Usando el método de inducción matemática, pruebe la fórmula. El principio de inducción matemática. Ejemplos de soluciones

Tema 6. El método de inducción matemática.

Los nuevos conocimientos en ciencia y vida se obtienen de diferentes maneras, pero todos ellos (si no entra en detalles) se dividen en dos tipos: la transición de lo general a lo particular y de lo particular a lo general. La primera es la deducción, la segunda es la inducción. El razonamiento deductivo es lo que comúnmente se llama en matemáticas razonamiento logico, y en matemáticas, la deducción es el único método de investigación legítimo. Las reglas del razonamiento lógico fueron formuladas hace dos milenios y medio por el antiguo científico griego Aristóteles. Creó una lista completa del razonamiento correcto más simple, silogismos- "ladrillos" de lógica, al tiempo que señalan razonamientos típicos, muy similares a los correctos, pero incorrectos (con ese razonamiento "pseudológico" con el que nos encontramos a menudo en los medios de comunicación).

Inducción (latín para inducción) puntería) está claramente ilustrado por la famosa leyenda de cómo Isaac Newton formuló la ley de la gravitación universal después de que una manzana cayó sobre su cabeza. Otro ejemplo de la física: en un fenómeno como la inducción electromagnética, un campo eléctrico crea, "induce" un campo magnético. La "manzana newtoniana" es un ejemplo típico de una situación en la que uno o más casos especiales, es decir observación, "Conducir" a una declaración general, la conclusión general se hace sobre la base de casos especiales. El método inductivo es básico para obtener patrones generales tanto en ciencias naturales como humanitarias. Pero tiene un inconveniente muy importante: sobre la base de ejemplos particulares, se puede sacar una conclusión errónea. Las hipótesis que surgen de observaciones privadas no siempre son correctas. Considere el ejemplo de Euler.

Calcularemos el valor del trinomio para algunos de los primeros valores norte:

Tenga en cuenta que los números obtenidos como resultado de los cálculos son simples. Y puedes ver eso directamente para cada norte de 1 a 39 el valor del polinomio
es un número primo. Sin embargo, con norte= 40 obtenemos el número 1681 = 41 2, que no es primo. Así, la hipótesis que podría surgir aquí, es decir, la hipótesis de que en cada norte número
es simple resulta ser incorrecto.

Leibniz en el siglo XVII demostró que con cualquier norte número
divisible por 3, el número
divisible por 5, etc. Sobre esta base, sugirió que para cualquier extraño k y cualquier natural norte número
dividido por k, pero pronto se dio cuenta de que
no es divisible por 9.

Los ejemplos considerados permiten sacar una conclusión importante: el enunciado puede ser cierto en varios casos especiales y, al mismo tiempo, injusto en general. La cuestión de la validez del enunciado en el caso general se puede resolver aplicando un método especial de razonamiento, llamado por inducción matemática(inducción completa, inducción perfecta).

6.1. El principio de inducción matemática.

♦ El método de inducción matemática se basa en principio de inducción matemática que consta de lo siguiente:

1) la validez de esta declaración se verifica paranorte=1 (base de inducción) ,

2) la validez de esta declaración se asume paranorte= k, dondek- un número natural arbitrario 1(hipótesis de inducción) , y teniendo en cuenta este supuesto, se establece que es válido paranorte= k+1.

Prueba. Suponga lo contrario, es decir, suponga que el enunciado no es verdadero para todos los norte... Entonces hay tal natural metro, qué:

1) declaración para norte=metro no es justo,

2) para todos norte menos metro, la afirmación es verdadera (en otras palabras, metro es el primer número natural para el que la afirmación no es verdadera).

Es obvio que metro> 1, porque por norte= 1 la afirmación es verdadera (condición 1). Por eso,
- número natural. Resulta que para un número natural
el enunciado es verdadero, y para el siguiente número natural metro es injusto. Esto contradice la condición 2. ■

Tenga en cuenta que la prueba utilizó el axioma de que cualquier colección de números naturales contiene el número más pequeño.

Una demostración basada en el principio de inducción matemática se llama por inducción matemática completa .

 Ejemplo6.1. Demuestre que para cualquier natural norte número
es divisible por 3.

Solución.

1) Cuando norte= 1, por lo tanto a 1 es divisible por 3 y el enunciado es válido para norte=1.

2) Suponga que el enunciado es verdadero para norte=k,
, es decir, que el numero
es divisible por 3, y estableceremos que para norte=k+1 número es divisible por 3.

Por supuesto,

Porque cada término es divisible por 3, entonces su suma también es divisible por 3. ■ 

 Ejemplo6.2. Demuestre que la suma de la primera norte números impares naturales es igual al cuadrado de su número, es decir.

Solución. Usaremos el método de inducción matemática completa.

1) Comprobamos la validez de esta declaración para norte= 1: 1 = 1 2 - eso es correcto.

2) Suponga que la suma de la primera k (
) de números impares es igual al cuadrado del número de estos números, es decir. Con base en esta igualdad, establecemos que la suma de las primeras k+1 números impares es
, es decir .

Usamos nuestra suposición y obtenemos

. ■ 

La inducción matemática completa se usa para probar algunas desigualdades. Demostremos la desigualdad de Bernoulli.

 Ejemplo6.3. Demuestra eso por
y cualquier natural norte la desigualdad es verdadera
(Desigualdad de Bernoulli).

Solución. 1) Cuando norte= 1 obtenemos
cual es verdad.

2) Suponemos que para norte=k la desigualdad se mantiene
(*). Usando esta suposición, probamos que
... Tenga en cuenta que para
esta desigualdad se mantiene, y por lo tanto es suficiente considerar el caso
.

Multiplicamos ambos lados de la desigualdad (*) por el número
y obten:

Eso es (1+
.■ 

Prueba por método inducción matemática incompleta alguna declaración dependiendo de norte, donde
se lleva a cabo de forma similar, pero al inicio se establece la validez para el valor más pequeño norte.

En algunos problemas, no se formula explícitamente una afirmación que pueda demostrarse mediante el método de inducción matemática. En tales casos, es necesario establecer el patrón nosotros mismos y formular una hipótesis sobre la validez de este patrón, y luego, utilizando el método de inducción matemática, verificar la hipótesis.

 Ejemplo6.4. Encuentra la cantidad
.

Solución. Encuentra las cantidades S 1 , S 2 , S 3. Tenemos
,
,
... Presumimos que para cualquier norte la fórmula es válida
... Para probar esta hipótesis, usaremos el método de inducción matemática completa.

1) Cuando norte= 1 hipótesis es correcta, porque
.

2) Suponga que la hipótesis es verdadera para norte=k,
, es decir
... Usando esta fórmula, estableceremos que la hipótesis también es cierta para norte=k+1, es decir

Por supuesto,

Entonces, partiendo del supuesto de que la hipótesis es verdadera para norte=k,
, está probado que también es cierto para norte=k+1, y basándonos en el principio de inducción matemática, llegamos a la conclusión de que la fórmula es válida para cualquier norte. ■ 

 Ejemplo6.5. En matemáticas, se demuestra que la suma de dos funciones uniformemente continuas es una función uniformemente continua. Con base en esta afirmación, es necesario probar que la suma de cualquier número
funciones uniformemente continuas es una función uniformemente continua. Pero como aún no hemos introducido el concepto de "función uniformemente continua", planteamos el problema de una manera más abstracta: sepamos que la suma de dos funciones que poseen alguna propiedad S, ella misma tiene la propiedad S... Demostremos que la suma de cualquier número de funciones tiene la propiedad S.

Solución. La base de la inducción aquí está contenida en la propia formulación del problema. Haciendo la hipótesis de inducción, considere
funciones F 1 , F 2 , …, F norte , F norte+1 con la propiedad S... Entonces . En el lado derecho, el primer término tiene la propiedad S por la hipótesis de inducción, el segundo término tiene la propiedad S por condición. Por tanto, su suma tiene la propiedad S- durante dos períodos, la base de inducción "funciona".

Por lo tanto, la declaración está probada y la usaremos más. ■ 

 Ejemplo6.6. Encuentra todo natural norte por lo cual la desigualdad

.

Solución. Considerar norte= 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tenemos: 2 1> 1 2, 2 2 = 2 2, 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2, 2 6> 6 2. Por tanto, se puede hacer una hipótesis: desigualdad
tiene para todos
... Para probar la verdad de esta hipótesis, usaremos el principio de inducción matemática incompleta.

1) Como se estableció anteriormente, esta hipótesis es cierta para norte=5.

2) Suponga que es cierto para norte=k,
, es decir, la desigualdad
... Usando esta suposición, probamos que la desigualdad
.

T. a.
y en
la desigualdad se mantiene

en
,

entonces obtenemos eso
... Entonces, la verdad de la hipótesis para norte=k+1 se sigue de la suposición de que es cierto para norte=k,
.

De las págs. 1 y 2, basado en el principio de inducción matemática incompleta, se deduce que la desigualdad
cierto para cada natural
. ■ 

 Ejemplo6.7. Demuestre que para cualquier número natural norte la fórmula de diferenciación es válida
.

Solución. En norte= 1 esta fórmula tiene la forma
, o 1 = 1, es decir, es correcto. Haciendo la hipótesis de inducción, tendremos:

Q.E.D. ■ 

 Ejemplo6.8. Demuestre que el conjunto que consta de norte elementos, tiene subconjuntos.

Solución. Un conjunto que consta de un elemento. a, tiene dos subconjuntos. Esto es cierto, ya que todos sus subconjuntos son el conjunto vacío y este conjunto en sí, y 2 1 = 2.

Suponga que cualquier conjunto de norte elementos tiene subconjuntos. Si el conjunto A consta de norte+1 elementos, luego arreglamos un elemento en él, lo denotamos D y dividir todos los subconjuntos en dos clases, que no contengan D y conteniendo D... Todos los subconjuntos de la primera clase son subconjuntos del conjunto B obtenido de A descartando el elemento D.

El conjunto B consta de norte elementos, y por lo tanto, por la hipótesis de inducción, ha subconjuntos, por lo que en la primera clase subconjuntos.

Pero en la segunda clase hay el mismo número de subconjuntos: cada uno de ellos se obtiene exactamente de un subconjunto de la primera clase agregando un elemento D... Por tanto, en total, el conjunto A
subconjuntos.

Esto prueba la afirmación. Tenga en cuenta que también es cierto para un conjunto que consta de 0 elementos, un conjunto vacío: tiene un solo subconjunto, en sí mismo, y 2 0 = 1. ■ 

La inducción es un método para obtener un enunciado general a partir de observaciones particulares. En el caso de que un enunciado matemático se refiera a un número finito de objetos, se puede probar comprobando cada objeto. Por ejemplo, la afirmación: "Cada número par de dos dígitos es la suma de dos primos", se sigue de una serie de igualdades, que son bastante realistas de establecer:

10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.

Un método de prueba que verifica un enunciado para un número finito de casos que agota todas las posibilidades se llama inducción completa. Este método se aplica relativamente raramente, ya que los enunciados matemáticos, por regla general, no se refieren a conjuntos de objetos finitos, sino infinitos. Por ejemplo, la afirmación sobre números pares de dos dígitos demostrada anteriormente por inducción completa es solo un caso especial del teorema: "Cualquier número par es la suma de dos primos". Este teorema no ha sido probado ni refutado hasta ahora.

La inducción matemática es un método para probar algún enunciado para cualquier n natural basado en el principio de inducción matemática: “Si el enunciado es verdadero para n = 1 y si es verdadero para n = k, se sigue que este enunciado es verdadero para n = k + 1, entonces es cierto para todo n ". El método de prueba por el método de inducción matemática es el siguiente:

1) base de inducción: pruebe o verifique directamente la validez del enunciado para n = 1 (a veces n = 0 o n = n 0);

2) paso de inducción (transición): suponga la validez del enunciado para algún número natural n = k y, partiendo de este supuesto, demuestre la validez del enunciado para n = k + 1.

Problemas con soluciones

1. Demuestre que para cualquier n natural el número 3 2n + 1 + 2 n + 2 es divisible por 7.

Denotamos A (n) = 3 2n + 1 +2 n + 2.

Base de inducción. Si n = 1, entonces A (1) = 3 3 +2 3 = 35 y, obviamente, es divisible por 7.

La hipótesis de la inducción. Sea A (k) divisible por 7.

Unión de inducción. Demostremos que А (k + 1) es divisible por 7, es decir, la validez del enunciado del problema para n = k.

A (k + 1) = 3 2 (k + 1) +1 +2 (k + 1) +2 = 3 2k + 1 3 2 +2 k + 2 2 1 = 3 2k + 1 9 + 2 k + 2 2 =

3 2k + 1 9 + 2 k + 2 (9–7) = (3 2k + 1 +2 k + 2) 9–7 2 k + 2 = 9 A (k) –7 2 k +2.

El último número es divisible por 7, ya que es la diferencia de dos enteros divisible por 7. Por lo tanto, 3 2n + 1 + 2 n + 2 es divisible por 7 para cualquier n natural.

2. Demuestre que para cualquier n natural el número 2 3 n +1 es divisible por 3 n + 1 y no es divisible por 3 n + 2.

Introduzcamos la notación: a i = 2 3 i +1.

Para n = 1 tenemos, y 1 = 2 3 + 1 = 9. Entonces, un 1 es divisible por 3 2 y no divisible por 3 3.

Sea para n = k el número a k es divisible por 3 k + 1 y no divisible por 3 k + 2, es decir, a k = 2 3 k + 1 = 3 k + 1 m, donde m no es divisible por 3. Entonces

a k + 1 = 2 3 k + 1 + 1 = (2 3 k) 3 + 1 = (2 3 k +1) (2 3 k 2 –2 3 k +1) = 3 k + 1 m ((2 3 k +1) 2 –3 · 2 3 k) = 3 k + 1 · m · ((3 k + 1 · m) 2 –3 · 2 3 k) =

3 k + 2 · m · (3 2k + 1 · m 2 –2 3 k).

Obviamente, a k + 1 es divisible por 3 k + 2 y no es divisible por 3 k + 3.

Por lo tanto, el enunciado se prueba para cualquier número natural n.

3. Se sabe que x + 1 / x es un número entero. Demuestre que x n + 1 / x n también es un número entero para cualquier número entero n.

Introduzcamos la notación: a i = x i + 1 / x i y observemos inmediatamente que a i = a –i, por lo tanto, más adelante hablaremos de índices naturales.

Nota: un 1 es un número entero por condición; a 2 es un número entero, ya que a 2 = (a 1) 2 –2; a 0 = 2.

Suponga que a k es un número entero para cualquier número natural k que no exceda n. Entonces a 1 · a n es un número entero, pero a 1 · a n = a n + 1 + a n - 1 y a n + 1 = a 1 · a n –a n - 1. Sin embargo, y n - 1, según la hipótesis de inducción, es un número entero. Por tanto, a n + 1 también es un número entero. Por lo tanto, x n + 1 / x n es un número entero para cualquier número entero n, según sea necesario.

4. Demuestre que para cualquier n natural mayor que 1, la doble desigualdad se cumple:

5. Demuestre que para n natural> 1 y | х |

(1 - x) n + (1 + x) n

Para n = 2, la desigualdad es verdadera. En realidad,

(1 - x) 2 + (1 + x) 2 = 2 + 2 · x 2

Si la desigualdad es verdadera para n = k, entonces para n = k + 1 tenemos

(1 - x) k + 1 + (1 + x) k + 1

La desigualdad se demuestra para cualquier número natural n> 1.

6. Hay n círculos en el avión. Demuestre que para cualquier disposición de estos círculos, el mapa formado por ellos se puede colorear correctamente con dos colores.

Usemos el método de inducción matemática.

Para n = 1, la afirmación es obvia.

Suponga que el enunciado es verdadero para cualquier gráfico formado por n círculos, y deje que n + 1 círculos se den en el plano. Al eliminar uno de estos círculos, obtenemos un mapa que, debido a la suposición realizada, se puede colorear correctamente con dos colores (ver la primera imagen a continuación).

Entonces restauremos el círculo descartado y en un lado del mismo, por ejemplo, adentro, cambiemos el color de cada área al opuesto (ver la segunda figura). Es fácil ver que en este caso obtendremos un mapa correctamente coloreado con dos colores, pero solo ahora para n + 1 círculos, que es lo que teníamos que demostrar.

7. Un polígono convexo se llamará "hermoso" si se cumplen las siguientes condiciones:

1) cada uno de sus vértices está coloreado en uno de tres colores;

2) cualesquiera dos vértices adyacentes están pintados en diferentes colores;

3) al menos un vértice del polígono está coloreado en cada uno de los tres colores.

Demuestre que cualquier n-gon hermoso se puede cortar mediante diagonales disjuntas en triángulos "hermosos".

Usemos el método de inducción matemática.

Base de inducción. Para el n = 3 más pequeño posible, el enunciado del problema es obvio: los vértices del triángulo "hermoso" están coloreados en tres colores diferentes y no se necesitan cortes.

La hipótesis de la inducción. Suponga que el enunciado del problema es verdadero para cualquier n-gon “hermoso”.

Paso de inducción. Considere un "hermoso" (n + 1) -gon arbitrario y demuestre, usando la hipótesis de inducción, que puede ser cortado por algunas diagonales en triángulos "hermosos". Denotemos por А 1, А 2, А 3, ... А n, А n + 1 - vértices consecutivos del (n + 1) -gon. Si solo un vértice del (n + 1) -gon está coloreado en cualquiera de los tres colores, entonces, conectando este vértice con diagonales con todos los vértices no adyacentes a él, obtenemos la partición necesaria del (n + 1) - gon en "hermosos" triángulos.

Si al menos dos vértices del (n + 1) -gon están coloreados en cada uno de los tres colores, entonces denotamos por el número 1 el color del vértice A1, y por el número 2 el color del vértice A2. Sea k el número más pequeño tal que el vértice А k esté coloreado en el tercer color. Está claro que k> 2. Cortemos del (n + 1) -gon por la diagonal А k - 2 А k triángulo А k - 2 А k - 1 А k. De acuerdo con la elección del número k, todos los vértices de este triángulo están coloreados en tres colores diferentes, es decir, este triángulo es "hermoso". El convexo n-gon А 1 А 2 ... А k - 2 А k А k + 1 ... А n + 1, que permanece, también, en virtud del supuesto inductivo, será "hermoso", lo que significa está dividido en triángulos "hermosos", que se le pidió que probara.

8. Demuestre que no se pueden elegir más de n diagonales en un n-gon convexo de modo que dos de ellas tengan un punto común.

Realicemos la demostración por el método de inducción matemática.

Demostremos un enunciado más general: en un n-gon convexo, no se pueden elegir más de n lados y diagonales para que dos de ellos tengan un punto común. Para n = 3, la afirmación es obvia. Suponga que esta afirmación es verdadera para un n-gon arbitrario y, usando esto, probamos su validez para un (n + 1) -gon arbitrario.

Suponga que esta afirmación no es cierta para un (n + 1) -gon. Si no más de dos lados o diagonales seleccionados emergen de cada vértice de un (n + 1) -gon, entonces no se seleccionan más de n + 1 de ellos. Por lo tanto, al menos tres lados seleccionados o diagonales AB, AC, AD emergen de algún vértice A. Sea AC entre AB y AD. Dado que cualquier lado o diagonal que sale del punto C y es diferente de CA no puede intersecar simultáneamente AB y AD, entonces solo una diagonal CA seleccionada emerge del punto C.

Al colocar el punto C junto con la diagonal CA, obtenemos un n-gon convexo en el que se eligen más de n lados y diagonales, dos de los cuales tienen un punto común. Por tanto, llegamos a una contradicción con la suposición de que el enunciado es verdadero para un n-gon convexo arbitrario.

Entonces, para el (n + 1) -gon el enunciado es verdadero. De acuerdo con el principio de inducción matemática, el enunciado es verdadero para cualquier n-gon convexo.

9. En el plano se dibujan n rectas, de las cuales no hay dos paralelas ni tres pasan por un punto. ¿En cuántas partes dividen estas líneas el avión?

Con la ayuda de dibujos elementales, es fácil asegurarse de que una línea recta divide el plano en 2 partes, dos líneas rectas, en 4 partes, tres líneas rectas, en 7 partes, cuatro líneas rectas, en 11 partes.

Sea N (n) el número de partes en las que n líneas dividen el plano. Puedes ver eso

N (2) = N (1) + 2 = 2 + 2,

N (3) = N (2) + 3 = 2 + 2 + 3,

N (4) = N (3) + 4 = 2 + 2 + 3 + 4.

Es natural asumir que

N (n) = N (n - 1) + n = 2 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + n,

o, como es fácil de establecer, usando la fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética,

N (n) = 1 + n (n + 1) / 2.

Demostremos la validez de esta fórmula por el método de inducción matemática.

Para n = 1, la fórmula ya ha sido verificada.

Haciendo la hipótesis de inducción, considere k + 1 líneas que satisfacen la condición del problema. Seleccionemos k líneas de ellas de forma arbitraria. Según la hipótesis de inducción, dividen el plano en 1+ k (k + 1) / 2 partes. La (k + 1) -ésima recta restante se dividirá por las k rectas seleccionadas en k + 1 partes y, por lo tanto, pasará por la (k + 1) -ésima parte, en la que ya se ha dividido el plano. , y dividir cada una de estas partes en 2 partes, es decir, se agregará otra k + 1 parte. Entonces,

N (k + 1) = N (k) + k + 1 = 1 + k (k + 1) / 2 + k + 1 = 1 + (k + 1) (k + 2) / 2,

Q.E.D.

10. En la expresión x 1: x 2:…: x n, se colocan corchetes para indicar el orden de las acciones y el resultado se escribe como una fracción:

(en este caso, cada una de las letras x 1, x 2, ..., x n está en el numerador de la fracción o en el denominador). ¿Cuántas expresiones diferentes puedes obtener de esta manera con todo tipo de paréntesis?

En primer lugar, está claro que en la fracción resultante x 1 estará en el numerador. Es casi tan obvio que x 2 aparecerá en el denominador para cualquier arreglo de paréntesis (el signo de división delante de x 2 se refiere ya sea a x 2 en sí, oa alguna expresión que contenga x 2 en el numerador).

Se puede suponer que todas las demás letras x 3, x 4, ..., x n se pueden ubicar en el numerador o denominador de una manera completamente arbitraria. De ahí se deduce que en total se pueden obtener 2 n - 2 fracciones: cada una de n - 2 letras x 3, x 4,…, x n pueden aparecer independientemente de las demás en el numerador o denominador.

Demostremos esta afirmación por inducción.

Con n = 3, puedes obtener 2 fracciones:

entonces la afirmación es verdadera.

Suponga que es válido para n = k y demuéstrelo para n = k + 1.

Dejemos que la expresión x 1: x 2:…: xk, después de algún arreglo de corchetes, se escriba en la forma de alguna fracción Q.Si en lugar de xk sustituimos xk: xk + 1 en esta expresión, entonces xk estará en el mismo lugar donde estaba en la fracción Q, y x k + 1 no estará donde x k estaba (si x k estaba en el denominador, entonces x k + 1 estará en el numerador y viceversa).

Ahora demostraremos que puedes sumar x k + 1 al mismo lugar donde se encuentra x k. En la fracción Q, después de colocar los corchetes, necesariamente habrá una expresión de la forma q: x k, donde q es la letra x k - 1 o alguna expresión entre paréntesis. Reemplazando q: x k con la expresión (q: x k): x k + 1 = q: (x k x k + 1), obviamente obtendremos la misma fracción Q, donde en lugar de x k es x k x k + 1.

Por tanto, el número de todas las fracciones posibles en el caso de n = k + 1 es 2 veces mayor que en el caso de n = k y es igual a 2 k - 2 · 2 = 2 (k + 1) –2. Esto prueba la afirmación.

Respuesta: 2 n - 2 fracciones.

Tareas sin soluciones

1. Demuestre que para cualquier número natural n:

a) el número 5 n –3 n + 2n es divisible por 4;

b) el número n 3 + 11n es divisible por 6;

c) el número 7 n + 3n - 1 es divisible por 9;

d) el número 6 2n +19 n –2 n + 1 es divisible por 17;

e) el número 7 n + 1 +8 2n - 1 es divisible por 19;

f) el número 2 2n - 1 –9n 2 + 21n - 14 es divisible por 27.

2. Demuestre que (n + 1) · (n + 2) ·… · (n + n) = 2 n · 1 · 3 · 5 ·… · (2n - 1).

3. Demuestre la desigualdad | sen nx | n | sen x | para cualquier n natural.

4. Encuentre números naturales a, b, c que no sean divisibles por 10 y tales que para cualquier n natural los números a n + b n y c n tengan los mismos dos últimos dígitos.

5. Demuestre que si n puntos no se encuentran en una línea recta, entonces, entre las líneas que los conectan, hay al menos n diferentes.

La inducción matemática es uno de los métodos de prueba matemática más utilizados. Puede usarse para probar la mayoría de las fórmulas con números naturales n, por ejemplo, la fórmula para encontrar la suma de los primeros términos de la progresión S n = 2 a 1 + n - 1 d 2 n, la fórmula binomial de Newton a + bn = C norte 0 y C norte 1 an - 1 segundo +. ... ... + C norte norte - 1 una segundo norte - 1 + C norte norte segundo norte.

En el primer párrafo, analizaremos los conceptos básicos, luego veremos los conceptos básicos del método en sí, y luego te diremos cómo usarlo para probar la igualdad y la desigualdad.

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Conceptos de inducción y deducción

Para empezar, considere qué son la inducción y la deducción en general.

Definición 1

Inducción- esta es la transición de lo privado a lo general, y deducción al contrario, de lo general a lo particular.

Por ejemplo, tenemos una declaración: 254 se puede dividir en dos en total. De él podemos sacar muchas conclusiones, entre las que habrá tanto verdaderas como falsas. Por ejemplo, la afirmación de que todos los números enteros que tienen el dígito 4 al final pueden ser divisibles por dos sin un resto es verdadera, pero el hecho de que cualquier número de tres dígitos sea divisible por 2 es falso.

En general, podemos decir que con la ayuda del razonamiento inductivo, puede sacar muchas conclusiones de un razonamiento conocido u obvio. La inducción matemática nos permite determinar qué tan válidas son estas conclusiones.

Digamos que tenemos una secuencia de números como 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1 4 5 ,. ... ... , 1 n (n + 1), donde n denota algún número natural. En este caso, al agregar los primeros elementos de la secuencia, obtenemos lo siguiente:

S 1 = 1 1 2 = 1 2, S 2 = 1 1 2 + 1 2 3 = 2 3, S 3 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 = 3 4, S 4 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 + 1 4 5 = 4 5 ,. ... ...

Usando inducción, podemos concluir que S n = n n + 1. En la tercera parte, probaremos esta fórmula.

¿Cuál es el método de inducción matemática?

Este método se basa en el principio del mismo nombre. Está formulado de la siguiente manera:

Definición 2

Una determinada afirmación será verdadera para un valor natural de n si 1) será verdadera para n = 1 y 2) dado que esta expresión es verdadera para un valor natural arbitrario n = k, se deduce que también será cierta para n = k + 1 ...

La aplicación del método de inducción matemática se realiza en 3 etapas:

1. Primero, verificamos la exactitud de la declaración original en el caso de un valor natural arbitrario de n (por lo general, la verificación se realiza para uno).
2. Después de eso, verificamos la fidelidad con n = k.
3. Y además probamos la validez de la declaración en el caso en que n = k + 1.

Cómo aplicar el método de inducción matemática para resolver desigualdades y ecuaciones

Tomemos el ejemplo del que hablamos antes.

Ejemplo 1

Demuestre la fórmula S n = 1 1 2 + 1 2 3 +. ... ... + 1 norte (norte + 1) = norte norte + 1.

Solución

Como ya sabemos, para aplicar el método de inducción matemática, es necesario realizar tres pasos consecutivos.

1. Primero, verificamos si esta igualdad es válida cuando n es igual a uno. Obtenemos S 1 = 1 1 2 = 1 1 + 1 = 1 2. Todo es correcto aquí.
2. Además, asumimos que la fórmula S k = k k + 1 es verdadera.
3. En el tercer paso, necesitamos demostrar que S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2, basado en la validez de la igualdad anterior.

Podemos representar k + 1 como la suma de los primeros términos de la secuencia original y k + 1:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)

Como en la segunda acción obtuvimos que S k = k k + 1, entonces podemos escribir lo siguiente:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2).

Ahora realizamos las transformaciones necesarias. Necesitamos realizar la reducción de la fracción a un denominador común, reducción de términos similares, aplicar la fórmula de multiplicación reducida y reducir lo sucedido:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) = kk + 1 + 1 k + 1 (k + 2) = = k (k + 2) + 1 k + 1 (k + 2) = k 2 + 2 k + 1 k + 1 (k + 2) = (k + 1) 2 k + 1 (k + 2) = k + 1 k + 2

Por tanto, hemos probado la igualdad en el tercer punto completando los tres pasos del método de inducción matemática.

Respuesta: la suposición sobre la fórmula S n = n n + 1 es correcta.

Tomemos un problema más complejo con funciones trigonométricas.

Ejemplo 2

Dé una prueba de la identidad cos 2 α · cos 4 α ·. ... ... Cos 2 n α = sen 2 n + 1 α 2 n sen 2 α.

Solución

Como recordamos, el primer paso debería ser comprobar si la igualdad es correcta cuando n es igual a uno. Para averiguarlo, debemos recordar las fórmulas trigonométricas básicas.

cos 2 1 = cos 2 α sin 2 1 + 1 α 2 1 sin 2 α = sin 4 α 2 sin 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α 2 sin 2 α = cos 2 α

Por lo tanto, para n igual a uno, la identidad será verdadera.

Ahora, suponga que su validez sigue siendo válida para n = k, es decir será cierto que cos 2 α · cos 4 α ·. ... ... Cos 2 k α = sen 2 k + 1 α 2 k sen 2 α.

Demostramos la igualdad cos 2 α · cos 4 α ·. ... ... · Cos 2 k + 1 α = sen 2 k + 2 α 2 k + 1 sen 2 α para el caso en el que n = k + 1, tomando como base el supuesto anterior.

Según la fórmula trigonométrica,

sin 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (sin (2 k + 1 α + 2 k + 1 α) + sin (2 k + 1 α - 2 k + 1 α)) = = 1 2 sin (2 2 k + 1 α) + sin 0 = 1 2 sin 2 k + 2 α

Por eso,

cos 2 α cos 4 α. ... ... Cos 2 k + 1 α = = cos 2 α cos 4 α. ... ... Cos 2 k α cos 2 k + 1 α = = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α cos 2 k + 1 α = 1 2 sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 pecado 2 α

Un ejemplo de cómo resolver el problema de probar una desigualdad utilizando este método se dio en el artículo sobre el método de los mínimos cuadrados. Lea el párrafo en el que se derivan las fórmulas para encontrar los coeficientes de aproximación.

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El verdadero conocimiento en todo momento se basó en el establecimiento de un patrón y la prueba de su veracidad en determinadas circunstancias. Durante un período tan largo de existencia del razonamiento lógico, se dieron formulaciones de las reglas, y Aristóteles incluso hizo una lista de "razonamiento correcto". Históricamente, se acostumbra dividir todas las inferencias en dos tipos: desde lo concreto hasta lo múltiple (inducción) y viceversa (deducción). Cabe señalar que los tipos de evidencia de particular a general y de general a particular existen solo en interrelación y no pueden ser intercambiables.

Inducción a las matemáticas

El término "inducción" (inducción) tiene raíces latinas y se traduce literalmente como "guía". En un examen más detenido, se puede distinguir la estructura de la palabra, a saber, el prefijo latino - in (denota acción dirigida hacia adentro o estar adentro) y -ducción - introducción. Cabe señalar que hay dos tipos: inducción completa e incompleta. La forma completa se caracteriza por las conclusiones extraídas del estudio de todas las materias de una determinada clase.

Incompleto: conclusiones aplicadas a todas las materias de la clase, pero hechas sobre la base del estudio de solo algunas unidades.

La inducción matemática completa es una inferencia basada en una conclusión general sobre la clase completa de cualquier objeto que esté relacionado funcionalmente por relaciones de una serie natural de números basada en el conocimiento de esta conexión funcional. Además, el proceso de prueba se lleva a cabo en tres etapas:

• en el primero, se prueba la corrección de la posición de la inducción matemática. Ejemplo: f = 1, inducción;
• la siguiente etapa se basa en la asunción de la legalidad de la posición para todos los números naturales. Es decir, f = h, esta es una hipótesis de inducción;
• en la tercera etapa, se demuestra la validez de la posición para el número f = h + 1, en función de la corrección de la posición del punto anterior; esta es una transición de inducción o un paso de inducción matemática. Un ejemplo es el llamado si el primer hueso de una fila cae (base), entonces todos los huesos de una fila caerán (transición).

Tanto en broma como en serio

Para facilitar la percepción, los ejemplos de resolución mediante el método de inducción matemática se denuncian en forma de problemas de broma. Esta es la tarea de la cola educada:

• Las reglas de conducta prohíben que un hombre haga cola frente a una mujer (en tal situación, ella puede seguir adelante). Según esta afirmación, si la última persona en la cola es un hombre, el resto son hombres.

Un ejemplo sorprendente del método de inducción matemática es el problema del "vuelo adimensional":

• Se requiere demostrar que cualquier número de personas puede caber en el minibús. Es cierto que una persona puede caber dentro del vehículo sin dificultad (base). Pero no importa qué tan lleno esté el minibús, siempre cabrá 1 pasajero en él (paso de inducción).

Círculos familiares

Los ejemplos de resolución de problemas y ecuaciones mediante el método de inducción matemática son bastante comunes. Como ilustración de este enfoque, podemos considerar el siguiente problema.

Condición: h se colocan círculos en el plano. Se requiere demostrar que para cualquier disposición de las figuras, el mapa formado por ellas se puede colorear correctamente con dos colores.

Solución: para h = 1, la verdad del enunciado es obvia, por lo tanto, la prueba se construirá para el número de círculos h + 1.

Supongamos que el enunciado es válido para cualquier mapa y que se dan h + 1 círculos en el plano. Al eliminar uno de los círculos del total, puede obtener un mapa correctamente coloreado con dos colores (blanco y negro).

Al restaurar un círculo eliminado, el color de cada área cambia al opuesto (en este caso, dentro del círculo). Resulta que el mapa está correctamente coloreado en dos colores, que es lo que teníamos que demostrar.

Ejemplos con números naturales

La aplicación del método de inducción matemática se muestra claramente a continuación.

Ejemplos de solución:

Demuestre que para cualquier h la siguiente igualdad será correcta:

1 2 +2 2 +3 2 +… + h 2 = h (h + 1) (2h + 1) / 6.

1. Sea h = 1, lo que significa:

R 1 = 1 2 = 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

De esto se deduce que para h = 1 la afirmación es correcta.

2. Suponiendo que h = d, se obtiene la siguiente ecuación:

R 1 = re 2 = re (re + 1) (2d + 1) / 6 = 1

3. Suponiendo que h = d + 1, resulta:

R d + 1 = (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6

R d + 1 = 1 2 +2 2 +3 2 +… + d 2 + (d + 1) 2 = d (d + 1) (2d + 1) / 6 + (d + 1) 2 = (d ( d + 1) (2d + 1) +6 (d + 1) 2) / 6 = (d + 1) (d (2d + 1) +6 (k + 1)) / 6 =

(re + 1) (2d 2 + 7d + 6) / 6 = (re + 1) (2 (re + 3/2) (re + 2)) / 6 = (re + 1) (re + 2) ( 2d + 3) / 6.

Así, se demuestra la validez de la igualdad para h = d + 1, por tanto el enunciado es verdadero para cualquier número natural, lo que se muestra en el ejemplo de la solución por inducción matemática.

Tarea

Condición: Se requiere prueba de que para cualquier valor de h la expresión 7 h -1 es divisible por 6 sin residuo.

Solución:

1. Suponga que h = 1, en este caso:

R 1 = 7 1-1 = 6 (es decir, divisible por 6 sin resto)

Por tanto, para h = 1 el enunciado es verdadero;

2. Sea h = dy 7 d -1 divisible por 6 sin residuo;

3. La prueba de la validez del enunciado para h = d + 1 es la fórmula:

R re +1 = 7 d +1 -1 = 7 ∙ 7 d -7 + 6 = 7 (7 d -1) +6

En este caso, el primer término es divisible por 6 según el supuesto del primer punto, y el segundo término es 6. El enunciado de que 7 h -1 es divisible entre 6 sin un resto para cualquier h natural es verdadero.

Falacia del juicio

A menudo en las demostraciones se utiliza un razonamiento incorrecto, debido a la inexactitud de las construcciones lógicas utilizadas. Esto ocurre principalmente cuando se viola la estructura y la lógica de la prueba. Un ejemplo de razonamiento incorrecto es la siguiente ilustración.

Tarea

Condición: Se requiere prueba de que cualquier montón de piedras no es un montón.

Solución:

1. Suponga que h = 1, en este caso hay 1 piedra en el montón y la afirmación es verdadera (base);

2. Suponga que para h = d es cierto que un montón de piedras no es un montón (supuesto);

3. Sea h = d + 1, de donde se sigue que cuando se agrega una piedra más, el conjunto no será un montón. La conclusión sugiere por sí misma que la suposición es válida para todos los números naturales h.

El error radica en el hecho de que no existe una definición de cuántas piedras forman una pila. Tal omisión se denomina generalización apresurada en el método de inducción matemática. El ejemplo muestra esto claramente.

La inducción y las leyes de la lógica.

Históricamente, siempre caminan de la mano. Disciplinas científicas como la lógica, la filosofía las describen en forma de opuestos.

Desde el punto de vista de la ley de la lógica en las definiciones inductivas, existe una confianza en los hechos y la veracidad de las premisas no determina la exactitud del enunciado resultante. A menudo, las conclusiones se obtienen con un cierto grado de probabilidad y plausibilidad, que, por supuesto, deben verificarse y confirmarse mediante investigaciones adicionales. Un ejemplo de inducción en lógica puede ser la declaración:

Sequía en Estonia, sequía en Letonia, sequía en Lituania.

Estonia, Letonia y Lituania son los estados bálticos. Sequía en todos los estados bálticos.

Del ejemplo, podemos concluir que no se puede obtener nueva información o verdad usando el método de inducción. Todo lo que se puede contar es alguna posible veracidad de las conclusiones. Además, la veracidad de las premisas no garantiza las mismas conclusiones. Sin embargo, este hecho no significa que la inducción vegete al margen de la deducción: un gran número de proposiciones y leyes científicas se fundamentan mediante el método de inducción. Un ejemplo son las mismas matemáticas, biología y otras ciencias. Esto se debe principalmente al método de inducción completa, pero en algunos casos también es aplicable la inducción parcial.

La venerable era de la inducción le permitió penetrar en casi todas las esferas de la actividad humana: esto es ciencia, economía e inferencias cotidianas.

Inducción en el entorno científico

El método de inducción requiere una actitud escrupulosa, ya que demasiado depende del número de particularidades estudiadas del conjunto: cuanto mayor sea el número estudiado, más confiable será el resultado. Con base en esta característica, las leyes científicas obtenidas por el método de inducción se prueban durante mucho tiempo a nivel de supuestos probabilísticos para aislar y estudiar todos los posibles elementos estructurales, conexiones e influencias.

En ciencia, la conclusión de inducción se basa en signos significativos, con la excepción de disposiciones aleatorias. Este hecho es importante debido a la especificidad del conocimiento científico. Esto se ve claramente en los ejemplos de inducción en ciencia.

Hay dos tipos de inducción en el mundo científico (en relación con la forma de estudio):

1. selección de inducción (o selección);
2. inducción - exclusión (eliminación).

El primer tipo se distingue por la selección metódica (escrupulosa) de muestras de la clase (subclases) de sus diferentes áreas.

Un ejemplo de este tipo de inducción es el siguiente: la plata (o sales de plata) purifica el agua. La conclusión se basa en observaciones a largo plazo (una especie de selección de confirmaciones y refutaciones: selección).

El segundo tipo de inducción se basa en conclusiones que establecen relaciones causales y excluyen circunstancias que no corresponden a sus propiedades, a saber, universalidad, adherencia a la secuencia temporal, necesidad y unicidad.

Inducción y deducción desde una perspectiva filosófica

Si nos fijamos en la retrospectiva histórica, entonces Sócrates mencionó por primera vez el término "inducción". Aristóteles describió ejemplos de inducción en filosofía en un diccionario terminológico más aproximado, pero la cuestión de la inducción incompleta permanece abierta. Tras la persecución del silogismo aristotélico, el método inductivo comenzó a reconocerse como fructífero y el único posible en las ciencias naturales. Bacon es considerado el padre de la inducción como un método especial independiente, pero no logró separar, como exigían sus contemporáneos, la inducción del método deductivo.

Un mayor desarrollo de la inducción fue realizado por J. Mill, quien consideró la teoría de la inducción desde el punto de vista de cuatro métodos principales: concordancia, diferencia, residuos y cambios correspondientes. No es sorprendente que hoy en día los métodos enumerados, cuando se examinan en detalle, sean deductivos.

La conciencia de la inconsistencia de las teorías de Bacon y Mill llevó a los científicos a estudiar la base probabilística de la inducción. Sin embargo, incluso aquí no estuvo exento de extremos: se intentó reducir la inducción a la teoría de la probabilidad con todas las consecuencias consiguientes.

La inducción recibe un voto de confianza en la aplicación práctica en ciertas áreas temáticas y debido a la precisión métrica de la base inductiva. Un ejemplo de inducción y deducción en filosofía puede considerarse la Ley de la gravitación universal. En la fecha del descubrimiento de la ley, Newton pudo verificarla con una precisión del 4 por ciento. Y cuando se verificó más de doscientos años después, la corrección se confirmó con una precisión del 0,0001 por ciento, aunque la verificación se llevó a cabo mediante las mismas generalizaciones inductivas.

La filosofía moderna presta más atención a la deducción, que viene dictada por un deseo lógico de derivar nuevos conocimientos (o verdades) de lo ya conocido, sin recurrir a la experiencia, a la intuición, pero operando con un razonamiento "puro". Al referirse a las premisas verdaderas en el método deductivo, en todos los casos, el resultado es un enunciado verdadero.

Esta característica muy importante no debe eclipsar el valor del método inductivo. Dado que la inducción, apoyándose en los logros de la experiencia, también se convierte en un medio para procesarla (incluida la generalización y la sistematización).

Aplicación de la inducción en economía.

La inducción y la deducción se han utilizado durante mucho tiempo como métodos para estudiar economía y pronosticar su desarrollo.

El rango de aplicación del método de inducción es bastante amplio: el estudio del cumplimiento de los indicadores de pronóstico (ganancia, depreciación, etc.) y una evaluación general del estado de la empresa; la formación de una política eficaz para la promoción de una empresa basada en los hechos y sus interconexiones.

El mismo método de inducción se aplica en los gráficos de Shewhart, donde, bajo el supuesto de que los procesos se dividen en procesos controlados y no controlados, se establece que el marco de un proceso controlado está inactivo.

Cabe señalar que las leyes científicas se fundamentan y confirman mediante el método de inducción, y dado que la economía es una ciencia que a menudo utiliza análisis matemático, teoría del riesgo y estadística, no es de extrañar que la inducción esté en la lista de métodos básicos.

Un ejemplo de inducción y deducción en economía es la siguiente situación. El aumento del precio de los alimentos (de la canasta del consumidor) y de los bienes de primera necesidad empujan al consumidor a pensar en el alto costo emergente en el estado (inducción). Al mismo tiempo, a partir del hecho de los precios altos, utilizando métodos matemáticos, es posible derivar indicadores de aumentos de precios para bienes individuales o categorías de bienes (deducción).

Muy a menudo, el personal administrativo, los gerentes y los economistas recurren al método de inducción. Para que sea posible con suficiente veracidad predecir el desarrollo de una empresa, el comportamiento del mercado, las consecuencias de la competencia, se necesita un enfoque inductivo-deductivo para el análisis y procesamiento de la información.

Un ejemplo ilustrativo de inducción en economía relacionado con juicios erróneos:

• el beneficio de la empresa se redujo en un 30%;
  una empresa competidora ha ampliado su línea de productos;
  nada más ha cambiado;
• la política de producción de una empresa competidora provocó una reducción del 30% en los beneficios;
• por lo tanto, se requiere la misma política de producción.

El ejemplo es una colorida ilustración de cómo el uso inepto de la inducción puede arruinar un negocio.

Deducción e inducción en psicología

Dado que hay un método, entonces, de acuerdo con la lógica de las cosas, también hay un pensamiento debidamente organizado (para usar el método). La psicología como ciencia que estudia los procesos mentales, su formación, desarrollo, interconexiones, interacciones, presta atención al pensamiento "deductivo", como una de las formas de manifestación de la deducción y la inducción. Desafortunadamente, en las páginas de psicología en Internet, prácticamente no hay evidencia de la integridad del método deductivo-inductivo. Aunque los psicólogos profesionales se enfrentan con mayor frecuencia a manifestaciones de inducción, o mejor dicho, a conclusiones erróneas.

Un ejemplo de inducción en psicología, como ilustración de juicios erróneos, es la afirmación: mi madre está engañando, por lo tanto, todas las mujeres son engañadoras. Se pueden extraer incluso más ejemplos "erróneos" de inducción de la vida:

• un estudiante es incapaz de nada si ha recibido un deuce en matemáticas;
• es un tonto;
• el es inteligente;
• Puedo hacer cualquier cosa;

Y muchos otros juicios de valor derivados de mensajes absolutamente aleatorios y, en ocasiones, insignificantes.

Cabe señalar: cuando la falacia de los juicios de una persona llega al punto del absurdo, hay un frente para que el psicoterapeuta funcione. Un ejemplo de inducción en una cita con un especialista:

“El paciente está absolutamente seguro de que el color rojo solo es peligroso para él en cualquier forma. Como resultado, una persona ha excluido este esquema de color de su vida, tanto como sea posible. En casa, hay muchas oportunidades para vivir cómodamente. Puede descartar todos los elementos rojos o reemplazarlos con análogos hechos en un esquema de color diferente. Pero en lugares públicos, en el trabajo, en una tienda, es imposible. Al entrar en una situación estresante, el paciente experimenta cada vez una "avalancha" de estados emocionales completamente diferentes, que pueden ser peligrosos para los demás ".

Este ejemplo de inducción, además inconsciente, se llama "ideas fijas". Si esto le sucede a una persona mentalmente sana, podemos hablar de falta de organización de la actividad mental. La forma de deshacerse de los estados obsesivos puede ser el desarrollo elemental del pensamiento deductivo. En otros casos, los psiquiatras trabajan con estos pacientes.

Los ejemplos anteriores de inducción indican que "el desconocimiento de la ley no exime de consecuencias (juicios erróneos)".

Los psicólogos, que trabajan en el tema del pensamiento deductivo, han compilado una lista de recomendaciones diseñadas para ayudar a las personas a dominar este método.

El primer elemento es la solución de problemas. Como puede ver, esa forma de inducción, que se usa en matemáticas, puede considerarse "clásica", y el uso de este método contribuye a la "disciplina" de la mente.

La siguiente condición para el desarrollo del pensamiento deductivo es la ampliación de los horizontes (quien piensa con claridad, lo expresa con claridad). Esta recomendación dirige el “sufrimiento” al tesoro de las ciencias y la información (bibliotecas, sitios web, iniciativas educativas, viajes, etc.).

Por otra parte, conviene mencionar la denominada "inducción psicológica". Este término, aunque con poca frecuencia, se puede encontrar en Internet. Todas las fuentes no dan al menos una formulación breve de la definición de este término, pero se refieren a "ejemplos de la vida", mientras que presentan como un nuevo tipo de inducción, ya sea sugestión, o algunas formas de enfermedad mental, o estados extremos de la vida humana. Psique. De todo lo anterior, está claro que un intento de derivar un "nuevo término" basado en premisas falsas (a menudo falsas) condena al experimentador a recibir una declaración errónea (o apresurada).

Cabe señalar que una referencia a los experimentos de 1960 (sin especificar la ubicación, los nombres de los experimentadores, la muestra de sujetos y, lo que es más importante, el propósito del experimento) parece, por decirlo suavemente, poco convincente y la afirmación Que el cerebro perciba la información sin pasar por todos los órganos de percepción (la frase "Está bajo la influencia" en este caso encajaría de manera más orgánica), te hace pensar en la credulidad y falta de crítica del autor del enunciado.

En lugar de una conclusión

La reina de las ciencias es la matemática, no en vano utiliza todas las reservas posibles del método de inducción y deducción. Los ejemplos considerados permiten concluir que la aplicación superficial e inepta (irreflexiva, como dicen) de los métodos más precisos y fiables siempre conduce a resultados erróneos.

En la conciencia de masas, el método de deducción está asociado con el famoso Sherlock Holmes, quien en sus construcciones lógicas a menudo usa ejemplos de inducción, usando la deducción en las situaciones adecuadas.

El artículo consideró ejemplos de la aplicación de estos métodos en diversas ciencias y esferas de la vida humana.

El método de prueba, que se discutirá en esta subsección, se basa en uno de los axiomas de la serie natural.

Axioma de inducción. Dejemos que se dé una oración en función de la variable PAGS, en lugar de lo cual puede sustituir cualquier número natural. Vamos a denotarlo Un). Que tambien la sentencia A es cierto para el número 1 y por el hecho de que A cierto para el número A, sigue que A cierto para el número a + 1. Luego la oración A cierto para todos los valores naturales pags.

Notación simbólica del axioma:

Aquí cima- variables sobre el conjunto de números naturales. La siguiente regla de inferencia se obtiene del axioma de inducción:

Entonces, para probar la verdad de la oración A, primero puede probar dos afirmaciones: la verdad de la afirmación A( 1), así como el corolario A (k) => A (k + 1).

Teniendo en cuenta lo anterior, describimos la esencia método

inducción matemática.

Que se requiera probar que la sentencia Un) cierto para todo natural pags. La prueba se divide en dos etapas.

• 1ª etapa. Base de inducción. Tomamos como valor PAGS número 1 y comprueba que A( 1) hay una declaración verdadera.
• 2da etapa. Transición inductiva. Demostramos que para cualquier número natural A la implicación es correcta: si A (k), entonces A (k + 1).

La transición inductiva comienza con las palabras: "Tome un número natural arbitrario A, tal que A (k) ", o "Sea un número natural A derecho A (k) ". En lugar de la palabra "dejemos", a menudo dicen "supongamos que ..."

Después de estas palabras, la letra A denota algún objeto fijo para el cual la relación A (k). Lejos de A (k) deducimos las consecuencias, es decir, construimos una cadena de oraciones A (k) 9 R, Pi, ..., P „= A (k + 1), donde cada oración R, es un enunciado verdadero o consecuencia de oraciones anteriores. La última oración R " debe coincidir con A (k + una). De ahí concluimos: de A (k) deberían A (k +).

La realización de una transición inductiva se puede dividir en dos pasos:

• 1) Supuesto inductivo. Aquí asumimos que A A variable norte.
• 2) Basado en el supuesto, probamos que A es cierto para el número? +1.

Ejemplo 5.5.1. Demostremos que el número n + n es incluso para todo natural pags.

Aquí Un) = "N 2 + n- número par". Se requiere demostrar que A - predicado idénticamente verdadero. Apliquemos el método de inducción matemática.

Base de inducción. Toma l = 1. Sustituir en la expresión PAGS+ //, obtenemos n 2 + n= I 2 + 1 = 2 es un número par, es decir, / 1 (1) es un enunciado verdadero.

Vamos a formular suposición inductiva A (k)= "Número k 2 + k - incluso ". Podemos decir esto: "Toma un número natural arbitrario A tal que k 2 + k hay un número par ".

De esto derivamos la declaración A (kA-)= "Número (k + 1) 2 + (? + 1) - par ".

Realicemos transformaciones por las propiedades de las operaciones:

El primer término de la suma resultante es par por supuesto, el segundo es par por definición (ya que tiene la forma 2 PAGS). Por tanto, la suma es un número par. Oración A (k + 1) está probado.

Usando el método de inducción matemática, concluimos: la oración Un) cierto para todo natural pags.

Por supuesto, no es necesario ingresar la notación cada vez Un). Sin embargo, todavía se recomienda formular la suposición inductiva y lo que se requiere para derivar de ella en una línea separada.

Tenga en cuenta que el enunciado del ejemplo 5.5.1 se puede demostrar sin utilizar el método de inducción matemática. Para ello, basta con considerar dos casos: cuando PAGS incluso y cuando PAGS impar.

Muchos problemas de divisibilidad se resuelven mediante el método de inducción matemática. Veamos un ejemplo más complejo.

Ejemplo 5.5.2. Demostremos que el número 15 2i_ | +1 dividido por 8 para todos los naturales pags.

Inducción a la bacha. Toma / 1 = 1. Tenemos: número 15 2 | _ | +1 = 15 + 1 = 16 dividido por 8.

, que para algunos

número natural A número 15 2 * ’+1 es divisible por 8.

Vamos a probar que entonces el numero a= 15 2 (ЖН +1 es divisible por 8.

Convierte el número a:

Por supuesto, el número 15 2A1 +1 es divisible por 8, lo que significa que todo el primer término es divisible por 8. El segundo término 224 = 8-28 también es divisible por 8. Por lo tanto, el número a ya que la diferencia de dos números divisibles por 8 es divisible por 8. La transición inductiva está justificada.

Con base en el método de inducción matemática, llegamos a la conclusión de que para todos los PAGS número 15 2 "-1 - * - 1 es divisible por 8.

Hagamos algunos comentarios sobre el problema resuelto.

El enunciado probado se puede formular de una manera ligeramente diferente: "El número 15" "+ 1 es divisible por 8 para cualquier número natural impar / y".

En segundo lugar, del enunciado general probado se puede sacar una conclusión particular, cuya prueba se puede dar como un problema separado: el número 15 2015 +1 es divisible por 8. Por lo tanto, a veces es útil generalizar el problema designando un valor específico con una letra, y luego aplicar el método de inducción matemática.

En el sentido más general, el término "inducción" significa que las conclusiones generales se extraen sobre la base de ejemplos particulares. Por ejemplo, habiendo considerado algunos ejemplos de las sumas de números pares 2 + 4 = 6, 2 + 8 = 10, 4 + 6 = 10, 8 + 12 = 20, 16 + 22 = 38, concluimos que la suma de cualquier dos números pares es un número par.

En general, tal inducción puede llevar a conclusiones incorrectas. Aquí hay un ejemplo de tal concepto erróneo.

Ejemplo 5.5.3. Considere el número a= / r + i + 41 para natural /?.

Encuentra los valores a en algunos valores pags.

Dejar n = Entonces yo a = 43 es un número primo.

Sea / 7 = 2. Entonces a= 4 + 2 + 41 = 47 - simple.

Sea l = 3. Entonces a= 9 + 3 + 41 = 53 - simple.

Sea / 7 = 4. Entonces a= 16 + 4 + 41 = 61 - simple.

Tomar como valores PAGS los siguientes números, como 5, 6, 7, y asegúrese de que el número sea a será simple.

Concluimos: “¿Con todo natural /? número a será simple ".

El resultado es una declaración falsa. Démosle un contraejemplo: / 7 = 41. Asegúrate de que con esto PAGS número a será compuesto.

El término "inducción matemática" tiene un significado más limitado, ya que el uso de este método le permite obtener siempre la conclusión correcta.

Ejemplo 5.5.4. Obtenemos, sobre la base del razonamiento inductivo, la fórmula del término general de la progresión aritmética. Recordemos que la profesión aritmética es una secuencia numérica, cada miembro de la cual difiere del anterior por el mismo número, llamado diferencia de la progresión. Para establecer de manera inequívoca la profesión aritmética, debe especificar su primer término a y la diferencia D.

Entonces, por definición un n + = a n + d, en n> 1.

En el curso escolar de matemáticas, por regla general, la fórmula para el miembro general de la profesión aritmética se establece sobre la base de ejemplos particulares, es decir, precisamente por inducción.

Si / 7 = 1, ENTONCES CON 7 | = Yo |, eso es yo | = tf | + gl (l -1).

Si / 7 = 2, entonces i 2 = a + d, es decir a= Yo | + * / (2-1).

Si / 7 = 3, entonces i 3 = i 2 + = (a + d) + d = a + 2d, es decir, i 3 = i | + (3-1).

Si / 7 = 4, entonces i 4 = i 3 + * / = ( a + 2d) + d= R1 + 3, etc.

Los ejemplos particulares dados nos permiten plantear una hipótesis: el término general fórmula tiene la forma a" = a + (n-) d para todos / 7> 1.

Demostremos esta fórmula por el método de inducción matemática.

Base de inducción verificado en el razonamiento anterior.

Dejar A - tal número en el que yo * - a + (k-) d (suposición inductiva).

Vamos a probar que yo * +! = a + ((k +) -) d, es decir, i * + 1 = a x + kd.

Por definición, i * + 1 = ab + d. y para= yo | + (a-1 ) D, medio, ac += yo yo + (A: -1) ^ / + c / = yo | + (A-1 + 1 ) D= yo yo + kd, que se requería para probar (para justificar la transición inductiva).

Ahora la fórmula I „= a + (n-) d probado para cualquier número natural /;.

Sea dada alguna secuencia i b i 2, i, „... (no

necesariamente progresión aritmética o geométrica). A menudo surgen problemas cuando es necesario resumir la primera PAGS miembros de esta secuencia, es decir, establezca la suma I | + I 2 + ... + I y una fórmula que le permita encontrar los valores de esta suma sin calcular los miembros de la secuencia.

Ejemplo 5.5.5. Demostremos que la suma de los primeros PAGS los números naturales son

/?(/7 + 1)

Denotamos la suma 1 + 2 + ... + / 7 por S n. Encuentra los valores S n para algunos /7.

Nota: para encontrar la suma S 4, puede utilizar el valor calculado previamente 5 3, ya que 5 4 = 5 3 +4.

n (n +1)

Si sustituimos los valores considerados /? en término --- entonces

obtenemos, respectivamente, las mismas sumas 1, 3, 6, 10. Estas observaciones

. _ n (n + 1)

Sugerir que la fórmula S„= --- se puede utilizar cuando

ningún //. Demostremos esta hipótesis por el método de inducción matemática.

Base de inducción verificado. Vamos a ejecutar transición inductiva.

Suponer que la fórmula es verdadera para algún número natural

, k (k + 1)

k, entonces la red es la suma de la primera A números naturales es igual a ----.

Vamos a probar que la suma de los primeros (? +1) números naturales es igual a

• (* + !)(* + 2)

Expresemos? * + 1 en términos de S k. Para ello, en la suma S * + i, agrupamos los primeros A términos, y escriba el último término por separado:

Por hipótesis inductiva S k = Medios para encontrar

la suma de los primeros (? +1) números naturales, es suficiente para el ya calculado

. „ k (k + 1) _ .. ..

la suma del primero A números iguales a ---, agregue un término (a + 1).

La transición inductiva está justificada. De esta forma, se comprueba la hipótesis planteada al principio.

Hemos proporcionado una prueba de la fórmula. S n = n ^ n + método

inducción matemática. Por supuesto, también hay otras pruebas. Por ejemplo, puede anotar la cantidad S, en orden ascendente de términos y luego en orden descendente de términos:

La suma de los términos en una columna es constante (en una suma, cada término siguiente disminuye en 1 y en la otra aumenta en 1) y es igual a (/ r + 1). Por tanto, sumando las sumas obtenidas, tendremos PAGS términos iguales a (y + 1). Así que duplica la cantidad S " es igual a n (n + 1).

La fórmula probada se puede obtener como un caso especial de la fórmula para la suma de la primera PAGS miembros de una progresión aritmética.

Volvamos al método de inducción matemática. Tenga en cuenta que la primera etapa del método de inducción matemática (base de inducción) siempre es necesaria. La ausencia de este paso puede llevar a una conclusión incorrecta.

Ejemplo 5.5.6. "Probemos" la oración: "El número 7" +1 es divisible por 3 para cualquier yo natural ".

"Supongamos que por algún valor natural A el número 7 * + 1 es divisible por 3. Demostremos que el número 7 y +1 es divisible por 3. Realicemos las transformaciones:

El número 6 es obviamente divisible por 3. El número 1 a + es divisible por 3 por la hipótesis inductiva, lo que significa que el número 7- (7 * + 1) también es divisible por 3. Por lo tanto, la diferencia de números divisibles por 3 también será divisible por 3.

La propuesta está probada ".

La prueba de la proposición original es falsa, aunque el paso inductivo es correcto. De hecho, para n = Yo tenemos el numero 8, para n = 2 - número 50, ..., y ninguno de estos números es divisible por 3.

Hagamos una nota importante sobre la designación de un número natural al realizar una transición inductiva. Al formular una propuesta Un) carta PAGS denotamos una variable, en lugar de la cual se puede sustituir cualquier número natural. Al formular la hipótesis inductiva, denotamos el valor de la variable con la letra A. Sin embargo, muy a menudo en lugar de una nueva carta A use la misma letra que denota la variable. Esto no afecta de ninguna manera la estructura del razonamiento al realizar una transición inductiva.

Considere algunos ejemplos más de problemas que se pueden resolver utilizando el método de inducción matemática.

Ejemplo 5.5.7. Encuentra el valor de la suma

En la tarea, la variable PAGS no aparece. Sin embargo, considere la secuencia de términos:

Nosotros denotamos S, = a + a 2 + ... + a „. Encontrar S„Bajo algunos pags. Si / 1 = 1, entonces S, = a, =-.

Si n = 2.entonces S, = a, + ¿a? = - + - = - = -.

Si /? = 3, entonces S-, = a, + a 7+ i, = - + - + - = - + - = - = -.

3 1 - 3 2 6 12 3 12 12 4

Puede calcular los valores usted mismo S " at / 7 = 4; 5. Hay

conjetura natural: S n= - para cualquier natural / 7. Vamos a probar

es por inducción matemática.

Base de inducción marcado arriba.

Vamos a ejecutar transición inductiva, denotando una arbitraria

valor variable PAGS por la misma letra, es decir, probaremos que a partir de la igualdad

0 /7 _ /7 +1

S n= -hay igualdad S, =-.

/7+1 /7 + 2

Suponer que la igualdad es verdad S= - P -.

Resumamos S „+ la primera PAGS condiciones:

Aplicando el supuesto inductivo, obtenemos:

Cancelando la fracción por (/ 7 + 1), tenemos la igualdad S n +1 -, L

La transición inductiva está justificada.

Esto prueba que la suma de la primera PAGS condiciones

• 1 1 1 /7 ^
• - + - + ... + - igual a -. Ahora de vuelta al original
• 1-2 2-3 /?(// +1) /7 + 1

tarea. Para solucionarlo basta con tomar como valor PAGS número 99.

Entonces la suma -! - + -! - + -! - + ... + --- será igual al número 0,99.

1-2 2-3 3-4 99100

Intente calcular esta cantidad de una manera diferente.

Ejemplo 5.5.8. Demostremos que la derivada de la suma de cualquier número finito de funciones diferenciables es igual a la suma de las derivadas de estas funciones.

Deje que la variable /? denota la cantidad de estas funciones. En el caso de que se dé una sola función, esta función se entiende como la suma. Por lo tanto, si / 7 = 1, entonces la declaración es obviamente verdadera: / "= /".

Suponer que la declaración es válida para un conjunto de PAGS funciones (aquí de nuevo en lugar de la letra A carta tomada PAGS), es decir, la derivada de la suma PAGS funciones es igual a la suma de derivadas.

Vamos a probar que la derivada de las funciones suma (i + 1) es igual a la suma de las derivadas. Tome un conjunto arbitrario que consta de n + función diferenciable: / 1, / 2, . Representamos la suma de estas funciones

como g + f „+ 1, donde g = f + / g + ... + / t - suma PAGS funciones. Por la hipótesis inductiva, la derivada de la función gramo es igual a la suma de las derivadas: g "= pies + pies + ... + pies Por lo tanto, se cumple la siguiente cadena de igualdades:

La transición inductiva está completa.

Por tanto, la proposición original se prueba para cualquier número finito de funciones.

En algunos casos, se requiere probar la veracidad de la sentencia. Un) para todo i natural, comenzando con algún valor Con. La prueba por el método de inducción matemática en tales casos se lleva a cabo de acuerdo con el siguiente esquema.

Base de inducción. Demostramos que la proposición A cierto por el significado PAGS, igual Con.

Transición inductiva. 1) Suponemos que la oración A cierto por algún valor A variable / ?, que es mayor o igual que Con.

2) Demostramos que la proposición A es verdadero para un valor de /? igual a

Tenga en cuenta de nuevo que en lugar de la letra A a menudo dejan notación variable pags. En este caso, la transición inductiva comienza con las palabras: “Supongamos que para algún valor n> c derecho Un). Demostremos que entonces es verdad A (n + una)".

Ejemplo 5.5.9. Demostremos que para todos los naturales n> 5, la desigualdad 2 "> y 2 son verdaderas.

Base de inducción. Dejar n = 5. Entonces 2 5 = 32, 5 2 = 25. La desigualdad 32> 25 es cierta.

Transición inductiva. Suponer, que la desigualdad 2 N> n 2 por algún número natural n> 5. Vamos a probar, que luego 2 "+ |> (n + 1) 2.

Por propiedades de grados 2 "+ | = 2-2 ". Dado que 2"> i 2 (por hipótesis inductiva), entonces 2-2 "> 2i 2 (I).

Demostremos que 2 n 2 más (i + 1) 2. Esto se puede hacer de varias formas. Basta con resolver la desigualdad al cuadrado 2x 2> (x +) 2 en el conjunto de números reales y ver que todos los números naturales mayores o iguales a 5 son sus soluciones.

Procederemos de la siguiente manera. Halla la diferencia de los números 2 n 2 y (i + 1) 2:

Desde y > 5, luego i + 1> 6, lo que significa (i + 1) 2> 36. Por lo tanto, la diferencia es mayor que 0. Entonces, 2nd 2> (i + 1) 2 (2).

Por las propiedades de las desigualdades de (I) y (2) se deduce que 2 * 2 "> (π + 1) 2, que se requería para demostrar que justificaba la transición inductiva.

Con base en el método de inducción matemática, concluimos que la desigualdad 2" > i 2 es cierto para cualquier número natural i.

Consideremos otra forma del método de inducción matemática. La diferencia radica en la transición inductiva. Para implementarlo, debe completar dos pasos:

• 1) suponga que la oración Un) es cierto para todos los valores de la variable i menores que un cierto número R;
• 2) deducir del supuesto propuesto que la oración Un) lo mismo es cierto para el número R.

Por lo tanto, la transición inductiva requiere una prueba del corolario: [(¿Sí?) A (n)] => A (p). Tenga en cuenta que el corolario se puede reescribir como: [(Yn ^ p) A (n)] => A (p + 1).

En la formulación original del método de inducción matemática en la prueba de la proposición A (p) nos basamos solo en la propuesta "anterior" A (p- una). La formulación del método dado aquí permite derivar A (p), considerando que todas las ofertas Un), donde estoy menos R, son verdaderas.

Ejemplo 5.5.10. Demostremos el teorema: "La suma de los ángulos interiores de cualquier n-gon es 180 ° (n-2)".

Para un polígono convexo, el teorema es fácil de probar si lo dividimos por diagonales dibujadas desde un vértice en triángulos. Sin embargo, para un polígono no convexo, este procedimiento puede no ser posible.

Demostremos el teorema de un polígono arbitrario usando el método de inducción matemática. Consideraremos el siguiente enunciado conocido, que, estrictamente hablando, requiere una demostración separada: "En cualquier // - gon, hay una diagonal que se encuentra enteramente en su parte interna".

En lugar de la variable //, puede sustituir cualquier número natural que sea mayor o igual a 3. Para n = b el teorema es cierto, ya que la suma de los ángulos de un triángulo es 180 °.

Toma un poco / 7-gon (p> 4) y suponga que la suma de los ángulos de cualquier // - gon, donde // p, es igual a 180 ° (// - 2). Demostremos que la suma de los ángulos del // - gon es igual a 180 ° (// - 2).

Dibujemos una diagonal // - gon, dentro de ella. Dividirá el // - gon en dos polígonos. Deja que uno de ellos tenga A lados, el otro - a 2 fiestas. Entonces k + k 2 -2 = p, dado que los polígonos resultantes tienen un lado común de una diagonal dibujada, que no es un lado del // - gon original.

Ambos números A y a 2 menos //. Apliquemos el supuesto inductivo a los polígonos obtenidos: la suma de los ángulos del A] -gon es igual a 180 ° - (? I-2), y la suma de los ángulos? 2 -gons es igual a 180 ° - (Ar 2 -2). Entonces la suma de los ángulos // - gon será igual a la suma de estos números:

180 ° * (Ar | -2) -n 180 ° (Ar2-2) = 180 ° (Ar, -bAr 2 -2-2) = 180 ° - (// - 2).

La transición inductiva está justificada. Basado en el método de inducción matemática, el teorema se demuestra para cualquier // - gon (//> 3).