Resolver ecuaciones de grados superiores mediante varios métodos.

Objetivos básicos:

Reforzar el concepto de una ecuación racional completa de enésimo grado.
Formular los principales métodos para resolver ecuaciones de grados superiores (n > 3).
Enseñar los métodos básicos de resolución de ecuaciones de grados superiores.
Enseñar por el tipo de ecuación para determinar la forma más efectiva de resolverla.

Formas, métodos y técnicas pedagógicas que utiliza el docente en la lección:

Sistema de formación conferencia-seminario (conferencias - explicación de nuevo material, seminarios - resolución de problemas).
Tecnologías de la información y la comunicación (estudio frontal, trabajo oral con la clase).
Docencia diferenciada, grupal e individual.
El uso de un método de investigación en la enseñanza destinado a desarrollar el aparato matemático y las habilidades de pensamiento de cada estudiante en particular.
Material impreso: un breve resumen individual de la lección (conceptos básicos, fórmulas, declaraciones, material de la conferencia se comprime en forma de diagramas o tablas).

Plan de estudios:

Organizar el tiempo.
El propósito de la etapa: incluir a los estudiantes en las actividades educativas, determinar el contenido de la lección.
Actualización de los conocimientos de los estudiantes.
El propósito de la etapa: actualizar el conocimiento de los estudiantes sobre temas relacionados previamente estudiados
Estudio de un tema nuevo (conferencia). El propósito de la etapa: formular los principales métodos para resolver ecuaciones de grados superiores (n > 3)
Resumiendo.
El propósito de la etapa: resaltar una vez más los puntos clave del material estudiado en la lección.
Deberes.
El propósito de la etapa: formular tareas para los estudiantes.

Resumen de la lección

1. Momento organizacional.

Formulación del tema de la lección: “Ecuaciones de los grados más altos. Métodos para su solución ”.

2. Actualización de los conocimientos de los estudiantes.

Encuesta teórica - conversación. Repetición de alguna información de la teoría previamente estudiada. Los estudiantes formulan definiciones básicas y formulan teoremas necesarios. Se dan ejemplos para demostrar el nivel de conocimiento adquirido anteriormente.

El concepto de ecuación en una variable.
El concepto de raíz de la ecuación, la solución de la ecuación.
El concepto de ecuación lineal en una variable, el concepto de ecuación cuadrática en una variable.
El concepto de equivalencia de ecuaciones, ecuación-consecuencia (concepto de raíces extrañas), transición no por consecuencia (el caso de pérdida de raíces).
El concepto de expresión racional completa con una variable.
El concepto de una ecuación racional completa norte-th grado. La forma estándar de toda la ecuación racional. Ecuación racional completa reducida.
Haga la transición a un conjunto de ecuaciones de grados más bajos factorizando la ecuación original.
Concepto de polinomio norte-th grado desde x... Teorema de Bezout. Consecuencias del teorema de Bezout. Teoremas de la raíz ( Z-raíces y Q-raíces) de una ecuación racional completa con coeficientes enteros (reducidos y no reducidos, respectivamente).
El plan de Horner.

3. Estudiar un tema nuevo.

Consideraremos toda la ecuación racional norte-th grado de la forma estándar con una variable desconocida x: P n (x) \u003d 0, donde P norte (x) \u003d una norte x norte + una norte-1 x norte-1 + una 1 x + una 0 - polinomio norte-th grado desde x, una n ≠ 0. Si un una n \u003d 1 entonces dicha ecuación se llama ecuación racional completa reducida norte-th grado. Considere tales ecuaciones para diferentes valores. norte y enumere los principales métodos para resolverlos.

norte \u003d 1 - ecuación lineal.

norte \u003d 2 - ecuación cuadrática. Fórmula discriminante. Fórmula para calcular raíces. Teorema de Vieta. Seleccionar un cuadrado completo.

norte \u003d 3 - ecuación cúbica.

Método de agrupación.

Ejemplo: x 3 - 4x 2 - x+ 4 \u003d 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1, X 3 = -1.

Ecuación cúbica inversa de la forma hacha 3 + bx 2 + bx + una \u003d 0. Resuelve combinando términos con los mismos coeficientes.

Ejemplo: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Selección de raíces Z según el teorema. El plan de Horner. Al aplicar este método, es necesario enfatizar que la búsqueda en este caso es finita, y seleccionamos las raíces según un algoritmo determinado de acuerdo con el teorema de Z-raíces de la ecuación racional entera reducida con coeficientes enteros.

Ejemplo: X 3 – 9x 2 + 23x- 15 \u003d 0. Ecuación dada. Anotemos los divisores del término libre ( + 1; + 3; + 5; + 15). Apliquemos el esquema de Horner:

	x 3	x 2	x 1	x 0	salida
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 - 9 \u003d -8	1 x (-8) + 23 \u003d 15	1 x 15 - 15 \u003d 0	1 - raíz
	x 2	x 1	x 0

Obtenemos ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Ecuación con coeficientes enteros. Selección de raíces Q basada en el teorema. El plan de Horner. Al aplicar este método, es necesario enfatizar que la búsqueda en este caso es finita y seleccionamos las raíces según un algoritmo determinado de acuerdo con el teorema Q-raíces de una ecuación racional completa irreductible con coeficientes enteros.

Ejemplo: 9 x 3 + 27x 2 – x - 3 \u003d 0. La ecuación no se reduce. Anotemos los divisores del término libre ( + 1; + 3). Anotemos los divisores del coeficiente a la potencia más alta de lo desconocido. ( + 1; + 3; + 9) Por tanto, buscaremos raíces entre los valores ( + 1; + ; + ; + 3). Apliquemos el esquema de Horner:

	x 3	x 2	x 1	x 0	salida
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 \u003d 36	1 x 36 - 1 \u003d 35	1 x 35 - 3 \u003d 32 ≠ 0	1 - no root
-1	9	-1 x 9 + 27 \u003d 18	-1 x 18 - 1 \u003d -19	-1 x (-19) - 3 \u003d 16 ≠ 0	-1 - no root
	9	x 9 + 27 \u003d 30	x 30 - 1 \u003d 9	x 9 - 3 \u003d 0	raíz
	x 2	x 1	x 0

Obtenemos ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Para facilitar el cálculo al seleccionar Q -raíces a veces es conveniente hacer un cambio de variable, ir a la ecuación reducida y seleccionar Z -raíces.

Si el término libre es 1

.

Si puede utilizar una sustitución del formulario y \u003d kx

.

Fórmula Cardano. Existe un método universal para resolver ecuaciones cúbicas: esta es la fórmula de Cardano. Esta fórmula está asociada con los nombres de los matemáticos italianos Gerolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Tartaglia (1500-1557), Scipiona del Ferro (1465-1526). Esta fórmula está fuera del alcance de nuestro curso.

norte \u003d 4 - ecuación del cuarto grado.

Método de agrupación.

Ejemplo: X 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x - 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Método de sustitución variable.

Ecuación bicuadrática de la forma hacha 4 + bx 2 + s = 0 .

Ejemplo: x 4 + 5x 2 - 36 \u003d 0. Sustitución y = x 2. De aquí y 1 = 4, y 2 \u003d -9. por lo tanto x 1,2 = + 2 .

Ecuación inversa del cuarto grado de la forma hacha 4 + bx 3 + c x 2 + bx + una = 0.

Resolvemos combinando términos con los mismos coeficientes reemplazando la forma

hacha 4 + bx 3 + cx 2 – bx + una = 0.

Ecuación de retorno de cuarto grado generalizada de la forma hacha 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2a \u003d 0.

Reemplazo de vista general. Algunos reemplazos estándar.

Ejemplo 3 . Reemplazo de vista general (se deriva de la forma de una ecuación específica).

norte = 3.

Ecuación con coeficientes enteros. Montaje de Q-roots norte = 3.

Formula general. Existe un método universal para resolver ecuaciones de cuarto grado. Esta fórmula está asociada al nombre de Ludovico Ferrari (1522-1565). Esta fórmula está fuera del alcance de nuestro curso.

norte > 5 - ecuaciones de quinto y grado superior.

Ecuación con coeficientes enteros. Selección de raíces Z según el teorema. El plan de Horner. El algoritmo es similar al considerado anteriormente para norte = 3.

