El área de una fórmula de figura versátil. Cifras cuadradas sobre papel cuadriculado. Instrucción completa (2020). La forma geométrica de la habitación.

Fórmula del área es necesario determinar el área de una figura, que es una función de valor real definida sobre cierta clase de figuras en el plano euclidiano y que cumple 4 condiciones:

Positivo: el área no puede ser menor que cero;
Normalización: un cuadrado con un lado de la unidad tiene un área de 1;
Congruencia - las figuras congruentes tienen igual área;
Aditividad: el área de la unión de 2 figuras sin puntos internos comunes es igual a la suma de las áreas de estas figuras.

Fórmulas para el área de formas geométricas.

figura geometrica	Fórmula	Dibujo
El resultado de sumar las distancias entre los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero convexo será igual a su semiperímetro.
Sector circular. El área de un sector de un círculo es igual al producto de su arco por la mitad del radio.
segmento circular Para obtener el área del segmento ASB, basta con restar el área del triángulo AOB del área del sector AOB.	S = 1 / 2 R(s - CA)
El área de una elipse es igual al producto de las longitudes de los semiejes mayor y menor de la elipse por pi.
Elipse. Otra opción de cómo calcular el área de una elipse es a través de sus dos radios.
Triángulo. A través de la base y la altura. La fórmula para el área de un círculo en términos de su radio y diámetro.
Cuadrado . A través de su costado. El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado.
Cuadrado. por su diagonal. El área de un cuadrado es la mitad del cuadrado de la longitud de su diagonal.
polígono regular. Para determinar el área de un polígono regular, es necesario dividirlo en triángulos iguales que tendrían un vértice común en el centro de la circunferencia inscrita.	S= r p = 1/2 r n a

Si planea hacer las reparaciones usted mismo, deberá hacer una estimación de los materiales de construcción y acabado. Para hacer esto, deberá calcular el área de la habitación en la que planea realizar reparaciones. El asistente principal en esto es una fórmula especialmente diseñada. El área de la habitación, es decir, su cálculo, le permitirá ahorrar mucho dinero en materiales de construcción y dirigir los recursos financieros liberados en una dirección más necesaria.

La forma geométrica de la habitación.

La fórmula para calcular el área de una habitación depende directamente de su forma. Las más típicas para las estructuras domésticas son las habitaciones rectangulares y cuadradas. Sin embargo, durante la reurbanización, la forma estándar puede distorsionarse. Las habitaciones son:

Rectangular.
Cuadrado.
Configuración compleja (por ejemplo, redonda).
Con nichos y repisas.

Cada uno de ellos tiene sus propias características de cálculo, pero, por regla general, se utiliza la misma fórmula. Se puede calcular el área de una habitación de cualquier forma y tamaño, de una forma u otra.

Habitación rectangular o cuadrada

Para calcular el área de una habitación rectangular o cuadrada, basta con recordar las lecciones de geometría de la escuela. Por lo tanto, no debería ser difícil para usted determinar el área de la habitación. La fórmula de cálculo se ve así:

S cuartos=A*B, donde

A es la longitud de la habitación.

B es el ancho de la habitación.

Para medir estos valores, necesitará una cinta métrica normal. Para obtener los cálculos más precisos, vale la pena medir la pared en ambos lados. Si los valores no convergen, tome como base el promedio de los datos resultantes. Pero recuerde que cualquier cálculo tiene sus propios errores, por lo que el material debe comprarse con margen.

Una habitación con una configuración compleja

Si su habitación no entra en la definición de "típica", es decir, tiene la forma de un círculo, un triángulo o un polígono, es posible que necesite una fórmula diferente para los cálculos. Puede intentar dividir condicionalmente el área de la habitación con tal característica en elementos rectangulares y hacer cálculos de la manera estándar. Si esto no es posible para usted, utilice los siguientes métodos:

La fórmula para encontrar el área de un círculo:

S habitación \u003d π * R 2, donde

R es el radio de la habitación.

La fórmula para hallar el área de un triángulo es:

S habitación = √ (P (P - A) x (P - B) x (P - C)), donde

P es el medio perímetro del triángulo.

A, B, C son las longitudes de sus lados.

Por lo tanto P \u003d A + B + C / 2

Si en el proceso de cálculo tiene alguna dificultad, es mejor no torturarse y recurrir a profesionales.

