Fracciones derechas. ¿Qué es una fracción legal? Fracción correcta e incorrecta: reglas

Este articulo trata sobre fracciones comunes... Aquí nos familiarizaremos con el concepto de fracción de un todo, lo que nos llevará a la definición de fracción ordinaria. Además, nos detendremos en la notación aceptada para fracciones ordinarias y daremos ejemplos de fracciones, por ejemplo, sobre el numerador y el denominador de una fracción. Después de eso, daremos definiciones de fracciones correctas e incorrectas, positivas y negativas, y también consideraremos la posición de los números fraccionarios en el rayo de coordenadas. En conclusión, enumeramos las principales acciones con fracciones.

Navegación de página.

Acciones del todo

Primero te presentamos compartir concepto.

Supongamos que tenemos un objeto formado por varias partes absolutamente idénticas (es decir, iguales). Para mayor claridad, puede imaginar, por ejemplo, una manzana cortada en varias partes iguales, o una naranja, que consta de varias rodajas iguales. Cada una de estas partes iguales que componen el conjunto se llama acciones de un todo o simplemente Comparte.

Tenga en cuenta que las acciones son diferentes. Expliquemos esto. Digamos que tenemos dos manzanas. Cortamos la primera manzana en dos partes iguales y la segunda en 6 partes iguales. Está claro que la participación de la primera manzana será diferente de la participación de la segunda manzana.

Dependiendo del número de tiempos que componen todo el tema, estos tiempos tienen sus propios nombres. Analicemos compartir nombres... Si el objeto consta de dos partes, cualquiera de ellas se denomina parte de un segundo del objeto completo; si el objeto consta de tres partes, cualquiera de ellas se denomina tercera parte, y así sucesivamente.

Una segunda acción tiene un nombre especial: mitad... Un tercio de la acción se llama tercera y una cuarta parte es un cuarto.

En aras de la brevedad, se ha introducido lo siguiente. compartir designaciones... Una segunda acción se designa como 1/2, una tercera acción como 1/3; un cuarto es como 1/4, y así sucesivamente. Tenga en cuenta que la notación con una barra horizontal se usa con más frecuencia. Para consolidar el material, daremos un ejemplo más: el registro denota ciento sesenta y siete partes del todo.

El concepto de participación se extiende naturalmente de los objetos a las cantidades. Por ejemplo, una de las medidas para medir la longitud es el metro. Para medir longitudes inferiores a un metro, puede utilizar fracciones de metro. Entonces puede usar, por ejemplo, medio metro o una décima o milésima de metro. Las fracciones de otras cantidades se aplican de la misma forma.

Fracciones comunes, definiciones y ejemplos de fracciones

Para describir el número de latidos, use fracciones comunes... Pongamos un ejemplo que nos permitirá acercarnos a la definición de fracciones ordinarias.

Deja que la naranja tenga 12 partes. Cada latido en este caso representa una doceava parte de una naranja entera, es decir,. Designemos dos acciones como, tres acciones, como, y así sucesivamente, designaremos 12 acciones como. Cada una de estas entradas se llama fracción.

Ahora demos un general definición de fracciones comunes.

La definición sonada de fracciones ordinarias nos permite dar ejemplos de fracciones comunes: 5/10, 21/1, 9/4 ,. Y aqui estan los registros no se ajustan a la definición sonora de fracciones ordinarias, es decir, no son fracciones ordinarias.

Numerador y denominador

Por conveniencia, se distingue una fracción común numerador y denominador.

Definición.

Numerador fracción (m / n) es un número natural m.

Definición.

Denominador fracción (m / n) es un número natural n.

Entonces, el numerador está arriba de la línea de fracción (a la izquierda de la barra oblicua) y el denominador está debajo de la línea de fracción (a la derecha de la barra oblicua). Por ejemplo, démosle una fracción ordinaria 17/29, el numerador de esta fracción es el número 17 y el denominador es el número 29.