Ecuación con coeficientes enteros. Montaje de Q-roots basado en el teorema. El plan de Horner. El algoritmo es similar al considerado anteriormente para norte = 3.

Ecuaciones simétricas. Cualquier ecuación de retorno de grado impar tiene una raíz x \u003d -1 y después de factorizarlo en factores obtenemos que un factor tiene la forma ( x + 1), y el segundo factor es la ecuación de retorno de un grado par (su grado es uno menos que el grado de la ecuación original). Cualquier ecuación recurrente de grado par junto con una raíz de la forma x \u003d φ contiene la raíz de la especie. Usando estos enunciados, resolvemos el problema reduciendo el grado de la ecuación en estudio.

Método de sustitución variable. Usando uniformidad.

No existe una fórmula general para resolver ecuaciones completas de quinto grado (esto fue demostrado por el matemático italiano Paolo Ruffini (1765-1822) y el matemático noruego Nils Henrik Abel (1802-1829)) y grados superiores (esto lo demostró el matemático francés Evariste Galois (1811-1832) )).

Recordemos de nuevo que en la práctica es posible utilizar combinaciones métodos enumerados anteriormente. Es conveniente pasar a un conjunto de ecuaciones de grados inferiores mediante factorización de la ecuación original.
Ampliamente utilizado en la práctica quedó fuera del alcance de nuestra discusión de hoy. métodos gráficos soluciones de ecuaciones y métodos de solución aproximados ecuaciones de grados superiores.

Hay situaciones en las que la ecuación no tiene raíces R.

Usando la propiedad de monotonicidad de las funciones

4. Resumiendo.

Resumen: Ahora dominamos los métodos básicos para resolver varias ecuaciones de grados superiores (para n > 3). Nuestra tarea es aprender a utilizar eficazmente los algoritmos enumerados anteriormente. Dependiendo del tipo de ecuación, tendremos que aprender a determinar qué método de solución en este caso es el más efectivo, así como a aplicar correctamente el método elegido.

5. Tarea.

: pág.7, pág.164-174, núm. 33-36, 39-44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Posibles temas de informes o resúmenes sobre este tema:

Fórmula Cardano
Método gráfico para resolver ecuaciones. Ejemplos de soluciones.
Métodos para la solución aproximada de ecuaciones.

Análisis de la asimilación del material y el interés de los estudiantes por el tema:

La experiencia muestra que los estudiantes están interesados \u200b\u200bprincipalmente en la posibilidad de contratar Z-raíces y Q-raíces de ecuaciones usando un algoritmo bastante simple usando el esquema de Horner. Además, los estudiantes están interesados \u200b\u200ben varios tipos estándar de sustituciones de variables que pueden simplificar enormemente el problema. Los métodos de solución gráfica suelen ser de especial interés. En este caso, también puede desensamblar las tareas en un método gráfico para resolver ecuaciones; discutir la vista general de la gráfica para un polinomio de 3, 4, 5 grados; Analizar cómo se relaciona el número de raíces de ecuaciones de 3, 4, 5 grados con el tipo de gráfica correspondiente. A continuación se muestra una lista de libros en los que puede encontrar información adicional sobre este tema.

Lista de referencias:

Vilenkin N. Ya. et al. “Álgebra. Libro de texto para estudiantes de noveno grado con estudio en profundidad de las matemáticas ”- M., Educación, 2007 - 367 p.
Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F. “Detrás de las páginas de un libro de texto de matemáticas. Aritmética. Álgebra. Grado 10-11 ”- M., Educación, 2008 - 192 p.
Vygodsky M. Ya. "Manual de Matemáticas" - M., AST, 2010 - 1055 p.
Galitsky M.L.“Colección de problemas de álgebra. Libro de texto para los grados 8-9 con un estudio en profundidad de las matemáticas ”- M., Educación, 2008 - 301 p.
Zvavich L.I. et al. “Álgebra y el comienzo del análisis. 8-11 cl. Un manual para escuelas y clases con un estudio en profundidad de las matemáticas ”- M., Bustard, 1999 - 352 p.
Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N. "Tareas en matemáticas para prepararse para el examen escrito en el grado 9" - M., Educación, 2007 - 112 p.
Ivanov A.A., Ivanov A.P. “Pruebas temáticas para la sistematización del conocimiento en matemáticas” parte 1 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
Ivanov A.A., Ivanov A.P. “Pruebas temáticas para la sistematización del conocimiento en matemáticas” parte 2 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
Ivanov A.P. “Pruebas y tests en matemáticas. Tutorial". - M., Fizmatkniga, 2008 - 304 p.
Leibson K.L. “Recopilación de trabajos prácticos en matemáticas. Parte 2-9 grado "- M., MCNMO, 2009 - 184 p.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Álgebra. Capítulos adicionales al libro de texto de la escuela de noveno grado. Un libro de texto para estudiantes en escuelas y clases con estudios avanzados de matemáticas ". - M., Educación, 2006 - 224 p.
Mordkovich A.G. "Álgebra. Estudio avanzado. Octavo grado. Libro de texto "- M., Mnemosina, 2006 - 296 p.
Savin A.P. “Diccionario enciclopédico de un joven matemático” - M., Pedagogía, 1985 - 352 p.
Survillo G.S., Simonov A.S. “Materiales didácticos sobre álgebra para 9º grado con estudio en profundidad de las matemáticas” - M., Educación, 2006 - 95 p.
Chulkov P.V. “Ecuaciones y desigualdades en el curso de matemática escolar. Lectures 1–4 ”- M., 1 de septiembre de 2006 - 88 p.
Chulkov P.V. “Ecuaciones y desigualdades en el curso de matemática escolar. Lectures 5-8 ”- M., 1 de septiembre de 2009 - 84 p.

Trifanova Marina Anatolievna
profesor de matemáticas, MOU "Gymnasium No. 48 (multidisciplinario)", Talnakh

La meta trina de la lección:

Educativo:
sistematización y generalización de conocimientos sobre resolución de ecuaciones de grados superiores.
Desarrollando:
promover el desarrollo del pensamiento lógico, la capacidad de trabajar de forma independiente, las habilidades de control mutuo y autocontrol, la capacidad de hablar y escuchar.
Educativo:
desarrollar un hábito de empleo constante, fomentar la capacidad de respuesta, el trabajo duro y la precisión.

Tipo de lección:

una lección sobre la aplicación compleja de conocimientos, habilidades y habilidades.

Forma de lección:

aireación, minutos físicos, diversas formas de trabajo.

Equipo:

notas básicas, tarjetas con asignaciones, matriz de seguimiento de lecciones.

DURANTE LAS CLASES

I. Momento organizativo

Comunicar el objetivo de la lección a los estudiantes.
Verificación de tareas (Apéndice 1). Trabaje con notas de referencia (Apéndice 2).

Las ecuaciones y las respuestas se escriben en la pizarra para cada uno de ellos. Los estudiantes verifican las respuestas y hacen un análisis rápido de la solución de cada ecuación o responden las preguntas del profesor (encuesta frontal). Autocontrol: los estudiantes se califican a sí mismos y entregan los cuadernos de ejercicios al maestro para que los corrija o apruebe. La escuela primaria está escrita en la pizarra:

“5+” - 6 ecuaciones;
“5” - 5 ecuaciones;
“4” - 4 ecuaciones;
“3” - 3 ecuaciones.

Preguntas sobre la tarea del maestro:

1 ecuación

¿Qué cambio de variables se realiza en la ecuación?
¿Qué ecuación se obtiene después de cambiar las variables?

2 ecuación

¿En qué polinomio se dividieron ambos lados de la ecuación?
¿Qué cambio de variables se obtuvo?

3 ecuación

¿Qué polinomios se deben multiplicar para simplificar la solución de esta ecuación?

4 ecuación

Nombra la función f (x).
¿Cómo se encontraron el resto de raíces?

Ecuación 5

¿Cuántos huecos se obtuvieron para resolver la ecuación?

6 ecuación

¿De qué formas se podría resolver esta ecuación?
¿Qué solución es más racional?

II. Trabajar en grupos es la parte principal de la lección.

La clase se divide en 4 grupos. A cada grupo se le entrega una tarjeta con preguntas teóricas y prácticas (Apéndice 3): "Deconstruya el método propuesto para resolver la ecuación y explíquelo usando este ejemplo".

