Este artículo analiza la aplicación de la teoría de juegos en la economía. La teoría de juegos es una rama de la economía matemática. Desarrolla recomendaciones sobre la actuación racional de los participantes en el proceso cuando sus intereses no coinciden. La teoría de juegos ayuda a las empresas a tomar la mejor decisión en una situación de conflicto.
- Operaciones activas de los bancos comerciales y su contabilidad.
- Mejorar la formación de un fondo de reparación de capital en edificios de apartamentos.
- Regulación legal de los problemas de evaluación de la calidad de los servicios públicos (municipales) prestados en Rusia
La teoría de juegos y la economía están indisolublemente unidas, ya que los métodos de resolución de problemas de la teoría de juegos ayudan a determinar la mejor estrategia para diversas situaciones económicas. Entonces, ¿cómo se caracteriza el concepto de "teoría de juegos"?
La teoría de juegos es una teoría matemática de la toma de decisiones en condiciones de conflicto. La teoría de juegos es una parte importante de la teoría de la investigación de operaciones que estudia los problemas de la toma de decisiones en situaciones de conflicto.
La teoría de juegos es una rama de la economía matemática. El objetivo de la teoría de juegos es desarrollar recomendaciones para la acción racional de los participantes en el proceso cuando sus intereses no coinciden, es decir, en una situación de conflicto. El juego es un modelo de una situación de conflicto. Los actores de la economía son los socios que intervienen en el conflicto. El resultado del conflicto es ganar o perder.
En general, el conflicto se desarrolla en diferentes áreas de interés humano: en economía, sociología, ciencia política, biología, cibernética, asuntos militares. Muy a menudo, la teoría de juegos y las situaciones de conflicto se aplican en economía. Para cada jugador, hay un conjunto específico de estrategias que el jugador puede aplicar. Al cruzarse, las estrategias de varios jugadores crean una situación determinada en la que cada jugador obtiene un resultado determinado (gana o pierde). Al elegir una estrategia, es importante considerar no solo obtener la máxima ganancia para usted, sino también los posibles pasos del enemigo y su impacto en la situación en su conjunto.
Para mejorar la calidad, así como la eficiencia de las decisiones económicas tomadas en las condiciones de las relaciones de mercado y la incertidumbre, se pueden aplicar razonablemente los métodos de la teoría de juegos.
En situaciones económicas, los juegos pueden tener información completa o información incompleta. Muy a menudo, los economistas se enfrentan a información incompleta para tomar decisiones. Por tanto, es necesario tomar decisiones en condiciones de incertidumbre, así como en condiciones de cierto riesgo. Cuando se resuelven problemas (situaciones) económicos, generalmente se encuentran juegos de un solo movimiento y de múltiples movimientos. El número de estrategias puede ser finito o infinito.
La teoría de juegos en economía utiliza principalmente juegos matriciales o rectangulares, para los cuales se compila una matriz de pagos (Tabla 1).
Tabla 1. La matriz de pagos del juego
Este concepto debe ser definido. La matriz de pagos del juego es una matriz que muestra el pago de un jugador a otro, siempre que el primer jugador elija la estrategia Ai, el segundo - Bi.
¿Cuál es el objetivo de resolver problemas económicos con la ayuda de la teoría de juegos? Resolver un problema económico es encontrar la estrategia óptima para el primer y segundo jugador y encontrar el precio del juego.
Resolvamos el problema económico, compilado por mí.
En la ciudad G, hay dos empresas competidoras (Sladkiy Mir y Sladkoezhka) que se dedican a la producción de chocolate. Ambas empresas pueden producir chocolate con leche y chocolate negro. Designemos la estrategia de la empresa "Sweet world" como Аi, la empresa "Sweet tooth" - Вi. Calculamos la eficiencia para todas las combinaciones posibles de las estrategias de las empresas "Sweet world" y "Sweet tooth" y construimos una matriz de pago (Tabla 2).
Tabla 2. La matriz de pagos del juego
Esta matriz de pagos no tiene punto silla, por lo que se resuelve en estrategias mixtas.
U1 \u003d (a22-a21) / (a11 + a22-a21-a12) \u003d (6-3) / (5 + 6-3-4) \u003d 0,75.
U2 \u003d (a11-a12) / (a11 + a22-a21-a12) \u003d (5-4) / (5 + 6-3-4) \u003d 0,25.
Z1 \u003d (a22-a12) / (a11 + a22-a21-a12) \u003d (6-4) / (5 + 6-3-4) \u003d 0.4.
Z2 \u003d (a11-a21) / (a11 + a22-a21-a12) \u003d (5-3) / (5 + 6-3-4) \u003d 0.6.
Precio del juego = (a11*a22-a12*a21) / (a11+a22-a21-a12) = (5*6-4*3) / (5+6-3-4) = 4,5.
Podemos decir que la empresa "Sladkiy Mir" debe distribuir la producción de chocolate de la siguiente manera: el 75% de la producción total debe destinarse a la producción de chocolate con leche y el 25% a la producción de chocolate negro. La empresa Sladkoezhka debería producir 40% de chocolate con leche y 60% de chocolate amargo.
La teoría de juegos se ocupa de la toma de decisiones en situaciones de conflicto por parte de dos o más oponentes razonables, cada uno de los cuales busca optimizar sus decisiones a expensas de los demás.
Así, en este artículo se consideró la aplicación de la teoría de juegos en la economía. En economía, a menudo hay momentos en los que es necesario tomar una decisión óptima, y hay varias opciones para tomar decisiones. La teoría de juegos ayuda a tomar decisiones en una situación de conflicto. La teoría de juegos en economía puede ayudar a determinar la producción óptima para la empresa, el pago óptimo de las primas de seguros, etc.
Bibliografía
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Como resultado del estudio de este capítulo, el estudiante debe:
saber
Conceptos de juegos basados en el principio de dominancia, equilibrio de Nash, qué es la inducción hacia atrás, etc.; enfoques conceptuales para resolver el juego, el significado del concepto de racionalidad y equilibrio en el marco de la estrategia de interacción;
ser capaz de
Distinga los juegos en formas estratégicas y expandidas, construya un "árbol de juegos"; formular modelos de juego de competencia para varios tipos de mercados;
propio
Métodos para determinar el resultado del juego.
Juegos: conceptos y principios básicos
El primer intento de crear una teoría matemática de los juegos fue realizado en 1921 por E. Borel. Como campo independiente de la ciencia, la teoría de juegos se presentó sistemáticamente por primera vez en la monografía "Teoría de juegos y comportamiento económico" de J. von Neumann y O. Morgenstern en 1944. Desde entonces, muchas secciones de la teoría económica (por ejemplo, la teoría de la competencia imperfecta, la teoría de los incentivos económicos, etc.) desarrollada en estrecho contacto con la teoría de juegos. La teoría de juegos también se aplica con éxito en las ciencias sociales (por ejemplo, el análisis de los procedimientos de votación, la búsqueda de conceptos de equilibrio que determinen el comportamiento cooperativo y no cooperativo de los individuos). Por regla general, los votantes rechazan a los candidatos que representan puntos de vista extremos, pero al elegir uno de los dos candidatos que ofrecen diferentes soluciones de compromiso, surge una lucha. Incluso la idea de Rousseau de la evolución de la "libertad natural" a la "libertad civil" corresponde formalmente al punto de vista de la cooperación desde el punto de vista de la teoría de juegos.
El juego- este es un modelo matemático idealizado del comportamiento colectivo de varias personas (jugadores), cuyos intereses son diferentes, lo que da lugar a un conflicto. El conflicto no implica necesariamente la presencia de contradicciones antagónicas de las partes, sino que siempre está asociado a cierto tipo de desacuerdo. Una situación de conflicto será antagónica si un aumento en el pago de una de las partes en una cierta cantidad conduce a una disminución en el pago de la otra parte en la misma cantidad y viceversa. El antagonismo de intereses genera un conflicto, y la coincidencia de intereses reduce el juego a la coordinación de acciones (cooperación).
Ejemplos de una situación de conflicto son situaciones que se desarrollan en la relación entre el comprador y el vendedor; en las condiciones de competencia de varias empresas; en el curso de las hostilidades, etc. Los juegos ordinarios también son ejemplos de juegos: ajedrez, damas, juegos de cartas, juegos de salón, etc. (de ahí el nombre de "teoría de juegos" y su terminología).
En la mayoría de los juegos que surgen del análisis de situaciones financieras, económicas y gerenciales, los intereses de los jugadores (partes) no son estrictamente antagónicos ni absolutamente coincidentes. El comprador y el vendedor acuerdan que es de su interés común acordar una venta, pero negocian enérgicamente para seleccionar un precio específico dentro de los límites de la ventaja mutua.
Teoría de juego es una teoría matemática de las situaciones de conflicto.
