Las ecuaciones trigonométricas no son el tema más fácil. Dolorosamente son diversos.) Por ejemplo, estos:
sen2x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)
senx + cos2x + tg3x = ctg4x
Etc...
Pero estos (y todos los demás) monstruos trigonométricos tienen dos características comunes y obligatorias. Primero - no lo vas a creer - hay funciones trigonométricas en las ecuaciones.) Segundo: todas las expresiones con x son dentro de estas mismas funciones.¡Y sólo allí! Si x aparece en alguna parte fuera de, por ejemplo, sen2x + 3x = 3, esta será una ecuación de tipo mixto. Tales ecuaciones requieren un enfoque individual. Aquí no los consideraremos.
Tampoco resolveremos ecuaciones malvadas en esta lección.) Aquí trataremos con las ecuaciones trigonométricas más simples.¿Por qué? Sí, porque la decisión ninguna Las ecuaciones trigonométricas consta de dos etapas. En la primera etapa, la ecuación del mal se reduce a una simple mediante varias transformaciones. En el segundo, se resuelve esta ecuación más simple. Ninguna otra manera.
Entonces, si tiene problemas en la segunda etapa, la primera etapa no tiene mucho sentido).
¿Cómo son las ecuaciones trigonométricas elementales?
senx = un
cos x = a
tgx = un
ctgx = un
Aquí pero representa cualquier número. Ninguna.
Por cierto, dentro de la función puede que no haya una x pura, sino algún tipo de expresión, como por ejemplo:
cos(3x+π /3) = 1/2
etc Esto complica la vida, pero no afecta el método de resolución de la ecuación trigonométrica.
¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas?
Las ecuaciones trigonométricas se pueden resolver de dos maneras. La primera forma: usando la lógica y un círculo trigonométrico. Exploraremos este camino aquí. La segunda forma, usando memoria y fórmulas, se considerará en la próxima lección.
La primera forma es clara, confiable y difícil de olvidar). Es buena para resolver ecuaciones trigonométricas, desigualdades y todo tipo de ejemplos engañosos no estándar. ¡La lógica es más fuerte que la memoria!
Resolvemos ecuaciones usando un círculo trigonométrico.
Incluimos lógica elemental y la habilidad de usar un círculo trigonométrico. ¿No puedes? Sin embargo... Te será difícil en trigonometría...) Pero no importa. Eche un vistazo a las lecciones "Círculo trigonométrico ... ¿Qué es?" y "Contar ángulos en un círculo trigonométrico". Allí todo es sencillo. A diferencia de los libros de texto...)
Ah, ¿sabes? ¿¡E incluso dominó "Trabajo práctico con un círculo trigonométrico"!? Acepta felicitaciones. Este tema será cercano y comprensible para usted). Lo que es especialmente agradable es que al círculo trigonométrico no le importa qué ecuación resuelva. Seno, coseno, tangente, cotangente: todo es igual para él. El principio de solución es el mismo.
Así que tomamos cualquier ecuación trigonométrica elemental. Al menos esto:
cos x = 0,5
necesito encontrar x. Hablando en lenguaje humano, necesitas encuentra el ángulo (x) cuyo coseno es 0.5.
¿Cómo usamos el círculo antes? Le dibujamos una esquina. En grados o radianes. Y inmediatamente visto funciones trigonométricas de este ángulo. Ahora hagamos lo contrario. Dibuja un coseno igual a 0.5 en el círculo e inmediatamente ya veremos inyección. Solo queda escribir la respuesta.) ¡Sí, sí!
Dibujamos un círculo y marcamos el coseno igual a 0,5. En el eje del coseno, por supuesto. Me gusta esto:
Ahora dibujemos el ángulo que nos da este coseno. Pase el mouse sobre la imagen (o toque la imagen en una tableta) y ver este mismo rincón X.
¿Qué ángulo tiene un coseno de 0.5?
x \u003d π / 3
porque 60°= porque( π /3) = 0,5
Algunas personas gruñirán con escepticismo, sí... Dicen, ¿valió la pena cerrar el círculo, cuando todo está claro de todos modos... Puedes, por supuesto, gruñir...) Pero el hecho es que esto es un error. responder. O mejor dicho, insuficiente. Los conocedores de círculos entienden que todavía hay un montón de ángulos que también dan un coseno igual a 0,5.
