En este artículo, analizaremos más de cerca las reglas básicas de un tema tan importante del curso de matemáticas como los corchetes de apertura. Es necesario conocer las reglas para abrir corchetes para poder resolver correctamente las ecuaciones en las que se utilizan.
Cómo ampliar correctamente los paréntesis además
Expande los corchetes precedidos por el "+"
Este es el caso más simple, porque si hay un signo de adición delante de los corchetes, cuando los corchetes se expanden, los signos dentro de ellos no cambian. Ejemplo:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Cómo expandir paréntesis precedidos por un "-"
En este caso, debe volver a escribir todos los términos sin paréntesis, pero al mismo tiempo cambiar todos los signos dentro de ellos al opuesto. Los signos cambian solo para los términos de esos corchetes, antes de los cuales había un signo "-". Ejemplo:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Cómo expandir paréntesis en la multiplicación
Los paréntesis van precedidos de un multiplicador.
En este caso, debe multiplicar cada término por un factor y expandir los paréntesis sin cambiar los signos. Si el factor tiene un signo "-", entonces la multiplicación cambia los signos de los términos al opuesto. Ejemplo:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Cómo expandir dos paréntesis con un signo de multiplicación entre ellos
En este caso, debe multiplicar cada término del primer paréntesis con cada término del segundo paréntesis y luego agregar los resultados. Ejemplo:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Cómo expandir corchetes en un cuadrado
En el caso de que la suma o diferencia de dos términos sea al cuadrado, los corchetes deben abrirse usando la siguiente fórmula:
(x + y) ^ 2 \u003d x ^ 2 + 2 * x * y + y ^ 2.
En el caso de un signo menos entre paréntesis, la fórmula no cambia. Ejemplo:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Cómo expandir paréntesis en un grado diferente
Si la suma o diferencia de los términos se eleva, por ejemplo, a la 3ª o 4ª potencia, solo necesita dividir el grado del paréntesis en "cuadrados". Se suman las potencias de los mismos factores, y al dividir, la potencia del divisor se resta de la potencia del dividendo. Ejemplo:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Cómo expandir 3 corchetes
Hay ecuaciones en las que se multiplican 3 corchetes a la vez. En este caso, primero debes multiplicar los términos de los dos primeros paréntesis y luego multiplicar la suma de esta multiplicación por los términos del tercer paréntesis. Ejemplo:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Estas reglas de expansión de paréntesis se aplican igualmente a la resolución de ecuaciones lineales y trigonométricas.
En todas partes. En todas partes y en todas partes, dondequiera que mires, hay tales construcciones:
Estas "construcciones" provocan una reacción ambigua entre las personas alfabetizadas. Al menos como "¿es realmente así - verdad?"
En general, personalmente, no puedo entender de dónde vino la "moda" para no cerrar las comillas exteriores. La primera y única analogía que surge a este respecto es la analogía entre paréntesis. Nadie duda de que dos paréntesis seguidos son normales. Por ejemplo: "Pagar toda la tirada (200 uds. (100 de ellos - matrimonio))". Pero en la normalidad de dos comillas seguidas, alguien dudó (me pregunto quién fue el primero) ... Y ahora todos, con la conciencia tranquila, empezaron a producir construcciones como Pupkov y Co Firm.
Pero incluso si no ha visto la regla en su vida, que se discutirá un poco más adelante, entonces la única opción lógica (por ejemplo, corchetes) sería la siguiente: Firm Pupkov and Co LLC.
Entonces, la regla en sí:
Si al principio o al final de una cita (lo mismo se aplica al discurso directo) hay citas internas y externas, entonces deben distinguirse entre sí por el patrón (las llamadas "espinas" y "patas"), y las citas externas no deben omitirse, por ejemplo: С los costados del vapor transmiten por radio: “Leningrado ha entrado en los trópicos y sigue su curso”. Acerca de Zhukovsky Belinsky escribe: "Los contemporáneos de la juventud de Zhukovsky lo veían principalmente como el autor de baladas, y en uno de sus mensajes Batiushkov lo llamó" baladista ".
© Reglas de ortografía y puntuación en ruso. - Tula: Autógrafo, 1995 .-- 192 p.
En consecuencia ... si no tiene la oportunidad de escribir las comillas, "" árboles, entonces, ¿qué puede hacer? Deberá utilizar esos "" iconos. Sin embargo, la incapacidad (o la falta de voluntad) de utilizar comillas en ruso no es de ninguna manera una razón por la que puede omitir las comillas exteriores.Así, parece haberse resuelto el diseño incorrecto de la Firma Pupkov & Co LLC También hay construcciones del tipo de la Firma Pupkov y Co LLC.
De la regla queda perfectamente claro que tales construcciones son analfabetas ... (Correcto: Firm Pupkov & Co LLC "¡Sin embargo!
La “Guía para el editor y el autor” de AE \u200b\u200bMilchin (edición de 2004) indica que se pueden utilizar dos opciones de diseño en tales casos. El uso de "árboles de Navidad" y "patas" y (a falta de medios técnicos) el uso de sólo "árboles de Navidad": dos de apertura y uno de cierre.
El libro de referencia es "fresco" y personalmente tengo 2 preguntas a la vez. En primer lugar, con qué alegría es posible utilizar una cita final en espiga (bueno, es ilógico, ver más arriba), y en segundo lugar, la frase "en ausencia de medios técnicos" es especialmente digna de mención. ¿Cómo está, disculpe? Abra el Bloc de notas y escriba allí "solo árboles de Navidad: dos de apertura y uno de cierre". No hay tales caracteres en el teclado. No puede imprimir la espina de pescado ... La combinación Shift + 2 da el signo "(que, como sabe, ni siquiera es una comilla). Ahora abra Microsoft Word y presione Shift + 2 nuevamente. El programa arreglará" a "(o" ). Bueno, ¿resulta que la regla que existió durante más de una docena de años fue tomada y reescrita bajo Microsoft Word? Como, dado que la palabra de Firm Pupkov and Co está hecha por Firm Pupkov and Co, entonces que ahora sea aceptable y correcta ???
