El número más simple es número natural... Se utilizan en la vida cotidiana para contar. elementos, es decir para calcular su número y orden.
¿Qué es un número natural? números naturalesson los números que se utilizan para contar artículos o para indicar el número de serie de cualquier artículo de todos los homogéneosartículos.
Enteros son números que comienzan desde uno. Se forman naturalmente durante el conteo.Por ejemplo, 1,2,3,4,5 ... -primeros números naturales.
Número natural más pequeño - uno. No existe el mayor número natural. Al contar el número cero no se usa, por lo que cero es un número natural.
Serie natural de números es una secuencia de todos los números naturales. Notación de números naturales:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
En una fila natural, cada número es mayor que el anterior uno por uno.
¿Cuántos números hay en una fila natural? El número natural es infinito, el número natural más grande no existe.
Decimal ya que 10 unidades de cualquier dígito forman 1 unidad del dígito más significativo. Posicional cómo el significado de un dígito depende de su lugar en el número, es decir de la categoría donde está escrito.
Clases de números naturales.
Cualquier número natural se puede escribir usando 10 números arábigos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Para leer los números naturales, se dividen, comenzando por la derecha, en grupos de 3 números cada uno. 3 primero los números de la derecha son la clase de unidades, los siguientes 3 son la clase de miles, luego las clases de millones, miles de millones yetc. Cada uno de los números de la clase se llamadescarga.
Comparación de números naturales.
De los 2 números naturales, el menor es el número que se llama antes al contar. por ejemplo, numero 7 menos 11 (escrito así:7 < 11 ). Cuando un número es mayor que el segundo, se escribe así:386 > 99 .
Tabla de categorías y clases de números.
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Unidad de primera clase |
1er dígito de la unidad Decenas de segundo rango 3er rango cientos |
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2da clase mil |
Unidades de 1er dígito de mil 2do rango decenas de miles 3er rango cientos de miles |
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Millones de tercer grado |
1er dígito unidad millón 2do rango decenas de millones 3er rango cientos de millones |
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Billones de cuarto grado |
1er dígito unidad mil millones 2do rango decenas de miles de millones 3er rango cientos de miles de millones |
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Los números de quinto grado y superiores son números grandes. Unidades de quinto grado - billones, sexto clase - cuatrillones, séptimo grado - quintillones, octavo grado - sextillones, noveno grado -eptillones. Propiedades básicas de los números naturales.
Acciones sobre números naturales. 4. División de números naturales: operación opuesta a la multiplicación. Si un b ∙ c \u003d aentonces
Fórmulas de división: a: 1 \u003d a a: a \u003d 1, a ≠ 0 0: a \u003d 0, a ≠ 0 (y ∙ b): c \u003d (a: c) ∙ b (y ∙ b): c \u003d (b: c) ∙ a Expresiones numéricas e igualdades numéricas. La notación donde los números están conectados por signos de acción es expresión numérica. Por ejemplo, 10 ∙ 3 + 4; (60-2 ∙ 5): 10. Los registros donde se combinan 2 expresiones numéricas con un signo igual son igualdades numéricas. La igualdad tiene lados izquierdos y derechos. El orden de realizar operaciones aritméticas. La suma y resta de números son acciones de primer grado y la multiplicación y división son acciones de segundo grado. Cuando una expresión numérica consta de acciones de un solo grado, se realizan de forma secuencialde izquierda a derecha. Cuando las expresiones consisten en acciones de solo el primer y segundo grado, las acciones se realizan primero segundo grado, y luego - acciones de primer grado. Cuando hay corchetes en la expresión, las acciones entre corchetes se realizan primero. Por ejemplo, 36: (10-4) + 3 ∙ 5 \u003d 36: 6 + 15 \u003d 6 + 15 \u003d 21. |
Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que una tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga se arrastra otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
Este razonamiento fue un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Todos ellos, de una forma u otra, consideraron las aporías de Zenón. El impacto fue tan fuerte que " ... las discusiones continúan en la actualidad, la comunidad científica aún no ha logrado llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... análisis matemático, teoría de conjuntos, nuevos enfoques físicos y filosóficos se involucraron en el estudio del tema; ninguno de ellos se ha convertido en una solución generalmente aceptada a la pregunta ..."[Wikipedia, Aporía de Zeno"]. Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende qué es el engaño.
