Lección de álgebra "Métodos para resolver ecuaciones de grados superiores

"Métodos para resolver ecuaciones de grados superiores"

( Lecturas de Kiselev)

Profesora de matemáticas L.A. Afanasyeva

Escuela secundaria MKOU Verkhnekarachanskaya

Distrito de Gribanovsky, región de Voronezh

2015 año

La educación matemática recibida en una escuela de educación general es un componente esencial de la educación general y la cultura general de una persona moderna.

El famoso matemático alemán Courant escribió: "Durante más de dos milenios, la posesión de algún conocimiento, no demasiado superficial, en el campo de las matemáticas fue un componente necesario en el inventario intelectual de toda persona educada". Y entre estos conocimientos, no el último lugar pertenece a la capacidad para resolver ecuaciones.

Ya en la antigüedad, la gente se dio cuenta de lo importante que es aprender a resolver ecuaciones algebraicas. Hace unos 4000 años, los científicos babilónicos dominaron la solución de una ecuación cuadrática y resolvieron sistemas de dos ecuaciones, una de las cuales es de segundo grado. Con la ayuda de ecuaciones, se resolvieron varios problemas de agrimensura, arquitectura y asuntos militares, se redujeron a ellos muchas y diversas cuestiones de práctica y ciencias naturales, ya que el lenguaje exacto de las matemáticas permite expresar simplemente hechos y relaciones, que , al presentarse en lenguaje corriente, puede parecer confuso y complejo. La ecuación es uno de los conceptos más importantes de las matemáticas. El desarrollo de métodos para resolver ecuaciones, comenzando con el inicio de las matemáticas como ciencia, ha sido durante mucho tiempo el tema principal del estudio del álgebra. Y hoy, en las lecciones de matemáticas, a partir de la primera etapa de la educación, se presta mucha atención a la resolución de ecuaciones de varios tipos.

No existe una fórmula universal para encontrar las raíces de una ecuación algebraica de enésimo grado. A muchos, por supuesto, se les ocurrió la tentadora idea de encontrar cualquier título norte fórmulas que expresarían las raíces de una ecuación en términos de sus coeficientes, es decir, resolverían la ecuación en radicales. Sin embargo, la "lúgubre Edad Media" resultó ser lo más lúgubre posible en relación con el problema en discusión: ¡nadie encontró las fórmulas requeridas durante siete siglos enteros! Solo en el siglo XVI los matemáticos italianos lograron avanzar, para encontrar fórmulas para norte =3 y norte =4 ... Al mismo tiempo, Scipio Dal Ferro, su alumno Fiori y Tartaglia se ocuparon de la cuestión de la solución general de ecuaciones de tercer grado. En 1545, se publicó el libro del matemático italiano D Cardano "El gran arte, o sobre las reglas del álgebra", donde, junto con otras cuestiones de álgebra, se consideran métodos generales de resolución de ecuaciones cúbicas, así como el método para resolviendo ecuaciones de 4º grado, descubierto por su alumno L. Ferrari. F. Viet brindó una exposición completa de cuestiones relacionadas con la solución de ecuaciones de 3º y 4º grados. Y en los años 20 del siglo XIX, el matemático noruego N. Abel demostró que las raíces de las ecuaciones de quinto y superior grado no se pueden expresar en términos de radicales.

El proceso de encontrar soluciones a una ecuación generalmente consiste en reemplazar la ecuación por una equivalente. Reemplazar una ecuación con un equivalente se basa en la aplicación de cuatro axiomas:

1. Si valores iguales se incrementan en el mismo número, los resultados serán iguales.

2. Si resta el mismo número de valores iguales, los resultados serán iguales.

3. Si se multiplican valores iguales por el mismo número, los resultados serán iguales.

4. Si se dividen valores iguales por el mismo número, los resultados serán iguales.

Dado que el lado izquierdo de la ecuación P (x) = 0 es un polinomio de grado n, es útil recordar las siguientes afirmaciones:

Declaraciones sobre las raíces de un polinomio y sus divisores:

1. Un polinomio de grado n tiene el número de raíces como máximo n, y las raíces de multiplicidad m ocurren exactamente m veces.

2. Un polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real.

3. Si α es una raíz de P (x), entonces P n (x) = (x - α) Q n - 1 (x), donde Q n - 1 (x) es un polinomio de grado (n - 1).

4. Cualquier raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros es un divisor del término libre.

5. El polinomio reducido con coeficientes enteros no puede tener raíces racionales fraccionarias.

6. Para un polinomio de grado 3

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d una de dos cosas es posible: o se descompone en un producto de tres binomios

Р 3 (x) = а (х - α) (х - β) (х - γ), o se puede descomponer en el producto de un binomio y un trinomio cuadrado Р 3 (x) = а (х - α) (х 2 + βх + γ).

7. Cualquier polinomio de cuarto grado se puede descomponer en el producto de dos trinomios cuadrados.

8. El polinomio f (x) es divisible por el polinomio g (x) sin residuo si hay un polinomio q (x) tal que f (x) = g (x) q (x). Para dividir polinomios, se aplica la regla de "división de esquinas".

9. Para la divisibilidad del polinomio P (x) en el binomio (x - c), es necesario y suficiente que c sea una raíz de P (x) (Corolario del teorema de Bezout).

10. Teorema de Vieta: si x 1, x 2, ..., x n son raíces reales del polinomio

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, entonces se mantienen las siguientes igualdades:

x 1 + x 2 + ... + x n = -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x norte - 1 x norte = a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x norte - 2 x norte - 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x norte = (-1) norte a norte / a 0.

Ejemplos de soluciones

Ejemplo 1 ... Encuentre el resto de dividir P (x) = x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 por (x - 1/3).

Solución. Como corolario del teorema de Bezout: "El resto de dividir un polinomio por un binomio (x - c) es igual al valor del polinomio en c". Encontremos Р (1/3) = 0. Por lo tanto, el resto es 0 y el número 1/3 es la raíz del polinomio.

Respuesta: R = 0.

Ejemplo 2 ... Dividir con una esquina 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 por (x + 2). Encuentra el resto y el cociente incompleto.

Solución:

2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 | x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 - x

X 2 - 2x

Respuesta: R = 3; privado: 2x 2 - x.

Métodos básicos para resolver ecuaciones de grados superiores.

1. Introducción de una nueva variable

El método para introducir una nueva variable es que para resolver la ecuación f (x) = 0, se introduce una nueva variable (sustitución) t = xn o t = g (x) y f (x) se expresa en términos de t, obteniendo una nueva ecuación r (t) ... Luego, resolviendo la ecuación r (t), se encuentran las raíces: (t 1, t 2,…, t n). Después de eso, se obtiene un conjunto de n ecuaciones q (x) = t 1, q (x) = t 2, ..., q (x) = t n, a partir del cual se encuentran las raíces de la ecuación original.

Ejemplo;(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Solución: (x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Reemplazo (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Reemplazo inverso:

x 2 + x + 1 = 2 o x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 o x 2 + x = 0;

De la primera ecuación: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, de la segunda: 0 y -1.

El método de introducir una nueva variable encuentra aplicación para resolver retornable ecuaciones, es decir, ecuaciones de la forma a 0 xn + a 1 xn - 1 + .. + an - 1 x + an = 0, en las que los coeficientes de los términos de la ecuación, igualmente espaciados desde el principio y el final, son iguales.

2. Factorización por agrupación y fórmulas de multiplicación reducida

La base de este método es agrupar los términos de tal manera que cada grupo contenga un factor común. Para hacer esto, a veces es necesario utilizar algunos métodos artificiales.

Ejemplo: x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Solución. Imagínese - 3x 2 = -2x 2 - x 2 y agrupe:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 = 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 = 0 o x 2 + x - 3 = 0.

En la primera ecuación no hay raíces, a partir de la segunda: x 1, 2 = (-1 ± √13) / 2.

3. Factorización por el método de coeficientes indefinidos

La esencia del método es que el polinomio original se descompone en factores con coeficientes desconocidos. Usando la propiedad de que los polinomios son iguales si sus coeficientes son iguales en los mismos grados, se encuentran los coeficientes de expansión desconocidos.