Si giras el lado móvil OA por una vuelta completa, el punto A volverá a su posición original. Con el mismo coseno igual a 0,5. Esos. el ángulo cambiará 360° o 2π radianes, y el coseno no lo es. El nuevo ángulo 60° + 360° = 420° también será una solución a nuestra ecuación, porque
Hay un número infinito de tales rotaciones completas... Y todos estos nuevos ángulos serán soluciones a nuestra ecuación trigonométrica. Y todos ellos necesitan ser escritos de alguna manera. Todo. De lo contrario, la decisión no se considera, sí ...)
Las matemáticas pueden hacer esto simple y elegantemente. En una respuesta corta, escribe conjunto infinito soluciones Así es como se ve para nuestra ecuación:
x = π /3 + 2π norte, norte ∈ Z
voy a descifrar. Todavía escribe significativamente mejor que dibujar estúpidamente algunas letras misteriosas, ¿verdad?)
π /3 es el mismo ángulo que nosotros vio en el círculo y identificado según la tabla de cosenos.
2π es una vuelta completa en radianes.
norte - este es el número de completo, es decir entero revoluciones Está claro que norte puede ser 0, ±1, ±2, ±3.... y así sucesivamente. Como lo indica la entrada breve:
norte ∈ Z
norte pertenece ( ∈ ) al conjunto de enteros ( Z ). Por cierto, en lugar de la letra norte se pueden usar letras k, m, t etc
Esta notación significa que puede tomar cualquier número entero norte . Al menos -3, al menos 0, al menos +55. Qué quieres. Si ingresa ese número en su entrada de respuesta, obtiene un ángulo específico, que seguramente será la solución a nuestra dura ecuación).
O, en otras palabras, x \u003d π / 3 es la única raíz de un conjunto infinito. Para obtener todas las demás raíces, basta con sumar cualquier número de vueltas completas a π / 3 ( norte ) en radianes. Esos. 2πn radián.
¿Todo? No. Específicamente estiro el placer. Para recordar mejor.) Recibimos solo una parte de las respuestas a nuestra ecuación. Escribiré esta primera parte de la solución de la siguiente manera:
x 1 = π /3 + 2π norte, norte ∈ Z
x1 - no una raíz, es toda una serie de raíces, escritas en forma abreviada.
¡Pero hay otros ángulos que también dan un coseno igual a 0,5!
Volvamos a nuestra imagen, según la cual escribimos la respuesta. Aqui esta ella:
Mueva el mouse sobre la imagen y ver otro rincón que también da un coseno de 0.5.¿A qué crees que equivale? Los triángulos son iguales... ¡Sí! es igual al ángulo X , solo graficada en la dirección negativa. esta es la esquina -X. Pero ya hemos calculado x. π /3 o 60°. Por lo tanto, podemos escribir con seguridad:
x 2 \u003d - π / 3
Y, por supuesto, sumamos todos los ángulos que se obtienen mediante giros completos:
x 2 = - π /3 + 2π norte, norte ∈ Z
Eso es todo ahora.) En un círculo trigonométrico, vio(que entienda, por supuesto)) todosángulos que dan un coseno igual a 0.5. Y escribieron estos ángulos en una forma matemática corta. La respuesta es dos series infinitas de raíces:
x 1 = π /3 + 2π norte, norte ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π norte, norte ∈ Z
Esta es la respuesta correcta.
Esperar, principio general para resolver ecuaciones trigonométricas con la ayuda de un círculo es comprensible. Marcamos el coseno (seno, tangente, cotangente) de la ecuación dada en el círculo, dibujamos los ángulos correspondientes y escribimos la respuesta. Por supuesto, debes averiguar qué tipo de esquinas somos. vio en el circulo A veces no es tan obvio. Bueno, como dije, aquí se requiere lógica).
Por ejemplo, analicemos otra ecuación trigonométrica:
¡Tenga en cuenta que el número 0.5 no es el único número posible en las ecuaciones!) Simplemente es más conveniente para mí escribirlo que raíces y fracciones.