Así parece. Y si es así, hay muchas razones para dudar de la exactitud de tal innovación.Sí, y una aclaración más ... sobre la misma "falta de medios técnicos". El hecho es que en cualquier computadora con Windows siempre hay "medios técnicos" para ingresar tanto "árboles de Navidad" como "patas", por lo que esta nueva "regla" (para mí está entre comillas) ¡es incorrecta desde el principio!
Todos los caracteres especiales de la fuente se pueden escribir fácilmente conociendo el número correspondiente a ese carácter. Es suficiente mantener presionada la tecla Alt y escribir en el teclado NumLock (se presiona NumLock, la luz indicadora está encendida) el número de carácter correspondiente:
„Alt + 0132 (" pie "izquierdo)
Alt + 0147 (pie derecho)
Alt + 0171 (espiga izquierda)
Alt + 0187 (espiga derecha)
La función principal de los corchetes es cambiar el orden de las acciones al calcular los valores. por ejemplo, en la expresión numérica \\ (5 3 + 7 \\), se calculará primero la multiplicación y luego la suma: \\ (5 3 + 7 \u003d 15 + 7 \u003d 22 \\). Pero en la expresión \\ (5 · (3 + 7) \\), primero se calculará la suma entre paréntesis, y solo luego la multiplicación: \\ (5 · (3 + 7) \u003d 5 · 10 \u003d 50 \\).
Ejemplo.
Expanda el corchete: \\ (- (4m + 3) \\).
Decisión
: \\ (- (4m + 3) \u003d - 4m-3 \\).
Ejemplo.
Expande el paréntesis y da términos similares \\ (5- (3x + 2) + (2 + 3x) \\).
Decisión
: \\ (5- (3x + 2) + (2 + 3x) \u003d 5-3x-2 + 2 + 3x \u003d 5 \\).
Ejemplo.
Expande los corchetes \\ (5 (3-x) \\).
Decisión
: En el corchete tenemos \\ (3 \\) y \\ (- x \\), y antes del corchete hay un cinco. Por lo tanto, cada miembro del paréntesis se multiplica por \\ (5 \\); les recuerdo que el signo de multiplicación entre un número y un paréntesis no está escrito en matemáticas para reducir el tamaño de los registros.
Ejemplo.
Expande los corchetes \\ (- 2 (-3x + 5) \\).
Decisión
: Como en el ejemplo anterior, \\ (- 3x \\) y \\ (5 \\) se multiplican por \\ (- 2 \\).
Ejemplo.
Simplifica la expresión: \\ (5 (x + y) -2 (x-y) \\).
Decisión
: \\ (5 (x + y) -2 (x-y) \u003d 5x + 5y-2x + 2y \u003d 3x + 7y \\).
Queda por considerar la última situación.
Al multiplicar un paréntesis por un paréntesis, cada miembro del primer paréntesis se multiplica por cada miembro del segundo:
\\ ((c + d) (a-b) \u003d c (a-b) + d (a-b) \u003d ca-cb + da-db \\)
Ejemplo.
Expande los corchetes \\ ((2-x) (3x-1) \\).
Decisión
: Tenemos un producto de corchetes y se puede expandir inmediatamente usando la fórmula anterior. Pero para no confundirnos, hagamos todo por pasos.
Paso 1. Retire el primer soporte; multiplique cada uno de sus miembros por el segundo soporte:
Paso 2. Expanda el producto del paréntesis por el factor como se describe arriba:
- primero el primero ...
Luego el segundo.
Paso 3. Ahora multiplicamos y damos términos similares:
No es necesario describir todas las transformaciones con tanto detalle, puede multiplicar inmediatamente. Pero si recién está aprendiendo a abrir paréntesis, escriba en detalle, habrá menos posibilidades de errores.
Una nota para toda la sección. De hecho, no necesitas memorizar las cuatro reglas, solo necesitas recordar una, esta es: \\ (c (a-b) \u003d ca-cb \\). ¿Por qué? Porque si sustituye uno en lugar de c, obtiene la regla \\ ((a-b) \u003d a-b \\). Y si sustituimos menos uno, obtenemos la regla \\ (- (a-b) \u003d - a + b \\). Bueno, si en lugar de c sustituye otro paréntesis, puede obtener la última regla.
Paréntesis entre paréntesis
A veces, en la práctica, hay problemas con los paréntesis anidados dentro de otros paréntesis. Aquí hay un ejemplo de tal tarea: simplifique la expresión \\ (7x + 2 (5- (3x + y)) \\).
Para resolver con éxito tales tareas, necesita:
- comprender cuidadosamente el anidamiento de los corchetes: cuál está en cuál;
- expanda los corchetes secuencialmente, comenzando, por ejemplo, desde el más interno.
En este caso, es importante al abrir uno de los soportes. no toques el resto de la expresiónsimplemente reescribiéndolo como está.
Tomemos la tarea anterior como ejemplo.
Ejemplo.
Expande los corchetes y da términos similares \\ (7x + 2 (5- (3x + y)) \\).
Decisión:
Ejemplo.
Expande los paréntesis y proporciona términos similares \\ (- (x + 3 (2x-1 + (x-5))) \\).
Decisión
:
|
\\ (- (x + 3 (2x-1 \\) \\ (+ (x-5) \\) \\ ()) \\) |
Aquí hay un triple anidamiento de paréntesis. Comenzamos con el más interno (resaltado en verde). Hay una ventaja delante del soporte, por lo que simplemente se desprende. |
|
|
\\ (- (x + 3 (2x-1 \\) \\ (+ x-5 \\) \\ ()) \\) |
Ahora necesitas expandir el segundo paréntesis, el intermedio. Pero antes de eso, simplificaremos la expresión fantasma similar a los términos en este segundo paréntesis. |
|
|
\\ (\u003d - (x \\) \\ (+ 3 (3x-6) \\) \\ () \u003d \\) |
Ahora abrimos el segundo paréntesis (resaltado en azul). Hay un factor delante del paréntesis, por lo que cada término entre paréntesis se multiplica por él. |
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|
\\ (\u003d - (x \\) \\ (+ 9x-18 \\) \\ () \u003d \\) |
||
|
Y abrimos el último paréntesis. Antes del paréntesis hay un signo menos, por lo tanto, todos los signos están invertidos. |
||
Abrir paréntesis es una habilidad básica en matemáticas. Sin esta habilidad, es imposible tener un grado superior a tres en el octavo y noveno grado. Por tanto, te recomiendo que entiendas bien este tema.