Ejemplo: x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Solución. Un polinomio de tercer grado se puede expandir en el producto de un factor lineal y cuadrado.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (segundo - a) x 2 + (c - ab) x - ac.

Habiendo resuelto el sistema:

obtener

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Las raíces de la ecuación (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 son fáciles de encontrar.

Respuesta 1; -2.

4. Método de selección de raíces basado en el coeficiente más alto y libre

El método se basa en la aplicación de teoremas:

1) Cualquier raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros es un divisor del término libre.

2) Para que la fracción irreducible p / q (p es un número entero, q es un número natural) sea raíz de una ecuación con coeficientes enteros, es necesario que el número p sea un divisor entero del término libre a 0 y q - un divisor natural del coeficiente principal.

Ejemplo: 6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Solución:

2: p = ± 1, ± 2

6: q = 1, 2, 3, 6.

Por lo tanto, p / q = ± 1, ± 2, ± 1/2, ± 1/3, ± 2/3, ± 1/6.

Habiendo encontrado una raíz, por ejemplo - 2, encontramos otras raíces usando la división por ángulo, el método de coeficientes indefinidos o el esquema de Horner.

Respuesta: -2; 1/2; 1/3.

5. Método gráfico.

Este método consiste en trazar gráficos y utilizar las propiedades de las funciones.

Ejemplo: x 5 + x - 2 = 0

Representemos la ecuación en la forma x 5 = - x + 2. La función y = x 5 es creciente y la función y = - x + 2 es decreciente. Por tanto, la ecuación x 5 + x - 2 = 0 tiene una sola raíz -1.

6. Multiplicación de una ecuación por una función.

A veces, la solución de una ecuación algebraica se vuelve mucho más fácil si multiplica sus dos partes por alguna función: un polinomio en la incógnita. Debe recordarse que pueden aparecer raíces adicionales: las raíces del polinomio por el que se multiplicó la ecuación. Por lo tanto, uno debe multiplicar por un polinomio que no tiene raíces y obtener una ecuación equivalente, o multiplicar por un polinomio que tiene raíces, y luego cada una de estas raíces debe sustituirse en la ecuación original y establecer si este número es su raíz.

Ejemplo. Resuelve la ecuación:

X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1 = 0. (1)

Solución: Multiplicando ambos lados de la ecuación por el polinomio X 2 + 1, que no tiene raíces, obtenemos la ecuación:

(X 2 +1) (X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1) = 0 (2)
equivalente a la ecuación (1). La ecuación (2) se puede escribir como:

X 10 + 1 = 0 (3)
Está claro que la ecuación (3) no tiene raíces reales, por lo tanto, la ecuación (1) no las tiene.

Respuesta: sin soluciones.

Además de los métodos anteriores para resolver ecuaciones de grados superiores, existen otros. Por ejemplo, selección de un cuadrado completo, esquema de Horner, representación de una fracción en forma de dos fracciones. De los métodos generales para resolver ecuaciones de grados superiores, que son los más comunes, utilizan: el método de factorizar el lado izquierdo de la ecuación en factores;

método para cambiar una variable (método para introducir una nueva variable); forma gráfica. Presentamos estos métodos a los estudiantes de noveno grado cuando estudian el tema "Toda la ecuación y sus raíces". En el libro de texto Álgebra 9 (autores Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G y otros) de los últimos años de publicación, los principales métodos para resolver ecuaciones de grados superiores se consideran con suficiente detalle. Además, en el apartado "Para los que quieran saber más", en mi opinión, se presenta el material sobre la aplicación de teoremas sobre la raíz de un polinomio y raíces integrales de una ecuación completa en la resolución de ecuaciones de grados superiores. Los estudiantes bien preparados estudian este material con interés y luego presentan las ecuaciones resueltas a sus compañeros de clase.

Casi todo lo que nos rodea está conectado de una forma u otra con las matemáticas. Y los logros en física, ingeniería y tecnología de la información solo lo confirman. Y lo que es muy importante: la solución de muchos problemas prácticos se reduce a resolver varios tipos de ecuaciones que se deben aprender a resolver.

El texto de la obra se coloca sin imágenes ni fórmulas.
La versión completa del trabajo está disponible en la pestaña "Archivos de trabajo" en formato PDF.

Introducción

Resolver ecuaciones algebraicas de grados superiores con una incógnita es uno de los problemas matemáticos más difíciles y antiguos. Los matemáticos más destacados de la antigüedad se ocuparon de estos problemas.

Resolver ecuaciones de enésimo grado también es una tarea importante para las matemáticas modernas. El interés en ellos es bastante grande, ya que estas ecuaciones están estrechamente relacionadas con la búsqueda de las raíces de ecuaciones que no se consideran en el currículo escolar en matemáticas.

Problema: La falta de habilidad para resolver ecuaciones de grados superiores de diversas formas entre los estudiantes les impide prepararse exitosamente para la certificación final en matemáticas y olimpíadas matemáticas, impartiendo clases en una clase de matemática especializada.

Los hechos enumerados determinados Relevancia de nuestro trabajo "Resolución de ecuaciones de grados superiores".

La posesión de las formas más sencillas de resolver ecuaciones de enésimo grado reduce el tiempo para completar la tarea, de la que dependen el resultado del trabajo y la calidad del proceso de aprendizaje.

Objeto del trabajo: estudio de métodos conocidos para la resolución de ecuaciones de grado superior e identificación de los más accesibles para su uso práctico.

Con base en este objetivo, el trabajo identificó lo siguiente Tareas:

Estudiar la literatura y los recursos de Internet sobre este tema;

Familiarícese con los hechos históricos relacionados con este tema;

Describir las diferentes formas de resolver ecuaciones de grado superior.

comparar el grado de complejidad de cada uno de ellos;

Familiarizar a los compañeros de clase con los métodos para resolver ecuaciones de grados superiores;

Cree un conjunto de ecuaciones para la aplicación práctica de cada uno de los métodos considerados.

Objeto de estudio- ecuaciones de grados superiores con una variable.

Tema de estudio- formas de resolver ecuaciones de grados superiores.

Hipótesis: No existe un método general y un algoritmo unificado que permita encontrar soluciones a ecuaciones de enésimo grado en un número finito de pasos.

Métodos de búsqueda:

- método bibliográfico (análisis de la literatura sobre el tema de investigación);

- método de clasificación;

- método de análisis cualitativo.

Significado teórico la investigación consiste en la sistematización de métodos para la resolución de ecuaciones de grados superiores y la descripción de sus algoritmos.

Significado práctico- el material presentado sobre este tema y el desarrollo de un libro de texto para estudiantes sobre este tema.

1 ECUACIONES DE GRADOS MAYORES

1.1 El concepto de una ecuación de n-ésimo grado

Definición 1. Una ecuación de enésimo grado es una ecuación de la forma

a 0 xⁿ + a 1 X norte -1 + un 2 xⁿ - ² + ... + a norte -1 x + a n = 0, donde los coeficientes a 0, a 1, a 2…, a norte -1, a n- cualquier número real, y , a 0 ≠ 0 .

Polinomio a 0 xⁿ + a 1 X norte -1 + un 2 xⁿ - ² + ... + a norte -1 x + a n se llama polinomio de grado n. Los coeficientes se distinguen por sus nombres: a 0 - coeficiente senior; a n es un miembro gratuito.

Definición 2. Soluciones o raíces para una ecuación dada son todos los valores de la variable NS, que convierten esta ecuación en una verdadera igualdad numérica o, en la que el polinomio a 0 xⁿ + a 1 X norte -1 + un 2 xⁿ - ² + ... + a norte -1 x + a n desaparece. Este valor de la variable NS también se llama la raíz del polinomio. Resolver una ecuación significa encontrar todas sus raíces o establecer que no existen.

Si a 0 = 1, entonces dicha ecuación se llama ecuación racional completa reducida n th la licenciatura.

Para las ecuaciones de tercer y cuarto grados, existen fórmulas de Cardano y Ferrari que expresan las raíces de estas ecuaciones en términos de radicales. Resultó que, en la práctica, rara vez se utilizan. Por lo tanto, si n ≥ 3 y los coeficientes del polinomio son números reales arbitrarios, entonces encontrar las raíces de la ecuación no es una tarea fácil. Sin embargo, en muchos casos especiales, este problema se resuelve hasta el final. Detengámonos en algunos de ellos.

