Una lección de matemáticas sobre el tema "resolución de ecuaciones complejas de un nuevo tipo". Ecuaciones lineales. Solución, ejemplos

Metas y objetivos:

Educativo:

1. Considere una manera de resolver ecuaciones "complejas" de la forma: (x + 3): 8 \u003d 5 y obtenga un algoritmo de acción para resolverlas.
2. Mejorar las habilidades informáticas.

Desarrollando:

1. Para desarrollar la capacidad de analizar, razonar, explicar el modo de acción de las ecuaciones de la forma: (x + 3): 8 \u003d 5.

Educativo:

1. Formar la capacidad de trabajar en parejas (escuchar la opinión de un amigo, discutir un problema, llegar a un consenso).

Ahorro de salud:

1. Aprenda a cuidar su salud.

Equipo:

1. Proyector y pantalla multimedia;
2. Un ordenador;
3. Presentación;
4. Nota de apoyo;
5. Tareas en tarjetas.

Durante las clases:

I. Momento organizacional.

- El timbre sonó. Verifique su preparación para la lección de matemáticas. Todo el mundo está listo.

¡Asegurémonos de esto!

- BLITZ: ¿Cómo encontrar el término desconocido? (restado, decrementado, dividendo, divisor, factor).

- ¡Bien hecho! Siéntate. Podemos empezar a trabajar de forma segura. Abran sus cuadernos. Anote el número, buen trabajo.

II. Actualización de conocimientos básicos.

1) - Te sugiero que hagas un calentamiento. ¡Atención a la pantalla!

(Apéndice 1. Presentación -Diapositiva 1).

100 ∙ 29 32 ∙ 20 4800: 2

a ∙ 15 9000 - en desde: 317

x ∙ 80 \u003d 640 k: 50 \u003d 500 c + 90 \u003d 34 + 56

- Divida los datos de grabación en grupos. ¿Quién dividió entre 2? ¿Para 3 grupos?

¡¡Discusión!!! ¿Por qué principio dividió…? , y …..?

- Nombrar las expresiones numéricas. Nombra las letras. ¿Descanso? (Ecuaciones.)

(Diapositiva 2)

- Encontrar los valores de expresiones numéricas.
- Encuentra los significados de expresiones literales si

a \u003d 0, b \u003d 1, c \u003d 317

- Encuentra "extra" entre las ecuaciones. ¡Pruébalo!
- Encuentra la raíz de 1 ecuación, 2 ecuaciones. (Sencillo.)
- ¿Qué hay que hacer primero para resolver una ecuación compleja de este tipo? (Simplifique.) - ¿Cómo? (Realizar acción) ¿Qué?
- Simplifica la ecuación. Encuentra la raíz.

III. Tema, tareas.

- ¿Quién quiere aprender a resolver ecuaciones complejas de un nuevo tipo? ¡Levantar la mano! ¡Bien hecho! ¡Esto significa que no le temen a las dificultades y está listo para nuevos descubrimientos!
- El tema de nuestra lección es "Resolver ecuaciones" complejas "de un nuevo tipo".

(Dado que el término ecuación "compleja" es condicional, lo encerré entre comillas).

- Definamos tareas educativas:

1. Aprenda a resolver ecuaciones complejas de un nuevo tipo.
2. Invente un algoritmo para resolver. (Algoritmo: orden, secuencia de acciones).
3. Aprenda a comentar sobre la solución de ecuaciones.
4. Mejorar las habilidades informáticas.

Educación física 1.

IV. Trabaja en el tema. Formulación del problema. Abriendo uno nuevo.

1) Del número 488. Libro de texto.

- Quiero sugerirle que vuelva a visitar a los investigadores ahora.

□ + 30 \u003d 50 ¡Esta publicación está en la pizarra!

- Leer la expresión. 1 babosa. 2 babosa. Valor de la cantidad.

- ¿Es esta una ecuación? ¿Por qué?

- Inserta la expresión en la "ventana"

□ + 30 \u003d 50 - ¿Cuál es el nombre de la entrada? (Difícil ur.) - ¿Se parece al que ya sabemos resolver? - ¿Por qué?

- Intenta encontrar una forma de resolver esta ecuación. TENGA EN CUENTA que no firmé accidentalmente los componentes de la acción. ¡Paga sin verificación!

2) Explicación: - ¿Qué (qué componente) es la expresión literal 4 ∙ x en esta suma (este es 1 término).

Esto significa que 1 término es una expresión literal 4 ∙ х ¡y se desconoce!

¡La regla no cambia! ¿Cómo encontrar una babosa desconocida?

4 ∙ x

\u003d 50 - 30 - ¿Sabes cómo resolver?

3) - Abra el tutorial con. 149 № 488. Lea cómo razonó Misha.

V. Derivación del algoritmo. Conseguir uno nuevo.

1) Resuelve la ecuación: (x + 3): 8 \u003d 5 1 en la pizarra.