Estamos a punto de pasar a expandir paréntesis en expresiones en las que la expresión entre paréntesis se multiplica por un número o expresión. Formulemos la regla para expandir los corchetes precedidos por un signo menos: los corchetes junto con el signo menos se omiten y los signos de todos los términos entre paréntesis se reemplazan por sus opuestos.
Uno de los tipos de conversión de expresiones es la expansión de llaves. Las expresiones numéricas, literales y variables se pueden componer utilizando paréntesis, que pueden indicar el orden de ejecución de las acciones, contener un número negativo, etc. Suponga que en las expresiones anteriores, en lugar de números y variables, puede haber cualquier expresión.
Y prestemos atención a un punto más sobre las peculiaridades del registro de la solución al abrir los soportes. En el párrafo anterior, descubrimos lo que se llama expansión de paréntesis. Para ello, existen reglas para abrir corchetes, que vamos a revisar. Esta regla viene dictada por el hecho de que se acostumbra escribir números positivos sin paréntesis, los paréntesis son innecesarios en este caso. La expresión (−3,7) - (- 2) +4 + (- 9) se puede escribir sin paréntesis como −3,7 + 2 + 4−9.
Finalmente, la tercera parte de la regla se debe simplemente a las peculiaridades de escribir números negativos a la izquierda en una expresión (que mencionamos en la sección de paréntesis para escribir números negativos). Puede encontrar expresiones compuestas por un número, signos menos y varios pares de paréntesis. Si expande los paréntesis, moviéndose de adentro hacia afuera, entonces la solución será la siguiente: - (- ((- (5)))) \u003d - (- ((- 5))) \u003d - (- (- 5)) \u003d - ( 5) \u003d - 5.
¿Cómo amplío los paréntesis?
Aquí hay una explicación: - (- 2 x) es + 2 x, y dado que esta expresión se encuentra al principio, + 2 x se puede escribir como 2 x, - (x2) \u003d - x2, + (- 1 / x) \u003d - 1 / x y - (2 x y2: z) \u003d - 2 x y2: z. La primera parte de la regla escrita para expandir los corchetes se sigue directamente de la regla para multiplicar números negativos. La segunda parte es consecuencia de la regla para multiplicar números con diferentes signos. Pasemos a ejemplos de corchetes en expansión en obras y cocientes de dos números con signos diferentes.
Corchetes de apertura: reglas, ejemplos, soluciones.
La regla anterior tiene en cuenta toda la cadena de estas acciones y acelera significativamente el proceso de apertura de corchetes. La misma regla le permite expandir paréntesis en expresiones que son productos y cocientes con un signo menos, que no son sumas ni diferencias.
Consideremos ejemplos de cómo aplicar esta regla. Demos la regla correspondiente. Arriba, ya hemos encontrado expresiones de la forma - (a) y - (- a), que sin paréntesis se escriben como −ay a, respectivamente. Por ejemplo, - (3) \u003d 3 y. Estos son casos especiales de la regla establecida. Ahora veamos ejemplos de corchetes de apertura cuando contienen sumas o diferencias. Muestremos ejemplos del uso de esta regla. Denotamos la expresión (b1 + b2) como b, después de lo cual usamos la regla de multiplicar el paréntesis por la expresión del párrafo anterior, tenemos (a1 + a2) (b1 + b2) \u003d (a1 + a2) b \u003d (a1 b + a2 b) \u003d a1 b + a2 b.
Por inducción, esta declaración se puede extender a un número arbitrario de términos en cada paréntesis. Queda por abrir el paréntesis en la expresión resultante, usando las reglas de los párrafos anteriores, al final obtenemos 1 · 3 · x · y - 1 · 2 · x · y3 - x · 3 · x · y + x · 2 · x · y3.
La regla en matemáticas es abrir corchetes si hay (+) y (-) delante de los corchetes.
Esta expresión es el producto de tres factores (2 + 4), 3 y (5 + 7 8). Deberá abrir los corchetes secuencialmente. Ahora usamos la regla de multiplicar el paréntesis por el número, tenemos ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) \u003d (2 3 + 4 3) (5 + 7 8). Los grados, cuyas bases son algunas expresiones escritas entre paréntesis, con indicadores naturales, pueden considerarse como el producto de varios paréntesis.
Por ejemplo, transformemos la expresión (a + b + c) 2. Primero, lo escribimos como producto de dos corchetes (a + b + c) (a + b + c), ahora realizamos la multiplicación de un corchete por un corchete, obtenemos a a + a b + a c + b a + b segundo + segundo do + do una + do segundo + do do.
También diremos que para elevar las sumas y diferencias de dos números a una potencia natural, es recomendable utilizar la fórmula binomial de Newton. Por ejemplo, (5 + 7-3): 2 \u003d 5: 2 + 7: 2-3: 2. No es menos conveniente reemplazar primero la división por la multiplicación y luego usar la regla apropiada para abrir paréntesis en una obra.
Queda por averiguar el orden de apertura de los corchetes usando ejemplos. Toma la expresión (−5) + 3 (−2): (- 4) −6 (−7). Sustituye estos resultados en la expresión original: (−5) + 3 (−2): (- 4) −6 (−7) \u003d (- 5) + (3 2: 4) - (- 6 7) ... Solo queda completar la apertura del paréntesis, como resultado tenemos −5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7. Esto significa que al pasar del lado izquierdo de la igualdad al derecho, los corchetes se expandieron.
Tenga en cuenta que en los tres ejemplos acabamos de eliminar el paréntesis. Primero agregue 445 a 889. Esta acción se puede realizar en la mente, pero no es muy simple. Expandamos los corchetes y veamos que el orden cambiado de acciones simplificará enormemente los cálculos.