1.2 Hechos históricos de la resolución de ecuaciones de grados superiores

Una fórmula universal para encontrar las raíces de una ecuación algebraica. enésimo grado no. Muchos, por supuesto, tuvieron la tentadora idea de encontrar para cualquier potencia n fórmulas que expresarían las raíces de la ecuación en términos de sus coeficientes, es decir, resolverían la ecuación en radicales.

Solo en el siglo XVI, los matemáticos italianos lograron avanzar más, para encontrar fórmulas para n = 3 y n = 4. Al mismo tiempo, Escipión, Dal, Ferro y sus estudiantes Fiori y Tartaglia estaban comprometidos con la cuestión de la solución general. de ecuaciones de 3er grado.

En 1545 se publicó el libro del matemático italiano D. Cardano "El gran arte, o las reglas del álgebra", donde, junto con otras cuestiones de álgebra, se consideraron métodos generales de resolución de ecuaciones cúbicas, así como el método para resolviendo ecuaciones de 4º grado, descubierto por su alumno L. Ferrari.

F. Viet brindó una completa exposición de cuestiones relacionadas con la solución de ecuaciones de tercer y cuarto grados.

En los años 20 del siglo XIX, el matemático noruego N. Abel demostró que las raíces de las ecuaciones de quinto grado no se pueden expresar en términos de radicales.

En el curso del estudio, se reveló que la ciencia moderna conoce muchas formas de resolver ecuaciones de enésimo grado.

La búsqueda de métodos para resolver ecuaciones de grados superiores que no pueden ser resueltos por los métodos considerados en el currículo escolar resultó en métodos basados en la aplicación del teorema de Vieta (para ecuaciones de grado n> 2), Los teoremas de Bezout, los esquemas de Horner, así como la fórmula de Cardano y Ferrari para resolver ecuaciones cúbicas y de cuarto grado.

El artículo presenta métodos para resolver ecuaciones y sus tipos, que se convirtieron en un descubrimiento para nosotros. Estos incluyen: el método de coeficientes indefinidos, la selección de ecuaciones simétricas de grado completo.

2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES INTEGRALES DE GRADOS MÁS ALTOS CON COEFICIENTES INTEGRALES

2.1 Resolución de ecuaciones de tercer grado. Fórmula D. Cardano

Considere ecuaciones de la forma X 3 + px + q = 0. Transformamos la ecuación general a la forma: X 3 + px 2 + qx + r = 0. Escribamos la fórmula para el cubo de la suma; Lo agregamos a la igualdad original y lo reemplazamos con y... Obtenemos la ecuación: y 3 + (q -) (y -) + (r - = 0. Después de las transformaciones, tenemos: y 2 + py + q = 0. Ahora, de nuevo, escribe la fórmula para el cubo de suma:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b), reemplazar ( a + b)sobre X, obtenemos la ecuación X 3 - 3abx - (a 3 + b 3) = 0. Ahora puede ver que la ecuación original es equivalente al sistema: y Resolviendo el sistema, obtenemos:

Hemos obtenido una fórmula para resolver la ecuación reducida de 3er grado. Lleva el nombre del matemático italiano Cardano.

Veamos un ejemplo. Resuelve la ecuación:.

Tenemos R= 15 y q= 124, luego usando la fórmula de Cardano calculamos la raíz de la ecuación

Conclusión: esta fórmula es buena, pero no adecuada para resolver todas las ecuaciones cúbicas. Sin embargo, es engorroso. Por lo tanto, en la práctica, rara vez se usa.

Pero quien domine esta fórmula puede usarla al resolver ecuaciones de tercer grado en el examen.

2.2 Teorema de Vieta

Por el curso de matemáticas, conocemos este teorema para una ecuación cuadrática, pero pocas personas saben que también se usa para resolver ecuaciones de grados superiores.

Considere la ecuación:

factorizar el lado izquierdo de la ecuación, dividir por ≠ 0.

Transformamos el lado derecho de la ecuación a la forma

; de esto se deduce que las siguientes igualdades se pueden escribir en el sistema:

Las fórmulas derivadas por Viet para ecuaciones cuadráticas y demostradas por nosotros para ecuaciones de tercer grado también son válidas para polinomios de grados superiores.

Resolvamos la ecuación cúbica:

Conclusión: este método es universal y lo suficientemente fácil de entender para los estudiantes, ya que el teorema de Vieta les es familiar en el plan de estudios de la escuela para n = 2. Al mismo tiempo, para encontrar las raíces de las ecuaciones usando este teorema, uno debe tener buenas habilidades computacionales.

2.3 Teorema de Bezout

Este teorema lleva el nombre del matemático francés del siglo XVIII J. Bezout.

Teorema. Si la ecuación a 0 xⁿ + a 1 X norte -1 + un 2 xⁿ - ² + ... + a norte -1 x + a n = 0, en el que todos los coeficientes son números enteros y el término libre es distinto de cero, tiene una raíz entera, entonces esta raíz es un divisor del término libre.

Considerando que en el lado izquierdo de la ecuación hay un polinomio de grado n, el teorema tiene una interpretación diferente.

Teorema. Al dividir un polinomio de grado n con respecto a X binomio x - a el resto es igual al valor del dividendo en x = a... (carta a puede denotar cualquier número real o imaginario, es decir cualquier número complejo).

Prueba: permitir f (x) denota un polinomio arbitrario de n-ésimo grado con respecto a la variable x y sea, al dividir por el binomio ( x-a) sucedió en privado q (x), y en el resto R... Es obvio que q (x) habrá algún polinomio (n - 1) grado con respecto a X y el resto R será un valor constante, es decir independiente de X.

Si el resto R fuera un polinomio de primer grado con respecto ax, entonces esto significaría que la división no se satisface. Entonces, R de X no depende. Por la definición de división, obtenemos la identidad: f (x) = (x-a) q (x) + R.

La igualdad es válida para cualquier valor de x, lo que significa que también es válida para x = a, obtenemos: f (a) = (a-a) q (a) + R... Símbolo f (un) denota el valor del polinomio f (X) a x = a, q (a) denota el valor q (x) a x = a. Recordatorio R permaneció igual que antes, ya que R de X no depende. Trabaja ( x-a) q (a) = 0, ya que el factor ( x-a) = 0, y el factor q (a) hay un cierto número. Por tanto, de la igualdad obtenemos: f (a) = R, h.t.d.

Ejemplo 1. Encuentra el resto de la división de un polinomio X 3 - 3X 2 + 6X- 5 para binomio

X- 2. Por el teorema de Bezout : R = f(2) = 23-322 + 62-5 = 3. Respuesta: R = 3.

Tenga en cuenta que el teorema de Bezout es importante no tanto en sí mismo como en sus consecuencias. (Anexo 1)

Detengámonos en algunos métodos para aplicar el teorema de Bezout a la resolución de problemas prácticos. Cabe señalar que al resolver ecuaciones utilizando el teorema de Bezout, es necesario:

Encuentre todos los divisores enteros del término libre;

Encuentre al menos una raíz de la ecuación de estos divisores;

Divide el lado izquierdo de la ecuación por (Decir ah);

Escribe el producto del divisor y el cociente en el lado izquierdo de la ecuación;

Resuelve la ecuación resultante.

Considere, por ejemplo, resolver la ecuación x 3 + 4NS 2 + x - 6 = 0 .

Solución: encuentra los divisores del término libre ± 1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Calculemos los valores en x = 1, 1 3 + 41 2 + 1- 6 = 0. Divida el lado izquierdo de la ecuación por ( NS- 1). Realizaremos la división "con esquina", obtenemos:

Conclusión: El teorema de Bezout, una de las formas que consideramos en nuestro trabajo, se estudia en el programa de clases opcionales. Es difícil de entender, porque para poseerlo, necesita conocer todas las consecuencias de él, pero al mismo tiempo, el teorema de Bezout es uno de los principales asistentes de los estudiantes en el examen.

