Concepto de pirámide

Definición 1

Una figura geométrica formada por un polígono y un punto que no se encuentra en el plano que contiene este polígono, conectados a todos los vértices del polígono se llama pirámide (Fig. 1).

El polígono a partir del cual se compone la pirámide se llama la base de la pirámide, los triángulos obtenidos al conectarse al punto son las caras laterales de la pirámide, los lados de los triángulos son los lados de la pirámide y el punto común a todos los triángulos es la parte superior de la pirámide.

Tipos de pirámides

Dependiendo del número de ángulos en la base de la pirámide, puede llamarse triangular, cuadrangular, etc. (Fig. 2).

Figura 2.

Otro tipo de pirámide es la pirámide regular.

Introduzcamos y probemos la propiedad de una pirámide regular.

Teorema 1

Todas las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles, que son iguales entre sí.

Evidencia.

Considere una pirámide de carbón regular $ n- $ con la parte superior $ S $ y la altura $ h \u003d SO $. Describamos un círculo alrededor de la base (Fig. 4).

Figura 4.

Considere el triángulo $ SOA $. Por el teorema de Pitágoras, obtenemos

Obviamente, esto definirá cualquier borde lateral. Por lo tanto, todos los bordes laterales son iguales entre sí, es decir, todos los bordes laterales son triángulos isósceles. Demostremos que son iguales entre sí. Dado que la base es un polígono regular, las bases de todas las caras laterales son iguales entre sí. En consecuencia, todas las caras laterales son iguales según el criterio III de igualdad de triángulos.

Se demuestra el teorema.

Introducimos ahora la siguiente definición relacionada con el concepto de pirámide regular.

Definición 3

La apotema de una pirámide regular es la altura de su borde lateral.

Obviamente, según el Teorema Uno, todos los apotemas son iguales entre sí.

Teorema 2

El área de la superficie lateral de una pirámide regular se define como el producto del medio perímetro de la base y la apotema.

Evidencia.

Denotemos el lado de la base de la pirámide de carbón $ n- $ por $ a $ y la apotema por $ d $. Por lo tanto, el área de la cara lateral es

Dado que, según el teorema 1, todos los lados laterales son iguales, entonces

Se demuestra el teorema.

Otro tipo de pirámide es una pirámide truncada.

Definición 4

Si dibuja un plano paralelo a su base a través de una pirámide ordinaria, entonces la figura formada entre este plano y el plano de la base se llama pirámide truncada (Fig. 5).

Figura 5. Pirámide truncada

Las caras laterales de la pirámide truncada son trapezoides.

Teorema 3

El área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular se define como el producto de la suma de los semiperímetros de la base y la apotema.

Evidencia.

Denotemos los lados de las bases de la pirámide de carbón $ n- $ por $ a \\ y \\ b $, respectivamente, y la apotema por $ d $. Por lo tanto, el área de la cara lateral es

Dado que todos los lados son iguales, entonces

Se demuestra el teorema.

Tarea de ejemplo

Ejemplo 1

Encuentre el área de la superficie lateral de una pirámide triangular truncada, si se obtiene de una pirámide regular con lado de base 4 y apotema 5 cortando por un plano que pasa por la línea media de las caras laterales.

Decisión.

Por el teorema de la línea media, obtenemos que la base superior de la pirámide truncada es $ 4 \\ cdot \\ frac (1) (2) \u003d 2 $, y la apotema es $ 5 \\ cdot \\ frac (1) (2) \u003d 2.5 $.

Entonces, por el teorema 3, obtenemos

Aquí puede encontrar información básica sobre las pirámides y fórmulas y conceptos relacionados. Todos ellos se estudian con un tutor de matemáticas en preparación para el examen.

Considere un plano, un polígono acostado en él y un punto S que no descansa en él. Conecta S a todos los vértices del polígono. El poliedro resultante se llama pirámide. Los segmentos se denominan costillas laterales. El polígono se llama base y el punto S se llama cima de la pirámide. Dependiendo del número n, la pirámide se llama triangular (n \u003d 3), cuadrangular (n \u003d 4), pirámide (n \u003d 5), etc. Un nombre alternativo para la pirámide triangular es tetraedro... La altura de la pirámide se llama perpendicular, bajada desde su parte superior hasta el plano de la base.

Una pirámide se llama correcta si un polígono regular, y la base de la altura de la pirámide (base de la perpendicular) es su centro.

Comentario del tutor:
No confunda el concepto de "pirámide regular" y "tetraedro correcto". En una pirámide regular, los bordes laterales no son necesariamente iguales a los bordes de la base, pero en un tetraedro regular, los 6 bordes de los bordes son iguales. Esta es su definición. Es fácil probar que la igualdad implica la coincidencia del centro P del polígono con la base de la altura, por lo que un tetraedro regular es una pirámide regular.

¿Qué es Apothema?
La apotema de una pirámide es la altura de su cara lateral. Si la pirámide es correcta, entonces todas sus apotemas son iguales. Lo contrario no es cierto.

Tutor en matemáticas sobre su terminología: el trabajo con pirámides está construido en un 80% a través de dos tipos de triángulos:
1) Que contiene apotema SK y altura SP
2) Que contiene un borde lateral SA y su proyección PA

Para facilitar la referencia a estos triángulos, es más conveniente que un tutor de matemáticas llame al primero apotémico, y segundo costal... Desafortunadamente, no encontrará esta terminología en ninguno de los libros de texto, y el maestro debe ingresarla unilateralmente.

La fórmula del volumen de una pirámide.:
1) , donde es el área de la base de la pirámide y es la altura de la pirámide
2), donde es el radio de la esfera inscrita y es el área de superficie total de la pirámide.
3) , donde MN es la distancia de dos bordes que se cruzan y es el área del paralelogramo formado por los puntos medios de los cuatro bordes restantes.

Propiedad de la base de la altura de la pirámide:

El punto P (ver figura) coincide con el centro del círculo inscrito en la base de la pirámide si se cumple una de las siguientes condiciones:
1) Todas las apotemas son iguales
2) Todas las caras laterales están igualmente inclinadas hacia la base
3) Todas las apotemas están igualmente inclinadas a la altura de la pirámide.
4) La altura de la pirámide está igualmente inclinada a todas las caras laterales.

Comentario del tutor de matemáticas: tenga en cuenta que todos los puntos tienen una propiedad común: de una forma u otra, las caras laterales están involucradas en todas partes (las apotemas son sus elementos). Por lo tanto, el tutor puede ofrecer una formulación menos precisa, pero más conveniente para la memorización: el punto P coincide con el centro del círculo inscrito en la base de la pirámide, si hay información igual sobre sus caras laterales. Para probarlo, basta con mostrar que todos los triángulos apotémicos son iguales.

