Formas racionales de tomar decisiones

El nivel actual de desarrollo de las herramientas de automatización informática ha creado la ilusión entre muchos de que desarrollar habilidades informáticas no es en absoluto necesario. Esto afectó la preparación de los escolares. En ausencia de una calculadora, incluso las tareas computacionales simples se convierten en un problema para muchos.

Al mismo tiempo, las tareas del examen y los materiales para el examen contienen muchas tareas, cuya solución requiere de los sujetos las habilidades de organización racional de los cálculos.

En este artículo, consideraremos algunas formas de optimizar los cálculos y su aplicación para problemas competitivos.

Muy a menudo, los métodos para optimizar los cálculos están asociados con la aplicación de las leyes básicas para realizar operaciones aritméticas.

Por ejemplo:

125 24 \u003d 125 8 3 \u003d 1000 3 \u003d 3000; o

98 16 (100 - 2) 16 \u003d 100 16 - 2 16 \u003d 1600 - 32 \u003d 1568, etc.

Otra dirección - uso de fórmulas de multiplicación abreviadas.

96 104 \u003d (100 - 4) (100 + 4) \u003d 100 2 - 4 2 \u003d 10000 - 16 \u003d 9984; o

115 2 \u003d (100 + 15) 2 \u003d 10000 + 2 15 100 + 225 \u003d 10525.

El siguiente ejemplo es interesante para los cálculos.

Calcular:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Estas son formas casi estándar de optimizar los cálculos. A veces se ofrecen otros más exóticos. Como ejemplo, considere un método para multiplicar números de dos dígitos, la suma de sus unidades es 10.

54 26 \u003d 50 30 + 4 (26 - 50) \u003d 1500 - 96 \u003d 1404 o

43 87 \u003d 40 90 + 3 (87 - 40) \u003d 3600 + 141 \u003d 3741.

El esquema de multiplicación se puede entender en la figura.

¿De dónde viene este esquema de multiplicación?

Nuestros números por condición tienen la forma: M \u003d 10m + n, K \u003d 10k + (10 - n). Compongamos una obra:

M K \u003d (10m + norte) (10k + (10 - norte)) \u003d
\u003d 100 mk + 100 m - 10 mn + 10 nk + 10 n - n 2 \u003d
\u003d m (k + 1) 100 + n (10k + 10 - n) \u003d
\u003d (10m) (10 (k + 1)) + n (K - 10m) y el método está justificado.

Hay muchas formas ingeniosas de convertir cálculos bastante complejos en problemas orales. Pero no debería pensar que todo el mundo necesita memorizar estas y muchas otras formas inteligentes de simplificar los cálculos. Solo es importante aprender algunos de los básicos. El análisis de los demás solo tiene sentido para desarrollar habilidades en la aplicación de métodos básicos. Es su aplicación creativa la que permite resolver de forma rápida y correcta problemas computacionales.

En ocasiones, al resolver ejemplos para el cálculo, es conveniente pasar de convertir una expresión con números a convertir polinomios. Considere el siguiente ejemplo.

Calcule de la forma más racional:

3 1/117 4 1/110 -1 110/117 5 118/119 - 5/119

Decisión.

Sea a \u003d 1/117 yb \u003d 1/119. Entonces 3 1/117 \u003d 3 + a, 4 1/119 \u003d 4 + b, 1116/117 \u003d 2 - a, 5 118/119 \u003d 6 - b.

Por tanto, la expresión dada se puede escribir como (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b.

Después de realizar transformaciones simples del polinomio, obtenemos 10a o 10/117.

Aquí obtenemos que el valor de nuestra expresión no depende de b. Y esto significa que calculamos no solo el valor de esta expresión, sino también cualquier otra obtenida de (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b sustituyendo los valores de ay segundo. Si, por ejemplo, a \u003d 5/329, entonces en la respuesta obtenemos 50 / 329 lo que sea b.

Considere otro ejemplo, cuya solución con la ayuda de una calculadora es casi imposible, y la respuesta es bastante simple si conoce el enfoque para resolver ejemplos de este tipo.

Calcular

1/6 7 1024 - (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) 7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1)

Decisión.

Transformamos la condición

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 +1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1) (7 - 1) \u003d

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1 ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 2 - 1) \u003d

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1 ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 4 - 1) \u003d

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1 ) (7 8 + 1) (7 8 - 1) \u003d

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 +1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1 ) · (7 16 - 1) \u003d… \u003d

1/6 7 1024 - 1/6 (7512 + 1) (7512 - 1) \u003d 1/6 7 1024 - 1/6 (7 1024 - 1) \u003d 1/6

Considere uno de los ejemplos que ya se ha convertido libro de texto en los materiales de examen para el curso de la escuela básica.

Calcule la cantidad:

1/2 + 1 / (2 · 3) + 1 / (3 · 4) + 1 / (4 · 5) + ... + 1 / (120 · 121) \u003d

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

Es decir, la solución a este problema fue posible mediante el método de reemplazar cada fracción con la diferencia de dos fracciones. En total, hubo pares de números opuestos para todos excepto el primero y el último.

Pero este ejemplo se puede generalizar. Considere la cantidad:

k / (n (n + k)) + k / ((n + k) (n + 2k)) + k / ((n + 2k) (n + 3k)) +… + k / (( n + (m – 1) k) (n + mk))

Para ello, vale todo el mismo razonamiento que en el ejemplo anterior. En efecto:

1 / n – 1 / (n + k) \u003d k / (n (n + k));

1 / ((n + k) – 1 / (n + 2k) \u003d k / ((n + k) (n + 2k)), etc.

Luego construimos la respuesta de acuerdo con el mismo esquema: 1 / n – 1 / (n + mk) \u003d mk / (n (n + mk))

Y más sobre las cantidades "largas".

Cantidad

X \u003d 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

se puede calcular como la suma de 11 términos de una progresión geométrica con el denominador 1/2 y el primer término 1. Pero la misma suma puede ser calculada por un estudiante de quinto grado que no tiene idea de las progresiones. Para hacer esto, basta con seleccionar con éxito un número que sumamos a la suma de X. Este número aquí será 1/1024.

Calculamos

X + 1/1024 \u003d 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 / 1024) \u003d
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Ahora es obvio que X \u003d 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

El segundo método no es menos prometedor. Se puede utilizar para calcular la cantidad:

S \u003d 9 + 99 + 999 + 9999 +… + 99 999 999 999.