Área de la habitación con repisas y nichos.

A menudo, las paredes están decoradas con elementos decorativos en forma de varios nichos o repisas. Además, su presencia puede deberse a la necesidad de ocultar algunos elementos antiestéticos de tu habitación. La presencia de repisas o nichos en su pared significa que el cálculo debe realizarse por etapas. Esos. primero, se encuentra el área de una sección plana de la pared, y luego se le agrega el área de un nicho o repisa.

El área de la pared se encuentra mediante la fórmula:

S paredes \u003d P x C, donde

P - perímetro

C - altura

También debe considerar la presencia de ventanas y puertas. Su área debe restarse del valor resultante.

Habitación con techo de varios niveles

Un techo de varios niveles no complica los cálculos tanto como parece a primera vista. Si tiene un diseño simple, los cálculos se pueden hacer según el principio de encontrar el área de las paredes complicadas con nichos y repisas.

Sin embargo, si el diseño de su techo tiene elementos arqueados y ondulados, entonces es más apropiado determinar su área usando el área del piso. Para esto necesitas:

Encuentre las dimensiones de todas las secciones rectas de las paredes.
Encuentra el área del piso.
Multiplica la longitud y la altura de las secciones verticales.
Sume el valor resultante con el área del piso.

Instrucciones paso a paso para determinar el total.

espacio de piso

Libera la habitación de cosas innecesarias. En el proceso de medición, necesitará acceso libre a todas las áreas de su habitación, por lo que debe deshacerse de todo lo que pueda interferir con esto.
Divide visualmente la habitación en secciones de formas regulares e irregulares. Si su habitación tiene una forma estrictamente cuadrada o rectangular, puede omitir este paso.
Haz un diseño arbitrario de la habitación. Este dibujo es necesario para que todos los datos estén siempre al alcance de la mano. Además, no le dará la oportunidad de confundirse en numerosas medidas.
Las medidas deben tomarse varias veces. Esta es una regla importante para evitar errores en los cálculos. Además, si está utilizando, asegúrese de que el haz quede plano sobre la superficie de la pared.
Encuentra el área total de la habitación. La fórmula para el área total de una habitación es encontrar la suma de todas las áreas de las secciones individuales de la habitación. Esos. S total = S paredes + S pisos + S techos

Las áreas de las figuras geométricas son valores numéricos que caracterizan su tamaño en un espacio bidimensional. Este valor se puede medir en unidades del sistema y fuera del sistema. Entonces, por ejemplo, una unidad de área fuera del sistema es cien, una hectárea. Este es el caso si la superficie medida es un terreno. La unidad de área del sistema es el cuadrado de la longitud. En el sistema SI se acostumbra considerar que la unidad de área de una superficie plana es el metro cuadrado. En el CGS, la unidad de área se expresa en centímetros cuadrados.

Las fórmulas de geometría y área están indisolublemente unidas. Esta conexión radica en que el cálculo de las áreas de las figuras planas se basa precisamente en su aplicación. Para muchas figuras, se derivan varias opciones, según las cuales se calculan sus tamaños cuadrados. Con base en los datos del enunciado del problema, podemos determinar la forma más sencilla de resolverlo. Esto facilita el cálculo y reduce al mínimo la probabilidad de errores de cálculo. Para hacer esto, considere el área principal de figuras en geometría.

Las fórmulas para encontrar el área de cualquier triángulo se presentan de varias maneras:

1) El área de un triángulo se calcula a partir de la base a y la altura h. La base es el lado de la figura sobre el que se baja la altura. Entonces el área del triángulo es:

2) El área de un triángulo rectángulo se calcula exactamente de la misma manera si se considera la base a la hipotenusa. Sin embargo, si se toma el cateto como base, entonces el área del triángulo rectángulo será igual al producto de los catetos divididos por la mitad.

Las fórmulas para calcular el área de cualquier triángulo no acaban ahí. Otra expresión contiene los lados a,b y la función sinusoidal del ángulo γ entre a y b. El valor del seno se encuentra en las tablas. También se puede encontrar usando una calculadora. Entonces el área del triángulo es:

De acuerdo con esta igualdad, también puedes asegurarte de que el área de un triángulo rectángulo esté determinada por las longitudes de los catetos. Porque el ángulo γ es un ángulo recto, por lo que el área de un triángulo rectángulo se calcula sin multiplicar por la función seno.