El juego difiere del conflicto real en que se lleva a cabo de acuerdo con ciertas reglas. Estas reglas establecen la secuencia de movimientos, la cantidad de información que cada lado tiene sobre el comportamiento del otro y el resultado del juego dependiendo de la situación. Las reglas también establecen el final del juego, cuando ya se ha realizado una determinada secuencia de movimientos, y no se permiten más movimientos.
La teoría de juegos, como cualquier modelo matemático, tiene sus limitaciones. Uno de ellos es la suposición de la completa razonabilidad (ideal) de los oponentes. En un conflicto real, a menudo la mejor estrategia es adivinar en qué es estúpido el enemigo y usar esta estupidez a tu favor.
Otra desventaja de la teoría de juegos es que cada uno de los jugadores debe conocer todas las posibles acciones (estrategias) del oponente, solo se sabe cuál de ellas utilizará en un juego determinado. En un conflicto real, este no suele ser el caso: la lista de todas las posibles estrategias del enemigo es simplemente desconocida, y la mejor solución en una situación de conflicto a menudo será ir más allá de las estrategias conocidas por el enemigo, "estupefacto". él con algo completamente nuevo, imprevisto.
La teoría de juegos no incluye los elementos de riesgo que inevitablemente acompañan a las decisiones razonables en los conflictos reales. Determina el comportamiento reasegurador más cauteloso de los participantes en el conflicto.
Además, en la teoría de juegos, las estrategias óptimas se encuentran con respecto a un indicador (criterio). En situaciones prácticas, a menudo es necesario tener en cuenta no uno, sino varios criterios numéricos. Una estrategia que es óptima en una medida puede no serlo en otra.
Siendo conscientes de estas limitaciones y, por lo tanto, sin adherirse ciegamente a las recomendaciones dadas por las teorías de juegos, aún es posible desarrollar una estrategia completamente aceptable para muchas situaciones reales de conflicto.
Actualmente se están realizando investigaciones científicas encaminadas a ampliar las áreas de aplicación de la teoría de juegos.
Las siguientes definiciones de los elementos que componen el juego se encuentran en la literatura.
jugadores- estos son los sujetos involucrados en la interacción, representados en forma de juego. En nuestro caso, estos son hogares, empresas, gobierno. Sin embargo, en el caso de incertidumbre de circunstancias externas, es muy conveniente representar los componentes aleatorios del juego, que no dependen del comportamiento de los jugadores, como acciones de "naturaleza".
Reglas del juego. Las reglas del juego son los conjuntos de acciones o movimientos disponibles para los jugadores. En este caso, las acciones pueden ser muy diversas: decisiones de los compradores sobre los volúmenes de bienes o servicios adquiridos; empresas - en el volumen de producción; el nivel de impuestos impuestos por el gobierno.
Determinar el resultado (resultado) del juego. Para cada combinación de acciones de los jugadores, el resultado del juego se establece casi mecánicamente. El resultado puede ser: la composición de la canasta de consumo, el vector de producción de la empresa o un conjunto de otros indicadores cuantitativos.
Ganancias. El significado asociado al concepto de ganar puede diferir para diferentes tipos de juegos. Al mismo tiempo, es necesario distinguir claramente entre las ganancias medidas en una escala ordinal (por ejemplo, el nivel de utilidad) y los valores para los cuales tiene sentido la comparación de intervalos (por ejemplo, la ganancia, el nivel de bienestar).
Información y expectativas. La incertidumbre y la información en constante cambio pueden tener un impacto extremadamente grave en los posibles resultados de una interacción. Por eso es necesario tener en cuenta el papel de la información en el desarrollo del juego. En este sentido, el concepto conjunto de información jugador, es decir la totalidad de toda la información sobre el estado del juego, que posee en momentos clave.
Al considerar el acceso de los jugadores a la información, la idea intuitiva de conocimiento común, o publicidad, lo que significa lo siguiente: un hecho es bien conocido si todos los jugadores son conscientes de él y todos los jugadores saben que otros jugadores también lo saben.
Para los casos en que la aplicación del concepto de conocimiento común no sea suficiente, el concepto de conocimiento individual Expectativas participantes: ideas sobre cómo es la situación del juego en esta etapa.
En la teoría de juegos, se supone que el juego consta de se mueve, realizado por los jugadores de forma simultánea o secuencial.
Los movimientos son personales y aleatorios. El movimiento se llama personal, si el jugador lo elige conscientemente de un conjunto de posibles opciones de acción y lo implementa (por ejemplo, cualquier movimiento en un juego de ajedrez). El movimiento se llama aleatorio, si su elección no la hace el jugador, sino algún mecanismo de selección aleatorio (por ejemplo, basado en los resultados de lanzar una moneda).
El conjunto de movimientos realizados por los jugadores desde el principio hasta el final del juego se llama fiesta.
Uno de los conceptos básicos de la teoría de juegos es el concepto de estrategia. estrategia Se denomina jugador a un conjunto de reglas que determinan la elección de una variante de acción para cada jugada personal, en función de la situación que se haya desarrollado durante la partida. En los juegos simples (de un solo movimiento), cuando un jugador puede hacer un solo movimiento en cada juego, los conceptos de estrategia y posible curso de acción coinciden. En este caso, la totalidad de las estrategias del jugador cubre todas sus acciones posibles, y cualquier acción posible para el jugador. I la acción es su estrategia. En juegos complejos (múltiples movimientos), los conceptos de "variante de acciones posibles" y "estrategia" pueden diferir entre sí.
La estrategia del jugador se llama óptimo, si proporciona a un jugador determinado la máxima ganancia media posible o la mínima pérdida media posible, independientemente de las estrategias que utilice el oponente, cuando el juego se repite muchas veces. También se pueden utilizar otros criterios de optimización.
Es posible que la estrategia que proporciona el pago máximo no tenga otra representación importante de la optimización, como la estabilidad (equilibrio) de la solución. La solución del juego es sostenible(equilibrio) si las estrategias correspondientes a esta decisión forman una situación que ninguno de los jugadores está interesado en cambiar.
Repetimos que la tarea de la teoría de juegos es encontrar estrategias óptimas.
La clasificación de los juegos se muestra en la fig. 8.1.
- 1. Según los tipos de movimientos, los juegos se dividen en estratégicos y de apuestas. juego los juegos consisten únicamente en movimientos aleatorios, de los que no se ocupa la teoría del juego. Si, junto con los movimientos aleatorios, hay movimientos personales o todos los movimientos son personales, estos juegos se denominan estratégico.
- 2. Según el número de jugadores, los juegos se dividen en dobles y múltiples. V juego de dobles el numero de participantes es de dos múltiple- más de dos.
- 3. Los participantes en el juego múltiple podrán formar coaliciones, ya sean permanentes o temporales. Según la naturaleza de la relación entre los jugadores, los juegos se dividen en no cooperativos, de coalición y cooperativos.
no coalición llamados juegos en los que los jugadores no tienen derecho a celebrar acuerdos, formar coaliciones, y el objetivo de cada jugador es obtener la mayor ganancia individual posible.
Se denominan juegos en los que las acciones de los jugadores tienen como objetivo maximizar los beneficios de los colectivos (coaliciones) sin su posterior división entre los jugadores. coalición.
Arroz. 8.1.
éxodo cooperativa el juego es la división de la recompensa de la coalición, que surge no como resultado de ciertas acciones de los jugadores, sino como resultado de sus acuerdos predeterminados.
De acuerdo con esto, en los juegos cooperativos no se comparan situaciones en términos de preferencia, como ocurre en los juegos no cooperativos, sino divisiones; y la comparación no se limita a la consideración de las ganancias individuales, sino que es más compleja.
- 4. Según el número de estrategias de cada jugador, los juegos se dividen en final(el número de estrategias para cada jugador es finito) y sin fin(el conjunto de estrategias para cada jugador es infinito).
- 5. De acuerdo con la cantidad de información disponible para los jugadores sobre movimientos pasados, los juegos se dividen en juegos con información completa(toda la información sobre movimientos anteriores está disponible) y información incompleta. Ejemplos de juegos con información completa son el ajedrez, las damas y similares.
- 6. Según el tipo de descripción, los juegos se dividen en juegos posicionales (o juegos en forma expandida) y juegos en forma normal. juegos posicionales se dan en forma de un árbol de juegos. Pero cualquier juego posicional puede reducirse a forma normal, en el que cada jugador hace un solo movimiento independiente. En los juegos posicionales, los movimientos se realizan en momentos discretos. existe juegos diferenciales, en el que los movimientos se realizan continuamente. Estos juegos estudian los problemas de persecución de un objeto controlado por otro objeto controlado, teniendo en cuenta la dinámica de su comportamiento, que se describe mediante ecuaciones diferenciales.
también hay juegos reflexivos, que consideran situaciones con respecto a la reproducción mental del posible curso de acción y comportamiento del enemigo.