Queda por discutir el significado del numerador y denominador de una fracción ordinaria. El denominador de una fracción muestra cuántas partes consta de un artículo, el numerador, a su vez, indica el número de esas partes. Por ejemplo, el denominador 5 de la fracción 12/5 significa que un elemento tiene cinco partes y el numerador 12 significa que hay 12 de esas partes.

Número natural como fracción con denominador 1

El denominador de una fracción ordinaria puede ser igual a uno. En este caso, podemos asumir que el objeto es indivisible, es decir, es algo entero. El numerador de dicha fracción indica cuántos elementos completos se tomaron. Por tanto, una fracción ordinaria de la forma m / 1 tiene el significado de un número natural m. Así es como comprobamos la validez de la igualdad m / 1 = m.

Reescribimos la última igualdad de la siguiente manera: m = m / 1. Esta igualdad nos permite representar cualquier número natural m como una fracción ordinaria. Por ejemplo, 4 es una fracción de 4/1 y 103 498 es igual a 103 498/1.

Entonces, cualquier número natural m se puede representar como una fracción ordinaria con el denominador 1 como m / 1, y cualquier fracción ordinaria de la forma m / 1 se puede reemplazar por un número natural m.

Barra oblicua como signo de división

La representación del artículo original en forma de n acciones no es más que una división en n partes iguales. Después de dividir el artículo en n acciones, podemos dividirlo equitativamente entre n personas; cada uno recibirá una acción.

Si inicialmente tenemos m objetos idénticos, cada uno de los cuales se divide en n partes, entonces podemos dividir equitativamente estos m objetos entre n personas, dándole a cada persona una parte de cada uno de los m objetos. En este caso, cada persona tendrá m acciones de 1 / n, y m acciones de 1 / n dan una fracción ordinaria m / n. Por tanto, la fracción común m / n se puede utilizar para denotar la división de m objetos entre n personas.

Entonces obtuvimos una conexión explícita entre las fracciones ordinarias y la división (ver la idea general de la división de números naturales). Esta relación se expresa de la siguiente manera: una barra de una fracción puede entenderse como un signo de división, es decir, m / n = m: n.

Usando una fracción ordinaria, puede escribir el resultado de dividir dos números naturales para los cuales no se realiza una división entera. Por ejemplo, el resultado de dividir 5 manzanas entre 8 personas se puede escribir como 5/8, es decir, todos obtendrán cinco octavos de manzana: 5: 8 = 5/8.

Fracciones ordinarias iguales y desiguales, comparación de fracciones

Una acción bastante natural es comparación de fracciones ordinarias, después de todo, está claro que 1/12 de una naranja es diferente de 5/12, y 1/6 de una manzana es lo mismo que otro 1/6 de esta manzana.

Como resultado de comparar dos fracciones ordinarias, se obtiene uno de los resultados: las fracciones son iguales o no iguales. En el primer caso, tenemos fracciones iguales, y en el segundo - fracciones desiguales... Démosle una definición de fracciones ordinarias iguales y desiguales.

Definición.

son iguales si la igualdad a d = b c es verdadera.

Definición.

Dos fracciones a / byc / d no es igual si la igualdad a d = b c no se cumple.

A continuación, se muestran algunos ejemplos de fracciones iguales. Por ejemplo, una fracción ordinaria 1/2 es igual a 2/4, ya que 1 4 = 2 2 (si es necesario, consulte las reglas y ejemplos para multiplicar números naturales). Para mayor claridad, puede imaginar dos manzanas idénticas, la primera se corta por la mitad y la segunda se corta en 4 partes. Además, es obvio que dos cuartas partes de una manzana son 1/2 parte. Otros ejemplos de fracciones iguales son 4/7 y 36/63, y un par de fracciones 81/50 y 1,620 / 1000.