Aquí el número "afortunado" es 11. Se suma a S y se distribuye uniformemente entre los 11 términos. Cada uno de ellos obtendrá 1. Entonces tenemos:

S + 11 \u003d 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 +… + 99999999999 + 1 \u003d
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Por lo tanto, S \u003d 111111111110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

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En el pasado lejano, cuando aún no se había inventado el sistema de numeración, la gente contaba todo con los dedos. Con el advenimiento de la aritmética y los fundamentos de las matemáticas, se ha vuelto mucho más fácil y práctico realizar un seguimiento de los bienes, productos y artículos del hogar. Sin embargo, ¿cómo es el sistema moderno de cálculo: en qué tipos se dividen los números existentes y qué significa "forma racional de números"? Vamos a averiguarlo.

¿Cuántas variedades de números hay en matemáticas?

El mismo concepto "número" designa una determinada unidad de cualquier objeto que caracteriza sus indicadores cuantitativos, comparativos u ordinales. Para calcular correctamente el número de ciertas cosas o realizar algunas operaciones matemáticas con números (sumar, multiplicar, etc.), en primer lugar, debe familiarizarse con las variedades de estos mismos números.

Entonces, los números existentes se pueden dividir en las siguientes categorías:

1. Los números naturales son aquellos números con los que contamos la cantidad de objetos (el número natural más pequeño es 1, es lógico que la serie de números naturales sea infinita, es decir, no existe el número natural más grande). El conjunto de números naturales generalmente se denota con la letra N.
2. Números enteros. Este conjunto incluye todo mientras le agrega valores negativos, incluido el número "cero". La designación del conjunto de números enteros se escribe en forma de letra latina Z.
3. Los números racionales son aquellos que podemos transformar mentalmente en una fracción, cuyo numerador pertenecerá al conjunto de números enteros, y el denominador - números naturales. A continuación veremos más de cerca lo que significa "número racional" y daremos algunos ejemplos.
4. - un conjunto que incluye todo lo racional y Este conjunto se denota con la letra R.
5. Los números complejos contienen parte del número real y parte del número variable. Se utilizan para resolver diversas ecuaciones cúbicas que, a su vez, pueden tener expresiones negativas en fórmulas (i 2 \u003d -1).

¿Qué significa "racional": veamos ejemplos

Si los números que podemos representar como una fracción ordinaria se consideran racionales, entonces resulta que todos los números enteros positivos y negativos también se incluyen en el conjunto de los racionales. Después de todo, cualquier número entero, por ejemplo 3 o 15, se puede representar como una fracción, donde el denominador será uno.

Fracciones: -9/3; 7/5, 6/55 son ejemplos de números racionales.

¿Qué significa "expresión racional"?

Siga adelante. Ya hemos descubierto lo que significa la forma racional de los números. Imaginemos ahora una expresión matemática que consiste en la suma, diferencia, producto o cociente de varios números y variables. Aquí hay un ejemplo: una fracción, en cuyo numerador la suma de dos o más números enteros y el denominador contiene tanto un número entero como una determinada variable. Es esta expresión la que se llama racional. Según la regla "no se puede dividir por cero", se puede adivinar que el valor de esta variable no puede ser tal que el valor del denominador se convierta en cero. Por lo tanto, al resolver una expresión racional, primero debe determinar el rango de la variable. Por ejemplo, si el denominador es x + 5-2, entonces resulta que "x" no puede ser -3. De hecho, en este caso, toda la expresión se vuelve cero, por lo que al resolverla, es necesario excluir el entero -3 para esta variable.

¿Cómo resolver correctamente las ecuaciones racionales?

Las expresiones racionales pueden contener una cantidad bastante grande de números e incluso 2 variables, por lo que a veces su solución se vuelve difícil. Para facilitar la solución de tal expresión, se recomienda realizar ciertas operaciones de manera racional. Entonces, ¿qué significa "de manera racional" y qué reglas deben aplicarse en la decisión?

1. El primer tipo, cuando basta con simplificar la expresión. Para ello se puede recurrir a la operación de reducir el numerador y denominador a un valor irreductible. Por ejemplo, si el numerador contiene la expresión 18x y el denominador es 9x, entonces, reduciendo ambos indicadores en 9x, obtenemos un número entero igual a 2.
2. El segundo método es práctico cuando tenemos un monomio en el numerador y un polinomio en el denominador. Tomemos un ejemplo: en el numerador tenemos 5x, y en el denominador - 5x + 20x 2. En este caso, lo mejor es poner la variable en el denominador fuera de los corchetes, obtenemos la siguiente forma del denominador: 5x (1 + 4x). Ahora puedes usar la primera regla y simplificar la expresión cortando 5x en el numerador y denominador. Como resultado, obtenemos una fracción de la forma 1/1 + 4x.

¿Qué puedes hacer con los números racionales?

El conjunto de números racionales tiene varias peculiaridades. Muchos de ellos son muy similares a la característica que está presente en los números enteros y naturales, ya que estos últimos siempre se incluyen en el conjunto de números racionales. Aquí hay algunas propiedades de los números racionales, sabiendo cuáles, puede resolver fácilmente cualquier expresión racional.

1. La propiedad conmutativa le permite sumar dos o más números, independientemente de su orden. En pocas palabras, la suma no cambia por un cambio en el lugar de los términos.
2. La propiedad distributiva permite resolver problemas utilizando la ley de distribución.
3. Y finalmente, las operaciones de suma y resta.

Incluso los escolares saben lo que significa "forma racional de números" y cómo resolver problemas basados \u200b\u200ben tales expresiones, por lo que una persona adulta educada simplemente necesita recordar al menos los conceptos básicos del conjunto de números racionales.

Una forma racional de tomar decisiones en forma general se puede representar de la siguiente manera.

El uso de una forma administrativa de tomar una decisión se expresa en el hecho de que el gerente explora alternativas hasta encontrar una solución satisfactoria, es decir, asegurando el logro de la meta en un nivel mínimo. Elige la primera alternativa que cumpla con sus objetivos. Esta elección está limitada por los valores, la experiencia y el nivel de formación del líder. Si el gerente no tiene alternativas que cumplan con el nivel mínimo de las metas establecidas, disminuye el valor de este nivel y acepta la primera alternativa. Se guía solo por las circunstancias específicas de la situación y sus poderes.

Con una forma intuitiva de tomar una decisión, no existe un enfoque sistemático para la elección de alternativas. Este método lo utilizan a menudo personas creativas. Las investigaciones muestran que las características de estos individuos incluyen una gran necesidad de independencia, egoísmo empresarial, erudición e intereses amplios. Esto no significa que solo esos líderes sean personas creativas. También pueden ser los que utilizan otras formas de tomar decisiones. La forma intuitiva ocurre cuando una decisión se toma al azar. La mayoría de las decisiones se justifican mediante una combinación de métodos racionales e intuitivos.

