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El área de la superficie lateral del prisma. ¡Hola! En esta publicación, analizaremos un grupo de tareas sobre estereometría. Considere una combinación de cuerpos: un prisma y un cilindro. Por el momento, este artículo completa toda la serie de artículos relacionados con la consideración de tipos de tareas en estereometría.
Si aparecen nuevas tareas en el banco de tareas, entonces, por supuesto, habrá adiciones al blog en el futuro. Pero lo que ya hay es suficiente para que puedas aprender a resolver todos los problemas con una respuesta corta como parte del examen. El material será suficiente para los próximos años (el programa de matemáticas es estático).
Las tareas presentadas están relacionadas con el cálculo del área del prisma. Observo que a continuación consideramos un prisma recto (y, en consecuencia, un cilindro recto).
Sin saber fórmulas, entendemos que la superficie lateral de un prisma son todas sus caras laterales. En un prisma recto, las caras laterales son rectángulos.
El área de la superficie lateral de dicho prisma es igual a la suma de las áreas de todas sus caras laterales (es decir, rectángulos). Si hablamos de un prisma regular en el que está inscrito un cilindro, entonces es claro que todas las caras de este prisma son rectángulos IGUALES.
Formalmente, el área de la superficie lateral de un prisma regular se puede expresar de la siguiente manera:
27064. Un prisma cuadrangular regular está circunscrito a un cilindro cuyo radio de base y altura son iguales a 1. Halla el área de la superficie lateral del prisma.
La superficie lateral de este prisma consta de cuatro rectángulos de igual área. La altura de la cara es igual a 1, la arista de la base del prisma es igual a 2 (son dos radios del cilindro), por lo tanto el área de la cara lateral es igual a:
Superficie lateral:
73023. Halla el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular circunscrito a un cilindro cuyo radio de base es √0,12 y cuya altura es 3.
El área de la superficie lateral de este prisma es igual a la suma de las áreas de las tres caras laterales (rectángulos). Para encontrar el área de la cara lateral, necesita saber su altura y la longitud del borde de la base. La altura es tres. Encuentra la longitud del borde de la base. Considere la proyección (vista superior):
Tenemos un triángulo regular en el que está inscrita una circunferencia de radio √0,12. Del triángulo rectángulo AOC podemos encontrar AC. Y luego AD (AD=2AC). Por definición de tangente:
Entonces AD \u003d 2AC \u003d 1.2 Por lo tanto, el área de la superficie lateral es igual a:
27066. Halla el área de la superficie lateral de un prisma hexagonal regular circunscrito a un cilindro cuyo radio de base es √75 y cuya altura es 1.
El área deseada es igual a la suma de las áreas de todas las caras laterales. Para un prisma hexagonal regular, las caras laterales son rectángulos iguales.
Para encontrar el área de una cara, necesitas saber su altura y la longitud de la arista base. La altura es conocida, es igual a 1.
Encuentra la longitud del borde de la base. Considere la proyección (vista superior):
Tenemos un hexágono regular en el que está inscrita una circunferencia de radio √75.
Considere un triángulo rectángulo ABO. Conocemos el cateto OB (este es el radio del cilindro). también podemos determinar el ángulo AOB, es igual a 300 (el triángulo AOC es equilátero, OB es una bisectriz).
Usemos la definición de la tangente en un triángulo rectángulo:
AC \u003d 2AB, ya que OB es una mediana, es decir, divide AC por la mitad, lo que significa AC \u003d 10.
Así, el área de la cara lateral es 1∙10=10 y el área de la superficie lateral es:
76485. Halla el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular inscrito en un cilindro cuyo radio de base es 8√3 y cuya altura es 6.
El área de la superficie lateral del prisma especificado de tres caras de igual tamaño (rectángulos). Para encontrar el área, necesitas saber la longitud del borde de la base del prisma (sabemos la altura). Si consideramos la proyección (vista superior), entonces tenemos un triángulo regular inscrito en un círculo. El lado de este triángulo se expresa en términos del radio como:
Detalles de esta relación. asi sera igual
Entonces el área de la cara lateral es igual a: 24∙6=144. Y el área requerida:
245354. Un prisma cuadrangular regular está circunscrito cerca de un cilindro cuyo radio base es 2. El área de la superficie lateral del prisma es 48. Encuentra la altura del cilindro.
Todo es simple. Tenemos cuatro caras laterales de igual área, por lo que el área de una cara es 48:4=12. Dado que el radio de la base del cilindro es 2, entonces el borde de la base del prisma será 4 temprano, es igual al diámetro del cilindro (estos son dos radios). Conocemos el área de la cara y una arista, siendo la segunda la altura será igual a 12:4=3.