Y las fracciones ordinarias 4/13 y 5/14 no son iguales, ya que 4 · 14 = 56 y 13 · 5 = 65, es decir, 4 · 14 ≠ 13 · 5. Las fracciones 17/7 y 6/4 son otro ejemplo de fracciones ordinarias desiguales.

Si, al comparar dos fracciones ordinarias, resulta que no son iguales, es posible que deba averiguar cuál de estas fracciones ordinarias menor otro, y que - más... Para averiguarlo, se utiliza la regla para comparar fracciones ordinarias, cuya esencia se reduce a llevar las fracciones comparadas a un denominador común y luego comparar los numeradores. La información detallada sobre este tema se recopila en el artículo Comparación de fracciones: reglas, ejemplos, soluciones.

Números fraccionarios

Cada fracción es un récord numero fraccional... Es decir, una fracción es solo una "capa" de un número fraccionario, su apariencia y toda la carga semántica está contenida en el número fraccionario. Sin embargo, por razones de brevedad y conveniencia, los conceptos de fracción y número fraccionario se combinan y simplemente se dicen como una fracción. Aquí es apropiado reformular un dicho conocido: decimos una fracción - queremos decir un número fraccionario, decimos un número fraccionario - queremos decir una fracción.

Fracciones en el rayo de coordenadas

Todos los números fraccionarios correspondientes a fracciones ordinarias tienen su lugar único en, es decir, existe una correspondencia biunívoca entre fracciones y puntos del rayo coordenado.

Para llegar al rayo de coordenadas al punto correspondiente a la fracción m / n, debe posponer m segmentos desde el origen en la dirección positiva, cuya longitud es 1 / n fracción de un segmento unitario. Dichos segmentos se pueden obtener dividiendo un segmento unitario en n partes iguales, lo que siempre se puede hacer con un compás y una regla.

Como ejemplo, mostremos el punto M en el rayo coordenado, correspondiente a la fracción 14/10. La longitud del segmento con extremos en el punto O y el punto más cercano a él, marcado con un pequeño trazo, es 1/10 de un segmento unitario. El punto con la coordenada 14/10 se encuentra a una distancia de 14 segmentos del origen.

Las fracciones iguales corresponden al mismo número fraccionario, es decir, las fracciones iguales son las coordenadas del mismo punto en el rayo de coordenadas. Por ejemplo, un punto corresponde a las coordenadas 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 en el rayo de coordenadas, ya que todas las fracciones escritas son iguales (está ubicado a una distancia de medio segmento unitario, establece aparte del origen en la dirección positiva).

En el rayo coordenado horizontal y dirigido a la derecha, el punto cuya coordenada es la fracción mayor está ubicado a la derecha del punto cuya coordenada es la fracción menor. De manera similar, el punto con la coordenada más pequeña se encuentra a la izquierda del punto con la coordenada más grande.

Fracciones correctas e impropias, definiciones, ejemplos.

Entre las fracciones ordinarias, hay fracciones correctas e incorrectas... Esta división se basa en la comparación del numerador y denominador.

Démosle una definición de fracciones ordinarias regulares e irregulares.

Definición.

Fracción propia Es una fracción ordinaria, cuyo numerador es menor que el denominador, es decir, si m

Definición.

Fracción impropia Es una fracción ordinaria en la que el numerador es mayor o igual que el denominador, es decir, si m≥n, entonces la fracción ordinaria es incorrecta.

A continuación se muestran algunos ejemplos de fracciones regulares: 1/4 ,, 32 765/909 003. De hecho, en cada una de las fracciones ordinarias escritas, el numerador es menor que el denominador (si es necesario, consulte el artículo comparando números naturales), por lo que son correctos por definición.

Y aquí hay ejemplos de fracciones impropias: 9/9, 23/4 ,. De hecho, el numerador de la primera de las fracciones ordinarias registradas es igual al denominador, y en las fracciones restantes el numerador es mayor que el denominador.

También hay definiciones de fracciones correctas e incorrectas basadas en la comparación de fracciones con uno.