3) Considere un caso especial: un triángulo regular, en el que el lado a se conoce por condición o su longitud se puede encontrar al resolver. No se sabe nada más sobre la figura en el problema de geometría. Entonces, ¿cómo encontrar el área bajo esta condición? En este caso, se aplica la fórmula para el área de un triángulo regular:

Rectángulo

¿Cómo encontrar el área de un rectángulo y usar las dimensiones de los lados que tienen un vértice común? La expresión para el cálculo es:

Si desea utilizar las longitudes de las diagonales para calcular el área de un rectángulo, necesita la función seno del ángulo formado cuando se cruzan. La fórmula del área de un rectángulo es:

Cuadrado

El área de un cuadrado se define como la segunda potencia de la longitud del lado:

La prueba se sigue de la definición de que un rectángulo se llama cuadrado. Todos los lados que forman un cuadrado tienen las mismas dimensiones. Por tanto, el cálculo del área de tal rectángulo se reduce a multiplicar uno por el otro, es decir, a la segunda potencia del lado. Y la fórmula para calcular el área de un cuadrado tomará la forma deseada.

El área de un cuadrado se puede encontrar de otra forma, por ejemplo, si usas una diagonal:

¿Cómo calcular el área de una figura que está formada por una parte de un plano delimitada por una circunferencia? Para calcular el área, las fórmulas son:

Paralelogramo

Para un paralelogramo, la fórmula contiene las dimensiones lineales del lado, la altura y la operación matemática: la multiplicación. Si se desconoce la altura, ¿cómo encontrar el área del paralelogramo? Hay otra forma de calcular. Se requiere un valor determinado, que será tomado por la función trigonométrica del ángulo formado por los lados adyacentes, así como por su longitud.

Las fórmulas para el área de un paralelogramo son:

Rombo

¿Cómo encontrar el área de un cuadrilátero llamado rombo? El área de un rombo se determina mediante operaciones matemáticas simples con diagonales. La prueba se basa en el hecho de que los segmentos diagonales en d1 y d2 se cortan en ángulo recto. La tabla de senos muestra que para un ángulo recto, esta función es igual a uno. Por lo tanto, el área de un rombo se calcula de la siguiente manera:

El área de un rombo también se puede encontrar de otra forma. Tampoco es difícil probar esto, dado que sus lados tienen la misma longitud. Luego sustituye su producto en una expresión similar para un paralelogramo. Después de todo, un caso especial de esta figura particular es un rombo. Aquí γ es el ángulo interior del rombo. El área de un rombo se determina de la siguiente manera:

Trapecio

¿Cómo encontrar el área de un trapezoide a través de las bases (a y b), si sus longitudes están indicadas en el problema? Aquí, sin un valor conocido de la longitud de la altura h, no será posible calcular el área de dicho trapezoide. Porque este valor contiene la expresión para el cálculo:

El tamaño del cuadrado de un trapezoide rectangular también se puede calcular de la misma manera. Al mismo tiempo, se tiene en cuenta que en un trapezoide rectangular se combinan los conceptos de altura y lado. Por lo tanto, para un trapezoide rectangular, debe especificar la longitud del lado en lugar de la altura.

Cilindro y paralelepípedo

Considere lo que se necesita para calcular la superficie de todo el cilindro. El área de esta figura es un par de círculos, llamados bases, y una superficie lateral. Los círculos que forman círculos tienen longitudes de radio iguales a r. Para el área de un cilindro, se realiza el siguiente cálculo:

¿Cómo encontrar el área de un paralelepípedo que consta de tres pares de caras? Sus medidas son consistentes con un par en particular. Las caras que son opuestas tienen los mismos parámetros. Primero encuentre S(1), S(2), S(3) - dimensiones cuadradas de caras desiguales. Entonces el área de la superficie del paralelepípedo:

Anillo

Dos círculos con un centro común forman un anillo. También limitan el área del ring. En este caso, ambas fórmulas de cálculo tienen en cuenta las dimensiones de cada círculo. El primero, que calcula el área del anillo, contiene radios R más grandes y r más pequeños. Más a menudo se les llama externos e internos. En la segunda expresión, el área del anillo se calcula utilizando los diámetros D mayor y D menor. Así, el área del anillo según radios conocidos se calcula de la siguiente manera:

El área del anillo, utilizando las longitudes de los diámetros, se determina de la siguiente manera:

Polígono

¿Cómo encontrar el área de un polígono cuya forma no es correcta? No existe una fórmula general para el área de tales figuras. Pero si se representa en un plano de coordenadas, por ejemplo, puede ser papel cuadriculado, entonces, ¿cómo encontrar el área de superficie en este caso? Aquí usan un método que no requiere medir aproximadamente la figura. Hacen esto: si encuentran puntos que caen en la esquina de la celda o tienen coordenadas enteras, solo se tienen en cuenta. Para luego saber cuál es el área, usa la fórmula demostrada por Pick. Es necesario sumar el número de puntos ubicados dentro de la polilínea con la mitad de los puntos sobre ella, y restar uno, es decir, se calcula de esta manera:

donde C, D - el número de puntos ubicados dentro y en toda la polilínea, respectivamente.

El conocimiento de cómo medir la Tierra apareció en la antigüedad y gradualmente tomó forma en la ciencia de la geometría. Del idioma griego, esta palabra se traduce como "agrimensura".

La medida del largo de un área plana de la Tierra en largo y ancho es el área. En matemáticas, generalmente se denota con la letra latina S (del inglés "square" - "area", "square") o la letra griega σ (sigma). S denota el área de una figura en un plano o el área de la superficie de un cuerpo, y σ es el área de la sección transversal de un cable en física. Estos son los símbolos principales, aunque puede haber otros, por ejemplo, en el campo de la resistencia de los materiales, A es el área de la sección transversal del perfil.

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Fórmulas de cálculo

Conociendo las áreas de figuras simples, puedes encontrar los parámetros de otras más complejas.. Los antiguos matemáticos desarrollaron fórmulas mediante las cuales se pueden calcular fácilmente. Tales figuras son un triángulo, un cuadrilátero, un polígono, un círculo.

Para encontrar el área de una figura plana compleja, se divide en muchas formas simples, como triángulos, trapecios o rectángulos. Luego, los métodos matemáticos derivan una fórmula para el área de esta figura. Un método similar se usa no solo en geometría, sino también en análisis matemático para calcular las áreas de figuras delimitadas por curvas.

Triángulo

Comencemos con la forma más simple: un triángulo. Son rectangulares, isósceles y equiláteros. Toma cualquier triángulo ABC con lados AB=a, BC=b y AC=c (∆ ABC). Para encontrar su área, recordemos los teoremas de senos y cosenos conocidos del curso de matemáticas de la escuela. Dejando de lado todos los cálculos, llegamos a las siguientes fórmulas:

S=√ - Fórmula de Heron conocida por todos, donde p=(a+b+c)/2 - medio perímetro de un triángulo;
S=a h/2, donde h es la altura bajada al lado a;
S=a b (sen γ)/2, donde γ es el ángulo entre los lados a y b;
S=a b/2 si ∆ ABC es rectangular (aquí a y b son catetos);
S=b² (sin (2 β))/2 si ∆ ABC es isósceles (aquí b es una de las “caderas”, β es el ángulo entre las “caderas” del triángulo);
S=a² √¾ si ∆ ABC es equilátero (aquí a es el lado del triángulo).

Cuadrilátero

Sea un cuadrilátero ABCD con AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Para encontrar el área S de un 4-ágono arbitrario, es necesario dividirlo por una diagonal en dos triángulos cuyas áreas S1 y S2 generalmente no son iguales.

Luego, usando las fórmulas, calcúlelas y súmelas, es decir, S=S1+S2. Sin embargo, si el quad pertenece a cierta clase, entonces su área se puede encontrar usando las fórmulas conocidas anteriormente:

S=(a+c) h/2=eh, si el cuadrilátero es un trapezoide (aquí a y c son las bases, e es la línea media del trapezoide, h es la altura bajada a una de las bases del trapecio ;
S=a h=a b sen φ=d1 d2 (sen φ)/2, si ABCD es un paralelogramo (aquí φ es el ángulo entre los lados a y b, h es la altura bajada al lado a, d1 y d2 son diagonales);
S=a b=d²/2 si ABCD es un rectángulo (d es una diagonal);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 si ABCD es un rombo (a es el lado del rombo, φ es una de sus esquinas, P es el perímetro);
S=a²=P²/16=d²/2 si ABCD es un cuadrado.