Desde el punto de vista de las matemáticas, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de magnitud a. Esta transición implica aplicar en lugar de constantes. Por lo que tengo entendido, el aparato matemático para usar unidades variables de medida aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia de pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constante al recíproco. Desde un punto de vista físico, parece una dilatación del tiempo hasta que se detiene por completo en el momento en que Aquiles está al nivel de la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no puede alcanzar a la tortuga.
Si damos la vuelta a la lógica a la que estamos acostumbrados, todo encaja. Aquiles corre a velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará infinitamente rápidamente a la tortuga".
¿Cómo puedes evitar esta trampa lógica? Manténgase en unidades de tiempo constantes y no retroceda. En el lenguaje de Zenón, se ve así:
Durante el tiempo en el que Aquiles correrá mil pasos, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo, igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.
Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esta no es una solución completa al problema. La afirmación de Einstein sobre la insuperable velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zeno "Aquiles y la tortuga". Aún tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.
Otra aporía interesante que Zeno habla sobre una flecha voladora:
Una flecha voladora está inmóvil, ya que en todo momento está en reposo, y como está en reposo en todo momento, siempre está en reposo.
En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento del tiempo una flecha voladora descansa en diferentes puntos del espacio, que, de hecho, es movimiento. Aquí conviene señalar otro punto. Es imposible determinar el hecho de su movimiento o la distancia a él a partir de una sola fotografía de un automóvil en la carretera. Para determinar el hecho del movimiento del automóvil, se necesitan dos fotografías, tomadas desde el mismo punto en diferentes puntos en el tiempo, pero la distancia no se puede determinar a partir de ellas. Para determinar la distancia al automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos en el espacio al mismo tiempo, pero es imposible determinar el hecho del movimiento desde ellas (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará). Lo que quiero llamar la atención especial es el hecho de que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.
miércoles, 4 de julio de 2018
La distinción entre conjuntos y conjuntos múltiples está muy bien descrita en Wikipedia. Miramos.
Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiset". Los seres racionales nunca comprenderán semejante lógica del absurdo. Este es el nivel de los loros que hablan y los monos entrenados, que carecen de inteligencia de la palabra "absolutamente". Los matemáticos actúan como entrenadores ordinarios y nos predican sus ideas absurdas.
Una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente durante las pruebas del puente. Si el puente colapsaba, el incompetente ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente pudiera soportar la carga, un ingeniero talentoso construiría otros puentes.
No importa cuánto se escondan los matemáticos detrás de la frase "chur, estoy en la casa", o más bien "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Apliquemos la teoría matemática de conjuntos a los propios matemáticos.
Estudiamos muy bien matemáticas y ahora estamos sentados en la caja dando sueldos. Un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos la cantidad total y la colocamos en nuestra mesa en diferentes pilas, en las que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada pila y le entregamos al matemático su “salario matemático”. Explicamos las matemáticas que recibirá el resto de las facturas solo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde la diversión comienza.
En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: "¡Puedes aplicarlo a otros, no puedes aplicarlo a mí!" Además, comenzaremos a asegurarnos que existen diferentes números de denominación en billetes de la misma denominación, lo que significa que no pueden considerarse los mismos elementos. Bien, contemos el salario en monedas, no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos en cada moneda es única ...
Y ahora tengo la pregunta más interesante: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiset se convierten en elementos de un set y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia no se encuentra cerca de aquí.
Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con el mismo campo. El área de los campos es la misma, lo que significa que tenemos un multiset. Pero si consideramos los nombres de los mismos estadios, obtenemos mucho, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, un mismo conjunto de elementos es un conjunto y un conjunto múltiple al mismo tiempo. ¿Cómo es correcto? Y aquí el matemático-chamán-schuller saca un as de triunfo de su manga y comienza a contarnos sobre el set o sobre el multiset. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.
Para comprender cómo los chamanes modernos operan con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta con responder una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Les mostraré, sin ningún "pensable como no un todo único" o "no pensable como un todo".
domingo, 18 de marzo de 2018
La suma de los dígitos del número es una danza de chamanes con pandereta, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas se nos enseña a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarlo, pero es por eso que son chamanes para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario los chamanes simplemente morirán.
¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página Suma de dígitos de un número. No existe. No existe una fórmula en matemáticas mediante la cual puedas encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con la ayuda de los cuales escribimos números y en el lenguaje de las matemáticas la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes, es elemental.
Veamos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número dado. Entonces, tengamos el número 12345. ¿Qué se debe hacer para hallar la suma de los dígitos de este número? Repasemos todos los pasos en orden.
1. Escribimos el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo numérico gráfico. Esta no es una operación matemática.
2. Cortamos una imagen resultante en varias imágenes que contienen números separados. Cortar una imagen no es una operación matemática.
3. Convierta símbolos gráficos individuales en números. Ésta no es una operación matemática.
4. Sume los números resultantes. Eso es matemáticas.
La suma de los dígitos de 12345 es 15. Estos son los "cursos de corte y costura" de los chamanes utilizados por los matemáticos. Pero eso no es todo.
Desde el punto de vista de las matemáticas, no importa en qué sistema numérico escribamos el número. Entonces, en diferentes sistemas numéricos, la suma de los dígitos del mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. Con un gran número 12345, no quiero engañarme, considere el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas de notación binaria, octal, decimal y hexadecimal. No miraremos cada paso bajo un microscopio, ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.
Como puede ver, en diferentes sistemas numéricos, la suma de los dígitos del mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si obtuvieras resultados completamente diferentes al determinar el área de un rectángulo en metros y centímetros.
El cero en todos los sistemas numéricos se ve igual y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento para el hecho de que. Una pregunta para los matemáticos: ¿cómo se designa algo que no es un número en matemáticas? ¿Qué, para los matemáticos, no existe nada más que números? Para los chamanes, puedo permitir esto, pero para los científicos, no. La realidad no se trata solo de números.
Este resultado debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida para los números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a resultados diferentes después de su comparación, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.
¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una acción matemática no depende del valor del número, la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.
Oh! ¿No es este un baño de mujeres?
- ¡Niña! ¡Este es un laboratorio para el estudio de la santidad indiscriminada de las almas durante la ascensión al cielo! Halo arriba y flecha apuntando hacia arriba. ¿Qué otro baño?
Femenino ... El nimbo de arriba y la flecha hacia abajo es masculino.
Si tiene ante sus ojos una obra de arte de diseño de este tipo varias veces al día,
Entonces no es de extrañar que en tu coche encuentres de repente un icono extraño:
Personalmente, me esfuerzo en mí mismo para que en una persona que hace caca (una imagen), pueda ver menos cuatro grados (una composición de varias imágenes: signo menos, número cuatro, designación de grados). Y no creo que esta chica sea una tonta que no sepa física. Simplemente tiene un estereotipo de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto constantemente. He aquí un ejemplo.
1A no es "menos cuatro grados" o "una a". Este es "hombre cagando" o el número "veintiséis" en notación hexadecimal. Las personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente el número y la letra como un símbolo gráfico.
Los números naturales son familiares e intuitivos para una persona, porque nos rodean desde la infancia. En el artículo a continuación, brindaremos una comprensión básica del significado de los números naturales, describiremos las habilidades básicas para escribirlos y leerlos. Toda la parte teórica irá acompañada de ejemplos.