El punto P coincide con el centro de un círculo descrito cerca de la base de la pirámide, si se cumple una de las tres condiciones:
1) Todos los bordes laterales son iguales
2) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas hacia la base
3) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas a la altura

Los estudiantes se enfrentan al concepto de pirámide mucho antes del estudio de la geometría. Esto se debe a las famosas grandes maravillas egipcias del mundo. Por lo tanto, al comenzar el estudio de este maravilloso poliedro, la mayoría de los estudiantes ya lo imaginan claramente. Todas las atracciones mencionadas anteriormente tienen la forma correcta. Qué pirámide correcta, y qué propiedades tiene y se discutirán más adelante.

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Definición

Hay muchas definiciones de pirámide. Desde la antigüedad ha gozado de gran popularidad.

Por ejemplo, Euclides lo definió como una figura corporal, formada por planos que, partiendo de uno, convergen en un punto determinado.

Heron proporcionó una formulación más precisa. Insistió en que era una figura que tiene una base y planos en forma de triángulos, convergiendo en un punto.

Según la interpretación moderna, la pirámide se presenta como un poliedro espacial, que consta de un determinado k-gon yk figuras planas de forma triangular, que tienen un punto común.

Vamos a resolverlo con más detalle, en que elementos consta:

• el k-gon se considera la base de la figura;
• las figuras de 3 lados son los lados de la parte lateral;
• la parte superior de la que se originan los elementos laterales se denomina parte superior;
• todos los segmentos que conectan un vértice se denominan aristas;
• si se baja una línea recta desde la parte superior hasta el plano de la figura en un ángulo de 90 grados, entonces su parte encerrada en el espacio interno es la altura de la pirámide;
• en cualquier elemento lateral, se puede trazar una perpendicular al lado de nuestro poliedro, llamado apotema.

El número de aristas se calcula mediante la fórmula 2 * k, donde k es el número de lados de un k-gon. El número de caras de un poliedro como una pirámide se puede determinar mediante la expresión k + 1.

¡Importante! Una pirámide de forma regular es una figura estereométrica, cuyo plano base es un k-gon con lados iguales.

Propiedades básicas

Pirámide correcta tiene muchas propiedades, que son inherentes solo a ella. Vamos a enumerarlos:

1. La base es una figura de forma regular.
2. Los bordes de la pirámide que delimitan los miembros laterales tienen los mismos valores numéricos.
3. Los elementos laterales son triángulos isósceles.
4. La base de la altura de la figura cae en el centro del polígono, mientras que al mismo tiempo es el punto central de lo inscrito y descrito.
5. Todas las nervaduras laterales están inclinadas al plano de la base en el mismo ángulo.
6. Todas las superficies laterales tienen el mismo ángulo de inclinación con respecto a la base.

Todas estas propiedades facilitan mucho la realización de cálculos de miembros. Sobre la base de las propiedades anteriores, llamamos la atención sobre dos signos:

1. En el caso de que el polígono encaje en un círculo, las caras laterales tendrán ángulos iguales con la base.
2. Al describir un círculo alrededor de un polígono, todos los bordes de la pirámide que salen del vértice tendrán la misma longitud y ángulos iguales con la base.

Se basa en un cuadrado

Pirámide cuadrangular regular - un poliedro basado en un cuadrado.

Tiene cuatro caras laterales, que son de apariencia isósceles.

En un plano, se representa un cuadrado, pero basado en todas las propiedades de un cuadrilátero regular.

Por ejemplo, si necesita conectar el lado de un cuadrado con su diagonal, utilice la siguiente fórmula: la diagonal es igual al producto del lado del cuadrado por la raíz cuadrada de dos.

Se basa en un triángulo regular

Una pirámide triangular regular es un poliedro con 3 gones regulares en su base.

Si la base es un triángulo regular y los bordes laterales son iguales a los bordes de la base, entonces dicha figura llamado tetraedro.

Todas las caras del tetraedro son de 3 gones equiláteros. En este caso, es necesario conocer algunos puntos y no perder tiempo en ellos a la hora de calcular:

• el ángulo de inclinación de las nervaduras a cualquier base es de 60 grados;
• el tamaño de todos los bordes interiores también es de 60 grados;
• cualquier faceta puede actuar como base;
• dibujados dentro de la forma son elementos iguales.

Secciones de poliedro

En cualquier poliedro, hay varios tipos de secciónavión. A menudo, en el curso de geometría de la escuela, se trabajan dos:

• axial;
• base paralela.

La sección axial se obtiene cuando el plano se cruza con el poliedro, que pasa por el vértice, los bordes laterales y el eje. En este caso, el eje es la altura dibujada desde arriba. El plano de corte está limitado por las líneas de intersección con todas las caras, lo que da como resultado un triángulo.

¡Atención!En una pirámide regular, la sección axial es un triángulo isósceles.

Si el plano de corte corre paralelo a la base, el resultado es la segunda opción. En este caso, tenemos una figura de sección transversal similar a la base.

Por ejemplo, si hay un cuadrado en la base, entonces la sección paralela a la base también será un cuadrado, solo que de tamaños más pequeños.

Al resolver problemas en esta condición, se utilizan signos y propiedades de similitud de figuras, basado en el teorema de Tales... En primer lugar, es necesario determinar el coeficiente de similitud.

Si el plano es paralelo a la base y corta la parte superior del poliedro, se obtiene una pirámide truncada regular en la parte inferior. Entonces se dice que los tallos del poliedro truncado son polígonos similares. En este caso, las caras laterales son trapezoides isósceles. La sección axial también es isósceles.

Para determinar la altura del poliedro truncado, es necesario dibujar la altura en la sección axial, es decir, en el trapezoide.

Superficies

Los principales problemas geométricos que se deben resolver en el curso de geometría de la escuela son encontrar las áreas de superficie y el volumen de la pirámide.

Hay dos tipos de valores de superficie:

• el área de los elementos laterales;
• el área de toda la superficie.

Por el nombre en sí, queda claro de qué se trata. La superficie lateral solo incluye elementos laterales. De esto se deduce que para encontrarlo, solo necesita sumar las áreas de los planos laterales, es decir, las áreas de isósceles 3-gons. Intentemos derivar la fórmula para el área de los elementos laterales:

1. El área de un 3-gon isósceles es Str \u003d 1/2 (aL), donde a es el lado de la base, L es la apotema.
2. El número de planos laterales depende del tipo de k-ésimo gon en la base. Por ejemplo, una pirámide cuadrangular regular tiene cuatro planos laterales. Por lo tanto, es necesario sumar las áreas de las cuatro cifras lado S \u003d 1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) \u003d 1/2 * 4а * L. La expresión se simplifica de esta manera porque el valor 4a \u003d Rosn, donde Rosn es el perímetro de la base. Y la expresión 1/2 * Rosn es su semiperímetro.
3. Entonces, concluimos que el área de los elementos laterales de una pirámide regular es igual al producto del medio perímetro de la base por la apotema: Sbok \u003d Rosn * L.