Polígono

Para encontrar el área de un n-ágono, los matemáticos lo descomponen en los triángulos iguales más simples, encuentran el área de cada uno de ellos y luego los suman. Pero si el polígono pertenece a la clase de los regulares, entonces se usa la fórmula:

S=anh/2=a² n/=P²/, donde n es el número de vértices (o lados) del polígono, a es el lado del n-ágono, P es su perímetro, h es la apotema, es decir, el segmento trazado desde el centro del polígono a uno de sus lados en un ángulo de 90°.

Un circulo

Un círculo es un polígono perfecto con un número infinito de lados.. Necesitamos calcular el límite de la expresión de la derecha en la fórmula del área del polígono con el número de lados n tendiendo a infinito. En este caso, el perímetro del polígono se convertirá en la longitud de un círculo de radio R, que será el límite de nuestro círculo, y será igual a P=2 π R. Sustituye esta expresión en la fórmula anterior. Obtendremos:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sen (180°/n)).

Encontremos el límite de esta expresión como n→∞. Para ello, tenemos en cuenta que lim (cos (180°/n)) para n→∞ es igual a cos 0°=1 (lim es el signo del límite), y lim = lim para n→∞ es igual a 1/π (hemos traducido la medida en grados a radianes, usando la razón π rad=180°, y aplicado el primer límite notable lim (sen x)/x=1 en x→∞). Sustituyendo los valores obtenidos en la última expresión de S, llegamos a la conocida fórmula:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Unidades

Se aplican unidades de medida del sistema y no del sistema. Las unidades del sistema se conocen como SI (Sistema Internacional). Este es un metro cuadrado (square meter, m²) y las unidades derivadas de él: mm², cm², km².

En milímetros cuadrados (mm²), por ejemplo, miden el área de la sección transversal de los cables en ingeniería eléctrica, en centímetros cuadrados (cm²), la sección transversal de una viga en mecánica estructural, en metros cuadrados (m²). ) - un apartamento o casa, en kilómetros cuadrados (km²) - un territorio en geografía .

Sin embargo, a veces se utilizan unidades de medida no sistémicas, como: tejido, ar (a), hectárea (ha) y acre (ac). Damos las siguientes proporciones:

1 tejido \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
1 ha = 100 a = 100 acres = 10000 m² = 0,01 km² = 2,471 as;
1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 acres = 0,405 ha.

Calcular el área de una figura Este es quizás uno de los problemas más difíciles de la teoría de áreas. En la geometría escolar se les enseña a encontrar las áreas de formas geométricas básicas como, por ejemplo, un triángulo, un rombo, un rectángulo, un trapezoide, un círculo, etc. Sin embargo, a menudo hay que lidiar con el cálculo de las áreas de figuras más complejas. Es en la resolución de tales problemas que es muy conveniente utilizar el cálculo integral.

Definición.

Trapecio curvilíneo se llama alguna figura G, acotada por las rectas y = f(x), y = 0, x = a y x = b, y la función f(x) es continua en el segmento [a; b] y no cambia su signo en él (Figura 1). El área de un trapezoide curvilíneo se puede denotar por S(G).

La integral definida ʃ a b f(x)dx para la función f(x), que es continua y no negativa en el segmento [a; b], y es el área del trapezoide curvilíneo correspondiente.

Es decir, para encontrar el área de la figura G, delimitada por las líneas y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a y x \u003d b, es necesario calcular el integral definida ʃ abf (x) dx.

De este modo, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Si la función y = f(x) no es positiva en [a; b], entonces el área del trapezoide curvilíneo se puede encontrar mediante la fórmula S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Ejemplo 1

Calcule el área de la figura delimitada por las líneas y \u003d x 3; y = 1; x = 2

Solución.

Las líneas dadas forman la figura ABC, que se muestra sombreada en arroz. 2.

El área deseada es igual a la diferencia entre las áreas del trapezoide curvilíneo DACE y el cuadrado DABE.

Usando la fórmula S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), encontramos los límites de integración. Para ello, resolvemos un sistema de dos ecuaciones:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Por lo tanto, tenemos x 1 \u003d 1 - el límite inferior y x \u003d 2 - el límite superior.