Definición.

correcto si es menos de uno.

Definición.

Una fracción ordinaria se llama incorrecto si es igual a uno o mayor que 1.

Entonces, la fracción ordinaria 7/11 es correcta, ya que 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 y 27/27 = 1.

Pensemos por qué las fracciones ordinarias con un numerador mayor o igual que el denominador se han ganado ese nombre: "incorrecto".

Tomemos como ejemplo la fracción impropia 9/9. Esta fracción significa que ha tomado nueve partes de un objeto que consta de nueve partes. Es decir, de las nueve partes disponibles, podemos componer un objeto completo. Es decir, la fracción impropia 9/9 da esencialmente el ítem completo, es decir, 9/9 = 1. En general, las fracciones irregulares con un numerador igual al denominador denotan un objeto completo, y dicha fracción puede reemplazarse por el número natural 1.

Ahora considere las fracciones impropias 7/3 y 12/4. Es bastante obvio que podemos hacer dos objetos completos a partir de estas siete terceras partes (un objeto completo tiene 3 partes, luego para componer dos objetos completos necesitamos 3 + 3 = 6 partes) y quedará una tercera parte. Es decir, la fracción incorrecta 7/3 esencialmente significa 2 artículos e incluso 1/3 de la participación de dicho artículo. Y a partir de doce cuartos, podemos hacer tres objetos completos (tres objetos con cuatro partes en cada uno). Es decir, la fracción 12/4 esencialmente significa 3 objetos enteros.

Los ejemplos considerados nos llevan a la siguiente conclusión: las fracciones impropias pueden ser reemplazadas por números naturales, cuando el numerador está dividido completamente por el denominador (por ejemplo, 9/9 = 1 y 12/4 = 3), o por la suma de un número natural y una fracción regular, cuando el numerador no es divisible uniformemente por el denominador (por ejemplo, 7/3 = 2 + 1/3). Quizás esto es precisamente lo que las fracciones incorrectas se han ganado ese nombre: "incorrecto".

De particular interés es la representación de una fracción impropia como la suma de un número natural y una fracción regular (7/3 = 2 + 1/3). Este proceso se denomina separación de la parte completa de una fracción impropia y merece una consideración separada y más cuidadosa.

También vale la pena señalar que existe una relación muy estrecha entre las fracciones impropias y los números mixtos.

Fracciones positivas y negativas

Cada fracción corresponde a un número fraccionario positivo (ver el artículo números positivos y negativos). Es decir, las fracciones comunes son fracciones positivas... Por ejemplo, las fracciones comunes 1/5, 56/18, 35/144 son fracciones positivas. Cuando es necesario enfatizar la positividad de una fracción, se coloca un signo más delante de ella, por ejemplo, +3/4, +72/34.

Si coloca un signo menos delante de una fracción ordinaria, este registro corresponderá a un número fraccionario negativo. En este caso, podemos hablar de fracciones negativas... Aquí hay algunos ejemplos de fracciones negativas: −6/10, −65/13, −1/18.

Las fracciones positivas y negativas m / n y -m / n son números opuestos. Por ejemplo, las fracciones 5/7 y −5/7 son fracciones opuestas.

Las fracciones positivas, como los números positivos en general, denotan suma, ingreso, cambio en cualquier valor hacia arriba, etc. Las fracciones negativas corresponden a gastos, deuda, variación de cualquier valor a la baja. Por ejemplo, una fracción negativa −3/4 se puede interpretar como una deuda de 3/4.

Las fracciones negativas en horizontales y dirigidas a la derecha se encuentran a la izquierda del origen. Los puntos de la línea de coordenadas, cuyas coordenadas son la fracción positiva m / ny la fracción negativa −m / n, están ubicados a la misma distancia del origen, pero en lados opuestos del punto O.

Aquí vale la pena mencionar fracciones de la forma 0 / n. Estas fracciones son iguales al número cero, es decir, 0 / n = 0.

