La raíz cuadrada de un número x es el número a, que, cuando se multiplica por sí mismo, da el número x: a * a = a^2 = x, √x = a. Como con cualquier número, puedes realizar las operaciones aritméticas de suma y resta sobre raíces cuadradas.
Instrucción
- Primero, al sumar raíces cuadradas, intente extraer esas raíces. Esto será posible si los números debajo del signo de la raíz son cuadrados perfectos. Por ejemplo, sea dada la expresión √4 + √9. El primer número 4 es el cuadrado del número 2. El segundo número 9 es el cuadrado del número 3. Entonces resulta que: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
- Si no hay cuadrados completos debajo del signo de la raíz, intente sacar el multiplicador del número debajo del signo de la raíz. Por ejemplo, digamos que se da √24 + √54. Factoriza los números: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. El número 24 tiene un factor de 4, que se puede quitar del signo de la raíz cuadrada. El número 54 tiene un factor de 9. Entonces resulta que: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . En este ejemplo, como resultado de quitar el multiplicador del signo raíz, resultó simplificar la expresión dada.
- Sea la suma de dos raíces cuadradas el denominador de una fracción, por ejemplo, A / (√a + √b). Y deja que tu tarea sea "deshacerte de la irracionalidad en el denominador". Entonces puedes usar el siguiente método. Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por la expresión √a - √b. Así, en el denominador se obtendrá la fórmula de la multiplicación abreviada: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. Por analogía, si la diferencia de las raíces está dada en el denominador: √a - √b, entonces el numerador y el denominador de la fracción deben multiplicarse por la expresión √a + √b. Por ejemplo, dada una fracción 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
- Considere un ejemplo más complejo de deshacerse de la irracionalidad en el denominador. Sea dada la fracción 12 / (√2 + √3 + √5). Es necesario multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por la expresión √2 + √3 - √5:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30. - Y finalmente, si solo necesita un valor aproximado, puede calcular las raíces cuadradas en la calculadora. Calcule los valores por separado para cada número y anótelos con la precisión requerida (por ejemplo, dos decimales). Y luego realice las operaciones aritméticas requeridas, como con los números ordinarios. Por ejemplo, supongamos que desea saber el valor aproximado de la expresión √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.
En matemáticas, las raíces pueden ser cuadradas, cúbicas o tener cualquier otro exponente (potencia), que se escribe a la izquierda sobre el signo de la raíz. La expresión bajo el signo de la raíz se llama expresión raíz. La suma de raíces es similar a la suma de los términos de una expresión algebraica, es decir, requiere la definición de raíces similares.
Pasos
Parte 1 de 2: Encontrar raícesDesignación de raíz. Una expresión bajo el signo de raíz () significa que es necesario extraer una raíz de cierto grado de esta expresión.
- La raíz se denota con un signo.
- El índice (grado) de la raíz está escrito a la izquierda sobre el signo de la raíz. Por ejemplo, la raíz cúbica de 27 se escribe como: (27)
- Si el exponente (grado) de la raíz está ausente, entonces el exponente se considera igual a 2, es decir, es la raíz cuadrada (o la raíz de segundo grado).
- El número escrito antes del signo de la raíz se llama multiplicador (es decir, este número se multiplica por la raíz), por ejemplo 5 (2)
- Si no hay ningún factor delante de la raíz, entonces es igual a 1 (recuerda que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo).
- Si está trabajando con raíces por primera vez, tome notas apropiadas sobre el multiplicador y el exponente de la raíz para no confundirse y comprender mejor su propósito.
Recuerda qué raíces se pueden plegar y cuáles no. Así como no puedes sumar diferentes términos de una expresión, como 2a + 2b 4ab, no puedes sumar diferentes raíces.
Identificar y agrupar raíces similares. Las raíces similares son raíces que tienen los mismos exponentes y las mismas expresiones de raíz. Por ejemplo, considere la expresión:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)
- Primero, reescribe la expresión para que las raíces con el mismo exponente estén en serie.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81) - Luego reescribe la expresión para que las raíces con el mismo exponente y la misma expresión de raíz estén en serie.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)
Simplifica tus raíces. Para hacer esto, descomponga (cuando sea posible) las expresiones radicales en dos factores, uno de los cuales se saca de debajo de la raíz. En este caso, el número generado y el factor raíz se multiplican.
Suma los factores de raíces semejantes. En nuestro ejemplo, hay raíces cuadradas similares de 2 (se pueden sumar) y raíces cuadradas similares de 3 (también se pueden sumar). Una raíz cúbica de 3 no tiene tales raíces.
- No existen reglas generalmente aceptadas para el orden en que se escriben las raíces en una expresión. Por lo tanto, puedes escribir raíces en orden ascendente de sus exponentes y en orden ascendente de expresiones radicales.
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Suma y resta de raíces.- uno de los "bloqueos de tropiezo" más comunes para quienes toman un curso de matemáticas (álgebra) en la escuela secundaria. Sin embargo, aprender a sumar y restar correctamente es muy importante, porque los ejemplos para la suma o diferencia de raíces están incluidos en el programa del Examen Estatal Unificado básico en la disciplina "matemáticas".
Para dominar la solución de tales ejemplos, necesita dos cosas: comprender las reglas y adquirir práctica. Habiendo resuelto una o dos docenas de ejemplos típicos, el estudiante llevará esta habilidad al automatismo y luego no tendrá nada que temer en el examen. Se recomienda empezar a dominar las operaciones aritméticas con sumas, porque sumarlas es un poco más fácil que restarlas.
La forma más fácil de explicar esto es con el ejemplo de una raíz cuadrada. En matemáticas, existe un término bien establecido "cuadrado". "Cuadrado" significa multiplicar un número específico por sí mismo una vez.. Por ejemplo, si elevas al cuadrado 2, obtienes 4. Si elevas al cuadrado 7, obtienes 49. El cuadrado de 9 es 81. Entonces, la raíz cuadrada de 4 es 2, de 49 es 7 y de 81 es 9.
Como regla general, la enseñanza de este tema en matemáticas comienza con raíces cuadradas. Para determinarlo de inmediato, un estudiante de secundaria debe saber la tabla de multiplicar de memoria. Para los que no conocen bien esta tabla, hay que usar pistas. Por lo general, el proceso de extraer la raíz cuadrada de un número se da en forma de tabla en las portadas de muchos cuadernos escolares de matemáticas.
Las raíces son de los siguientes tipos:
- cuadrado;
- cúbico (o el llamado tercer grado);
- cuarto grado;
- quinto grado
Reglas de adición
Para resolver con éxito un ejemplo típico, se debe tener en cuenta que no todos los números raíz se pueden apilar entre sí. Para poder juntarlos, deben ser llevados a un solo patrón. Si esto no es posible, entonces el problema no tiene solución. Tales problemas también se encuentran a menudo en los libros de texto de matemáticas como una especie de trampa para los estudiantes.
No se permite la suma en asignaciones cuando las expresiones radicales difieren entre sí. Esto se puede ilustrar con un ejemplo ilustrativo:
- el estudiante se enfrenta a la tarea: sumar la raíz cuadrada de 4 y de 9;
- un estudiante sin experiencia que no conoce la regla suele escribir: "raíz de 4 + raíz de 9 \u003d raíz de 13".
- es muy fácil probar que esta forma de resolver es incorrecta. Para hacer esto, necesitas encontrar la raíz cuadrada de 13 y verificar si el ejemplo se resuelve correctamente;
- usando una microcalculadora, puede determinar que es aproximadamente 3.6. Ahora queda comprobar la solución;
- raíz de 4=2, y de 9=3;
- La suma de dos y tres es cinco. Por lo tanto, este algoritmo de solución puede considerarse incorrecto.
Si las raíces tienen el mismo grado, pero diferentes expresiones numéricas, se quita entre paréntesis, y la suma de dos expresiones radicales. Por lo tanto, ya se extrae de esta cantidad.
Algoritmo de suma
Para resolver correctamente el problema más simple, es necesario:
- Determine qué requiere exactamente la adición.
- Averigüe si es posible sumar valores entre sí, guiado por las reglas existentes en matemáticas.
- Si no se pueden agregar, debe transformarlos de tal manera que se puedan agregar.
- Habiendo realizado todas las transformaciones necesarias, es necesario realizar la suma y anotar la respuesta final. La suma se puede hacer mentalmente o con una calculadora, dependiendo de la complejidad del ejemplo.
¿Qué son las raíces similares?
Para resolver correctamente un ejemplo de suma, es necesario, antes que nada, pensar en cómo se puede simplificar. Para hacer esto, necesitas tener un conocimiento básico de lo que es la similitud.
La capacidad de identificar ejemplos similares ayuda a resolver rápidamente el mismo tipo de ejemplos de suma, llevándolos a una forma simplificada. Para simplificar un ejemplo típico de suma, necesita:
- Encuentre otros similares y asígnelos a un grupo (o varios grupos).
- Reescriba el ejemplo existente de tal manera que las raíces que tienen el mismo indicador se sigan claramente (esto se llama "agrupación").
- A continuación, debe volver a escribir la expresión, esta vez de tal manera que las similares (que tienen el mismo indicador y la misma cifra raíz) también se suceden.
Después de eso, un ejemplo simplificado suele ser fácil de resolver.
Para resolver correctamente cualquier ejemplo de suma, debe comprender claramente las reglas básicas de la suma y también saber qué es una raíz y cómo sucede.
A veces, estas tareas parecen muy complicadas a primera vista, pero generalmente se resuelven fácilmente agrupando otras similares. Lo más importante es la práctica, y luego el estudiante comenzará a "hacer clic en las tareas como nueces". La suma de raíces es una de las ramas más importantes de las matemáticas, por lo que los profesores deben dedicar tiempo suficiente para estudiarla.
Video
Este video te ayudará a entender las ecuaciones con raíces cuadradas.
Extraer la raíz cuadrada de un número no es la única operación que se puede realizar con este fenómeno matemático. Al igual que los números ordinarios, las raíces cuadradas se pueden sumar y restar.
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Reglas para sumar y restar raíces cuadradas
Definición 1Acciones como sumar y restar una raíz cuadrada solo son posibles si la expresión de la raíz es la misma.
Ejemplo 1
Puedes sumar o restar expresiones 2 3 y 6 3, pero no 5 6 Y 9 4 . Si es posible simplificar la expresión y llevarla a raíces con el mismo número de raíz, entonces simplifica y luego suma o resta.
Acciones raíz: conceptos básicos
Ejemplo 26 50 - 2 8 + 5 12
Algoritmo de acción:
- Simplifica la expresión raíz. Para ello, es necesario descomponer la expresión raíz en 2 factores, uno de los cuales es un número cuadrado (el número del que se extrae la raíz cuadrada entera, por ejemplo, 25 o 9).
- Entonces necesitas sacar la raíz del número cuadrado. y escribe el valor resultante antes del signo de la raíz. Tenga en cuenta que el segundo factor se ingresa bajo el signo de la raíz.
- Después del proceso de simplificación, es necesario subrayar las raíces con las mismas expresiones radicales, solo que se pueden sumar y restar.
- Para raíces con las mismas expresiones radicales, es necesario sumar o restar los factores que preceden al signo de la raíz. La expresión raíz permanece sin cambios. ¡No sume ni reste números de raíz!
Consejo 1
Si tiene un ejemplo con una gran cantidad de expresiones radicales idénticas, subraye dichas expresiones con líneas simples, dobles y triples para facilitar el proceso de cálculo.
Ejemplo 3
Probemos este ejemplo:
6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Primero debes descomponer 50 en 2 factores 25 y 2, luego sacar la raíz de 25, que es 5, y sacar 5 de debajo de la raíz. Después de eso, debes multiplicar 5 por 6 (el multiplicador en la raíz) y obtener 30 2 .
2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Primero, necesitas descomponer 8 en 2 factores: 4 y 2. Luego, de 4, extrae la raíz, que es igual a 2, y saca 2 de debajo de la raíz. Después de eso, necesitas multiplicar 2 por 2 (el factor en la raíz) y obtener 4 2 .
5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Primero, necesitas descomponer 12 en 2 factores: 4 y 3. Luego extrae la raíz de 4, que es 2, y sácala de debajo de la raíz. Después de eso, debes multiplicar 2 por 5 (el factor en la raíz) y obtener 10 3 .
Resultado de la simplificación: 30 2 - 4 2 + 10 3
30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .
Como resultado, vimos cuántas expresiones radicales idénticas están contenidas en este ejemplo. Ahora vamos a practicar con otros ejemplos.
Ejemplo 4
- Simplifica (45) . Factorizamos 45: (45) = (9 × 5) ;
- Sacamos 3 de debajo de la raíz (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
- Sumamos los factores en las raíces: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
Ejemplo 5
6 40 - 3 10 + 5:
- Simplificando 6 40 . Factorizamos 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
- Sacamos 2 de debajo de la raíz (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
- Multiplicamos los factores que están delante de la raíz: 12 10;
- Escribimos la expresión en forma simplificada: 12 10 - 3 10 + 5;
- Como los dos primeros términos tienen la misma raíz, podemos restarlos: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.
Ejemplo 6
Como podemos ver, no es posible simplificar los números radicales, por lo que buscamos miembros con los mismos números radicales en el ejemplo, realizamos operaciones matemáticas (suma, resta, etc.) y escribimos el resultado:
(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .
Consejo:
- Antes de sumar o restar, es imperativo simplificar (si es posible) las expresiones radicales.
- Está estrictamente prohibido sumar y restar raíces con diferentes expresiones de raíz.
- No sume ni reste un número entero o raíz cuadrada: 3 + (2 x) 1/2.
- Al realizar acciones con fracciones, debe encontrar un número que sea completamente divisible por cada denominador, luego llevar las fracciones a un denominador común, luego sumar los numeradores y dejar los denominadores sin cambios.
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El tema de las raíces cuadradas es obligatorio en el currículo escolar del curso de matemáticas. No puedes prescindir de ellos al resolver ecuaciones cuadráticas. Y luego se hace necesario no solo extraer las raíces, sino también realizar otras acciones con ellas. Entre ellos se encuentran bastante complejos: exponenciación, multiplicación y división. Pero también los hay bastante sencillos: la resta y la suma de raíces. Por cierto, solo lo parecen a primera vista. Realizarlos sin errores no siempre es fácil para alguien que recién comienza a familiarizarse con ellos.
¿Qué es una raíz matemática?
Esta acción surgió en oposición a la exponenciación. Las matemáticas suponen la presencia de dos operaciones opuestas. Hay resta para la suma. La multiplicación se opone a la división. La acción inversa del grado es la extracción de la raíz correspondiente.
Si el exponente es 2, entonces la raíz será cuadrada. Es el más común en las matemáticas escolares. Ni siquiera tiene indicación de que es cuadrado, es decir, no se le asigna el número 2. La notación matemática de este operador (radical) se muestra en la figura.
De la acción descrita, su definición se sigue sin problemas. Para extraer la raíz cuadrada de un número determinado, debe averiguar qué dará la expresión radical cuando se multiplique por sí misma. Este número será la raíz cuadrada. Si escribimos esto matemáticamente, obtenemos lo siguiente: x * x \u003d x 2 \u003d y, lo que significa √y \u003d x.
¿Qué acciones se pueden tomar con ellos?
En esencia, una raíz es una potencia fraccionaria que tiene una unidad en el numerador. Y el denominador puede ser cualquier cosa. Por ejemplo, la raíz cuadrada tiene un valor de dos. Por lo tanto, todas las acciones que se puedan realizar con grados también serán válidas para las raíces.
Y tienen los mismos requisitos para estas acciones. Si la multiplicación, la división y la elevación a una potencia no presentan dificultades para los estudiantes, entonces la suma de raíces, así como su resta, a veces conduce a la confusión. Y todo porque desea realizar estas operaciones sin mirar el signo de la raíz. Y aquí es donde comienzan los errores.
¿Cuáles son las reglas para la suma y la resta?
Primero debe recordar dos "no" categóricos:
- es imposible realizar sumas y restas de raíces, como con los números primos, es decir, es imposible escribir las expresiones de raíz de la suma bajo un signo y realizar operaciones matemáticas con ellas;
- no puede sumar y restar raíces con diferentes exponentes, como cuadrado y cúbico.
Un ejemplo ilustrativo de la primera prohibición: √6 + √10 ≠ √16 pero √(6 + 10) = √16.
En el segundo caso, es mejor limitarnos a simplificar las propias raíces. Y en la respuesta dejar su suma.
Ahora a las reglas
- Encuentra y agrupa raíces similares. Es decir, aquellos que no solo tienen los mismos números debajo del radical, sino que ellos mismos tienen un indicador.
- Realice la suma de las raíces combinadas en un grupo por la primera acción. Es fácil de implementar, porque solo necesitas sumar los valores que vienen antes de los radicales.
- Extrae las raíces en aquellos términos en los que la expresión radical forma un cuadrado entero. En otras palabras, no dejes nada bajo el signo del radical.
- Simplificar expresiones raíz. Para hacer esto, necesitas factorizarlos en factores primos y ver si dan el cuadrado de algún número. Está claro que esto es cierto cuando se trata de la raíz cuadrada. Cuando el exponente es tres o cuatro, entonces los factores primos deben dar el cubo o la cuarta potencia del número.
- Saca de debajo del signo del radical un factor que dé una potencia entera.
- A ver si vuelven a aparecer términos similares. En caso afirmativo, vuelva a realizar el segundo paso.
En una situación en la que el problema no requiera el valor exacto de la raíz, se puede calcular con una calculadora. Redondea la fracción decimal infinita que se mostrará en su ventana. La mayoría de las veces esto se hace hasta las centésimas. Y luego realice todas las operaciones para fracciones decimales.
Esta es toda la información sobre cómo se realiza la suma de las raíces. Los siguientes ejemplos ilustrarán lo anterior.
Primera tarea
Calcular el valor de las expresiones:
a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;
b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;
c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.
a) Si sigue el algoritmo anterior, puede ver que no hay nada para las dos primeras acciones en este ejemplo. Pero puedes simplificar algunas expresiones radicales.
Por ejemplo, factoriza 32 en dos factores 2 y 16; 18 será igual al producto de 9 y 2; 128 es 2 por 64. Ante esto, la expresión se escribirá así:
√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).
Ahora necesitas sacar de debajo del signo radical aquellos factores que dan el cuadrado del número. Esto es 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . La expresión tomará la forma:
√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.
Necesitamos simplificar un poco la escritura. Para ello, los coeficientes se multiplican antes de los signos de la raíz:
√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.
En esta expresión, todos los términos resultaron ser similares. Por lo tanto, solo necesitan ser doblados. La respuesta será: 5√2.
b) Al igual que el ejemplo anterior, la suma de raíces comienza con su simplificación. Las expresiones raíz 75, 147, 48 y 300 estarán representadas por los siguientes pares: 5 y 25, 3 y 49, 3 y 16, 3 y 100. Cada uno de ellos tiene un número que se puede sacar de debajo del signo raíz :
5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.
Después de la simplificación, la respuesta es: 5√5 - 5√3. Se puede dejar de esta forma, pero es mejor sacar el factor común 5 del paréntesis: 5 (√5 - √3).
c) Y de nuevo factorización: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Después de factorizar el signo de la raíz, tenemos:
5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Después de reducir términos similares, obtenemos el resultado: 7√11.
Ejemplo fraccionario
√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).
Los siguientes números deberán factorizarse: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. De manera similar a los ya considerados, debe sacar los factores de debajo de la raíz. firma y simplifica la expresión:
3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).
Esta expresión requiere deshacerse de la irracionalidad en el denominador. Para ello, multiplica el segundo término por √2/√2:
5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.
Para completar la acción, debe seleccionar la parte entera de los factores delante de las raíces. El primero es 1, el segundo es 2.