¿Quién debe tomar la decisión: un individuo o un grupo? Hay varios esquemas posibles: 1) el líder puede tomar una decisión solo; 2) el líder puede tomar la decisión después de consultar con otros; 3) quienes están influenciados por la decisión pueden aceptarla como grupo (el líder al mismo tiempo actúa como uno de los miembros del grupo). En todos los casos, es importante seguir los procedimientos establecidos, cuya implementación asegura la necesaria validez y confiabilidad de una decisión (Tabla 16.4).

La toma de decisiones en grupo asegura la participación de quienes se ven afectados por la decisión y aumenta su disposición para implementar conscientemente la decisión. Se facilita la coordinación del trabajo posterior, se mejora la comunicación, se aumenta la variedad de alternativas consideradas y se amplía la cantidad de información utilizada. Al mismo tiempo, la literatura sobre gestión también señala posibles desventajas de la toma de decisiones grupales: puede ser más largo, los grupos pueden ser menos decisivos y con más frecuencia comprometerse, a menudo caen bajo la influencia de alguien, los individuos pueden usar el grupo para aumentar su influencia;

a veces, los grupos no pueden tomar ninguna decisión debido a conflictos internos y desacuerdos.

Los grupos se utilizan mejor para la toma de decisiones cuando la precisión es fundamental. La eficiencia es más importante en algunas situaciones, la precisión en otras. El grupo suele ser más preciso que el individuo. Igualmente importante es la cohesión del grupo, con un papel de liderazgo coordinador reconocido. Hay muchas situaciones en las que una solución requiere muchas habilidades y experiencia que no pueden ser inherentes a una persona.

Sobre la base de la investigación científica y la práctica extensa de toma de decisiones gerenciales en las últimas décadas, se han desarrollado una serie de métodos de toma de decisiones grupales, que han aumentado drásticamente la objetividad y validez de este proceso. Entre ellos se encuentran la lluvia de ideas, el método de grupo nominal, el método Delphi.

La lluvia de ideas es emprendida por un grupo como un proceso de generación de ideas cuando todas las alternativas posibles se consideran críticamente.

El método de grupo nominal limita la discusión o la comunicación entre ellos a un cierto límite. Los miembros del grupo asistirán a la reunión y actuarán de forma independiente. Primero se plantea el problema y luego se dan los siguientes pasos.

1. Antes de que comience la discusión, todos escriben independientemente sus ideas para el problema presentado.

2. Todas las ideas son registradas por cada miembro del grupo.

3. El grupo discute ideas para aclararlas y evaluarlas.

4. Cada miembro del grupo determina de forma independiente la importancia de todas las ideas. La decisión final se define como la idea con la calificación acumulada más alta.

La principal ventaja de este método es que permite al grupo celebrar formalmente una reunión común, pero no limita la independencia de pensamiento de cada uno.

El más difícil y lento es el uso del método Delphi. Es similar al método de grupo nominal, con la diferencia de que no se requiere la presencia física de todos los miembros del grupo. El Método Delphi no implica que los miembros del grupo tengan que encontrarse cara a cara. Este método se caracteriza por los siguientes pasos.

1. El problema está determinado; Se pide a los miembros del grupo que proporcionen posibles soluciones respondiendo a un cuestionario cuidadosamente diseñado.

2. Cada miembro del grupo responde el primer cuestionario de forma anónima e independiente.

3. Los resultados del primer cuestionario se recogen en el centro, se descifran y se resumen.

4. Cada miembro del equipo recibe una copia de los resultados.

5. Después de revisar los resultados, se pide a los expertos que vuelvan a dar sus soluciones. Por regla general, se dan nuevas soluciones o aparecen cambios en la posición inicial.

6. Estos pasos se repiten tantas veces como sea necesario hasta que se llegue a un consenso.

La ventaja del método es la independencia de la opinión de expertos ubicados a una distancia espacial entre sí.

Entre la toma de decisiones grupal e individual está la forma en que el gerente recurre constantemente a la ayuda de consultores calificados antes de tomar una decisión. Entiende la necesidad de consultas y sabe cómo utilizar el potencial del grupo para una solución informada y oportuna de un problema urgente.

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Kozhinova Anastasia

PRESUPUESTO MUNICIPAL NO TIPO

INSTITUCIÓN EDUCATIVA

"LYCEUM №76"

¿CUÁL ES EL SECRETO DE UNA CUENTA RACIONAL?

Realizado:

Alumno 5 clase "B"

Kozhinova Anastasia

Líder:

Profesor de matemática

Shchiklina Tatiana

Nikolaevna

Novokuznetsk 2013

Introducción ………………………………………………………… 3

Parte principal .... ……………………………………… .......... 5-13

Conclusión y conclusiones ……………………………… ............... 13-14

Referencias …………………………………… .................. 15

Apéndices ……………………………………………………. 16-31

yo... Introducción

Problema: encuentra los valores de expresiones numéricas

Objetivo: búsqueda, estudio de métodos y técnicas de cálculo racional existentes, su aplicación en la práctica.

Tareas:

1. Realizar una mini investigación en forma de cuestionario entre clases paralelas.

2. Analizar sobre el tema de investigación: literatura disponible en la biblioteca de la escuela, información en el libro de texto académico de matemáticas para el grado 5, en Internet.

3. Elija los métodos y medios más efectivos para contar racionalmente.

4. Realizar una clasificación de las técnicas existentes para el conteo rápido oral y escrito.

5. Cree notas que contengan las técnicas de conteo racional para usar en 5 clases paralelas.

Objeto de estudio: cuenta racional.

Tema de estudio: formas de contar racional.

Para la efectividad del trabajo de investigación, utilicé las siguientes técnicas: análisis de información obtenida de diversos recursos, síntesis, generalización; encuesta en forma de encuesta. El cuestionario fue desarrollado por mí de acuerdo con el propósito y los objetivos del estudio, la edad de los encuestados y se presenta en la parte principal del trabajo.

En el curso del trabajo de investigación, se consideraron temas relacionados con los métodos y técnicas de cálculo racional y se dieron recomendaciones para eliminar problemas con las habilidades informáticas, para formar una cultura informática.

II... Parte principal

Formación de la cultura computacional de los estudiantes

5-6 grados.

Obviamente, los métodos de conteo racional son un elemento necesario de la cultura computacional en la vida de cada persona, en primer lugar, la fuerza de su significado práctico, y los estudiantes lo necesitan en casi todas las lecciones.

La cultura computacional es la base del estudio de las matemáticas y otras disciplinas académicas, porque, además de que los cálculos activan la memoria, la atención, ayudan a organizar racionalmente las actividades y afectan significativamente el desarrollo humano.

En el día a día, en las sesiones de formación, cuando se valora cada minuto, es muy importante realizar cálculos orales y escritos de forma rápida y eficaz, sin cometer errores y sin utilizar ningún medio informático adicional.