Trabajamos según el principio general. Dibujamos un círculo, marcamos (¡en el eje del seno, por supuesto!) 0.5. Dibujamos a la vez todos los ángulos correspondientes a este seno. Obtenemos esta imagen:
Tratemos primero con el ángulo. X en el primer trimestre. Recordamos la tabla de senos y determinamos el valor de este ángulo. El asunto es sencillo:
x \u003d π / 6
Recordamos turnos completos y, con la conciencia tranquila, anotamos la primera serie de respuestas:
x 1 = π /6 + 2π norte, norte ∈ Z
La mitad del trabajo está hecho. Ahora tenemos que definir segunda esquina... Esto es más complicado que en cosenos, sí... ¡Pero la lógica nos salvará! Cómo determinar el segundo ángulo a través de x? ¡Sí, fácil! Los triángulos en la imagen son iguales y la esquina roja X igual al ángulo X . Solo se cuenta a partir del ángulo π en sentido negativo. Por eso es rojo). Y para nuestra respuesta, necesitamos un ángulo medido correctamente desde el semieje positivo OX, es decir desde un ángulo de 0 grados.
Pase el cursor sobre la imagen y vea todo. Eliminé la primera esquina para no complicar la imagen. El ángulo que nos interesa (dibujado en verde) será igual a:
π - x
x lo sabemos π /6 . Entonces el segundo ángulo será:
π - π /6 = 5π /6
Nuevamente, recordamos la adición de revoluciones completas y escribimos la segunda serie de respuestas:
x 2 = 5π /6 + 2π norte, norte ∈ Z
Eso es todo. Una respuesta completa consta de dos series de raíces:
x 1 = π /6 + 2π norte, norte ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π norte, norte ∈ Z
Las ecuaciones con tangente y cotangente se pueden resolver fácilmente usando el mismo principio general para resolver ecuaciones trigonométricas. A menos, por supuesto, que sepas dibujar la tangente y la cotangente en un círculo trigonométrico.
En los ejemplos anteriores, utilicé el valor tabular de seno y coseno: 0,5. Esos. uno de esos significados que el estudiante conoce deber. Ahora ampliemos nuestras capacidades para todos los demás valores.¡Decide, entonces decide!)
Entonces, digamos que necesitamos resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
No existe tal valor del coseno en las tablas cortas. Fríamente ignoramos este terrible hecho. Dibujamos un círculo, marcamos 2/3 en el eje del coseno y dibujamos los ángulos correspondientes. Obtenemos esta imagen.
Nos entendemos, para empezar, con un ángulo en el primer cuarto. ¡Para saber a qué es igual x, inmediatamente escribirían la respuesta! No sabemos... ¿¡Fracaso!? ¡Tranquilo! ¡Las matemáticas no dejan a los suyos en apuros! Ella inventó el arco coseno para este caso. ¿No lo sé? En vano. Descúbrelo, es mucho más fácil de lo que piensas. Según este enlace, no hay un solo hechizo engañoso sobre "funciones trigonométricas inversas" ... Es superfluo en este tema.
Si lo sabes, solo dite a ti mismo: "X es un ángulo cuyo coseno es 2/3". E inmediatamente, puramente por definición del arcocoseno, podemos escribir:
Recordamos las revoluciones adicionales y escribimos con calma la primera serie de raíces de nuestra ecuación trigonométrica:
x 1 = arccos 2/3 + 2π norte, norte ∈ Z
La segunda serie de raíces también se escribe casi automáticamente, para el segundo ángulo. Todo es igual, solo x (arccos 2/3) estará con un menos:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π norte, norte ∈ Z
¡Y todas las cosas! Esta es la respuesta correcta. Incluso más fácil que con valores tabulares. No necesitas recordar nada). Por cierto, los más atentos notarán que esta imagen con la solución a través del arco coseno esencialmente no es diferente de la imagen para la ecuación cosx = 0.5.
¡Exactamente! ¡El principio general sobre eso y el general! Dibujé específicamente dos imágenes casi idénticas. El círculo nos muestra el ángulo. X por su coseno. Es un coseno tabular, o no, el círculo no lo sabe. Qué tipo de ángulo es este, π / 3, o qué tipo de arco coseno depende de nosotros decidir.
Con un seno la misma canción. Por ejemplo:
Nuevamente dibujamos un círculo, marcamos el seno igual a 1/3, dibujamos las esquinas. Resulta esta imagen:
Y nuevamente, la imagen es casi la misma que para la ecuación. senx = 0,5. De nuevo partimos desde el córner en el primer cuarto. ¿A qué es igual x si su seno es 1/3? ¡No hay problema!
Entonces el primer paquete de raíces está listo:
x 1 = arcosen 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Echemos un vistazo al segundo ángulo. En el ejemplo con un valor de tabla de 0,5, era igual a:
π - x
¡Así que aquí será exactamente igual! Sólo x es diferente, arcsen 1/3. ¿¡Así que lo que!? Puede escribir con seguridad el segundo paquete de raíces:
x 2 = π - arcosen 1/3 + 2π norte, norte ∈ Z
Esta es una respuesta completamente correcta. Aunque no parece muy familiar. Pero es comprensible, espero.)