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Comprensión general de los números naturales
En una determinada etapa del desarrollo de la humanidad surgió la tarea de contar ciertos objetos y designar su número, lo que, a su vez, requería encontrar una herramienta para solucionar este problema. Los números naturales se han convertido en una herramienta de este tipo. El propósito principal de los números naturales también es claro: dar una idea del número de objetos o el número de serie de un objeto en particular, si estamos hablando de un conjunto.
Es lógico que para que una persona utilice números naturales, es necesario tener una forma de percibirlos y reproducirlos. Entonces, un número natural se puede expresar o representar, que son formas naturales de transmitir información.
Considere las habilidades básicas de sonar (leer) y mostrar (escribir) números naturales.
Notación decimal de un número natural
Recordemos cómo se representan los siguientes caracteres (los indicamos separados por comas): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . A estos letreros los llamamos números.
Ahora tomemos como regla que al mostrar (escribir) cualquier número natural, solo se utilizan los dígitos indicados sin la participación de ningún otro símbolo. Deja que los dígitos al escribir un número natural tengan la misma altura, se escriben uno tras otro en una línea y siempre hay un dígito a la izquierda que es diferente de cero.
Demos ejemplos de la notación correcta de números naturales: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500 001. Las sangrías entre los números no son siempre las mismas, esto se discutirá con más detalle a continuación al estudiar las clases de números. Los ejemplos dados muestran que al escribir un número natural, no es necesario que estén presentes todos los dígitos de la serie anterior. Algunos o todos pueden repetirse.
Definición 1
Los registros de la forma: 065, 0, 003, 0791 no son registros de números naturales, ya que a la izquierda está el número 0.
El registro correcto de un número natural, realizado teniendo en cuenta todos los requisitos descritos, se denomina notación decimal de un número natural.
El significado cuantitativo de los números naturales
Como ya se mencionó, los números naturales inicialmente tienen, entre otras cosas, un significado cuantitativo. Los números naturales, como herramienta de numeración, se tratan en el tema de comparar números naturales.
Comencemos con los números naturales, cuyos registros coinciden con los registros de números, es decir: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Imagina un objeto, por ejemplo, este: Ψ. Podemos escribir lo que vemos 1 tema. El número natural 1 se lee como "uno" o "uno". El término "unidad" también tiene otro significado: algo que puede verse como un todo. Si hay un conjunto, entonces cualquier elemento del mismo puede ser designado por uno. Por ejemplo, de una multitud de ratones, cualquier ratón es una unidad; cualquier flor de muchas flores es una unidad.
Ahora imagina: Ψ Ψ. Vemos un objeto y un objeto más, es decir en el registro será - 2 elementos. Leemos el número natural 2 como "dos".
Además, por analogía: Ψ Ψ Ψ - 3 elementos ("tres"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4 ("cuatro"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5 ("cinco"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 6 ("Seis"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 7 (“siete”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 8 (“ocho”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 9 (“ nueve").
Desde la posición indicada, la función de un número natural es indicar cantidad artículos.
Definición 1
Si la grabación del número coincide con la grabación del dígito 0, ese número se llama "cero". El cero no es un número natural, pero considérelo junto con otros números naturales. Cero denota ausencia, es decir cero elementos significa ninguno.
Números naturales de un solo dígito
Es un hecho obvio que al escribir cada uno de los números naturales que se discutieron anteriormente (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), usamos un signo: un dígito.
Definición 2
Número natural de un solo dígito - un número natural, que se escribe con un carácter - un dígito.
Hay nueve números naturales de un solo dígito: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Números naturales de dos y tres dígitos
Definición 3Números naturales de dos dígitos - números naturales, cuya grabación utiliza dos caracteres - dos dígitos. En este caso, los números utilizados pueden ser iguales o diferentes.
Por ejemplo, los números naturales 71, 64, 11 son números de dos dígitos.
Considere el significado de números de dos dígitos. Nos basaremos en el significado cuantitativo ya conocido de los números naturales de un solo dígito.
Introduzcamos un concepto como "diez".