Nosotros, los escolares, nos enfrentamos a este problema en todas partes: en el aula, en casa, en la tienda, etc. Además, después de los grados 9 y 11, tendremos que realizar exámenes en forma de IGA y el Examen Estatal Unificado, donde no se permite el uso de una microcalculadora. Por lo tanto, el problema de formar una cultura computacional en cada persona se vuelve extremadamente importante, un elemento del cual es dominar los métodos de cálculo racional.

Es especialmente necesario dominar las técnicas de conteo racional.

en el estudio de materias como matemáticas, historia, tecnología, informática, etc., es decir, el conteo racional ayuda a dominar materias afines, a navegar mejor por el material que se estudia, en situaciones de la vida. entonces que estamos esperando ' ¡¡¡Vayamos al mundo de los secretos de las técnicas de conteo racional !!!

¿Qué problemas tienen los alumnos al realizar cálculos?

A menudo, los compañeros de mi edad tienen problemas a la hora de realizar diversas tareas en las que necesitan hacer cálculos de forma rápida y cómoda. ... ¿¿¿Por qué???

Aquí hay algunas sugerencias:

1. El alumno no comprende bien el tema estudiado.

2. El alumno no repite el material

3. El estudiante tiene pocas habilidades de aritmética

4. El alumno no quiere estudiar el tema.

5. El alumno cree que no le será de utilidad.

Tomé todas estas suposiciones de mi experiencia y la experiencia de mis compañeros de clase y compañeros. Sin embargo, en ejercicios de carácter computacional, las habilidades del conteo racional juegan un papel importante, por eso he estudiado, aplicado y quiero presentarte algunas técnicas de conteo racional.

Métodos racionales de cálculo oral y escrito.

En el trabajo y la vida cotidiana, surge constantemente la necesidad de varios tipos de cálculos. Usar los métodos más simples de conteo oral reduce la fatiga, desarrolla la atención y la memoria. El uso de métodos de cálculo racionales es necesario para aumentar la mano de obra, la precisión y la velocidad de los cálculos. La velocidad y precisión de los cálculos solo se pueden lograr con el uso racional de métodos y medios de mecanización de cálculos, así como con el uso correcto de métodos de conteo oral.

yo... Suma de números simplificada

Hay cuatro métodos conocidos de adición para acelerar los cálculos.

Método de adición secuencial bit a bit se utiliza en cálculos orales, ya que simplifica y acelera la suma de términos. Al utilizar este método, la suma comienza con los dígitos más altos: los dígitos correspondientes del segundo término se agregan al primer término.

Ejemplo. Encuentre la suma de los números 5287 y 3564 usando el método de suma secuencial bit a bit.

Decisión. Realizaremos el cálculo en la siguiente secuencia:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Respuesta: 8 851. (ley de combinación-transposición)

Otra forma de adición secuencial bit a bit consiste en el hecho de que la categoría más alta del segundo término se agrega a la categoría más alta del primer término, luego la siguiente categoría del segundo término se agrega a la siguiente categoría del primer término, etc.

Considere esta solución usando el ejemplo dado, obtenemos:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Respuesta: 8851.

Método de número redondo ... Un número que tiene un dígito significativo y termina con uno o más ceros se llama número redondo. Este método se utiliza cuando puede elegir entre dos o más términos que se pueden completar en un número redondeado. La diferencia entre el número redondeado y el número especificado en la condición de cálculo se denomina complemento. Por ejemplo, 1,000 - 978 \u003d 22. En este caso, 22 es el complemento de 978 a 1,000.

Para sumar el método de números redondos, necesita redondear uno o más términos cerca de números redondos, sumar números redondos y restar sumas aritméticas de la suma resultante.

Ejemplo. Calcula la suma de los números 1 238 y 193 usando el método del número redondeado.

Decisión. Redondeemos el número 193 a 200 y agreguemos lo siguiente: 1238 + 193 \u003d (1238 + 200) - 7 \u003d 1431 (ley de combinación)

Agrupación de términos ... Este método se utiliza cuando los términos, cuando se agrupan, suman números redondos, que luego se suman.

Ejemplo. Calcula la suma de los números 74, 32, 67, 48, 33 y 26.

Decisión. Resumamos los números agrupados de la siguiente manera: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) \u003d 280.

(ley de combinación de desplazamiento)

o, cuando se agrupan los números, se obtienen las mismas cantidades:

Ejemplo: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 97 + 98 + 99 + 100 \u003d (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +… \u003d 101x50 \u003d 5050

(ley de combinación de desplazamiento)

II... Técnicas de resta de números simplificadas

Un método de resta secuencial bit a bit. De esta forma, se resta una resta secuencial de cada dígito del decrementado. Se utiliza cuando los números no se pueden redondear.

Ejemplo. Encuentra la diferencia entre los números 721 y 398.

Decisión. Realicemos los pasos para encontrar la diferencia de los números dados en la siguiente secuencia:

representamos el número 398 como la suma: 300 + 90 + 8 \u003d 398;

realicemos una resta bit a bit:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Método de número redondo ... Este método se usa cuando lo restado está cerca de un número redondo. Para el cálculo, es necesario restar lo restado de lo reducido, tomado como un número redondo, y sumar la suma aritmética a la diferencia resultante.

Ejemplo... Calculemos la diferencia entre los números 235 y 197 usando el método de números redondos.

Decisión. 235 - 197 \u003d 235 - 200 + 3 \u003d 38.

III... Técnicas simplificadas de multiplicación de números

Multiplicación por uno seguido de ceros. Al multiplicar un número por un número que incluye uno seguido de ceros (10; 100; 1,000, etc.), se le asignan tantos ceros a la derecha como en el factor después de uno.

Ejemplo. Halla el producto de los números 568 y 100.

Decisión. 568 x 100 \u003d 56 800.

Método de multiplicación en serie bit a bit ... Este método se utiliza al multiplicar un número por un solo dígito. Si necesita multiplicar un número de dos dígitos (tres, cuatro dígitos, etc.) por un número de un dígito, primero el factor de un dígito se multiplica por decenas de otro factor, luego por sus unidades y los productos resultantes se suman.

Ejemplo. Calcula el producto de los números 39 y 7.

Decisión. 39 x 7 \u003d (30 + 9) x 7 \u003d (30 x 7) + (9 x 7) \u003d 210 + 63 \u003d 273. (la ley de distribución de la multiplicación relativa a la suma)

Método de número redondo ... Utilice este método solo cuando uno de los factores esté cerca de un número redondeado. El multiplicador se multiplica por un número redondo, y luego por la suma aritmética, y al final el segundo se resta del primer producto.

Ejemplo. Halla el producto de los números 174 y 69.