Entonces, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (unidades cuadradas).

Respuesta: 11/4 m2 unidades

Ejemplo 2

Calcule el área de la figura delimitada por líneas y \u003d √x; y = 2; x = 9.

Solución.

Las rectas dadas forman la figura ABC, que está acotada superiormente por la gráfica de la función

y \u003d √x, y desde abajo el gráfico de la función y \u003d 2. La figura resultante se muestra sombreada en arroz. 3.

El área deseada es igual a S = ʃ a b (√x - 2). Encontremos los límites de integración: b = 9, para encontrar a, resolvemos el sistema de dos ecuaciones:

(y = √x,
(y = 2.

Así, tenemos que x = 4 = a es el límite inferior.

Entonces, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (unidades cuadradas).

Respuesta: S = 2 2/3 cuadrados. unidades

Ejemplo 3

Calcule el área de la figura delimitada por las líneas y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Solución.

Tracemos la función y \u003d x 3 - 4x para x ≥ 0. Para hacer esto, encontramos la derivada y ':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 en х = ±2/√3 ≈ 1.1 son puntos críticos.

Si dibujamos los puntos críticos sobre el eje real y colocamos los signos de la derivada, obtenemos que la función decrece de cero a 2/√3 y crece de 2/√3 a más infinito. Entonces x = 2/√3 es el punto mínimo, el valor mínimo de la función y es min = -16/(3√3) ≈ -3.

Determinemos los puntos de intersección del gráfico con los ejes de coordenadas:

si x \u003d 0, entonces y \u003d 0, lo que significa que A (0; 0) es el punto de intersección con el eje Oy;

si y \u003d 0, entonces x 3 - 4x \u003d 0 o x (x 2 - 4) \u003d 0, o x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, de donde x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (no adecuado, porque x ≥ 0).

Los puntos A(0; 0) y B(2; 0) son los puntos de intersección de la gráfica con el eje Ox.

Las líneas dadas forman la figura OAB, que se muestra sombreada en arroz. 4.

Dado que la función y \u003d x 3 - 4x toma (0; 2) un valor negativo, entonces

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Tenemos: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, desde donde S \u003d 4 metros cuadrados. unidades

Respuesta: S = 4 cuadrados. unidades

Ejemplo 4

Encuentre el área de la figura delimitada por la parábola y \u003d 2x 2 - 2x + 1, las líneas rectas x \u003d 0, y \u003d 0 y la tangente a esta parábola en el punto con la abscisa x 0 \u003d 2.

Solución.

Primero, componemos la ecuación de la tangente a la parábola y \u003d 2x 2 - 2x + 1 en el punto con la abscisa x₀ \u003d 2.

Como la derivada y' = 4x - 2, entonces para x 0 = 2 obtenemos k = y'(2) = 6.

Encuentra la ordenada del punto de contacto: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Por lo tanto, la ecuación tangente tiene la forma: y - 5 \u003d 6 (x - 2) o y \u003d 6x - 7.

Construyamos una figura delimitada por líneas:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parábola. Puntos de intersección con los ejes de coordenadas: A(0; 1) - con el eje Oy; con el eje Ox - no hay puntos de intersección, porque la ecuación 2x 2 - 2x + 1 = 0 no tiene solución (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, es decir, el vértice del punto de parábola B tiene las coordenadas B (1/2; 1/2).

Entonces, la figura cuya área se va a determinar se muestra sombreada en arroz. cinco.

Tenemos: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Encuentre las coordenadas del punto D a partir de la condición:

6x - 7 = 0, es decir x \u003d 7/6, luego DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Encontramos el área del triángulo DBC usando la fórmula S ADBC = 1/2 · DC · BC. De este modo,

S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 cuadrados. unidades

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (unidades cuadradas).

Finalmente obtenemos: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (unidades cuadradas).

Respuesta: S = 1 1/4 pies cuadrados. unidades

Hemos revisado ejemplos encontrar las áreas de figuras limitadas por líneas dadas. Para resolver con éxito tales problemas, debe poder construir líneas y gráficos de funciones en un plano, encontrar los puntos de intersección de las líneas, aplicar la fórmula para encontrar el área, lo que implica la capacidad y las habilidades para calcular ciertas integrales.

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