El área de la superficie total de la pirámide consiste en la suma de las áreas de los planos laterales y la base: Sp.p. \u003d Sside + Sbase.

En cuanto al área de la base, aquí se utiliza la fórmula según el tipo de polígono.

El volumen de una pirámide regular.es igual al producto del área del plano base por la altura, dividido por tres: V \u003d 1/3 * Sbase * H, donde H es la altura del poliedro.

¿Qué es una pirámide correcta en geometría?

Propiedades de una pirámide cuadrangular regular

Hipótesis: Creemos que la perfección de la forma de la pirámide se debe a las leyes matemáticas incrustadas en su forma.

Objetivo:habiendo estudiado la pirámide como cuerpo geométrico, para explicar la perfección de su forma.

Tareas:

1. Dé una definición matemática de la pirámide.

2. Estudie la pirámide como un cuerpo geométrico.

3. Comprender qué conocimientos matemáticos depositaron los egipcios en sus pirámides.

Preguntas privadas:

1. ¿Qué es una pirámide como cuerpo geométrico?

2. ¿Cómo puede explicar la singularidad de la forma de la pirámide desde un punto de vista matemático?

3. ¿Qué explica las maravillas geométricas de la pirámide?

4. ¿Qué explica la perfección de la forma piramidal?

Definición de la pirámide.

PIRÁMIDE (del griego pyramis, género pyramidos): un poliedro, cuya base es un polígono, y las caras restantes son triángulos con un vértice común (figura). Según el número de ángulos de la base, las pirámides se distinguen triangulares, cuadrangulares, etc.

PIRÁMIDE - una estructura monumental con forma de pirámide geométrica (a veces también escalonada o en forma de torre). Las pirámides se llaman las tumbas gigantes de los antiguos faraones egipcios del tercer y segundo milenio antes de Cristo. e., así como los antiguos pedestales de templos estadounidenses (en México, Guatemala, Honduras, Perú) asociados con cultos cosmológicos.

Es posible que la palabra griega para "pirámide" provenga de la expresión egipcia per-em-us, es decir, del término que significa la altura de la pirámide. El destacado egiptólogo ruso V. Struve creía que el griego "puram ... j" proviene del antiguo egipcio "p" -mr ".

De la historia. Habiendo estudiado el material del libro de texto "Geometría" de los autores de Atanasyan. Butuzov y otros, aprendimos que: Un poliedro compuesto por n - gon A1A2A3 ... An y n triángulos PA1A2, PA2A3, ..., PnA1 se llama pirámide. Polígono A1A2A3… An es la base de la pirámide y los triángulos PA1A2, PA2A3,…, PANA1 son las caras laterales de la pirámide, P es la parte superior de la pirámide, los segmentos PA1, PA2,…, PAN son los bordes laterales.

Sin embargo, esta definición de pirámide no siempre existió. Por ejemplo, el matemático griego antiguo, autor de los tratados teóricos sobre matemáticas que nos han llegado, Euclides, define una pirámide como una figura corporal limitada por planos que convergen de un plano a otro.

Pero esta definición ya fue criticada en la antigüedad. De modo que Heron propuso la siguiente definición de pirámide: "Es una figura delimitada por triángulos que convergen en un punto y cuya base es un polígono".

Nuestro grupo, comparando estas definiciones, llegó a la conclusión de que no tienen una formulación clara del concepto de “fundamento”.

Investigamos estas definiciones y encontramos la definición de Adrien Marie Legendre, quien en 1794 en su obra "Elementos de Geometría" define la pirámide de la siguiente manera: "Una pirámide es una figura sólida formada por triángulos que convergen en un punto y terminan en diferentes lados de una base plana".

Nos parece que la última definición da una idea clara de la pirámide, ya que se refiere al hecho de que la base es plana. Otra definición de pirámide apareció en un libro de texto del siglo XIX: "una pirámide es un ángulo sólido cruzado por un plano".

Pirámide como cuerpo geométrico.

T. acerca de. Una pirámide es un poliedro, una de cuyas caras (base) es un polígono, las otras caras (lado) son triángulos que tienen un vértice común (vértice de la pirámide).

La perpendicular trazada desde la parte superior de la pirámide hasta el plano de la base se llama alturah pirámides.

Además de una pirámide arbitraria, hay pirámide correcta, en la base del cual hay un polígono regular y pirámide truncada.

La figura muestra la pirámide PABCD, ABCD es su base, PO es la altura.

Superficie total Se llama pirámide a la suma de las áreas de todas sus caras.

S completo \u003d lado S + S principal,dónde Lado S - la suma de las áreas de las caras laterales.

El volumen de la pirámide se encuentra mediante la fórmula:

V \u003d 1 / 3Sn. h, donde Sosn. - área de la base, h - altura.

El eje de una pirámide regular se llama línea recta que contiene su altura.
Apotema ST: la altura de la cara lateral de la pirámide regular.

El área de la cara lateral de una pirámide regular se expresa de la siguiente manera: Lado S. \u003d 1 / 2P h, donde P es el perímetro de la base, h - la altura de la cara lateral (apotema de la pirámide regular). Si la pirámide es atravesada por el plano A'B'C'D 'paralelo a la base, entonces:

1) las costillas laterales y la altura están divididas por este plano en partes proporcionales;

2) en la sección se obtiene un polígono A'B'C'D ', similar a la base;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png "width \u003d" 287 "height \u003d" 151 "\u003e

Bases piramidales truncadas - polígonos similares ABCD y A`B`C`D`, caras laterales - trapezoide.

Altura pirámide truncada: la distancia entre las bases.

Volumen truncado pirámide se encuentra por la fórmula:

V \u003d 1/3 h (S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png "align \u003d" left "width \u003d" 91 "height \u003d" 96 "\u003e El área de superficie lateral de una pirámide truncada regular se expresa de la siguiente manera: Lado S. \u003d ½ (P + P ') h, donde P y P 'son los perímetros de las bases, h- la altura de la cara lateral (apotema de las pirámides truncadas correctas

Secciones de la pirámide.

Las secciones de la pirámide por planos que pasan por su vértice son triángulos.

La sección que pasa por dos bordes laterales no adyacentes de la pirámide se llama sección diagonal.