2.4 El esquema de Horner

Para dividir un polinomio por un binomio x-α puede utilizar un truco sencillo especial inventado por matemáticos ingleses del siglo XVII, más tarde llamado el esquema de Horner. Además de encontrar las raíces de las ecuaciones, según el esquema de Horner, es más fácil calcular sus valores. Para ello, es necesario sustituir el valor de la variable en el polinomio Pn (x) = a 0 xn + a 1 X n-1 + un 2 xⁿ - ² +… ++ a norte -1 x + a norte. (1)

Considere la división del polinomio (1) por el binomio X-α.

Expresemos los coeficientes del cociente incompleto b 0 xⁿ - ¹+ B 1 xⁿ - ²+ B 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 y el resto r en términos de los coeficientes del polinomio Pn ( X) y el número α. B 0 = a 0 , B 1 = α B 0 + un 1 , B 2 = α B 1 + un 2 …, bn -1 =

= α bn -2 + un norte -1 = α bn -1 + un norte .

Los cálculos según el esquema de Horner se presentan en forma de la siguiente tabla:

	a 0	a 1	a 2 ,
	B 0 = a 0	B 1 = α B 0 + un 1	B 2 = α B 1 + un 2		r = α B n-1 + un norte

En la medida en r = Pn (α), entonces α es la raíz de la ecuación. Para comprobar si α es una raíz múltiple, se puede aplicar el esquema de Horner al cociente b 0 x + B 1 x + ... + bn -1 según la tabla. Si en la columna debajo de bn -1 resulta 0 nuevamente, entonces α es una raíz múltiple.

Considere un ejemplo: resuelva la ecuación NS 3 + 4NS 2 + x - 6 = 0.

Aplicamos la factorización del polinomio en el lado izquierdo de la ecuación, el esquema de Horner en el lado izquierdo de la ecuación.

Solución: encuentra los divisores del término libre ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

Los cocientes son los números 1, 5, 6 y el resto es r = 0.

Medio, NS 3 + 4NS 2 + NS - 6 = (NS - 1) (NS 2 + 5NS + 6) = 0.

Por eso: NS- 1 = 0 o NS 2 + 5NS + 6 = 0.

NS = 1, NS 1 = -2; NS 2 = -3. Respuesta: 1,- 2, - 3.

Conclusión: Por lo tanto, en una ecuación, mostramos el uso de dos métodos diferentes para factorizar polinomios. En nuestra opinión, el esquema de Horner es el más práctico y económico.

2.5 Resolución de ecuaciones de 4º grado. Método Ferrari

El alumno de Cardano, Ludovic Ferrari, descubrió una forma de resolver la ecuación de cuarto grado. El método Ferrari consta de dos pasos.

Etapa I: las ecuaciones de la forma se representan en forma de producto de dos trinomios cuadrados, esto se deduce del hecho de que la ecuación es de 3er grado y al menos una solución.

Etapa II: las ecuaciones obtenidas se resuelven mediante factorización, sin embargo, para encontrar la factorización requerida, es necesario resolver ecuaciones cúbicas.

La idea es representar las ecuaciones en la forma A 2 = B 2, donde A = X 2 + s,

Función B-lineal de X... Entonces queda por resolver las ecuaciones A = ± B.

Para mayor claridad, considere la ecuación: Aislemos el cuarto grado, obtenemos: Para cualquier D la expresión será un cuadrado perfecto. Sumando a ambos lados de la ecuación obtenemos

En el lado izquierdo hay un cuadrado completo, puedes recoger D de modo que el lado derecho (2) también se convierta en un cuadrado completo. Imaginemos que lo hemos logrado. Entonces nuestra ecuación se ve así:

Encontrar la raíz después no será difícil. Para elegir el correcto D es necesario que el discriminante del lado derecho de (3) desaparezca, es decir

Entonces para encontrar D, es necesario resolver esta ecuación de 3er grado. Tal ecuación auxiliar se llama resolución.

Podemos encontrar fácilmente la raíz completa del resolutivo: d = 1

Sustituyendo la ecuación en (1), obtenemos

Conclusión: el método de Ferrari es universal, pero complicado y engorroso. Al mismo tiempo, si el algoritmo de solución es claro, entonces las ecuaciones de cuarto grado se pueden resolver con este método.

2.6 Método de coeficientes indefinidos

El éxito de resolver la ecuación del cuarto grado por el método de Ferrari depende de si resolvemos el resolutivo, la ecuación del tercer grado, que, como sabemos, no siempre es posible.

La esencia del método de coeficientes indefinidos es que se adivina el tipo de factores en los que se descompone un polinomio dado, y los coeficientes de estos factores (también polinomios) se determinan multiplicando los factores e igualando los coeficientes en los mismos grados de la variable.

Ejemplo: Resuelve la ecuación:

Suponga que el lado izquierdo de nuestra ecuación se puede descomponer en dos trinomios cuadrados con coeficientes enteros tales que la identidad

Obviamente, los coeficientes frente a la uni deben ser iguales a 1, y los términos libres deben ser iguales a uno. + 1, el otro tiene 1.

Los coeficientes delante de NS... Denotémoslos por a y para determinarlos, multiplicamos ambos trinomios en el lado derecho de la ecuación.

Como resultado, obtenemos:

Igualar los coeficientes en los mismos grados NS en los lados izquierdo y derecho de la igualdad (1), obtenemos un sistema para encontrar y

Habiendo resuelto este sistema, tendremos

Entonces, nuestra ecuación es equivalente a la ecuación

Una vez resuelto, obtenemos las siguientes raíces :.

El método de coeficientes indefinidos se basa en las siguientes afirmaciones: cualquier polinomio de cuarto grado en la ecuación puede descomponerse en el producto de dos polinomios de segundo grado; dos polinomios son idénticamente iguales si y solo si sus coeficientes son iguales en los mismos grados NS.

2.7 Ecuaciones simétricas

Definición. Una ecuación de la forma se llama simétrica si los primeros coeficientes de la izquierda en la ecuación son iguales a los primeros coeficientes de la derecha.

Vemos que los primeros coeficientes de la izquierda son iguales a los primeros coeficientes de la derecha.

Si tal ecuación tiene un grado impar, entonces tiene la raíz NS= - 1. A continuación, podemos reducir el grado de la ecuación dividiéndola entre ( x + 1). Resulta que cuando la ecuación simétrica se divide por ( x + 1) Se obtiene una ecuación simétrica de grado par. La prueba de la simetría de los coeficientes se presenta a continuación. (Apéndice 6) Nuestra tarea es aprender a resolver ecuaciones simétricas de grado par.

Por ejemplo: (1)

Resolvemos la ecuación (1), dividimos por NS 2 (medio) = 0.

Agrupemos los términos con simétrico

) + 3(X+. Nosotros denotamos a= X+, cuadraremos ambos lados, por lo tanto = a 2 Entonces, 2 ( a 2 o 2 a 2 + 3 resolviendo la ecuación, obtenemos a = , a= 3. A continuación, volvamos a reemplazar X+ = y X+ = 3. Obtenemos las ecuaciones y La primera no tiene solución y la segunda tiene dos raíces. Respuesta:.

Conclusión: este tipo de ecuaciones no se encuentra a menudo, pero si se encuentra con él, se puede resolver fácil y simplemente sin recurrir a cálculos engorrosos.

2.8 Aislamiento del grado completo

Considere la ecuación.

El lado izquierdo es el cubo de la suma (x + 1), es decir

Extraemos la raíz del tercer grado de ambas partes:, luego obtenemos

¿Dónde está la única raíz?

RESULTADOS DEL ESTUDIO

Con base en los resultados del trabajo, llegamos a las siguientes conclusiones:

Gracias a la teoría estudiada, nos familiarizamos con varios métodos para resolver ecuaciones completas de grados superiores;

La fórmula de D. Cardano es difícil de aplicar y da una alta probabilidad de cometer errores en el cálculo;

- El método de L. Ferrari permite reducir la solución de una ecuación de cuarto grado a una cúbica;

- El teorema de Bezout se puede aplicar tanto para ecuaciones cúbicas como para ecuaciones de cuarto grado; es más comprensible y visual cuando se aplica a la solución de ecuaciones;

El esquema de Horner ayuda a reducir y simplificar significativamente los cálculos al resolver ecuaciones. Además de encontrar las raíces, según el esquema de Horner, es más fácil calcular los valores de los polinomios en el lado izquierdo de la ecuación;

De particular interés fue la solución de ecuaciones por el método de coeficientes indefinidos, la solución de ecuaciones simétricas.