Trabajo en grupo 15 minutos.
Los ejemplos están escritos en la pizarra (la pizarra está dividida en 4 partes).
El informe de grupo tarda de 2 a 3 minutos.
El profesor corrige los informes de los grupos y ayuda en caso de dificultad.

El trabajo en grupo continúa en las tarjetas 5 a 8. Cada ecuación tiene 5 minutos para discusión en grupo. Luego, hay un informe sobre esta ecuación en la junta: un breve análisis de la solución. Es posible que la ecuación no se resuelva por completo: se está finalizando en casa, pero la secuencia de su solución en el aula se discute por todas partes.

III. Trabajo independiente.Apéndice 4.

Cada estudiante recibe una tarea individual.
El tiempo de trabajo toma 20 minutos.
5 minutos antes del final de la lección, el maestro da respuestas abiertas para cada ecuación.
Los estudiantes cambian los cuadernos en un círculo y verifican las respuestas de un amigo. Dar marcas.
Los cuadernos se entregan al maestro para que revise y corrija las calificaciones.

IV. Resumen de la lección.

Deberes.

Consulte la solución a ecuaciones inconclusas. Prepárese para una rebanada de control.

Calificación.

Considerar soluciones de ecuaciones con una variable de grado superior a la segunda.

El grado de la ecuación P (x) \u003d 0 es el grado del polinomio P (x), es decir el mayor de los grados de sus términos con un coeficiente no igual a cero.

Entonces, por ejemplo, la ecuación (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 tiene el quinto grado, ya que después de las operaciones de abrir corchetes y traer otros similares, obtenemos la ecuación equivalente x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 del quinto grado.

Recordemos las reglas que serán necesarias para resolver ecuaciones de grado superior a dos.

Declaraciones sobre las raíces de un polinomio y sus divisores:

1. El polinomio de enésimo grado tiene el número de raíces como máximo n, y las raíces de multiplicidad m ocurren exactamente m veces.

2. Un polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real.

3. Si α es una raíz de P (x), entonces P n (x) \u003d (x - α) Q n - 1 (x), donde Q n - 1 (x) es un polinomio de grado (n - 1).

5. El polinomio reducido con coeficientes enteros no puede tener raíces racionales fraccionarias.

6. Para un polinomio de grado 3

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d una de dos cosas es posible: o se descompone en un producto de tres binomios

Р 3 (x) \u003d а (х - α) (х - β) (х - γ), o se puede descomponer en el producto de un binomio y un trinomio cuadrado Р 3 (x) \u003d а (х - α) (х 2 + βх + γ ).

7. Cualquier polinomio de cuarto grado se puede descomponer en el producto de dos trinomios cuadrados.

8. El polinomio f (x) es divisible por el polinomio g (x) sin residuo si hay un polinomio q (x) tal que f (x) \u003d g (x) q (x). Para dividir polinomios, se aplica la regla de "división de esquinas".

9. Para la divisibilidad del polinomio P (x) en el binomio (x - c), es necesario y suficiente que el número c sea una raíz de P (x) (Corolario del teorema de Bezout).

10. Teorema de Vieta: si x 1, x 2, ..., x n son raíces reales del polinomio

P (x) \u003d a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, entonces se mantienen las siguientes igualdades:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x norte - 1 x norte \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x norte - 2 x norte - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x norte \u003d (-1) norte a norte / a 0.

Ejemplos de soluciones

Ejemplo 1.

Encuentre el resto de dividir P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 por (x - 1/3).

Decisión.

Como corolario del teorema de Bezout: "El resto de dividir un polinomio por un binomio (x - c) es igual al valor del polinomio en c" Encontremos Р (1/3) \u003d 0. Por lo tanto, el resto es 0 y el número 1/3 es la raíz del polinomio.

Respuesta: R \u003d 0.

Ejemplo 2.

Dividir con una esquina 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 por (x + 2). Encuentra el resto y el cociente incompleto.

Decisión:

2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 | x + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 - x

X 2 - 2 x

Respuesta: R \u003d 3; privado: 2x 2 - x.

Métodos básicos para resolver ecuaciones de grados superiores.

1. Introducción de una nueva variable

El método de introducir una nueva variable ya está familiarizado con el ejemplo de ecuaciones bicuadráticas. Consiste en que para resolver la ecuación f (x) \u003d 0, se introduce una nueva variable (sustitución) t \u003d x no t \u003d g (x) y se expresa f (x) en términos de t, obteniendo una nueva ecuación r (t). Luego, resolviendo la ecuación r (t), se encuentran las raíces:

(t 1, t 2, ..., t n). Después de eso, se obtiene un conjunto de n ecuaciones q (x) \u003d t 1, q (x) \u003d t 2, ..., q (x) \u003d t n, a partir de las cuales se encuentran las raíces de la ecuación original.

Ejemplo 1.

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 \u003d 0.

Decisión:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 \u003d 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 \u003d 0.

Reemplazo (x 2 + x + 1) \u003d t.

t 2 - 3t + 2 \u003d 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Reemplazo inverso:

x 2 + x + 1 \u003d 2 o x 2 + x + 1 \u003d 1;

x 2 + x - 1 \u003d 0 o x 2 + x \u003d 0;

Respuesta: De la primera ecuación: x 1, 2 \u003d (-1 ± √5) / 2, de la segunda: 0 y -1.

2. Factorización por agrupación y fórmulas de multiplicación reducida

La base de este método tampoco es nueva y consiste en agrupar los términos de tal forma que cada grupo contenga un factor común. Para ello, en ocasiones hay que utilizar algunos métodos artificiales.

Ejemplo 1.

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 \u003d 0.

Decisión.

Imagínese - 3x 2 \u003d -2x 2 - x 2 y agrupe:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) \u003d 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) \u003d 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 \u003d 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) \u003d 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) \u003d 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 o x 2 + x - 3 \u003d 0.

Respuesta: No hay raíces en la primera ecuación, a partir de la segunda: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. Factorización por el método de coeficientes indefinidos

La esencia del método es que el polinomio original se descompone en factores con coeficientes desconocidos. Usando la propiedad de que los polinomios son iguales si sus coeficientes son iguales en los mismos grados, se encuentran los coeficientes de expansión desconocidos.

Ejemplo 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d 0.

Decisión.

Un polinomio de tercer grado se puede expandir en un producto de un factor lineal y cuadrado.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (segundo - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Habiendo resuelto el sistema:

(b - a \u003d 4,
(c - ab \u003d 5,
(-ac \u003d 2,

(a \u003d -1,
(b \u003d 3,
(c \u003d 2, es decir

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Las raíces de la ecuación (x + 1) (x 2 + 3x + 2) \u003d 0 son fáciles de encontrar.

Respuesta 1; -2.

4. Método de selección de la raíz por el coeficiente más alto y libre

El método se basa en la aplicación de teoremas:

1) Cualquier raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros es un divisor de una intersección.

2) Para que la fracción irreducible p / q (p es un número entero, q es un natural) sea una raíz de una ecuación con coeficientes enteros, es necesario que el número p sea un divisor entero del término libre a 0 y q sea un divisor natural del coeficiente principal.

Ejemplo 1.

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 \u003d 0.

Decisión:

6: q \u003d 1, 2, 3, 6.

Por lo tanto, p / q \u003d ± 1, ± 2, ± 1/2, ± 1/3, ± 2/3, ± 1/6.

Habiendo encontrado una raíz, por ejemplo - 2, encontramos las otras raíces usando la división por un ángulo, el método de coeficientes indefinidos o el esquema de Horner.

Respuesta: -2; 1/2; 1/3.

¿Aún tienes preguntas? ¿No estás seguro de cómo resolver ecuaciones?
Para obtener ayuda de un tutor -.
¡La primera lección es gratis!

blog.sitio, con copia total o parcial del material, se requiere un enlace a la fuente.

El texto de la obra se coloca sin imágenes ni fórmulas.
La versión completa del trabajo está disponible en la pestaña "Archivos de trabajo" en formato PDF.

Introducción

Resolver ecuaciones algebraicas de grados superiores en una incógnita es uno de los problemas matemáticos más difíciles y antiguos. Los matemáticos más destacados de la antigüedad se ocuparon de estos problemas.

La solución de ecuaciones de enésimo grado es un problema importante para las matemáticas modernas. El interés en ellos es bastante grande, ya que estas ecuaciones están estrechamente relacionadas con la búsqueda de las raíces de ecuaciones que no se consideran en el currículo escolar en matemáticas.