27065. Halla el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular circunscrito a un cilindro cuyo radio de base es √3 y cuya altura es 2.
Atentamente, Alejandro.
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Los diferentes prismas son diferentes entre sí. Al mismo tiempo, tienen mucho en común. Para encontrar el área de la base de un prisma, debes averiguar a qué tipo se parece.
teoría general
Un prisma es cualquier poliedro cuyos lados tienen la forma de un paralelogramo. Además, cualquier poliedro puede estar en su base, desde un triángulo hasta un n-ágono. Además, las bases del prisma son siempre iguales entre sí. Lo que no se aplica a las caras laterales: pueden variar significativamente en tamaño.
Al resolver problemas, no solo se encuentra el área de la base del prisma. Puede ser necesario conocer la superficie lateral, es decir, todas las caras que no son bases. La superficie completa será ya la unión de todas las caras que forman el prisma.
A veces aparecen alturas en las tareas. Es perpendicular a las bases. La diagonal de un poliedro es un segmento que une por parejas dos vértices cualesquiera que no pertenecen a la misma cara.
Cabe señalar que el área de la base de un prisma recto o inclinado no depende del ángulo entre ellos y las caras laterales. Si tienen las mismas figuras en las caras superior e inferior, entonces sus áreas serán iguales.
prisma triangular
Tiene en la base una figura de tres vértices, es decir, un triángulo. Se sabe que es diferente. Si entonces basta recordar que su área está determinada por la mitad del producto de las piernas.
La notación matemática se ve así: S = ½ av.
Para averiguar el área de la base de forma general, las fórmulas son útiles: Garza y aquella en la que se toma la mitad del lado a la altura dibujada.
La primera fórmula debe escribirse así: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Esta entrada contiene un semiperímetro (p), es decir, la suma de tres lados dividida por dos.
Segundo: S = ½ n a * a.
Si quieres saber el área de la base de un prisma triangular, que es regular, entonces el triángulo es equilátero. Tiene su propia fórmula: S = ¼ a 2 * √3.
prisma cuadrangular
Su base es cualquiera de los cuadriláteros conocidos. Puede ser un rectángulo o un cuadrado, un paralelepípedo o un rombo. En cada caso, para calcular el área de la base del prisma, necesitará su propia fórmula.
Si la base es un rectángulo, entonces su área se determina de la siguiente manera: S = av, donde a, b son los lados del rectángulo.
Cuando se trata de un prisma cuadrangular, el área de la base de un prisma regular se calcula usando la fórmula para un cuadrado. Porque es él quien yace en la base. S \u003d un 2.
En el caso de que la base sea un paralelepípedo, se necesitará la siguiente igualdad: S \u003d a * n a. Sucede que se dan un lado de un paralelepípedo y uno de los ángulos. Luego, para calcular la altura, deberá usar una fórmula adicional: na \u003d b * sin A. Además, el ángulo A es adyacente al lado "b", y la altura es na opuesta a este ángulo.
Si un rombo se encuentra en la base del prisma, se necesitará la misma fórmula para determinar su área que para un paralelogramo (ya que es un caso especial de este). Pero también puedes usar este: S = ½ d 1 d 2. Aquí d 1 y d 2 son dos diagonales del rombo.
Prisma pentagonal regular
Este caso consiste en dividir el polígono en triángulos, cuyas áreas son más fáciles de averiguar. Aunque sucede que las figuras pueden tener diferente número de vértices.
Dado que la base del prisma es un pentágono regular, se puede dividir en cinco triángulos equiláteros. Entonces, el área de la base del prisma es igual al área de uno de esos triángulos (la fórmula se puede ver arriba), multiplicada por cinco.
Prisma hexagonal regular
Según el principio descrito para un prisma pentagonal, es posible dividir el hexágono base en 6 triángulos equiláteros. La fórmula para el área de la base de dicho prisma es similar a la anterior. Solo en él se debe multiplicar por seis.
La fórmula se verá así: S = 3/2 y 2 * √3.
Tareas
No. 1. Se da una línea regular. Su diagonal es de 22 cm, la altura del poliedro es de 14 cm. Calcule el área de la base del prisma y toda la superficie.