174 x 69 \u003d 174 x (70-1) \u003d 174 x 70 - 174 x 1 \u003d 12 180 - 174 \u003d 12006. (la ley de distribución de la multiplicación relativa a la resta)

Una forma de descomponer uno de los factores. En este método, primero se descompone uno de los factores en partes (términos), luego el segundo factor se multiplica alternativamente por cada parte del primer factor y se suman los productos resultantes.

Ejemplo... Halla el producto de los números 13 y 325.

Expandamos el número 13 en términos: 13 \u003d 10 + 3. Multiplique cada uno de los términos resultantes por 325: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 \u003d 975. Resumiendo los productos resultantes: 3 250 + 975 \u003d 4 225

Aprender las habilidades del conteo oral racional hará que su trabajo sea más eficiente. Esto solo es posible con un buen dominio de todas las operaciones aritméticas anteriores. El uso de técnicas de conteo racionales acelera los cálculos y proporciona la precisión requerida. Pero no solo necesitas saber calcular, también necesitas conocer la tabla de multiplicar, las leyes de las operaciones aritméticas, clases y categorías.

Existen sistemas de conteo oral que le permiten contar oralmente de manera rápida y eficiente. Veremos algunas de las técnicas más utilizadas.

1. Multiplica un número de dos dígitos por 11.

Estudiamos este método, pero no lo estudiamos completamente. el secreto de este método es que puede calcularse mediante las leyes de las operaciones aritméticas.

Ejemplos:

23x11 \u003d 23x (10 + 1) \u003d 23x10 + 23x1 \u003d 253 (ley de distribución de la multiplicación con respecto a la suma)

23x11 \u003d (20 + 3) x 11 \u003d 20x11 + 3x11 \u003d 253 (ley de distribución y método de número redondeado)

Estudiamos este método, pero no conocíamos otro el secreto de multiplicar números de dos dígitos por 11.

Al observar los resultados obtenidos al multiplicar números de dos dígitos por 11, noté que puedes obtener la respuesta de una manera más conveniente : al multiplicar un número de dos dígitos por 11, los dígitos de este número se separan y la suma de estos dígitos se coloca en el medio.

a) 23 11 \u003d 253, ya que 2 + 3 \u003d 5;

b) 45 11 \u003d 495, ya que 4 + 5 \u003d 9;

c) 57 11 \u003d 627, porque 5 + 7 \u003d 12, dos se colocaron en el medio y uno se agregó a la categoría de cientos;

d) 78 11 \u003d 858, ya que 7 + 8 \u003d 15, entonces el número de decenas será 5 y el número de centenas aumentará en uno y será 8.

Encontré la confirmación de este método en Internet.

2) El producto de números de dos dígitos, que tienen el mismo número de decenas, y la suma de los unos es 10, es decir, 23 27; 34 36; 52 58 etc.

La regla: la cifra de decenas se multiplica por la siguiente cifra de la fila natural, se anota el resultado y se le atribuye el producto de unidades.

a) 23 27 \u003d 621. ¿Cómo obtuviste 621? Multiplicamos el número 2 por 3 (el "dos" va seguido del "tres"), será 6, y junto a él sumaremos el producto de unos: 3 7 \u003d 21, resulta 621.

b) 34 36 \u003d 1224, ya que 3 4 \u003d 12, asignamos 24 al número 12, este es el producto de las unidades de estos números: 4 6.

c) 52 58 \u003d 3016, ya que multiplicamos el dígito de las decenas 5 por 6, será 30, atribuimos el producto de 2 por 8, es decir, 16.

d) 61 69 \u003d 4209. Está claro que 6 se multiplicó por 7 y obtuvo 42. ¿Y de dónde viene el cero? Multiplicamos las unidades y obtuvimos: 1 9 \u003d 9, pero el resultado debe ser de dos dígitos, entonces tomamos 09.

3) División de números de tres dígitos, que constan de los mismos dígitos, por el número 37. El resultado es la suma de estos dígitos iguales de un número de tres dígitos (o un número igual a tres veces el dígito de un número de tres dígitos).

Ejemplos: a) 222: 37 \u003d 6. Esta es la suma de 2 + 2 + 2 \u003d 6; b) 333: 37 \u003d 9, ya que 3 + 3 + 3 \u003d 9.

c) 777: 37 \u003d 21, es decir, 7 + 7 + 7 \u003d 21.

d) 888: 37 \u003d 24, ya que 8 + 8 + 8 \u003d 24.

También tenemos en cuenta que 888: 24 \u003d 37.

III... Conclusión

Para desentrañar el principal secreto del tema de mi trabajo, tuve que trabajar duro: buscar, analizar información, interrogar a los compañeros de clase, repetir los primeros métodos conocidos y encontrar muchas formas desconocidas de contar racional y, finalmente, comprender cual es su secreto Y me di cuenta de que lo principal es saber y poder aplicar lo conocido, encontrar nuevos métodos racionales de contar, la tabla de multiplicar, la composición del número (clases y categorías), las leyes de las operaciones aritméticas. Además,

busque nuevas formas de hacer esto:

- Suma de números simplificada: (método de adición secuencial de bits; método de un número redondeado; método de descomposición de uno de los factores en términos);

-Técnicas de resta de números simplificadas (método de resta secuencial bit a bit; método de número redondeado);

-Técnicas simplificadas de multiplicación de números (multiplicación por uno seguido de ceros; método de multiplicación secuencial bit a bit; método de un número redondo; método de descomposición de uno de los factores ;

- Secretos del conteo verbal rápido (multiplicar un número de dos dígitos por 11: al multiplicar un número de dos dígitos por 11, los dígitos de este número se separan y se colocan en el medio la suma de estos dígitos; el producto de los números de dos dígitos, que tienen el mismo número de decenas, y la suma de unos, es 10; División de números de tres dígitos que consta de los mismos dígitos, al número 37. Probablemente haya muchas más formas de este tipo, así que continuaré trabajando en este tema el próximo año.

IV. Lista de referencias

1. Savin A.P. Miniaturas matemáticas / A.P. Savin. - M.: Literatura infantil, 1991

2. Zubareva II, Matemáticas, grado 5: un libro de texto para estudiantes de instituciones educativas / II Zubareva, A.G. Mordkovich. - M .: Mnemosina, 2011

4.http: / / www. xreferat.ru

5.http: / / www. biografia.ru

6.http: / / www. Repetición matemática. ru

V... Aplicaciones

Mini investigación (encuesta en forma de cuestionario)

Para identificar el conocimiento de los estudiantes sobre el conteo racional, realicé una encuesta en forma de cuestionario sobre las siguientes preguntas:

* ¿Sabes qué son las técnicas de conteo racional?

* En caso afirmativo, ¿dónde, y si no, por qué?

