad de las líneas en la formulación.
En base a lo anterior, la solución se formaliza convenientemente en dos pasos:
1) Calcular el producto escalar de vectores directores de rectas:
entonces las rectas no son perpendiculares.
2) Encontramos el ángulo entre las líneas por la fórmula:
Usando la función inversa, es fácil encontrar el ángulo en sí. En este caso, usamos la imparidad del arco tangente (ver Fig. Gráficas y propiedades de funciones elementales
):
Responder: 
En la respuesta, indicamos el valor exacto, así como el valor aproximado (preferiblemente tanto en grados como en radianes), calculado con una calculadora.
Bueno, menos, tan menos, está bien. Aquí hay una ilustración geométrica: 
No es de extrañar que el ángulo resultara tener una orientación negativa, porque en la condición del problema el primer número es una línea recta y la "torsión" del ángulo comenzó precisamente a partir de ahí.
Si realmente desea obtener un ángulo positivo, debe intercambiar las líneas rectas, es decir, tomar los coeficientes de la segunda ecuación 
, y tome los coeficientes de la primera ecuación . En resumen, debe comenzar con una 
.