Problema: la falta de habilidades para resolver ecuaciones de grados superiores de diversas formas entre los estudiantes les impide prepararse con éxito para la certificación final en matemáticas y las Olimpíadas matemáticas, impartiendo clases en una clase especializada en matemáticas.

Los hechos enumerados determinados relevancia de nuestro trabajo "Resolución de ecuaciones de grados superiores".

La posesión de los métodos más simples para resolver ecuaciones de enésimo grado reduce el tiempo para completar la tarea, de la que dependen el resultado del trabajo y la calidad del proceso de aprendizaje.

Objetivo: estudio de métodos conocidos para la resolución de ecuaciones de grados superiores e identificación de los más accesibles para su aplicación práctica.

Con base en este objetivo, el trabajo identificó lo siguiente tareas:

Estudie literatura y recursos de Internet sobre este tema;

Familiarícese con los hechos históricos relacionados con este tema;

Describir las diferentes formas de resolver ecuaciones de grado superior.

comparar el grado de complejidad de cada uno de ellos;

Familiarizar a los compañeros con los métodos para resolver ecuaciones de grados superiores;

Cree un conjunto de ecuaciones para la aplicación práctica de cada uno de los métodos considerados.

Objeto de estudio - ecuaciones de grados superiores con una variable.

Tema de estudio - formas de resolver ecuaciones de grados superiores.

Hipótesis:no existe un método general y un algoritmo unificado que permita encontrar soluciones a ecuaciones de enésimo grado en un número finito de pasos.

Métodos de búsqueda:

- método bibliográfico (análisis de la literatura sobre el tema de investigación);

- método de clasificación;

- método de análisis cualitativo.

Significado teóricola investigación consiste en la sistematización de métodos para la resolución de ecuaciones de grados superiores y la descripción de sus algoritmos.

Significado práctico - envió material sobre este tema y la elaboración de un libro de texto para estudiantes sobre este tema.

1 ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

1.1 Concepto de ecuación de n-ésimo grado

Definición 1.Una ecuación de enésimo grado es una ecuación de la forma

una 0 xⁿ + a 1 xnorte -1 + un 2 xⁿ - ² + ... + anorte -1 x + an \u003d 0, donde los coeficientes una 0, una 1, una 2…, unanorte -1, unan- cualquier número real, y , una 0 ≠ 0 .

Polinomio una 0 xⁿ + a 1 xnorte -1 + un 2 xⁿ - ² + ... + anorte -1 x + an se llama polinomio de grado n. Las probabilidades se distinguen por sus nombres: una 0 - coeficiente senior; unan es un miembro gratuito.

Definición 2. Soluciones o raíces para una ecuación dada son todos valores de la variable x, que convierten esta ecuación en una verdadera igualdad numérica o, para lo cual el polinomio una 0 xⁿ + a 1 xnorte -1 + un 2 xⁿ - ² + ... + anorte -1 x + an desaparece. Este valor de la variable xtambién se llama raíz del polinomio. Resolver una ecuación significa encontrar todas sus raíces o establecer que no existen.

Si un una 0 \u003d 1, entonces dicha ecuación se llama ecuación racional completa reducida n th la licenciatura.

Para las ecuaciones de tercer y cuarto grados, existen fórmulas de Cardano y Ferrari que expresan las raíces de estas ecuaciones en términos de radicales. Resultó que, en la práctica, rara vez se utilizan. Por lo tanto, si n ≥ 3, y los coeficientes del polinomio son números reales arbitrarios, entonces encontrar las raíces de la ecuación no es una tarea fácil. Sin embargo, en muchos casos especiales, este problema se resuelve hasta el final. Detengámonos en algunos de ellos.

1.2 Hechos históricos de la resolución de ecuaciones de grados superiores

Ya en la antigüedad, la gente se dio cuenta de lo importante que es aprender a resolver ecuaciones algebraicas. Hace unos 4000 años, los científicos babilónicos dominaron la solución de una ecuación cuadrática y resolvieron sistemas de dos ecuaciones, de las cuales una es de segundo grado. Con la ayuda de ecuaciones de los más altos grados, se resolvieron diversos problemas de agrimensura, arquitectura y asuntos militares, a ellos se les redujeron muchas y diversas cuestiones de práctica y ciencias naturales, ya que el lenguaje exacto de las matemáticas le permite simplemente expresar hechos y relaciones que, al ser presentados en lenguaje común, pueden parecer confusos y complicados. ...

Una fórmula universal para encontrar las raíces de una ecuación algebraica enésimo grado no. Muchos, por supuesto, tuvieron la tentadora idea de encontrar para cualquier potencia n fórmulas que expresarían las raíces de la ecuación en términos de sus coeficientes, es decir, resolverían la ecuación en radicales.

Solo en el siglo XVI, los matemáticos italianos lograron avanzar más, para encontrar fórmulas para n \u003d 3 y n \u003d 4. Al mismo tiempo, Scipio, Dal, Ferro y sus estudiantes Fiori y Tartaglia estaban involucrados en la cuestión de la solución general de ecuaciones de tercer grado.

En 1545 se publicó el libro del matemático italiano D. Cardano "El gran arte, o las reglas del álgebra", donde, junto con otras cuestiones de álgebra, se consideraron métodos generales para resolver ecuaciones cúbicas, así como el método para resolver ecuaciones de cuarto grado, descubierto por su alumno L. Ferrari.

F. Viet dio una exposición completa de cuestiones relacionadas con la solución de ecuaciones de tercer y cuarto grados.

En los años 20 del siglo XIX, el matemático noruego N. Abel demostró que las raíces de las ecuaciones de quinto grado no se pueden expresar en términos de radicales.

Durante el estudio, se reveló que la ciencia moderna conoce muchas formas de resolver ecuaciones de enésimo grado.

El resultado de la búsqueda de métodos para resolver ecuaciones de grados superiores que no pueden ser resueltos por los métodos considerados en el currículo escolar fueron métodos basados \u200b\u200ben la aplicación del teorema de Vieta (para ecuaciones de grado n\u003e 2), Los teoremas de Bezout, los esquemas de Horner, así como la fórmula de Cardano y Ferrari para resolver ecuaciones cúbicas y de cuarto grado.

El artículo presenta métodos para resolver ecuaciones y sus tipos, que se convirtió en un descubrimiento para nosotros. Estos incluyen el método de coeficientes indefinidos, la selección de ecuaciones simétricas de grado completo.

2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES INTEGRALES DE GRADOS MÁS ALTOS CON COEFICIENTES INTEGRALES

2.1 Solución de ecuaciones de 3er grado. Fórmula D. Cardano

Considere ecuaciones de la forma x 3 + px + q \u003d 0.Transformamos la ecuación general a la forma: x 3 + px 2 + qx + r \u003d 0. Escribamos la fórmula del cubo de la suma; Agregamos a la igualdad original y reemplazamos con y... Obtenemos la ecuación: y 3 + (q -) (y -) + (r - \u003d 0. Después de las transformaciones, tenemos: y 2 + py + q \u003d 0. Ahora, de nuevo, escribe la fórmula del cubo de la suma:

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 \u003d a 3 + b 3 + 3ab (a + b), reemplazar ( a + b)sobre el x, obtenemos la ecuación x 3 - 3abx - (a 3 + b 3) = 0. Ahora puede ver que la ecuación original es equivalente al sistema: y Resolviendo el sistema, obtenemos:

Hemos obtenido una fórmula para resolver la ecuación reducida de tercer grado. Lleva el nombre del matemático italiano Cardano.

Veamos un ejemplo. Resuelve la ecuación:.

Tenemos r \u003d 15 y q \u003d 124, luego usando la fórmula de Cardano calculamos la raíz de la ecuación

Conclusión: esta fórmula es buena, pero no adecuada para resolver todas las ecuaciones cúbicas. Sin embargo, es engorroso. Por lo tanto, en la práctica, rara vez se usa.

Pero aquellos que dominen esta fórmula pueden usarla para resolver ecuaciones de tercer grado en el examen.

2.2 Teorema de Vieta

Por el curso de matemáticas, conocemos este teorema para una ecuación cuadrática, pero pocas personas saben que también se usa para resolver ecuaciones de grados superiores.

Considere la ecuación:

factorizar el lado izquierdo de la ecuación, dividir por ≠ 0.