* ¿Cuántas formas de contar racional conoces?

* ¿Tiene dificultad para contar verbalmente?

* ¿Cómo estudias matemáticas? a) por "5"; b) por "4"; c) a "3"

* ¿Qué es lo que más le gusta de las matemáticas?

a) ejemplos; b) tareas; c) fracciones

* ¿Dónde crees que puede ser útil el conteo oral, además de las matemáticas? * ¿Recuerda las leyes de las operaciones aritméticas, si es así, cuáles?

Luego de realizar una encuesta, me di cuenta de que mis compañeros no conocen lo suficiente las leyes de las operaciones aritméticas, la mayoría tienen problemas con el conteo racional, muchos estudiantes cuentan lentamente y con errores, y todos quieren aprender a contar de manera rápida, correcta y conveniente. Por tanto, el tema de mi trabajo de investigación es sumamente importante para todos los estudiantes y no solo.

1. Métodos de cálculo orales y escritos interesantes que estudiamos en las lecciones de matemáticas, utilizando los ejemplos del libro de texto "matemáticas, grado 5":

Éstos son algunos de ellos:

para multiplicar rápidamente un número por 5, es suficiente notar que 5 \u003d 10: 2.

Por ejemplo, 43x5 \u003d (43x10): 2 \u003d 430: 2 \u003d 215;

48 x 5 \u003d (48: 2) x10 \u003d 24 x 10 \u003d 240.

Para multiplicar el número por 50 , puedes multiplicarlo por 100 y dividir por 2.

Por ejemplo: 122x50 \u003d (122x100): 2 \u003d 12200: 2 \u003d 6100

Para multiplicar el número por 25 , puedes multiplicarlo por 100 y dividir por 4,

Por ejemplo, 32x25 \u003d (32x100): 4 \u003d 3200: 4 \u003d 800

Para multiplicar el número por 125 , puedes multiplicarlo por 1000 y dividir por 8,

Por ejemplo: 192x125 \u003d (192x1000): 8 \u003d 192000: 8 \u003d 24000

Para dividir un número redondo con dos ceros por 25 , puede dividirlo por 100 y multiplicarlo por 4.

Por ejemplo: 2400: 25 \u003d (2400: 100) x 4 \u003d 24 x 4 \u003d 96

Para dividir un número redondo entre 50 , se puede dividir por 100 y multiplicar por 2

Por ejemplo: 4500: 50 \u003d (4500: 100) x 2 \u003d 45 x 2 \u003d 90

Pero no solo necesitas saber calcular, también necesitas conocer la tabla de multiplicar, las leyes de las operaciones aritméticas, la composición del número (clases y categorías) y tener las habilidades para usarlas.

Las leyes de las operaciones aritméticas.

una + segundo = segundo + una

La ley de desplazamiento de la suma

(una + segundo) + c = una + (segundo + c)

Ley de combinación de la suma

una · segundo = segundo · una

La ley de viajes de la multiplicación

(una · segundo) · c = una · (segundo · c)

Ley de combinación de la multiplicación

(una = segundo) · c = una · c = segundo · c

Ley de distribución de la multiplicación (relativa a la suma)

Tabla de multiplicación.

¿Qué es la multiplicación?

Es una adición inteligente.

Después de todo, es más inteligente multiplicar una vez,

Que juntarlo todo durante una hora.

Tabla de multiplicación

Todos seremos útiles en la vida.

Y no es por nada que fue nombrado

¡Por MULTIPLICACIÓN lo es!

Descargas y clases

Para facilitar la lectura, así como para memorizar números con valores grandes, deben dividirse en las llamadas "clases": comenzando por la derecha, el número se divide por un espacio en tres dígitos "primera clase", luego tres dígitos más, "segunda clase" y etc. Dependiendo del significado del número, la última clase puede terminar con tres, dos o un dígito.

Por ejemplo, el número 35461298 se escribe de la siguiente manera:

Este número se divide en clases:

482 - primera clase (clase de unidad)

630 - segunda clase (clase de miles)

35 - tercera clase (clase de millones)

Descarga

Cada uno de los números que componen la clase se denomina categoría, que también se cuenta a la derecha.

Por ejemplo, el número 35630482 se puede descomponer en clases y categorías:

482 - primera clase

2 - primer dígito (lugar de las unidades)

8 - segundo dígito (dígito de las decenas)

4 - tercer rango (rango de cientos)

630 - segunda clase

0 - el primer dígito (miles de unidades)

3 - la segunda categoría (decenas de miles)

6 - la tercera categoría (categoría de cientos de miles)

35 - tercer grado

5 - el primer dígito (lugar de millones de unidades)

3 - segunda categoría (decenas de millones)

El número 35630482 dice:

Treinta y cinco millones seiscientos treinta mil cuatrocientos ochenta y dos.

Problemas de conteo racional y cómo solucionarlos

Técnicas de memorización racional.

Como resultado de las preguntas y observaciones de las lecciones, noté que algunos de los estudiantes resuelven mal varios problemas y ejercicios porque no están familiarizados con los métodos racionales de cálculo.

1. Una de las técnicas es llevar el material estudiado a un sistema que sea conveniente para la memorización y conservación en la memoria.

2. Para que el material memorizado se almacene en la memoria de un determinado sistema, es necesario trabajar un poco en su contenido.

3. Luego, puede comenzar a dominar cada parte del texto, releerlo y tratar de reproducir inmediatamente (repetir para sí mismo o en voz alta) lo que lee.

4. La repetición del material es de gran importancia para la memorización. Esto también se evidencia en el refrán popular: "La repetición es la madre del aprendizaje". Pero también es necesario repetirlo de forma inteligente y correcta.

El trabajo de repetición debe ser revivido basándose en ilustraciones o ejemplos que antes no existían o que ya han sido olvidados.

Con base en lo anterior, podemos formular brevemente las siguientes recomendaciones para la asimilación exitosa del material educativo:

1. Establezca una tarea, memorice rápida y firmemente el material educativo durante mucho tiempo.

2. Concéntrese en lo que se necesita aprender.

3. Comprender bien el material didáctico.

4. Haga un plan del texto memorizado, destacando las ideas principales en él, divida el texto en partes.

5. Si el material es grande, asimile secuencialmente una parte tras otra y luego presente todo como un todo.

6. Después de leer el material, debe reproducirlo (diga lo que leyó).

7. Repita el material antes de que se olvide.

8. Difundir la repetición durante más tiempo.

9. Al memorizar, use diferentes tipos de memoria (principalmente semántica) y algunas características individuales de su memoria (visual, auditiva o motora).