Cómo expandir paréntesis en un grado diferente
Ejemplo ilustrativo y regla. Considere un ejemplo: Puedes encontrar el valor de la expresión sumando 2 y 5, y luego tomar el número resultante con el signo opuesto. La regla no cambia si no hay dos, sino tres o más términos entre paréntesis. Comentario. Los signos se invierten solo antes de los términos. Para expandir los corchetes, en este caso, debe recordar la propiedad de distribución.
Números individuales entre paréntesis
¿Tu error no está en los signos, sino en el mal trabajo con fracciones? En sexto grado, nos familiarizamos con los números positivos y negativos. ¿Cómo resolvemos ejemplos y ecuaciones?
¿Cuántos hay entre paréntesis? ¿Y estas expresiones? Por supuesto, el resultado del primer y segundo ejemplo es el mismo, por lo que puede poner un signo igual entre ellos: -7 + (3 + 4) \u003d -7 + 3 + 4. Entonces, ¿qué hicimos con los paréntesis?
Demostración de la diapositiva 6 con las reglas para abrir corchetes. Por lo tanto, las reglas para expandir corchetes nos ayudarán a resolver ejemplos, simplificar expresiones. Además, se ofrece a los estudiantes trabajar en parejas: es necesario conectar la expresión que contiene corchetes con la expresión correspondiente sin corchetes con flechas.
Diapositiva 11 Una vez en la ciudad soleada, Znayka y Dunno discutieron sobre quién resolvió la ecuación correctamente. Luego, los estudiantes resuelven la ecuación por su cuenta usando las reglas para expandir los paréntesis. Resolver ecuaciones "Objetivos de la lección: didáctica (consolidación de ZUNs sobre el tema:" Abrir corchetes.
Tema de la lección: “Abrir corchetes. En este caso, debe multiplicar cada término del primer paréntesis con cada término del segundo paréntesis y luego agregar los resultados. Primero, se toman los dos primeros factores, encerrados en un paréntesis más, y dentro de estos corchetes se expanden los corchetes según una de las reglas ya conocidas.
rawalan.freezeet.ru
Ampliación de corchetes: reglas y ejemplos (grado 7)
La función principal de los paréntesis es cambiar el orden de las acciones al calcular valores. expresiones numéricas . por ejemplo, en la expresión numérica \\ (5 3 + 7 \\), se calculará primero la multiplicación y luego la suma: \\ (5 3 + 7 \u003d 15 + 7 \u003d 22 \\). Pero en la expresión \\ (5 · (3 + 7) \\), primero se calculará la suma entre paréntesis, y solo luego la multiplicación: \\ (5 · (3 + 7) \u003d 5 · 10 \u003d 50 \\).
Sin embargo, si estamos tratando con expresión algebraica conteniendo variable - por ejemplo así: \\ (2 (x-3) \\) - entonces el valor entre paréntesis no se puede calcular, la variable interfiere. Por tanto, en este caso, los paréntesis se "abren" utilizando las reglas adecuadas.
Reglas de expansión de soporte
Si hay un signo más delante del corchete, entonces el corchete simplemente se quita y la expresión en él permanece sin cambios. En otras palabras:
Aquí es necesario aclarar que en matemáticas, para acortar las entradas, se acostumbra no escribir el signo más si aparece primero en la expresión. Por ejemplo, si sumamos dos números positivos, por ejemplo, siete y tres, entonces escribimos no \\ (+ 7 + 3 \\), sino simplemente \\ (7 + 3 \\), a pesar de que siete también es un número positivo. De manera similar, si ve, por ejemplo, la expresión \\ ((5 + x) \\) - sepa que hay un signo más antes del paréntesis, que no está escrito.
Ejemplo
... Expande el paréntesis y proporciona términos similares: \\ ((x-11) + (2 + 3x) \\).
Decisión
: \\ ((x-11) + (2 + 3x) \u003d x-11 + 2 + 3x \u003d 4x-9 \\).
Si hay un signo menos delante del paréntesis, cuando se quita el paréntesis, cada miembro de la expresión dentro de él cambia su signo al opuesto:
Aquí es necesario aclarar que a, mientras estaba entre paréntesis, tenía un signo más (simplemente no lo escribieron), y luego de quitar el paréntesis, este más cambió a menos.
Ejemplo
: Simplifica la expresión \\ (2x - (- 7 + x) \\).
Decisión
: dentro del corchete hay dos términos: \\ (- 7 \\) y \\ (x \\), y antes del corchete hay un signo menos. Esto significa que los signos cambiarán, y el siete ahora estará con un más, y la x, con un menos. Expande el paréntesis y damos términos similares .
Ejemplo.
Expande el paréntesis y da términos similares \\ (5- (3x + 2) + (2 + 3x) \\).
Decisión
: \\ (5- (3x + 2) + (2 + 3x) \u003d 5-3x-2 + 2 + 3x \u003d 5 \\).
Si hay un factor delante del corchete, entonces cada miembro del corchete se multiplica por él, es decir:
Ejemplo.
Expande los corchetes \\ (5 (3-x) \\).
Decisión
: En el corchete tenemos \\ (3 \\) y \\ (- x \\), y antes del corchete hay un cinco. Por lo tanto, cada miembro del paréntesis se multiplica por \\ (5 \\); les recuerdo que el signo de multiplicación entre un número y un paréntesis no está escrito en matemáticas para reducir el tamaño de los registros.
Ejemplo.
Expande los corchetes \\ (- 2 (-3x + 5) \\).
Decisión
: Como en el ejemplo anterior, \\ (- 3x \\) y \\ (5 \\) se multiplican por \\ (- 2 \\).
Queda por considerar la última situación.
Al multiplicar un paréntesis por un paréntesis, cada miembro del primer paréntesis se multiplica por cada miembro del segundo:
Ejemplo.
Expande los corchetes \\ ((2-x) (3x-1) \\).
Decisión
: Tenemos un producto de corchetes y se puede expandir inmediatamente usando la fórmula anterior. Pero para no confundirnos, hagamos todo por pasos.
