Propiedades de los logaritmos de la ecuación. Resolver ecuaciones logarítmicas

Ejemplos:

\ (\ log_ (2) (⁡x) = 32 \)
\ (\ log_3⁡x = \ log_3⁡9 \)
\ (\ log_3⁡ ((x ^ 2-3)) = \ log_3⁡ ((2x)) \)
\ (\ log_ (x + 1) ((x ^ 2 + 3x-7)) = 2 \)
\ (\ lg ^ 2⁡ ((x + 1)) + 10 = 11 \ lg⁡ ((x + 1)) \)

Cómo resolver ecuaciones logarítmicas:

Al resolver una ecuación logarítmica, debes esforzarte por transformarla a la forma \ (\ log_a⁡ (f (x)) = \ log_a⁡ (g (x)) \), luego hacer la transición a \ (f (x) ) = g (x) \).

\ (\ log_a⁡ (f (x)) = \ log_a⁡ (g (x)) \) \ (⇒ \) \ (f (x) = g (x) \).

Ejemplo:\ (\ log_2⁡ (x-2) = 3 \)

Solución:
\ (\ log_2⁡ (x-2) = \ log_2⁡8 \)
\ (x-2 = 8 \)
\ (x = 10 \)
Examen:\ (10> 2 \) - adecuado para ODZ
Respuesta:\ (x = 10 \)

ODZ:
\ (x-2> 0 \)
\ (x> 2 \)

¡Muy importante! Esta transición solo se puede realizar si:

Escribió para la ecuación original y, al final, verifique si las encontradas están incluidas en el DHS. Si esto no se hace, pueden aparecer raíces innecesarias, lo que significa que es una decisión incorrecta.

El número (o expresión) a la izquierda y a la derecha es el mismo;

Los logaritmos de la izquierda y de la derecha son "puros", es decir, no debe haber multiplicaciones, divisiones, etc. - solo logaritmos solitarios a cada lado del signo igual.

Por ejemplo:

Tenga en cuenta que las ecuaciones 3 y 4 se pueden resolver fácilmente aplicando las propiedades deseadas de los logaritmos.

Ejemplo ... Resuelve la ecuación \ (2 \ log_8⁡x = \ log_8⁡2,5 + \ log_8⁡10 \)

Solución :

		Escribamos ODZ: \ (x> 0 \).
\ (2 \ log_8⁡x = \ log_8⁡2,5 + \ log_8⁡10 \) ODZ: \ (x> 0 \)		A la izquierda, delante del logaritmo, está el coeficiente, a la derecha, la suma de los logaritmos. Eso nos perturba. Transferimos dos al exponente \ (x \) por la propiedad: \ (n \ log_b (⁡a) = \ log_b⁡ (a ^ n) \). Representamos la suma de los logaritmos como un logaritmo por la propiedad: \ (\ log_a⁡b + \ log_a⁡c = \ log_a (⁡bc) \)
\ (\ log_8⁡ (x ^ 2) = \ log_8⁡25 \)		Trajimos la ecuación a la forma \ (\ log_a⁡ (f (x)) = \ log_a⁡ (g (x)) \) y escribimos la ODZ, lo que significa que puedes ir a la forma \ (f (x) = g (x) \).
		Sucedió . Lo resolvemos y sacamos las raíces.
\ (x_1 = 5 \) \ (x_2 = -5 \)		Comprobamos si las raíces son aptas para ODZ. Para hacer esto, en \ (x> 0 \) en lugar de \ (x \) sustituimos \ (5 \) y \ (- 5 \). Esta operación se puede realizar por vía oral.
\(5>0\), \(-5>0\)		La primera desigualdad es verdadera, la segunda no. Entonces \ (5 \) es la raíz de la ecuación, pero \ (- 5 \) no lo es. Escribimos la respuesta.

Respuesta : \(5\)

Ejemplo : Resuelve la ecuación \ (\ log ^ 2_2⁡ (x) -3 \ log_2 (⁡x) + 2 = 0 \)

Solución :