Imagine un conjunto de elementos, que consta de nueve y uno más. En este caso, podemos hablar de 1 docena ("una docena") de elementos. Si imaginamos una docena y una más, hablaremos de 2 decenas ("dos decenas"). Sumando una más a dos decenas, obtenemos tres decenas. Y así sucesivamente: si continuamos sumando diez a la vez, obtendremos cuatro decenas, cinco decenas, seis decenas, siete decenas, ocho decenas y finalmente nueve decenas.
Veamos un número de dos dígitos como un conjunto de números de un solo dígito, uno de los cuales está escrito a la derecha y el otro a la izquierda. El número de la izquierda indicará el número de decenas en el número natural y el número de la derecha indicará el número de unidades. En el caso de que el número 0 esté ubicado a la derecha, entonces estamos hablando de ausencia de unidades. Lo anterior es el significado cuantitativo de los números naturales de dos dígitos. Hay 90 de ellos en total.
Definición 4
Números naturales de tres dígitos - números naturales, que se registran con tres caracteres - tres dígitos. Los números pueden ser diferentes o repetidos en cualquier combinación.
Por ejemplo, 413, 222, 818, 750 son números naturales de tres dígitos.
Para comprender el significado cuantitativo de los números naturales de tres dígitos, presentamos el concepto "un centenar".
Definición 5
Cien (cien) Es un conjunto de diez docenas. Ciento cien más serán doscientos. Suma cien más y obtén 300. Sumando cien gradualmente, obtenemos: cuatrocientos, quinientos, seiscientos, setecientos, ochocientos, novecientos.
Considere la notación misma de un número de tres dígitos: los números naturales de un solo dígito incluidos en él se escriben uno tras otro de izquierda a derecha. El número de un dígito en el extremo derecho indica el número de unidades; el siguiente número de un solo dígito a la izquierda, por el número de decenas; el número de un solo dígito más a la izquierda, por el número de centenas. Si el número 0 participa en la grabación, indica la ausencia de unidades y / o decenas.
Entonces, el número natural de tres dígitos 402 significa: 2 unidades, 0 decenas (no hay decenas que no se combinen en centenas) y 4 centenas.
Por analogía, se da la definición de números naturales de cuatro dígitos, cinco dígitos, etc.
Números naturales de varios dígitos
De todo lo anterior, ahora es posible pasar a la definición de números naturales de valores múltiples.
Definición 6
Números naturales de varios dígitos - números naturales, que se registran con dos o más caracteres. Los números naturales de varios dígitos son números de dos dígitos, tres dígitos, etc.
Mil es una multitud de diezcientos; un millón es mil mil; mil millones - mil millones; un billón - mil billones. Incluso los conjuntos más grandes también tienen nombres, pero rara vez se usan.
De manera similar al principio anterior, podemos considerar cualquier número natural de varios dígitos como un conjunto de números naturales de un solo dígito, cada uno de los cuales, al estar en un lugar determinado, indica la presencia y el número de unidades, decenas, cientos, miles, decenas de miles, cientos de miles, millones, decenas de millones. , cientos de millones, miles de millones y así sucesivamente (de derecha a izquierda, respectivamente).
Por ejemplo, el número de varios dígitos 4 912 305 contiene: 5 unidades, 0 decenas, trescientas, 2 mil, 1 decena de mil, 9cientas mil y 4 millones.
Resumiendo, examinamos la habilidad de agrupar unidades en varios conjuntos (decenas, centenas, etc.) y vimos que los números en la notación de un número natural de varios dígitos son la designación del número de unidades en cada uno de esos conjuntos.