Si la sección pasa por un punto en el borde lateral y el lado de la base, entonces este lado será su trazo en el plano de la base de la pirámide.

Una sección que pasa por un punto que se encuentra en la cara de la pirámide, y un trazo determinado de la sección en el plano base, entonces la construcción debe realizarse de la siguiente manera:

· Encontrar el punto de intersección del plano de la cara dada y la traza de la sección de la pirámide y designarlo;

· Construir una línea recta que pase por un punto dado y el punto de intersección resultante;

· Repita estos pasos para las siguientes caras.

, que corresponde a la razón de los catetos de un triángulo rectángulo 4: 3. Esta relación de aspecto corresponde al conocido triángulo rectángulo 3: 4: 5, que se denomina triángulo "perfecto", "sagrado" o "egipcio". Según los historiadores, al triángulo "egipcio" se le dio un significado mágico. Plutarco escribió que los egipcios compararon la naturaleza del universo con un triángulo "sagrado"; simbólicamente compararon la pierna vertical con el marido, la base con la esposa y la hipotenusa con lo que nace de ambos.

Para un triángulo 3: 4: 5, la igualdad es verdadera: 32 + 42 \u003d 52, que expresa el teorema de Pitágoras. ¿No era este teorema que los sacerdotes egipcios querían perpetuar al erigir una pirámide sobre la base del triángulo 3: 4: 5? Es difícil encontrar un mejor ejemplo para ilustrar el teorema de Pitágoras, que los egipcios conocían mucho antes de su descubrimiento por Pitágoras.

Así, los ingeniosos creadores de las pirámides egipcias buscaron sorprender a los descendientes lejanos con la profundidad de su conocimiento, y lo lograron eligiendo el triángulo rectángulo "dorado" para la pirámide de Keops y el "sagrado" o "egipcio" para la pirámide de Khafre. triángulo.

Muy a menudo en su investigación, los científicos utilizan las propiedades de las pirámides con las proporciones de la Sección Áurea.

En el diccionario enciclopédico matemático, se da la siguiente definición de la Sección Áurea - esto es división armónica, división en la proporción extrema y promedio - dividiendo el segmento AB en dos partes de tal manera que la mayor parte de su AC es el promedio proporcional entre todo el segmento AB y su parte menor CB.

Hallazgo algebraico de la proporción áurea de un segmento AB \u003d a se reduce a resolver la ecuación a: x \u003d x: (a - x), de donde x es aproximadamente igual a 0.62a. La razón x se puede expresar en fracciones 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21 ... \u003d 0.618, donde 2, 3, 5, 8, 13, 21 son números de Fibonacci.

La construcción geométrica de la Sección Áurea del segmento AB se realiza de la siguiente manera: en el punto B, se restablece la perpendicular a AB, se coloca el segmento BE \u003d 1/2 AB, se colocan A y E, DE \u003d BE y, finalmente, AC \u003d INFIERNO, entonces se cumple la igualdad AB: SV \u003d 2: 3.

La proporción áurea se usa a menudo en obras de arte, arquitectura y ocurre en la naturaleza. Ejemplos notables son la escultura de Apolo Belvedere, el Partenón. Durante la construcción del Partenón, se utilizó la relación entre la altura del edificio y su longitud y esta relación es 0,618. Los objetos que nos rodean también dan ejemplos de la proporción áurea, por ejemplo, las encuadernaciones de muchos libros tienen una proporción de ancho a largo cercana a 0,618. Teniendo en cuenta la disposición de las hojas en el tallo común de las plantas, se puede ver que entre cada dos pares de hojas, el tercero se ubica en el lugar de la Sección Áurea (diapositivas). Cada uno de nosotros "lleva" la Proporción Áurea con nosotros "en nuestras manos" - esta es la proporción de las falanges de los dedos.

A través del descubrimiento de varios papiros matemáticos, los egiptólogos han aprendido un par de cosas sobre los sistemas de números y medidas del antiguo Egipto. Las tareas contenidas en ellos fueron resueltas por escribas. Uno de los más famosos es el papiro matemático de Rindi. Al estudiar estos acertijos, los egiptólogos aprendieron cómo los antiguos egipcios manejaban las diferentes cantidades que surgían al calcular las medidas de peso, longitud y volumen, en las que se usaban a menudo las fracciones y cómo trataban los ángulos.

Los antiguos egipcios usaban un método para calcular ángulos basado en la relación entre la altura y la base de un triángulo rectángulo. Expresaron cualquier ángulo en el lenguaje del gradiente. El gradiente de la pendiente se expresó mediante una relación de números enteros denominada "seced". En su libro Mathematics in the Time of the Pharaohs, Richard Pillins explica: “El aspecto de una pirámide regular es la inclinación de cualquiera de las cuatro caras triangulares al plano base, medida por un número n de unidades horizontales por unidad vertical de elevación. Por lo tanto, esta unidad es equivalente a nuestra cotangente de inclinación moderna. Por lo tanto, la palabra egipcia "seked" es similar a nuestra palabra moderna "gradiente".

La clave numérica de las pirámides radica en la relación entre su altura y la base. En términos prácticos, esta es la forma más sencilla de realizar las plantillas necesarias para comprobar constantemente el ángulo correcto de inclinación a lo largo de la construcción de la pirámide.

Los egiptólogos estarían felices de convencernos de que cada faraón estaba ansioso por expresar su individualidad, razón por la cual los diferentes ángulos de inclinación de cada pirámide. Pero podría haber otra razón. Quizás todos quisieron encarnar diferentes asociaciones simbólicas, escondidas en diferentes proporciones. Sin embargo, el ángulo de la pirámide de Khafre (basado en un triángulo (3: 4: 5) aparece en los tres problemas representados por las pirámides en el Papiro Matemático de Rindi). De modo que esta actitud era bien conocida por los antiguos egipcios.

Para ser justos con los egiptólogos que afirman que los antiguos egipcios no conocían el triángulo 3: 4: 5, digamos que nunca se mencionó la longitud de la hipotenusa 5. Pero los problemas matemáticos relacionados con las pirámides siempre se resuelven en función del ángulo formado: la relación entre la altura y la base. Dado que nunca se mencionó la longitud de la hipotenusa, se concluyó que los egipcios nunca calcularon la longitud del tercer lado.

Las proporciones de elevación a base utilizadas en las pirámides de Giza eran sin duda conocidas por los antiguos egipcios. Es posible que estas relaciones se eligieran arbitrariamente para cada pirámide. Sin embargo, esto contradice la importancia dada al simbolismo numérico en todas las formas de artes visuales egipcias. Es muy probable que tales relaciones fueran significativas porque expresaban ideas religiosas específicas. En otras palabras, todo el complejo de Giza estaba subordinado a un plan coherente diseñado para reflejar un cierto tema divino. Esto explicaría por qué los diseñadores eligieron diferentes ángulos para las tres pirámides.