10. El material difícil debe repetirse antes de irse a la cama y luego por la mañana, "para recuperar la memoria".

11. Intente aplicar los conocimientos adquiridos en la práctica. Esta es la mejor manera de conservarlos en la memoria (no en vano dicen: "La verdadera madre del aprendizaje no es la repetición, sino la aplicación").

12. Es necesario adquirir más conocimientos, aprender algo nuevo.

Ahora ha aprendido a memorizar rápida y correctamente el material estudiado.

Un truco interesante de multiplicar algunos números por 9 en combinación con la suma de números naturales consecutivos del 2 al 10

12345x9 + 6 \u003d 111111

123456x9 + 7 \u003d 1111111

1234567x9 + 8 \u003d 11111111

12345678x9 + 9 \u003d 111111111

123456789x9 + 10 \u003d 1111111111

Interesante juego "Adivina el número"

¿Has jugado al juego Guess the Number? Este es un juego muy simple. Supongamos que adivino un número natural menor que 100, escríbalo en un papel (para que no haya oportunidad de hacer trampa) e intente adivinarlo haciendo preguntas que solo pueden responderse "sí" o "no". Luego adivinas el número y yo trato de adivinarlo. Quien adivine con menos preguntas gana.

¿Cuántas preguntas necesitas para adivinar mi número? ¿No lo sé? Voy a adivinar tu número haciendo solo siete preguntas. ¿Cómo? Y aquí, por ejemplo, cómo. Deja que adivines el número. Le pregunto: "¿Es menos de 64?" - "Si". - "¿Menos de 32?" - "Si". - "¿Menos de 16?" - "Si". - "¿Menos de 8?" - "No". - "¿Menos de 12?" - "No". - "¿Menos de 14?" - "Si". - "¿Menos de 13?" - "No". - "El número 13 está concebido".

¿Claro? Divido el conjunto de números posibles a la mitad, luego la mitad restante a la mitad nuevamente, y así sucesivamente, hasta que haya un número en la mitad restante.

Si te gustó el juego o, por el contrario, quieres más, entonces ve a la biblioteca y llévate el libro “A. P. Savin (miniaturas matemáticas). En este libro encontrará muchas cosas interesantes y emocionantes. Imagen del libro:

Gracias a todos por su atención

¡¡¡Y les deseo éxito !!!

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Leyendas de diapositivas:

¿Cuál es el secreto del conteo racional?

Objeto del trabajo: búsqueda de información, estudio de métodos y técnicas de cálculo racional existentes, su aplicación en la práctica.

tareas: 1. Realizar una mini-investigación en forma de cuestionario entre clases paralelas. 2. Analizar sobre el tema de investigación: literatura disponible en la biblioteca de la escuela, información en el libro de texto académico de matemáticas para el grado 5, así como en Internet. 3. Elija los métodos y medios más efectivos para contar racionalmente. 4. Realizar una clasificación de las técnicas existentes para el conteo rápido oral y escrito. 5. Crear un Memo que contenga las técnicas de conteo racional para su uso en 5 clases paralelas.

Como dije, el tema del conteo racional es relevante no solo para los estudiantes, sino también para todas las personas, para estar convencido de esto, realicé una encuesta entre estudiantes de quinto grado. Las preguntas y respuestas de la encuesta se le presentan en la aplicación.

¿Qué es Rational Account? Un relato racional es un relato conveniente (la palabra racional significa conveniente, correcto)

¿Por qué los estudiantes tienen dificultades?

A continuación se presentan algunas suposiciones: El alumno: 1. tiene una comprensión deficiente del tema estudiado; 2. no repite el material; 3. tiene pocas habilidades de aritmética; 4. cree que no le será de utilidad.

Métodos racionales de cálculo oral y escrito. En el trabajo y la vida cotidiana, surge constantemente la necesidad de varios tipos de cálculos. El uso de los métodos más simples de conteo verbal reduce la fatiga, desarrolla la atención y la memoria.

Hay cuatro métodos conocidos de adición para acelerar los cálculos. I. Técnicas para la suma simplificada de números

El método de suma secuencial bit a bit se utiliza en cálculos orales, ya que simplifica y acelera la suma de términos. Al utilizar este método, la suma comienza con los dígitos más altos: los dígitos correspondientes del segundo término se agregan al primer término. Ejemplo. Encuentra la suma de los números 5287 y 3564 usando este método. Decisión. Realizaremos el cálculo en la siguiente secuencia: 5 287 + 3 000 \u003d 8 287; 8 287 + 500 \u003d 8 787; 8 787 + 60 \u003d 8 847; 8 847 + 4 \u003d 8 851. Respuesta: 8 851.

Otro método de suma secuencial bit a bit es que el bit más alto del segundo término se agrega al bit más alto del primer término, luego el siguiente bit del segundo término se agrega al siguiente bit del primer término, etc. Consideremos esta variante de la solución en el ejemplo dado, obtenemos: 5,000 + 3,000 \u003d 8,000; 200 + 500 \u003d 700; 80 + 60 \u003d 140; 7 + 4 \u003d 11 Respuesta: 8851.

Método de números redondos. Un número que termina en uno o más ceros se llama número redondo. Este método se utiliza cuando puede elegir entre dos o más términos que se pueden completar en un número redondeado. La diferencia entre el número redondeado y el número especificado en la condición de cálculo se denomina complemento. Por ejemplo, 1,000 - 978 \u003d 22. En este caso, 22 es el complemento de 978 a 1,000. Para sumar el método de números redondos, necesita redondear uno o más términos cerca de números redondos, sumar números redondos y restar sumas aritméticas de la suma resultante. Ejemplo. Calcula la suma de los números 1 238 y 193 usando el método del número redondeado. Decisión. Redondeemos el número 193 a 200 y agreguemos lo siguiente: 1238 + 193 \u003d (1238 + 200) - 7 \u003d 1431.

Una forma de agrupar los términos. Este método se utiliza cuando los términos, cuando se agrupan, suman números redondos, que luego se suman. Ejemplo. Calcula la suma de los números 74, 32, 67, 48, 33 y 26. Solución. Resumamos los números agrupados de la siguiente manera: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) \u003d 280.

Método de suma basado en la agrupación de términos. Ejemplo: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ……. + 97 + 98 + 99 + 100 \u003d (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) \u003d 101x50 \u003d 5050.

II. Técnicas de resta de números simplificadas

Un método de resta secuencial bit a bit. De esta forma, se resta una resta secuencial de cada dígito del decrementado. Se utiliza cuando los números no se pueden redondear. Ejemplo. Encuentra la diferencia entre los números 721 y 398. Realicemos los pasos para encontrar la diferencia de los números dados en la siguiente secuencia: represente el número 398 como una suma: 300 + 90 + 8 \u003d 398; realicemos una resta bit a bit: 721 - 300 \u003d 421; 421 - 90 \u003d 331; 331 - 8 \u003d 323.