¡La tarea! - ¡Intenta determinar la secuencia!

2) Derivación del algoritmo.

- ¿Cómo entiende que los componentes se llamarán: dividendo, divisor, valor cociente.

- ¿Qué división es la primera o la última? \u003d ¿Por dónde empezar?

3). Algoritmo (Diapositiva 3).

1. Definiré la última acción y nombraré los componentes.
2. Definiré el componente desconocido y recordaré la regla para encontrarlo.
3. Escribiré una nueva ecuación y la simplificaré.
4. Resolveré una ecuación simple.

4) Leer la nota para comentar.

cinco). No. 489. Libro de texto. Comentando.

Educación física 2 (para los ojos).

6). Trabajo en equipo. Trabajo en parejas.

1) (y– 5) ∙ 4 \u003d 28
2) 3 ∙ a - 7 \u003d 14
3) (24 + d): 8 \u003d 7
4) 63: (14 - x) \u003d 7

¡Complete la tabla de autocomprobación!

La ecuacion.	1	2	3	4
Decisión.

Ecuaciones lineales. Solución, ejemplos.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en Sección especial 555.
Para los que "no son muy ..."
Y para los que "mucho ...")

Ecuaciones lineales.

Las ecuaciones lineales no son el tema más difícil de las matemáticas escolares. Pero hay trucos que pueden desconcertar incluso a un estudiante capacitado. ¿Lo resolvemos?)

Por lo general, una ecuación lineal se define como una ecuación de la forma:

hacha + b = 0 Dónde a y B - cualquier número.

2x + 7 \u003d 0. Aquí a \u003d 2, b \u003d 7

0.1x - 2.3 \u003d 0 aquí a \u003d 0,1, b \u003d -2,3

12x + 1/2 \u003d 0 aquí a \u003d 12, b \u003d 1/2

Nada complicado, ¿verdad? Especialmente si no notas las palabras: "donde ayb son números"... ¿Y si lo notas, pero piensas descuidadamente?) Después de todo, si a \u003d 0, b \u003d 0 (¿son posibles algunos números?), entonces obtienes una expresión divertida:

¡Pero eso no es todo! Si, digamos, a \u003d 0, y b \u003d 5, resulta algo completamente fuera de lo común:

Lo que tensa y socava la credibilidad de las matemáticas, sí ...) Especialmente en los exámenes. ¡Pero a partir de estas extrañas expresiones también es necesario encontrar la X! Que no existe en absoluto. Y, sorprendentemente, esta X es muy fácil de encontrar. Aprenderemos a hacer esto. En este tutorial.

¿Cómo se conoce una ecuación lineal por su apariencia? Depende de la apariencia). El truco es que las ecuaciones lineales no son solo ecuaciones de la forma hacha + b = 0 , pero también cualquier ecuación que se reduzca a esta forma mediante transformaciones y simplificaciones. ¿Y quién sabe si se puede reducir o no?)

En algunos casos, se puede reconocer claramente una ecuación lineal. Digamos, si tenemos una ecuación en la que solo hay incógnitas en primer grado y números. Y en la ecuación no hay fracciones divididas por desconocido , ¡es importante! Y división por número, o una fracción numérica, ¡por favor! Por ejemplo:

Esta es una ecuación lineal. Hay fracciones, pero no hay x en el cuadrado, en el cubo, etc., y no hay x en los denominadores, es decir, no división por x... Y aqui esta la ecuacion

no se puede llamar lineal. Aquí las x están todas en primer grado, pero hay división por expresión con x... Después de simplificaciones y transformaciones, puede obtener una ecuación lineal, una cuadrática y lo que quiera.

Resulta que no puedes encontrar una ecuación lineal en algún ejemplo complicado hasta que casi lo resuelves. Esto es perturbador. Pero las tareas generalmente no preguntan sobre el tipo de ecuación, ¿verdad? Las tareas se dan ecuaciones resolver. Esto me hace feliz.)

Resolver ecuaciones lineales. Ejemplos.

La solución completa de las ecuaciones lineales consta de transformaciones idénticas de ecuaciones. Por cierto, estas transformaciones (¡hasta dos!) Subyacen a las soluciones todas las ecuaciones de las matemáticas. En otras palabras, la solución alguna la ecuación comienza con estas mismas transformaciones. En el caso de las ecuaciones lineales, (la solución) se basa en estas transformaciones y termina con una respuesta completa. Tiene sentido ir al enlace, ¿verdad?) Además, también hay ejemplos de resolución de ecuaciones lineales.

Comencemos con el ejemplo más simple. Sin trampas. Suponga que necesitamos resolver esta ecuación.

x - 3 \u003d 2 - 4x

Esta es una ecuación lineal. X es todo en primer grado, no hay división por X. Pero, de hecho, no nos importa cuál sea la ecuación. Necesitamos resolverlo. El esquema es simple. Recoja todo lo que tenga x en el lado izquierdo de la ecuación, todo lo que no tenga x (número) a la derecha.