En El misterio de Orión, Bauval y Gilbert presentaron pruebas convincentes de la conexión de las pirámides de Giza con la constelación de Orión, en particular con las estrellas del Cinturón de Orión. Esta constelación está presente en el mito de Isis y Osiris, y hay razones para considerar cada pirámide como una imagen de una de las tres deidades principales: Osiris, Isis y Horus.

MILAGROS "GEOMÉTRICOS".

Entre las grandiosas pirámides de Egipto, un lugar especial es Gran pirámide del faraón Keops (Khufu)... Antes de proceder al análisis de la forma y el tamaño de la pirámide de Keops, conviene recordar qué sistema de medidas utilizaron los egipcios. Los egipcios tenían tres unidades de longitud: "codo" (466 mm), igual a siete "palmas" (66,5 mm), que, a su vez, equivalen a cuatro "dedos" (16,6 mm).

Analicemos las dimensiones de la pirámide de Keops (Fig. 2), siguiendo el razonamiento dado en el maravilloso libro del científico ucraniano Nikolai Vasyutinsky "The Golden Proportion" (1990).

La mayoría de los investigadores están de acuerdo en que la longitud del lado de la base de la pirámide, por ejemplo, Gf es igual a L \u003d 233,16 m Este valor corresponde a casi exactamente 500 "codos". El cumplimiento total de 500 "codos" será si la longitud del "codo" se considera igual a 0,4663 m.

Altura de la pirámide ( H) es estimado por los investigadores de forma diferente entre 146,6 y 148,2 m, y dependiendo de la altura aceptada de la pirámide, todas las proporciones de sus elementos geométricos cambian. ¿Cuál es la razón de las diferencias en la estimación de la altura de la pirámide? El caso es que, estrictamente hablando, la pirámide de Keops está truncada. Su plataforma superior hoy mide unos 10 ´ 10 my hace un siglo era de 6 ´ 6 M. Obviamente, la parte superior de la pirámide fue desarmada y no corresponde a la original.

Al evaluar la altura de la pirámide, es necesario tener en cuenta un factor físico como el "calado" de la estructura. Durante mucho tiempo, bajo la influencia de una presión colosal (llegando a 500 toneladas por 1 m2 de superficie inferior), la altura de la pirámide ha disminuido con respecto a su altura original.

¿Cuál fue la altura inicial de la pirámide? Esta altura se puede recrear encontrando la "idea geométrica" \u200b\u200bbásica de la pirámide.

Figura 2.

En 1837, el coronel inglés G. Weisz midió el ángulo de inclinación de las caras de la pirámide: resultó ser igual un \u003d 51 ° 51 ". Este valor todavía es reconocido por la mayoría de los investigadores en la actualidad. El valor indicado del ángulo corresponde a la tangente (tg un) igual a 1,27306. Este valor corresponde a la relación de la altura de la pirámide. COMO a la mitad de su base CB (Fig.2), es decir C.A. / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

¡Y aquí los investigadores se llevaron una gran sorpresa! .Png "width \u003d" 25 "height \u003d" 24 "\u003e \u003d 1.272. Comparando este valor con el valor de tg un \u003d 1,27306, vemos que estos valores están muy próximos entre sí. Si tomamos el ángulo un \u003d 51 ° 50 ", es decir, para reducirlo en un solo minuto de arco, entonces el valor un será igual a 1,272, es decir, coincidirá con el valor. Cabe señalar que en 1840 G. Weis repitió sus medidas y especificó que el valor del ángulo un \u003d 51 ° 50 ".

Estas medidas llevaron a los investigadores a la siguiente hipótesis muy interesante: la base del triángulo ACB de la pirámide de Keops era la relación AC / CB = = 1,272!

Considere ahora un triángulo rectángulo A B C, en el que la proporción de las piernas C.A. / CB \u003d (Figura 2). Si ahora las longitudes de los lados del rectángulo A B C denotar a través de x, y, z, y también tener en cuenta que la relación y/x \u003d, entonces de acuerdo con el teorema de Pitágoras, la longitud z se puede calcular mediante la fórmula:

Si usted acepta x = 1, y \u003d https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png "ancho \u003d" 143 "alto \u003d" 27 "\u003e

Figura 3. Triángulo rectángulo "dorado".

Un triángulo rectángulo en el que los lados están relacionados como t : triángulo rectángulo dorado ".

Entonces, si tomamos como base la hipótesis de que la principal "idea geométrica" \u200b\u200bde la pirámide de Keops es el triángulo rectángulo "dorado", entonces a partir de aquí es fácil calcular la altura del "diseño" de la pirámide de Keops. Es igual a:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Deduzcamos ahora algunas otras relaciones para la pirámide de Keops que surgen de la hipótesis "áurea". En particular, encontramos la relación entre el área exterior de la pirámide y el área de su base. Para hacer esto, tome la longitud de la pierna. CB por unidad, es decir: CB \u003d 1. Pero entonces la longitud del lado de la base de la pirámide Gf \u003d 2, y el área de la base E F G H será igual SEFGH = 4.

Calculemos ahora el área de la cara lateral de la pirámide de Keops Dakota del Sur... Desde la altura AB triángulo AEF es igual a t, entonces el área de la cara lateral será Dakota del Sur = t... Entonces el área total de las cuatro caras laterales de la pirámide será 4 t, ¡y la relación entre el área exterior total de la pirámide y el área de la base será igual a la proporción áurea! Eso es lo que es - el principal misterio geométrico de la pirámide de Keops!

El grupo de "milagros geométricos" de la pirámide de Keops incluye las propiedades reales y artificiales de la relación entre las diferentes dimensiones de la pirámide.

Por regla general, se obtienen en busca de algunas "constantes", en particular, el número "pi" (número de Ludolph), igual a 3,14159 ...; base de logaritmos naturales "e" (número de Napier), igual a 2.71828 ...; el número "F", el número de la "proporción áurea", igual, por ejemplo, 0,618 ... y así sucesivamente.