Paso 1. Retire el primer soporte; multiplique cada uno de sus miembros por el segundo soporte:
Paso 2. Expanda el producto del paréntesis por el factor como se describe arriba:
- primero el primero ...
Paso 3. Ahora multiplicamos y damos términos similares:
No es necesario describir todas las transformaciones con tanto detalle, puede multiplicar inmediatamente. Pero si recién está aprendiendo a abrir paréntesis, escriba en detalle, habrá menos posibilidades de errores.
Una nota para toda la sección. De hecho, no necesitas memorizar las cuatro reglas, basta con recordar solo una, esta es: \\ (c (a-b) \u003d ca-cb \\). ¿Por qué? Porque si sustituye uno en lugar de c, obtiene la regla \\ ((a-b) \u003d a-b \\). Y si sustituimos menos uno, obtenemos la regla \\ (- (a-b) \u003d - a + b \\). Bueno, si en lugar de c sustituye otro paréntesis, puede obtener la última regla.
Paréntesis entre paréntesis
A veces, en la práctica, hay problemas con los paréntesis anidados dentro de otros paréntesis. Aquí hay un ejemplo de tal tarea: simplifique la expresión \\ (7x + 2 (5- (3x + y)) \\).
Para resolver con éxito tales tareas, necesita:
- comprender cuidadosamente el anidamiento de los corchetes: cuál está en cuál;
- expanda los corchetes secuencialmente, comenzando, por ejemplo, desde el más interno.
En este caso, es importante al abrir uno de los soportes. no toques el resto de la expresiónsimplemente reescribiéndolo como está.
Tomemos la tarea anterior como ejemplo.
Ejemplo.
Expande los corchetes y da términos similares \\ (7x + 2 (5- (3x + y)) \\).
Decisión:
Comencemos la tarea expandiendo el paréntesis interno (el que está adentro). Al abrirlo, solo nos ocupamos del hecho de que está directamente relacionado con él: este es el corchete en sí y el signo menos delante de él (resaltado en verde). Todo lo demás (no seleccionado) se reescribe como estaba.
Resolver problemas matemáticos en línea
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Simplificación de un polinomio.
Multiplicación de polinomios.
Con este programa de matemáticas, puede simplificar un polinomio.
En el proceso de trabajo, el programa:
- multiplica polinomios
- suma monomios (da similares)
- expande corchetes
- eleva un polinomio a una potencia
El programa para simplificar polinomios no solo da una respuesta al problema, da una solución detallada con explicaciones, es decir muestra el proceso de solución para que pueda verificar sus conocimientos de matemáticas y / o álgebra.
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Un poco de teoría.
Producto de un monomio y un polinomio. Concepto de polinomio
Entre las diversas expresiones que se consideran en álgebra, las sumas de monomios ocupan un lugar importante. A continuación, se muestran algunos ejemplos de tales expresiones:
La suma de los monomios se llama polinomio. Los términos del polinomio se denominan términos del polinomio. Los monomios también se conocen como polinomios, considerando que un monomio es un polinomio que consta de un término.
Representamos todos los términos como monomios de la forma estándar:
Presentemos términos similares en el polinomio resultante:
El resultado es un polinomio, todos cuyos miembros son monomios de la forma estándar, y no hay otros similares entre ellos. Tales polinomios se llaman polinomios de la forma estándar.
Detrás grado polinomial de la forma estándar toman el mayor de los grados de sus miembros. Así, un binomio tiene un tercer grado y un trinomio tiene un segundo.
Por lo general, los miembros de polinomios estándar que contienen una variable se organizan en orden descendente de los exponentes de su exponente. Por ejemplo:
La suma de varios polinomios se puede convertir (simplificar) en un polinomio estándar.
A veces, los miembros de un polinomio deben dividirse en grupos encerrando cada grupo entre paréntesis. Dado que el paréntesis es el reverso de la expansión de paréntesis, es fácil formular reglas de expansión de paréntesis:
Si el signo "+" se coloca delante de los corchetes, los miembros entre corchetes se escriben con los mismos signos.
Si el signo "-" se coloca delante de los corchetes, los miembros entre corchetes se escriben con signos opuestos.
Transformación (simplificación) del producto de un monomio y un polinomio
Usando la propiedad distributiva de la multiplicación, puedes transformar (simplificar) el producto de un monomio y un polinomio en un polinomio. Por ejemplo:
El producto de un monomio y un polinomio es idénticamente igual a la suma de los productos de este monomio y cada uno de los miembros del polinomio.
Este resultado se suele formular como regla.
Para multiplicar un monomio por un polinomio, debes multiplicar este monomio por cada uno de los miembros del polinomio.
Ya hemos usado esta regla para multiplicar por una suma muchas veces.
Producto de polinomios. Transformación (simplificación) del producto de dos polinomios
En general, el producto de dos polinomios es idénticamente igual a la suma del producto de cada miembro de un polinomio y cada miembro del otro.
Normalmente se utiliza la siguiente regla.
Para multiplicar un polinomio por un polinomio, debes multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro y sumar los productos resultantes.
Fórmulas de multiplicación abreviadas. Cuadrados de suma, diferencia y diferencia
Algunas expresiones en transformaciones algebraicas deben tratarse con más frecuencia que otras. Quizás las expresiones más comunes son y, es decir, el cuadrado de la suma, el cuadrado de la diferencia y la diferencia de los cuadrados. Ha notado que los nombres de estas expresiones no están completos, por lo que, por ejemplo, es, por supuesto, no solo el cuadrado de la suma, sino el cuadrado de la suma de ay b. Sin embargo, el cuadrado de la suma de ayb no es tan común, como regla, en lugar de las letras ayb, contiene expresiones diferentes, a veces bastante complejas.
Las expresiones son fáciles de transformar (simplificar) en polinomios de la forma estándar, de hecho, ya te has encontrado con esta tarea al multiplicar polinomios:
Las identidades obtenidas son útiles para recordar y aplicar sin cálculos intermedios. Breves formulaciones verbales ayudan a esto.