Para hacer esto, necesita transferir - 4x a la izquierda, con un cambio de signo, claro, pero - 3 - A la derecha. Por cierto, esto es primera transformación idéntica de ecuaciones. ¿Estás sorprendido? Entonces, no seguimos el enlace, pero en vano ...) Obtenemos:

x + 4x \u003d 2 + 3

Damos similares, creemos:

¿Qué nos falta para la felicidad completa? ¡Sí, de modo que había una X limpia a la izquierda! El cinco está en el camino. Deshacerse de los cinco primeros con segunda transformación idéntica de ecuaciones. Es decir, dividimos ambos lados de la ecuación entre 5. Obtenemos una respuesta lista:

Un ejemplo elemental, por supuesto. Esto es para el calentamiento.) No está muy claro por qué recordé transformaciones idénticas aquí. Bueno. Cogemos el toro por los cuernos.) Decidimos algo más impresionante.

Por ejemplo, aquí está la ecuación:

¿Donde empezamos? ¿Con x - a la izquierda, sin x - a la derecha? Podría ser así. En pequeños pasos a lo largo del largo camino. O puede hacerlo de forma inmediata, universal y poderosa. Si, por supuesto, tienes en tu arsenal transformaciones idénticas de ecuaciones.

Te hago una pregunta clave: ¿Qué es lo que más le disgusta de esta ecuación?

95 personas de cada 100 responderán: fracciones ! La respuesta es correcta. Así que deshagámonos de ellos. Por lo tanto, comenzamos de inmediato con segunda transformación de identidad... ¿Qué necesitas para multiplicar la fracción de la izquierda para que el denominador se pueda reducir por completo? Derecha, 3. ¿Y a la derecha? Por 4. Pero las matemáticas nos permiten multiplicar ambos lados por el mismo numero... ¿Cómo salimos? ¡Y multipliquemos ambas partes por 12! Aquellos. por un denominador común. Entonces tanto el tres como el cuatro se encogerán. No olvides que necesitas multiplicar cada parte. totalmente... Así es como se ve el primer paso:

Expanda los corchetes:

¡Nota! Numerador (x + 2) ¡Yo entre corchetes! Esto se debe a que cuando multiplica fracciones, el numerador se multiplica por completo, ¡por completo! Y ahora las fracciones se pueden reducir:

Expanda los corchetes restantes:

No es un ejemplo, ¡pero sí puro placer!) Ahora recordamos el hechizo de los grados de primaria: con una x - a la izquierda, sin una x - ¡a la derecha! Y aplica esta transformación:

Aquí hay otros similares:

Y dividimos ambas partes por 25, es decir aplique la segunda transformación nuevamente:

Eso es todo. Responder: x=0,16

Tome nota: para llevar la ecuación confusa original a una forma agradable, usamos dos (¡solo dos!) transformaciones idénticas - Transferencia de izquierda a derecha con cambio de signo y multiplicación-división de la ecuación por el mismo número. ¡Esta es una forma universal! Trabajaremos de esta manera con alguna ecuaciones! Absolutamente cualquiera. Es por eso que estoy repitiendo estas transformaciones idénticas todo el tiempo).

Como puede ver, el principio de resolver ecuaciones lineales es simple. Tomamos la ecuación y la simplificamos usando transformaciones idénticas hasta que obtenemos la respuesta. Los principales problemas aquí están en el cálculo, no en el principio de solución.

Pero ... Hay tantas sorpresas en el proceso de resolver las ecuaciones lineales más elementales que pueden llevarte a un fuerte estupor ...) Afortunadamente, solo puede haber dos de esas sorpresas. Llamémoslos casos especiales.

Casos especiales al resolver ecuaciones lineales.

Primera sorpresa.

Suponga que se encuentra con una ecuación elemental, algo como:

2x + 3 \u003d 5x + 5 - 3x - 2

Un poco aburridos, lo trasladamos con una X a la izquierda, sin una X - a la derecha ... Con un cambio de signo, todo es chin-chinar ... Obtenemos:

2x-5x + 3x \u003d 5-2-3

Consideramos, y ... oh mierda !!! Obtenemos:

Esta igualdad en sí misma no es objetable. Cero es de hecho cero. ¡Pero X se ha ido! Y debemos escribir la respuesta que es x. De lo contrario, la decisión no cuenta, sí ...) ¿Callejón sin salida?

¡Calma! En casos tan dudosos, las reglas más generales salvan. ¿Cómo resolver ecuaciones? ¿Qué significa resolver una ecuación? Significa, encuentra todos los valores de x que, cuando se sustituyen en la ecuación original, nos darán la igualdad correcta.

Pero tenemos verdadera igualdad ya ¡sucedió! 0 \u003d 0, ¿cuánto más preciso? Queda por averiguar en qué xx resulta. ¿Qué valores de x se pueden sustituir en inicial ecuación si estas x se reducirá a cero de todos modos? ¿Vamos?)