Puede nombrar, por ejemplo: 1) Propiedad de Herodoto: (Altura) 2 \u003d 0.5 cucharadas. principal x Apotema; 2) Propiedad de V. Precio: Alto: 0.5 st. osn \u003d Raíz cuadrada de "Ф"; 3) Propiedad de M. Eyst: Perímetro de la base: 2 Altura \u003d "Pi"; en una interpretación diferente - 2 cucharadas. principal : Altura \u003d "Pi"; 4) Propiedad de G. Costillas: Radio del círculo inscrito: 0.5 st. principal \u003d "F"; 5) Propiedad de K. Kleppisch: (Art. Main.) 2: 2 (art. Main. X Apotema) \u003d (art. Main. U. Apotema) \u003d 2 (art. Main. X Apotema): ((2 art. base X Apotema) + (st. base) 2). Etc. Puede pensar en muchas de estas propiedades, especialmente si conecta dos pirámides vecinas. Por ejemplo, como las "Propiedades de A. Arefiev", se puede mencionar que la diferencia entre los volúmenes de la pirámide de Keops y la pirámide de Chephren es igual al volumen duplicado de la pirámide de Mikerin ...

En los libros de D. Hambidge "Simetría dinámica en arquitectura" y M. Geek "Estética de la proporción en la naturaleza y el arte" se exponen muchas disposiciones interesantes, en particular, sobre la construcción de pirámides según la "proporción áurea". Recuerde que la "proporción áurea" es la división de un segmento en tal proporción cuando la parte A es tantas veces más grande que la parte B, cuántas veces A es menor que todo el segmento A + B. La proporción A / B es igual al número "Ф" \u003d\u003d 1.618. .. El uso de la "proporción áurea" está indicado no solo en pirámides individuales, sino también en todo el complejo de pirámides de Giza.

Sin embargo, lo más curioso es que una y la misma pirámide de Keops simplemente "no puede" contener tantas propiedades maravillosas. Tomando una determinada propiedad una por una, se puede "ajustar", pero de una sola vez no encajan, no coinciden, se contradicen entre sí. Por lo tanto, si, por ejemplo, al verificar todas las propiedades, inicialmente tomamos el mismo lado de la base de la pirámide (233 m), entonces las alturas de las pirámides con diferentes propiedades también serán diferentes. En otras palabras, existe una cierta "familia" de pirámides, aparentemente similar a Keops, pero que corresponden a propiedades diferentes. Tenga en cuenta que no hay nada particularmente milagroso en las propiedades "geométricas"; mucho surge de forma puramente automática, de las propiedades de la figura en sí. Sólo algo claramente imposible para los antiguos egipcios debería considerarse un "milagro". Esto, en particular, incluye milagros "cósmicos", en los que las medidas de la pirámide de Keops o el complejo piramidal de Giza se comparan con algunas medidas astronómicas y se indican números "pares": un millón de veces, mil millones de veces menos, etc. Consideremos algunas relaciones "cósmicas".

Una de las afirmaciones es la siguiente: "Si dividimos el lado de la base de la pirámide por la longitud exacta del año, obtenemos exactamente la 10 millonésima parte del eje de la tierra". Calcular: dividir 233 entre 365, obtenemos 0.638. El radio de la Tierra es de 6378 km.

Otra afirmación es en realidad opuesta a la anterior. F. Noetling señaló que si usamos el "codo egipcio" inventado por él, entonces el lado de la pirámide corresponderá a "la duración más exacta de un año solar, expresada con una precisión de un mil millonésimo día" - 365.540.903.777.

Declaración de P. Smith: "La altura de la pirámide es exactamente una mil millonésima parte de la distancia de la Tierra al Sol". Aunque normalmente se toma una altitud de 146,6 m, Smith la tomó de 148,2 M. Según las mediciones de radar modernas, el semieje mayor de la órbita de la Tierra es 149,597,870 + 1,6 km. Esta es la distancia promedio de la Tierra al Sol, pero en el perihelio es 5.000.000 kilómetros menos que en el afelio.

Una última declaración curiosa:

"¿Cómo explicar que las masas de las pirámides de Keops, Khafre y Mykerinus se relacionen entre sí, como las masas de los planetas Tierra, Venus, Marte?" Calculemos. Las masas de las tres pirámides son las siguientes: Khafre - 0,835; Keops - 1,000; Mikerin - 0.0915. La proporción de las masas de los tres planetas: Venus - 0,815; Tierra - 1,000; Marte - 0.108.

Entonces, a pesar del escepticismo, observemos la conocida armonía de la construcción de declaraciones: 1) la altura de la pirámide, como una línea que "va al espacio", corresponde a la distancia de la Tierra al Sol; 2) el lado de la base de la pirámide más cercano al "sustrato", es decir, a la Tierra, es responsable del radio terrestre y de la circulación terrestre; 3) los volúmenes de la pirámide (leer - masas) corresponden a la relación de las masas de los planetas más cercanos a la Tierra. Un "cifrado" similar se puede rastrear, por ejemplo, en el lenguaje de las abejas analizado por Karl von Frisch. Sin embargo, nos abstendremos de comentar sobre esto por ahora.

FORMA DE PIRÁMIDE

La famosa forma de cuatro lados de las pirámides no apareció de inmediato. Los escitas hicieron entierros en forma de colinas de tierra: montículos. Los egipcios levantaron "colinas" de piedra: pirámides. Esto sucedió por primera vez después de la unificación del Alto y Bajo Egipto, en el siglo XXVIII aC, cuando el fundador de la III dinastía, el faraón Djoser (Zoser), se enfrentó a la tarea de fortalecer la unidad del país.

Y aquí, según los historiadores, el "nuevo concepto de deificación" del rey jugó un papel importante en el fortalecimiento del gobierno central. Aunque los entierros reales se distinguieron por un mayor esplendor, en principio, no diferían de las tumbas de los nobles de la corte, eran las mismas estructuras: mastabas. Sobre la cámara con el sarcófago que contiene la momia, se vertió una colina rectangular de pequeñas piedras, donde luego se erigió un pequeño edificio de grandes bloques de piedra - "mastaba" (en árabe - "banco"). En lugar del mastab de su predecesor, Sanakht, el faraón Djoser puso la primera pirámide. Era escalonado y era una etapa de transición visible de una forma arquitectónica a otra, de una mastaba a una pirámide.

De esta forma, el sabio y arquitecto Imhotep, que más tarde fue considerado mago e identificado por los griegos con el dios Asclepio, "elevó" al faraón. Se erigieron seis mastabas seguidas. Además, la primera pirámide ocupaba un área de 1125 x 115 metros, con una altura estimada de 66 metros (según las medidas egipcias - 1000 "palmas"). Al principio, el arquitecto planeó construir una mastaba, pero no alargada, sino cuadrada en planta. Más tarde, se amplió, pero como la extensión se hizo más baja, parecía como si fueran dos pasos.

Esta situación no satisfizo al arquitecto, e Imhotep colocó tres más en la plataforma superior de una enorme mastaba plana, disminuyendo gradualmente hacia la cima. La tumba estaba debajo de la pirámide.