En el transcurso del trabajo de investigación, se encontró que los estudiantes se familiarizan con los métodos más simples para resolver ecuaciones del más alto grado en las clases optativas de matemáticas, a partir del noveno o décimo grado, así como en los cursos especiales de matemática visitante. escuelas. Este hecho fue establecido como resultado de una encuesta a profesores de matemáticas de MBOU "Escuela Secundaria No. 9" y estudiantes que mostraron un mayor interés en la asignatura de "matemáticas".

Los métodos más populares para resolver ecuaciones de grados superiores, que se encuentran en la resolución de Olimpiadas, problemas competitivos y como resultado de la preparación de los estudiantes para los exámenes, son métodos basados en la aplicación del teorema de Bezout, el esquema de Horner y la introducción de una nueva variable.

Demostración de los resultados del trabajo de investigación, p. Ej. formas de resolver ecuaciones que no se estudian en el currículo escolar en matemáticas, compañeros interesados.

Conclusión

Habiendo estudiado literatura educativa y científica, recursos de Internet en foros educativos para jóvenes.

Marina A. Trifanova
profesor de matemáticas, MOU "Gymnasium No. 48 (multidisciplinario)", Talnakh

La meta trina de la lección:

Educativo:
sistematización y generalización de conocimientos sobre la solución de ecuaciones de grados superiores.
Desarrollando:
promover el desarrollo del pensamiento lógico, la capacidad de trabajar de forma independiente, las habilidades de control mutuo y autocontrol, la capacidad de hablar y escuchar.
Educativo:
desarrollar un hábito de empleo constante, fomentar la capacidad de respuesta, el trabajo duro, la precisión.

Tipo de lección:

una lección sobre la aplicación compleja de conocimientos, habilidades y habilidades.

Formulario de lección:

aireación, entrenamiento físico, diversas formas de trabajo.

Equipo:

notas de apoyo, tarjetas con asignaciones, matriz de seguimiento de la lección.

DURANTE LAS CLASES

I. Momento organizativo

Comunicar el propósito de la lección a los estudiantes.
Verificación de tareas (Apéndice 1). Trabaje con notas de referencia (Apéndice 2).

Las ecuaciones y las respuestas para cada uno de ellos están escritas en la pizarra. Los alumnos comprueban las respuestas y hacen un análisis rápido de la solución de cada ecuación o responden a las preguntas del profesor (encuesta frontal). Autocontrol: los estudiantes se asignan calificaciones y entregan los cuadernos de ejercicios al maestro para que los corrija o apruebe. La escuela primaria está escrita en la pizarra:

“5+” - 6 ecuaciones;
“5” - 5 ecuaciones;
“4” - 4 ecuaciones;
“3” - 3 ecuaciones.

Preguntas sobre la tarea del maestro:

1 ecuación

¿Qué cambio de variables se realiza en la ecuación?
¿Qué ecuación se obtiene después de cambiar las variables?

2 ecuación

¿En qué polinomio se dividieron ambos lados de la ecuación?
¿Qué cambio de variables se obtuvo?

3 ecuación

¿Qué polinomios deben multiplicarse para simplificar la solución de esta ecuación?

4 ecuación

Nombra la función f (x).
¿Cómo se encontraron el resto de raíces?

Ecuación 5

¿Cuántos huecos se obtuvieron para resolver la ecuación?

6 ecuación

¿De qué formas podría resolverse esta ecuación?
¿Qué solución es más racional?

II. El trabajo en grupo es la parte principal de la lección.

La clase se divide en 4 grupos. A cada grupo se le entrega una tarjeta con preguntas teóricas y prácticas (Apéndice 3): "Deconstruya el método propuesto para resolver la ecuación y explíquelo usando este ejemplo".

Trabajo en grupo 15 minutos.
Los ejemplos están escritos en la pizarra (la pizarra está dividida en 4 partes).
El informe de grupo tarda de 2 a 3 minutos.
El profesor corrige los informes de los grupos y ayuda en caso de dificultad.

El trabajo en grupo continúa en las tarjetas 5 a 8. Cada ecuación tiene 5 minutos para la discusión en grupo. Luego hay un informe sobre esta ecuación en la junta: un breve análisis de la solución. Es posible que la ecuación no se resuelva por completo; se está finalizando en casa, pero la secuencia de su solución en el aula se discute por todas partes.

III. Trabajo independiente. Apéndice 4.

Cada estudiante recibe una tarea individual.
El tiempo de trabajo dura 20 minutos.
5 minutos antes del final de la lección, el maestro da respuestas abiertas para cada ecuación.
Los estudiantes cambian los cuadernos en un círculo y verifican las respuestas de un amigo. Dar marcas.
Los cuadernos se entregan al maestro para que revise y corrija las calificaciones.

IV. Resumen de la lección.

Tarea.

Consulte la solución a ecuaciones inconclusas. Prepárese para una rebanada de control.

Calificación.

Al resolver ecuaciones algebraicas, a menudo tienes que factorizar un polinomio. Factorizar un polinomio significa representarlo como un producto de dos o más polinomios. Usamos algunos métodos de descomposición de polinomios con bastante frecuencia: eliminación de un factor común, aplicación de fórmulas de multiplicación abreviadas, selección de un cuadrado completo, agrupación. Consideremos algunos métodos más.

A veces, las siguientes declaraciones son útiles al factorizar un polinomio:

1) si un polinomio con coeficientes enteros tiene una raíz racional (donde es una fracción irreducible, entonces es el divisor del término libre y el divisor del coeficiente principal:

2) Si de alguna manera se elige la raíz de un polinomio de grado, entonces el polinomio se puede representar en la forma donde es un polinomio de grado

El polinomio se puede encontrar dividiendo el polinomio por la "columna" binomial, o por la agrupación correspondiente de los términos del polinomio y extrayendo un factor de ellos, o por el método de coeficientes indefinidos.

Ejemplo. Polinomio factorial

Solución. Dado que el coeficiente en x4 es 1, las raíces racionales de este polinomio existen, son divisores del número 6, es decir, pueden ser números enteros ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Denotamos este polinomio por P4 (x). Dado que Р Р4 (1) = 4 y Р4 (-4) = 23, los números 1 y -1 no son las raíces del polinomio PA (x). Como P4 (2) = 0, entonces x = 2 es una raíz del polinomio P4 (x) y, por lo tanto, este polinomio es divisible por el binomio x - 2. Por lo tanto, x4 -5x3 + 7x2 -5x +6 x -2 x4 -2x3 x3 -3x2 + x-3

3x3 + 7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6x2- 2x

Por lo tanto, P4 (x) = (x - 2) (x3 - 3x2 + x - 3). Dado que xz - Zx2 + x - 3 = x2 (x - 3) + (x - 3) = (x - 3) (x2 + 1), entonces x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 = (x - 2) ( x - 3) (x2 + 1).

Método de introducción de parámetros

A veces, al factorizar un polinomio en factores, el método de introducir un parámetro ayuda. La esencia de este método se ilustra con el siguiente ejemplo.

Ejemplo. x3 - (√3 + 1) x2 + 3.

Solución. Considere un polinomio con parámetro a: x3 - (a + 1) x2 + a2, que para a = √3 se convierte en un polinomio dado. Escribimos este polinomio como un trinomio cuadrado con respecto a a: a - ax2 + (x3 - x2).

Dado que las raíces de este trinomio cuadrado con respecto a a son a1 = x y a2 = x2 - x, la igualdad a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x) (a - x2 + x) es verdadera. Por lo tanto, el polinomio x3 - (√3 + 1) x2 + 3 se descompone en factores √3 - x y √3 - x2 + x, es decir

x3 - (√3 + 1) x2 + 3 = (x-√3) (x2-x-√3).

Método de introducción de una nueva incógnita

En algunos casos, reemplazando la expresión f (x) incluida en el polinomio Pn (x), a través de y es posible obtener un polinomio con respecto ay, que ya se puede factorizar fácilmente. Luego, después de reemplazar y por f (x), obtenemos una factorización del polinomio Pn (x).