¡¡¡Sí!!! Las X pueden ser sustituidas ¡alguna! Lo que quieras. Al menos 5, al menos 0,05, al menos -220. De todos modos se encogerán. Si no lo cree, puede verificarlo). Sustituya cualquier valor de x en inicial ecuación y cuenta. Todo el tiempo se obtendrá la verdad pura: 0 \u003d 0, 2 \u003d 2, -7,1 \u003d -7,1 y así sucesivamente.

Esta es la respuesta: x - cualquier número.

La respuesta se puede escribir en diferentes símbolos matemáticos, la esencia no cambia. Esta es una respuesta absolutamente correcta y completa.

Segunda sorpresa.

Tomemos la misma ecuación lineal elemental y cambiemos solo un número en ella. Esto es lo que resolveremos:

2x + 1 \u003d 5x + 5 - 3x - 2

Después de las mismas transformaciones idénticas, obtenemos algo intrigante:

Como esto. Resolvió una ecuación lineal, obtuvo una extraña igualdad. En términos matemáticos, tenemos igualdad incorrecta. Y en términos simples, esto no es cierto. Delirio. Sin embargo, esta tontería es una muy buena razón para resolver la ecuación correctamente).

Nuevamente, pensamos en base a las reglas generales. ¿Qué x, cuando se sustituye en la ecuación original, nos dará cierto ¿igualdad? ¡Sí, ninguno! No existen tales x's. Lo que sea que sustituyas, todo se reducirá, el delirio permanecerá).

Esta es la respuesta: sin soluciones.

Esta también es una respuesta completa. En matemáticas, estas respuestas son comunes.

Como esto. Ahora, espero, la pérdida de x en el proceso de resolver cualquier ecuación (no solo lineal) no lo confundirá en absoluto. El asunto ya es familiar).

Ahora que hemos descubierto todos los errores de las ecuaciones lineales, tiene sentido resolverlos.

Si te gusta este sitio ...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y conocer tu nivel. Prueba con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

En este video, analizaremos un conjunto completo de ecuaciones lineales que se resuelven usando el mismo algoritmo, por eso se las llama las más simples.

Para empezar, definamos: ¿qué es una ecuación lineal y cuál es la más simple de ellas?

Una ecuación lineal es aquella en la que solo hay una variable, y solo en el primer grado.

La ecuación más simple significa la construcción:

Todas las demás ecuaciones lineales se reducen a las más simples usando el algoritmo:

1. Amplíe los paréntesis, si los hay;
2. Mueva los términos que contienen la variable a un lado del signo igual y los términos sin la variable al otro;
3. Traiga términos similares a la izquierda y derecha del signo igual;
4. Divida la ecuación resultante por el coeficiente de la variable $ x $.

Por supuesto, este algoritmo no siempre ayuda. El hecho es que a veces, después de todas estas maquinaciones, el coeficiente de la variable $ x $ resulta ser cero. En este caso, son posibles dos opciones:

1. La ecuación no tiene ninguna solución. Por ejemplo, cuando obtiene algo como $ 0 \\ cdot x \u003d 8 $, es decir, hay un cero a la izquierda y un número distinto de cero a la derecha. En el video a continuación, veremos varias razones a la vez por las que esta situación es posible.
2. La solución son todos los números. El único caso en el que esto es posible es que la ecuación se ha reducido a la construcción $ 0 \\ cdot x \u003d 0 $. Es bastante lógico que no importa qué $ x $ sustituyamos, todavía obtendremos "cero igual a cero", es decir, igualdad numérica correcta.

Ahora veamos cómo funciona todo en problemas de la vida real.

Ejemplos de resolución de ecuaciones

Hoy se trata de ecuaciones lineales, y solo de las más simples. En general, una ecuación lineal significa cualquier igualdad que contenga exactamente una variable y solo se aplica en el primer grado.

Dichas construcciones se resuelven aproximadamente de la misma manera:

1. En primer lugar, debe expandir los paréntesis, si los hay (como en nuestro último ejemplo);
2. Entonces trae similar
3. Finalmente, aproveche la variable, es decir todo lo que está asociado con una variable, los términos en los que está contenida, debe transferirse en una dirección y todo lo que queda sin ella debe transferirse al otro lado.

Luego, como regla, debe traer similares a cada lado de la igualdad obtenida, y luego solo queda dividir por el coeficiente en la "x", y obtendremos la respuesta final.

En teoría, esto parece agradable y simple, pero en la práctica, incluso los estudiantes de secundaria experimentados pueden cometer errores ofensivos en ecuaciones lineales bastante simples. Por lo general, se cometen errores al expandir paréntesis o al calcular "más" y "menos".

Además, sucede que una ecuación lineal no tiene ninguna solución, o que la solución es la recta numérica completa, es decir, cualquier número. Analizaremos estas sutilezas en la lección de hoy. Pero comenzaremos, como ya entendiste, con las tareas más simples.

Esquema para resolver las ecuaciones lineales más simples.