7. Si cualquier juego posible de algún juego tiene una suma cero de pagos de todos norte players(), luego hablar de Juego de suma cero. De lo contrario, los juegos se llaman Juegos de suma distinta de cero.
Claramente, el juego de pares de suma cero es antagonista ya que la ganancia de un jugador es igual a la pérdida del segundo y, en consecuencia, los objetivos de estos jugadores son directamente opuestos.
Un juego finito de suma cero por pares se llama juego de matrices Tal juego se describe mediante una matriz de pagos en la que se dan los pagos del primer jugador. El número de fila de la matriz corresponde al número de la estrategia aplicada del primer jugador, la columna corresponde al número de la estrategia aplicada del segundo jugador; en la intersección de la fila y la columna está la ganancia correspondiente del primer jugador (pérdida del segundo jugador).
Un juego de pares finitos con una suma distinta de cero se llama juego bimatriz. Tal juego se describe mediante dos matrices de pagos, cada una para el jugador correspondiente.
Tomemos el siguiente ejemplo. Juego "Grabar". Deje que el jugador 1 sea un estudiante que se prepara para el examen y que el jugador 2 sea el maestro que realiza el examen. Supongamos que un estudiante tiene dos estrategias: A1 - prepararse bien para el examen; A 2 - no preparar. El maestro también tiene dos estrategias: B1 - poner una prueba; B 2 - no partir. La estimación de los valores de pago de los jugadores se puede basar, por ejemplo, en las siguientes consideraciones reflejadas en las matrices de pago:
Este juego, de acuerdo con la clasificación anterior, es estratégico, por parejas, no cooperativo, finito, descrito en forma normal, con suma distinta de cero. Más brevemente, este juego puede llamarse bimatriz.
La tarea es determinar las estrategias óptimas para el estudiante y para el profesor.
Otro ejemplo del conocido juego bimatriz Prisoner's Dilemma.
Cada uno de los dos jugadores tiene dos estrategias: A 2 y B 2 – estrategias de comportamiento agresivo, una A yo y B i - comportamiento pacífico. Supongamos que la "paz" (ambos jugadores son pacíficos) es mejor para ambos jugadores que la "guerra". El caso en que un jugador es agresivo y el otro pacífico es más rentable para el agresor. Deje que las matrices de pagos de los jugadores 1 y 2 en este juego bimatriz tengan la forma
Para ambos jugadores, las estrategias agresivas A2 y B2 dominan las estrategias pacíficas Ax y B v Así, el único equilibrio en estrategias dominantes tiene la forma (A2, B 2), es decir. se postula que el resultado del comportamiento no cooperativo es la guerra. Al mismo tiempo, el resultado (A1, B1) (mundo) da una recompensa mayor para ambos jugadores. Así, el comportamiento egoísta no cooperativo entra en conflicto con los intereses colectivos. Los intereses colectivos dictan la elección de estrategias pacíficas. Al mismo tiempo, si los jugadores no intercambian información, la guerra es el resultado más probable.
En este caso, la situación (A1, B1) es óptima de Pareto. Sin embargo, esta situación es inestable, lo que lleva a la posibilidad de violación del acuerdo establecido por parte de los jugadores. De hecho, si el primer jugador viola el acuerdo y el segundo no, entonces el pago del primer jugador aumentará a tres, y el segundo se reducirá a cero, y viceversa. Además, cada jugador que no viola el acuerdo pierde más si el segundo jugador viola el acuerdo que si ambos violan el acuerdo.
Hay dos formas principales de juego. juego en forma extensiva representado como un diagrama de "árbol" de toma de decisiones, con la "raíz" correspondiente al punto de partida del juego, y el comienzo de cada nueva "rama", llamada nudo,- el estado alcanzado en esta etapa con acciones dadas ya realizadas por los jugadores. A cada nodo final, cada punto final del juego, se le asigna un vector de pago, un componente para cada jugador.
estratégico, llamado de otra manera normalidad, forma La representación del juego corresponde a una matriz multidimensional, y cada dimensión (en el caso bidimensional, filas y columnas) incluye un conjunto de acciones posibles para un agente.
Una celda separada de la matriz contiene un vector de pagos correspondientes a una combinación dada de estrategias del jugador.
En la fig. 8.2 presenta una forma extensiva del juego, y en mesa. 8.1 - forma estratégica.
Arroz. 8.2.
Tabla 8.1. Juego con toma de decisiones simultáneas de forma estratégica
Existe una clasificación bastante detallada de los componentes de la teoría de juegos. Uno de los criterios más generales para tal clasificación es la división de la teoría de los juegos en la teoría de los juegos no cooperativos, en la que los sujetos de la toma de decisiones son los propios individuos, y la teoría de los juegos cooperativos, en la que los sujetos de la toma de decisiones son grupos o coaliciones de individuos.
Los juegos no cooperativos suelen presentarse en formas normales (estratégicas) y expandidas (extensivas).
- Vorobyov N. NORTE. Teoría de juegos para eco-yomistas-ciberistas. Moscú: Nauka, 1985.
- Wentzel ES La investigación de operaciones. Moscú: Nauka, 1980.
Un ejemplo divertido de la aplicación de la teoría de juegos se encuentra en el libro de fantasía de Anthony Pierce The Brave Golem.
mucho texto
“El objetivo de lo que voy a mostrarles a todos”, comenzó Grundy, “es acumular la cantidad requerida de puntos. Los puntos pueden ser muy diferentes: todo depende de la combinación de decisiones que toman los participantes en el juego. Por ejemplo, suponga que cada participante testifica contra su compañero de juegos. ¡En este caso, cada participante puede recibir un punto!
- ¡Un punto! dijo la Bruja del Mar, mostrando un interés inesperado en el juego. Obviamente, la hechicera quería asegurarse de que el golem no tuviera ninguna posibilidad de que el demonio Xanth estuviera complacido con él.
“¡Ahora supongamos que cada uno de los participantes en el juego no testifica contra su camarada! Grandy continuó. - En este caso, cada uno puede recibir tres puntos. Quiero señalar especialmente que siempre que todos los participantes actúen de la misma manera, se les otorga la misma cantidad de puntos. Ninguno tiene ninguna ventaja sobre el otro.
- ¡Tres puntos! dijo la segunda bruja.
- ¡Pero ahora tenemos derecho a sugerir que uno de los jugadores comenzó a testificar contra el segundo, y el segundo todavía está en silencio! Grandi dijo. - ¡En este caso, el que da esta evidencia obtiene cinco puntos a la vez, y el que calla no obtiene un solo punto!
– ¡Ajá! ambas brujas exclamaron al unísono, lamiéndose los labios con rapacidad. Estaba claro que ambos claramente iban a obtener cinco puntos cada uno.
“¡Perdía puntos todo el tiempo!” exclamó el demonio. – ¡Pero hasta ahora solo has descrito la situación, pero aún no has presentado una forma de resolverla! Entonces, ¿cuál es tu estrategia? ¡No hay necesidad de perder el tiempo!
"¡Espera, te explicaré todo ahora!" exclamó Grundy. “Cada uno de nosotros cuatro, somos dos golems y dos brujas, lucharemos contra nuestros oponentes. Eso sí, las brujas intentarán no ceder ante nadie en nada...
- ¡Ciertamente! ambas brujas exclamaron de nuevo al unísono. ¡Entendieron perfectamente al golem de media palabra!
"Y el segundo golem seguirá mis tácticas", continuó Grundy imperturbable. Miró a su doppelgänger. "¿Por supuesto que sabes?
- ¡Oh, por supuesto! ¡Soy tu copia! ¡Entiendo perfectamente lo que piensas!
- ¡Eso es genial! En ese caso, demos el primer paso para que el demonio lo vea por sí mismo. Habrá varias rondas en cada pelea para que toda la estrategia pueda manifestarse hasta el final y dar la impresión de un sistema coherente. Tal vez debería empezar.
"¡Ahora cada uno de nosotros tiene que poner marcas en nuestros pedazos de papel!" el golem se volvió hacia la bruja. - Primero debes dibujar una cara sonriente. Esto significará que no testificaremos contra un compañero de prisión. También puedes dibujar una cara con el ceño fruncido, lo que significa que solo pensamos en nosotros mismos y damos el testimonio necesario a nuestro camarada. Los dos somos conscientes de que sería mejor que nadie resultara ser ese mismo rostro ceñudo, pero, por otro lado, ¡un rostro ceñudo recibe ciertas ventajas sobre uno sonriente! ¡Pero la conclusión es que cada uno de nosotros no sabe qué elegirá el otro! ¡No lo sabremos hasta que el compañero del juego revele su dibujo!
- ¡Empieza, bastardo! la bruja regañó. ¡Ella, como siempre, no podía prescindir de los epítetos abusivos!
- ¡Listo! Grundy exclamó, dibujando una gran cara sonriente en su hoja de papel de tal manera que la bruja no pudo ver lo que había dibujado allí. La bruja hizo su movimiento, haciendo una mueca también. ¡Uno debe pensar que ciertamente retrató una fisonomía desagradable!