Las fracciones positivas, las fracciones negativas y las fracciones 0 / n se combinan para formar números racionales.

Acciones con fracciones

Una acción con fracciones comunes, comparar fracciones, ya lo hemos discutido anteriormente. Cuatro aritmética más acciones con fracciones- suma, resta, multiplicación y división de fracciones. Detengámonos en cada uno de ellos.

La esencia general de las acciones con fracciones es similar a la esencia de las acciones correspondientes con números naturales. Hagamos una analogía.

Multiplicación de fracciones se puede considerar como una acción en la que hay una fracción de una fracción. Demos un ejemplo para aclarar. Digamos que tenemos 1/6 de una manzana y necesitamos tomar 2/3 de ella. La parte que necesitamos es el resultado de multiplicar las fracciones 1/6 y 2/3. El resultado de multiplicar dos fracciones ordinarias es una fracción ordinaria (que en el caso particular es igual a un número natural). Además, recomendamos estudiar la información del artículo multiplicación de fracciones: reglas, ejemplos y soluciones.

Bibliografía.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemáticas: libro de texto para el quinto grado Instituciones educacionales.
• Vilenkin N. Ya. y otras Matemáticas. Grado 6: libro de texto para instituciones educativas.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (una guía para solicitantes de escuelas técnicas).

Fracción propia

Cuarteles

1. Orden. a y B existe una regla que permite identificar inequívocamente una y solo una de las tres relaciones entre ellas: “< », « >"O" = ". Esta regla se llama regla de pedido y se formula de la siguiente manera: dos números no negativos y están relacionados por la misma relación que dos números enteros y; dos números no positivos a y B están relacionados por la misma relación que dos números no negativos y; si de repente a no es negativo y B- negativo, entonces a > B... src = "/ imágenes / wiki / files / 57 /.png" border = "0">

   

   Suma de fracciones

2. Operación de adición. Para cualquier número racional a y B hay un llamado regla de suma C... Además, el número en sí C llamado suma números a y B y se denota, y el proceso de encontrar tal número se llama suma... La regla de suma es la siguiente: .
3. Operación de multiplicación. Para cualquier número racional a y B hay un llamado regla de multiplicación, que los pone en correspondencia con algún número racional C... Además, el número en sí C llamado producto números a y B y se denota, y el proceso de encontrar tal número también se llama multiplicación... La regla de multiplicación es la siguiente: .
4. Transitividad de la relación de orden. Para cualquier triple de números racionales a , B y C si a menor B y B menor C, luego a menor C, Y si a es igual a B y B es igual a C, luego a es igual a C... 6435 "> Conmutatividad de la suma. La suma no cambia del cambio de lugar de los términos racionales.
5. Asociatividad de suma. El orden de suma de los tres números racionales no afecta el resultado.
6. La presencia de cero. Hay un número racional 0 que conserva cualquier otro número racional cuando se suma.
7. La presencia de números opuestos. Cualquier número racional tiene un número racional opuesto, cuando se suma con él da 0.
8. Conmutatividad de la multiplicación. El producto no cambia por un cambio en los lugares de los factores racionales.
9. Asociatividad de la multiplicación. El orden en que se multiplican los tres números racionales no afecta el resultado.
10. Disponibilidad de la unidad. Hay un número racional 1 que conserva cualquier otro número racional cuando se multiplica.
11. La presencia de números recíprocos. Cualquier número racional tiene un número racional inverso que, cuando se multiplica por, da 1.
12. Distributividad de la multiplicación relativa a la suma. La operación de multiplicación es consistente con la operación de suma mediante la ley de distribución:
13. La relación de la relación de orden con la operación de suma. El mismo número racional se puede agregar a los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png "border =" 0 ">
14. Axioma de Arquímedes. Cualquiera que sea el número racional a, puede tomar tantas unidades que su suma supere a... src = "/ imágenes / wiki / files / 55 /.png" border = "0">

Propiedades adicionales

Todas las demás propiedades inherentes a los números racionales no se destacan como las principales, porque, en términos generales, ya no se basan directamente en las propiedades de los números enteros, sino que pueden demostrarse en función de las propiedades básicas dadas o directamente por la definición de una determinada. objeto matemático. Hay muchas de estas propiedades adicionales. Tiene sentido citar solo algunos de ellos aquí.