Transformamos el lado derecho de la ecuación a la forma

; de donde se sigue que las siguientes igualdades se pueden escribir en el sistema:

Las fórmulas derivadas por Viet para ecuaciones cuadráticas y demostradas por nosotros para ecuaciones de tercer grado también son válidas para polinomios de grados superiores.

Resolvamos la ecuación cúbica:

Conclusión: este método es universal y lo suficientemente fácil de entender para los estudiantes, ya que el teorema de Vieta les resulta familiar en el plan de estudios de la escuela para n = 2. Al mismo tiempo, para encontrar las raíces de las ecuaciones usando este teorema, uno debe tener buenas habilidades de cálculo.

2.3 Teorema de Bezout

Este teorema lleva el nombre del matemático francés del siglo XVIII J. Bezout.

Teorema.Si la ecuación una 0 xⁿ + a 1 xnorte -1 + un 2 xⁿ - ² + ... + anorte -1 x + an \u003d 0, en el que todos los coeficientes son números enteros y el término libre es distinto de cero, tiene una raíz entera, entonces esta raíz es un divisor del término libre.

Considerando que en el lado izquierdo de la ecuación hay un polinomio de enésimo grado, el teorema tiene una interpretación diferente.

Teorema. Al dividir un polinomio de grado n con respecto a x binomio x - a el resto es igual al valor del dividendo en x \u003d a... (letra una puede denotar cualquier número real o imaginario, es decir cualquier número complejo).

Evidencia: permitir f (x) denota un polinomio arbitrario de n-ésimo grado con respecto a la variable x y sea, al dividir por un binomio ( x-a) sucedió en privado q (x), y en el resto R... Es obvio que q (x) habrá algún polinomio (n - 1) grado con respecto a xy el resto R será un valor constante, es decir independiente de x.

Si el resto R fuera un polinomio de primer grado con respecto ax, entonces esto significaría que la división no se cumple. Entonces, R de x no depende. Por la definición de división, obtenemos la identidad: f (x) \u003d (x-a) q (x) + R.

La igualdad es válida para cualquier valor de x, lo que significa que también es válida para x \u003d a, obtenemos: f (a) \u003d (a-a) q (a) + R... Símbolo f (un) denota el valor del polinomio f (X) a x \u003d a, q (a) denota el valor q (x) a x \u003d a.El resto R permaneció igual que antes, ya que R de x no depende. Composición ( x-a) q (a) \u003d 0, ya que el factor ( x-a) \u003d 0, y el factor q (a) hay un cierto número. Por tanto, de la igualdad obtenemos: f (a) \u003d R,ch.d.

Ejemplo 1.Encuentra el resto de una división polinomial x 3 - 3x 2 + 6x-5 para binomio

x-2. Por el teorema de Bezout : R \u003d f(2) = 23-322 + 62-5 \u003d 3. Responder: R \u003d3.

Tenga en cuenta que el teorema de Bezout es importante no tanto en sí mismo como en sus consecuencias. (Apéndice 1)

Detengámonos en algunos métodos para aplicar el teorema de Bezout a la resolución de problemas prácticos. Cabe señalar que al resolver ecuaciones utilizando el teorema de Bezout, es necesario:

Encuentre todos los divisores enteros del término libre;

Encuentre al menos una raíz de la ecuación de estos divisores;

Divide el lado izquierdo de la ecuación por (Decir ah);

Escribe el producto del divisor y el cociente en el lado izquierdo de la ecuación;

Resuelve la ecuación resultante.

Considere, por ejemplo, resolver la ecuación x 3 + 4x 2 + x -6 = 0 .

Solución: encuentra los divisores del término libre ± 1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Calculemos los valores en x \u003d1, 1 3 + 41 2 + 1-6 \u003d 0. Divida el lado izquierdo de la ecuación por ( x-1). Realizaremos la división "con esquina", obtenemos:

Conclusión: El teorema de Bezout, una de las formas que consideramos en nuestro trabajo, se estudia en el programa de clases opcionales. Es difícil de entender, porque para poseerlo, debe conocer todas las consecuencias de él, pero al mismo tiempo el teorema de Bezout es uno de los principales asistentes de los estudiantes en el examen.

2.4 El esquema de Horner

Para dividir un polinomio por un binomio x-α puede utilizar un truco sencillo especial inventado por matemáticos ingleses del siglo XVII, más tarde llamado esquema de Horner. Además de encontrar las raíces de las ecuaciones, según el esquema de Horner, es más fácil calcular sus valores. Para ello, es necesario sustituir el valor de la variable en el polinomio Pn (x) \u003d a 0 xn + a 1 X n-1 + un 2 xⁿ - ² +… ++ anorte -1 x + anorte. (1)

Considere la división del polinomio (1) por el binomio x-α.

Expresemos los coeficientes del cociente incompleto b 0 xⁿ - ¹+ si 1 xⁿ - ²+ si 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 y el resto r en términos de los coeficientes del polinomio Pn ( x) y el número α. si 0 \u003d a 0 , si 1 = α si 0 + un 1 , si 2 = α si 1 + un 2 …, bn -1 =

= α bn -2 + unnorte -1 = α bn -1 + unnorte .

Los cálculos según el esquema de Horner se presentan en forma de la siguiente tabla:

	y 0	una 1	una 2 ,
	si 0 \u003d a 0	si 1 = α si 0 + un 1	si 2 = α si 1 + un 2		r \u003d αsi n-1 + unnorte

En la medida en r \u003d Pn (α), entonces α es la raíz de la ecuación. Para comprobar si α no es una raíz múltiple, se puede aplicar el esquema de Horner al cociente b 0 x +si 1 x + ... +bn -1 según la tabla. Si en la columna debajo de bn -1 obtenemos 0 nuevamente, entonces α es una raíz múltiple.

Considere un ejemplo: resuelva la ecuación x 3 + 4x 2 + x -6 = 0.

Aplicamos la factorización del polinomio en el lado izquierdo de la ecuación, el esquema de Horner en el lado izquierdo de la ecuación.

Solución: encuentra los divisores del término libre ± 1; ± 2; ±3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

Los cocientes son los números 1, 5, 6 y el resto es r \u003d 0.

Por lo tanto, x 3 + 4x 2 + x - 6 = (x - 1) (x 2 + 5x + 6) = 0.

Por lo tanto: X - 1 \u003d 0 o x 2 + 5x + 6 = 0.

x = 1, x 1 = -2; x 2 = -3. Responder:1,- 2, - 3.

Conclusión: Por lo tanto, en una ecuación, hemos mostrado el uso de dos métodos diferentes para factorizar polinomios. En nuestra opinión, el esquema de Horner es el más práctico y económico.

2.5 Resolución de ecuaciones de 4º grado. Método Ferrari

El alumno de Cardano, Ludovic Ferrari, descubrió una forma de resolver una ecuación de cuarto grado. El método Ferrari consta de dos etapas.

Etapa I: las ecuaciones de la forma se representan como un producto de dos trinomios cuadrados, esto se sigue del hecho de que la ecuación es de 3er grado y al menos una solución.

Etapa II: las ecuaciones obtenidas se resuelven mediante factorización, pero para encontrar la factorización requerida es necesario resolver ecuaciones cúbicas.

La idea es representar ecuaciones como A 2 \u003d B 2, donde A \u003d x 2 + s,

Función B-lineal de x... Entonces queda por resolver las ecuaciones A \u003d ± B.

Para mayor claridad, considere la ecuación: Aislemos el cuarto grado, obtenemos: Para cualquier rela expresión será un cuadrado perfecto. Sumando a ambos lados de la ecuación obtenemos

A la izquierda hay un cuadrado completo, puedes recoger rede modo que el lado derecho (2) también se convierta en un cuadrado completo. Imaginemos que lo hemos logrado. Entonces nuestra ecuación se ve así:

Encontrar la raíz después no será difícil. Para elegir el correcto re es necesario que el discriminante del lado derecho (3) desaparezca, es decir

Entonces para encontrar re, es necesario resolver esta ecuación de 3er grado. Tal ecuación auxiliar se llama resolución.

Podemos encontrar fácilmente la raíz completa del resolutivo: d \u003d1

Sustituyendo la ecuación en (1), obtenemos

Conclusión: el método de Ferrari es universal, pero complicado y engorroso. Al mismo tiempo, si el algoritmo de solución es claro, entonces las ecuaciones de cuarto grado se pueden resolver con este método.

2.6 Método de coeficientes indefinidos

El éxito de resolver la ecuación de cuarto grado por el método de Ferrari depende de si resolvemos el resolutivo, la ecuación de tercer grado, que, como sabemos, no siempre es posible.

La esencia del método de coeficientes indefinidos es que se adivina el tipo de factores en los que se descompone un polinomio dado, y los coeficientes de estos factores (también polinomios) se determinan multiplicando los factores e igualando los coeficientes en los mismos grados de la variable.

Ejemplo: Resuelve la ecuación:

Suponga que el lado izquierdo de nuestra ecuación se puede descomponer en dos trinomios cuadrados con coeficientes enteros tales que la identidad

Obviamente, los coeficientes frente a la uni deben ser iguales a 1, y los términos libres deben estar en uno. + 1, el otro tiene 1.

Los coeficientes delante de x... Los denotamos por y y para determinarlos, multiplicamos ambos trinomios en el lado derecho de la ecuación.

Como resultado, obtenemos:

Igualar los coeficientes en los mismos grados xen los lados izquierdo y derecho de la igualdad (1), obtenemos un sistema para encontrar y

Habiendo resuelto este sistema, tendremos

Entonces nuestra ecuación es equivalente a la ecuación

Una vez resuelto, obtenemos las siguientes raíces :.

El método de coeficientes indefinidos se basa en las siguientes afirmaciones: cualquier polinomio de cuarto grado en la ecuación puede descomponerse en el producto de dos polinomios de segundo grado; dos polinomios son idénticamente iguales si y solo si sus coeficientes son iguales en los mismos grados x.

2.7 Ecuaciones simétricas

Definición.Una ecuación de la forma se llama simétrica si los primeros coeficientes de la izquierda en la ecuación son iguales a los primeros coeficientes de la derecha.

Vemos que los primeros coeficientes de la izquierda son iguales a los primeros coeficientes de la derecha.

Si tal ecuación tiene un grado impar, entonces tiene la raíz x= - 1. A continuación, podemos reducir el grado de la ecuación dividiéndola entre ( x +1). Resulta que dividiendo la ecuación simétrica por ( x +1) Se obtiene una ecuación simétrica de grado par. La prueba de la simetría de los coeficientes se presenta a continuación. (Apéndice 6) Nuestra tarea es aprender a resolver ecuaciones simétricas de grado par.

Por ejemplo: (1)

Resuelva la ecuación (1), divida por x 2 (medio) \u003d 0.

Agrupemos los términos con simétrico

) + 3(x +. Denotamos a= x +, cuadremos ambos lados, por lo tanto \u003d a 2 Entonces, 2 ( a 2 o 2 a 2 + 3 resolviendo la ecuación, obtenemos a = , a \u003d 3. A continuación, volvamos a reemplazar x + \u003d y x + \u003d 3. Obtenemos las ecuaciones y La primera no tiene solución y la segunda tiene dos raíces. Responder:.

Conclusión: este tipo de ecuaciones no es común, pero si te encuentras con él, entonces se puede resolver de manera fácil y sencilla sin recurrir a cálculos engorrosos.

2.8 Resaltando el grado completo

Considere la ecuación.

El lado izquierdo es el cubo de la suma (x + 1), es decir

Extraemos la raíz del tercer grado de ambas partes:, luego obtenemos

¿Dónde está la única raíz?

RESULTADOS DEL ESTUDIO

Con base en los resultados del trabajo, llegamos a las siguientes conclusiones:

Gracias a la teoría estudiada, nos familiarizamos con varios métodos para resolver ecuaciones completas de grados superiores;

La fórmula de D. Cardano es difícil de aplicar y da una alta probabilidad de cometer errores en el cálculo;

- El método de L. Ferrari permite reducir la solución de una ecuación de cuarto grado a una cúbica;

- El teorema de Bezout se puede aplicar tanto para ecuaciones cúbicas como para ecuaciones de cuarto grado; es más comprensible y claro cuando se aplica a la resolución de ecuaciones;

El esquema de Horner ayuda a reducir y simplificar significativamente los cálculos al resolver ecuaciones. Además de encontrar las raíces, según el esquema de Horner, es más fácil calcular los valores de los polinomios del lado izquierdo de la ecuación;

De particular interés fue la solución de ecuaciones por el método de coeficientes indefinidos, la solución de ecuaciones simétricas.

En el curso del trabajo de investigación, se encontró que los estudiantes se familiarizan con los métodos más simples para resolver ecuaciones del más alto grado en las clases optativas de matemáticas, a partir del noveno o décimo grado, así como en los cursos especiales de las escuelas de matemáticas visitantes. Este hecho se estableció como resultado de una encuesta a profesores de matemáticas MBOU "Escuela Secundaria Nº 9" y estudiantes que muestran un mayor interés en la asignatura "matemáticas".

Los métodos más populares para resolver ecuaciones de grados superiores, que se encuentran en la resolución de Olimpiadas, problemas competitivos y como resultado de preparar a los estudiantes para los exámenes, son métodos basados \u200b\u200ben la aplicación del teorema de Bezout, el esquema de Horner y la introducción de una nueva variable.

Demostración de los resultados de la investigación, es decir Formas de resolver ecuaciones que no se estudian en el currículo escolar en matemáticas a los compañeros interesados.

Conclusión

Habiendo estudiado literatura educativa y científica, recursos de Internet en foros educativos para jóvenes.

Al resolver ecuaciones algebraicas, a menudo tienes que factorizar un polinomio. Factorizar un polinomio significa representarlo como un producto de dos o más polinomios. Usamos algunos métodos de descomposición de polinomios con bastante frecuencia: eliminación de un factor común, aplicación de fórmulas para multiplicación reducida, selección de un cuadrado completo, agrupación. Consideremos algunos métodos más.

A veces, las siguientes afirmaciones son útiles al factorizar un polinomio:

1) si un polinomio con coeficientes enteros tiene una raíz racional (donde es una fracción irreducible, entonces es el divisor del término libre y el divisor del coeficiente principal:

2) Si de alguna manera se elige la raíz de un polinomio de grado, entonces el polinomio se puede representar como donde el polinomio de grado

El polinomio se puede encontrar dividiendo el polinomio por la "columna" binomial, o por la agrupación correspondiente de los términos del polinomio y extrayendo un factor de ellos, o por el método de coeficientes indefinidos.

Ejemplo. Polinomio factorial

Decisión. Dado que el coeficiente en x4 es igual a 1, las raíces racionales de este polinomio, existen, son divisores del número 6, es decir, pueden ser números enteros ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Denotamos este polinomio por P4 (x). Dado que Р Р4 (1) \u003d 4 y Р4 (-4) \u003d 23, los números 1 y -1 no son las raíces del polinomio PA (x). Como P4 (2) \u003d 0, entonces x \u003d 2 es la raíz del polinomio P4 (x) y, por lo tanto, este polinomio es divisible por el binomio x - 2. Por lo tanto, x4 -5x3 + 7x2 -5x +6 x-2 x4 -2x3 x3 -3x2 + x-3

3x3 + 7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6x2- 2x

Por lo tanto, P4 (x) \u003d (x - 2) (x3 - 3x2 + x - 3). Dado que xz - Zx2 + x - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1), entonces x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 \u003d (x - 2) (x - 3) (x2 + 1).

Método de introducción de parámetros

A veces, al factorizar un polinomio en factores, el método de introducción de un parámetro ayuda. La esencia de este método se ilustrará con el siguiente ejemplo.

Ejemplo. x3 - (√3 + 1) x2 + 3.

Decisión. Considere un polinomio con parámetro a: x3 - (a + 1) x2 + a2, que para a \u003d √3 se convierte en un polinomio dado. Escribimos este polinomio como un trinomio cuadrado con respecto a a: a - ax2 + (x3 - x2).

Dado que las raíces de este trinomio cuadrado con respecto a a son a1 \u003d x y a2 \u003d x2 - x, la igualdad a2 - ax2 + (xs - x2) \u003d (a - x) (a - x2 + x) es verdadera. Por lo tanto, el polinomio x3 - (√3 + 1) x2 + 3 se descompone en factores √3 - x y √3 - x2 + x, es decir

x3 - (√3 + 1) x2 + 3 \u003d (x-√3) (x2-x-√3).

Método de introducir una nueva incógnita

En algunos casos, reemplazando la expresión f (x) incluida en el polinomio Pn (x), a través de y es posible obtener un polinomio respecto ay, que ya se factoriza fácilmente. Luego, después de reemplazar y por f (x), obtenemos una factorización del polinomio Pn (x).

Ejemplo. Factoriza el polinomio x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15.

Decisión. Transformamos este polinomio de la siguiente manera: x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15 \u003d [x (x + 3)] [(x + 1) (x + 2)] - 15 \u003d (x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

Denotamos x2 + 3x por y. Entonces tenemos y (y + 2) - 15 \u003d y2 + 2y - 15 \u003d y2 + 2y + 1-16 \u003d (y + 1) 2-16 \u003d (y + 1 + 4) (y + 1-4) \u003d ( y + 5) (y - 3).

Por lo tanto, x (x + 1) (x + 2) (x + 3) - 15 \u003d (x2 + 3x + 5) (x2 + 3x - 3).

Ejemplo. Factorizar el polinomio (x-4) 4+ (x + 2) 4

Decisión. Denotemos x- 4 + x + 2 \u003d x - 1 a través de y.

(x - 4) 4 + (x + 2) 2 \u003d (y - 3) 4 + (y + 3) 4 \u003d y4 - 12y3 + 54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 \u003d

2y4 + 108y2 + 162 \u003d 2 (y4 + 54y2 + 81) \u003d 2 [(y2 + 27) 2-648] \u003d 2 (y2 + 27 - √b48) (y2 + 27 + √b48) \u003d

2 ((x-1) 2 + 27-√b48) ((x-1) 2 + 27 + √b48) \u003d 2 (x2-2x + 28-18√ 2) (x2- 2x + 28 + 18√2 ).

Combinando diferentes métodos

A menudo, al factorizar un polinomio en factores, es necesario aplicar secuencialmente varios de los métodos anteriores.

Ejemplo. Factoriza el polinomio x4 - 3x2 + 4x-3.

Decisión. Usando la agrupación, reescribimos el polinomio como x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3).

Aplicando el método de asignar un cuadrado completo al primer corchete, tenemos x4 - 3x3 + 4x - 3 \u003d (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

Aplicando la fórmula del cuadrado completo, ahora podemos escribir que x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 -1) 2 - (x - 2) 2.

Finalmente, aplicando la fórmula para la diferencia de cuadrados, obtenemos que x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) \u003d (x2 + x-3) (x2 -x + 1 ).

§ 2. Ecuaciones simétricas

1. Ecuaciones simétricas de tercer grado

Las ecuaciones de la forma ax3 + bx2 + bx + a \u003d 0, y ≠ 0 (1) se denominan ecuaciones simétricas de tercer grado. Dado que ax3 + bx2 + bx + a \u003d a (x3 + 1) + bx (x + 1) \u003d (x + 1) (ax2 + (b-a) x + a), entonces la ecuación (1) es equivalente a un conjunto de ecuaciones x + 1 \u003d 0 y ax2 + (b-a) x + a \u003d 0, que no es difícil de resolver.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación

3x3 + 4x2 + 4x + 3 \u003d 0. (2)

Decisión. La ecuación (2) es una ecuación simétrica de tercer grado.

Dado que 3x3 + 4xg + 4x + 3 \u003d 3 (x3 + 1) + 4x (x + 1) \u003d (x + 1) (3x2 - Zx + 3 + 4x) \u003d (x + 1) (3x2 + x + 3) , entonces la ecuación (2) es equivalente a un conjunto de ecuaciones x + 1 \u003d 0 y 3x3 + x + 3 \u003d 0.

La solución de la primera de estas ecuaciones es x \u003d -1, la segunda ecuación no tiene soluciones.

Respuesta: x \u003d -1.

2. Ecuaciones simétricas de cuarto grado

Ecuación de la forma

(3) se llama ecuación simétrica de cuarto grado.

Dado que x \u003d 0 no es una raíz de la ecuación (3), entonces, dividiendo ambos lados de la ecuación (3) por x2, obtenemos una ecuación equivalente a la original (3):

Reescribamos la ecuación (4) como:

En esta ecuación hacemos un cambio, luego obtenemos una ecuación cuadrática

Si la ecuación (5) tiene 2 raíces y1 e y2, entonces la ecuación original es equivalente a un conjunto de ecuaciones

Si la ecuación (5) tiene una raíz y0, entonces la ecuación original es equivalente a la ecuación

Finalmente, si la ecuación (5) no tiene raíces, entonces la ecuación original tampoco tiene raíces.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación

Decisión. Esta ecuación es una ecuación simétrica de cuarto grado. Dado que x \u003d 0 no es su raíz, entonces, dividiendo la ecuación (6) por x2, obtenemos una ecuación equivalente:

Habiendo agrupado los términos, reescribimos la ecuación (7) en la forma o en la forma

Poniendo, obtenemos una ecuación que tiene dos raíces y1 \u003d 2 e y2 \u003d 3. Por lo tanto, la ecuación original es equivalente al conjunto de ecuaciones

La solución de la primera ecuación de este conjunto es x1 \u003d 1 y la solución de la segunda es u.

Por tanto, la ecuación original tiene tres raíces: x1, x2 y x3.

Respuesta: x1 \u003d 1,.

§3. Ecuaciones algebraicas

1. Reducir el grado de la ecuación

Algunas ecuaciones algebraicas, reemplazando algún polinomio en ellas con una letra, se pueden reducir a ecuaciones algebraicas, cuyo grado es menor que el grado de la ecuación original y cuya solución es más simple.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación

Decisión. Denote por, entonces la ecuación (1) se puede reescribir en la forma La última ecuación tiene raíces y Por lo tanto, la ecuación (1) es equivalente a un conjunto de ecuaciones y. La solución de la primera ecuación de este conjunto es y la solución de la segunda ecuación es

Las soluciones de la ecuación (1) son

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación

Decisión. Multiplicando ambos lados de la ecuación por 12 y denotando por,

Obtenemos la ecuación Reescribamos esta ecuación como

(3) y denotando por reescribimos la ecuación (3) en la forma La última ecuación tiene raíces y Por lo tanto, obtenemos que la ecuación (3) es equivalente a un conjunto de dos ecuaciones y La solución de este conjunto de ecuaciones es, es decir, la ecuación (2) es equivalente a un conjunto de ecuaciones y ( 4)

Las soluciones del conjunto (4) son y, son las soluciones de la ecuación (2).

2. Ecuaciones de la forma

La ecuacion

(5) donde están los números de datos, se puede reducir a una ecuación bicuadrática reemplazando lo desconocido, es decir, reemplazando

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación

Decisión. Denotemos por, es decir es decir, hacemos un cambio de variables o Luego la ecuación (6) se puede reescribir en la forma o, usando la fórmula, en la forma

Dado que las raíces de la ecuación cuadrática son también las soluciones de la ecuación (7) son soluciones del conjunto de ecuaciones y. Este conjunto de ecuaciones tiene dos soluciones y, en consecuencia, las soluciones de la ecuación (6) son y

3. Ecuaciones de la forma

La ecuacion

(8) donde los números α, β, γ, δ y Α son tales que α

Ejemplo 4. Resuelve la ecuación

Decisión. Cambiemos las incógnitas, es decir, y \u003d x + 3 o x \u003d y - 3. Entonces la ecuación (9) puede reescribirse en la forma

(y-2) (y-1) (y + 1) (y + 2) \u003d 10, es decir, en la forma

(y2- 4) (y2-1) \u003d 10 (10)

La ecuación bicuadrática (10) tiene dos raíces. Por tanto, la ecuación (9) también tiene dos raíces:

4. Ecuaciones de la forma

Ecuación, (11)

Donde, no tiene raíz x \u003d 0, por lo tanto, dividiendo la ecuación (11) por x2, obtenemos la ecuación equivalente

La cual, luego de reemplazar la incógnita, se reescribirá como una ecuación cuadrática, cuya solución no es difícil.

Ejemplo 5. Resuelve la ecuación

Decisión. Dado que h \u003d 0 no es una raíz de la ecuación (12), entonces, dividiéndola por x2, obtenemos la ecuación equivalente

Haciendo que la sustitución sea desconocida, obtenemos la ecuación (y + 1) (y + 2) \u003d 2, que tiene dos raíces: y1 \u003d 0 e y1 \u003d -3. En consecuencia, la ecuación original (12) es equivalente al conjunto de ecuaciones

Esta colección tiene dos raíces: x1 \u003d -1 y x2 \u003d -2.