Se conocen varias pirámides escalonadas más, pero más tarde los constructores pasaron a construir las pirámides tetraédricas más familiares para nosotros. Sin embargo, ¿por qué no triangular o, digamos, octaédrico? Una respuesta indirecta viene dada por el hecho de que casi todas las pirámides están perfectamente orientadas a lo largo de los cuatro puntos cardinales, por lo que tienen cuatro lados. Además, la pirámide era una "casa", un caparazón de una cámara funeraria cuadrangular.

Pero, ¿qué provocó el ángulo de inclinación de las caras? En el libro "El principio de proporciones" se dedica todo un capítulo a esto: "Lo que podría determinar los ángulos de inclinación de las pirámides". En particular, se indica que “la imagen hacia la que gravitan las grandes pirámides del Reino Antiguo es un triángulo con un ángulo recto en la parte superior.

En el espacio, es un semi-octaedro: una pirámide en la que los bordes y los lados de la base son iguales, las caras son triángulos equiláteros ”. Se dan ciertas consideraciones sobre este tema en los libros de Hambage, Geek y otros.

¿Cuál es la ventaja del ángulo del semioctaedro? Según las descripciones de arqueólogos e historiadores, algunas de las pirámides colapsaron por su propio peso. Lo que se necesitaba era un "ángulo de longevidad", el ángulo más confiable energéticamente. De manera puramente empírica, este ángulo se puede tomar desde el ángulo del vértice en un montón de arena seca que se desmorona. Pero para obtener datos precisos, debe utilizar un modelo. Tomando cuatro bolas firmemente fijadas, debe colocar la quinta sobre ellas y medir los ángulos de inclinación. Sin embargo, aquí puede equivocarse, por lo tanto, un cálculo teórico ayuda: los centros de las bolas deben estar conectados con líneas (mentalmente). En la base, obtienes un cuadrado con un lado igual al doble del radio. El cuadrado será solo la base de la pirámide, la longitud de los bordes de la cual también será igual al doble del radio.

Así, un denso empaquetamiento de bolas del tipo 1: 4 nos dará el semioctaedro correcto.

Sin embargo, ¿por qué muchas pirámides, que gravitan hacia una forma similar, no la retienen? Las pirámides probablemente estén envejeciendo. Contrario al famoso dicho:

"Todo en el mundo le teme al tiempo, y el tiempo le teme a las pirámides", los edificios de las pirámides deben envejecer, no solo pueden y deben tener lugar procesos externos de meteorización, sino también procesos internos de "contracción", a partir de los cuales las pirámides pueden volverse más bajas. La contracción también es posible porque, como lo descubrieron los trabajos de D. Davidovits, los antiguos egipcios utilizaron la tecnología de hacer bloques a partir de astillas de cal, en otras palabras, a partir de "hormigón". Son estos procesos los que podrían explicar el motivo de la destrucción de la pirámide de Medum, ubicada a 50 km al sur de El Cairo. Tiene 4600 años, las dimensiones de la base son 146 x 146 m, la altura es 118 m. “¿Por qué está tan desfigurado?”, Pregunta V. Zamarovsky. “Las referencias habituales a la influencia destructiva del tiempo y al“ uso de la piedra para otros edificios ”no son adecuadas aquí.

Después de todo, la mayor parte de sus bloques y losas de revestimiento han permanecido en su lugar hasta el día de hoy, en las ruinas a sus pies ". Como veremos, una serie de disposiciones incluso hacen pensar en el hecho de que la famosa pirámide de Keops también se ha" secado ". En cualquier caso, en todas las imágenes antiguas, las pirámides son puntiagudas ...

La forma de las pirámides también podría generarse por imitación: algunos patrones naturales, "perfección milagrosa", digamos, algunos cristales en forma de octaedro.

Tales cristales podrían ser cristales de oro y diamantes. Una gran cantidad de signos "que se cruzan" son característicos de conceptos como Faraón, Sol, Oro, Diamante. En todas partes: noble, brillante (brillante), excelente, impecable, etc. Las similitudes no son accidentales.

Se sabe que el culto solar fue una parte importante de la religión del Antiguo Egipto. "No importa cómo traduzcamos el nombre de la más grande de las pirámides", dice uno de los manuales modernos: "El cielo de Khufu" o "Khufu Heavenly", significaba que el rey es el sol ". Si Keops, en el esplendor de su poder, se imagina a sí mismo como el segundo sol, entonces su hijo Jedef-Ra se convirtió en el primero de los reyes egipcios que comenzó a llamarse a sí mismo "el hijo de Ra", es decir, el hijo del sol. El sol en casi todos los pueblos estaba simbolizado por el "metal solar", el oro. "Gran disco de oro brillante": así es como los egipcios llamaban a nuestra luz del día. Los egipcios conocían el oro a la perfección, conocían sus formas nativas, donde pueden aparecer cristales de oro en forma de octaedros.

Como "muestra de formas", la "piedra del sol" - el diamante también es interesante aquí. El nombre del diamante proviene del mundo árabe, "almas" es el más duro, el más duro, el indestructible. Los antiguos egipcios conocían bastante bien el diamante y sus propiedades. Según algunos autores, incluso utilizaron tubos de bronce con cortadores de diamante para perforar.

Sudáfrica es actualmente el principal proveedor de diamantes, pero África Occidental también es rica en diamantes. El territorio de la República de Malí incluso se llama allí la "Tierra de los Diamantes". Mientras tanto, es en el territorio de Mali donde viven los Dogon, con quienes los partidarios de la hipótesis Paleovisita depositan muchas esperanzas (ver más abajo). Los diamantes no podían servir de motivo para los contactos de los antiguos egipcios con esta tierra. Sin embargo, de una forma u otra, es posible que fue precisamente copiando los octaedros de diamantes y cristales de oro que los antiguos egipcios deificaron, por lo tanto, "indestructibles" como un diamante y "brillantes" como los faraones de oro, los hijos del Sol, comparables sólo con las más maravillosas creaciones de la naturaleza.

Conclusión:

Habiendo estudiado la pirámide como un cuerpo geométrico, habiéndonos familiarizado con sus elementos y propiedades, estábamos convencidos de la validez de la opinión sobre la belleza de la forma de la pirámide.

Como resultado de nuestra investigación, llegamos a la conclusión de que los egipcios, habiendo recopilado el conocimiento matemático más valioso, lo incorporaron en la pirámide. Por lo tanto, la pirámide es verdaderamente la creación más perfecta de la naturaleza y el hombre.