Así es como se resuelven las ecuaciones trigonométricas usando un círculo. Este camino es claro y comprensible. Es él quien ahorra en ecuaciones trigonométricas con la selección de raíces en un intervalo dado, en desigualdades trigonométricas; generalmente se resuelven casi siempre en un círculo. En definitiva, en cualquier tarea un poco más complicada que las estándar.
¿Poniendo el conocimiento en práctica?
Resolver ecuaciones trigonométricas:
Al principio es más simple, directamente en esta lección.
Ahora es más difícil.
Pista: aquí tienes que pensar en el círculo. Personalmente.)
Y ahora aparentemente sin pretensiones ... También se les llama casos especiales.
senx = 0
senx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Sugerencia: aquí debe averiguar en un círculo dónde hay dos series de respuestas y dónde hay una ... Y cómo escribir una en lugar de dos series de respuestas. ¡Sí, para que no se pierda ni una sola raíz de un número infinito!)
Bueno, bastante simple):
senx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Pista: aquí necesitas saber que es el arcoseno, arcocoseno? ¿Qué es arco tangente, arco tangente? Las definiciones más simples. ¡Pero no necesita recordar ningún valor tabular!)
Las respuestas están, por supuesto, en desorden):
x1= arcosen0,3 + 2πn, n ∈ Z
x2= π - arcosen0.3 + 2
¿No todo sale bien? Sucede. Lee la lección de nuevo. Solamente pensativamente(hay una palabra tan obsoleta...) Y sigue los enlaces. Los enlaces principales son sobre el círculo. Sin él en trigonometría: cómo cruzar la calle con los ojos vendados. A veces funciona.)
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Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Al resolver muchos problemas de matematicas, especialmente los que ocurren antes del grado 10, el orden de las acciones realizadas que llevarán a la meta está claramente definido. Dichos problemas incluyen, por ejemplo, ecuaciones lineales y cuadráticas, desigualdades lineales y cuadráticas, ecuaciones fraccionarias y ecuaciones que se reducen a cuadráticas. El principio de la solución exitosa de cada una de las tareas mencionadas es el siguiente: es necesario establecer qué tipo de tarea se está resolviendo, recordar la secuencia necesaria de acciones que conducirán al resultado deseado, es decir. responde y sigue estos pasos.
Obviamente, el éxito o el fracaso en la resolución de un problema particular depende principalmente de qué tan correctamente se determina el tipo de ecuación que se resuelve, qué tan correctamente se reproduce la secuencia de todas las etapas de su solución. Por supuesto, en este caso, es necesario tener las habilidades para realizar transformaciones y cálculos idénticos.
Una situación diferente ocurre con ecuaciones trigonométricas. No es difícil establecer el hecho de que la ecuación es trigonométrica. Surgen dificultades al determinar la secuencia de acciones que llevarían a la respuesta correcta.
A veces es difícil determinar su tipo por la aparición de una ecuación. Y sin conocer el tipo de ecuación, es casi imposible elegir la correcta entre varias docenas de fórmulas trigonométricas.
Para resolver la ecuación trigonométrica, debemos intentar:
1. llevar todas las funciones incluidas en la ecuación a "los mismos ángulos";
2. llevar la ecuación a "las mismas funciones";
3. factorizar el lado izquierdo de la ecuación, etc.
Considerar Métodos básicos para resolver ecuaciones trigonométricas.
I. Reducción a las ecuaciones trigonométricas más simples
Esquema de solución
Paso 1. Expresar la función trigonométrica en términos de componentes conocidas.
Paso 2 Encuentre el argumento de la función usando fórmulas:
cos x = a; x = ±arcos a + 2πn, n ЄZ.
sen x = a; x \u003d (-1) n arcosen a + πn, n Є Z.
bronceado x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
Paso 3 Encuentra una variable desconocida.
Ejemplo.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Solución.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Respuesta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Sustitución de variables
Esquema de solución
Paso 1. Lleva la ecuación a una forma algebraica con respecto a una de las funciones trigonométricas.
Paso 2 Denote la función resultante por la variable t (si es necesario, introduzca restricciones en t).
Paso 3 Escriba y resuelva la ecuación algebraica resultante.