“Bueno, ahora solo tenemos que mostrarnos nuestros dibujos”, anunció Grundy. Volviéndose, abrió el dibujo al público y lo mostró en todas las direcciones para que todos pudieran ver el dibujo. Gruñendo algo disgustado, la Bruja del Mar hizo lo mismo.
Como Grundy había esperado, una cara enojada y disgustada se asomaba desde el dibujo de la hechicera.
“Ahora ustedes, respetados espectadores”, dijo Grundy solemnemente, “ven que la bruja prefirió testificar en mi contra. No voy a hacer eso. Por lo tanto, la Bruja del Mar obtiene cinco puntos. Y yo, en consecuencia, no recibo un solo punto. Y aquí…
Un ligero ruido barrió de nuevo las filas de espectadores. Todos claramente simpatizaban con el golem y anhelaban que la Bruja del Mar perdiera.
¡Pero el juego no ha hecho más que empezar! Si tan solo su estrategia fuera correcta...
"¡Ahora podemos pasar a la segunda ronda!" Grandi anunció solemnemente. Tenemos que repetir los movimientos de nuevo. ¡Todos dibujan una cara que está más cerca de él!
Así lo hicieron. Grundy ahora estaba poniendo una cara sombría y disgustada.
Tan pronto como los jugadores mostraron sus dibujos, la audiencia vio que ahora ambos tenían caras de enojo.
- ¡Dos puntos cada uno! Grandi dijo.
“¡Siete dos a mi favor!” la bruja gritó alegremente. "¡No vas a salir de aquí, bastardo!"
- ¡Vamos a empezar de nuevo! exclamó Grundy. Hicieron otro dibujo y los mostraron al público. Nuevamente las mismas caras malvadas.
- Cada uno de nosotros repitió el movimiento anterior, se comportó de manera egoísta y, por lo tanto, me parece, ¡es mejor no otorgar puntos a nadie! dijo el golem.
¡Pero sigo liderando el juego! - dijo la bruja, felizmente frotándose las manos.
- ¡Está bien, no hagas ruido! Grandi dijo. - El juego no ha terminado. ¡Veamos que pasa! Entonces, querido público, ¡estamos comenzando la cuarta ronda!
Los jugadores volvieron a hacer dibujos, mostrando al público lo que habían dibujado en sus hojas. Ambas hojas volvieron a mostrar las mismas caras de enojo a la audiencia.
- ¡Ocho - tres! gritó la bruja, estallando en una risa malvada. "¡Cavaste tu propia tumba con tu estúpida estrategia, golem!"
– ¡Quinta ronda! gritó Grundy. Ocurrió lo mismo que en las rondas anteriores, nuevamente caras de enojo, solo cambió el puntaje, se convirtió en nueve, cuatro a favor de la hechicera.
- ¡Ahora la última, sexta ronda! Grundy dijo. Sus cálculos preliminares mostraron que era esta ronda la que debería volverse crucial. Ahora la teoría tenía que ser confirmada o refutada por la práctica.
Unos pocos movimientos rápidos y nerviosos de un lápiz sobre papel, y ambos dibujos aparecieron ante los ojos del público. ¡Dos caras de nuevo, ahora incluso con los dientes al descubierto!
- ¡Diez - cinco a mi favor! ¡Mi juego! ¡Gané! la Bruja del Mar se rió.
"Realmente ganaste", asintió Grundy sombríamente. La audiencia estaba ominosamente silenciosa.
El demonio movió sus labios para decir algo.
¡Pero nuestra competencia aún no ha terminado! gritó Grundy en voz alta. “Fue solo la primera parte del juego.
- ¡Darte una eternidad! el demonio Xanth gruñó disgustado.
- ¡Es lo correcto! Grundy dijo con calma. - Pero una ronda no resuelve nada, solo la metódica indica el mejor resultado.
Ahora el golem se acercó a la otra bruja.
– ¡Me gustaría jugar esta ronda con otro oponente! el anunció. - ¡Cada uno de nosotros representará caras, como fue la vez anterior, luego demostrará lo que ha dibujado al público!
Y así lo hicieron. El resultado fue el mismo que la última vez: Grundy dibujó una cara sonriente y la bruja dibujó una calavera. Inmediatamente obtuvo una ventaja de hasta cinco puntos, dejando atrás a Grundy.
Las cinco rondas restantes terminaron con los resultados que cabía esperar. De nuevo el marcador fue diez-cinco a favor del Sea Witch.
"¡Golem, realmente me gusta tu estrategia!" la bruja se rió.
- Entonces, ¡han visto dos rondas del juego, queridos espectadores! exclamó Grundy. - Así anoté diez puntos, y mis rivales - ¡veinte!
El público, que también contaba los puntos, asintió con tristeza. Su cuenta coincidió con la del golem. Solo la nube llamada Frakto parecía muy complacida, aunque, claro, a la bruja tampoco le gustaba.
Pero Rapunzelia sonrió con aprobación al golem: seguía creyendo en él. Ella pudo haber sido la única que le creyó ahora. Grandi esperaba que él justificara esta confianza sin límites.
Ahora Grundy se ha acercado a su tercer oponente: su doppelgänger. Iba a ser su último oponente. Escribiendo rápidamente lápices en el papel, los golems mostraron los papeles al público. Todos vieron dos caras riendo.
- Aviso, queridos televidentes, ¡cada uno de nosotros prefería ser un buen compañero de celda! exclamó Grundy. - Y por lo tanto, ninguno de nosotros obtuvo la ventaja necesaria sobre el oponente en este juego. ¡Así, ambos obtenemos tres puntos y pasamos a la siguiente ronda!
La segunda ronda ha comenzado. El resultado fue el mismo que la vez anterior. Luego las rondas restantes. ¡Y en cada ronda, ambos oponentes nuevamente anotaron tres puntos! Era simplemente increíble, pero el público estaba listo para confirmar todo lo que estaba pasando.
Finalmente, este recorrido llegó a su fin y Grundy, moviendo rápidamente su lápiz sobre el papel, comenzó a calcular el resultado. Finalmente anunció solemnemente:
- ¡Dieciocho por dieciocho! ¡En total, anoté veintiocho puntos y mis oponentes anotaron treinta y ocho!
"Así que perdiste", anunció alegremente la Bruja del Mar. - ¡Uno de nosotros será el ganador!
- ¡Quizás! Grundy respondió con calma. Ahora viene otro momento importante. Si todo sale según lo planeado...
- ¡Tenemos que terminar el trabajo! exclamó el segundo golem. "¡Todavía tengo que luchar contra dos brujas marinas también!" ¡El juego aún no ha terminado!
- ¡Sí, por supuesto, vamos! Grandi dijo. - ¡Pero solo déjate guiar por la estrategia!
- ¡Oh, por supuesto! le aseguró su doppelgänger.
Este golem se acercó a una de las brujas y comenzó el recorrido. Terminó con el mismo resultado con el que el mismo Grundy dejó una ronda similar: el puntaje fue diez-cinco a favor de la hechicera. La bruja estaba radiante de alegría inexpresable, y la audiencia cayó en un silencio sombrío. Demon Xant parecía un poco cansado, lo que no era un buen augurio.
Ahora era el momento de la ronda final: una bruja tenía que luchar contra la segunda. Cada uno tenía veinte puntos en sus activos, que pudo obtener luchando contra los golems.
“Ahora, si me dejas obtener al menos algunos puntos extra…”, susurró la Bruja del Mar con complicidad a su doppelgänger.
Grandi trató de mantener la calma, al menos exteriormente, aunque un huracán de sentimientos encontrados rugía en su alma. Su suerte ahora dependía de cuán correctamente predijera el posible comportamiento de ambas brujas; después de todo, ¡su carácter era, en esencia, el mismo!
Ahora viene lo más, quizás, el momento crítico. ¡Pero si estaba equivocado!
"¡Por qué debería ceder ante ti!" graznó la segunda bruja a la primera. "¡Quiero sumar más puntos yo mismo y salir de aquí!"
“Bueno, si te comportas tan descaradamente”, gritó el solicitante, “¡entonces te daré una paliza para que ya no te parezcas a mí!”.
Las brujas, dándose miradas de odio, dibujaron sus dibujos y los mostraron al público. ¡Por supuesto, nada más que dos cráneos podrían estar allí! Cada uno anotó un punto.
Las brujas, lanzándose unas a otras con maldiciones, procedieron a la segunda ronda. El resultado vuelve a ser el mismo: de nuevo dos calaveras torpemente dibujadas. Las brujas anotaron así un punto más cada una. La audiencia estaba grabando diligentemente todo.
Esto continuó en el futuro. Cuando terminó la gira, las brujas cansadas descubrieron que cada una había anotado seis puntos. ¡Otro sorteo!