Ejemplo. Factoriza el polinomio x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15.

Solución. Transformamos este polinomio de la siguiente manera: x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15 = [x (x + 3)] [(x + 1) (x + 2)] - 15 = ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

Denotemos x2 + 3x por y. Entonces tenemos y (y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1-16 = (y + 1) 2-16 = (y + 1 + 4) (y + 1-4) = (y + 5) (y - 3).

Por lo tanto, x (x + 1) (x + 2) (x + 3) - 15 = (x2 + 3x + 5) (x2 + 3x - 3).

Ejemplo. Factorizar el polinomio (x-4) 4+ (x + 2) 4

Solución. Denotemos x- 4 + x + 2 = x - 1 a través de y.

(x - 4) 4 + (x + 2) 2 = (y - 3) 4 + (y + 3) 4 = y4 - 12y3 + 54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =

2y4 + 108y2 + 162 = 2 (y4 + 54y2 + 81) = 2 [(y2 + 27) 2-648] = 2 (y2 + 27 - √b48) (y2 + 27 + √b48) =

2 ((x-1) 2 + 27-√b48) ((x-1) 2 + 27 + √b48) = 2 (x2-2x + 28-18√2) (x2- 2x + 28 + 18√ 2 ).

Combinando diferentes métodos

A menudo, al factorizar un polinomio en factores, es necesario aplicar secuencialmente varios de los métodos discutidos anteriormente.

Ejemplo. Factoriza el polinomio x4 - 3x2 + 4x-3.

Solución. Usando la agrupación, reescribimos el polinomio como x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3).

Aplicando el método de asignar un cuadrado completo al primer corchete, tenemos x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

Aplicando la fórmula del cuadrado completo, ahora podemos escribir que x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1) 2 - (x - 2) 2.

Finalmente, aplicando la fórmula para la diferencia de cuadrados, obtenemos que x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) = (x2 + x-3) (x2 -x + 1).

§ 2. Ecuaciones simétricas

1. Ecuaciones simétricas de tercer grado

Las ecuaciones de la forma ax3 + bx2 + bx + a = 0, y ≠ 0 (1) se denominan ecuaciones simétricas de tercer grado. Dado que ax3 + bx2 + bx + a = a (x3 + 1) + bx (x + 1) = (x + 1) (ax2 + (ba) x + a), entonces la ecuación (1) es equivalente a un conjunto de ecuaciones x + 1 = 0 y ax2 + (b-a) x + a = 0, que no es difícil de resolver.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación

3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)

Solución. La ecuación (2) es una ecuación simétrica de tercer grado.

Dado que 3x3 + 4xg + 4x + 3 = 3 (x3 + 1) + 4x (x + 1) = (x + 1) (3x2 - Zx + 3 + 4x) = (x + 1) (3x2 + x + 3) , entonces la ecuación (2) es equivalente a un conjunto de ecuaciones x + 1 = 0 y 3x3 + x + 3 = 0.

La solución de la primera de estas ecuaciones es x = -1, la segunda ecuación no tiene soluciones.

Respuesta: x = -1.

2. Ecuaciones simétricas de cuarto grado

Ecuación de la forma

(3) se llama ecuación simétrica de cuarto grado.

Dado que x = 0 no es una raíz de la ecuación (3), entonces, dividiendo ambos lados de la ecuación (3) por x2, obtenemos una ecuación equivalente a la original (3):

Reescribamos la ecuación (4) en la forma:

En esta ecuación hacemos un cambio, luego obtenemos una ecuación cuadrática

Si la ecuación (5) tiene 2 raíces y1 e y2, entonces la ecuación original es equivalente a un conjunto de ecuaciones

Si la ecuación (5) tiene una raíz y0, entonces la ecuación original es equivalente a la ecuación

Finalmente, si la ecuación (5) no tiene raíces, entonces la ecuación original tampoco tiene raíces.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación

Solución. Esta ecuación es una ecuación simétrica de cuarto grado. Dado que x = 0 no es su raíz, entonces, dividiendo la ecuación (6) por x2, obtenemos una ecuación equivalente:

Agrupando los términos, reescribimos la ecuación (7) en la forma o en la forma

Poniendo, obtenemos una ecuación que tiene dos raíces y1 = 2 e y2 = 3. Por lo tanto, la ecuación original es equivalente al conjunto de ecuaciones

La solución de la primera ecuación de este conjunto es x1 = 1 y la solución de la segunda es u.

Por tanto, la ecuación original tiene tres raíces: x1, x2 y x3.

Respuesta: x1 = 1,.

§3. Ecuaciones algebraicas

1. Reducir el grado de la ecuación

Algunas ecuaciones algebraicas al reemplazar algún polinomio en ellas con una letra se pueden reducir a ecuaciones algebraicas, cuyo grado es menor que el grado de la ecuación original y cuya solución es más simple.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación

Solución. Denote por, entonces la ecuación (1) se puede reescribir en la forma La última ecuación tiene raíces y Por lo tanto, la ecuación (1) es equivalente a un conjunto de ecuaciones y. La solución de la primera ecuación de este conjunto es y la solución de la segunda ecuación es

Las soluciones de la ecuación (1) son

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación

Solución. Multiplicando ambos lados de la ecuación por 12 y denotando por,

Obtenemos la ecuación Reescribamos esta ecuación en la forma

(3) y denotando reescribiendo la ecuación (3) en la forma La última ecuación tiene raíces y Por lo tanto, encontramos que la ecuación (3) es equivalente a un conjunto de dos ecuaciones y La solución de este conjunto de ecuaciones es, es decir, la ecuación (2) es equivalente a un conjunto de ecuaciones y (4)

Las soluciones del conjunto (4) son y, son las soluciones de la ecuación (2).

2. Ecuaciones de la forma

La ecuacion

(5) ¿Dónde están estos números? Se puede reducir a una ecuación bicuadrática reemplazando la incógnita, es decir, reemplazando

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación

Solución. Denotemos por, es decir es decir, hacemos un cambio de variables o Luego la ecuación (6) se puede reescribir en la forma o, usando la fórmula, en la forma

Dado que las raíces de la ecuación cuadrática son también las soluciones de la ecuación (7) son soluciones del conjunto de ecuaciones y. Este conjunto de ecuaciones tiene dos soluciones y, en consecuencia, las soluciones de la ecuación (6) son y

3. Ecuaciones de la forma

La ecuacion

(8) donde los números α, β, γ, δ y Α son tales que α

Ejemplo 4. Resuelve la ecuación

Solución. Hacemos el cambio de incógnitas, es decir, y = x + 3 o x = y - 3. Entonces la ecuación (9) se puede reescribir como

(y-2) (y-1) (y + 1) (y + 2) = 10, es decir, en la forma

(y2- 4) (y2-1) = 10 (10)

La ecuación bicuadrática (10) tiene dos raíces. Por tanto, la ecuación (9) también tiene dos raíces:

4. Ecuaciones de la forma

Ecuación, (11)

Donde, no tiene raíz x = 0, por lo tanto, dividiendo la ecuación (11) por x2, obtenemos la ecuación equivalente

La cual, después de reemplazar la incógnita, se reescribirá como una ecuación cuadrática, cuya solución no es difícil.

Ejemplo 5. Resuelve la ecuación

Solución. Dado que h = 0 no es una raíz de la ecuación (12), entonces, dividiéndola por x2, obtenemos la ecuación equivalente

Haciendo que la sustitución sea desconocida, obtenemos la ecuación (y + 1) (y + 2) = 2, que tiene dos raíces: y1 = 0 e y1 = -3. Por tanto, la ecuación original (12) es equivalente al conjunto de ecuaciones

Esta colección tiene dos raíces: x1 = -1 y x2 = -2.

Respuesta: x1 = -1, x2 = -2.

Comentario. Una ecuación de la forma,

En el cual, siempre se puede llevar a la forma (11) y, además, considerando α> 0 y λ> 0 a la forma.

5. Ecuaciones de la forma

La ecuacion

, (13) donde los números α, β, γ, δ y Α son tales que αβ = γδ ≠ 0, se puede reescribir multiplicando el primer corchete con el segundo y el tercero con el cuarto, en la forma, es decir , la ecuación (13) ahora se escribe en la forma (11), y su solución se puede realizar de la misma manera que la solución de la ecuación (11).