Etapa 4 Haz una sustitución inversa.
Paso 5 Resuelve la ecuación trigonométrica más simple.
Ejemplo.
2cos 2 (x/2) - 5sen (x/2) - 5 = 0.
Solución.
1) 2(1 - sen 2 (x/2)) - 5 sen (x/2) - 5 = 0;
2sen 2(x/2) + 5sen(x/2) + 3 = 0.
2) Sea sen (x/2) = t, donde |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 o e = -3/2 no satisface la condición |t| ≤ 1.
4) sen (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Respuesta: x = π + 4πn, n Є Z.
tercero Método de reducción del orden de la ecuación
Esquema de solución
Paso 1. Reemplace esta ecuación con una lineal usando las fórmulas de reducción de potencia:
sen 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Paso 2 Resuelva la ecuación resultante utilizando los métodos I y II.
Ejemplo.
cos2x + cos2x = 5/4.
Solución.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 porque 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Respuesta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Ecuaciones homogéneas
Esquema de solución
Paso 1. Llevar esta ecuación a la forma
a) a sen x + b cos x = 0 (ecuación homogénea de primer grado)
o a la vista
b) a sen 2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = 0 (ecuación homogénea de segundo grado).
Paso 2 Divide ambos lados de la ecuación por
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
y obtener la ecuación para tg x:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Paso 3 Resuelve la ecuación usando métodos conocidos.
Ejemplo.
5sen 2 x + 3sen x cos x - 4 = 0.
Solución.
1) 5sen 2 x + 3sen x cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;
5sen 2 x + 3sen x cos x – 4sen² x – 4cos 2 x = 0;
sen 2 x + 3 sen x cos x - 4 cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Sea tg x = t, entonces
t2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 o t = -4, entonces
tg x = 1 o tg x = -4.
De la primera ecuación x = π/4 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Respuesta: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Método de transformación de una ecuación mediante fórmulas trigonométricas
Esquema de solución
Paso 1. Usando todo tipo de fórmulas trigonométricas, convierta esta ecuación en una ecuación que pueda resolverse mediante los métodos I, II, III, IV.
Paso 2 Resuelve la ecuación resultante usando métodos conocidos.
Ejemplo.
senx + sen2x + sen3x = 0.
Solución.
1) (sen x + sen 3x) + sen 2x = 0;
2sen 2x cos x + sen 2x = 0.
2) sen 2x (2 cos x + 1) = 0;
sen 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;
De la primera ecuación 2x = π/2 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación cos x = -1/2.
Tenemos x = π/4 + πn/2, n Є Z; de la segunda ecuación x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Como resultado, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Respuesta: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
La capacidad y las habilidades para resolver ecuaciones trigonométricas son muy 
importante, su desarrollo requiere un esfuerzo considerable, tanto por parte del alumno como del profesor.
Muchos problemas de estereometría, física, etc., están asociados con la solución de ecuaciones trigonométricas.El proceso de resolver tales problemas, por así decirlo, contiene muchos de los conocimientos y habilidades que se adquieren al estudiar los elementos de la trigonometría.
Las ecuaciones trigonométricas ocupan un lugar importante en el proceso de enseñanza de las matemáticas y el desarrollo de la personalidad en general.
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Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas
Introducción 2
Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas 5
5 algebraico
Resolución de ecuaciones usando la condición de igualdad de funciones trigonométricas del mismo nombre 7
Factorización 8
Reducción a una ecuación homogénea 10
Introducción del ángulo auxiliar 11
Convertir producto a suma 14
Sustitución universal 14
Conclusión 17
Introducción
Hasta el décimo grado, el orden de las acciones de muchos ejercicios que conducen a la meta, por regla general, se define sin ambigüedades. Por ejemplo, ecuaciones y desigualdades lineales y cuadráticas, ecuaciones fraccionarias y ecuaciones reducibles a cuadráticas, etc. Sin analizar en detalle el principio de resolución de cada uno de los ejemplos mencionados, anotamos lo general que es necesario para su solución exitosa.
En la mayoría de los casos, debe determinar qué tipo de tarea es, recordar la secuencia de acciones que conducen a la meta y realizar estas acciones. Es obvio que el éxito o el fracaso del estudiante en el dominio de los métodos para resolver ecuaciones depende principalmente de cuánto podrá determinar correctamente el tipo de ecuación y recordar la secuencia de todas las etapas de su solución. Por supuesto, esto supone que el estudiante tiene las habilidades para realizar transformaciones y cálculos idénticos.