Primero, déjame escribir una vez más el esquema completo para resolver las ecuaciones lineales más simples:

1. Expanda los corchetes, si los hay.
2. Secretamos las variables, es decir todo lo que contiene "x" se transfiere a un lado, y sin "x", al otro.
3. Presentamos términos similares.
4. Dividimos todo en el coeficiente de la "x".

Por supuesto, este esquema no siempre funciona, hay ciertas sutilezas y trucos en él, y ahora los conoceremos.

Resolver ejemplos de la vida real de ecuaciones lineales simples

Problema número 1

El primer paso nos obliga a ampliar los corchetes. Pero no están en este ejemplo, por lo que saltamos esta etapa. En el segundo paso, debemos aprovechar las variables. Tenga en cuenta: estamos hablando solo de términos individuales. Vamos a escribir:

Presentamos términos similares a la izquierda y a la derecha, pero esto ya se ha hecho. Por tanto, pasamos al cuarto paso: dividir por coeficiente:

\\ [\\ frac (6x) (6) \u003d - \\ frac (72) (6) \\]

Entonces obtuvimos la respuesta.

Problema número 2

En este problema, podemos observar los corchetes, así que expandámoslos:

Tanto a la izquierda como a la derecha vemos aproximadamente la misma construcción, pero procedamos de acuerdo con el algoritmo, es decir, secretamos las variables:

Aquí hay otros similares:

En qué raíces se realiza. Respuesta: para cualquiera. Por lo tanto, podemos escribir que $ x $ es cualquier número.

Problema número 3

La tercera ecuación lineal ya es más interesante:

\\ [\\ left (6-x \\ right) + \\ left (12 + x \\ right) - \\ left (3-2x \\ right) \u003d 15 \\]

Hay algunos paréntesis aquí, pero no se multiplican por nada, solo tienen diferentes signos delante de ellos. Vamos a abrirlos:

Realizamos el segundo paso que ya conocemos:

\\ [- x + x + 2x \u003d 15-6-12 + 3 \\]

Contemos:

Realizamos el último paso: dividimos todo por el coeficiente en "x":

\\ [\\ frac (2x) (x) \u003d \\ frac (0) (2) \\]

Cosas para recordar al resolver ecuaciones lineales

Aparte de las tareas demasiado simples, me gustaría decir lo siguiente:

• Como dije anteriormente, no todas las ecuaciones lineales tienen una solución, a veces simplemente no hay raíces;
• Incluso si hay raíces, puede haber cero entre ellas, no hay nada de malo en eso.

El cero es el mismo número que el resto, no debe discriminarlo de ninguna manera ni asumir que si obtiene cero, entonces hizo algo mal.

Otra característica está relacionada con la expansión de paréntesis. Tenga en cuenta: cuando hay un "menos" delante de ellos, lo eliminamos, pero entre paréntesis cambiamos los signos a opuesto... Y luego podemos abrirlo de acuerdo con algoritmos estándar: obtendremos lo que vimos en los cálculos anteriores.

Comprender este simple hecho te permitirá evitar errores estúpidos e hirientes en la escuela secundaria, cuando tales acciones se dan por sentado.

Resolver ecuaciones lineales complejas

Pasemos a ecuaciones más complejas. Ahora las construcciones se volverán más complejas y surgirá una función cuadrática al realizar varias transformaciones. Sin embargo, no debe tener miedo de esto, porque si, de acuerdo con la intención del autor, estamos resolviendo una ecuación lineal, entonces en el proceso de transformación todos los monomios que contienen una función cuadrática necesariamente se cancelarán.

Ejemplo 1

Obviamente, el primer paso es expandir el paréntesis. Hagámoslo con mucho cuidado:

Ahora por privacidad:

\\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x \u003d -12 \\]

Aquí hay otros similares:

Obviamente, esta ecuación no tiene soluciones, por lo que escribiremos la respuesta:

\\ [\\ varnothing \\]

o sin raíces.

Ejemplo No. 2

Seguimos los mismos pasos. Primer paso:

Mueve todo con la variable a la izquierda y sin ella a la derecha:

Aquí hay otros similares:

Obviamente, esta ecuación lineal no tiene solución, por eso la escribimos de esta manera:

\\ [\\ varnothing \\],

o no hay raíces.

Matices de solución

Ambas ecuaciones están completamente resueltas. Usando estas dos expresiones como ejemplo, una vez más nos aseguramos de que incluso en las ecuaciones lineales más simples, todo puede no ser tan simple: puede haber una raíz, ninguna, o infinitas. En nuestro caso, consideramos dos ecuaciones, en ambas simplemente no hay raíces.

Pero me gustaría llamar su atención sobre otro hecho: cómo trabajar con paréntesis y cómo abrirlos si hay un signo menos delante de ellos. Considere esta expresión:

Antes de divulgar, debe multiplicar todo por "X". Nota: multiplica cada término individual... Dentro hay dos términos, respectivamente, dos términos y multiplicado.