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Pirámide. Pirámide truncada

Pirámide se llama poliedro, una de cuyas caras es un polígono ( base ), y todas las demás caras son triángulos con un vértice común ( caras laterales ) (figura 15). La pirámide se llama correcto si su base es un polígono regular y la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base (Fig. 16). Una pirámide triangular en la que todos los bordes son iguales se llama tetraedro .

Costilla lateral pirámide es el lado de la cara lateral que no pertenece a la base Altura Se llama pirámide a la distancia desde su parte superior hasta el plano de la base. Todos los bordes laterales de una pirámide regular son iguales entre sí, todos los bordes laterales son triángulos isósceles iguales. La altura de la cara lateral de una pirámide regular dibujada desde la parte superior se llama apotema . Sección diagonal la sección de la pirámide se denomina plano que pasa por dos bordes laterales que no pertenecen a una cara.

Superficie lateral pirámide se llama la suma de las áreas de todas las caras laterales. Superficie total llamado la suma de las áreas de todas las caras laterales y la base.

Teoremas

1. Si en una pirámide todos los bordes laterales están igualmente inclinados al plano de la base, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito alrededor de la base.

2. Si en la pirámide todos los bordes laterales tienen la misma longitud, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito alrededor de la base.

3. Si en la pirámide todas las caras están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta en el centro del círculo inscrito en la base.

Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, la fórmula es correcta:

dónde V - volumen;

S principal - área de la base;

H - la altura de la pirámide.

Para la pirámide correcta, las fórmulas son correctas:

dónde pags - perímetro de la base;

h a - apotema;

H - altura;

S lleno

Lado S

S principal - área de la base;

V - el volumen de la pirámide correcta.

Pirámide truncada llamada la parte de la pirámide, encerrada entre la base y el plano secante, paralela a la base de la pirámide (Fig. 17). Pirámide truncada regular se denomina parte de una pirámide regular, encerrada entre la base y el plano secante paralelo a la base de la pirámide.

Cimientos pirámides truncadas - polígonos similares. Caras laterales - trapezoide. Altura una pirámide truncada es la distancia entre sus bases. Diagonal una pirámide truncada se denomina segmento que conecta sus vértices que no se encuentran en la misma cara. Sección diagonal una sección de una pirámide truncada se denomina plano que pasa por dos bordes laterales que no pertenecen a una cara.

Para una pirámide truncada, las siguientes fórmulas son válidas:

(4)

dónde S 1 , S 2 - áreas de las bases superior e inferior;

S lleno - superficie total;

Lado S - área de superficie lateral;

H - altura;

V - el volumen de la pirámide truncada.

Para una pirámide truncada correcta, la fórmula es correcta:

dónde pags 1 , pags 2 - perímetros de base;

h a - la apotema de la pirámide truncada regular.

Ejemplo 1. En una pirámide triangular regular, el ángulo diedro en la base es de 60º. Encuentre la tangente del ángulo de inclinación del borde lateral al plano de la base.

Decisión. Hagamos un dibujo (fig. 18).

La pirámide es regular, por lo que en la base hay un triángulo equilátero y todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. El ángulo diedro en la base es el ángulo de inclinación de la cara lateral de la pirámide al plano de la base. El ángulo lineal es el ángulo un entre dos perpendiculares: y es decir La parte superior de la pirámide se proyecta en el centro del triángulo (el centro de la circunferencia y el círculo inscrito en el triángulo A B C). El ángulo de inclinación de la nervadura lateral (por ejemplo SB) Es el ángulo entre el propio borde y su proyección sobre el plano base. Para costilla SB este ángulo será el ángulo SBD... Para encontrar la tangente, necesitas conocer las piernas. ENTONCES y transmisión exterior... Deje que la longitud del segmento BD es igual a 3 un... Punto ACERCA DE segmento de línea BD se divide en partes: y De encontramos ENTONCES: De encontramos:

Responder:

Ejemplo 2. Encuentre el volumen de una pirámide cuadrangular truncada regular si las diagonales de sus bases son cm y cm, y la altura es 4 cm.

Decisión. Para encontrar el volumen de la pirámide truncada, usaremos la fórmula (4). Para encontrar el área de las bases, necesitas encontrar los lados de los cuadrados de la base, conociendo sus diagonales. Los lados de las bases son 2 cm y 8 cm, respectivamente. Entonces el área de las bases y Habiendo sustituido todos los datos en la fórmula, calculamos el volumen de la pirámide truncada:

Responder: 112 cm 3.

Ejemplo 3. Encuentre el área de la cara lateral de una pirámide truncada triangular regular, cuyos lados de las bases miden 10 cm y 4 cm, y la altura de la pirámide es de 2 cm.

Decisión. Hagamos un dibujo (fig. 19).

La cara lateral de esta pirámide es un trapezoide isósceles. Para calcular el área de un trapezoide, necesita conocer la base y la altura. Las bases están dadas por condición, solo se desconoce la altura. Lo encontraremos de donde UN 1 mi perpendicular desde el punto UN 1 en el plano de la base inferior, UN 1 re - perpendicular desde UN 1 en COMO. UN 1 mi \u003d 2 cm, ya que esta es la altura de la pirámide. Encontrar Delaware haremos un dibujo adicional, en el que representaremos una vista superior (fig. 20). Punto ACERCA DE - proyección de los centros de las bases superior e inferior. ya que (ver fig.20) y por otro lado Okay Es el radio del círculo inscrito y OM - radio inscrito en un círculo:

MK \u003d DE.

Por el teorema de Pitágoras de

Área de la cara lateral:

Responder:

Ejemplo 4. En la base de la pirámide se encuentra un trapezoide isósceles, cuyas bases uny segundo (un> segundo). Cada cara lateral forma un ángulo con el plano de la base de la pirámide igual a j... Calcula el área de superficie total de la pirámide.

Decisión. Hagamos un dibujo (fig. 21). Superficie total de la pirámide SABCD igual a la suma de las áreas y el área del trapezoide A B C D.

Usemos el enunciado de que si todas las caras de la pirámide están igualmente inclinadas al plano de la base, entonces el vértice se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base. Punto ACERCA DE - proyección de vértice S en la base de la pirámide. Triángulo CÉSPED es la proyección ortogonal del triángulo CSD en el plano de la base. Por el teorema sobre el área de la proyección ortogonal de una figura plana, obtenemos:

Del mismo modo, significa Por lo tanto, la tarea se redujo a encontrar el área del trapezoide A B C D... Dibuja un trapezoide A B C Dpor separado (fig.22). Punto ACERCA DE - el centro del círculo inscrito en el trapezoide.

Dado que un círculo se puede inscribir en un trapezoide, ya sea De, por el teorema de Pitágoras, tenemos