- ¡Ahora calculemos los resultados y comparemos todo! Grandi dijo triunfalmente. “Las brujas obtuvieron veintiséis puntos cada una, y los golems obtuvieron veintiocho puntos cada uno. ¿Entonces que tenemos? ¡Y tenemos el resultado de que los golems tienen más puntos!
Un suspiro de sorpresa recorrió a la audiencia. Los espectadores emocionados comenzaron a escribir columnas de números en sus hojas de papel, comprobando la exactitud del conteo. Muchos durante este tiempo simplemente no contaron la cantidad de puntos anotados, creyendo que ya sabían el resultado del juego. Ambas brujas comenzaron a gruñir de indignación, no está claro a quién culpan exactamente por lo sucedido. Los ojos del demonio Xanth se iluminaron de nuevo con fuego de alerta. ¡Su confianza estaba justificada!
“Les pido, querida audiencia, que presten atención al hecho”, Grundy levantó la mano, exigiendo que la audiencia se calmara, “que ninguno de los golems ganó una sola ronda. Pero la victoria final seguirá siendo para uno de nosotros, de los golems. ¡Los resultados serán más elocuentes si la competencia continúa! ¡Quiero decir, queridos televidentes, que en el eterno duelo, mi estrategia siempre resultará ganadora!
Demon Xant escuchó con interés lo que Grundy tenía que decir. Por fin abrió la boca, emitiendo bocanadas de vapor.
– ¿Cuál es exactamente su estrategia?
- ¡Yo lo llamo "Sé firme pero honesto"! Grundy explicó. - Comienzo el juego honestamente, pero luego empiezo a perder, porque me encuentro con socios muy específicos. Por lo tanto, en la primera ronda, cuando resulta que la Bruja del Mar comienza a testificar en mi contra, automáticamente sigo siendo el perdedor en la segunda ronda, y así hasta el final. El resultado puede ser diferente si la bruja cambia su táctica de juego. Pero como ni siquiera podía pensar en tal cosa, continuamos jugando de acuerdo con la plantilla anterior. Cuando comencé a jugar con mi doppelganger, él fue bueno conmigo y yo fui bueno con él en la siguiente ronda del juego. Por lo tanto, nuestro juego también fue diferente y algo monótono, porque no queríamos cambiar de táctica...
“¡Pero no has ganado una sola ronda! El demonio replicó sorprendido.
- ¡Sí, y estas brujas no han perdido una sola ronda! Grundy confirmó. - Pero después de todo, la victoria no va automáticamente al que le quedan rondas. La victoria es para el que anotó más puntos, ¡y este es un asunto completamente diferente! Conseguí más puntos cuando jugamos con mi doppelgänger que cuando jugaba con las brujas. Su actitud egoísta les valió una victoria momentánea, pero a largo plazo resultó que fue por eso que ambos perdieron todo el juego. ¡Esto también sucede a menudo!
Teoría de juego - un conjunto de métodos matemáticos para resolver situaciones de conflicto (colisiones de interés). En teoría de juegos, un juego es modelo matemático de una situación de conflicto. Un tema de particular interés en la teoría de juegos es el estudio de las estrategias de toma de decisiones de los participantes del juego en condiciones de incertidumbre. La incertidumbre se debe al hecho de que dos o más partes persiguen objetivos opuestos, y los resultados de cualquier acción de cada una de las partes dependen de los movimientos de la pareja. Al mismo tiempo, cada una de las partes se esfuerza por tomar decisiones óptimas que hagan realidad los objetivos fijados en la mayor medida posible.
La teoría de juegos se aplica de manera más consistente en la economía, donde surgen situaciones de conflicto, por ejemplo, en las relaciones entre un proveedor y un consumidor, un comprador y un vendedor, un banco y un cliente. La aplicación de la teoría de juegos también se puede encontrar en la política, la sociología, la biología y el arte militar.
De la historia de la teoría de juegos
Historia de la teoría de juegos como disciplina independiente comienza en 1944, cuando John von Neumann y Oscar Morgenstern publican el libro "Theory of Games and Economic Behavior" ("Teoría de Juegos y Comportamiento Económico"). Aunque ya se han encontrado ejemplos de teoría de juegos: el tratado del Talmud de Babilonia sobre la división de la propiedad de un marido fallecido entre sus esposas, juegos de cartas en el siglo XVIII, el desarrollo de la teoría de juegos de ajedrez a principios del siglo XX, la prueba de el teorema minimax del mismo John von Neumann en el año 1928, sin el cual no habría teoría de juegos.
En la década de 1950, Melvin Drescher y Meryl Flood de Corporación Rand El primero en aplicar experimentalmente el dilema del prisionero, John Nash, en su trabajo sobre el estado de equilibrio en juegos de dos personas, desarrolló el concepto de equilibrio de Nash.
Reinhard Salten en 1965 publicó el libro "Oligopoly Processing in Game Theory on Demand" ("Spieltheoretische Behandlung eines Oligomodells mit Nachfrageträgheit"), con el que la aplicación de la teoría de juegos en la economía recibió un nuevo impulso. Un paso adelante en la evolución de la teoría de juegos está asociado con el trabajo de John Maynard Smith "Estrategia estable evolutiva" ("Estrategia estable evolutiva", 1974). El dilema del prisionero se popularizó en La evolución de la cooperación de Robert Axelrod, publicado en 1984. En 1994, John Nash, John Harsanyi y Reinhard Salten recibieron el Premio Nobel por sus contribuciones a la teoría de juegos.
Teoría de juegos en la vida y los negocios.
Detengámonos con más detalle en la esencia de una situación de conflicto (choque de intereses) en el sentido en que se entiende en la teoría de juegos para un mayor modelado de diversas situaciones en la vida y los negocios. Deje que el individuo esté en una posición que lo lleve a uno de varios resultados posibles, y el individuo tendrá algunas preferencias personales en relación con estos resultados. Pero aunque puede controlar hasta cierto punto los factores variables que determinan el resultado, no tiene un control total sobre ellos. A veces el control está en manos de varios individuos que, como él, tienen alguna preferencia por los posibles resultados, pero en general los intereses de estos individuos no concuerdan. En otros casos, el resultado final puede depender tanto de accidentes (a veces llamados desastres naturales en las ciencias jurídicas) como de otros individuos. La teoría de juegos sistematiza la observación de tales situaciones y la formulación de principios generales para guiar la acción inteligente en tales situaciones.
En algunos aspectos, el nombre "teoría de juegos" es desafortunado, ya que sugiere que la teoría de juegos trata solo con las colisiones socialmente insignificantes que ocurren en los juegos de salón, pero aún así esta teoría tiene un significado mucho más amplio.
La siguiente situación económica puede dar una idea de la aplicación de la teoría de juegos. Supongamos que hay varios empresarios, cada uno de los cuales busca maximizar las ganancias, mientras que tiene un poder limitado sobre las variables que determinan esta ganancia. El emprendedor no tiene control sobre las variables que maneja otro emprendedor, pero que pueden afectar en gran medida los ingresos del primero. La interpretación de esta situación como un juego puede dar lugar a la siguiente objeción. El modelo de juego asume que cada empresario hace una elección del área de opciones posibles, y las ganancias están determinadas por estas opciones individuales. Es obvio que esto es casi imposible en la realidad, ya que en este caso no se necesitarían aparatos administrativos complejos en la industria. Simplemente hay una serie de decisiones y modificaciones de estas decisiones que dependen de las elecciones realizadas por otros participantes en el sistema económico (jugadores). Pero en principio, uno puede imaginar que cualquier administrador se anticipa a todas las posibles contingencias y describe en detalle la acción a tomar en cada caso, en lugar de resolver cada tarea a medida que se presenta.
Un conflicto militar, por definición, es un choque de intereses en el que ninguna de las partes tiene control total sobre las variables que determinan el resultado, que se decide mediante una serie de batallas. Simplemente puede considerar el resultado como una ganancia o una pérdida y asignarles valores numéricos 1 y 0.
Una de las situaciones de conflicto más simples que se pueden escribir y resolver en la teoría de juegos es un duelo, que es un conflicto entre dos jugadores 1 y 2, que tienen respectivamente pags y q tiros Para cada jugador, hay una función que indica la probabilidad de que el tiro del jugador I En el momento t dará un golpe que resultará fatal.
Como resultado, la teoría de juegos llega a la siguiente formulación de una cierta clase de conflictos de interés: hay norte jugadores, y cada jugador tiene que elegir una posibilidad de un determinado conjunto de 100, y al hacer una elección, el jugador no tiene ninguna información sobre las elecciones de otros jugadores. El área de opciones posibles del jugador puede contener elementos como "mover el as de picas", "producir tanques en lugar de automóviles" o, en un sentido general, una estrategia que define todas las acciones a realizar en todas las circunstancias posibles. Cada jugador se enfrenta a la tarea: ¿qué elección debe hacer para que su influencia privada en el resultado le brinde la mayor ganancia posible?