Lectura de números naturales, clases
En teoría, arriba hemos designado los nombres de los números naturales. En la tabla 1, indicamos cómo usar correctamente los nombres de números naturales de un solo dígito en el habla y en la notación de letras:
| Número | Genero masculino | Género femenino | Género neutro |
|
1 |
Uno |
Uno |
Uno |
| Número | Caso nominativo | Genitivo | Dativo | Acusativo | Caso instrumental | Prepositivo |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Uno Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho Nueve |
De uno Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho Nueve |
Uno Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho Nueve |
Uno Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho Nueve |
Uno Dos Tres Cuatro Cinco Seis Familia Ocho Nueve |
Sobre uno Sobre dos Alrededor de tres Cerca de cuatro Oh cinco Alrededor de seis Alrededor de las siete Alrededor de las ocho Alrededor de las nueve |
Para leer y escribir correctamente números de dos dígitos, debe conocer los datos de la Tabla 2:
| Número |
Masculino, femenino y neutro |
| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 |
Diez Once Doce Trece Catorce Quince Dieciséis De diecisiete Dieciocho Diecinueve Veinte Treinta Cuarenta Cincuenta Sesenta Setenta Ochenta Noventa |
| Número | Caso nominativo | Genitivo | Dativo | Acusativo | Caso instrumental | Prepositivo |
| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 |
Diez Once Doce Trece Catorce Quince Dieciséis De diecisiete Dieciocho Diecinueve Veinte Treinta Cuarenta Cincuenta Sesenta Setenta Ochenta Noventa |
Diez |
Diez Once Doce Trece Catorce Quince Dieciséis De diecisiete Dieciocho Diecinueve Veinte Treinta Urraca Cincuenta Sesenta Setenta Ochenta Noventa |
Diez Once Doce Trece Catorce Quince Dieciséis De diecisiete Dieciocho Diecinueve Veinte Treinta Cuarenta Cincuenta Sesenta Setenta Ochenta Noventa |
Diez Once Doce Trece Catorce Quince Dieciséis De diecisiete Dieciocho Diecinueve Veinte Treinta Urraca Cincuenta Sesenta Setenta Ochenta Noventa |
Como diez Sobre las once Alrededor de las doce Unos trece Unos catorce Alrededor de quince Unos dieciséis Unos diecisiete Unos dieciocho Unos diecinueve Alrededor de veinte Unos Treinta Cerca de cuarenta Unos cincuenta Unos sesenta Unos setenta Unos ochenta Alrededor de noventa |
Para leer otros números naturales de dos dígitos, usaremos los datos de ambas tablas, considérelo con un ejemplo. Digamos que necesitamos leer el número 21 natural de dos dígitos. Este número contiene 1 unidad y 2 decenas, es decir 20 y 1. Refiriéndonos a las tablas, leeremos el número indicado como "veintiuno", mientras que la unión "y" entre palabras no necesita ser pronunciada. Digamos que necesitamos usar el número 21 especificado en una oración determinada, indicando el número de elementos en el caso genitivo: "no hay 21 manzanas". En este caso, la pronunciación sonará como sigue: "no hay veintiún manzanas".
Para mayor claridad, demos otro ejemplo: el número 76, que se leerá como "setenta y seis" y, por ejemplo, "setenta y seis toneladas".
| Número | Nominativo | Genitivo | Dativo | Acusativo | Caso instrumental | Prepositivo |
| 100 200 300 400 500 600 700 800 900 |
Cien Doscientos Trescientos Cuatrocientos Quinientos Seiscientos Setecientos Ochocientos Novecientos |
Cien Doscientos Trescientos Cuatrocientos Quinientos Seiscientos Setecientos Ochocientos Novecientos |
Cien Doscientos Trescientos Cuatrocientos Quinientos Seiscientos Semist Ochocientos Novecientos |
Cien Doscientos Trescientos Cuatrocientos Quinientos Seiscientos Setecientos Ochocientos Novecientos |
Cien Doscientos Trescientos Cuatrocientos Quinientos Seiscientos Setecientos Ochocientos Novecientos |
Alrededor de cien Alrededor de doscientos Alrededor de trescientos Cerca de cuatrocientos Cerca de quinientos Cerca de seiscientos Cerca de setecientos Alrededor de ochocientos Cerca de novecientos |
Para leer completamente un número de tres dígitos, también usamos los datos de todas las tablas indicadas. Por ejemplo, dado el número natural 305. Este número corresponde a 5 unidades, 0 decenas y 3 centenas: 300 y 5. Tomando la tabla como base, leemos: "trescientos cinco" o en declinación por casos, por ejemplo, así: "trescientos cinco metros".