		Escribamos ODZ: \ (x> 0 \).
\ (\ log ^ 2_2⁡ (x) -3 \ log_2 (⁡x) + 2 = 0 \) ODZ: \ (x> 0 \)		Una ecuación típica resuelta con. Reemplaza \ (\ log_2⁡x \) con \ (t \).
\ (t = \ log_2⁡x \)
		Tenemos lo de siempre. Buscamos sus raíces.
\ (t_1 = 2 \) \ (t_2 = 1 \)		Hacemos el reemplazo inverso
\ (\ log_2 (⁡x) = 2 \) \ (\ log_2 (⁡x) = 1 \)		Transforma los lados derechos, representándolos como logaritmos: \ (2 = 2 \ cdot 1 = 2 \ log_2⁡2 = \ log_2⁡4 \) y \ (1 = \ log_2⁡2 \)
\ (\ log_2 (⁡x) = \ log_2⁡4 \) \ (\ log_2 (⁡x) = \ log_2⁡2 \)		Ahora nuestras ecuaciones son de la forma \ (\ log_a⁡ (f (x)) = \ log_a⁡ (g (x)) \) y podemos saltar a \ (f (x) = g (x) \).
\ (x_1 = 4 \) \ (x_2 = 2 \)		Comprobamos la correspondencia de las raíces de la ODZ. Para hacer esto, sustituimos \ (4 \) y \ (2 \) en la desigualdad \ (x> 0 \) en lugar de \ (x \).
\(4>0\) \(2>0\)		Ambas desigualdades son verdaderas. Por tanto, tanto \ (4 \) como \ (2 \) son raíces de la ecuación.

Respuesta : \(4\); \(2\).

La preparación para la prueba final de matemáticas incluye una sección importante: "Logaritmos". Las tareas de este tema están necesariamente incluidas en el examen. La experiencia de los últimos años muestra que las ecuaciones logarítmicas han causado dificultades a muchos escolares. Por lo tanto, los estudiantes con diferentes niveles de capacitación deben comprender cómo encontrar la respuesta correcta y enfrentarla rápidamente.

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Como sabes, al multiplicar expresiones con potencias, sus exponentes siempre suman (a b * a c = a b + c). Esta ley matemática fue derivada por Arquímedes, y más tarde, en el siglo VIII, el matemático Virasen creó una tabla de indicadores completos. Fueron ellos quienes sirvieron para un mayor descubrimiento de logaritmos. Se pueden encontrar ejemplos del uso de esta función en casi todos los lugares donde necesite simplificar una multiplicación engorrosa mediante una simple suma. Si dedicas 10 minutos a leer este artículo, te explicaremos qué son los logaritmos y cómo trabajar con ellos. Lenguaje sencillo y accesible.

Definición en matemáticas

El logaritmo es una expresión de la siguiente forma: log ab = c, es decir, el logaritmo de cualquier número no negativo (es decir, cualquier positivo) "b" basado en su base "a" se considera la potencia " c ", a la que se debe subir la base" a ", para que al final obtengamos el valor" b ". Analicemos el logaritmo usando ejemplos, por ejemplo, hay una expresión log 2 8. ¿Cómo encontrar la respuesta? Es muy simple, necesitas encontrar ese grado para que del 2 al grado deseado obtengas 8. ¡Habiendo hecho algunos cálculos en tu mente, obtenemos el número 3! Y bien, porque 2 elevado a 3 da el número 8 en la respuesta.

Variedades de logaritmos

Para muchos alumnos y estudiantes este tema parece complicado e incomprensible, pero en realidad los logaritmos no dan tanto miedo, lo principal es entender su significado general y recordar sus propiedades y algunas reglas. Hay tres tipos distintos de expresiones logarítmicas:

Logaritmo natural ln a, donde la base es el número de Euler (e = 2,7).
Decimal a, base 10.
Logaritmo de cualquier número b en base a> 1.

Cada uno de ellos se resuelve de forma estándar, incluyendo la simplificación, reducción y posterior reducción a un logaritmo mediante teoremas logarítmicos. Para obtener los valores correctos de los logaritmos, conviene recordar sus propiedades y la secuencia de acciones a la hora de resolverlos.

Reglas y algunas restricciones

En matemáticas existen varias reglas-restricciones que se aceptan como axioma, es decir, no son negociables y son verdaderas. Por ejemplo, no puede dividir números entre cero y aún no puede extraer una raíz par de números negativos. Los logaritmos también tienen sus propias reglas, siguiendo las cuales puede aprender fácilmente a trabajar incluso con expresiones logarítmicas largas y amplias:

la base "a" debe ser siempre mayor que cero, y al mismo tiempo no ser igual a 1, de lo contrario la expresión perderá su significado, porque "1" y "0" en cualquier grado siempre son iguales a sus valores;
si a> 0, entonces a b> 0, resulta que "c" también debe ser mayor que cero.

¿Cómo se resuelven los logaritmos?