Respuesta: x1 \u003d -1, x2 \u003d -2.

Comentario. Una ecuación de la forma,

En el cual, siempre se puede llevar a la forma (11) y, además, considerando α\u003e 0 y λ\u003e 0 a la forma.

5. Ecuaciones de la forma

La ecuacion

, (13) donde los números, α, β, γ, δ y Α son tales que αβ \u003d γδ ≠ 0, se pueden reescribir multiplicando el primer corchete con el segundo y el tercero con el cuarto, en la forma, es decir, la ecuación (13) ahora está escrito en la forma (11), y su solución se puede realizar de la misma manera que la solución de la ecuación (11).

Ejemplo 6. Resuelve la ecuación

Decisión. La ecuación (14) tiene la forma (13), por lo que la reescribimos en la forma

Dado que x \u003d 0 no es una solución para esta ecuación, entonces, dividiendo ambos lados por x2, obtenemos una ecuación original equivalente. Haciendo un cambio de variables, obtenemos una ecuación cuadrática, cuya solución es y. Por tanto, la ecuación original (14) es equivalente a un conjunto de ecuaciones y.

La solución a la primera ecuación de este conjunto es

La segunda ecuación de este conjunto de soluciones no tiene. Entonces, la ecuación original tiene raíces x1 y x2.

6. Ecuaciones de la forma

La ecuacion

(15) donde los números a, b, c, q, A son tales que, no tiene raíz х \u003d 0, por lo tanto, dividir la ecuación (15) por х2. obtenemos una ecuación equivalente a ella, que, después de reemplazar la incógnita, se reescribirá en forma de ecuación cuadrática, cuya solución no es difícil.

Ejemplo 7. Solución de la ecuación

Decisión. Dado que x \u003d 0 no es una raíz de la ecuación (16), entonces, dividiendo ambos lados por x2, obtenemos la ecuación

, (17) que es equivalente a la ecuación (16). Haciendo que el cambio sea desconocido, reescribimos la ecuación (17) en la forma

La ecuación cuadrática (18) tiene 2 raíces: y1 \u003d 1 e y2 \u003d -1. Por tanto, la ecuación (17) es equivalente a un conjunto de ecuaciones y (19)

El conjunto de ecuaciones (19) tiene 4 raíces:,.

Serán las raíces de la ecuación (16).

§4. Ecuaciones racionales

Las ecuaciones de la forma \u003d 0, donde H (x) y Q (x) son polinomios, se llaman racionales.

Habiendo encontrado las raíces de la ecuación H (x) \u003d 0, entonces es necesario verificar cuáles de ellas no son las raíces de la ecuación Q (x) \u003d 0. Estas raíces y solo ellas serán las soluciones de la ecuación.

Considere algunos métodos para resolver una ecuación de la forma \u003d 0.

1. Ecuaciones de la forma

La ecuacion

(1) bajo ciertas condiciones, los números se pueden resolver de la siguiente manera. Agrupando los términos de la ecuación (1) por dos y sumando cada par, es necesario obtener en el numerador polinomios de primer o cero grado, que difieren solo por factores numéricos, y en los denominadores - trinomios con los mismos dos términos que contienen x, luego después del cambio de variables la ecuación tendrá también forma (1), pero con un número menor de términos, o será equivalente a un conjunto de dos ecuaciones, una de las cuales será de primer grado, y la segunda será una ecuación de la forma (1), pero con un número menor de términos.

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Decisión. Agrupando en el lado izquierdo de la ecuación (2) el primer término con el último y el segundo con el penúltimo, reescribimos la ecuación (2) en la forma

Sumando los términos en cada paréntesis, reescribimos la ecuación (3) en la forma

Como no hay una solución para la ecuación (4), entonces, dividiendo esta ecuación por, obtenemos la ecuación

, (5) equivalente a la ecuación (4). Hacemos el cambio de la incógnita, luego la ecuación (5) se reescribirá como

Así, la solución de la ecuación (2) con cinco términos en el lado izquierdo se reduce a la solución de la ecuación (6) de la misma forma, pero con tres términos en el lado izquierdo. Resumiendo todos los términos en el lado izquierdo de la ecuación (6), lo reescribimos en la forma

Hay soluciones para la ecuación y. Ninguno de estos números hace desaparecer el denominador de la función racional en el lado izquierdo de la ecuación (7). En consecuencia, la ecuación (7) tiene estas dos raíces y, por lo tanto, la ecuación original (2) es equivalente al conjunto de ecuaciones

Las soluciones de la primera ecuación de este conjunto son

Las soluciones de la segunda ecuación de este conjunto son

Por tanto, la ecuación original tiene raíces

2. Ecuaciones de la forma

La ecuacion

(8) bajo ciertas condiciones sobre los números se puede resolver de la siguiente manera: es necesario seleccionar la parte entera en cada una de las fracciones de la ecuación, es decir, reemplazar la ecuación (8) por la ecuación

Reducirlo a la forma (1) y luego resolverlo de la forma descrita en el párrafo anterior.

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Decisión. Escribimos la ecuación (9) en la forma o en la forma

Sumando los términos entre paréntesis, reescribimos la ecuación (10) en la forma

Al reemplazar la incógnita, reescribimos la ecuación (11) en la forma

Resumiendo los términos del lado izquierdo de la ecuación (12), lo reescribimos como

Es fácil ver que la ecuación (13) tiene dos raíces: y. Por tanto, la ecuación original (9) tiene cuatro raíces:

3) Ecuaciones de la forma.

Una ecuación de la forma (14) bajo ciertas condiciones para números se puede resolver de la siguiente manera: expandir (si es, por supuesto, posible) cada una de las fracciones en el lado izquierdo de la ecuación (14) en la suma de las fracciones más simples

Reducir la ecuación (14) a la forma (1), luego, habiendo realizado una reordenación conveniente de los términos de la ecuación obtenida, resolverla por el método descrito en el párrafo 1).

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Decisión. Dado que y, entonces, multiplicar el numerador de cada fracción en la ecuación (15) por 2 y observar que la ecuación (15) se puede escribir en la forma

La ecuación (16) tiene la forma (7). Habiendo reorganizado los términos en esta ecuación, la reescribimos en la forma o en la forma

La ecuación (17) es equivalente a un conjunto de ecuaciones y

Para resolver la segunda ecuación del conjunto (18), reemplazamos la incógnita, luego se reescribirá en la forma o en la forma

Resumiendo todos los términos en el lado izquierdo de la ecuación (19), reescríbalo como

Dado que la ecuación no tiene raíces, la ecuación (20) tampoco tiene raíces.

La primera ecuación del conjunto (18) tiene una sola raíz y, dado que esta raíz está incluida en el GDV de la segunda ecuación del conjunto (18), es la única raíz del conjunto (18) y, por tanto, la ecuación original.

4. Ecuaciones de la forma

La ecuacion

(21) bajo ciertas condiciones en los números y A después de representar cada término en el lado izquierdo del formulario se puede reducir al formulario (1).

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Decisión. Reescribamos la ecuación (22) en la forma o en la forma

Por tanto, la ecuación (23) se reduce a la forma (1). Ahora, agrupando el primer término con el último y el segundo con el tercero, reescribimos la ecuación (23) en la forma

Esta ecuación es equivalente a un conjunto de ecuaciones y. (24)

La última ecuación del conjunto (24) se puede reescribir como

Hay soluciones para esta ecuación y, dado que está incluida en la ODZ de la segunda ecuación del conjunto (30), el conjunto (24) tiene tres raíces: Todas son soluciones a la ecuación original.

5. Ecuaciones de la forma.

Ecuación de la forma (25)

Bajo ciertas condiciones en los números, reemplazar lo desconocido puede reducirse a una ecuación de la forma

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Decisión. Como no es una solución a la ecuación (26), dividiendo el numerador y el denominador de cada fracción en el lado izquierdo por, la reescribimos en la forma

Al cambiar las variables, reescribimos la ecuación (27) en la forma

Resolver la ecuación (28) es y. Por tanto, la ecuación (27) es equivalente a un conjunto de ecuaciones y. (29)