Ejemplo 6. Resuelve la ecuación

Solución. La ecuación (14) tiene la forma (13), por lo que la reescribimos en la forma

Dado que x = 0 no es una solución para esta ecuación, entonces, dividiendo ambos lados por x2, obtenemos una ecuación original equivalente. Haciendo un cambio de variables, obtenemos una ecuación cuadrática, cuya solución es y. En consecuencia, la ecuación original (14) es equivalente a un conjunto de ecuaciones y.

La solución a la primera ecuación de este conjunto es

La segunda ecuación de este conjunto de soluciones no tiene. Entonces, la ecuación original tiene raíces x1 y x2.

6. Ecuaciones de la forma

La ecuacion

(15) donde los números a, b, c, q, A son tales que, no tiene raíz x = 0, por lo tanto, dividir la ecuación (15) por x2. obtenemos una ecuación equivalente, que, después de reemplazar la incógnita, se reescribirá en forma de ecuación cuadrática, cuya solución no es difícil.

Ejemplo 7. Solución de la ecuación

Solución. Dado que x = 0 no es una raíz de la ecuación (16), entonces, dividiendo ambos lados por x2, obtenemos la ecuación

, (17) equivalente a la ecuación (16). Haciendo desconocida la sustitución, reescribimos la ecuación (17) en la forma

La ecuación cuadrática (18) tiene 2 raíces: y1 = 1 e y2 = -1. Por tanto, la ecuación (17) es equivalente a un conjunto de ecuaciones y (19)

El conjunto de ecuaciones (19) tiene 4 raíces:,.

Serán las raíces de la ecuación (16).

§4. Ecuaciones racionales

Las ecuaciones de la forma = 0, donde H (x) y Q (x) son polinomios, se llaman racionales.

Habiendo encontrado las raíces de la ecuación H (x) = 0, entonces es necesario verificar cuáles de ellas no son las raíces de la ecuación Q (x) = 0. Estas raíces y solo ellas serán las soluciones de la ecuación.

Considere algunos métodos para resolver una ecuación de la forma = 0.

1. Ecuaciones de la forma

La ecuacion

(1) bajo ciertas condiciones, los números se pueden resolver de la siguiente manera. Agrupando los términos de la ecuación (1) por dos y sumando cada par, es necesario obtener en el numerador polinomios del primer o cero grado, que difieren solo en factores numéricos, y en los denominadores - trinomios con los mismos dos términos que contienen x , luego, después de cambiar las variables, la ecuación tendrá también la forma (1), pero con un número menor de términos, o será equivalente a un conjunto de dos ecuaciones, una de las cuales será de primer grado y la el segundo será una ecuación de la forma (1), pero con un número menor de términos.

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Solución. Agrupando en el lado izquierdo de la ecuación (2) el primer término con el último y el segundo con el penúltimo, reescribimos la ecuación (2) en la forma

Sumando los términos en cada paréntesis, reescribimos la ecuación (3) en la forma

Dado que no hay una solución para la ecuación (4), entonces, dividiendo esta ecuación entre, obtenemos la ecuación

, (5) equivalente a la ecuación (4). Hacemos el cambio de la incógnita, luego la ecuación (5) se reescribirá en la forma

Así, la solución de la ecuación (2) con cinco términos en el lado izquierdo se reduce a la solución de la ecuación (6) de la misma forma, pero con tres términos en el lado izquierdo. Resumiendo todos los términos en el lado izquierdo de la ecuación (6), lo reescribimos en la forma

Hay soluciones para la ecuación y. Ninguno de estos números hace desaparecer el denominador de la función racional en el lado izquierdo de la ecuación (7). En consecuencia, la ecuación (7) tiene estas dos raíces y, por lo tanto, la ecuación original (2) es equivalente al conjunto de ecuaciones

Las soluciones de la primera ecuación de este conjunto son

Las soluciones de la segunda ecuación de este conjunto son

Por tanto, la ecuación original tiene raíces

2. Ecuaciones de la forma

La ecuacion

(8) bajo ciertas condiciones sobre los números se puede resolver de la siguiente manera: es necesario seleccionar la parte entera en cada una de las fracciones de la ecuación, es decir, reemplazar la ecuación (8) por la ecuación

Reducirlo a la forma (1) y luego resolverlo de la forma descrita en el párrafo anterior.

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Solución. Escribamos la ecuación (9) en la forma o en la forma

Sumando los términos entre paréntesis, reescribimos la ecuación (10) como

Al reemplazar lo desconocido, reescribimos la ecuación (11) en la forma

Resumiendo los términos del lado izquierdo de la ecuación (12), lo reescribimos en la forma

Es fácil ver que la ecuación (13) tiene dos raíces: y. Por tanto, la ecuación original (9) tiene cuatro raíces:

3) Ecuaciones de la forma.

Una ecuación de la forma (14) bajo ciertas condiciones para números se puede resolver de la siguiente manera: expandir (si es, por supuesto, posible) cada una de las fracciones en el lado izquierdo de la ecuación (14) en la suma de las fracciones más simples

Reduzca la ecuación (14) a la forma (1), luego, después de haber realizado una reordenación conveniente de los términos de la ecuación resultante, resuélvala por el método descrito en el párrafo 1).

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Solución. Dado que y, entonces, multiplicar el numerador de cada fracción en la ecuación (15) por 2 y observar que la ecuación (15) se puede escribir en la forma

La ecuación (16) tiene la forma (7). Habiendo reorganizado los términos en esta ecuación, la reescribimos en la forma o en la forma

La ecuación (17) es equivalente a un conjunto de ecuaciones y

Para resolver la segunda ecuación del conjunto (18), reemplazamos la incógnita, luego se reescribirá en la forma o en la forma

Resumiendo todos los términos en el lado izquierdo de la ecuación (19), reescríbalo como

Dado que la ecuación no tiene raíces, la ecuación (20) tampoco las tiene.

La primera ecuación del conjunto (18) tiene una sola raíz, dado que esta raíz está incluida en el GDV de la segunda ecuación del conjunto (18), es la única raíz del conjunto (18) y, por tanto, la ecuación original .

4. Ecuaciones de la forma

La ecuacion

(21) bajo ciertas condiciones en los números y A después de la representación de cada término a la izquierda en el formulario se puede reducir a la forma (1).

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Solución. Reescribamos la ecuación (22) en la forma o en la forma

Por tanto, la ecuación (23) se reduce a la forma (1). Ahora, agrupando el primer término con el último y el segundo con el tercero, reescribimos la ecuación (23) en la forma

Esta ecuación es equivalente a un conjunto de ecuaciones y. (24)

La última ecuación del conjunto (24) se puede reescribir como

Hay soluciones para esta ecuación y, como está incluida en la ODZ de la segunda ecuación del conjunto (30), el conjunto (24) tiene tres raíces: Todas son soluciones a la ecuación original.

5. Ecuaciones de la forma.

Ecuación de la forma (25)

Bajo ciertas condiciones en los números, reemplazar lo desconocido puede reducirse a una ecuación de la forma

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Solución. Como no es una solución a la ecuación (26), luego dividiendo el numerador y el denominador de cada fracción en el lado izquierdo entre, lo reescribimos en la forma

Cambiando las variables, reescribimos la ecuación (27) en la forma

Resolver la ecuación (28) es y. Por tanto, la ecuación (27) es equivalente a un conjunto de ecuaciones y. (29)

Métodos para resolver ecuaciones: n n n Reemplazo de la ecuación h (f (x)) = h (g (x)) por la ecuación f (x) = g (x) Factorización. Introduciendo una nueva variable. Funcionalmente - método gráfico. Selección de raíces. Aplicación de las fórmulas de Vieta.

Reemplazando la ecuación h (f (x)) = h (g (x)) por la ecuación f (x) = g (x). El método se puede usar solo en el caso en que y = h (x) es una función monótona que toma cada uno de sus valores una vez. Si la función no es monótona, entonces es posible la pérdida de raíces.