Src = "/ imágenes / wiki / archivos / 48 /.png" border = "0">

Contabilidad de un conjunto

Numeración racional

Para estimar el número de números racionales, necesitas encontrar la cardinalidad de su conjunto. Es fácil probar que el conjunto de números racionales es contable. Para ello, basta con dar un algoritmo que numere números racionales, es decir, que establezca una biyección entre los conjuntos de números racionales y naturales.

El más simple de estos algoritmos es el siguiente. Se compila una tabla interminable de fracciones comunes, para cada I-th línea en cada j-ésima columna de la que se encuentra la fracción. Para mayor precisión, se asume que las filas y columnas de esta tabla están numeradas comenzando por uno. Las celdas de la tabla se designan, donde I es el número de fila de la tabla en la que se encuentra la celda, y j- número de columna.

La "serpiente" omite la tabla resultante de acuerdo con el siguiente algoritmo formal.

Estas reglas se escanean de arriba a abajo y se selecciona la siguiente posición en el primer partido.

En el proceso de tal recorrido, cada nuevo número racional se asocia con el siguiente número natural. Es decir, a la fracción 1/1 se le asigna el número 1, la fracción 2/1 - el número 2, etc. Cabe señalar que solo se numeran las fracciones irreducibles. El signo formal de irreductibilidad es la igualdad con uno de los máximos divisores comunes del numerador y denominador de la fracción.

Siguiendo este algoritmo, se pueden enumerar todos los números racionales positivos. Esto significa que el conjunto de números racionales positivos es contable. Es fácil establecer una biyección entre los conjuntos de números racionales positivos y negativos simplemente asignando el opuesto a cada número racional. Ese. el conjunto de números racionales negativos también es contable. Su unión también es contable por la propiedad de conjuntos contables. El conjunto de números racionales también se puede contar como la unión de un conjunto contable con uno finito.

La afirmación de que el conjunto de números racionales es contable puede causar cierto desconcierto, ya que a primera vista uno tiene la impresión de que es mucho más extenso que el conjunto de números naturales. De hecho, esto no es así, y hay suficientes números naturales para enumerar todos los racionales.

Falta de números racionales

La hipotenusa de tal triángulo no está expresada por ningún número racional

Números racionales de la forma 1 / norte en general norte Puede medir cantidades arbitrariamente pequeñas. Este hecho crea la impresión engañosa de que cualquier distancia geométrica puede medirse con números racionales. Es fácil demostrar que esto no es cierto.

Se sabe por el teorema de Pitágoras que la hipotenusa de un triángulo rectángulo se expresa como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus catetos. Ese. la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles con un cateto unitario es, es decir, un número cuyo cuadrado es 2.

Si asumimos que el número está representado por algún número racional, entonces existe tal número entero metro y un número tan natural norte, que, además, la fracción es irreducible, es decir, los números metro y norte- mutuamente simples.

Si entonces , es decir. metro 2 = 2norte 2. Por lo tanto, el número metro 2 es par, pero el producto de dos números impares es impar, lo que significa que el número en sí metro también incluso. Entonces hay un número natural k tal que el numero metro se puede representar como metro = 2k... Número cuadrado metro En este sentido metro 2 = 4k 2, pero por otro lado metro 2 = 2norte 2 significa 4 k 2 = 2norte 2, o norte 2 = 2k 2. Como se mostró anteriormente para el número metro, esto significa que el número norte- incluso, como metro... Pero entonces no son mutuamente simples, ya que ambos se reducen a la mitad. La contradicción resultante prueba que no es un número racional.