- el cuadrado de la suma es igual a la suma de los cuadrados y el producto duplicado.
- el cuadrado de la diferencia es igual a la suma de los cuadrados sin el producto duplicado.
- la diferencia de los cuadrados es igual al producto de la diferencia por la suma.
Estas tres identidades permiten en transformaciones reemplazar sus lados izquierdos con derechos y viceversa - lados derechos con izquierdos. Lo más difícil es ver las expresiones correspondientes y comprender qué reemplaza a las variables ayb en ellas. Veamos algunos ejemplos del uso de fórmulas de multiplicación abreviadas.
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Seguimos estudiando los fundamentos del álgebra. En esta lección, aprenderemos cómo expandir paréntesis en expresiones. Expandir paréntesis significa eliminar la expresión de esos paréntesis.
Para abrir paréntesis, necesita memorizar solo dos reglas. Con la práctica regular, puede abrir los corchetes con los ojos cerrados y las reglas que tuvo que memorizar se pueden olvidar con seguridad.
La primera regla para expandir corchetes
Considere la siguiente expresión:
El valor de esta expresión es 2 ... Expandamos los corchetes en esta expresión. Expandir paréntesis significa deshacerse de ellos sin afectar el significado de la expresión. Es decir, después de deshacerse de los paréntesis, el valor de la expresión 8+(−9+3) debería ser igual a dos.
La primera regla para expandir paréntesis es la siguiente:
Al expandir corchetes, si hay un signo más delante de los corchetes, este signo más se omite junto con los corchetes.
Entonces, vemos eso en la expresión 8+(−9+3) Hay una ventaja delante de los paréntesis. Este signo más debe omitirse junto con el paréntesis. En otras palabras, los corchetes desaparecerán junto con el signo más que estaba frente a ellos. Y lo que estaba entre paréntesis se escribirá sin cambios:
8−9+3 ... Esta expresion es 2 como la expresión anterior entre paréntesis era igual a 2 .
8+(−9+3) y 8−9+3
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
Ejemplo 2. Expandir paréntesis en una expresión 3 + (−1 − 4)
Hay una ventaja delante de los corchetes, lo que significa que esta ventaja se omite junto con los corchetes. Lo que estaba entre paréntesis permanecerá sin cambios:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
Ejemplo 3. Expandir paréntesis en una expresión 2 + (−1)
En este ejemplo, expandir los paréntesis se ha convertido en una especie de operación inversa, reemplazando la resta por la suma. Qué significa eso?
En la expresion 2−1 se produce la resta, pero se puede reemplazar por la suma. Entonces obtienes la expresión 2+(−1) ... Pero si en la expresion 2+(−1) abrir paréntesis, obtienes el original 2−1 .
Por lo tanto, la primera regla para expandir paréntesis se puede usar para simplificar expresiones después de algunas transformaciones. Es decir, deshacerse de los paréntesis y hacerlo más fácil.
Por ejemplo, simplifiquemos la expresión 2a + a - 5b + b .
Para simplificar esta expresión, podemos dar términos similares. Recuerde que para traer términos similares, debe sumar los coeficientes de dichos términos y multiplicar el resultado por la parte de la letra común:
Tengo una expresión 3a + (- 4b) ... Expandamos los corchetes en esta expresión. Hay un más delante de los corchetes, por lo que usamos la primera regla para expandir los corchetes, es decir, omitimos los corchetes junto con el más que viene antes de estos corchetes:
Entonces la expresión 2a + a - 5b + b simplifica a 3a - 4b .
Después de abrir algunos corchetes, otros pueden aparecer en el camino. Aplicamos las mismas reglas a ellos que a los primeros. Por ejemplo, expanda los paréntesis en la siguiente expresión:
Hay dos lugares donde debe expandir los paréntesis. En este caso, se aplica la primera regla para expandir paréntesis, a saber, la omisión de los paréntesis junto con el signo más que viene antes de estos paréntesis:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Ejemplo 3. Expandir paréntesis en una expresión 6+(−3)+(−2)
En ambos lugares donde hay paréntesis, hay una ventaja frente a ellos. Aquí nuevamente, se aplica la regla de expansión del primer paréntesis:
A veces, el primer término entre paréntesis no está firmado. Por ejemplo, en la expresión 1+(2+3−4) primer término entre paréntesis 2 escrito sin firmar. Surge la pregunta, ¿qué signo aparecerá delante de los dos después de que se omitan los paréntesis y el signo más delante de los paréntesis? La respuesta se sugiere a sí misma: habrá una ventaja frente al deuce.
De hecho, aun estando entre paréntesis, hay un más delante de los dos, pero no lo vemos por el hecho de que no está escrito. Ya dijimos que la notación completa de números positivos se parece a +1, +2, +3. Pero por tradición, las ventajas no se escriben, por eso vemos los números positivos que nos son familiares. 1, 2, 3 .
Por lo tanto, para expandir los paréntesis en la expresión 1+(2+3−4) , como de costumbre, debe omitir los corchetes junto con el signo más delante de estos corchetes, pero el primer término que estaba entre corchetes debe escribirse con un signo más:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Ejemplo 4. Expandir paréntesis en una expresión −5 + (2 − 3)
Hay un más delante de los corchetes, por lo que aplicamos la primera regla para expandir los corchetes, es decir, omitimos los corchetes junto con el más que viene antes de estos corchetes. Pero el primer término, que escribimos entre paréntesis con un signo más:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
Ejemplo 5 Expandir paréntesis en una expresión (−5)
Hay un signo más delante del paréntesis, pero no está escrito porque no había otros números o expresiones antes. Nuestra tarea es eliminar los corchetes aplicando la primera regla para expandir los corchetes, es decir, omitir los corchetes junto con este plus (incluso si es invisible)
Ejemplo 6. Expandir paréntesis en una expresión 2a + (−6a + b)
Hay un signo más delante de los corchetes, lo que significa que este signo más se omite junto con los corchetes. Lo que estaba entre paréntesis se escribirá sin cambios:
2a + (−6a + b) \u003d 2a −6a + b
Ejemplo 7 Expandir paréntesis en una expresión 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
Hay dos lugares en esta expresión donde necesita expandir los paréntesis. En ambas secciones, hay un signo más delante de los corchetes, lo que significa que este signo más se omite junto con los corchetes. Lo que estaba entre paréntesis se escribirá sin cambios:
5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) \u003d 5a −7b + 6c + 3a - 2d
Segunda regla para expandir los corchetes
Ahora veamos la segunda regla para expandir los corchetes. Se utiliza cuando hay un signo menos delante del paréntesis.