Y solo después de que se realicen estas transformaciones aparentemente elementales, pero muy importantes y peligrosas, puede abrir el paréntesis desde el punto de vista del hecho de que hay un signo menos después de él. Sí, sí: solo ahora, cuando se completan las transformaciones, recordamos que hay un signo menos delante de los corchetes, lo que significa que todo lo que está abajo solo cambia de signo. En este caso, los corchetes desaparecen y, lo que es más importante, el signo menos inicial también desaparece.

Hacemos lo mismo con la segunda ecuación:

No es casualidad que llame la atención sobre estos pequeños hechos aparentemente insignificantes. Porque resolver ecuaciones es siempre una secuencia de transformaciones elementales, donde la incapacidad para realizar acciones simples de manera clara y competente lleva al hecho de que los estudiantes de secundaria vienen a mí y vuelven a aprender a resolver ecuaciones tan simples.

Por supuesto, llegará el día y perfeccionará estas habilidades hasta el automatismo. Ya no tendrás que realizar tantas transformaciones cada vez, escribirás todo en una línea. Pero mientras está aprendiendo, debe escribir cada acción por separado.

Resolver ecuaciones lineales aún más complejas

Lo que vamos a resolver ahora es difícil de llamar la tarea más simple, pero el significado sigue siendo el mismo.

Problema número 1

\\ [\\ left (7x + 1 \\ right) \\ left (3x-1 \\ right) -21 ((x) ^ (2)) \u003d 3 \\]

Multipliquemos todos los elementos de la primera parte:

Hagamos la reclusión:

Aquí hay otros similares:

Realizamos el último paso:

\\ [\\ frac (-4x) (4) \u003d \\ frac (4) (- 4) \\]

Aquí está nuestra respuesta final. Y, a pesar de que en el proceso de resolución teníamos coeficientes con función cuadrática, se aniquilaron mutuamente, lo que hace que la ecuación sea exactamente lineal, no cuadrada.

Problema número 2

\\ [\\ left (1-4x \\ right) \\ left (1-3x \\ right) \u003d 6x \\ left (2x-1 \\ right) \\]

Demos el primer paso con claridad: multiplique cada elemento del primer corchete por cada elemento del segundo. En total, debería haber cuatro términos nuevos después de las transformaciones:

Ahora realicemos cuidadosamente la multiplicación en cada término:

Muevamos los términos con "x" a la izquierda y sin - a la derecha:

\\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x \u003d -1 \\]

Aquí hay términos similares:

Una vez más, recibimos la respuesta final.

Matices de solución

La nota más importante sobre estas dos ecuaciones es la siguiente: tan pronto como empecemos a multiplicar los paréntesis en los que hay más de un término, esto se hace de acuerdo con la siguiente regla: tomamos el primer término del primero y multiplica con cada elemento del segundo; luego tomamos el segundo elemento del primero y multiplicamos de manera similar con cada elemento del segundo. Como resultado, obtenemos cuatro términos.

Suma algebraica

Con el último ejemplo, me gustaría recordarles a los estudiantes qué es una suma algebraica. En matemáticas clásicas, por $ 1-7 $ nos referimos a una construcción simple: reste siete de uno. En álgebra, queremos decir con esto lo siguiente: al número "uno" agregamos otro número, a saber, "menos siete". Así es como la suma algebraica se diferencia de la aritmética habitual.

Una vez, al realizar todas las transformaciones, cada suma y multiplicación, comienzas a ver construcciones similares a las descritas anteriormente, simplemente no tendrás ningún problema en álgebra al trabajar con polinomios y ecuaciones.

En conclusión, veamos un par de ejemplos más que serán incluso más complejos que los que acabamos de ver, y para resolverlos tendremos que expandir ligeramente nuestro algoritmo estándar.

Resolver ecuaciones con una fracción

Para resolver este tipo de problemas, tendremos que agregar un paso más a nuestro algoritmo. Pero primero, recordaré nuestro algoritmo:

1. Expanda los corchetes.
2. Resuelve variables.
3. Traiga otros similares.
4. Dividir por factor.

Por desgracia, este maravilloso algoritmo, a pesar de su eficacia, no es del todo apropiado cuando nos enfrentamos a fracciones. Y en lo que veremos a continuación, tenemos una fracción a la izquierda y a la derecha en ambas ecuaciones.

¿Cómo trabajar en este caso? ¡Todo es muy sencillo! Para hacer esto, debe agregar un paso más al algoritmo, que se puede hacer tanto antes como después de la primera acción, es decir, deshacerse de las fracciones. Así, el algoritmo será el siguiente:

1. Deshazte de las fracciones.
2. Expanda los corchetes.
3. Resuelve variables.
4. Traiga otros similares.
5. Dividir por factor.