Modelo matemático en teoría de juegos y formalización de problemas
Como ya hemos señalado, el juego es un modelo matemático de una situación de conflicto y requiere los siguientes componentes:
- partes interesadas;
- posibles acciones de cada lado;
- los intereses de las partes.
Las partes interesadas en el juego se llaman jugadores. , cada uno de ellos puede realizar al menos dos acciones (si el jugador solo tiene una acción a su disposición, en realidad no participa en el juego, ya que se sabe de antemano qué realizará). El resultado del juego se llama victoria. .
Una situación de conflicto real no es siempre, pero el juego (en el concepto de la teoría del juego), siempre, avanza. algunas reglas , que definen exactamente:
- opciones de jugador;
- la cantidad de información que cada jugador tiene sobre el comportamiento del compañero;
- la recompensa a la que conduce cada conjunto de acciones.
Ejemplos de juegos formalizados son el fútbol, el juego de cartas, el ajedrez.
Pero en economía surge un modelo de comportamiento del jugador, por ejemplo, cuando varias empresas buscan ocupar un lugar más ventajoso en el mercado, varios individuos intentan compartir algún bien (recursos, finanzas) entre ellos para que todos obtengan lo máximo posible. . Los actores en situaciones de conflicto en la economía que se pueden modelar como un juego son empresas, bancos, individuos y otros agentes económicos. A su vez, en condiciones de guerra, el modelo de juego se utiliza, por ejemplo, para elegir la mejor arma (entre las disponibles o potencialmente posibles) para derrotar al enemigo o defenderse del ataque.
El juego se caracteriza por la incertidumbre del resultado. . Las causas de la incertidumbre se pueden dividir en los siguientes grupos:
- combinatoria (como en el ajedrez);
- la influencia de factores aleatorios (como en el juego "cara o cruz", dados, juegos de cartas);
- estratégico (el jugador no sabe qué acción tomará el oponente).
estrategia del jugador es un conjunto de reglas que determinan sus acciones en cada movimiento, dependiendo de la situación.
El objetivo de la teoría de juegos. es determinar la estrategia óptima para cada jugador. Determinar tal estrategia es resolver el juego. Optimalidad de la estrategia se logra cuando uno de los jugadores debe obtener el pago máximo, mientras que el segundo se adhiere a su estrategia. Y el segundo jugador debería tener una pérdida mínima si el primero se apega a su estrategia.
Clasificación del juego
- Clasificación por número de jugadores (juego de dos o más personas). Los juegos de dos personas son fundamentales para toda la teoría de juegos. El concepto básico de la teoría de juegos para juegos de dos personas es una generalización de la idea muy esencial del equilibrio, que aparece naturalmente en los juegos de dos personas. En cuanto a los juegos norte personas, una parte de la teoría de juegos se dedica a los juegos en los que está prohibida la cooperación entre los jugadores. En otra parte de la teoría de juegos norte personas, se supone que los jugadores pueden cooperar para beneficio mutuo (ver más adelante en este párrafo sobre juegos no cooperativos y cooperativos).
- Clasificación por el número de jugadores y sus estrategias (el número de estrategias es al menos dos, puede ser infinito).
- Clasificación por cantidad de información sobre jugadas pasadas: partidas con información completa e información incompleta. Sea el jugador 1 - el comprador y el jugador 2 - el vendedor. Si el jugador 1 no tiene información completa sobre las acciones del jugador 2, entonces el jugador 1 puede no distinguir entre dos alternativas entre las que tiene que elegir. Por ejemplo, elegir entre dos tipos de un determinado producto y no saber que, según unas características, el producto A peor que los bienes B, el jugador 1 puede no ver la diferencia entre las alternativas.
- Clasificación según los principios de división de ganancias : cooperativa, coalición por un lado y no cooperativa, no cooperativa por otro lado. V juego no cooperativo , o de otro modo - juego no cooperativo , los jugadores eligen estrategias simultáneamente sin saber qué estrategia elegirá el segundo jugador. La comunicación entre los jugadores no es posible. V juego cooperativo , o de otro modo - juego de coalición , los jugadores pueden formar coaliciones y emprender acciones colectivas para aumentar sus ganancias.
- Juego finito de suma cero para dos personas o juego antagónico es un juego de estrategia con información completa, en el que participan partes con intereses opuestos. Los juegos antagónicos son juegos de matrices .
Un ejemplo clásico de la teoría de juegos es el dilema del prisionero.
Los dos sospechosos son detenidos y aislados el uno del otro. El fiscal del distrito está convencido de que han cometido un delito grave, pero no tiene pruebas suficientes para acusarlos en el juicio. Le dice a cada uno de los presos que tiene dos alternativas: confesar el crimen que la policía cree que cometió, o no confesar. Si ninguno de los dos confiesa, entonces el fiscal de distrito los acusará de algún delito menor, como hurto o posesión ilegal de un arma, y ambos recibirán una pequeña sentencia. Si ambos confiesan, estarán sujetos a enjuiciamiento, pero no requerirá la sentencia más severa. Si uno confiesa y el otro no, entonces al confeso se le conmutará la pena por la extradición de cómplice, mientras que al testarudo se la cobrará "en su totalidad".
Si esta tarea estratégica se formula en términos de la conclusión, entonces se reduce a lo siguiente:
Así, si ambos presos no confiesan, recibirán 1 año cada uno. Si ambos confiesan, entonces cada uno recibirá 8 años. Y si uno confiesa, el otro no, entonces el que confiesa saldrá con tres meses de prisión, y el que no confiesa recibirá 10 años. La matriz anterior refleja correctamente el dilema del prisionero: todos se enfrentan a la cuestión de confesar o no confesar. El juego que ofrece la Fiscalía a los presos es juego no cooperativo o de otro modo - juego de no coalición . Si ambos reclusos pudieran cooperar (es decir, el juego seria cooperativo o de otro modo juego de coalición ), luego ambos no confesaron y recibieron un año de prisión cada uno.
Ejemplos del uso de los medios matemáticos de la teoría de juegos
Pasamos ahora a la consideración de soluciones a ejemplos de clases comunes de juegos para los cuales existen métodos de investigación y solución en la teoría de juegos.
Un ejemplo de formalización de un juego no cooperativo (no cooperativo) de dos personas
En el párrafo anterior, ya consideramos un ejemplo de un juego no cooperativo (no cooperativo) (dilema del prisionero). Solidifiquemos nuestras habilidades. Una trama clásica inspirada en Las aventuras de Sherlock Holmes de Arthur Conan Doyle también es adecuada para esto. Por supuesto, uno puede objetar: el ejemplo no es de la vida, sino de la literatura, ¡pero Conan Doyle no se estableció como un escritor de ciencia ficción! Clásico también porque la tarea la completó Oscar Morgenstern, como ya hemos establecido, uno de los fundadores de la teoría de juegos.
Ejemplo 1 Se dará un extracto abreviado de una de las aventuras de Sherlock Holmes. De acuerdo con los conceptos bien conocidos de la teoría de juegos, cree un modelo de una situación de conflicto y escriba formalmente el juego.
Sherlock Holmes tiene la intención de ir de Londres a Dover con el objetivo adicional de llegar al continente (europeo) para escapar del profesor Moriarty, que lo persigue. Al abordar el tren, vio al profesor Moriarty en el andén de la estación. Sherlock Holmes admite que Moriarty puede elegir un tren especial y adelantarlo. Sherlock Holmes tiene dos alternativas: continuar hasta Dover o bajarse en la estación de Canterbury, que es la única estación intermedia de su ruta. Suponemos que su adversario es lo suficientemente inteligente como para determinar las opciones de Holmes, por lo que tiene las mismas dos alternativas. Ambos contrincantes deberán elegir una estación en la que bajarse del tren, sin saber qué decisión tomará cada uno de ellos. Si, como resultado de la decisión, ambos terminan en la misma estación, entonces definitivamente podemos asumir que Sherlock Holmes será asesinado por el profesor Moriarty. Si Sherlock Holmes llega a Dover sano y salvo, se salvará.
Solución. Los héroes de Conan Doyle pueden considerarse participantes del juego, es decir, jugadores. Disponible para todos los jugadores I (I=1,2) dos estrategias puras:
- bajarse en Dover (estrategia si1 ( I=1,2) );
- bajarse en una estación de paso (estrategia si2 ( I=1,2) )
En función de cuál de las dos estrategias elija cada uno de los dos jugadores, se creará una combinación especial de estrategias en pareja. s = (s1 , s 2 ) .
Cada combinación se puede asociar con un evento: el resultado de un intento de matar a Sherlock Holmes por parte del profesor Moriarty. Hacemos una matriz de este juego con posibles eventos.