Si hay un signo menos delante de los corchetes, este signo se omite junto con los corchetes, pero los términos que estaban entre corchetes cambian su signo al opuesto.
Por ejemplo, expanda los paréntesis en la siguiente expresión
Vemos que hay un signo menos delante de los corchetes. Por lo tanto, debe aplicar la segunda regla de divulgación, es decir, omitir los paréntesis junto con el signo menos delante de estos paréntesis. En este caso, los términos que estaban entre paréntesis cambiarán su signo al contrario:
Tenemos una expresión sin corchetes 5+2+3 ... Esta expresión es igual a 10, al igual que la expresión anterior entre paréntesis era igual a 10.
Entonces entre las expresiones 5−(−2−3) y 5+2+3 puedes poner un signo igual, ya que son iguales al mismo valor:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
Ejemplo 2. Expandir paréntesis en una expresión 6 − (−2 − 5)
Hay un signo menos delante de los corchetes, por lo que aplicamos la segunda regla para expandir los corchetes, es decir, omitimos los corchetes junto con el signo menos delante de estos corchetes. En este caso, los términos que estaban entre paréntesis se escriben con signos opuestos:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
Ejemplo 3. Expandir paréntesis en una expresión 2 − (7 + 3)
Hay un signo menos delante de los corchetes, por lo que aplicamos la segunda regla para expandir los corchetes:
Ejemplo 4. Expandir paréntesis en una expresión −(−3 + 4)
Ejemplo 5 Expandir paréntesis en una expresión −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Hay dos lugares donde debe expandir los paréntesis. En el primer caso, debe aplicar la segunda regla para expandir corchetes, y cuando se trata de la expresión +(−9−2) necesitas aplicar la primera regla:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Ejemplo 6. Expandir paréntesis en una expresión - (- a - 1)
Ejemplo 7 Expandir paréntesis en una expresión - (4a + 3)
Ejemplo 8. Expandir paréntesis en una expresión una - (4b + 3) + 15
Ejemplo 9. Expandir paréntesis en una expresión 2a + (3b - b) - (3c + 5)
Hay dos lugares donde debe expandir los paréntesis. En el primer caso, debe aplicar la primera regla para expandir los corchetes, y cuando se trata de la expresión - (3c + 5) necesitas aplicar la segunda regla:
2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b - b - 3c - 5
Ejemplo 10 Expandir paréntesis en una expresión −a - (−4a) + (−6b) - (−8c + 15)
Hay tres lugares donde debe expandir los paréntesis. Primero, debe aplicar la segunda regla para expandir los corchetes, luego la primera y luego la segunda:
−a - (−4a) + (−6b) - (−8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15
Mecanismo de expansión de soporte
Las reglas de expansión de paréntesis que acabamos de observar se basan en la ley distributiva de la multiplicación:
De hecho soportes de apertura se llama el procedimiento cuando el factor común se multiplica por cada término entre paréntesis. Como resultado de esta multiplicación, los paréntesis desaparecen. Por ejemplo, expandamos los paréntesis en la expresión 3 × (4 + 5)
3 × (4 + 5) \u003d 3 × 4 + 3 × 5
Por lo tanto, si necesita multiplicar un número por una expresión entre paréntesis (o una expresión entre paréntesis para multiplicar por un número), debe decir expandir los corchetes.
Pero, ¿cómo se relaciona la ley de la multiplicación distributiva con las reglas para abrir corchetes que consideramos anteriormente?
El hecho es que hay un factor común antes del paréntesis. En el ejemplo 3 × (4 + 5) el factor común es 3 ... Y en el ejemplo a (b + c) el factor común es una variable a.
Si no hay números o variables delante de los corchetes, entonces el factor común es 1 o −1 , dependiendo del carácter que esté delante de los corchetes. Si hay un signo más delante del paréntesis, entonces el factor común es 1 ... Si hay un signo menos delante del paréntesis, entonces el factor común es −1 .
Por ejemplo, expandamos los paréntesis en la expresión - (3b - 1) ... Hay un signo menos delante de los corchetes, por lo que debe usar la segunda regla para expandir los corchetes, es decir, omita los corchetes junto con el signo menos delante de los corchetes. Y la expresión que estaba entre paréntesis debe escribirse con signos opuestos:
Expandimos los corchetes usando la regla de expansión de llaves. Pero los mismos corchetes se pueden abrir usando la ley de distribución de la multiplicación. Para hacer esto, primero escriba el factor común 1 delante de los corchetes, que no estaba escrito:
El signo menos que solía estar delante del paréntesis se refería a esta unidad. Ahora puede expandir los corchetes aplicando la ley de multiplicación distributiva. Para esto, el factor común −1 debes multiplicar por cada término entre paréntesis y agregar los resultados.
Por conveniencia, reemplazaremos la diferencia entre paréntesis con la suma:
−1 (3b −1) \u003d −1 (3b + (−1)) \u003d −1 × 3b + (−1) × (−1) \u003d −3b + 1
Como la última vez que obtuvimos la expresión −3b + 1 ... Todo el mundo estará de acuerdo en que esta vez ha sido necesario más tiempo para resolver un ejemplo tan sencillo. Por lo tanto, es más prudente usar las reglas listas para usar para expandir corchetes, que discutimos en esta lección:
Pero no está de más saber cómo funcionan estas reglas.