Método de números redondos. Este método se usa cuando lo restado está cerca de un número redondo. Para el cálculo es necesario restar lo restado, tomado como un número redondo, del reducido, y sumar la suma aritmética a la diferencia resultante. Ejemplo. Calculemos la diferencia entre los números 235 y 197 usando el método de números redondos. Decisión. 235 - 197 \u003d 235 - 200 + 3 \u003d 38.

III. Técnicas simplificadas de multiplicación de números

Multiplicación por uno seguido de ceros. Cuando un número se multiplica por un número que incluye uno seguido de ceros (10; 100; 1,000, etc.), se le asignan tantos ceros a la derecha como en el factor después de uno. Ejemplo. Halla el producto de los números 568 y 100. Solución. 568 x 100 \u003d 56 800.

Método de multiplicación secuencial bit a bit. Este método se utiliza al multiplicar un número por un solo dígito. Si necesita multiplicar un número de dos dígitos (tres, cuatro dígitos, etc.) por un número de un solo dígito, primero uno de los factores se multiplica por decenas de otro factor, luego por sus unidades y los productos resultantes se suman. Ejemplo. Calcula el producto de los números 39 y 7. Decisión. 39 x 7 \u003d (30 x 7) + (9 x 7) \u003d 210 + 63 \u003d 273.

Método de números redondos. Utilice este método solo cuando uno de los factores esté cerca de un número redondeado. El multiplicador se multiplica por un número redondo, y luego por la suma aritmética, y al final se resta el segundo del primer producto. Ejemplo. Halla el producto de los números 174 y 69. Decisión. 174 x 69 \u003d (174 x 70) - (174 x 1) \u003d 12 180 - 174 \u003d 12006.

Una forma de descomponer uno de los factores. En este método, primero se descompone uno de los factores en partes (términos), luego el segundo factor se multiplica alternativamente por cada parte del primer factor y se suman los productos resultantes. Ejemplo. Halla el producto de los números 13 y 325. Decisión. Expandamos el número en términos: 13 \u003d 10 + 3. Multiplique cada uno de los términos resultantes por 325: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 \u003d 975 Resuma los productos resultantes: 3250 + 975 \u003d 4225.

Secretos del conteo verbal rápido. Existen sistemas de conteo oral que le permiten contar oralmente de manera rápida y eficiente. Veremos algunas de las técnicas más utilizadas.

Multiplica un número de dos dígitos por 11.

Ejemplos: 23x11 \u003d 23x (10 + 1) \u003d 23x10 + 23x1 \u003d 253 (ley de distribución de la multiplicación relativa a la suma) 23x11 \u003d (20 + 3) х 11 \u003d 20x11 + 3x11 \u003d 253 (ley de distribución y método de números redondos) Estudiamos este método , pero no conocíamos otro secreto de multiplicar números de dos dígitos por 11.

Al observar los resultados obtenidos al multiplicar números de dos dígitos por 11, noté que se puede obtener la respuesta de una manera más conveniente: al multiplicar un número de dos dígitos por 11, los dígitos se separan y la suma de estos dígitos se pone en el medio. Ejemplos. a) 23 11 \u003d 253, ya que 2 + 3 \u003d 5; b) 45 11 \u003d 495, ya que 4 + 5 \u003d 9; c) 57 11 \u003d 627, porque 5 + 7 \u003d 12, dos se colocaron en el medio y uno se agregó a la categoría de cientos; Encontré la confirmación de este método en Internet.

2) El producto de números de dos dígitos, que tienen el mismo número de decenas, y la suma de los unos es 10, es decir, 23 27; 34 36; 52 58, etc. Regla: la cifra de decenas se multiplica por la siguiente cifra de la fila natural, se registra el resultado y se le atribuye el producto de unidades. Ejemplos. a) 23 27 \u003d 621. ¿Cómo obtuviste 621? Multiplicamos el número 2 por 3 (el "dos" va seguido del "tres"), será 6, y junto a él sumaremos el producto de unos: 3 7 \u003d 21, resulta 621. b) 34 36 \u003d 1224, ya que 3 4 \u003d 12, asignamos 24 al número 12, este es el producto de las unidades de estos números: 4 6.

3) División de números de tres dígitos, que constan de los mismos dígitos, por el número 37. El resultado es igual a la suma de estos dígitos idénticos de un número de tres dígitos (o un número igual a tres veces el dígito de un número de tres dígitos). Ejemplos. a) 222: 37 \u003d 6. Esta es la suma de 2 + 2 + 2 \u003d 6. b) 333: 37 \u003d 9, ya que 3 + 3 + 3 \u003d 9. c) 777: 37 \u003d 21, es decir, 7 + 7 + 7 \u003d 21. d) 888: 37 \u003d 24, ya que 8 + 8 + 8 \u003d 24. También tenemos en cuenta que 888: 24 \u003d 37.

Aprender las habilidades del conteo oral racional hará que su trabajo sea más eficiente. Esto solo es posible con un buen dominio de todas las operaciones aritméticas anteriores. El uso de técnicas de conteo racionales acelera los cálculos y proporciona la precisión requerida.

Conclusión Para desentrañar el principal secreto del tema de mi trabajo, tuve que trabajar duro: buscar, analizar información, interrogar a los compañeros de clase, repetir los primeros métodos conocidos y encontrar muchas formas desconocidas de contar racional y, finalmente, comprender cuál es su secreto Y me di cuenta de que lo principal es conocer y poder aplicar lo conocido, encontrar nuevos métodos racionales de contar, conocer la tabla de multiplicar, la composición del número (clases y categorías), las leyes de las operaciones aritméticas. Además, busque nuevas formas de:

Técnicas para la suma simplificada de números: (método de suma secuencial bit a bit; método de un número redondo; método de descomponer uno de los factores en términos); - Técnicas para la resta simplificada de números (método de resta secuencial bit a bit; método de un número redondo); - Técnicas de multiplicación simplificada de números (multiplicación por uno seguido de ceros; método de multiplicación secuencial bit a bit; método de un número redondo; método de descomposición de uno de los factores; - Secretos del conteo oral rápido (multiplicar un número de dos dígitos por 11: al multiplicar un número de dos dígitos por 11, los dígitos de este número se separan y poner la suma de estos dígitos en el medio; el producto de números de dos dígitos, que tienen el mismo número de decenas, y la suma de unos es 10; División de números de tres dígitos, que constan de los mismos dígitos, por el número 37. Probablemente, hay muchas más formas de este tipo, así que continuaré trabajando sobre este tema el próximo año.

Para concluir, quiero terminar mi discurso con las siguientes palabras:

Gracias a todos por su atención, les deseo éxito !!!