Debajo de cada uno de los eventos, se indica un índice, que significa la adquisición del profesor Moriarty, y se calcula en función de la salvación de Holmes. Ambos héroes eligen una estrategia al mismo tiempo, sin saber qué elegirá el oponente. Por lo tanto, el juego no es cooperativo porque, en primer lugar, los jugadores están en trenes diferentes y, en segundo lugar, tienen intereses opuestos.
Un ejemplo de formalización y solución de un juego cooperativo (coalicional) norte personas
En este punto, la parte práctica, es decir, el proceso de resolución de un problema de ejemplo, estará precedida de una parte teórica, en la que nos familiarizaremos con los conceptos de la teoría de juegos para la resolución de juegos cooperativos (no cooperativos). Para esta tarea, la teoría de juegos sugiere:
- la función característica (en pocas palabras, refleja el valor de los beneficios de unir a los jugadores en una coalición);
- el concepto de aditividad (propiedad de las cantidades, que consiste en que el valor de la cantidad correspondiente al objeto entero es igual a la suma de los valores de las cantidades correspondientes a sus partes, en una cierta clase de partición del objeto en partes) y superaditividad (el valor de la cantidad correspondiente al todo es mayor que la suma de los valores de las cantidades, correspondientes a sus partes) de la función característica.
La superaditividad de la función característica indica que las coaliciones son beneficiosas para los jugadores, ya que en este caso el pago de la coalición aumenta con el número de jugadores.
Para formalizar el juego, necesitamos introducir notación formal para los conceptos anteriores.
para juego norte denote el conjunto de todos sus jugadores como norte= (1,2,...,n) Cualquier subconjunto no vacío del conjunto norte denotado como T(incluido uno mismo norte y todos los subconjuntos que consisten en un elemento). Hay una actividad en el sitio. Conjuntos y operaciones sobre conjuntos, que se abre en una nueva ventana al hacer clic en el enlace.
La función característica se denota como v y su dominio de definición consta de posibles subconjuntos del conjunto norte. v(T) - el valor de la función característica para un subconjunto particular, por ejemplo, los ingresos recibidos por una coalición, incluida, posiblemente, la que consta de un jugador. Esto es importante porque la teoría de juegos requiere verificar la presencia de superaditividad para los valores de la función característica de todas las coaliciones que no se superponen.
Para dos coaliciones no vacías de subconjuntos T1 y T2 la aditividad de la función característica de un juego cooperativo (coalicional) se escribe de la siguiente manera:
Y la superaditividad es así:
Ejemplo 2 Tres estudiantes de una escuela de música ganan dinero extra en diferentes clubes, reciben sus ganancias de los visitantes del club. Determinar si es rentable para ellos unir fuerzas (si es así, en qué condiciones), utilizando los conceptos de la teoría de juegos para resolver juegos cooperativos norte personas, con los siguientes datos iniciales.
En promedio, sus ingresos por noche fueron:
- el violinista tiene 600 unidades;
- el guitarrista tiene 700 unidades;
- la cantante tiene 900 unidades.
En un intento por aumentar los ingresos, los estudiantes crearon varios grupos durante varios meses. Los resultados mostraron que, al asociarse, podrían aumentar sus ingresos por la noche de la siguiente manera:
- violinista + guitarrista ganó 1500 unidades;
- violinista + cantante ganó 1800 unidades;
- guitarrista + cantante ganó 1900 unidades;
- violinista + guitarrista + cantante ganaron 3000 unidades.
Solución. En este ejemplo, el número de participantes en el juego norte= 3 , por tanto, el dominio de la función característica del juego consta de 2³ = 8 posibles subconjuntos del conjunto de todos los jugadores. Hagamos una lista de todas las coaliciones posibles T:
- coaliciones de un elemento, cada uno de los cuales consta de un jugador, un músico: T{1} , T{2} , T{3} ;
- coaliciones de dos elementos: T{1,2} , T{1,3} , T{2,3} ;
- coalición de tres elementos: T{1,2,3} .
Asignamos un número de serie a cada uno de los reproductores:
- violinista - 1er jugador;
- guitarrista - segundo jugador;
- el cantante es el tercer jugador.
De acuerdo con los datos del problema, determinamos la función característica del juego. v:
v(T(1)) = 600 ; v(T(2)) = 700 ; v(T(3)) = 900 ; estos valores de la función característica se determinan con base en los pagos del primer, segundo y tercer jugador, respectivamente, cuando no están unidos en coaliciones;
v(T(1,2)) = 1500 ; v(T(1,3)) = 1800 ; v(T(2,3)) = 1900 ; estos valores de la función característica están determinados por los ingresos de cada par de jugadores unidos en coaliciones;
v(T(1,2,3)) = 3000 ; este valor de la función característica está determinado por el ingreso promedio en el caso de que los jugadores se reunieran en tríos.
Por lo tanto, hemos enumerado todas las posibles coaliciones de jugadores, hay ocho de ellos, como debería ser, ya que el dominio de definición de la función característica del juego consta de exactamente ocho posibles subconjuntos del conjunto de todos los jugadores. Que es lo que requiere la teoría de juegos, ya que necesitamos verificar la presencia de superaditividad para los valores de la función característica de todas las coaliciones que no se superponen.
¿Cómo se cumplen las condiciones de superaditividad en este ejemplo? Definamos cómo los jugadores forman coaliciones que no se superponen T1 y T2 . Si algunos de los jugadores están en una coalición T1 , entonces todos los demás jugadores están en la coalición T2 y por definición esta coalición se forma como la diferencia entre el conjunto total de jugadores y el conjunto T1 . Entonces sí T1 - una coalición de un jugador, luego en una coalición T2 habrá el segundo y tercer jugador, si en la coalición T1 serán el primer y tercer jugador, luego la coalición T2 sólo estará formado por el segundo jugador, y así sucesivamente.
UNIVERSIDAD ESTATAL DE BIELORRUSIA
FACULTAD DE ECONOMÍA
SILLA…
Teoría de juegos y su aplicación en economía.
proyecto de curso
estudiante de 2do año
departamentos "Gestión"
consejero científico
Minsk, 2010
1. Introducción. página 3
2. Conceptos básicos de teoría de juegos p.4
3. Presentación de juegos página 7
4. Tipos de juegos p.9
5. Aplicación de la teoría de juegos en economía p.14
6. Problemas de aplicación práctica en la gestión p.21
7. Conclusión p.23
Lista de referencias página 24
1. INTRODUCCIÓN
En la práctica, a menudo se vuelve necesario coordinar las acciones de empresas, asociaciones, ministerios y otros participantes del proyecto en los casos en que sus intereses no coinciden. En tales situaciones, la teoría de juegos le permite encontrar la mejor solución para el comportamiento de los participantes que están obligados a coordinar acciones en caso de conflicto de intereses. La teoría de juegos está penetrando cada vez más en la práctica de las decisiones y la investigación económicas. Puede verse como una herramienta para ayudar a mejorar la eficiencia de las decisiones de planificación y gestión. Esto es de gran importancia cuando se resuelven problemas en la industria, la agricultura, el transporte, el comercio, especialmente cuando se celebran contratos con socios extranjeros en cualquier nivel. Por lo tanto, es posible determinar científicamente los niveles de reducción de precios minoristas y el nivel óptimo de existencias de productos básicos, resolver los problemas de los servicios de excursiones y la selección de nuevas líneas de transporte urbano, la tarea de planificar el procedimiento para organizar la explotación de minerales. yacimientos en el campo, etc. La tarea de elegir terrenos para cultivos agrícolas se ha convertido en un clásico. El método de la teoría de juegos se puede utilizar en encuestas por muestreo de poblaciones finitas, en la prueba de hipótesis estadísticas.
La teoría de juegos es un método matemático para estudiar estrategias óptimas en los juegos. El juego se entiende como un proceso en el que participan dos o más partes, luchando por la realización de sus intereses. Cada lado tiene su propio objetivo y utiliza alguna estrategia, que puede conducir a una victoria o una derrota, dependiendo del comportamiento de otros jugadores. La teoría de juegos ayuda a elegir las mejores estrategias, teniendo en cuenta ideas sobre otros participantes, sus recursos y sus posibles acciones.
La teoría de juegos es una rama de las matemáticas aplicadas, más precisamente, la investigación de operaciones. La mayoría de las veces, los métodos de la teoría de juegos se utilizan en economía, un poco menos en otras ciencias sociales: sociología, ciencias políticas, psicología, ética y otras. Desde la década de 1970, los biólogos lo han adoptado para estudiar el comportamiento animal y la teoría de la evolución. Es muy importante para la inteligencia artificial y la cibernética, especialmente con la manifestación de interés en los agentes inteligentes.
La teoría de juegos tiene su origen en la economía neoclásica. Los aspectos matemáticos y las aplicaciones de la teoría se presentaron por primera vez en el libro clásico de 1944 Teoría de juegos y comportamiento económico de John von Neumann y Oscar Morgenstern.
Esta área de las matemáticas ha encontrado cierto reflejo en la cultura pública. En 1998, la escritora y periodista estadounidense Sylvia Nazar publicó un libro sobre el destino de John Nash, premio Nobel de economía y científico en el campo de la teoría de juegos; y en 2001, basada en el libro, se realizó la película A Beautiful Mind. Algunos programas de televisión estadounidenses, como "Friend or Foe", "Alias" o "NUMB3RS", se refieren periódicamente a la teoría en sus episodios.
Una versión no matemática de la teoría de juegos se presenta en los trabajos de Thomas Schelling, premio Nobel de economía de 2005.
Los premios Nobel de economía por logros en el campo de la teoría de juegos son: Robert Aumann, Reinhard Zelten, John Nash, John Harsanyi, Thomas Schelling.
2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE JUEGOS
Familiaricémonos con los conceptos básicos de la teoría de juegos. El modelo matemático de una situación de conflicto se llama juego, las partes involucradas en el conflicto se llaman jugadores y el resultado del conflicto se llama victoria. Para cada juego formalizado, se introducen reglas, es decir, un sistema de condiciones que determina: 1) opciones para las acciones de los jugadores; 2) el volumen de información de cada jugador sobre el comportamiento de los socios; 3) la recompensa a la que conduce cada conjunto de acciones. Por lo general, la ganancia (o pérdida) se puede cuantificar; por ejemplo, puede evaluar una pérdida por cero, una victoria por uno y un empate por ½.
Un juego se denomina juego de parejas si en él participan dos jugadores, y múltiple si el número de jugadores es superior a dos.
Un juego se denomina juego de suma cero, o antagónico, si la ganancia de uno de los jugadores es igual a la pérdida del otro, es decir, para completar la tarea del juego, basta con indicar el valor de uno de ellos. ellos. Si denotamos a - el pago de uno de los jugadores, b - el pago del otro, entonces para un juego de suma cero b = -a, entonces basta con considerar, por ejemplo, a.
La elección e implementación de una de las acciones previstas por las reglas se denomina jugada del jugador. Los movimientos pueden ser personales y aleatorios. Un movimiento personal es una elección consciente por parte de un jugador de una de las acciones posibles (por ejemplo, un movimiento en un juego de ajedrez). Un movimiento aleatorio es una acción elegida al azar (por ejemplo, elegir una carta de una baraja barajada). En lo que sigue, consideraremos solo los movimientos personales de los jugadores.
La estrategia de un jugador es un conjunto de reglas que determinan la elección de su acción para cada jugada personal, dependiendo de la situación. Por lo general, durante el juego, en cada movimiento personal, el jugador elige según la situación específica. Sin embargo, en principio es posible que todas las decisiones sean tomadas por el jugador por adelantado (en respuesta a cualquier situación dada). Esto significa que el jugador ha elegido una determinada estrategia, que se puede dar en forma de una lista de reglas o un programa. (Para que puedas jugar el juego usando una computadora). Se dice que un juego es finito si cada jugador tiene un número finito de estrategias, e infinito en caso contrario.
Para resolver el juego o encontrar una solución al juego, se debe elegir para cada jugador una estrategia que satisfaga la condición de optimización, es decir uno de los jugadores debe obtener el pago máximo cuando el otro se apega a su estrategia. Al mismo tiempo, el segundo jugador debería tener una pérdida mínima si el primero se apega a su estrategia. Tales estrategias se denominan óptimas. Las estrategias óptimas también deben satisfacer la condición de estabilidad, es decir, debe ser poco rentable para cualquiera de los jugadores abandonar su estrategia en este juego.
Si el juego se repite suficientes veces, entonces los jugadores pueden no estar interesados en ganar y perder en cada juego en particular, sino en el promedio de ganancias (pérdidas) en todos los juegos.
El objetivo de la teoría de juegos es determinar la estrategia óptima para cada jugador. Al elegir la estrategia óptima, es natural suponer que ambos jugadores se comportan razonablemente desde el punto de vista de sus intereses. La limitación más importante de la teoría de juegos es la naturalidad del pago como indicador de eficiencia, mientras que en la mayoría de los problemas económicos reales hay más de un indicador de eficiencia. Además, en la economía, por regla general, hay tareas en las que los intereses de los socios no son necesariamente antagónicos.
3. Presentación de juegos
Los juegos son objetos matemáticos estrictamente definidos. El juego está formado por los jugadores, un conjunto de estrategias para cada jugador y una indicación de los pagos, o payoffs, de los jugadores para cada combinación de estrategias. La mayoría de los juegos cooperativos se describen mediante una función característica, mientras que para otros tipos, se usa más a menudo la forma normal o extensiva.
forma extensiva
El juego "Ultimatum" en forma extensiva
Los juegos en forma extensiva o extendida se representan como un árbol dirigido, donde cada vértice corresponde a una situación en la que el jugador elige su estrategia. A cada jugador se le asigna un nivel completo de vértices. Los pagos se registran en la parte inferior del árbol, debajo de cada vértice de la hoja.
La imagen de la izquierda es un juego para dos jugadores. El jugador 1 va primero y elige la estrategia F o la U. El jugador 2 analiza su posición y decide si elige la estrategia A o la R. Lo más probable es que el primer jugador elija la U y el segundo, la A (para cada una de ellas, estas son estrategias óptimas). ); entonces recibirán respectivamente 8 y 2 puntos.
La forma extensiva es muy ilustrativa, es especialmente conveniente para representar juegos con más de dos jugadores y juegos con jugadas consecutivas. Si los participantes realizan movimientos simultáneos, los vértices correspondientes se conectan con una línea punteada o se delimitan con una línea continua.
forma normal
|
jugador 2 |
jugador 2 |
|
|
Jugador 1 |
4 , 3 |
–1 , –1 |
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Jugador 1 |
0 , 0 |
3 , 4 |
|
Forma normal para un juego con 2 jugadores, cada uno con 2 estrategias. |
||
Los jugadores eligieron estrategias con el máximo resultado para ellos, pero perdieron debido a la ignorancia del movimiento del otro jugador. Por lo general, la forma normal representa juegos en los que los movimientos se realizan simultáneamente, o al menos se supone que todos los jugadores no saben lo que están haciendo los demás participantes. Dichos juegos con información incompleta se considerarán a continuación.
fórmula característica
En los juegos cooperativos con utilidad transferible, es decir, la capacidad de transferir fondos de un jugador a otro, es imposible aplicar el concepto de pagos individuales. En su lugar, se utiliza la llamada función característica, que determina el pago de cada coalición de jugadores. Se supone que el pago de la coalición vacía es cero.
Los fundamentos de este enfoque se pueden encontrar en el libro de von Neumann y Morgenstern. Al estudiar la forma normal para los juegos de coalición, razonaron que si se forma una coalición C en un juego con dos lados, entonces se opone la coalición N \ C. Se forma un juego para dos jugadores, por así decirlo. Pero como hay muchas variantes de posibles coaliciones (a saber, 2N, donde N es el número de jugadores), el pago de C será un valor característico dependiendo de la composición de la coalición. Formalmente, un juego en esta forma (también llamado juego TU) está representado por un par (N, v), donde N es el conjunto de todos los jugadores y v: 2N → R es la función característica.
Esta forma de presentación se puede aplicar a todos los juegos, incluidos aquellos sin utilidad transferible. Actualmente, hay formas de convertir cualquier juego de forma normal a característica, pero la transformación en la dirección opuesta no es posible en todos los casos.
4. Tipos de juegos
cooperativo y no cooperativo.
El juego se llama cooperativo o de coalición si los jugadores pueden unirse en grupos, asumiendo algunas obligaciones con otros jugadores y coordinando sus acciones. En esto se diferencia de los juegos no cooperativos en los que todos están obligados a jugar por sí mismos. Los juegos de entretenimiento rara vez son cooperativos, pero tales mecanismos no son infrecuentes en la vida cotidiana.
A menudo se supone que los juegos cooperativos difieren precisamente en la capacidad de los jugadores para comunicarse entre sí. En general, esto no es cierto. Hay juegos en los que se permite la comunicación, pero los jugadores persiguen objetivos personales y viceversa.
De los dos tipos de juegos, los no cooperativos describen situaciones con gran detalle y producen resultados más precisos. Las cooperativas consideran el proceso del juego como un todo. Los intentos de combinar los dos enfoques han dado resultados considerables. El llamado programa de Nash ya ha encontrado soluciones a algunos juegos cooperativos como situaciones de equilibrio para juegos no cooperativos.
Los juegos híbridos incluyen elementos de juegos cooperativos y no cooperativos. Por ejemplo, los jugadores pueden formar grupos, pero el juego se jugará en un estilo no cooperativo. Esto significa que cada jugador perseguirá los intereses de su grupo, mientras que al mismo tiempo tratará de lograr una ganancia personal.