Solución. La base de un prisma es un cuadrado, pero no se conoce su lado. Puedes encontrar su valor a partir de la diagonal del cuadrado (x), que está relacionada con la diagonal del prisma (d) y su altura (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. Por otro lado, este segmento "x" es la hipotenusa en un triángulo cuyos catetos son iguales al lado del cuadrado. Es decir, x 2 \u003d a 2 + a 2. Por lo tanto, resulta que a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Sustituya el número 22 en lugar de d, y reemplace "n" con su valor: 14, resulta que el lado del cuadrado es de 12 cm. Ahora es fácil encontrar el área de la base: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Para averiguar el área de toda la superficie, debe agregar el doble del valor del área base y cuadruplicar el lado. Este último es fácil de encontrar por la fórmula de un rectángulo: multiplicar la altura del poliedro y el lado de la base. Es decir, 14 y 12, este número será igual a 168 cm 2. Se encuentra que el área de superficie total del prisma es de 960 cm 2 .
Responder. El área de la base del prisma es de 144 cm2. Toda la superficie - 960 cm 2 .
No. 2. Dana En la base se encuentra un triángulo de 6 cm de lado. En este caso, la diagonal de la cara lateral es de 10 cm. Calcula las áreas: la base y la superficie lateral.
Solución. Como el prisma es regular, su base es un triángulo equilátero. Por lo tanto, su área resulta ser igual a 6 al cuadrado por ¼ y la raíz cuadrada de 3. Un cálculo simple lleva al resultado: 9√3 cm 2. Esta es el área de una base del prisma.
Todas las caras laterales son iguales y son rectángulos de 6 y 10 cm de lado, para calcular sus áreas basta con multiplicar estos números. Luego multiplícalos por tres, porque el prisma tiene exactamente tantas caras laterales. Luego, el área de la superficie lateral se enrolla 180 cm 2 .
Responder.Áreas: base - 9√3 cm 2, superficie lateral del prisma - 180 cm 2.
Definición. Prisma- este es un poliedro, cuyos vértices están ubicados en dos planos paralelos, y en los mismos dos planos hay dos caras del prisma, que son polígonos iguales con lados respectivamente paralelos, y todos los bordes que no se encuentran en estos los planos son paralelos
Dos caras iguales se llaman bases de prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Todas las demás caras del prisma se llaman caras laterales(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Todas las caras laterales se forman superficie lateral del prisma .
Todas las caras laterales de un prisma son paralelogramos .
Las aristas que no se encuentran en las bases se denominan aristas laterales del prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
prisma diagonal se llama segmento cuyos extremos son dos vértices del prisma que no descansan sobre una de sus caras (AD 1).
La longitud del segmento que une las bases del prisma y es perpendicular a ambas bases al mismo tiempo se llama altura del prisma .
Designacion:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Primero, en el orden de la derivación, se indican los vértices de una base, y luego, en el mismo orden, los vértices de la otra; los extremos de cada borde lateral se designan con las mismas letras, solo los vértices que se encuentran en una base se indica con letras sin índice, y en la otra, con un índice)
El nombre del prisma está asociado con el número de ángulos en la figura que se encuentra en su base, por ejemplo, en la Figura 1, la base es un pentágono, por lo que el prisma se llama prisma pentagonal. Pero desde tal prisma tiene 7 caras, entonces heptaedro(2 caras son las bases del prisma, 5 caras son paralelogramos, son sus caras laterales)
Entre los prismas rectos destaca un tipo particular: los prismas regulares.
Un prisma recto se llama correcto, si sus bases son polígonos regulares.
Paralelepípedo
Paralelepípedo- Este es un prisma cuadrangular, en cuya base se encuentra un paralelogramo (paralelepípedo oblicuo). paralelepípedo derecho- un paralelepípedo cuyos bordes laterales son perpendiculares a los planos de la base.cuboides- un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo.
Propiedades y teoremas:
Algunas propiedades de un paralelepípedo son similares a las conocidas propiedades de un paralelogramo.Un paralelepípedo rectangular que tiene las mismas dimensiones se llama cubo
.Un cubo tiene todas las caras cuadrados iguales.El cuadrado de una diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones 
,
donde d es la diagonal del cuadrado;
a - lado del cuadrado.
La idea de prisma viene dada por:
- diversas estructuras arquitectónicas;
- Juguetes de los niños;
- cajas de embalaje;
- artículos de diseño, etc
Superficie total y lateral del prisma
Superficie total del prisma es la suma de las areas de todas sus caras Superficie lateral se llama la suma de las áreas de sus caras laterales. las bases del prisma son polígonos iguales, luego sus áreas son iguales. Es por esoS completo \u003d S lateral + 2S principal,
donde S lleno- superficie total, lado S- superficie lateral, S principal- área de la base
El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma.
lado S\u003d P principal * h,
donde lado S es el área de la superficie lateral de un prisma recto,
P principal - el perímetro de la base de un prisma recto,
h es la altura del prisma recto, igual a la arista lateral.
volumen del prisma
El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura.