Método de espaciado- una forma sencilla de resolver desigualdades racionales fraccionarias. Este es el nombre de las desigualdades que contienen expresiones racionales (o fraccional-racional) que dependen de una variable.

1. Considere, por ejemplo, tal desigualdad

El método de intervalo te permite resolverlo en un par de minutos.

En el lado izquierdo de esta desigualdad hay una función racional fraccionaria. Racional, porque no contiene raíces, senos ni logaritmos, solo expresiones racionales. A la derecha hay cero.

El método de intervalo se basa en la siguiente propiedad de una función racional fraccionaria.

Una función racional fraccionaria puede cambiar de signo solo en aquellos puntos en los que es igual a cero o no existe.

Recordemos cómo el trinomio cuadrado se descompone en factores, es decir, una expresión de la forma.

Donde y son las raíces de la ecuación cuadrática.

Dibuja el eje y coloca los puntos en los que desaparecen el numerador y el denominador.

Los ceros del denominador y son puntos pinchados, ya que en estos puntos la función en el lado izquierdo de la desigualdad no está definida (no se puede dividir por cero). Los ceros del numerador y - se rellenan, ya que la desigualdad no es estricta. Para y, nuestra desigualdad se satisface, ya que ambos lados son iguales a cero.

Estos puntos dividen el eje en intervalos.

Definamos el signo de la función racional fraccional en el lado izquierdo de nuestra desigualdad en cada uno de estos intervalos. Recordamos que una función racional fraccionaria puede cambiar de signo solo en aquellos puntos en los que es igual a cero o no existe. Esto significa que en cada uno de los intervalos entre los puntos donde el numerador o denominador desaparece, el signo de la expresión en el lado izquierdo de la desigualdad será constante, ya sea "más" o "menos".

Y por lo tanto, para determinar el signo de la función en cada intervalo, tomamos cualquier punto que pertenezca a este intervalo. El que nos conviene.
... Tomemos, por ejemplo, y verifiquemos el signo de la expresión en el lado izquierdo de la desigualdad. Cada uno de los "corchetes" es negativo. El lado izquierdo tiene un cartel.

Próximo lapso :. Revisemos el letrero. Conseguimos que el lado izquierdo haya cambiado la señal a.

Echemos. Cuando la expresión es positiva, por tanto, es positiva en todo el intervalo de a.

Porque, el lado izquierdo de la desigualdad es negativo.

Finalmente, class = "tex" alt = "(! LANG: x> 7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Encontramos a qué intervalos la expresión es positiva. Queda por anotar la respuesta:

Respuesta: .

Tenga en cuenta que los caracteres en los espacios se alternan. Esto sucedió porque al pasar por cada punto, exactamente uno de los factores lineales cambió de signo, y el resto lo mantuvo sin cambios.

Podemos ver que el método de espaciado es muy simple. Para resolver la desigualdad fraccional-racional por el método de intervalo, lo llevamos a la forma:

O clase = "tex" alt = "(! IDIOMA: \ genfrac () () () (0) (\ displaystyle P \ left (x \ right)) (\ displaystyle Q \ left (x \ right))> 0"> !}, o o .

(a la izquierda, una función racional fraccionaria, a la derecha, cero).

Luego, marcamos en la recta numérica los puntos en los que el numerador o denominador desaparece.
Estos puntos dividen toda la recta numérica en intervalos, en cada uno de los cuales la función racional fraccionaria conserva su signo.
Solo queda descubrir su signo en cada intervalo.
Hacemos esto comprobando el signo de la expresión en cualquier punto que pertenezca al intervalo dado. Después de eso, escribimos la respuesta. Eso es todo.

Pero surge la pregunta: ¿los signos siempre se alternan? ¡No, no siempre! Hay que tener cuidado de no colocar letreros de forma mecánica y sin pensar.

2. Consideremos una desigualdad más.

Clase = "tex" alt = "(! IDIOMA: \ genfrac () () () (0) (\ displaystyle \ left (x-2 \ right) ^ 2) (\ displaystyle \ left (x-1 \ right) \ left (x-3 \ right))> 0"> !}

Vuelva a colocar los puntos en el eje. Los puntos y están perforados porque son los ceros del denominador. El punto también está pinchado, ya que la desigualdad es estricta.

Cuando el numerador es positivo, ambos factores del denominador son negativos. Es fácil de verificar tomando cualquier número del intervalo dado, por ejemplo ,. El lado izquierdo tiene un cartel:

Cuando el numerador es positivo; el primer factor en el denominador es positivo, el segundo factor es negativo. El lado izquierdo tiene un cartel:

¡La situación es la misma! El numerador es positivo, el primer factor en el denominador es positivo, el segundo es negativo. El lado izquierdo tiene un cartel:

Finalmente, con class = "tex" alt = "(! LANG: x> 3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Respuesta: .

¿Por qué se rompió la alternancia de signos? Porque al pasar por el punto, el factor "responsable" del mismo no cambió de signo... En consecuencia, todo el lado izquierdo de nuestra desigualdad tampoco ha cambiado de signo.

Conclusión: si el factor lineal está en una potencia par (por ejemplo, en un cuadrado), entonces al pasar por un punto, el signo de la expresión en el lado izquierdo no cambia... En el caso de un grado impar, el signo, por supuesto, cambia.

3. Consideremos un caso más complicado. Se diferencia del anterior en que la desigualdad no es estricta:

El lado izquierdo es el mismo que en la tarea anterior. La imagen de las señales será la misma:

¿Quizás la respuesta sea la misma? ¡No! Se suma una solución. Esto sucede porque tanto el lado izquierdo como el derecho de la desigualdad son iguales a cero; por lo tanto, este punto es una solución.

Respuesta: .

En el problema del examen de matemáticas, a menudo se encuentra esta situación. Aquí es donde los solicitantes caen en la trampa y pierden puntos. ¡Ten cuidado!

4. ¿Qué pasa si el numerador o denominador no se puede linealizar? Considere esta desigualdad:

El trinomio cuadrado no se puede factorizar: el discriminante es negativo, no hay raíces. ¡Pero esto es bueno! Esto significa que el signo de la expresión es el mismo para todos y, en concreto, es positivo. Puede leer más sobre esto en el artículo sobre las propiedades de una función cuadrática.

Y ahora podemos dividir ambos lados de nuestra desigualdad por un valor que sea positivo para todos. Lleguemos a una desigualdad equivalente:

Que se resuelve fácilmente mediante el método de intervalos.

Tenga en cuenta que dividimos ambos lados de la desigualdad por la cantidad que sabíamos con certeza que era positiva. Por supuesto, en el caso general, no vale la pena multiplicar o dividir la desigualdad por una variable cuyo signo se desconoce.

5 ... Considere otra desigualdad, aparentemente bastante simple:

Solo quiero multiplicarlo por. Pero ya somos inteligentes y no lo haremos. Después de todo, puede ser tanto positivo como negativo. Y sabemos que si ambos lados de la desigualdad se multiplican por un valor negativo, el signo de desigualdad cambia.

Lo haremos de manera diferente: recopilaremos todo en una parte y lo llevaremos a un denominador común. Zero permanecerá en el lado derecho:

Clase = "tex" alt = "(! IDIOMA: \ genfrac () () () (0) (\ displaystyle x-2) (\ displaystyle x)> 0"> !}

Y después de eso, aplicaremos método de intervalo.

Y hoy, las desigualdades racionales no pueden resolverlo todo. Más precisamente, no solo todos pueden decidir. Pocos pueden hacer esto.
Klitschko

Esta lección va a ser dura. Tan difícil que solo los Elegidos llegarán al final. Por eso, antes de empezar a leer, recomiendo sacar mujeres, gatos, niños embarazadas y ...

Vamos, en realidad es simple. Suponga que domina el método de los intervalos (si no lo domina, le recomiendo que vuelva atrás y lea) y que aprendió a resolver desigualdades de la forma $ P \ left (x \ right) \ gt 0 $, donde $ P \ left (x \ right) $ es un polinomio o producto de polinomios.

Creo que no te será difícil resolver, por ejemplo, este tipo de juegos (por cierto, pruébalo para el calentamiento):

\ [\ begin (align) & \ left (2 ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ right) \ left (4x + 25 \ right) \ gt 0; \\ & x \ left (2 ((x) ^ (2)) - 3x-20 \ right) \ left (x-1 \ right) \ ge 0; \\ & \ left (8x - ((x) ^ (4)) \ right) ((\ left (x-5 \ right)) ^ (6)) \ le 0. \\ \ end (align) \]

Ahora compliquemos un poco la tarea y consideremos no solo los polinomios, sino las llamadas fracciones racionales de la forma:

donde $ P \ left (x \ right) $ y $ Q \ left (x \ right) $ son todos los mismos polinomios de la forma $ ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (0)) $, o el producto de tales polinomios.

Esta será una desigualdad racional. El punto fundamental es la presencia de la variable $ x $ en el denominador. Por ejemplo, estas son desigualdades racionales:

\ [\ begin (align) & \ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0; \\ & \ frac (\ left (7x + 1 \ right) \ left (11x + 2 \ right)) (13x-4) \ ge 0; \\ & \ frac (3 ((x) ^ (2)) + 10x + 3) (((\ left (3-x \ right)) ^ (2)) \ left (4 - ((x) ^ ( 2)) \ right)) \ ge 0. \\ \ end (align) \]

Y esta no es una desigualdad racional, sino la más común, que se resuelve mediante el método de intervalos:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 9) (5) \ ge 0 \]

De cara al futuro, diré de inmediato: hay al menos dos formas de resolver desigualdades racionales, pero todas de alguna manera se reducen al método de intervalos que ya conocemos. Por lo tanto, antes de examinar estos métodos, recordemos los hechos antiguos; de lo contrario, el nuevo material no tendrá sentido.

Lo que necesitas saber ya

No hay muchos hechos importantes. Realmente solo necesitamos cuatro.

Fórmulas de multiplicación abreviadas

Sí, sí: nos perseguirán a lo largo del plan de estudios de matemáticas de la escuela. Y en la universidad también. Hay bastantes de estas fórmulas, pero solo necesitamos lo siguiente:

\ [\ begin (align) & ((a) ^ (2)) \ pm 2ab + ((b) ^ (2)) = ((\ left (a \ pm b \ right)) ^ (2)); \\ & ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ left (a-b \ right) \ left (a + b \ right); \\ & ((a) ^ (3)) + ((b) ^ (3)) = \ left (a + b \ right) \ left (((a) ^ (2)) - ab + ((b ) ^ (2)) \ derecha); \\ & ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) = \ left (ab \ right) \ left (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ (2)) \ derecha). \\ \ end (alinear) \]

Preste atención a las dos últimas fórmulas: estas son la suma y la diferencia de los cubos (¡no el cubo de suma o diferencia!). Son fáciles de recordar si observa que el signo del primer paréntesis coincide con el signo de la expresión original y, en el segundo, es el opuesto del signo de la expresión original.

Ecuaciones lineales

Estas son las ecuaciones más simples de la forma $ ax + b = 0 $, donde $ a $ y $ b $ son números ordinarios, con $ a \ ne 0 $. Esta ecuación se puede resolver simplemente:

\ [\ begin (align) & ax + b = 0; \\ & ax = -b; \\ & x = - \ frac (b) (a). \\ \ end (alinear) \]

Tenga en cuenta que tenemos derecho a dividir por el coeficiente $ a $, porque $ a \ ne 0 $. Este requisito es bastante lógico, ya que para $ a = 0 $ obtenemos esto:

Primero, no hay una variable $ x $ en esta ecuación. En términos generales, esto no debería confundirnos (esto sucede, digamos, en geometría, y con bastante frecuencia), pero sin embargo ya no estamos ante una ecuación lineal.

En segundo lugar, la solución de esta ecuación depende únicamente del coeficiente $ b $. Si $ b $ también es cero, entonces nuestra ecuación tiene la forma $ 0 = 0 $. Esta igualdad es siempre cierta; por tanto, $ x $ es cualquier número (normalmente se escribe así: $ x \ in \ mathbb (R) $). Si el coeficiente $ b $ no es igual a cero, entonces la igualdad $ b = 0 $ nunca se satisface, es decir no hay respuestas (escriba $ x \ en \ varnothing $ y lea "el conjunto de soluciones está vacío").

Para evitar todas estas complicaciones, simplemente asumimos $ a \ ne 0 $, lo que de ninguna manera limita nuestro pensamiento adicional.

Ecuaciones cuadráticas

Permítanme recordarles que esto se llama ecuación cuadrática:

Aquí a la izquierda hay un polinomio de segundo grado, y nuevamente $ a \ ne 0 $ (de lo contrario, en lugar de una ecuación cuadrática, obtenemos una lineal). Las siguientes ecuaciones se resuelven mediante el discriminante:

1. Si $ D \ gt 0 $, obtenemos dos raíces diferentes;
2. Si $ D = 0 $, entonces habrá una raíz, pero de la segunda multiplicidad (qué es esta multiplicidad y cómo tomarla en cuenta - más sobre esto más adelante). O podemos decir que la ecuación tiene dos raíces idénticas;
3. Para $ D \ lt 0 $, no hay raíces en absoluto, y el signo del polinomio $ a ((x) ^ (2)) + bx + c $ para cualquier $ x $ coincide con el signo del coeficiente $ un $. Por cierto, este es un hecho muy útil, del que por alguna razón se olvidan de hablar en las lecciones de álgebra.

Las raíces en sí mismas se consideran de acuerdo con la fórmula conocida:

\ [((x) _ (1,2)) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \]

De ahí, por cierto, y las restricciones al discriminante. Después de todo, la raíz cuadrada de un número negativo no existe. En cuanto a las raíces, muchos estudiantes tienen un lío terrible en la cabeza, así que escribí especialmente una lección completa: qué es una raíz en álgebra y cómo contarla; recomiendo leerla. :)

Acciones con fracciones racionales

Todo lo que se escribió arriba, ya lo sabes si estudiaste el método de los intervalos. Pero lo que analizaremos ahora no tiene análogos en el pasado; este es un hecho completamente nuevo.

Definición. Una fracción racional es una expresión como

\ [\ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \]

donde $ P \ left (x \ right) $ y $ Q \ left (x \ right) $ son polinomios.

Obviamente, es fácil obtener una desigualdad a partir de dicha fracción; basta con asignar el signo "más" o "menos" a la derecha. Y un poco más adelante descubriremos que es un placer solucionar este tipo de problemas, ahí todo es muy sencillo.

Los problemas comienzan cuando hay varias fracciones de este tipo en una expresión. Hay que reducirlos a un denominador común, y es en este momento cuando se cometen una gran cantidad de errores ofensivos.

Por lo tanto, para resolver con éxito ecuaciones racionales, debe dominar firmemente dos habilidades:

1. Factorizando el polinomio $ P \ left (x \ right) $;
2. En realidad, la reducción de fracciones a un denominador común.

¿Cómo factorizar un polinomio? Muy simple. Supongamos que tenemos un polinomio de la forma

Lo equiparamos a cero. Obtenemos la ecuación del $ n $ -ésimo grado:

\ [((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + (( a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = 0 \]

Digamos que resolvimos esta ecuación y obtuvimos las raíces $ ((x) _ (1)), \ ..., \ ((x) _ (n)) $ (no te alarmes: en la mayoría de los casos habrá no más de dos de estas raíces) ... En este caso, nuestro polinomio original se puede reescribir de la siguiente manera:

\ [\ begin (align) & P \ left (x \ right) = ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x ) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = \\ & = ((a) _ (n)) \ left ( x - ((x) _ (1)) \ right) \ cdot \ left (x - ((x) _ (2)) \ right) \ cdot ... \ cdot \ left (x - ((x) _ (n)) \ derecha) \ end (align) \]

¡Eso es todo! Tenga en cuenta: el coeficiente principal $ ((a) _ (n)) $ no ha desaparecido en ninguna parte; será un factor separado delante de los corchetes y, si es necesario, se puede insertar en cualquiera de estos corchetes (la práctica muestra que con $ ((a) _ (n)) \ ne \ pm 1 $ casi siempre hay fracciones entre las raíces).

Tarea. Simplifica la expresión:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) + x-20) (x-4) - \ frac (2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3) (2x-3) - \ frac (4-8x-5 ((x) ^ (2))) (x + 2) \]

Solución. Primero, veamos los denominadores: todos son binomios lineales y no hay nada para factorizar. Así que factoricemos los numeradores:

\ [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + x-20 = \ left (x + 5 \ right) \ left (x-4 \ right); \\ & 2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3 = 2 \ left (x- \ frac (3) (2) \ right) \ left (x-1 \ right) = \ left (2x- 3 \ derecha) \ izquierda (x-1 \ derecha); \\ & 4-8x-5 ((x) ^ (2)) = - 5 \ left (x + 2 \ right) \ left (x- \ frac (2) (5) \ right) = \ left (x +2 \ derecha) \ izquierda (2-5x \ derecha). \\\ end (alinear) \]

Preste atención: en el segundo polinomio, el coeficiente principal "2", en total conformidad con nuestro esquema, apareció primero delante del corchete y luego se introdujo en el primer corchete, ya que la fracción salió.

Lo mismo sucedió en el tercer polinomio, solo que allí también se confunde el orden de los términos. Sin embargo, el coeficiente "−5" terminó en el segundo paréntesis (recuerde: ¡puede ingresar el factor en uno y solo un paréntesis!), Lo que nos salvó del inconveniente asociado con las raíces fraccionarias.

En cuanto al primer polinomio, todo es simple allí: sus raíces se buscan de la manera estándar a través del discriminante o por el teorema de Vieta.

Volvamos a la expresión original y reescribamos con los numeradores factorizados:

\ [\ begin (matriz) \ frac (\ left (x + 5 \ right) \ left (x-4 \ right)) (x-4) - \ frac (\ left (2x-3 \ right) \ left ( x-1 \ right)) (2x-3) - \ frac (\ left (x + 2 \ right) \ left (2-5x \ right)) (x + 2) = \\ = \ left (x + 5 \ derecha) - \ izquierda (x-1 \ derecha) - \ izquierda (2-5x \ derecha) = \\ = x + 5-x + 1-2 + 5x = \\ = 5x + 4. \\ \ end (matriz) \]

Respuesta: $ 5x + $ 4.

Como ves, nada complicado. Un poco de matemáticas en los grados 7-8, eso es todo. El objetivo de todas las transformaciones es obtener algo simple de una expresión compleja y aterradora con la que sea fácil trabajar.

Sin embargo, este no siempre será el caso. Por tanto, ahora consideraremos un problema más grave.

Pero primero, descubramos cómo llevar dos fracciones a un denominador común. El algoritmo es extremadamente simple:

1. Factoriza ambos denominadores;
2. Considere el primer denominador y agréguele los factores que están en el segundo denominador, pero no en el primero. El producto resultante será el denominador común;
3. Averigüe qué factores faltan para cada una de las fracciones originales para que los denominadores sean iguales al general.

Quizás este algoritmo te parezca simplemente un texto en el que hay "muchas letras". Por tanto, analizaremos todo con un ejemplo concreto.

Tarea. Simplifica la expresión:

\ [\ left (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ right) \ cdot \ left (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) \ derecha) \]

Solución. Es mejor resolver problemas tan grandes en partes. Escribamos lo que está en el primer paréntesis:

\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 ) - \ frac (1) (x-2) \]

A diferencia del problema anterior, aquí no todo es tan sencillo con los denominadores. Factoricemos cada uno de ellos.

El trinomio cuadrático $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 $ no se puede factorizar, ya que la ecuación $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 = 0 $ no tiene raíces (el discriminante es negativo ). Lo dejamos sin cambios.

El segundo denominador - el polinomio cúbico $ ((x) ^ (3)) - 8 $ - tras un examen detenido es la diferencia de cubos y se puede descomponer fácilmente de acuerdo con las fórmulas de multiplicación abreviadas:

\ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right) \]

Nada más se puede factorizar, ya que en el primer paréntesis hay un binomio lineal, y en el segundo hay una construcción que ya nos es familiar, que no tiene raíces reales.

Finalmente, el tercer denominador es un binomio lineal que no se puede descomponer. Por lo tanto, nuestra ecuación tomará la forma:

\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) - \ frac (1) (x-2) \]

Es bastante obvio que el denominador común será exactamente $ \ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right) $, y para reducir todas las fracciones a él, necesitas multiplicar la primera fracción por $ \ left (x-2 \ right) $, y la última por $ \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right) $. Entonces solo queda dar lo siguiente:

\ [\ begin (matriz) \ frac (x \ cdot \ left (x-2 \ right)) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ derecha)) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) - \ frac (1 \ cdot \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x +4 \ right)) = \\ = \ frac (x \ cdot \ left (x-2 \ right) + \ left (((x) ^ (2)) + 8 \ right) - \ left (((x ) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ left (x-2 \ right) \ izquierda (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)). \\ \ end (matriz) \]

Preste atención a la segunda línea: cuando el denominador ya es común, es decir en lugar de tres fracciones separadas, escribimos una grande, no debes deshacerte inmediatamente de los paréntesis. Es mejor escribir una línea adicional y tener en cuenta que, digamos, había un signo menos delante de la tercera fracción, y no irá a ninguna parte, pero "colgará" en el numerador delante del paréntesis. Esto le evitará muchos errores.

Bueno, en la última línea, es útil factorizar el numerador. Además, este es un cuadrado exacto, y las fórmulas de multiplicación abreviadas vienen en nuestra ayuda nuevamente. Tenemos:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) = \ frac (((\ left (x-2 \ right)) ^ (2))) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right) ) = \ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

Ahora tratemos con el segundo corchete de la misma manera. Aquí solo escribiré una cadena de igualdad:

\ [\ begin (matriz) \ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) = \ frac ((( x) ^ (2))) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)) - \ frac (2) (2-x) = \\ = \ frac (((x) ^ (2))) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)) + \ frac (2) (x-2) = \\ = \ frac (((x) ^ ( 2))) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)) + \ frac (2 \ cdot \ left (x + 2 \ right)) (\ left (x-2 \ right ) \ cdot \ left (x + 2 \ right)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) + 2 \ cdot \ left (x + 2 \ right)) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right) ). \\ \ end (matriz) \]

Volvemos al problema original y miramos el producto:

\ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ left (x-2) \ right) \ left (x + 2 \ right)) = \ frac (1) (x + 2) \]

Respuesta: \ [\ frac (1) (x + 2) \].

El significado de esta tarea es el mismo que el de la anterior: mostrar cuánto se pueden simplificar las expresiones racionales si se aborda sabiamente su transformación.

Y ahora que sabe todo esto, pasemos al tema principal de la lección de hoy: resolver desigualdades racionales fraccionarias. Además, después de tal preparación, las propias desigualdades se agrietarán como nueces. :)

La principal forma de resolver desigualdades racionales.

Hay al menos dos enfoques para resolver desigualdades racionales. Ahora consideraremos uno de ellos, el que generalmente se acepta en el curso de matemáticas de la escuela.

Pero primero, observemos un detalle importante. Todas las desigualdades se dividen en dos tipos:

1. Estricto: $ f \ left (x \ right) \ gt 0 $ o $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $;
2. Laxa: $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ o $ f \ left (x \ right) \ le 0 $.

Las desigualdades del segundo tipo se pueden reducir fácilmente al primero, así como a la ecuación:

Esta pequeña "adición" $ f \ left (x \ right) = 0 $ conduce a una cosa tan desagradable como los puntos rellenos; los conocimos en el método de espaciado. De lo contrario, no hay diferencias entre desigualdades estrictas y no estrictas, así que analicemos el algoritmo universal:

1. Reúna todos los elementos distintos de cero en un lado del signo de desigualdad. Por ejemplo, a la izquierda;
2. Lleva todas las fracciones a un denominador común (si hay varias de esas fracciones), trae otras similares. Luego, si es posible, factorícelo en el numerador y denominador. De una forma u otra, obtenemos una desigualdad de la forma $ \ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \ vee 0 $, donde la marca de verificación es el signo de desigualdad.
3. Establezca el numerador en cero: $ P \ left (x \ right) = 0 $. Resolvemos esta ecuación y obtenemos las raíces $ ((x) _ (1)) $, $ ((x) _ (2)) $, $ ((x) _ (3)) $, ... Entonces requerimos que el denominador no era igual a cero: $ Q \ left (x \ right) \ ne 0 $. Por supuesto, de hecho, tenemos que resolver la ecuación $ Q \ left (x \ right) = 0 $, y obtenemos las raíces $ x_ (1) ^ (*) $, $ x_ (2) ^ (*) $, $ x_ (3) ^ (*) $, ... (en problemas reales difícilmente habrá más de tres raíces de este tipo).
4. Marcamos todas estas raíces (con y sin asteriscos) en una sola recta numérica, y las raíces sin estrellas se pintan encima y con estrellas se arrancan.
5. Colocamos los signos más y menos, elegimos los intervalos que necesitamos. Si la desigualdad se parece a $ f \ left (x \ right) \ gt 0 $, entonces la respuesta serán los intervalos marcados con "más". Si $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $, entonces observe los intervalos con "menos".

La práctica muestra que las mayores dificultades son causadas por los puntos 2 y 4: transformaciones competentes y la correcta disposición de los números en orden ascendente. Bueno, y en el último paso, tenga mucho cuidado: siempre colocamos carteles, confiando en la desigualdad más reciente escrita antes de ir a las ecuaciones... Esta es una regla universal heredada del método de espaciado.

Entonces, el esquema está ahí. Vamos a practicar.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\ [\ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0 \]

Solución. Tenemos ante nosotros una desigualdad estricta de la forma $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $. Obviamente, los puntos 1 y 2 de nuestro esquema ya se han completado: todos los elementos de desigualdad se recopilan a la izquierda, no es necesario llevar nada a un denominador común. Por tanto, vamos directamente al tercer punto.

Establezca el numerador en cero:

\ [\ begin (align) & x-3 = 0; \\ & x = 3. \ end (alinear) \]

Y el denominador:

\ [\ begin (align) & x + 7 = 0; \\ & ((x) ^ (*)) = - 7. \\ \ end (alinear) \]

Mucha gente se queda en este lugar, porque en teoría necesitas escribir $ x + 7 \ ne 0 $, como lo requiere la ODZ (no puedes dividir por cero, eso es todo). Pero después de todo, en el futuro sacaremos los puntos que provienen del denominador, por lo que no necesita complicar sus cálculos una vez más: escriba un signo igual en todas partes y no se preocupe. Nadie bajará los puntos por esto. :)

Cuarto punto. Marcamos las raíces resultantes en la recta numérica:

Todos los puntos están pinchados porque la desigualdad es estricta.

Nota: todos los puntos están perforados, ya que la desigualdad original es estricta... Y aquí no importa si estos puntos provienen del numerador o del denominador.

Bueno, miramos las señales. Toma cualquier número $ ((x) _ (0)) \ gt 3 $. Por ejemplo, $ ((x) _ (0)) = 100 $ (pero también podrías haber tomado $ ((x) _ (0)) = 3,1 $ o $ ((x) _ (0) ) = 1 \ 000 \ 000 $). Obtenemos:

Entonces, a la derecha de todas las raíces, tenemos un área positiva. Y al pasar por cada raíz, el signo cambia (no siempre será así, pero hablaremos de eso más adelante). Por tanto, pasamos al quinto punto: ordena los carteles y elige el que necesites:

Regresamos a la última desigualdad, que estaba antes de la solución de las ecuaciones. De hecho, coincide con el original, porque no realizamos ninguna transformación en esta tarea.

Como se requiere resolver una desigualdad de la forma $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $, sombreé el intervalo $ x \ in \ left (-7; 3 \ right) $ - es el único marcado con un signo menos. Esta es la respuesta.

Respuesta: $ x \ in \ left (-7; 3 \ right) $

¡Eso es todo! ¿Es difícil? No, no es difícil. Cierto, y la tarea fue fácil. Ahora compliquemos un poco la misión y consideremos una desigualdad más "elegante". Al resolverlo, ya no daré cálculos tan detallados, solo describiré los puntos clave. En general, lo organizaremos de la misma manera que se haría en un trabajo o examen independiente. :)

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\ [\ frac (\ left (7x + 1 \ right) \ left (11x + 2 \ right)) (13x-4) \ ge 0 \]

Solución. Esta es una desigualdad flexible de la forma $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $. Todos los elementos distintos de cero se recopilan a la izquierda, no hay denominadores diferentes. Pasemos a las ecuaciones.

Numerador:

\ [\ begin (align) & \ left (7x + 1 \ right) \ left (11x + 2 \ right) = 0 \\ & 7x + 1 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7); \\ & 11x + 2 = 0 \ Flecha derecha ((x) _ (2)) = - \ frac (2) (11). \\ \ end (alinear) \]

Denominador:

\ [\ begin (align) & 13x-4 = 0; \\ & 13x = 4; \\ & ((x) ^ (*)) = \ frac (4) (13). \\ \ end (alinear) \]

No sé qué tipo de pervertido era este problema, pero las raíces no funcionaron muy bien: sería difícil ubicarlas en la recta numérica. Y si con la raíz $ ((x) ^ (*)) = (4) / (13) \; $ todo está más o menos claro (este es el único número positivo, estará a la derecha), entonces $ ((x) _ (1)) = - (1) / (7) \; $ y $ ((x) _ (2)) = - (2) / (11) \; $ requieren investigación adicional: cuál ¿es más grande?

Puede averiguarlo, por ejemplo, así:

\ [((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7) = - \ frac (2) (14) \ gt - \ frac (2) (11) = ((x) _ (2 )) \]

Espero que no sea necesario explicar por qué la fracción numérica $ - (2) / (14) \; \ gt - (2) / (11) \; $? Si es necesario, recomiendo recordar cómo realizar acciones con fracciones.

Y marcamos las tres raíces en la recta numérica:

Los puntos del numerador se llenan, del denominador - sacados

Colocamos carteles. Por ejemplo, puede tomar $ ((x) _ (0)) = 1 $ y encontrar el signo en este punto:

\ [\ begin (align) & f \ left (x \ right) = \ frac (\ left (7x + 1 \ right) \ left (11x + 2 \ right)) (13x-4); \\ & f \ left (1 \ right) = \ frac (\ left (7 \ cdot 1 + 1 \ right) \ left (11 \ cdot 1 + 2 \ right)) (13 \ cdot 1-4) = \ frac (8 \ cdot 13) (9) \ gt 0. \\\ end (align) \]

La última desigualdad antes de las ecuaciones era $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $, por lo que estamos interesados ​​en el signo más.

Tenemos dos conjuntos: uno es un segmento ordinario y el otro es un rayo abierto en la recta numérica.

Respuesta: $ x \ in \ left [- \ frac (2) (11); - \ frac (1) (7) \ right] \ bigcup \ left (\ frac (4) (13); + \ infty \ right PS

Una nota importante sobre los números que sustituimos por el signo en el intervalo más a la derecha. No es necesario sustituir un número cercano a la raíz más a la derecha. Puede tomar miles de millones o incluso "más-infinito"; en este caso, el signo del polinomio entre paréntesis, numerador o denominador está determinado exclusivamente por el signo del coeficiente principal.

Echemos otro vistazo a la función $ f \ left (x \ right) $ de la última desigualdad:

Hay tres polinomios en su registro:

\ [\ begin (align) & ((P) _ (1)) \ left (x \ right) = 7x + 1; \\ & ((P) _ (2)) \ izquierda (x \ derecha) = 11x + 2; \\ & Q \ left (x \ right) = 13x-4. \ end (alinear) \]

Todos ellos son binomios lineales y todos los coeficientes principales (números 7, 11 y 13) son positivos. Por lo tanto, al sustituir números muy grandes, los polinomios en sí también serán positivos. :)

Esta regla puede parecer demasiado complicada, pero solo al principio, cuando analizamos problemas muy fáciles. En desigualdades graves, la sustitución más-infinito nos permitirá descubrir los signos mucho más rápido que el estándar $ ((x) _ (0)) = 100 $.

Enfrentaremos esos desafíos muy pronto. Pero primero, veamos una forma alternativa de resolver desigualdades racionales fraccionarias.

Forma alternativa

Esta técnica me la sugirió uno de mis alumnos. Yo mismo nunca lo he usado, pero la práctica ha demostrado que muchos estudiantes son realmente más convenientes para resolver desigualdades de esta manera.

Entonces, los datos iniciales son los mismos. Es necesario resolver la desigualdad fraccional-racional:

\ [\ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \ gt 0 \]

Pensemos: ¿cómo es el polinomio $ Q \ left (x \ right) $ "peor" que el polinomio $ P \ left (x \ right) $? ¿Por qué tenemos que considerar grupos separados de raíces (con y sin asterisco), pensar en puntos de punción, etc.? Es simple: una fracción tiene un dominio de definición, la consonante de la fracción tiene sentido solo cuando su denominador es distinto de cero.

De lo contrario, no se pueden rastrear diferencias entre el numerador y el denominador: también lo equiparamos a cero, buscamos raíces y luego las marcamos en la recta numérica. Entonces, ¿por qué no reemplazar la barra fraccionaria (de hecho, el signo de división) con la multiplicación habitual y escribir todos los requisitos de la DHS en forma de una desigualdad separada? Por ejemplo, así:

\ [\ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \ gt 0 \ Rightarrow \ left \ (\ begin (align) & P \ left (x \ right) \ cdot Q \ left (x \ right) \ gt 0, \\ & Q \ left (x \ right) \ ne 0. \\ \ end (align) \ right. \]

Tenga en cuenta: este enfoque reducirá el problema al método de intervalos, pero no complicará la solución en absoluto. Después de todo, igualaremos el polinomio $ Q \ left (x \ right) $ a cero.

Veamos cómo funciona esto en problemas del mundo real.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \]

Solución. Pasemos al método de espaciado:

\ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \ Rightarrow \ left \ (\ begin (align) & \ left (x + 8 \ right) \ left (x-11 \ right) \ gt 0 , \\ & x-11 \ ne 0. \\ \ end (align) \ right. \]

La primera desigualdad es fácil de resolver. Simplemente equiparamos cada paréntesis a cero:

\ [\ begin (align) & x + 8 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (1)) = - 8; \\ & x-11 = 0 \ Flecha derecha ((x) _ (2)) = 11. \\ \ end (alinear) \]

La segunda desigualdad también es simple:

Marcamos los puntos $ ((x) _ (1)) $ y $ ((x) _ (2)) $ en la recta numérica. Todos ellos están arrancados, ya que la desigualdad es estricta:

El punto correcto fue perforado dos veces. Esto esta bien.

Observe el punto $ x = 11 $. Resulta que está "pinchado dos veces": por un lado, lo sacamos por la gravedad de la desigualdad, y por otro lado, por el requisito adicional de las DHS.

En cualquier caso, será solo un punto de pinchazo. Por lo tanto, organizamos los signos de la desigualdad $ \ left (x + 8 \ right) \ left (x-11 \ right) \ gt 0 $, el último que vimos antes de comenzar a resolver las ecuaciones:

Estamos interesados ​​en regiones positivas, ya que estamos resolviendo una desigualdad de la forma $ f \ left (x \ right) \ gt 0 $ - y sombrearlas. Solo queda anotar la respuesta.

Respuesta. $ x \ in \ left (- \ infty; -8 \ right) \ bigcup \ left (11; + \ infty \ right) $

Usando esta solución como ejemplo, me gustaría advertirle sobre un error común entre los estudiantes novatos. Es decir: ¡nunca expanda los paréntesis en las desigualdades! Por el contrario, intente factorizar todo: simplificará la solución y le evitará muchos problemas.

Ahora intentemos algo un poco más difícil.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\ [\ frac (\ left (2x-13 \ right) \ left (12x-9 \ right)) (15x + 33) \ le 0 \]

Solución. Esta es una desigualdad flexible de la forma $ f \ left (x \ right) \ le 0 $, por lo que debe prestar mucha atención a los puntos rellenos aquí.

Pasando al método de espaciado:

\ [\ left \ (\ begin (align) & \ left (2x-13 \ right) \ left (12x-9 \ right) \ left (15x + 33 \ right) \ le 0, \\ & 15x + 33 \ ne 0. \\ \ end (align) \ right. \]

Pasemos a la ecuación:

\ [\ begin (align) & \ left (2x-13 \ right) \ left (12x-9 \ right) \ left (15x + 33 \ right) = 0 \\ & 2x-13 = 0 \ Rightarrow ((x ) _ (1)) = 6,5; \\ & 12x-9 = 0 \ Flecha derecha ((x) _ (2)) = 0,75; \\ & 15x + 33 = 0 \ Flecha derecha ((x) _ (3)) = - 2.2. \\ \ end (alinear) \]

Tenemos en cuenta un requisito adicional:

Marcamos todas las raíces obtenidas en la recta numérica:

Si un punto está perforado y sombreado al mismo tiempo, se considera un punto perforado.

Nuevamente, dos puntos se "superponen" entre sí, esto es normal, siempre será así. Solo es importante comprender que el punto marcado tanto perforado como relleno está realmente perforado. Aquellos. "Desgarrar" es una acción más fuerte que "pintar".

Esto es absolutamente lógico, porque al hacer gubias marcamos puntos que afectan el signo de la función, pero que no participan ellos mismos en la respuesta. Y si en algún momento el número deja de satisfacernos (por ejemplo, no entra en la ODZ), lo eliminamos de nuestra consideración hasta el final del problema.

En general, deja de filosofar. Colocamos letreros y pintura sobre esos intervalos que están marcados con un signo menos:

Respuesta. $ x \ in \ left (- \ infty; -2.2 \ right) \ bigcup \ left [0.75; 6.5 \ right] $.

Y nuevamente me gustaría llamar su atención sobre esta ecuación:

\ [\ left (2x-13 \ right) \ left (12x-9 \ right) \ left (15x + 33 \ right) = 0 \]

Una vez más: ¡nunca abra paréntesis en ecuaciones como esta! Solo te lo pondrás más difícil. Recuerde: el producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero. En consecuencia, esta ecuación simplemente "se desmorona" en varias más pequeñas, que resolvimos en el problema anterior.

Teniendo en cuenta la multiplicidad de raíces

Es fácil ver en los problemas anteriores que son las desigualdades laxas las más difíciles, porque en ellas hay que hacer un seguimiento de los puntos rellenos.

Pero hay un mal aún mayor en el mundo: estas son múltiples raíces en las desigualdades. Aquí ya tiene que seguir, no algunos puntos rellenos, aquí el signo de desigualdad puede no cambiar repentinamente al pasar por estos mismos puntos.

No hemos considerado nada como esto en esta lección (aunque a menudo se encontró un problema similar en el método de intervalo). Por tanto, introducimos una nueva definición:

Definición. La raíz de la ecuación $ ((\ left (x-a \ right)) ^ (n)) = 0 $ es igual a $ x = a $ y se llama la raíz de la $ n $ ésima multiplicidad.

En realidad, no estamos particularmente interesados ​​en el valor exacto de la multiplicidad. Lo único que importa es si este mismo número $ n $ es par o impar. Porque:

1. Si $ x = a $ es una raíz de multiplicidad par, entonces el signo de la función no cambia al pasar por ella;
2. Y viceversa, si $ x = a $ es una raíz de multiplicidad impar, entonces el signo de la función cambiará.

Todos los problemas anteriores discutidos en esta lección son un caso especial de la raíz de la multiplicidad impar: en todas partes la multiplicidad es igual a uno.

Y además. Antes de comenzar a resolver problemas, me gustaría llamar su atención sobre una sutileza que parecerá obvia para un estudiante experimentado, pero que lleva a muchos principiantes al estupor. A saber:

La raíz de la multiplicidad $ n $ surge solo cuando la expresión completa se eleva a esta potencia: $ ((\ left (xa \ right)) ^ (n)) $, y no $ \ left (((x) ^ (n )) - a \ derecha) $.

Una vez más: el corchete $ ((\ left (xa \ right)) ^ (n)) $ nos da la raíz $ x = a $ de multiplicidad $ n $, pero el corchete $ \ left (((x) ^ ( n)) -a \ right) $ o, como suele ser el caso, $ (a - ((x) ^ (n))) $ nos da la raíz (o dos raíces, si $ n $ es par) de la primera multiplicidad, no importa lo que sea igual a $ n $.

Comparar:

\ [((\ left (x-3 \ right)) ^ (5)) = 0 \ Rightarrow x = 3 \ left (5k \ right) \]

Todo está claro aquí: todo el soporte se elevó a la quinta potencia, por lo que en la salida obtuvimos una raíz de la quinta potencia. Y ahora:

\ [\ left (((x) ^ (2)) - 4 \ right) = 0 \ Rightarrow ((x) ^ (2)) = 4 \ Rightarrow x = \ pm 2 \]

Tenemos dos raíces, pero ambas tienen la primera multiplicidad. O aquí hay otro:

\ [\ left (((x) ^ (10)) - 1024 \ right) = 0 \ Rightarrow ((x) ^ (10)) = 1024 \ Rightarrow x = \ pm 2 \]

Y no se confunda con el décimo grado. Lo principal es que 10 es un número par, por lo que en la salida tenemos dos raíces, y ambas nuevamente tienen la primera multiplicidad.

En general, tenga cuidado: la multiplicidad ocurre solo cuando el grado se refiere a todo el paréntesis, no solo a la variable.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) ((\ left (6-x \ right)) ^ (3)) \ left (x + 4 \ right)) (((\ left (x + 7) \ right)) ^ (5))) \ ge 0 \]

Solución. Intentemos resolverlo de una manera alternativa, a través de la transición de lo particular a la obra:

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((x) ^ (2)) ((\ left (6-x \ right)) ^ (3)) \ left (x + 4 \ right) \ cdot ( (\ left (x + 7 \ right)) ^ (5)) \ ge 0, \\ & ((\ left (x + 7 \ right)) ^ (5)) \ ne 0. \\ \ end (align ) \ derecho. \]

Tratamos la primera desigualdad utilizando el método de intervalo:

\ [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) ((\ left (6-x \ right)) ^ (3)) \ left (x + 4 \ right) \ cdot ((\ left ( x + 7 \ right)) ^ (5)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) = 0 \ Rightarrow x = 0 \ left (2k \ right); \\ & ((\ left (6-x \ right)) ^ (3)) = 0 \ Rightarrow x = 6 \ left (3k \ right); \\ & x + 4 = 0 \ Flecha derecha x = -4; \\ & ((\ left (x + 7 \ right)) ^ (5)) = 0 \ Rightarrow x = -7 \ left (5k \ right). \\ \ end (alinear) \]

Además, resolvemos la segunda desigualdad. De hecho, ya lo hemos resuelto, pero para que los revisores no encuentren fallas en la solución, es mejor resolverlo nuevamente:

\ [((\ left (x + 7 \ right)) ^ (5)) \ ne 0 \ Rightarrow x \ ne -7 \]

Tenga en cuenta que no hay multiplicidades en la última desigualdad. De hecho: ¿qué diferencia hay en el número de veces que se tacha el punto $ x = -7 $ en la recta numérica? Al menos una vez, al menos cinco, el resultado será el mismo: un punto perforado.

Marquemos todo lo que tenemos en la recta numérica:

Como dije, el punto $ x = -7 $ eventualmente se pinchará. Las multiplicidades se ordenan con base en la solución de la desigualdad por el método de intervalos.

Queda por colocar los carteles:

Dado que el punto $ x = 0 $ es una raíz de multiplicidad par, el signo no cambia al pasar por él. El resto de los puntos tienen una multiplicidad extraña, y todo es simple con ellos.

Respuesta. $ x \ in \ left (- \ infty; -7 \ right) \ bigcup \ left [-4; 6 \ right] $

Note nuevamente $ x = 0 $. Debido a la multiplicidad uniforme, surge un efecto interesante: a la izquierda, todo está pintado, a la derecha también, y el punto en sí está completamente pintado.

Como consecuencia, no es necesario aislarlo al registrar una respuesta. Aquellos. no es necesario escribir algo como $ x \ in \ left [-4; 0 \ right] \ bigcup \ left [0; 6 \ right] $ (aunque formalmente esta respuesta también será correcta). En su lugar, escribimos inmediatamente $ x \ in \ left [-4; 6 \ right] $.

Tales efectos son posibles solo para raíces de incluso multiplicidad. Y en la próxima tarea nos enfrentaremos a la "manifestación" opuesta de este efecto. ¿Listo?

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\ [\ frac (((\ left (x-3 \ right)) ^ (4)) \ left (x-4 \ right)) (((\ left (x-1 \ right)) ^ (2)) \ left (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ right)) \ ge 0 \]

Solución. Esta vez iremos de acuerdo con el esquema estándar. Establezca el numerador en cero:

\ [\ begin (align) & ((\ left (x-3 \ right)) ^ (4)) \ left (x-4 \ right) = 0; \\ & ((\ left (x-3 \ right)) ^ (4)) = 0 \ Rightarrow ((x) _ (1)) = 3 \ left (4k \ right); \\ & x-4 = 0 \ Flecha derecha ((x) _ (2)) = 4. \\ \ end (alinear) \]

Y el denominador:

\ [\ begin (align) & ((\ left (x-1 \ right)) ^ (2)) \ left (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ right) = 0; \\ & ((\ left (x-1 \ right)) ^ (2)) = 0 \ Rightarrow x_ (1) ^ (*) = 1 \ left (2k \ right); \\ & 7x-10 - ((x) ^ (2)) = 0 \ Flecha derecha x_ (2) ^ (*) = 5; \ x_ (3) ^ (*) = 2. \\ \ end (alinear) \]

Dado que estamos resolviendo una desigualdad débil de la forma $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $, las raíces del denominador (que están con asteriscos) se perforarán y las del numerador se completarán.

Colocamos letreros y áreas de sombreado marcadas con un "más":

El punto $ x = 3 $ está aislado. Esto es parte de la respuesta

Antes de escribir la respuesta final, observe de cerca la imagen:

1. El punto $ x = 1 $ tiene multiplicidad par, pero en sí mismo está perforado. Por lo tanto, tendrá que aislarse en la respuesta: debe escribir $ x \ in \ left (- \ infty; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) $, y no $ x \ in \ left (- \ infty; 2 \ right) $.
2. El punto $ x = 3 $ también tiene una multiplicidad par y se completa al mismo tiempo. La disposición de los signos indica que el punto en sí nos conviene, pero un paso a la izquierda y a la derecha, y nos encontramos en un área que definitivamente no nos conviene. Dichos puntos se denominan aislados y se escriben como $ x \ in \ left \ (3 \ right \) $.

Combinamos todas las piezas resultantes en un conjunto común y escribimos la respuesta.

Respuesta: $ x \ in \ left (- \ infty; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) \ bigcup \ left \ (3 \ right \) \ bigcup \ left [4; 5 \ right) PS

Definición. Resolver la desigualdad significa encontrar muchas de todas sus soluciones o probar que este conjunto está vacío.

Parecería: ¿qué puede ser incomprensible aquí? Sí, el quid de la cuestión es que los conjuntos se pueden especificar de diferentes formas. Escribamos la respuesta al último problema una vez más:

Leemos literalmente lo que está escrito. La variable "x" pertenece a un determinado conjunto, que se obtiene combinando (el signo "U") cuatro conjuntos separados:

• El intervalo $ \ left (- \ infty; 1 \ right) $, que literalmente significa "todos los números menores que uno, pero no el uno en sí";
• $ \ Left (1; 2 \ right) $ espaciado, es decir “Todos los números en el rango de 1 a 2, pero no los números 1 y 2 en sí mismos”;
• El conjunto $ \ left \ (3 \ right \) $, que consta de un solo número: tres;
• Intervalo $ \ left [4; 5 \ right) $, que contiene todos los números en el rango de 4 a 5, así como el propio cuatro, pero no el cinco.

El tercer punto es de interés aquí. A diferencia de los intervalos, que definen conjuntos infinitos de números y solo denotan sólo los límites de estos conjuntos, el conjunto $ \ left \ (3 \ right \) $ especifica exactamente un número por enumeración.

Para entender que solo estamos enumerando números específicos incluidos en el conjunto (y no estableciendo límites ni nada más), se utilizan llaves. Por ejemplo, la notación $ \ left \ (1; 2 \ right \) $ significa exactamente "un conjunto que consta de dos números: 1 y 2", pero no un segmento del 1 al 2. Bajo ninguna circunstancia debe confundir estos conceptos .

La regla para sumar multiplicidades

Bueno, como conclusión de la lección de hoy, una pequeña lata de Pavel Berdov. :)

Los estudiantes atentos probablemente ya se hayan hecho la pregunta: ¿qué pasará si se encuentran las mismas raíces en el numerador y en el denominador? Entonces, la siguiente regla funciona:

Se suman las multiplicidades de las mismas raíces. Es siempre. Incluso si esta raíz se encuentra tanto en el numerador como en el denominador.

A veces es mejor decidir que hablar. Por tanto, resolvemos el siguiente problema:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 8) (\ left (((x) ^ (2)) - 16 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ derecha)) \ ge 0 \]

\ [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 6x + 8 = 0 \\ & ((x) _ (1)) = - 2; \ ((x) _ (2)) = -4. \\ \ end (alinear) \]

Nada especial todavía. Pon el denominador a cero:

\ [\ begin (align) & \ left (((x) ^ (2)) - 16 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ right) = 0 \\ & ( (x) ^ (2)) - 16 = 0 \ Flecha derecha x_ (1) ^ (*) = 4; \ x_ (2) ^ (*) = - 4; \\ & ((x) ^ (2)) + 9x + 14 = 0 \ Flecha derecha x_ (3) ^ (*) = - 7; \ x_ (4) ^ (*) = - 2. \\ \ end (alinear) \]

Encontró dos raíces idénticas: $ ((x) _ (1)) = - 2 $ y $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $. Ambos son el primer pliegue. Por lo tanto, los reemplazamos con una raíz $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $, pero ya con multiplicidad 1 + 1 = 2.

Además, también hay raíces idénticas: $ ((x) _ (2)) = - 4 $ y $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $. También son de la primera multiplicidad, por lo que solo queda $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $ de multiplicidad 1 + 1 = 2.

Tenga en cuenta: en ambos casos, hemos dejado exactamente la raíz "perforada" y la "rellena" se descartó de la consideración. Porque incluso al principio de la lección estuvimos de acuerdo: si un punto está perforado y pintado, seguimos considerándolo perforado.

Como resultado, tenemos cuatro raíces y todas fueron arrancadas:

\ [\ begin (align) & x_ (1) ^ (*) = 4; \\ & x_ (2) ^ (*) = - 4 \ left (2k \ right); \\ & x_ (3) ^ (*) = - 7; \\ & x_ (4) ^ (*) = - 2 \ left (2k \ right). \\ \ end (alinear) \]

Los marcamos en la recta numérica, teniendo en cuenta la multiplicidad:

Colocamos carteles y pintura sobre las áreas que nos interesan:

Todo. Sin puntos aislados y otras perversiones. Puede escribir la respuesta.

Respuesta. $ x \ in \ left (- \ infty; -7 \ right) \ bigcup \ left (4; + \ infty \ right) $.

Regla de multiplicación

A veces ocurre una situación aún más desagradable: una ecuación con múltiples raíces se eleva a un cierto poder. En este caso, las multiplicidades de todas las raíces originales cambian.

Esto es raro, razón por la cual la mayoría de los estudiantes no tienen experiencia en la resolución de este tipo de problemas. Y la regla es la siguiente:

Cuando la ecuación se eleva a la potencia $ n $, las multiplicidades de todas sus raíces también aumentan $ n $ veces.

En otras palabras, la exponenciación conduce a multiplicaciones multiplicadas por la misma potencia. Consideremos esta regla con un ejemplo:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\ [\ frac (x ((\ left (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ right)) ^ (2)) ((\ left (x-4 \ right)) ^ (5)) ) (((\ left (2-x \ right)) ^ (3)) ((\ left (x-1 \ right)) ^ (2))) \ le 0 \]

Solución. Establezca el numerador en cero:

El producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero. Con el primer factor, todo está claro: $ x = 0 $. Pero entonces comienzan los problemas:

\ [\ begin (align) & ((\ left (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ right)) ^ (2)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 \ left (2k \ right); \\ & D = ((6) ^ (3)) - 4 \ cdot 9 = 0 \\ & ((x) _ (2)) = 3 \ left (2k \ right) \ left (2k \ right) \ \ & ((x) _ (2)) = 3 \ left (4k \ right) \\ \ end (align) \]

Como puede ver, la ecuación $ ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 $ tiene una sola raíz de la segunda multiplicidad: $ x = 3 $. Entonces toda la ecuación se eleva al cuadrado. Por lo tanto, la multiplicidad de la raíz será $ 2 \ cdot 2 = 4 $, que finalmente anotamos.

\ [((\ left (x-4 \ right)) ^ (5)) = 0 \ Rightarrow x = 4 \ left (5k \ right) \]

Tampoco hay problemas con el denominador:

\ [\ begin (align) & ((\ left (2-x \ right)) ^ (3)) ((\ left (x-1 \ right)) ^ (2)) = 0; \\ & ((\ left (2-x \ right)) ^ (3)) = 0 \ Rightarrow x_ (1) ^ (*) = 2 \ left (3k \ right); \\ & ((\ left (x-1 \ right)) ^ (2)) = 0 \ Rightarrow x_ (2) ^ (*) = 1 \ left (2k \ right). \\ \ end (alinear) \]

En total, sacamos cinco puntos: dos pinchados y tres rellenos. No hay raíces coincidentes en el numerador y denominador, por lo que simplemente las marcamos en la recta numérica:

Organizamos los letreros teniendo en cuenta las multiplicidades y pintamos sobre los intervalos que nos interesan:

De nuevo, un punto aislado y otro pinchado

Debido a las raíces de la multiplicidad uniforme, nuevamente obtuvimos un par de elementos "no estándar". Esto es $ x \ in \ left [0; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) $, no $ x \ in \ left [0; 2 \ right) $, y también el punto aislado $ x \ in \ left \ (3 \ right \) $.

Respuesta. $ x \ in \ left [0; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) \ bigcup \ left \ (3 \ right \) \ bigcup \ left [4; + \ infty \ right) $

Como ves, no todo es tan difícil. Lo principal es la atención. La última sección de esta lección se centra en las transformaciones, las mismas que discutimos al principio.

Preconversiones

Las desigualdades que discutimos en esta sección no son complejas. Sin embargo, a diferencia de las tareas anteriores, aquí tendrás que aplicar habilidades de la teoría de las fracciones racionales: factorización y reducción a un denominador común.

Discutimos este tema en detalle al comienzo de la lección de hoy. Si no está seguro de entender de qué se trata, le recomiendo encarecidamente que vuelva atrás y repita. Porque no tiene sentido acumular métodos para resolver desigualdades si "flotas" en la transformación de fracciones.

En la tarea, por cierto, también habrá muchas tareas similares. Se colocan en una subsección separada. Y allí encontrará ejemplos muy no triviales. Pero esto estará en la tarea, y ahora analicemos un par de tales desigualdades.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\ [\ frac (x) (x-1) \ le \ frac (x-2) (x) \]

Solución. Mueve todo a la izquierda:

\ [\ frac (x) (x-1) - \ frac (x-2) (x) \ le 0 \]

Llevamos a un denominador común, abrimos los corchetes, damos términos similares en el numerador:

\ [\ begin (align) & \ frac (x \ cdot x) (\ left (x-1 \ right) \ cdot x) - \ frac (\ left (x-2 \ right) \ left (x-1 \ derecha)) (x \ cdot \ left (x-1 \ right)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - \ left (((x) ^ (2)) - 2x-x + 2 \ right)) (x \ left (x-1 \ right)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 3x-2) (x \ left (x-1 \ right)) \ le 0; \\ & \ frac (3x-2) (x \ left (x-1 \ right)) \ le 0. \\\ end (align) \]

Ahora tenemos una desigualdad racional fraccionaria clásica, cuya solución ya no es difícil. Propongo resolverlo por un método alternativo, a través del método de intervalos:

\ [\ begin (align) & \ left (3x-2 \ right) \ cdot x \ cdot \ left (x-1 \ right) = 0; \\ & ((x) _ (1)) = \ frac (2) (3); \ ((x) _ (2)) = 0; \ ((x) _ (3)) = 1. \\ \ end (alinear) \]

No olvide la restricción que vino del denominador:

Marcamos todos los números y restricciones en la recta numérica:

Todas las raíces tienen la primera multiplicidad. No hay problema. Simplemente colocamos los letreros y pintamos sobre las áreas que necesitamos:

Es todo. Puede escribir la respuesta.

Respuesta. $ x \ in \ left (- \ infty; 0 \ right) \ bigcup \ left [(2) / (3) \ ;; 1 \ right) $.

Por supuesto, esto fue solo un ejemplo. Por lo tanto, ahora consideraremos el problema con más seriedad. Y, por cierto, el nivel de esta tarea es bastante consistente con el trabajo independiente y de control sobre este tema en el octavo grado.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) \ ge \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \]

Solución. Mueve todo a la izquierda:

\ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) - \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \ ge 0 \]

Antes de reducir ambas fracciones a un denominador común, factorizamos estos denominadores. ¿Y si salen los mismos corchetes? Con el primer denominador, es fácil:

\ [((x) ^ (2)) + 8x-9 = \ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right) \]

El segundo es un poco más difícil. Siéntase libre de poner un factor constante entre paréntesis donde aparece la fracción. Recuerde: el polinomio original tenía coeficientes enteros, por lo que existe una alta probabilidad de que la factorización también tenga coeficientes enteros (de hecho, siempre será así, excepto cuando el discriminante sea irracional).

\ [\ begin (align) & 3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2 = 3 \ left (x-1 \ right) \ left (x- \ frac (2) (3) \ right) = \\ & = \ left (x-1 \ right) \ left (3x-2 \ right) \ end (align) \]

Como puede ver, hay un paréntesis común: $ \ left (x-1 \ right) $. Volvemos a la desigualdad y llevamos ambas fracciones a un denominador común:

\ [\ begin (align) & \ frac (1) (\ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right)) - \ frac (1) (\ left (x-1 \ right) \ izquierda (3x-2 \ right)) \ ge 0; \\ & \ frac (1 \ cdot \ left (3x-2 \ right) -1 \ cdot \ left (x + 9 \ right)) (\ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right ) \ left (3x-2 \ right)) \ ge 0; \\ & \ frac (3x-2-x-9) (\ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right) \ left (3x-2 \ right)) \ ge 0; \\ & \ frac (2x-11) (\ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right) \ left (3x-2 \ right)) \ ge 0; \\ \ end (alinear) \]

Pon el denominador a cero:

\ [\ begin (align) & \ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right) \ left (3x-2 \ right) = 0; \\ & x_ (1) ^ (*) = 1; \ x_ (2) ^ (*) = - 9; \ x_ (3) ^ (*) = \ frac (2) (3) \\ \ end ( alinear) \]

Sin multiplicidades ni raíces coincidentes. Marcamos cuatro números en línea recta:

Colocamos carteles:

Escribimos la respuesta.

Respuesta: $ x \ in \ left (- \ infty; -9 \ right) \ bigcup \ left ((2) / (3) \ ;; 1 \ right) \ bigcup \ left [5,5; + \ infty \ derecha) $.

Método de espaciado es una forma universal de resolver casi cualquier desigualdad que se produzca en el curso de álgebra de la escuela. Se basa en las siguientes propiedades de las funciones:

1. Una función continua g (x) puede cambiar de signo solo en el punto en el que es igual a 0. Gráficamente, esto significa que la gráfica de una función continua puede ir de un semiplano a otro solo si cruza la abscisa eje (recordamos que la ordenada de cualquier punto que se encuentre en el eje OX (eje de abscisas) es cero, es decir, el valor de la función en este punto es 0):

Vemos que la función y = g (x) representada en la gráfica interseca el eje OX en los puntos x = -8, x = -2, x = 4, x = 8. Estos puntos se denominan ceros de función. Y en los mismos puntos la función g (x) cambia de signo.

2. La función también puede cambiar el signo de los ceros del denominador; el ejemplo más simple es una función bien conocida:

Vemos que la función cambia de signo en la raíz del denominador, en un punto, pero no desaparece en ningún punto. Por tanto, si una función contiene una fracción, puede cambiar de signo en las raíces del denominador.

2. Sin embargo, la función no siempre cambia de signo en la raíz del numerador o en la raíz del denominador. Por ejemplo, la función y = x 2 no cambia de signo en el punto x = 0:

Porque la ecuación x 2 = 0 tiene dos raíces iguales x = 0, en el punto x = 0 la función, por así decirlo, se convierte dos veces en 0. Tal raíz se llama raíz de la segunda multiplicidad.

Función cambia de signo en cero del numerador, pero no cambia de signo en cero del denominador :, ya que la raíz es la raíz de la segunda multiplicidad, es decir, de multiplicidad par:

¡Importante! En las raíces de incluso multiplicidad, la función no cambia de signo.

¡Nota! Ningún no lineal la desigualdad del curso de álgebra de la escuela generalmente se resuelve usando el método de intervalos.

Te ofrezco uno detallado, siguiendo el cual puedes evitar errores cuando resolver desigualdades no lineales.

1. Primero, debes llevar la desigualdad a la forma

P (x) V0,

donde V es el signo de desigualdad:<,>, ≤ o ≥. Esto requiere:

a) transferir todos los términos al lado izquierdo de la desigualdad,

b) encontrar las raíces de la expresión resultante,

c) factorizar el lado izquierdo de la desigualdad

d) escribe los mismos factores que una potencia.

¡Atención! La última acción debe realizarse para no confundirse con la multiplicidad de las raíces: si el resultado es un factor de potencia par, entonces la raíz correspondiente tiene una multiplicidad par.

2. Coloca las raíces encontradas en el eje numérico.

3. Si la desigualdad es estricta, entonces los círculos que denotan las raíces en el eje numérico se dejan "vacíos", si la desigualdad no es estricta, entonces llenamos los círculos.

4. Seleccione las raíces de una multiplicidad uniforme, en ellas P (x) la señal no cambia.

5. Determine el signo P (x) en el intervalo más a la derecha. Para hacer esto, tomamos un valor arbitrario x 0, que es mayor que la raíz más grande y lo sustituimos en P (x).

Si P (x 0)> 0 (o ≥0), entonces en el intervalo más a la derecha ponemos el signo "+".

Si P (x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Al pasar por el punto que denota una raíz de multiplicidad par, el signo NO CAMBIA.

7. Una vez más, miramos el signo de la desigualdad original y seleccionamos los intervalos del signo que necesitamos.

8. ¡Atención! Si nuestra desigualdad NO ES ESTRICTA, entonces la condición de igualdad a cero se verifica por separado.

9. Escribimos la respuesta.

Si el original la desigualdad contiene la incógnita en el denominador, luego también transferimos todos los términos a la izquierda y reducimos el lado izquierdo de la desigualdad a la forma

(donde V es el signo de desigualdad:< или >)

Una desigualdad estricta de este tipo equivale a la desigualdad

No estricta desigualdad de la forma

equivalente a el sistema:

En la práctica, si la función tiene la forma, procedemos de la siguiente manera:

1. Encuentra las raíces del numerador y denominador.
2. Los ponemos en el eje. Deje todos los círculos vacíos. Luego, si la desigualdad no es estricta, pinte sobre las raíces del numerador y deje siempre vacías las raíces del denominador.
3. A continuación, seguimos el algoritmo general:
4. Seleccione las raíces de multiplicidad par (si el numerador y el denominador contienen las mismas raíces, contamos cuántas veces ocurren las mismas raíces). En raíces de incluso multiplicidad, el signo no cambia.
5. Descubrimos el signo en el intervalo más a la derecha.
6. Colocamos carteles.
7. En el caso de una desigualdad no estricta, la condición de igualdad, la condición de igualdad a cero, se verifica por separado.
8. Seleccione los huecos necesarios y las raíces desprendidas.
9. Escribimos la respuesta.

Para comprender mejor algoritmo para resolver desigualdades por el método de intervalos, mira el VIDEO TUTORIAL, que detalla el ejemplo solución de desigualdad por el método de intervalos.

Primer nivel

El método de los intervalos. Guía completa (2019)

¡Solo necesita comprender este método y conocerlo como la palma de su mano! Aunque solo sea porque se usa para resolver desigualdades racionales y porque, conociendo bien este método, es sorprendentemente fácil resolver estas desigualdades. Un poco más tarde, te revelaré un par de secretos sobre cómo ahorrar tiempo resolviendo estas desigualdades. Bien, intrigado? ¡Vámonos entonces!

La esencia del método está en descomponer la desigualdad en factores (repite el tema) y determinar el ODV y el signo de los factores, ahora lo explicaré todo. Tomemos el ejemplo más simple:

No es necesario escribir el rango de valores permitidos () aquí, ya que no hay división por una variable y aquí no se observan radicales (raíces). Todo aquí ya está descompuesto en factores para nosotros. Pero no te relajes, ¡todo esto es para recordar lo básico y entender la esencia!

Digamos que no conoce el método de los intervalos, ¿cómo resolvería esta desigualdad? Acérquese con lógica y confíe en lo que ya sabe. Primero, el lado izquierdo será mayor que cero si ambas expresiones entre paréntesis son mayores que cero o menores que cero, ya que Más a más es igual a más y menos a menos es igual a más, ¿verdad? Y si los signos en las expresiones entre paréntesis son diferentes, entonces, como resultado, el lado izquierdo será menor que cero. Pero, ¿qué necesitamos para averiguar los valores en los que las expresiones entre paréntesis serán negativas o positivas?

Necesitamos resolver la ecuación, es exactamente lo mismo que la desigualdad, solo que en lugar de un signo habrá un signo, las raíces de esta ecuación nos permitirán determinar esos valores de frontera, al desviarnos de los cuales los factores serán mayores o menos que cero.

Y ahora los propios intervalos. ¿Qué es el espaciado? Este es un cierto intervalo de una recta numérica, es decir, todos los números posibles encerrados entre dos números: los extremos del intervalo. No es tan fácil imaginar estos huecos en tu cabeza, por eso es costumbre dibujar intervalos, ahora te voy a enseñar.

Dibujamos un eje, en él se ubica toda la serie de números desde y hacia. Los puntos se trazan en el eje, los llamados ceros de la función, los valores en los que la expresión es igual a cero. Estos puntos están "extraídos", lo que significa que no se encuentran entre los valores en los que la desigualdad es verdadera. En este caso, se pinchan porque el signo en desigualdad y no, es decir, estrictamente mayor y no mayor o igual que.

Quiero decir que no es necesario marcar cero, aquí es sin círculos, y así, para entender y orientar a lo largo del eje. De acuerdo, se dibujó el eje, se colocaron los puntos (más precisamente, círculos), entonces qué, ¿cómo me ayudará esto en la solución? - usted pregunta. Ahora simplemente tome el valor de x de los intervalos en orden y sustitúyalos en su desigualdad y vea cuál será el signo como resultado de la multiplicación.

En resumen, solo tomamos, por ejemplo, sustitúyalo aquí, resultará, lo que significa que en todo el intervalo (en todo el intervalo) desde a, del cual tomamos, la desigualdad será verdadera. En otras palabras, si x es de a, entonces la desigualdad es verdadera.

Hacemos lo mismo con un intervalo de a, tomamos o, por ejemplo, sustituimos en, definimos el signo, el signo será "menos". Y hacemos lo mismo con el último, tercer intervalo de a, donde el signo será "más". Salió un montón de texto, pero hay poca claridad, ¿verdad?

Eche otro vistazo a la desigualdad.

Ahora, en el mismo eje, también aplicamos los signos que se obtendrán como resultado. La línea discontinua, en mi ejemplo, denota las secciones positivas y negativas del eje.

Mire la desigualdad - en un dibujo, nuevamente en la desigualdad - y nuevamente en un dibujo, ¿hay algo claro? Ahora intente decir en qué intervalos de x, la desigualdad será verdadera. Así es, de a, la desigualdad será verdadera de a, y en el intervalo de a, la desigualdad de cero es de poco interés para nosotros, porque tenemos un signo en la desigualdad.

Bueno, ya que lo descubrió, entonces es fácil: ¡escriba la respuesta! En respuesta, escribimos aquellos intervalos en los que el lado izquierdo es mayor que cero, que se lee como x pertenece al intervalo de menos infinito a menos uno y de dos a más infinito. Vale aclarar que el paréntesis significa que los valores que limitan el intervalo no son soluciones a la desigualdad, es decir, no están incluidos en la respuesta, sino que solo dicen que antes, por ejemplo, pero no es una solución.

Ahora un ejemplo en el que tendrás que dibujar no solo el intervalo:

¿Qué crees que debería hacerse antes de trazar puntos en el eje? Sí, tenlo en cuenta en factores:

Dibujamos intervalos y colocamos signos, notamos los puntos que hemos pinchado, porque el signo es estrictamente menor que cero:

¡Es hora de revelarles un secreto que les prometí al principio de este tema! ¡Y si te digo que no puedes sustituir valores de cada intervalo para determinar el signo, pero puedes determinar el signo en uno de los intervalos, y en el resto simplemente alternas los signos!

Por lo tanto, ahorramos un poco de tiempo en colocar letreros. ¡Creo que este tiempo ganado en el examen no vendrá mal!

Escribimos la respuesta:

Ahora considere un ejemplo de desigualdad fraccional-racional: una desigualdad, ambos lados de la cual son expresiones racionales (ver).

¿Qué puedes decir sobre esta desigualdad? Y lo miras como una ecuación racional fraccionaria, ¿qué hacemos primero? Inmediatamente vemos que no hay raíces, significa que definitivamente es racional, pero luego hay una fracción, ¡e incluso con una incógnita en el denominador!

Así es, ¡ODZ es necesario!

Entonces, vayamos más allá, aquí todos los factores excepto uno tienen una variable de primer grado, pero hay un factor donde x es de segundo grado. Por lo general, nuestro signo cambió después de pasar por uno de los puntos en los que el lado izquierdo de la desigualdad toma valor cero, para lo cual determinamos lo que debería ser igual ax en cada factor. Y aquí, por lo que siempre es positivo, tk. cualquier número al cuadrado> cero y un término positivo.

¿Qué crees que afectará el valor de la desigualdad? Así es, ¡no lo hará! Podemos dividir con seguridad la desigualdad en ambas partes y así eliminar este multiplicador para que los ojos no se vuelvan insensibles.

es el momento de dibujar los intervalos, para ello es necesario determinar los valores de los límites, al desviarse de los cuales los factores y serán mayores y menores que cero. Pero preste atención que aquí el signo significa el punto en el que el lado izquierdo de la desigualdad toma valor cero, no lo sacaremos, porque es una de las soluciones, tenemos uno de esos puntos, este es el punto donde x es igual a uno. ¿Y completa el punto donde el denominador es negativo? - ¡Por supuesto que no!

El denominador no debe ser cero, por lo que el intervalo se verá así:

De acuerdo con este esquema, puede escribir una respuesta fácilmente, solo diré que ahora tiene a su disposición un nuevo tipo de corchete: ¡cuadrado! Aquí hay un paréntesis [ dice que el valor está incluido en el intervalo de decisiones, es decir es parte de la respuesta, este corchete corresponde a un punto relleno (no perforado) en el eje.

Aquí, ¿obtuviste la misma respuesta?

Factorizamos y transferimos todo en una dirección, después de todo, solo necesitamos dejar cero a la derecha para compararlo:

Llamo su atención sobre el hecho de que en la última transformación, para obtener tanto el numerador como el denominador, multiplico ambos lados de la desigualdad por. Recuerde que cuando se multiplican ambos lados de la desigualdad, el signo de la desigualdad se invierte.

Escribimos ODZ:

De lo contrario, el denominador desaparecerá y, como recordará, ¡no podrá dividir por cero!

¡Debes admitir que en la desigualdad resultante se tienta a reducir en el numerador y denominador! ¡Esto no se puede hacer, puede perder algunas de las soluciones o la ODU!

Ahora intente trazar puntos en el eje usted mismo. Solo señalaré que al dibujar puntos, debe prestar atención al hecho de que un punto con un valor, que, según el signo, debería parecer trazado en el eje como pintado, no se pintará, lo hará ser pinchado! ¿Por qué preguntas? Y tú, ODZ, ¿recuerdas, no vas a dividir por cero así?

Recuerde, ¡ODZ está por encima de todo! Si todas las desigualdades y los signos iguales dicen una cosa y la ODZ otra, confía en la ODZ, ¡grande y poderosa! Bueno, trazó los intervalos, estoy seguro de que siguió mi consejo sobre la alternancia y lo obtuvo así (vea la imagen a continuación) ¡Ahora táchelo y no repita este error nuevamente! Cual es el error - usted pregunta.

El caso es que en esta desigualdad el factor se repitió dos veces (¿recuerdas cómo trataste de reducirlo?). Entonces, si algún factor se repite en la desigualdad un número par de veces, entonces al pasar por un punto en el eje que convierte este factor a cero (en este caso, un punto), el signo no cambiará, si es impar. , ¡entonces cambia el letrero!

El siguiente eje será correcto con intervalos y signos:

Y fíjense que el signo que nos interesa no es el que estaba al principio (cuando acabamos de ver la desigualdad, el signo era), después de las transformaciones, el signo cambió a, lo que significa que nos interesan los intervalos. con un cartel.

Respuesta:

También diré que hay situaciones en las que hay raíces de desigualdad que no se incluyen en ningún intervalo, en respuesta se escriben entre llaves, así, por ejemplo :. Puede leer más sobre este tipo de situaciones en el artículo de nivel intermedio.

Resumamos cómo resolver desigualdades usando el método de intervalo:

1. Mueva todo a la izquierda, deje solo cero a la derecha;
2. Encontramos la ODZ;
3. Trazamos en el eje todas las raíces de la desigualdad;
4. Tomamos uno arbitrario de uno de los intervalos y determinamos el signo en el intervalo al que pertenece la raíz, signos alternos, prestando atención a las raíces repetidas varias veces en la desigualdad, si el signo cambia al pasar por ellas o no depende de la uniformidad o rareza del número de veces que se repiten;
5. En respuesta, escribimos intervalos, observando puntos pinchados y no pinchados (ver ODZ), colocando los tipos de corchetes necesarios entre ellos.

Y finalmente, nuestra sección favorita, ¡"hágalo usted mismo"!

Ejemplos:

Respuestas:

MÉTODO DE INTERVALO. NIVEL PROMEDIO

Función lineal

Una función de la forma se llama lineal. Consideremos una función como ejemplo. Es positivo en y negativo en. El punto es el cero de la función (). Muestremos los signos de esta función en el eje numérico:

Decimos que "la función cambia de signo al pasar por un punto".

Se puede observar que los signos de la función corresponden a la posición del gráfico de la función: si el gráfico está por encima del eje, el signo es "", si está por debajo - "".

Si generalizamos la regla resultante a una función lineal arbitraria, obtenemos el siguiente algoritmo:

• Encuentra el cero de la función;
• Lo marcamos en el eje numérico;
• Determina el signo de la función en lados opuestos de cero.

Función cuadrática

Espero que recuerdes cómo se resuelven las desigualdades cuadradas. Si no es así, lea el tema. Permítanme recordarles la forma general de la función cuadrática :.

Ahora recordemos qué signos toma la función cuadrática. Su gráfica es una parábola, y la función toma el signo "" cuando la parábola está por encima del eje, y "" - si la parábola está por debajo del eje:

Si la función tiene ceros (valores en los cuales), la parábola interseca el eje en dos puntos: las raíces de la ecuación cuadrática correspondiente. Así, el eje se divide en tres intervalos, y los signos de la función cambian alternativamente al pasar por cada raíz.

¿Es posible definir de alguna manera los signos sin dibujar una parábola cada vez?

Recuerde que el trinomio cuadrado se puede factorizar:

Por ejemplo: .

Marquemos las raíces en el eje:

Recordamos que el signo de una función solo puede cambiar al pasar por la raíz. Usamos este hecho: para cada uno de los tres intervalos en los que el eje está dividido por raíces, es suficiente determinar el signo de la función solo en un punto elegido arbitrariamente: en los otros puntos del intervalo, el signo será el mismo.

En nuestro ejemplo: para, ambas expresiones entre paréntesis son positivas (sustituto, por ejemplo :). Ponemos el signo "" en el eje:

Bueno, para (sustituto, por ejemplo,) ambos paréntesis son negativos, lo que significa que el producto es positivo:

Eso es lo que es método de intervalo: conociendo los signos de los factores en cada intervalo, determinamos el signo de todo el producto.

Consideremos también los casos en los que la función no tiene ceros o solo tiene uno.

Si no están ahí, entonces no hay raíces. Esto significa que tampoco habrá un "cruce de raíces". Esto significa que la función toma solo un signo en todo el eje numérico. Es fácil definirlo sustituyéndolo en una función.

Si solo hay una raíz, la parábola toca el eje, por lo que el signo de la función no cambia al pasar por la raíz. ¿Qué regla podemos idear para tales situaciones?

Si factorizas dicha función, obtienes dos factores idénticos:

¡Y cualquier expresión al cuadrado no es negativa! Por tanto, el signo de la función no cambia. En tales casos, seleccionaremos una raíz, pasando por la cual el signo no cambia, rodeándola con un cuadrado:

Dicha raíz se llamará múltiple.

El método de intervalos en desigualdades.

Ahora, cualquier desigualdad cuadrada se puede resolver sin dibujar una parábola. Basta con disponer los signos de la función cuadrática en el eje y elegir los intervalos en función del signo de la desigualdad. Por ejemplo:

Midamos las raíces en el eje y coloquemos los signos:

Necesitamos la parte del eje con el signo ""; dado que la desigualdad no es estricta, las raíces mismas también se incluyen en la solución:

Ahora considere una desigualdad racional, una desigualdad, ambos lados de la cual son expresiones racionales (ver).

Ejemplo:

Todos los factores excepto uno - - aquí son "lineales", es decir, contienen la variable solo en el primer grado. Necesitamos tales factores lineales para aplicar el método de los intervalos: el signo cambia al pasar por sus raíces. Pero el factor no tiene raíces en absoluto. Esto significa que siempre es positivo (compruébalo tú mismo) y, por lo tanto, no afecta el signo de todas las desigualdades. Esto significa que podemos dividir los lados izquierdo y derecho de la desigualdad en él, y así deshacernos de él:

Ahora todo es igual que con las desigualdades cuadradas: determinamos en qué puntos desaparece cada uno de los factores, marcamos estos puntos en el eje y colocamos signos. Me gustaría llamar su atención sobre un hecho muy importante:

Respuesta: . Ejemplo:.

Para aplicar el método de intervalos, es necesario que en una de las partes de la desigualdad haya. Por tanto, moveremos el lado derecho al izquierdo:

El numerador y el denominador tienen el mismo multiplicador, ¡pero no tenemos prisa por reducirlo! Después de todo, entonces podemos olvidarnos de sacar este punto. Es mejor marcar esta raíz como múltiplo, es decir, al pasar por ella el signo no cambiará:

Respuesta: .

Y un ejemplo más muy ilustrativo:

Nuevamente, no cancelamos los mismos factores del numerador y el denominador, porque si cancelamos, tendremos que recordar específicamente que necesitamos resaltar un punto.

• : repetidas veces;
• : tiempos;
• : tiempos (en el numerador y uno en el denominador).

En el caso de un número par, hacemos lo mismo que antes: rodear el punto con un cuadrado y no cambiar el signo al pasar por la raíz. Pero en el caso de un número impar, esta regla no se cumple: el signo seguirá cambiando al pasar por la raíz. Por lo tanto, no hacemos nada adicionalmente con dicha raíz, como si no fuera un múltiplo de ella. Las reglas anteriores se aplican a todos los grados pares e impares.

¿Qué escribiremos en la respuesta?

Si se viola la alternancia de signos, debe tener mucho cuidado, porque si la desigualdad no es estricta, la respuesta debe ser todos los puntos llenos... Pero algunos de los intentos suelen ser independientes, es decir, no entran en el área sombreada. En este caso, los agregamos a la respuesta como puntos aislados (entre llaves):

Ejemplos (decida usted mismo):

Respuestas:

1. Si es simple entre los multiplicadores, esta es la raíz, porque se puede representar como.
   .

MÉTODO DE INTERVALO. BREVEMENTE SOBRE EL PRINCIPAL

El método de intervalo se utiliza para resolver desigualdades racionales. Consiste en determinar el signo del producto mediante los signos de los factores en varios intervalos.

Algoritmo para resolver desigualdades racionales por el método de intervalos.

• Mueva todo a la izquierda, deje solo cero a la derecha;
• Encontramos la ODZ;
• Trazamos en el eje todas las raíces de la desigualdad;
• Tomamos uno arbitrario de uno de los intervalos y determinamos el signo en el intervalo al que pertenece la raíz, signos alternos, prestando atención a las raíces repetidas varias veces en la desigualdad, si el signo cambia al pasar por ellas o no depende de la uniformidad o rareza del número de veces que se repiten;
• En respuesta, escribimos intervalos, observando puntos pinchados y no pinchados (ver ODZ), colocando los tipos de corchetes necesarios entre ellos.

Bueno, se acabó el tema. Si estás leyendo estas líneas, estás muy bien.

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Primer nivel

El método de los intervalos. Guía completa (2019)

¡Solo necesita comprender este método y conocerlo como la palma de su mano! Aunque solo sea porque se usa para resolver desigualdades racionales y porque, conociendo bien este método, es sorprendentemente fácil resolver estas desigualdades. Un poco más tarde, te revelaré un par de secretos sobre cómo ahorrar tiempo resolviendo estas desigualdades. Bien, intrigado? ¡Vámonos entonces!

La esencia del método está en descomponer la desigualdad en factores (repite el tema) y determinar el ODV y el signo de los factores, ahora lo explicaré todo. Tomemos el ejemplo más simple:

No es necesario escribir el rango de valores permitidos () aquí, ya que no hay división por una variable y aquí no se observan radicales (raíces). Todo aquí ya está descompuesto en factores para nosotros. Pero no te relajes, ¡todo esto es para recordar lo básico y entender la esencia!

Digamos que no conoce el método de los intervalos, ¿cómo resolvería esta desigualdad? Acérquese con lógica y confíe en lo que ya sabe. Primero, el lado izquierdo será mayor que cero si ambas expresiones entre paréntesis son mayores que cero o menores que cero, ya que Más a más es igual a más y menos a menos es igual a más, ¿verdad? Y si los signos en las expresiones entre paréntesis son diferentes, entonces, como resultado, el lado izquierdo será menor que cero. Pero, ¿qué necesitamos para averiguar los valores en los que las expresiones entre paréntesis serán negativas o positivas?

Necesitamos resolver la ecuación, es exactamente lo mismo que la desigualdad, solo que en lugar de un signo habrá un signo, las raíces de esta ecuación nos permitirán determinar esos valores de frontera, al desviarnos de los cuales los factores serán mayores o menos que cero.

Y ahora los propios intervalos. ¿Qué es el espaciado? Este es un cierto intervalo de una recta numérica, es decir, todos los números posibles encerrados entre dos números: los extremos del intervalo. No es tan fácil imaginar estos huecos en tu cabeza, por eso es costumbre dibujar intervalos, ahora te voy a enseñar.

Dibujamos un eje, en él se ubica toda la serie de números desde y hacia. Los puntos se trazan en el eje, los llamados ceros de la función, los valores en los que la expresión es igual a cero. Estos puntos están "extraídos", lo que significa que no se encuentran entre los valores en los que la desigualdad es verdadera. En este caso, se pinchan porque el signo en desigualdad y no, es decir, estrictamente mayor y no mayor o igual que.

Quiero decir que no es necesario marcar cero, aquí es sin círculos, y así, para entender y orientar a lo largo del eje. De acuerdo, se dibujó el eje, se colocaron los puntos (más precisamente, círculos), entonces qué, ¿cómo me ayudará esto en la solución? - usted pregunta. Ahora simplemente tome el valor de x de los intervalos en orden y sustitúyalos en su desigualdad y vea cuál será el signo como resultado de la multiplicación.

En resumen, solo tomamos, por ejemplo, sustitúyalo aquí, resultará, lo que significa que en todo el intervalo (en todo el intervalo) desde a, del cual tomamos, la desigualdad será verdadera. En otras palabras, si x es de a, entonces la desigualdad es verdadera.

Hacemos lo mismo con un intervalo de a, tomamos o, por ejemplo, sustituimos en, definimos el signo, el signo será "menos". Y hacemos lo mismo con el último, tercer intervalo de a, donde el signo será "más". Salió un montón de texto, pero hay poca claridad, ¿verdad?

Eche otro vistazo a la desigualdad.

Ahora, en el mismo eje, también aplicamos los signos que se obtendrán como resultado. La línea discontinua, en mi ejemplo, denota las secciones positivas y negativas del eje.

Mire la desigualdad - en un dibujo, nuevamente en la desigualdad - y nuevamente en un dibujo, ¿hay algo claro? Ahora intente decir en qué intervalos de x, la desigualdad será verdadera. Así es, de a, la desigualdad será verdadera de a, y en el intervalo de a, la desigualdad de cero es de poco interés para nosotros, porque tenemos un signo en la desigualdad.

Bueno, ya que lo descubrió, entonces es fácil: ¡escriba la respuesta! En respuesta, escribimos aquellos intervalos en los que el lado izquierdo es mayor que cero, que se lee como x pertenece al intervalo de menos infinito a menos uno y de dos a más infinito. Vale aclarar que el paréntesis significa que los valores que limitan el intervalo no son soluciones a la desigualdad, es decir, no están incluidos en la respuesta, sino que solo dicen que antes, por ejemplo, pero no es una solución.

Ahora un ejemplo en el que tendrás que dibujar no solo el intervalo:

¿Qué crees que debería hacerse antes de trazar puntos en el eje? Sí, tenlo en cuenta en factores:

Dibujamos intervalos y colocamos signos, notamos los puntos que hemos pinchado, porque el signo es estrictamente menor que cero:

¡Es hora de revelarles un secreto que les prometí al principio de este tema! ¡Y si te digo que no puedes sustituir valores de cada intervalo para determinar el signo, pero puedes determinar el signo en uno de los intervalos, y en el resto simplemente alternas los signos!

Por lo tanto, ahorramos un poco de tiempo en colocar letreros. ¡Creo que este tiempo ganado en el examen no vendrá mal!

Escribimos la respuesta:

Ahora considere un ejemplo de desigualdad fraccional-racional: una desigualdad, ambos lados de la cual son expresiones racionales (ver).

¿Qué puedes decir sobre esta desigualdad? Y lo miras como una ecuación racional fraccionaria, ¿qué hacemos primero? Inmediatamente vemos que no hay raíces, significa que definitivamente es racional, pero luego hay una fracción, ¡e incluso con una incógnita en el denominador!

Así es, ¡ODZ es necesario!

Entonces, vayamos más allá, aquí todos los factores excepto uno tienen una variable de primer grado, pero hay un factor donde x es de segundo grado. Por lo general, nuestro signo cambió después de pasar por uno de los puntos en los que el lado izquierdo de la desigualdad toma valor cero, para lo cual determinamos lo que debería ser igual ax en cada factor. Y aquí, por lo que siempre es positivo, tk. cualquier número al cuadrado> cero y un término positivo.

¿Qué crees que afectará el valor de la desigualdad? Así es, ¡no lo hará! Podemos dividir con seguridad la desigualdad en ambas partes y así eliminar este multiplicador para que los ojos no se vuelvan insensibles.

es el momento de dibujar los intervalos, para ello es necesario determinar los valores de los límites, al desviarse de los cuales los factores y serán mayores y menores que cero. Pero preste atención que aquí el signo significa el punto en el que el lado izquierdo de la desigualdad toma valor cero, no lo sacaremos, porque es una de las soluciones, tenemos uno de esos puntos, este es el punto donde x es igual a uno. ¿Y completa el punto donde el denominador es negativo? - ¡Por supuesto que no!

El denominador no debe ser cero, por lo que el intervalo se verá así:

De acuerdo con este esquema, puede escribir una respuesta fácilmente, solo diré que ahora tiene a su disposición un nuevo tipo de corchete: ¡cuadrado! Aquí hay un paréntesis [ dice que el valor está incluido en el intervalo de decisiones, es decir es parte de la respuesta, este corchete corresponde a un punto relleno (no perforado) en el eje.

Aquí, ¿obtuviste la misma respuesta?

Factorizamos y transferimos todo en una dirección, después de todo, solo necesitamos dejar cero a la derecha para compararlo:

Llamo su atención sobre el hecho de que en la última transformación, para obtener tanto el numerador como el denominador, multiplico ambos lados de la desigualdad por. Recuerde que cuando se multiplican ambos lados de la desigualdad, el signo de la desigualdad se invierte.

Escribimos ODZ:

De lo contrario, el denominador desaparecerá y, como recordará, ¡no podrá dividir por cero!

¡Debes admitir que en la desigualdad resultante se tienta a reducir en el numerador y denominador! ¡Esto no se puede hacer, puede perder algunas de las soluciones o la ODU!

Ahora intente trazar puntos en el eje usted mismo. Solo señalaré que al dibujar puntos, debe prestar atención al hecho de que un punto con un valor, que, según el signo, debería parecer trazado en el eje como pintado, no se pintará, lo hará ser pinchado! ¿Por qué preguntas? Y tú, ODZ, ¿recuerdas, no vas a dividir por cero así?

Recuerde, ¡ODZ está por encima de todo! Si todas las desigualdades y los signos iguales dicen una cosa y la ODZ otra, confía en la ODZ, ¡grande y poderosa! Bueno, trazó los intervalos, estoy seguro de que siguió mi consejo sobre la alternancia y lo obtuvo así (vea la imagen a continuación) ¡Ahora táchelo y no repita este error nuevamente! Cual es el error - usted pregunta.

El caso es que en esta desigualdad el factor se repitió dos veces (¿recuerdas cómo trataste de reducirlo?). Entonces, si algún factor se repite en la desigualdad un número par de veces, entonces al pasar por un punto en el eje que convierte este factor a cero (en este caso, un punto), el signo no cambiará, si es impar. , ¡entonces cambia el letrero!

El siguiente eje será correcto con intervalos y signos:

Y fíjense que el signo que nos interesa no es el que estaba al principio (cuando acabamos de ver la desigualdad, el signo era), después de las transformaciones, el signo cambió a, lo que significa que nos interesan los intervalos. con un cartel.

Respuesta:

También diré que hay situaciones en las que hay raíces de desigualdad que no se incluyen en ningún intervalo, en respuesta se escriben entre llaves, así, por ejemplo :. Puede leer más sobre este tipo de situaciones en el artículo de nivel intermedio.

Resumamos cómo resolver desigualdades usando el método de intervalo:

1. Mueva todo a la izquierda, deje solo cero a la derecha;
2. Encontramos la ODZ;
3. Trazamos en el eje todas las raíces de la desigualdad;
4. Tomamos uno arbitrario de uno de los intervalos y determinamos el signo en el intervalo al que pertenece la raíz, signos alternos, prestando atención a las raíces repetidas varias veces en la desigualdad, si el signo cambia al pasar por ellas o no depende de la uniformidad o rareza del número de veces que se repiten;
5. En respuesta, escribimos intervalos, observando puntos pinchados y no pinchados (ver ODZ), colocando los tipos de corchetes necesarios entre ellos.

Y finalmente, nuestra sección favorita, ¡"hágalo usted mismo"!

Ejemplos:

Respuestas:

MÉTODO DE INTERVALO. NIVEL PROMEDIO

Función lineal

Una función de la forma se llama lineal. Consideremos una función como ejemplo. Es positivo en y negativo en. El punto es el cero de la función (). Muestremos los signos de esta función en el eje numérico:

Decimos que "la función cambia de signo al pasar por un punto".

Se puede observar que los signos de la función corresponden a la posición del gráfico de la función: si el gráfico está por encima del eje, el signo es "", si está por debajo - "".

Si generalizamos la regla resultante a una función lineal arbitraria, obtenemos el siguiente algoritmo:

• Encuentra el cero de la función;
• Lo marcamos en el eje numérico;
• Determina el signo de la función en lados opuestos de cero.

Función cuadrática

Espero que recuerdes cómo se resuelven las desigualdades cuadradas. Si no es así, lea el tema. Permítanme recordarles la forma general de la función cuadrática :.

Ahora recordemos qué signos toma la función cuadrática. Su gráfica es una parábola, y la función toma el signo "" cuando la parábola está por encima del eje, y "" - si la parábola está por debajo del eje:

Si la función tiene ceros (valores en los cuales), la parábola interseca el eje en dos puntos: las raíces de la ecuación cuadrática correspondiente. Así, el eje se divide en tres intervalos, y los signos de la función cambian alternativamente al pasar por cada raíz.

¿Es posible definir de alguna manera los signos sin dibujar una parábola cada vez?

Recuerde que el trinomio cuadrado se puede factorizar:

Por ejemplo: .

Marquemos las raíces en el eje:

Recordamos que el signo de una función solo puede cambiar al pasar por la raíz. Usamos este hecho: para cada uno de los tres intervalos en los que el eje está dividido por raíces, es suficiente determinar el signo de la función solo en un punto elegido arbitrariamente: en los otros puntos del intervalo, el signo será el mismo.

En nuestro ejemplo: para, ambas expresiones entre paréntesis son positivas (sustituto, por ejemplo :). Ponemos el signo "" en el eje:

Bueno, para (sustituto, por ejemplo,) ambos paréntesis son negativos, lo que significa que el producto es positivo:

Eso es lo que es método de intervalo: conociendo los signos de los factores en cada intervalo, determinamos el signo de todo el producto.

Consideremos también los casos en los que la función no tiene ceros o solo tiene uno.

Si no están ahí, entonces no hay raíces. Esto significa que tampoco habrá un "cruce de raíces". Esto significa que la función toma solo un signo en todo el eje numérico. Es fácil definirlo sustituyéndolo en una función.

Si solo hay una raíz, la parábola toca el eje, por lo que el signo de la función no cambia al pasar por la raíz. ¿Qué regla podemos idear para tales situaciones?

Si factorizas dicha función, obtienes dos factores idénticos:

¡Y cualquier expresión al cuadrado no es negativa! Por tanto, el signo de la función no cambia. En tales casos, seleccionaremos una raíz, pasando por la cual el signo no cambia, rodeándola con un cuadrado:

Dicha raíz se llamará múltiple.

El método de intervalos en desigualdades.

Ahora, cualquier desigualdad cuadrada se puede resolver sin dibujar una parábola. Basta con disponer los signos de la función cuadrática en el eje y elegir los intervalos en función del signo de la desigualdad. Por ejemplo:

Midamos las raíces en el eje y coloquemos los signos:

Necesitamos la parte del eje con el signo ""; dado que la desigualdad no es estricta, las raíces mismas también se incluyen en la solución:

Ahora considere una desigualdad racional, una desigualdad, ambos lados de la cual son expresiones racionales (ver).

Ejemplo:

Todos los factores excepto uno - - aquí son "lineales", es decir, contienen la variable solo en el primer grado. Necesitamos tales factores lineales para aplicar el método de los intervalos: el signo cambia al pasar por sus raíces. Pero el factor no tiene raíces en absoluto. Esto significa que siempre es positivo (compruébalo tú mismo) y, por lo tanto, no afecta el signo de todas las desigualdades. Esto significa que podemos dividir los lados izquierdo y derecho de la desigualdad en él, y así deshacernos de él:

Ahora todo es igual que con las desigualdades cuadradas: determinamos en qué puntos desaparece cada uno de los factores, marcamos estos puntos en el eje y colocamos signos. Me gustaría llamar su atención sobre un hecho muy importante:

Respuesta: . Ejemplo:.

Para aplicar el método de intervalos, es necesario que en una de las partes de la desigualdad haya. Por tanto, moveremos el lado derecho al izquierdo:

El numerador y el denominador tienen el mismo multiplicador, ¡pero no tenemos prisa por reducirlo! Después de todo, entonces podemos olvidarnos de sacar este punto. Es mejor marcar esta raíz como múltiplo, es decir, al pasar por ella el signo no cambiará:

Respuesta: .

Y un ejemplo más muy ilustrativo:

Nuevamente, no cancelamos los mismos factores del numerador y el denominador, porque si cancelamos, tendremos que recordar específicamente que necesitamos resaltar un punto.

• : repetidas veces;
• : tiempos;
• : tiempos (en el numerador y uno en el denominador).

En el caso de un número par, hacemos lo mismo que antes: rodear el punto con un cuadrado y no cambiar el signo al pasar por la raíz. Pero en el caso de un número impar, esta regla no se cumple: el signo seguirá cambiando al pasar por la raíz. Por lo tanto, no hacemos nada adicionalmente con dicha raíz, como si no fuera un múltiplo de ella. Las reglas anteriores se aplican a todos los grados pares e impares.

¿Qué escribiremos en la respuesta?

Si se viola la alternancia de signos, debe tener mucho cuidado, porque si la desigualdad no es estricta, la respuesta debe ser todos los puntos llenos... Pero algunos de los intentos suelen ser independientes, es decir, no entran en el área sombreada. En este caso, los agregamos a la respuesta como puntos aislados (entre llaves):

Ejemplos (decida usted mismo):

Respuestas:

1. Si es simple entre los multiplicadores, esta es la raíz, porque se puede representar como.
   .

MÉTODO DE INTERVALO. BREVEMENTE SOBRE EL PRINCIPAL

El método de intervalo se utiliza para resolver desigualdades racionales. Consiste en determinar el signo del producto mediante los signos de los factores en varios intervalos.

Algoritmo para resolver desigualdades racionales por el método de intervalos.

• Mueva todo a la izquierda, deje solo cero a la derecha;
• Encontramos la ODZ;
• Trazamos en el eje todas las raíces de la desigualdad;
• Tomamos uno arbitrario de uno de los intervalos y determinamos el signo en el intervalo al que pertenece la raíz, signos alternos, prestando atención a las raíces repetidas varias veces en la desigualdad, si el signo cambia al pasar por ellas o no depende de la uniformidad o rareza del número de veces que se repiten;
• En respuesta, escribimos intervalos, observando puntos pinchados y no pinchados (ver ODZ), colocando los tipos de corchetes necesarios entre ellos.

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