Una situación completamente diferente ocurre cuando un estudiante se encuentra con ecuaciones trigonométricas. Al mismo tiempo, no es difícil establecer el hecho de que la ecuación es trigonométrica. Las dificultades surgen al encontrar un curso de acción que conduzca a un resultado positivo. Y aquí el estudiante se enfrenta a dos problemas. Es difícil determinar el tipo por la apariencia de la ecuación. Y sin conocer el tipo, es casi imposible elegir la fórmula deseada de las varias docenas disponibles.
Para ayudar a los estudiantes a encontrar su camino a través del complejo laberinto de las ecuaciones trigonométricas, primero se les presentan las ecuaciones, las cuales, después de introducir una nueva variable, se reducen a cuadrados. Luego resuelve ecuaciones homogéneas y reduce a ellas. Todo termina, por regla general, con ecuaciones, para cuya solución es necesario factorizar el lado izquierdo, igualando luego cada uno de los factores a cero.
Entendiendo que la docena y media de ecuaciones analizadas en las lecciones claramente no son suficientes para permitir que el estudiante navegue independientemente en el "mar" trigonométrico, el maestro agrega algunas recomendaciones más de sí mismo.
Para resolver la ecuación trigonométrica, debemos intentar:
Lleve todas las funciones incluidas en la ecuación a "los mismos ángulos";
Llevar la ecuación a "las mismas funciones";
Factorizar el lado izquierdo de la ecuación, etc.
Pero, a pesar del conocimiento de los principales tipos de ecuaciones trigonométricas y varios principios para encontrar su solución, muchos estudiantes todavía se encuentran en un callejón sin salida frente a cada ecuación que difiere ligeramente de las que se resolvieron antes. No está claro a qué se debe aspirar, tener una u otra ecuación, por qué en un caso es necesario aplicar las fórmulas de doble ángulo, en el otro, el medio ángulo, y en el tercero, las fórmulas de suma, etc.
Definición 1. Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que la incógnita está contenida bajo el signo de funciones trigonométricas.
Definición 2. Se dice que una ecuación trigonométrica tiene los mismos ángulos si todas las funciones trigonométricas incluidas en ella tienen argumentos iguales. Se dice que una ecuación trigonométrica tiene las mismas funciones si contiene solo una de las funciones trigonométricas.
Definición 3. El grado de un monomio que contiene funciones trigonométricas es la suma de los exponentes de las potencias de las funciones trigonométricas incluidas en él.
Definición 4. Una ecuación se dice homogénea si todos los monomios en ella tienen el mismo grado. Este grado se llama el orden de la ecuación.
Definición 5. Ecuación trigonométrica que contiene solo funciones pecado Y porque, se llama homogéneo si todos los monomios con respecto a las funciones trigonométricas tienen el mismo grado, y las propias funciones trigonométricas tienen ángulos iguales y el número de monomios es 1 mayor que el orden de la ecuación.
Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.
La solución de ecuaciones trigonométricas consta de dos etapas: la transformación de la ecuación para obtener su forma más simple y la solución de la ecuación trigonométrica más simple resultante. Hay siete métodos básicos para resolver ecuaciones trigonométricas.
I. método algebraico. Este método es bien conocido del álgebra. (Método de reemplazo de variables y sustitución).
Resolver ecuaciones.
1)
Introduzcamos la notación X=2 pecado3 t, obtenemos
Resolviendo esta ecuación, obtenemos: 
o 
esos. puede ser escrito
Al escribir la solución obtenida debido a la presencia de signos. 
la licenciatura 
no tiene sentido escribir.
Responder: 
Denotar 
Obtenemos una ecuación cuadrática 
. Sus raíces son números. 
Y 
. Por lo tanto, esta ecuación se reduce a las ecuaciones trigonométricas más simples. 
Y 
. Resolviéndolos, encontramos que 
o 
.
Responder: 
; 
.
Denotar 
no satisface la condición 
Medio 
Responder: 
Transformemos el lado izquierdo de la ecuación:
Por lo tanto, esta ecuación inicial se puede escribir como:
, es decir.
denotar 
, obtenemos 
Resolviendo esta ecuación cuadrática, tenemos:
no satisface la condición 
Anotamos la solución de la ecuación original:
Responder: 
Sustitución 
reduce esta ecuación a una ecuación cuadrática 
. Sus raíces son números. 
Y 
. Porque 
, entonces la ecuación dada no tiene raíces.
