Si la función f(x) tiene en algún intervalo que contiene un punto pero, derivadas de todos los órdenes, entonces se le puede aplicar la fórmula de Taylor:
donde rn- el llamado término residual o el resto de la serie, se puede estimar utilizando la fórmula de Lagrange:
, donde el número x está encerrado entre X Y pero.
Si por algún valor xrn®0 en norte®¥, entonces en el límite la fórmula de Taylor para este valor se convierte en una fórmula convergente Serie Taylor:
Entonces la función f(x) se puede expandir a una serie de Taylor en el punto considerado X, si:
1) tiene derivados de todos los órdenes;
2) la serie construida converge en este punto.
En pero=0 obtenemos una serie llamada cerca de Maclaurin:
Ejemplo 1 f(x)= 2X.
Solución. Encontremos los valores de la función y sus derivadas en X=0
f(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2X ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f¢¢(x) = 2X en 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 logaritmo 2 2= logaritmo 2 2;
f(n)(x) = 2X en norte 2, f(n)( 0) = 2 0 en norte 2=ln norte 2.
Sustituyendo los valores obtenidos de las derivadas en la fórmula de la serie de Taylor, obtenemos:
El radio de convergencia de esta serie es igual a infinito, por lo que esta expansión es válida para -¥<X<+¥.
Ejemplo 2 X+4) para la función f(x)= mi X.
Solución. Encontrar las derivadas de la función e X y sus valores en el punto X=-4.
f(x)= mi X, F(-4) = mi -4 ;
f¢(x)= mi X, f¢(-4) = mi -4 ;
f¢¢(x)= mi X, f¢¢(-4) = mi -4 ;
f(n)(x)= mi X, f(n)( -4) = mi -4 .
Por lo tanto, la serie de Taylor deseada de la función tiene la forma:
Esta descomposición también es válida para -¥<X<+¥.
Ejemplo 3 . Expandir función f(x)=ln X en una serie por grados ( X- 1),
(es decir, en una serie de Taylor en la vecindad del punto X=1).
Solución. Encontramos las derivadas de esta función.
Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos la serie de Taylor deseada:
Con la ayuda de la prueba de d'Alembert, se puede verificar que la serie converge cuando
½ X- 1½<1. Действительно,
La serie converge si ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 obtenemos una serie alterna que satisface las condiciones del test de Leibniz. En X=0 la función no está definida. Así, la región de convergencia de la serie de Taylor es el intervalo semiabierto (0;2).
Presentemos las expansiones así obtenidas en la serie de Maclaurin (es decir, en una vecindad del punto X=0) para algunas funciones elementales:
(2) 
,
(3) 
,
( la última expansión se llama serie binomial)
Ejemplo 4 . Expandir la función en una serie de potencias
Solución. En la descomposición (1), reemplazamos X sobre el - X 2, obtenemos:
Ejemplo 5
. Expande la función en una serie de Maclaurin 
Solución. Tenemos 
Usando la fórmula (4), podemos escribir:
sustituyendo en lugar de X en la fórmula -X, obtenemos:
De aquí encontramos:
Expandiendo los paréntesis, reordenando los términos de la serie y haciendo una reducción de términos similares, obtenemos
Esta serie converge en el intervalo
(-1;1) ya que se deriva de dos series, cada una de las cuales converge en este intervalo.
Comentario .
Las fórmulas (1)-(5) también se pueden usar para expandir las funciones correspondientes en una serie de Taylor, es decir, para la expansión de funciones en potencias enteras positivas ( Decir ah). Para hacer esto, es necesario realizar tales transformaciones idénticas en una función dada para obtener una de las funciones (1) - (5), en la que en lugar de X cuesta k( Decir ah) m , donde k es un número constante, m es un número entero positivo. A menudo es conveniente cambiar la variable t=Decir ah y expanda la función resultante con respecto a t en la serie de Maclaurin.
Este método ilustra el teorema sobre la unicidad de la expansión de una función en una serie de potencias. La esencia de este teorema es que en la vecindad de un mismo punto no se pueden obtener dos series de potencias diferentes que converjan a la misma función, sin importar cómo se realice su desarrollo.
Ejemplo 6 . Expandir la función en una serie de Taylor en una vecindad de un punto X=3.
Solución. Este problema se puede resolver, como antes, usando la definición de la serie de Taylor, para lo cual es necesario encontrar las derivadas de las funciones y sus valores en X=3. Sin embargo, será más fácil usar la descomposición existente (5):
La serie resultante converge en 
o -3<X- 3<3, 0<X< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Ejemplo 7
. Escribe una serie de Taylor en potencias ( X-1) caracteristicas 
.
Solución.
La serie converge en 
, o 2< X£ 5.
"Encuentra la expansión de Maclaurin de f(x)"- así es exactamente como suena la tarea en matemáticas superiores, que algunos estudiantes pueden hacer, mientras que otros no pueden hacer frente a los ejemplos. Hay varias formas de expandir una serie en potencias, aquí daremos un método para expandir funciones en una serie de Maclaurin. Al desarrollar una función en una serie, debe ser bueno para calcular derivadas.
Ejemplo 4.7 Expandir una función en una serie en potencias de x
Cálculos: Realizamos la expansión de la función según la fórmula de Maclaurin. Primero, expandimos el denominador de la función en una serie 
Finalmente, multiplicamos la expansión por el numerador.
El primer término es el valor de la función en cero f (0) = 1/3.
Encuentre las derivadas de las funciones de primer y mayor orden f (x) y el valor de estas derivadas en el punto x=0 
Además, con el patrón de cambiar el valor de las derivadas a 0, escribimos la fórmula para la n-ésima derivada 
Entonces, representamos el denominador como una expansión en la serie de Maclaurin 
Multiplicamos por el numerador y obtenemos la expansión deseada de la función en una serie en potencias de x 
Como puedes ver, no hay nada complicado aquí.
Todos los puntos clave se basan en la capacidad de calcular derivadas y generalizar rápidamente el valor de la derivada de órdenes superiores en cero. Los siguientes ejemplos lo ayudarán a aprender cómo expandir rápidamente una función en una serie.
Ejemplo 4.10 Hallar el desarrollo de Maclaurin de una función
Cálculos: Como habrás adivinado, expandiremos el coseno en el numerador en una serie. Para hacer esto, puede usar fórmulas para valores infinitesimales o puede derivar la expansión del coseno en términos de derivadas. Como resultado, llegamos a la siguiente serie en potencias de x 
Como puede ver, tenemos un mínimo de cálculos y una representación compacta de la expansión en serie.
Ejemplo 4.16 Expandir una función en una serie en potencias de x:
7/(12-x-x^2)
Cálculos: En este tipo de ejemplos, es necesario expandir la fracción mediante la suma de fracciones simples.
Cómo hacer esto, no lo mostraremos ahora, pero con la ayuda de coeficientes indefinidos llegaremos a la suma de ex fracciones.
A continuación, escribimos los denominadores en forma exponencial 
Queda por ampliar los términos utilizando la fórmula de Maclaurin. Sumando los términos con las mismas potencias de "x", componemos la fórmula para el término general de la expansión de la función en una serie 
La última parte de la transición a la serie al principio es difícil de implementar, ya que es difícil combinar las fórmulas para índices apareados y no apareados (potencias), pero con la práctica mejorará en esto.
Ejemplo 4.18 Hallar el desarrollo de Maclaurin de una función
Cálculos: Encuentra la derivada de esta función: 
Expandimos la función en una serie usando una de las fórmulas de McLaren: 
Resumimos la serie término por término sobre la base de que ambos son absolutamente coincidentes. Integrando toda la serie término a término, obtenemos la expansión de la función en una serie en potencias de x 
Entre las dos últimas líneas de descomposición hay una transición que al principio te llevará mucho tiempo. Generalizar una fórmula en serie no es fácil para todos, así que no se preocupe por no poder obtener una fórmula agradable y compacta.
Ejemplo 4.28 Encuentre la expansión de Maclaurin de la función:
Escribimos el logaritmo de la siguiente manera 
Utilizando la fórmula de Maclaurin, desarrollamos el logaritmo de la función en una serie en potencias de x 
El plegado final es a primera vista complicado, pero al alternar personajes, siempre obtendrás algo similar. Se completa la lección introductoria sobre el tema de la programación de funciones en una fila. Otros esquemas de descomposición no menos interesantes se discutirán en detalle en los siguientes materiales.
16.1. Expansión de funciones elementales en series de Taylor y
Maclaurin
Demostremos que si se define una función arbitraria en el conjunto 
, en las proximidades del punto 
tiene muchas derivadas y es la suma de una serie de potencias:
entonces puedes encontrar los coeficientes de esta serie.
Sustituir en una serie de potencias 
. Luego 
.
Encuentre la primera derivada de la función 
:
En 
:
.
Para la segunda derivada obtenemos:
En 
:
.
Continuando con este procedimiento norte una vez que obtengamos: 
.
Por lo tanto, tenemos una serie de potencias de la forma:
,
Lo que es llamado cerca de taylor para la función 
alrededor del punto 
.
Un caso especial de la serie de Taylor es Serie Maclaurin en 
:
El resto de la serie de Taylor (Maclaurin) se obtiene descartando la serie principal norte los primeros términos y se denota como 
. Entonces la función 
se puede escribir como una suma norte los primeros integrantes de la serie 
y el resto 
:,
.
El resto suele ser 
expresado en diferentes fórmulas.
Uno de ellos está en la forma de Lagrange:
, donde 
.
.
Tenga en cuenta que, en la práctica, la serie de Maclaurin se usa con más frecuencia. Así, para escribir la función 
en forma de suma de una serie de potencias, es necesario:
1) encontrar los coeficientes de la serie de Maclaurin (Taylor);
2) encontrar la región de convergencia de la serie de potencias resultante;
3) demostrar que la serie dada converge a la función 
.
Teorema1
(una condición necesaria y suficiente para la convergencia de la serie de Maclaurin). Sea el radio de convergencia de la serie 
. Para que esta serie converja en el intervalo 
funcionar 
, es necesario y suficiente que se cumpla la siguiente condición: 
dentro del intervalo especificado.
Teorema 2. Si las derivadas de cualquier orden de una función 
en algún intervalo 
limitado en valor absoluto al mismo número METRO, es decir 
, entonces en este intervalo la función 
se puede ampliar en una serie de Maclaurin.
Ejemplo1
.
Expandir en una serie de Taylor alrededor del punto 
función.
Solución.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
área de convergencia 
.
Ejemplo2
.
Expandir función 
en una serie de Taylor alrededor de un punto 
.
Solución:
Encontramos el valor de la función y sus derivadas en 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Sustituye estos valores en una fila. Obtenemos:
o 
.
Encontremos la región de convergencia de esta serie. De acuerdo con la prueba de d'Alembert, la serie converge si
.
Por lo tanto, para cualquier 
este límite es menor que 1, y por tanto el área de convergencia de la serie será: 
.
Consideremos varios ejemplos de la expansión en la serie de Maclaurin de funciones elementales básicas. Recordemos que la serie de Maclaurin:
.
converge en el intervalo 
funcionar 
.
Tenga en cuenta que para expandir la función en una serie, es necesario:
a) encontrar los coeficientes de la serie de Maclaurin para una función dada;
b) calcular el radio de convergencia de la serie resultante;
c) probar que la serie resultante converge a la función 
.
Ejemplo 3 Considere la función 
.
Solución.
Calculemos el valor de la función y sus derivadas para 
.
Entonces los coeficientes numéricos de la serie tienen la forma:
para cualquiera norte. Sustituimos los coeficientes encontrados en la serie de Maclaurin y obtenemos: 
Encuentre el radio de convergencia de la serie resultante, a saber:
.
Por lo tanto, la serie converge en el intervalo 
.
Esta serie converge a la función 
para cualquier valor 
, porque en cualquier intervalo 
función 
y sus derivados de valor absoluto están limitados por el número 
.
Ejemplo4
.
Considere la función 
.
Solución.
:
Es fácil ver que las derivadas de orden par 
, y derivadas de orden impar. Sustituimos los coeficientes encontrados en la serie de Maclaurin y obtenemos el desarrollo:
Encontremos el intervalo de convergencia de esta serie. Según d'Alembert:
para cualquiera 
. Por lo tanto, la serie converge en el intervalo 
.
Esta serie converge a la función 
, porque todas sus derivadas se limitan a uno.
Ejemplo5
.
.
Solución.
Encontremos el valor de la función y sus derivadas en 
:
Así, los coeficientes de esta serie: 
Y 
, Como consecuencia:
De manera similar con la serie anterior, el área de convergencia 
. La serie converge a la función 
, porque todas sus derivadas se limitan a uno.
Nótese que la función 
expansión impar y serie en potencias impares, función 
– pares y expansión en serie en potencias pares.
Ejemplo6
.
Serie binomial: 
.
Solución.
Encontremos el valor de la función y sus derivadas en 
:
Esto muestra que:
Sustituimos estos valores de los coeficientes en la serie de Maclaurin y obtenemos el desarrollo de esta función en una serie de potencias:
Encontremos el radio de convergencia de esta serie:
Por lo tanto, la serie converge en el intervalo 
. En los puntos límite de 
Y 
la serie puede o no converger dependiendo del exponente 
.
La serie estudiada converge en el intervalo 
funcionar 
, es decir, la suma de la serie 
en 
.
Ejemplo7
.
Expandamos la función en una serie de Maclaurin 
.
Solución.
Para expandir esta función en una serie, usamos la serie binomial para 
. Obtenemos: 
Con base en la propiedad de la serie de potencias (una serie de potencias se puede integrar en la región de su convergencia), encontramos la integral de las partes izquierda y derecha de esta serie:
Encuentre el área de convergencia de esta serie: 
,
es decir, la región de convergencia de esta serie es el intervalo 
. Determinemos la convergencia de la serie en los extremos del intervalo. En 
. Esta serie es una serie armónica, es decir, diverge. En 
obtenemos una serie numérica con un término común 
.
La serie de Leibniz converge. Por lo tanto, la región de convergencia de esta serie es el intervalo 
.
16.2. Aplicación de series de potencias de potencias en cálculos aproximados
Las series de potencias juegan un papel extremadamente importante en los cálculos aproximados. Con su ayuda, se compilaron tablas de funciones trigonométricas, tablas de logaritmos, tablas de valores de otras funciones que se utilizan en diversos campos del conocimiento, por ejemplo, en teoría de probabilidades y estadística matemática. Además, la expansión de funciones en una serie de potencias es útil para su estudio teórico. El problema principal cuando se utilizan series de potencias en cálculos aproximados es la cuestión de estimar el error al reemplazar la suma de una serie por la suma de su primera norte miembros
Considere dos casos:
la función se expande en una serie alterna;
la función se expande en una serie de signo constante.
Cálculo usando series alternas
Deja que la función 
expandido a una serie de potencia alterna. Luego, al calcular esta función para un valor específico 
obtenemos una serie de números a la que podemos aplicar la prueba de Leibniz. De acuerdo con este criterio, si la suma de una serie se sustituye por la suma de sus primeras norte miembros, entonces el error absoluto no excede el primer término del resto de esta serie, es decir: 
.
Ejemplo8
.
Calcular 
con una precisión de 0.0001.
Solución.
Utilizaremos la serie de Maclaurin para 
, sustituyendo el valor del ángulo en radianes:
Si comparamos el primer y el segundo miembro de la serie con una precisión dada, entonces: .
Tercer término de expansión:
menor que la precisión de cálculo especificada. Por lo tanto, para calcular 
basta con dejar dos términos de la serie, es decir
.
De este modo 
.
Ejemplo9
.
Calcular 
con una precisión de 0.001.
Solución.
Usaremos la fórmula de la serie binomial. Para esto escribimos 
como: 
.
En esta expresión 
,
Comparemos cada uno de los términos de la serie con la precisión que se da. Está claro que 
. Por lo tanto, para calcular 
basta con dejar tres miembros de la serie.
o 
.
Cálculo utilizando series de signo positivo
Ejemplo10
.
Calcular número 
con una precisión de 0.001.
Solución.
En una fila para una función 
sustituir 
. Obtenemos:
Estimemos el error que surge cuando se reemplaza la suma de la serie por la suma de la primera 
miembros Anotemos la desigualdad obvia:
es decir, 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
De acuerdo con la condición del problema, debe encontrar norte tal que se cumple la siguiente desigualdad: 
o 
.
Es fácil comprobar que cuando norte= 6:
.
Como consecuencia, 
.
Ejemplo11
.
Calcular 
con una precisión de 0.0001.
Solución.
Tenga en cuenta que para calcular los logaritmos, se podría aplicar la serie para la función 
, ¡pero esta serie converge muy lentamente y se tendrían que tomar 9999 términos para lograr la precisión dada! Por lo tanto, para calcular logaritmos, por regla general, se utiliza una serie para la función 
, que converge en el intervalo 
.
Calcular 
con esta fila. Permitir 
, luego 
.
Como consecuencia, 
,
Para calcular 
con una precisión dada, tome la suma de los primeros cuatro términos: 
.
El resto de la fila 
descarte. Estimemos el error. Es obvio que 
o 
.
Por lo tanto, en la serie que se utilizó para el cálculo, fue suficiente tomar solo los primeros cuatro términos en lugar de 9999 en la serie para la función 
.
Preguntas para el autodiagnóstico
1. ¿Qué es una serie de Taylor?
2. ¿Qué tipo de series tenía Maclaurin?
3. Formular un teorema sobre el desarrollo de una función en serie de Taylor.
4. Escribir el desarrollo en serie de Maclaurin de las funciones principales.
5. Indicar las áreas de convergencia de la serie considerada.
6. ¿Cómo estimar el error en cálculos aproximados utilizando series de potencias?
¿Cómo insertar fórmulas matemáticas en el sitio?
Si alguna vez necesita agregar una o dos fórmulas matemáticas a una página web, entonces la forma más fácil de hacerlo es como se describe en el artículo: las fórmulas matemáticas se insertan fácilmente en el sitio en forma de imágenes que Wolfram Alpha genera automáticamente. Además de la simplicidad, este método universal ayudará a mejorar la visibilidad del sitio en los motores de búsqueda. Ha estado funcionando durante mucho tiempo (y creo que funcionará para siempre), pero está moralmente desactualizado.
Si, por otro lado, usa constantemente fórmulas matemáticas en su sitio, entonces le recomiendo que use MathJax, una biblioteca especial de JavaScript que muestra la notación matemática en los navegadores web usando el marcado MathML, LaTeX o ASCIIMathML.
Hay dos formas de comenzar a usar MathJax: (1) usando un código simple, puede conectar rápidamente un script de MathJax a su sitio, que se cargará automáticamente desde un servidor remoto en el momento adecuado (lista de servidores); (2) cargue el script MathJax desde un servidor remoto a su servidor y conéctelo a todas las páginas de su sitio. El segundo método es más complicado y requiere más tiempo y le permitirá acelerar la carga de las páginas de su sitio, y si el servidor MathJax principal deja de estar disponible temporalmente por algún motivo, esto no afectará a su propio sitio de ninguna manera. A pesar de estas ventajas, elegí el primer método, ya que es más simple, más rápido y no requiere habilidades técnicas. Siga mi ejemplo y en 5 minutos podrá utilizar todas las funciones de MathJax en su sitio.
Puede conectar el script de la biblioteca MathJax desde un servidor remoto usando dos opciones de código tomadas del sitio web principal de MathJax o de la página de documentación:
Una de estas opciones de código debe copiarse y pegarse en el código de su página web, preferiblemente entre etiquetas.
Y o justo después de la etiqueta . Según la primera opción, MathJax carga más rápido y ralentiza menos la página. Pero la segunda opción rastrea y carga automáticamente las últimas versiones de MathJax. Si inserta el primer código, deberá actualizarlo periódicamente. Si pega el segundo código, las páginas se cargarán más lentamente, pero no necesitará monitorear constantemente las actualizaciones de MathJax.La forma más fácil de conectar MathJax es en Blogger o WordPress: en el panel de control del sitio, agregue un widget diseñado para insertar código JavaScript de terceros, copie la primera o segunda versión del código de carga presentado arriba y coloque el widget más cerca. al principio de la plantilla (por cierto, esto no es del todo necesario, ya que el script MathJax se carga de forma asíncrona). Eso es todo. Ahora aprenda la sintaxis de marcado de MathML, LaTeX y ASCIIMathML y estará listo para incorporar fórmulas matemáticas en sus páginas web.
Cualquier fractal se construye de acuerdo con una determinada regla, que se aplica consistentemente un número ilimitado de veces. Cada uno de esos tiempos se denomina iteración.
El algoritmo iterativo para construir una esponja de Menger es bastante simple: el cubo original de lado 1 se divide por planos paralelos a sus caras en 27 cubos iguales. Se eliminan un cubo central y 6 cubos adyacentes a lo largo de las caras. Resulta un conjunto que consta de 20 cubos más pequeños restantes. Haciendo lo mismo con cada uno de estos cubos, obtenemos un conjunto formado por 400 cubos más pequeños. Continuando este proceso indefinidamente, obtenemos la esponja Menger.