Por ejemplo, dada la tarea de encontrar la respuesta a la ecuación 10 x = 100. Es muy fácil, necesitas elegir tal potencia, elevando el número diez al que obtenemos 100. Esto, por supuesto, 10 2 = 100 .

Ahora representemos esta expresión como logarítmica. Obtenemos log 10 100 = 2. Al resolver logaritmos, todas las acciones casi convergen para encontrar la potencia a la que es necesario introducir la base del logaritmo para obtener el número dado.

Para determinar con precisión el valor de un grado desconocido, es necesario aprender a trabajar con la tabla de grados. Se parece a esto:

Como puede ver, algunos exponentes se pueden adivinar intuitivamente si tiene una mentalidad técnica y conocimiento de la tabla de multiplicar. Sin embargo, los valores más grandes requerirán una tabla de potencias. Puede ser utilizado incluso por aquellos que no saben nada sobre temas matemáticos complejos. La columna de la izquierda contiene números (base a), la fila superior de números es la potencia c a la que se eleva el número a. En la intersección de las celdas, se definen los valores de los números, que son la respuesta (a c = b). Tomemos, por ejemplo, la primera celda con el número 10 y la elevamos al cuadrado, obtenemos el valor 100, que se indica en la intersección de nuestras dos celdas. ¡Todo es tan simple y fácil que incluso el humanista más real lo entenderá!

Ecuaciones y desigualdades

Resulta que bajo ciertas condiciones el exponente es el logaritmo. Por lo tanto, cualquier expresión numérica matemática se puede escribir como una igualdad logarítmica. Por ejemplo, 3 4 = 81 se puede escribir como el logaritmo de 81 en base 3, igual a cuatro (log 3 81 = 4). Para potencias negativas, las reglas son las mismas: 2-5 = 1/32, lo escribimos como un logaritmo, obtenemos log 2 (1/32) = -5. Una de las áreas más fascinantes de las matemáticas es el tema de los "logaritmos". Consideraremos ejemplos y soluciones de ecuaciones un poco más abajo, inmediatamente después de estudiar sus propiedades. Ahora veamos cómo se ven las desigualdades y cómo distinguirlas de las ecuaciones.

Se da una expresión de la siguiente forma: log 2 (x-1)> 3 - es una desigualdad logarítmica, ya que el valor desconocido "x" está bajo el signo del logaritmo. Y también en la expresión, se comparan dos valores: el logaritmo del número requerido en base dos es mayor que el número tres.

La diferencia más importante entre ecuaciones logarítmicas y desigualdades es que las ecuaciones con logaritmos (por ejemplo, logaritmo 2 x = √9) implican uno o más valores numéricos específicos en la respuesta, mientras que resolver la desigualdad determina tanto el rango de valores admisibles Y los puntos que rompen esta función. Como consecuencia, la respuesta no es un simple conjunto de números separados como en la respuesta a la ecuación, sino una serie continua o un conjunto de números.

Teoremas básicos sobre logaritmos

Al resolver tareas primitivas para encontrar los valores del logaritmo, es posible que no se conozcan sus propiedades. Sin embargo, cuando se trata de ecuaciones o desigualdades logarítmicas, en primer lugar, es necesario comprender claramente y aplicar en la práctica todas las propiedades básicas de los logaritmos. Más adelante nos familiarizaremos con ejemplos de ecuaciones, primero analicemos cada propiedad con más detalle.

La identidad principal se ve así: a logaB = B. Solo se aplica si a es mayor que 0, no es igual a uno y B es mayor que cero.
El logaritmo del producto se puede representar con la siguiente fórmula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. En este caso, un requisito previo es: d, s 1 y s 2> 0; a ≠ 1. Puede dar una prueba de esta fórmula de logaritmos, con ejemplos y una solución. Sea log como 1 = f 1 y log como 2 = f 2, entonces a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obtenemos que s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (propiedades de poderes), y además por definición: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log as 2, que es lo que se requería para demostrar.
El logaritmo del cociente se ve así: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
El teorema en forma de fórmula tiene la siguiente forma: log a q b n = n / q log a b.

Esta fórmula se denomina "propiedad del grado del logaritmo". Se asemeja a las propiedades de los grados ordinarios, y no es sorprendente, porque todas las matemáticas se basan en postulados naturales. Echemos un vistazo a la prueba.

Sea log a b = t, resulta que a t = b. Si elevamos ambas partes a la potencia de m: a tn = b n;

pero como a tn = (a q) nt / q = b n, entonces log a q b n = (n * t) / t, entonces log a q b n = n / q log a b. Se demuestra el teorema.

Ejemplos de problemas y desigualdades

Los tipos más comunes de problemas de logaritmos son ejemplos de ecuaciones y desigualdades. Se encuentran en casi todos los libros de problemas y también se incluyen en la parte obligatoria de los exámenes de matemáticas. Para ingresar a la universidad o aprobar los exámenes de ingreso en matemáticas, debe saber cómo resolver correctamente tales tareas.

Desafortunadamente, no existe un plan o esquema único para resolver y determinar el valor desconocido del logaritmo; sin embargo, se pueden aplicar ciertas reglas a cada desigualdad matemática o ecuación logarítmica. En primer lugar, es necesario averiguar si la expresión se puede simplificar o llevar a una forma general. Las expresiones logarítmicas largas se pueden simplificar si sus propiedades se utilizan correctamente. Vamos a conocerlos pronto.

Al resolver ecuaciones logarítmicas, es necesario determinar qué tipo de logaritmo tenemos frente a nosotros: un ejemplo de una expresión puede contener un logaritmo natural o decimal.

A continuación se muestran los ejemplos ln100, ln1026. Su solución se reduce al hecho de que debe determinar el grado en que la base 10 será igual a 100 y 1026, respectivamente. Para soluciones de logaritmos naturales, debe aplicar identidades logarítmicas o sus propiedades. Veamos los ejemplos de resolución de problemas logarítmicos de diferentes tipos.

Cómo usar fórmulas de logaritmos: con ejemplos y soluciones

Entonces, veamos ejemplos del uso de los teoremas principales en logaritmos.

La propiedad del logaritmo del producto se puede utilizar en tareas en las que es necesario descomponer un valor grande del número b en factores más simples. Por ejemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4 * 128) = log 2 512. La respuesta es 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - como puede ver, usando la cuarta propiedad de la potencia del logaritmo, fue posible resolver una expresión aparentemente compleja e insoluble. Solo necesita factorizar la base y luego quitar los valores de potencia del signo del logaritmo.

Tareas del examen

Los logaritmos se encuentran a menudo en los exámenes de ingreso, especialmente muchos problemas logarítmicos en el examen (examen estatal para todos los graduados de la escuela). Por lo general, estas tareas están presentes no solo en la parte A (la parte de prueba más fácil del examen), sino también en la parte C (las tareas más difíciles y voluminosas). El examen asume un conocimiento exacto y perfecto del tema "Logaritmos naturales".

Los ejemplos y las soluciones a los problemas se toman de las versiones oficiales del Examen Estatal Unificado. Veamos cómo se resuelven tales tareas.

Dado log 2 (2x-1) = 4. Solución:
reescribe la expresión, simplificándola un poco log 2 (2x-1) = 2 2, por la definición del logaritmo obtenemos que 2x-1 = 2 4, por lo tanto 2x = 17; x = 8,5.

Es mejor convertir todos los logaritmos a una base para que la solución no sea complicada y confusa.
Todas las expresiones bajo el signo del logaritmo se indican como positivas, por lo tanto, cuando el exponente del exponente se saca del factor, que está bajo el signo del logaritmo y como base, la expresión que queda bajo el logaritmo debe ser positiva. .

Introducción

El aumento de la carga mental en las lecciones de matemáticas le hace pensar en cómo mantener a los estudiantes interesados en el material que se está estudiando, su actividad a lo largo de la lección. En este sentido, se está buscando nuevos métodos de enseñanza efectivos y técnicas metodológicas que activen el pensamiento de los estudiantes, los estimulen a adquirir conocimientos por sí mismos.

El surgimiento del interés por las matemáticas entre un número significativo de estudiantes depende en gran medida de la metodología de enseñanza, de la habilidad con la que se estructurará el trabajo educativo. Prestando la atención de los estudiantes a tiempo al hecho de que las matemáticas estudian las propiedades generales de los objetos y fenómenos del mundo circundante, no se trata de objetos, sino de conceptos abstractos abstractos, uno puede lograr comprender que las matemáticas no rompen la conexión con la realidad. , pero, por el contrario, permite profundizar en su estudio, para extraer conclusiones teóricas generalizadas y muy utilizadas en la práctica.

Participando en el festival de ideas pedagógicas "Lección Abierta" para el año académico 2004-2005, presenté una lección-conferencia sobre el tema "Función logarítmica" (diploma No. 204044). Creo que este método es el más exitoso en este caso particular. Como resultado del estudio, los estudiantes tienen un esquema detallado y un breve esquema del tema, lo que facilitará su preparación para las próximas lecciones. En particular, sobre el tema "Resolución de ecuaciones logarítmicas", que se basa íntegramente en el estudio de la función logarítmica y sus propiedades.

A la hora de formar los conceptos matemáticos fundamentales, es importante crear en el alumno una idea de la conveniencia de introducir cada uno de ellos y la posibilidad de su aplicación. Para ello, es necesario que a la hora de formular la definición de un determinado concepto, trabajando en su estructura lógica, se consideren cuestiones sobre la historia del surgimiento de este concepto. Este enfoque ayudará a los estudiantes a darse cuenta de que el nuevo concepto sirve como una generalización de los hechos de la realidad.

La historia de la aparición de logaritmos se presenta en detalle en el trabajo del año pasado.

Considerando la importancia de la continuidad en la enseñanza de la matemática en una institución de educación secundaria especializada y en una universidad y la necesidad de cumplir con los requisitos uniformes para los estudiantes, considero apropiado la siguiente metodología para familiarizar a los estudiantes con la solución de ecuaciones logarítmicas.

Las ecuaciones que contienen una variable bajo el signo del logaritmo (en particular, en la base del logaritmo) se llaman logarítmico. Considere ecuaciones logarítmicas de la forma:

La solución de estas ecuaciones se basa en el siguiente teorema.

Teorema 1. La ecuación es equivalente al sistema

(2)

Para resolver la ecuación (1), basta con resolver la ecuación

y sustituye sus soluciones en el sistema de desigualdades

definir el dominio de la ecuación (1).

Las raíces de la ecuación (1) serán solo aquellas soluciones de la ecuación (3) que satisfacen el sistema (4), es decir pertenecen al dominio de definición de la ecuación (1).

Al resolver ecuaciones logarítmicas, el dominio de definición puede expandirse (adquisición de raíces extrañas) o estrecharse (pérdida de raíces). Por lo tanto, la sustitución de las raíces de la ecuación (3) en el sistema (4), es decir Se requiere verificación de la decisión.

Ejemplo 1: Resuelve la ecuación

Solución:

Ambos significados X Satisfacer las condiciones del sistema.

Respuesta:

Considere ecuaciones de la forma:

Su solución se basa en el siguiente teorema

Teorema 2: La ecuación (5) es equivalente al sistema

(6)

Las raíces de la ecuación (5) serán solo aquellas raíces de la ecuación que

pertenecen al dominio especificado por las condiciones.

Una ecuación logarítmica de la forma (5) se puede resolver de varias formas. Consideremos los principales.

1. POTENCIACIÓN (aplicando las propiedades del logaritmo).

Ejemplo 2: Resuelve la ecuación

Solución: En virtud del Teorema 2, esta ecuación es equivalente al sistema:

Resolvamos la ecuación:

Solo una raíz satisface todas las condiciones del sistema. Respuesta:

2. USANDO LA DEFINICIÓN DE LOGARITMO .

Ejemplo 3: Encontrar X, si

Solución:

Significado X= 3 pertenece al dominio de la ecuación. Respuesta X = 3

3. REDUCCIÓN A LA ECUACIÓN CUADRADA.

Ejemplo 4: Resuelve la ecuación

Ambos significados X son las raíces de la ecuación.

Respuesta:

4. LOGARIFICACIÓN.

Ejemplo 5: Resuelve la ecuación

Solución: Logaritmos ambos lados de la ecuación en base 10 y apliquemos la propiedad "logaritmo de potencia".

Ambas raíces pertenecen al rango de valores válidos de la función logarítmica.

Respuesta: X = 0,1; X = 100

5. REDUCCIÓN A UNA BASE.

Ejemplo 6: Resuelve la ecuación

Usemos la fórmula y pasar todos los términos al logaritmo en base 2:

Entonces esta ecuación tomará la forma:

Dado que, entonces esta es la raíz de la ecuación.

Respuesta: X = 16

propiedades básicas.

logax + logay = loga (x y);
logax - logay = loga (x: y).

motivos idénticos

Log6 4 + log6 9.

Ahora compliquemos un poco la tarea.

Ejemplos de resolución de logaritmos

¿Qué pasa si la base o argumento del logaritmo se basa en un grado? Entonces, el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo de acuerdo con las siguientes reglas:

Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa el ODL del logaritmo: a> 0, a ≠ 1, x>

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Mudarse a una nueva base

Dejemos que se dé el logaritmo. Entonces, para cualquier número c tal que c> 0 y c ≠ 1, se cumple la siguiente igualdad:

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Ver también:

Propiedades básicas del logaritmo

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El exponente es 2,718281828…. Para recordar el exponente, puede estudiar la regla: el exponente es 2.7 y el doble del año de nacimiento de Leo Nikolaevich Tolstoy.

Propiedades básicas de los logaritmos

Conociendo esta regla, sabrás tanto el valor exacto del exponente como la fecha de nacimiento de León Tolstoi.

Ejemplos de logaritmos

Expresiones de logaritmos

Ejemplo 1.
a). x = 10ac ^ 2 (a> 0, c> 0).

Por propiedades 3.5 calculamos

4. donde .

Ejemplo 2. Encuentra x si

Ejemplo 3. Sea el valor de los logaritmos

Evaluar log (x) si

Propiedades básicas de los logaritmos

Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y transformar en todos los sentidos. Pero dado que los logaritmos no son exactamente números ordinarios, aquí hay reglas, que se llaman propiedades básicas.

Es imperativo conocer estas reglas; ningún problema logarítmico serio puede resolverse sin ellas. Además, hay muy pocos: todo se puede aprender en un día. Entonces empecemos.

Suma y resta de logaritmos

Considere dos logaritmos con las mismas bases: logax y logay. Luego se pueden sumar y restar, y:

logax + logay = loga (x y);
logax - logay = loga (x: y).

Entonces, la suma de los logaritmos es igual al logaritmo del producto y la diferencia es el logaritmo del cociente. Tenga en cuenta que el punto clave aquí es: motivos idénticos... Si las razones son diferentes, ¡estas reglas no funcionan!

Estas fórmulas le ayudarán a calcular una expresión logarítmica incluso cuando sus partes individuales no se cuentan (consulte la lección "Qué es un logaritmo"). Eche un vistazo a los ejemplos y vea:

Dado que las bases de los logaritmos son las mismas, usamos la fórmula de suma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tarea. Halla el valor de la expresión: log2 48 - log2 3.

Las bases son las mismas, usamos la fórmula de diferencia:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tarea. Halla el valor de la expresión: log3 135 - log3 5.

Nuevamente, las bases son las mismas, por lo que tenemos:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Como puede ver, las expresiones originales se componen de logaritmos "malos", que no se cuentan por separado. Pero después de las transformaciones, se obtienen números bastante normales. Muchas pruebas se basan en este hecho. Pero, ¿qué control? Tales expresiones con toda seriedad (a veces, prácticamente sin cambios) se ofrecen en el examen.

Quitando el exponente del logaritmo

Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, reducirá significativamente la cantidad de cálculo.

Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa el ODL del logaritmo: a> 0, a ≠ 1, x> 0. Y una cosa más: aprende a aplicar todas las fórmulas no solo de izquierda a derecha, sino también viceversa. , es decir puede introducir los números delante del signo del logaritmo en el propio logaritmo. Esto es lo que se requiere con mayor frecuencia.

Tarea. Halla el valor de la expresión: log7 496.

Eliminemos el grado en el argumento usando la primera fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que el denominador contiene el logaritmo, cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 24; 49 = 72. Tenemos:

Creo que el último ejemplo necesita una aclaración. ¿Dónde desaparecieron los logaritmos? Hasta el último momento, trabajamos solo con el denominador.

Fórmulas para logaritmos. Los logaritmos son ejemplos de soluciones.

Presentamos la base y el argumento del logaritmo en forma de grados y sacamos los indicadores: obtuvimos una fracción de "tres pisos".

Ahora veamos la fracción básica. El numerador y el denominador contienen el mismo número: log2 7. Dado que log2 7 ≠ 0, podemos cancelar la fracción; el denominador sigue siendo 2/4. De acuerdo con las reglas de la aritmética, los cuatro se pueden transferir al numerador, lo cual se hizo. El resultado fue la respuesta: 2.

Mudarse a una nueva base

Hablando sobre las reglas para la suma y resta de logaritmos, enfaticé específicamente que solo funcionan para las mismas bases. ¿Y si las razones son diferentes? ¿Qué pasa si no son potencias exactas del mismo número?

Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Formulémoslos en forma de teorema:

Dejemos que se dé el logaritmo. Entonces, para cualquier número c tal que c> 0 y c ≠ 1, se cumple la siguiente igualdad:

En particular, si ponemos c = x, obtenemos:

De la segunda fórmula se deduce que es posible intercambiar la base y el argumento del logaritmo, pero en este caso la expresión completa está "invertida", es decir el logaritmo aparece en el denominador.

Estas fórmulas rara vez se encuentran en expresiones numéricas convencionales. Es posible evaluar qué tan convenientes son solo cuando se resuelven ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

Sin embargo, hay tareas que generalmente no se resuelven excepto mediante la transición a una nueva base. Considere algunos de estos:

Tarea. Halla el valor de la expresión: log5 16 log2 25.

Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos contienen grados exactos. Saquemos los indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ahora "volteemos" el segundo logaritmo:

Dado que el producto no cambia a partir de la permutación de los factores, multiplicamos tranquilamente el cuatro por el dos, y luego tratamos con los logaritmos.

Tarea. Halla el valor de la expresión: log9 100 · lg 3.

La base y el argumento del primer logaritmo son grados exactos. Escribamos esto y eliminemos las métricas:

Ahora eliminemos el logaritmo decimal moviéndonos a la nueva base:

Identidad logarítmica básica

A menudo, en el proceso de resolución, se requiere representar un número como un logaritmo de una base dada. En este caso, las fórmulas nos ayudarán:

En el primer caso, el número n se convierte en el exponente del argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es solo el valor del logaritmo.

La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Se llama así :.

De hecho, ¿qué sucede si el número b se eleva a tal potencia que el número b a esta potencia da el número a? Así es: obtienes este mismo número a. Vuelva a leer este párrafo con atención; muchas personas se "cuelgan" de él.

Al igual que las fórmulas para la transición a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que log25 64 = log5 8 - simplemente movió el cuadrado fuera de la base y el argumento del logaritmo. Teniendo en cuenta las reglas para multiplicar grados con la misma base, obtenemos:

Si alguien no está al tanto, fue un problema real del examen 🙂

Unidad logarítmica y cero logarítmico

En conclusión, daré dos identidades que difícilmente pueden llamarse propiedades; más bien, son consecuencias de la definición del logaritmo. Se encuentran constantemente en problemas y, sorprendentemente, crean problemas incluso para los estudiantes "avanzados".

logaa = 1 es. Recuerde de una vez por todas: el logaritmo de cualquier base a de esta base es igual a uno.
loga 1 = 0 es. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento es uno, ¡el logaritmo es cero! Porque a0 = 1 es una consecuencia directa de la definición.

Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.

Ver también:

El logaritmo de b en base a denota una expresión. Calcular el logaritmo significa encontrar una potencia de x () en la que la igualdad

Propiedades básicas del logaritmo

Las propiedades anteriores deben ser conocidas, ya que, en base a ellas, casi todos los problemas y ejemplos asociados con logaritmos están resueltos. El resto de propiedades exóticas se pueden deducir mediante manipulaciones matemáticas con estas fórmulas

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Al calcular las fórmulas para la suma y la diferencia de logaritmos (3.4) se encuentran con bastante frecuencia. El resto son algo complejas, pero en una serie de tareas resultan indispensables para simplificar expresiones complejas y calcular sus valores.

Casos comunes de logaritmos

Algunos de los logaritmos comunes son aquellos en los que la base es incluso diez, exponencial o dos.
El logaritmo en base diez generalmente se llama logaritmo decimal y simplemente se denota lg (x).

Se puede ver en la grabación que los conceptos básicos no están escritos en la grabación. Por ejemplo

El logaritmo natural es el logaritmo basado en el exponente (denotado por ln (x)).

El exponente es 2,718281828…. Para recordar el exponente, puede estudiar la regla: el exponente es 2.7 y el doble del año de nacimiento de Leo Nikolaevich Tolstoy. Conociendo esta regla, sabrás tanto el valor exacto del exponente como la fecha de nacimiento de León Tolstoi.

Y otro logaritmo en base dos importante es

La derivada del logaritmo de la función es igual a uno dividido por la variable

La integral o antiderivada del logaritmo está determinada por la dependencia

El material proporcionado es suficiente para resolver una amplia clase de problemas relacionados con logaritmos y logaritmos. Para asimilar el material, daré solo algunos ejemplos comunes del plan de estudios de la escuela y las universidades.

Ejemplos de logaritmos

Expresiones de logaritmos

Ejemplo 1.
a). x = 10ac ^ 2 (a> 0, c> 0).

Por propiedades 3.5 calculamos

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Por la propiedad de la diferencia de logaritmos, tenemos

3.
Usando las propiedades 3,5 encontramos

4. donde .

Una expresión aparentemente compleja que utiliza una serie de reglas se simplifica a la forma

Encontrar los valores de los logaritmos

Ejemplo 2. Encuentra x si

Solución. Para el cálculo aplicamos hasta el último término 5 y 13 de las propiedades

Sustituir y llorar

Dado que las bases son iguales, equiparamos las expresiones

Logaritmos. Primer nivel.

Dejemos que se dé el valor de los logaritmos

Evaluar log (x) si

Solución: vamos a logaritmo la variable para escribir el logaritmo mediante la suma de los términos

Aquí es donde comienza el conocimiento de los logaritmos y sus propiedades. Practique cálculos, enriquezca sus habilidades prácticas; pronto necesitará este conocimiento para resolver ecuaciones logarítmicas. Habiendo estudiado los métodos básicos para resolver tales ecuaciones, ampliaremos su conocimiento para otro tema igualmente importante: las desigualdades logarítmicas ...

Propiedades básicas de los logaritmos

Es imperativo conocer estas reglas; ningún problema logarítmico serio puede resolverse sin ellas. Además, hay muy pocos: todo se puede aprender en un día. Entonces empecemos.

Suma y resta de logaritmos

Considere dos logaritmos con las mismas bases: logax y logay. Luego se pueden sumar y restar, y:

logax + logay = loga (x y);
logax - logay = loga (x: y).

Tarea. Halla el valor de la expresión: log6 4 + log6 9.

Dado que las bases de los logaritmos son las mismas, usamos la fórmula de suma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tarea. Halla el valor de la expresión: log2 48 - log2 3.

Las bases son las mismas, usamos la fórmula de diferencia:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tarea. Halla el valor de la expresión: log3 135 - log3 5.

Nuevamente, las bases son las mismas, por lo que tenemos:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Quitando el exponente del logaritmo

Ahora compliquemos un poco la tarea. ¿Qué pasa si la base o argumento del logaritmo se basa en un grado? Entonces, el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo de acuerdo con las siguientes reglas:

Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, reducirá significativamente la cantidad de cálculo.

Cómo resolver logaritmos

Esto es lo que se requiere con mayor frecuencia.

Tarea. Halla el valor de la expresión: log7 496.

Eliminemos el grado en el argumento usando la primera fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que el denominador contiene el logaritmo, cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 24; 49 = 72. Tenemos:

Creo que el último ejemplo necesita una aclaración. ¿Dónde desaparecieron los logaritmos? Hasta el último momento, trabajamos solo con el denominador. Presentamos la base y el argumento del logaritmo en forma de grados y sacamos los indicadores: obtuvimos una fracción de "tres pisos".

Mudarse a una nueva base

Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Formulémoslos en forma de teorema:

Dejemos que se dé el logaritmo. Entonces, para cualquier número c tal que c> 0 y c ≠ 1, se cumple la siguiente igualdad:

En particular, si ponemos c = x, obtenemos:

Estas fórmulas rara vez se encuentran en expresiones numéricas convencionales. Es posible evaluar qué tan convenientes son solo cuando se resuelven ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

Sin embargo, hay tareas que generalmente no se resuelven excepto mediante la transición a una nueva base. Considere algunos de estos:

Tarea. Halla el valor de la expresión: log5 16 log2 25.

Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos contienen grados exactos. Saquemos los indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ahora "volteemos" el segundo logaritmo:

Dado que el producto no cambia a partir de la permutación de los factores, multiplicamos tranquilamente el cuatro por el dos, y luego tratamos con los logaritmos.

Tarea. Halla el valor de la expresión: log9 100 · lg 3.

La base y el argumento del primer logaritmo son grados exactos. Escribamos esto y eliminemos las métricas:

Ahora eliminemos el logaritmo decimal moviéndonos a la nueva base:

Identidad logarítmica básica

A menudo, en el proceso de resolución, se requiere representar un número como un logaritmo de una base dada. En este caso, las fórmulas nos ayudarán:

En el primer caso, el número n se convierte en el exponente del argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es solo el valor del logaritmo.

La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Se llama así :.

Al igual que las fórmulas para la transición a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Si alguien no está al tanto, fue un problema real del examen 🙂

Unidad logarítmica y cero logarítmico

logaa = 1 es. Recuerde de una vez por todas: el logaritmo de cualquier base a de esta base es igual a uno.
loga 1 = 0 es. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento es uno, ¡el logaritmo es cero! Porque a0 = 1 es una consecuencia directa de la definición.

Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.