Respuesta: sin raíces.
Yo. Solución de ecuaciones utilizando la condición de igualdad de las funciones trigonométricas del mismo nombre.
pero) 
, si
B) 
, si
en) 
, si 
Usando estas condiciones, considere la solución de las siguientes ecuaciones:
6) 
Usando lo dicho en el punto a), encontramos que la ecuación tiene solución si y solo si 
.
Resolviendo esta ecuación, encontramos 
.
Tenemos dos grupos de soluciones: 
.
7) Resuelve la ecuación: 
.
Usando la condición del inciso b) deducimos que 
.
Resolviendo estas ecuaciones cuadráticas, obtenemos:
.
8) Resuelve la ecuación 
.
De esta ecuación deducimos que . Resolviendo esta ecuación cuadrática, encontramos que 
.
tercero. Factorización.
Consideramos este método con ejemplos.
9) Resuelve la ecuación 
.
Solución. Desplacemos todos los términos de la ecuación a la izquierda: .
Transformamos y factorizamos la expresión del lado izquierdo de la ecuación: 
.
.
.
1)
2) 
Porque 
Y 
no tome el valor nulo
al mismo tiempo, luego separamos ambas partes
ecuaciones para 
, 
Responder: 
10) Resuelve la ecuación:
Solución.
o 
Responder: 
11) Resuelve la ecuación
Solución:
1)
2)
3)
, 
Responder: 
IV. Reducción a una ecuación homogénea.
Para resolver una ecuación homogénea, necesitas:
Mover todos sus miembros al lado izquierdo;
Ponga todos los factores comunes fuera de paréntesis;
Igualar todos los factores y corchetes a cero;
Los paréntesis igualados a cero dan una ecuación homogénea de menor grado, que debe dividirse por 
(o 
) en el grado superior;
Resuelva la ecuación algebraica resultante para 
.
Considere ejemplos:
12) Resuelve la ecuación:
Solución.
Divide ambos lados de la ecuación por 
, 
Introducción a la notación 
, nombre
las raíces de esta ecuación son: 
desde aquí 1) 
2) 
Responder: 
13) Resuelve la ecuación:
Solución. Usando las fórmulas de doble ángulo y la identidad trigonométrica básica, reducimos esta ecuación a medio argumento:
Después de reducir los términos semejantes, tenemos:
Dividiendo la última ecuación homogénea por 
, obtenemos
voy a designar 
, obtenemos la ecuación cuadrática 
, cuyas raíces son números 
De este modo 
Expresión 
desaparece en 
, es decir. en 
, 
.
Nuestra solución a la ecuación no incluye estos números.
Responder: 
, .
V. Introducción de un ángulo auxiliar.
Considere una ecuación de la forma
Donde a B C- coeficientes, X- desconocido.
Divide ambos lados de esta ecuación por 
Ahora los coeficientes de la ecuación tienen las propiedades del seno y el coseno, a saber: el módulo de cada uno de ellos no excede de uno, y la suma de sus cuadrados es igual a 1.
Entonces podemos etiquetarlos en consecuencia. 
(aquí 
- ángulo auxiliar) y nuestra ecuación toma la forma: .
Luego 
Y su decisión
Tenga en cuenta que la notación introducida es intercambiable.
14) Resuelve la ecuación: 
Solución. Aquí 
, entonces dividimos ambos lados de la ecuación por 
Responder: 
15) Resuelve la ecuación
Solución. Porque 
, entonces esta ecuación es equivalente a la ecuación
Porque 
, entonces existe un ángulo tal que 
, 
(esos. 
).
Tenemos 
Porque 
, finalmente obtenemos:
.
Nótese que una ecuación de la forma tiene solución si y sólo si 
16) Resuelve la ecuación:
Para resolver esta ecuación, agrupamos funciones trigonométricas con los mismos argumentos
Divide ambos lados de la ecuación por dos
Transformamos la suma de funciones trigonométricas en un producto:
Responder: 
VI. Convertir producto a suma.
Aquí se utilizan las fórmulas correspondientes.
17) Resuelve la ecuación:
Solución. Convirtamos el lado izquierdo en una suma:
VIII.sustitución universal.
, 
estas fórmulas son verdaderas para todos 
Sustitución 
llamado universales.
18) Resuelve la ecuación: 
Solución: Reemplazar y 
a su expresión a través 
y denota 
.
Obtenemos una ecuación racional 
, que se convierte en cuadrado 
.