Leamos otro número: 543. De acuerdo con las reglas de las tablas, el número especificado sonará así: "quinientos cuarenta y tres" o en declinación por casos, por ejemplo, así: "no quinientos cuarenta y tres rublos".
Pasemos al principio general de lectura de números naturales de varios dígitos: para leer un número de varios dígitos, es necesario dividirlo de derecha a izquierda en grupos de tres dígitos, y el grupo de más a la izquierda puede contener 1, 2 o 3 dígitos. Estos grupos se denominan clases.
La clase de extrema derecha es la clase de unidades; luego, la siguiente clase, a la izquierda, es la clase de miles; además - la clase de millones; luego viene la clase de miles de millones, seguida de la clase de billones. Las siguientes clases también tienen un nombre, pero los números naturales que consisten en una gran cantidad de signos (16, 17 y más) rara vez se usan en la lectura, es bastante difícil percibirlos de oído.
Para facilitar la lectura, las clases están separadas entre sí por una pequeña sangría. Por ejemplo, 31 013 736, 134 678, 23 476009 434, 2533 467 001222.
| Clase billón |
Clase mil millones |
Clase millón |
Mil clase | Clase de unidad |
| 134 | 678 | |||
| 31 | 013 | 736 | ||
| 23 | 476 | 009 | 434 | |
| 2 | 533 | 467 | 001 | 222 |
Para leer un número de varios dígitos, llamamos sucesivamente a los números que lo componen (de izquierda a derecha por clase, agregando el nombre de la clase). El nombre de la clase de unidades no se pronuncia, y tampoco se pronuncian aquellas clases que componen tres dígitos 0. Si en la composición de una clase de la izquierda hay uno o dos dígitos 0, entonces no se usan de ninguna manera al leer. Por ejemplo, 054 lee cincuenta y cuatro o 001 lee uno.
Ejemplo 1
Analicemos en detalle la lectura del número 2533467001 222:
Leemos el número 2 como un componente de la clase del billón: "dos";
Al agregar el nombre de la clase, obtenemos: "dos billones";
Leemos el siguiente número, agregando el nombre de la clase correspondiente: "quinientos treinta y tres mil millones";
Continuamos por analogía, leyendo la siguiente clase a la derecha: “cuatrocientos sesenta y siete millones”;
En la siguiente clase, vemos dos dígitos 0, ubicados a la izquierda. De acuerdo con las reglas de lectura anteriores, los dígitos 0 se descartan y no participan en la lectura del registro. Entonces obtenemos: "mil";
Leemos la última clase de unidades sin agregar su nombre: "doscientos veintidós".
Así, el número 2 533 467 001 222 sonará así: dos billones quinientos treinta y tres mil cuatrocientos sesenta y siete millones mil doscientos veintidós. Usando este principio, leamos otros números dados:
31,013,736 - treinta y un millones trece mil setecientos treinta y seis;
134 678 - ciento treinta y cuatro mil seiscientos setenta y ocho;
23 476 009 434 - veintitrés mil cuatrocientos setenta y seis millones nueve mil cuatrocientos treinta y cuatro.
Por lo tanto, la base para la lectura correcta de números de varios dígitos es la habilidad de dividir un número de varios dígitos en clases, el conocimiento de los nombres correspondientes y la comprensión del principio de lectura de números de dos y tres dígitos.