¿Qué significa "deshacerse de las fracciones"? ¿Y por qué se puede hacer esto antes y después del primer paso estándar? De hecho, en nuestro caso, todas las fracciones son numéricas por el denominador, es decir, en todas partes del denominador hay solo un número. Por lo tanto, si multiplicamos ambos lados de la ecuación por este número, nos deshacemos de las fracciones.

Ejemplo 1

\\ [\\ frac (\\ left (2x + 1 \\ right) \\ left (2x-3 \\ right)) (4) \u003d ((x) ^ (2)) - 1 \\]

Eliminemos las fracciones en esta ecuación:

\\ [\\ frac (\\ left (2x + 1 \\ right) \\ left (2x-3 \\ right) \\ cdot 4) (4) \u003d \\ left (((x) ^ (2)) - 1 \\ right) \\ cdot cuatro \\]

Presta atención: todo se multiplica por "cuatro" una vez, es decir. el hecho de que tenga dos paréntesis no significa que deba multiplicar cada uno de ellos por cuatro. Vamos a escribir:

\\ [\\ left (2x + 1 \\ right) \\ left (2x-3 \\ right) \u003d \\ left (((x) ^ (2)) - 1 \\ right) \\ cdot 4 \\]

Ahora abramos:

Resuelve la variable:

Realizamos la reducción de plazos similares:

\\ [- 4x \u003d -1 \\ left | : \\ izquierda (-4 \\ derecha) \\ derecha. \\]

\\ [\\ frac (-4x) (- 4) \u003d \\ frac (-1) (- 4) \\]

Tenemos la solución final, pasamos a la segunda ecuación.

Ejemplo No. 2

\\ [\\ frac (\\ left (1-x \\ right) \\ left (1 + 5x \\ right)) (5) + ((x) ^ (2)) \u003d 1 \\]

Aquí realizamos todas las mismas acciones:

\\ [\\ frac (\\ left (1-x \\ right) \\ left (1 + 5x \\ right) \\ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \\ cdot 5 \u003d 5 \\]

\\ [\\ frac (4x) (4) \u003d \\ frac (4) (4) \\]

El problema ha sido resuelto.

Eso es, de hecho, todo lo que quería contar hoy.

Puntos clave

Los hallazgos clave son los siguientes:

• Conoce el algoritmo para resolver ecuaciones lineales.
• Posibilidad de abrir soportes.
• No se preocupe si tiene funciones cuadráticas en alguna parte, lo más probable es que se reduzcan en el proceso de más transformaciones.
• Las raíces en las ecuaciones lineales, incluso las más simples, son de tres tipos: una sola raíz, la recta numérica entera es una raíz, no hay raíces en absoluto.

Espero que esta lección le ayude a dominar un tema simple pero muy importante para una mayor comprensión de todas las matemáticas. Si algo no está claro, vaya al sitio, resuelva los ejemplos que se presentan allí. ¡Estén atentos para muchas cosas más interesantes!

Cómo aprender a resolver ecuaciones simples y complejas

¡Queridos padres!

Sin una formación matemática básica, es imposible formular la educación de una persona moderna. En la escuela, las matemáticas sirven como materia de referencia para muchas disciplinas relacionadas. En la vida post-escolar, la educación permanente se convierte en una necesidad real, que requiere una formación escolar general básica, incluidas las matemáticas.

En la escuela primaria, no solo se establecen conocimientos sobre los temas principales, sino que también se desarrollan el pensamiento lógico, la imaginación y las representaciones espaciales, y también se forma un interés en este tema.

Al observar el principio de continuidad, nos centraremos en el tema más importante, a saber "La relación entre los componentes de las acciones en la resolución de ecuaciones compuestas".

Con esta lección, puede aprender fácilmente a resolver ecuaciones complicadas. En la lección, se familiarizará en detalle con instrucciones paso a paso para resolver ecuaciones complejas.

Muchos padres están perplejos ante la pregunta: cómo hacer que los niños aprendan a resolver ecuaciones simples y complejas. Si las ecuaciones son simples, eso es la mitad del problema, pero también hay complejas, por ejemplo, integrales. Por cierto, a título informativo, existen tales ecuaciones, por cuya solución luchan las mejores mentes de nuestro planeta y por cuya solución se emiten premios monetarios muy importantes. Por ejemplo, si recuerdasPerelmany una bonificación en efectivo no reclamada de varios millones.

Sin embargo, volvamos a las ecuaciones matemáticas simples y repitamos los tipos de ecuaciones y los nombres de los componentes. Un poco de calentamiento:

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CALENTAMIENTO

Encuentre el número adicional en cada columna:

2) ¿Qué palabra falta en cada columna?

3) Conecte las palabras de la primera columna con las palabras de la segunda columna.

"Ecuación" "Igualdad"

4) ¿Cómo explica qué es la igualdad?

5) ¿Y la "ecuación"? ¿Es esto igualdad? ¿Qué es tan especial en eso?

suma de término

diferencia decreciente

producto restado

factorigualdad

dividendo

la ecuacion

Conclusión: una ecuación es igualdad con una variable cuyo valor debe encontrarse.

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Invito a cada grupo a escribir en una hoja de papel con un rotulador las ecuaciones: (en la pizarra)

Grupo 1: con un término desconocido; Grupo 2: con una desconocida disminuida; Grupo 3: con una deducción desconocida; Grupo 4: con un divisor desconocido; Grupo 5: con un dividendo desconocido; Grupo 6: con un multiplicador desconocido.

1 grupo x + 8 \u003d 15 2 grupo x - 8 \u003d 7 3 grupo 48 - x \u003d 36 4 grupo 540: x \u003d 9 5 grupo x: 15 \u003d 9 6 grupo x * 10 \u003d 360

Uno del grupo debe leer su ecuación en lenguaje matemático y comentar su solución, es decir, hablar la operación que se está realizando con los componentes conocidos de las acciones (algoritmo).

Conclusión: Somos capaces de resolver ecuaciones simples de todo tipo según el algoritmo, leer y escribir expresiones literales.

Propongo resolver un problema en el que aparece un nuevo tipo de ecuaciones.

Conclusión: Nos familiarizamos con la solución de ecuaciones, una de cuyas partes contiene una expresión numérica, cuyo valor se debe encontrar y se obtiene una ecuación simple.

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Considere otra versión de la ecuación, cuya solución se reduce a resolver una cadena de ecuaciones simples. Aquí está una de las introducciones de ecuaciones compuestas.

a + b * c (x - y): 3 2 * d + (m - n) ¿Escribes ecuaciones? ¿Por qué? ¿Cómo se llaman estas acciones? Léelos llamando a la última acción:

No. Estas no son ecuaciones, porque la ecuación debe tener un signo "\u003d". Expresiones a + b * c - la suma del número a y el producto de los números by c; (x - y): 3 - el cociente de la diferencia entre los números xey; 2 * d + (m - n) - la suma del número duplicado d y la diferencia entre los números my n.

Los invito a todos a escribir una oración en lenguaje matemático:

El producto de la diferencia entre los números xy 4 y el número 3 es 15.

CONCLUSIÓN: La situación problemática que ha surgido motiva el establecimiento del objetivo de la lección: aprender a resolver ecuaciones en las que el componente desconocido es una expresión. Estas ecuaciones son ecuaciones compuestas.

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¿O quizás nos ayuden los tipos de ecuaciones ya estudiadas? (algoritmos)

¿A qué ecuación conocida se parece nuestra ecuación? X * a \u003d b

PREGUNTA MUY IMPORTANTE: ¿Cuál es la expresión del lado izquierdo: suma, diferencia, producto o cociente?

(x - 4) * 3 \u003d 15 (Producto)

¿Por qué? (ya que la última acción es la multiplicación)

Producción:Estas ecuaciones aún no se han considerado. Pero puedes decidir si la expresiónx - 4 Ponga una tarjeta (y es un juego) y obtendrá una ecuación que puede resolverse fácilmente usando un algoritmo simple para encontrar el componente desconocido.

Al resolver ecuaciones compuestas, es necesario seleccionar una acción a nivel automatizado en cada paso, comentando, nombrando los componentes de la acción.

Simplificar parte

No ↓ sí

(años - 5) * 4 = 28
años - 5 = 28: 4
y - 5 \u003d 7
y \u003d 5 +7
y \u003d 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 \u003d 28 (y)

Producción:En clases con diferentes antecedentes, este trabajo puede organizarse de diferentes maneras. En clases más preparadas, incluso para la consolidación inicial, se pueden utilizar expresiones en las que no dos, sino tres o más acciones, pero su solución requiere más pasos con cada paso simplificando la ecuación hasta obtener una ecuación simple. Y cada vez se puede observar cómo cambia el componente desconocido de las acciones.

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CONCLUSIÓN:

Cuando se trata de algo muy simple, comprensible, a menudo decimos: "¡El asunto está claro, como dos y dos son cuatro!"

Pero antes de pensar que dos por dos son cuatro, la gente tuvo que estudiar durante muchos, muchos miles de años.

Muchas de las reglas de los libros de texto escolares de aritmética y geometría eran conocidas por los antiguos griegos hace más de dos mil años.

En todas partes, donde es necesario contar algo, medir, comparar, no se puede prescindir de las matemáticas.

Es difícil imaginar cómo viviría la gente si no supiera contar, medir, comparar. Eso es lo que enseñan las matemáticas.

Hoy se sumergieron en la vida escolar, desempeñaron el papel de estudiantes y los invito, queridos padres, a evaluar sus habilidades en una escala.

Mis habilidades	Fecha y presupuesto
Componentes de acción.
Ecuación con componente desconocido.
Expresiones de lectura y escritura.
Encuentra la raíz de una ecuación en una ecuación simple.
Encuentra la raíz de una ecuación que contiene una expresión numérica.
Encuentra la raíz de una ecuación en la que el componente de acción desconocido es una expresión.