Las raíces de esta ecuación son los números 
.
Por lo tanto, el problema se redujo a resolver dos ecuaciones 
.
Encontramos eso 
.
Ver valor 
no satisface la ecuación original, que se comprueba comprobando - sustituyendo el valor dado t a la ecuación original.
Responder: 
.
Comentario. La ecuación 18 podría resolverse de otra manera.
Divide ambos lados de esta ecuación por 5 (es decir, por 
): 
.
Porque 
, entonces hay un número 
, qué 
Y 
. Entonces la ecuación se convierte en: 
o 
. A partir de aquí encontramos que 
donde 
.
19) Resuelve la ecuación 
.
Solución. Dado que las funciones 
Y 
tienen el mayor valor igual a 1, entonces su suma es igual a 2 si 
Y 
, al mismo tiempo, eso es 
.
Responder: 
.
Al resolver esta ecuación se utilizó la acotación de las funciones y.
Conclusión.
Trabajando en el tema “Soluciones de ecuaciones trigonométricas”, es útil que cada docente siga las siguientes recomendaciones:
Sistematizar métodos para la resolución de ecuaciones trigonométricas.
Elija por sí mismo los pasos para realizar el análisis de la ecuación y los signos de la conveniencia de utilizar uno u otro método de solución.
Reflexionar sobre los modos del autocontrol de la actividad por la realización del método.
Aprende a hacer "tus" ecuaciones para cada uno de los métodos estudiados.
Solicitud No. 1
Resolver ecuaciones homogéneas o reducibles.
1. | Reps. |
Reps. |
|
Reps. |
|
5. | Reps. |
Reps. |
|
7. | Reps. |
Reps. |
|
Lección de aplicación compleja del conocimiento.
Objetivos de la lección.
- Considere varios métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.
- Desarrollo de habilidades creativas de los estudiantes mediante la resolución de ecuaciones.
- Incentivar a los estudiantes al autocontrol, control mutuo, autoanálisis de sus actividades educativas.
Equipamiento: pantalla, proyector, material de referencia.
durante las clases
Conversación introductoria.
El método principal para resolver ecuaciones trigonométricas es su reducción más simple. En este caso, se utilizan los métodos habituales, por ejemplo, la factorización, así como técnicas utilizadas únicamente para resolver ecuaciones trigonométricas. Hay muchos de estos trucos, por ejemplo, varias sustituciones trigonométricas, transformaciones de ángulos, transformaciones de funciones trigonométricas. La aplicación indiscriminada de cualquier transformación trigonométrica por lo general no simplifica la ecuación, pero la complica desastrosamente. Para desarrollar en términos generales un plan para resolver la ecuación, para delinear la forma de reducir la ecuación a la más simple, primero es necesario analizar los ángulos, los argumentos de las funciones trigonométricas incluidas en la ecuación.
Hoy hablaremos sobre métodos para resolver ecuaciones trigonométricas. Un método elegido correctamente muchas veces permite una simplificación significativa de la solución, por lo que todos los métodos que hemos estudiado deben mantenerse siempre en la zona de nuestra atención para resolver ecuaciones trigonométricas de la forma más adecuada.
II. (Usando un proyector, repetimos los métodos para resolver ecuaciones).
1. Un método para reducir una ecuación trigonométrica a una algebraica.
Es necesario expresar todas las funciones trigonométricas a través de una, con el mismo argumento. Esto se puede hacer usando la identidad trigonométrica básica y sus corolarios. Obtenemos una ecuación con una función trigonométrica. Tomándolo como una nueva incógnita, obtenemos una ecuación algebraica. Encontramos sus raíces y volvemos a la vieja incógnita, resolviendo las ecuaciones trigonométricas más simples.
2. Método de factorización.
Para cambiar ángulos, las fórmulas de reducción, las sumas y diferencias de argumentos, así como las fórmulas para convertir la suma (diferencia) de funciones trigonométricas en un producto y viceversa, suelen ser útiles.
senx + sen3x = sen2x + sen4x
3. Método para introducir un ángulo adicional.
4. Método de uso de la sustitución universal.
Las ecuaciones de la forma F(senx, cosx, tgx) = 0 se reducen a ecuaciones algebraicas usando la sustitución trigonométrica universal
Expresar el seno, el coseno y la tangente en función de la tangente de un medio ángulo. Este truco puede conducir a una ecuación de orden superior. La decisión de que es difícil.
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