Resuelve la ecuación (3 x + 2) ²³ = (5 x - 9) ²³ y = x ²³ una función creciente, por lo tanto de la ecuación (3 x + 2) ²³ = (5 x - 9) ²³ puedes ir a la ecuación 3 x + 2 = 5 x - 9, de donde encontramos x = 5, 5. Respuesta: 5, 5.

Factorización. La ecuación f (x) g (x) h (x) = 0 se puede reemplazar por un conjunto de ecuaciones f (x) = 0; g (x) = 0; h (x) = 0. Una vez resueltas las ecuaciones de este conjunto, debes tomar las raíces que pertenecen al dominio de la ecuación original y descartar el resto como extrañas.

Resuelva la ecuación x³ - 7 x + 6 = 0 Representando el término 7 x como x + 6 x, obtenemos secuencialmente: x³ - x - 6 x + 6 = 0 x (x² - 1) - 6 (x - 1) = 0 x (x - 1) (x + 1) - 6 (x - 1) = 0 (x - 1) (x² + x - 6) = 0 Ahora el problema se reduce a resolver el conjunto de ecuaciones x - 1 = 0; x² + x - 6 = 0. Respuesta: 1, 2, - 3.

Introduciendo una nueva variable. Si la ecuación y (x) = 0 se puede transformar a la forma p (g (x)) = 0, entonces necesita introducir una nueva variable u = g (x), resolver la ecuación p (u) = 0, y luego resuelva el conjunto de ecuaciones g (x) = u 1; g (x) = u 2; ...; g (x) = un, donde u 1, u 2,…, un son las raíces de la ecuación p (u) = 0.

Resuelve la ecuación Una característica de esta ecuación es la igualdad de los coeficientes de su lado izquierdo, equidistante de sus extremos. Estas ecuaciones se denominan recurrentes. Dado que 0 no es una raíz de esta ecuación, dividiendo por x² obtenemos

Introduzcamos una nueva variable. Entonces obtenemos una ecuación cuadrática. Entonces, la raíz y 1 = - 1 se puede ignorar. Obtenemos la respuesta: 2, 0, 5.

Resuelve la ecuación 6 (x² - 4) ² + 5 (x² - 4) (x² - 7 x +12) + (x² - 7 x + 12) ² = 0 Esta ecuación se puede resolver como homogénea. Divida ambos lados de la ecuación por (x² - 7 x +12) ² (está claro que los valores de x tales que x² - 7 x + 12 = 0 no son soluciones). Ahora denotemos Tenemos Por lo tanto la Respuesta:

Funcionalmente - método gráfico. Si una de las funciones y = f (x), y = g (x) aumenta y la otra disminuye, entonces la ecuación f (x) = g (x) no tiene raíces o tiene una raíz.

Resuelva la ecuación Es bastante obvio que x = 2 es la raíz de la ecuación. Demostremos que esta es la única raíz. Transformamos la ecuación a la forma Note que la función aumenta y la función disminuye. Por tanto, la ecuación tiene una sola raíz. Respuesta: 2.

Selección de raíces n n n Teorema 1: Si un número entero m es una raíz de un polinomio con coeficientes enteros, entonces el término libre del polinomio es divisible por m. Teorema 2: El polinomio reducido con coeficientes enteros no tiene raíces fraccionarias. Teorema 3: - una ecuación con números enteros Sean los coeficientes. Si el número y la fracción donde pyq son números enteros es irreducible, es la raíz de la ecuación, entonces p es el divisor del término libre an, yq es el divisor del coeficiente en el término inicial a 0.

Teorema de Bezout. El resto al dividir cualquier polinomio por un binomio (x - a) es igual al valor del polinomio divisible en x = a. Consecuencias del teorema de Bezout n n n n La diferencia de las mismas potencias de dos números se divide sin resto por la diferencia de los mismos números; La diferencia de las mismas potencias pares de dos números se divide sin residuo tanto por la diferencia de estos números como por su suma; La diferencia de las mismas potencias impares de dos números no es divisible por la suma de estos números; La suma de las mismas potencias de dos no números se divide por la diferencia de estos números; La suma de las mismas potencias impares de dos números se divide sin resto por la suma de estos números; La suma de las mismas potencias pares de dos números no es divisible ni por la diferencia entre estos números ni por su suma; Un polinomio es divisible enteramente por un binomio (x - a) si y solo si el número a es una raíz del polinomio dado; El número de raíces distintas de un polinomio distinto de cero es como máximo su grado.

Resuelve la ecuación x³ - 5 x² - x + 21 = 0 El polinomio x³ - 5 x² - x + 21 tiene coeficientes enteros. Según el Teorema 1, sus raíces enteras, si las hay, están entre los divisores del término libre: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Al verificar, nos aseguramos de que el número 3 sea una raíz. Según el corolario del teorema de Bezout, el polinomio es divisible por (x - 3). Entonces x³– 5 x² - x + 21 = (x - 3) (x²– 2 x - 7). Respuesta:

Resuelve la ecuación 2 x³ - 5 x² - x + 1 = 0 De acuerdo con el Teorema 1, las raíces enteras de la ecuación solo pueden ser números ± 1. La verificación muestra que estos números no son raíces. Dado que la ecuación no se reduce, puede tener raíces racionales fraccionarias. Vamos a buscarlos. Para hacer esto, multiplique ambos lados de la ecuación por 4: 8 x³ - 20 x² - 4 x + 4 = 0 Haciendo la sustitución 2 x = t, obtenemos t³ - 5 t² - 2 t + 4 = 0. Por el teorema 2 , todas las raíces racionales de esta ecuación reducida deben ser enteras. Se pueden encontrar entre los divisores del término libre: ± 1, ± 2, ± 4. En este caso, es adecuado t = - 1. En consecuencia, por el corolario del teorema de Bezout, el polinomio 2 x³ - 5 x² - x + 1 es divisible por (x + 0, 5): 2 x³ - 5 x² - x + 1 = (x + 0, 5) (2 x² - 6 x + 2) Resolver la ecuación cuadrática 2 x² - 6 x + 2 = 0, encontramos las raíces restantes: Respuesta:

Resuelve la ecuación 6 x³ + x² - 11 x - 6 = 0 De acuerdo con el Teorema 3, las raíces racionales de esta ecuación deben buscarse entre los números. Sustituyéndolos uno por uno en la ecuación, encontramos que satisfacen la ecuación. Agotan todas las raíces de la ecuación. Respuesta:

Encuentre la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación x³ + 3 x² - 7 x +1 = 0 Según el teorema de Vieta Tenga en cuenta que de dónde

Indique qué método se puede utilizar para resolver cada una de estas ecuaciones. Resuelve las ecuaciones n. ° 1, 4, 15, 17.

Respuestas e indicaciones: 1. Introducción de una nueva variable. 2. Método funcional - gráfico. 3. Reemplazando la ecuación h (f (x)) = h (g (x)) por la ecuación f (x) = g (x). 4. Factorización. 5. Selección de raíces. 6 Funcional - método gráfico. 7. Aplicación de fórmulas de Vieta. 8. Selección de raíces. 9. Reemplazando la ecuación h (f (x)) = h (g (x)) por la ecuación f (x) = g (x). 10. Introducción de una nueva variable. 11. Factorización. 12. Introducción de una nueva variable. 13. Selección de raíces. 14. Aplicación de fórmulas de Vieta. 15. Método gráfico funcional. 16. Factorización. 17. Introducción de una nueva variable. 18. Factorización.

1. Indicación. Escriba la ecuación como 4 (x² + 17 x + 60) (x + 16 x + 60) = 3 x², Divida ambos lados por x². Ingrese la variable Respuesta: x 1 = - 8; x 2 = - 7, 5. 4. Nota. Suma 6 y y - 6 y al lado izquierdo de la ecuación y escríbelo como (y³ - 2 y²) + (- 3 y² + 6 y) + (- 8 y + 16) = (y - 2) (y² - 3 años - ocho). Respuesta:

14. Indicación. Según el teorema de Vieta Como son números enteros, las raíces de la ecuación solo pueden ser números - 1, - 2, - 3. Respuesta: 15. Respuesta: - 1. 17. Indicación. Divida ambos lados de la ecuación por x² y escríbalo como Ingrese variable Respuesta: 1; 15; 2; 3.

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