En esta lección, hemos aprendido otra transformación idéntica. Además de abrir corchetes, poner lo general entre paréntesis y traer términos similares, puede ampliar ligeramente la gama de problemas a resolver. Por ejemplo:
Aquí debe realizar dos pasos: primero abra los paréntesis y luego traiga términos similares. Entonces, en orden:
1) Expande los corchetes:
2) Damos términos similares:
En la expresión resultante −10b + (- 1) puedes expandir los corchetes:
Ejemplo 2. Expande los paréntesis y proporciona términos similares en la siguiente expresión:
1) Expandamos los corchetes:
2) Presentemos términos similares. Esta vez, para ahorrar tiempo y espacio, no escribiremos cómo se multiplican los coeficientes por la parte total de letras.
Ejemplo 3. Simplifica la expresión Los 8m + 3m y encuentra su valor en m \u003d −4
1) Primero simplifiquemos la expresión. Para simplificar la expresión Los 8m + 3m , puedes sacar el factor común en él metro fuera de los corchetes:
2) Encuentra el valor de la expresión m (8 + 3) a m \u003d −4 ... Para hacer esto, la expresión m (8 + 3) en lugar de una variable metro sustituir el número −4
m (8 + 3) \u003d −4 (8 + 3) \u003d −4 × 8 + (−4) × 3 \u003d −32 + (−12) \u003d −44
A + (b + c) se puede escribir sin paréntesis: a + (b + c) \u003d a + b + c. Esta operación se llama expansión de paréntesis.
Ejemplo 1.Expandamos los corchetes en la expresión a + (- b + c).
Decisión. a + (-b + c) \u003d a + ((-b) + c) \u003d a + (-b) + c \u003d a-b + c.
Si hay un signo "+" delante de los corchetes, entonces puede omitir los corchetes y este signo "+", manteniendo los signos de los términos entre corchetes. Si el primer término entre paréntesis se escribe sin signo, se debe escribir con un signo "+".
Ejemplo 2. Halla el valor de la expresión -2,87+ (2,87-7,639).
Decisión. Expandiendo los paréntesis, obtenemos - 2.87 + (2.87 - 7.639) \u003d - - 2.87 + 2.87 - 7.639 \u003d 0 - 7.639 \u003d - 7.639.
Para encontrar el valor de la expresión - (- 9 + 5), debes sumar números -9 y 5 y encuentre el número opuesto de la suma recibida: - (- 9 + 5) \u003d - (- 4) \u003d 4.
El mismo valor se puede obtener de una manera diferente: primero, escriba los números opuestos a los términos dados (es decir, cambie sus signos), y luego sume: 9 + (- 5) \u003d 4. Por lo tanto, - (- 9 + 5) \u003d 9 - 5 \u003d 4.
Para escribir la cantidad opuesta a la suma de varios términos, debe cambiar los signos de estos términos.
Por tanto, - (a + b) \u003d - a - b.
Ejemplo 3. Halla el valor de la expresión 16 - (10-18 + 12).
Decisión. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Para abrir los corchetes antes de los cuales hay un signo "-", debe reemplazar este signo con "+", cambiando los signos de todos los términos en los corchetes al opuesto, y luego expanda los corchetes.
Ejemplo 4. Halla el valor de la expresión 9.36- (9.36 - 5.48).
Decisión. 9.36 - (9.36 - 5.48) \u003d 9.36 + (- 9.36 + 5.48) \u003d \u003d 9.36 - 9.36 + 5.48 \u003d 0 -f 5.48 \u003d 5 , 48.
Abrir soportes y aplicar propiedades de desplazamiento y combinación adiciones le permite simplificar los cálculos.
Ejemplo 5 Halla el valor de la expresión (-4-20) + (6 + 13) - (7-8) -5.
Decisión. Primero abrimos los corchetes, luego encontramos por separado la suma de todos los números positivos y por separado la suma de todos los números negativos, y finalmente sumamos los resultados obtenidos:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
Ejemplo 6.Encuentra el valor de la expresión
Decisión.Primero, representamos cada término como la suma de sus partes enteras y fraccionarias, luego abrimos los corchetes, luego agregamos por separado el todo y por separado fraccionario partes y, finalmente, sumar los resultados obtenidos:
¿Cómo se abren los paréntesis precedidos por un signo "+"? ¿Cómo puedes encontrar el opuesto de la suma de varios números? ¿Cómo se expanden los paréntesis precedidos por un signo "-"?
1218. Amplíe los corchetes:
a) 3,4+ (2,6+ 8,3); c) m + (n-k);
b) 4.57+ (2.6 - 4.57); d) c + (- a + b).
1219. Halla el valor de la expresión:
1220. Expande el paréntesis:
a) 85+ (7,8+ 98); d) - (80-16) + 84; g) a- (b-k-n);
b) (4,7 -17) +7,5; e) -a + (m-2,6); h) - (a-b + c);
c) 64- (90 + 100); e) c + (- a-b); y) (m-n) - (p-k).
1221. Expande los corchetes y encuentra el significado de la expresión:
1222. Simplifica la expresión:
1223. Escribir la suma dos expresiones y simplificarlo:
a) - 4 - mym + 6,4; d) a + b y p - b
b) 1,1 + ay -26-a; e) - m + n y -k - n;
c) a + 13 y -13 + b; f) m - ny n - m.
1224. Escribe la diferencia de dos expresiones y simplifícala:
1226. Resuelve el problema usando la ecuación:
a) Hay 42 libros en un estante y 34 en el otro. Se sacaron varios libros del segundo estante, y del primero, tantos como quedaron en el segundo. Después de eso, quedaron 12 libros en el primer estante. ¿Cuántos libros se sacaron del segundo estante?
b) Hay 42 alumnos en el primer grado, en el segundo hay 3 alumnos menos que en el tercero. ¿Cuántos estudiantes hay en el tercer grado si hay 125 estudiantes en estos tres grados?
1227. Halla el valor de la expresión:
1228. Calcule oralmente:
1229. Encuentra el valor más grande de la expresión:
1230. Introduzca 4 números enteros consecutivos si:
a) el menor de ellos es -12; c) el menor de ellos es igual an;
b) el mayor de ellos es -18; d) el mayor de ellos es igual a k.