Como ya se desprende de todo lo anterior, su valor depende de la posición en la que se registra el dígito del número. Es decir, por ejemplo, el número 3 en el número natural 314 denota el número de centenas, es decir, 3 centenas. El número 2 es el número de decenas (1 docena) y el número 4 es el número de unidades (4 unidades). En este caso, diremos que el número 4 está en el lugar de las unidades y es el valor del lugar de las unidades en un número dado. El número 1 está en el lugar de las decenas y sirve como el valor posicional de las decenas. El número 3 está en el lugar de las centenas y es el valor en el lugar de las centenas.
Definición 7
Descarga - esta es la posición del dígito en el registro de un número natural, así como el valor de este dígito, que está determinado por su posición en el número dado.
Las categorías tienen sus propios nombres, ya las hemos usado arriba. De derecha a izquierda, hay dígitos: unidades, decenas, centenas, miles, decenas de miles, etc.
Para facilitar la memorización, puede utilizar la siguiente tabla (indicamos 15 dígitos):
Aclaremos este detalle: el número de dígitos en un número de varios dígitos dado es el mismo que el número de caracteres en el número. Por ejemplo, esta tabla contiene los nombres de todos los dígitos de un número de 15 caracteres. Los dígitos posteriores también tienen nombres, pero se usan muy raramente y son muy incómodos para escuchar.
Con la ayuda de dicha tabla, es posible desarrollar la habilidad de determinar el rango escribiendo un número natural dado en la tabla de modo que el dígito más a la derecha se escriba en un dígito y luego en cada dígito por dígito. Por ejemplo, escribamos un número natural polivalente 56402513674 de la siguiente manera:
Preste atención al número 0 en el lugar de las decenas de millones: significa la ausencia de unidades de esta categoría.
Introduzcamos también los conceptos de los dígitos más bajo y más alto de un número de varios dígitos.
Definición 8
El dígito más bajo (menos significativo) cualquier número natural de varios dígitos: el lugar de los unos.
Categoría más alta (senior) de cualquier número natural de varios dígitos: la posición correspondiente al dígito más a la izquierda en el registro del número dado.
Entonces, por ejemplo, en el número 41 781: el rango más bajo - el rango de unos; el rango más alto es el rango de decenas de miles.
De ello se deduce lógicamente que es posible hablar de la antigüedad de las categorías entre sí. Cada dígito subsiguiente cuando se mueve de izquierda a derecha es más bajo (más joven) que el anterior. Y viceversa: cuando se mueve de derecha a izquierda, cada dígito subsiguiente es más alto (más antiguo) que el anterior. Por ejemplo, el rango de miles es más antiguo que el de cientos pero menor que el de millones.
Aclaremos que al resolver algunos ejemplos prácticos, no se utiliza el número natural en sí, sino la suma de los términos de bits de un número dado.
Brevemente sobre el sistema numérico decimal
Definición 9Notación - un método para escribir números usando signos.
Sistemas de números posicionales - aquellos en los que el valor del dígito en el número depende de su posición en el registro numérico.
De acuerdo con esta definición, podemos decir que, estudiando los números naturales anteriores y la forma en que están escritos, usamos el sistema numérico posicional. El número 10 juega un papel especial aquí. Seguimos contando en decenas: diez unidades hacen diez, diez decenas se combinarán en cien, etc. El número 10 sirve como base de este sistema numérico, y el sistema en sí también se llama decimal.
Además de ella, existen otros sistemas numéricos. Por ejemplo, la informática utiliza un sistema binario. Cuando hacemos un seguimiento del tiempo, usamos el sistema numérico de seisagesimales.
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1.1 Definición
Los números que usan las personas al contar se llaman natural (por ejemplo, uno, dos, tres, ..., cien, ciento uno, ..., tres mil doscientos veintiuno, ...) Para escribir números naturales se utilizan signos (símbolos) especiales, llamados cifras.
En nuestro tiempo, adoptado notación decimal... El sistema decimal (o método) de escribir números utiliza números arábigos. Estos son diez números de caracteres diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .
Los más pocos el número natural es un número uno escrito usando un dígito decimal - 1. El siguiente número natural se obtiene del anterior (excepto uno) sumando 1 (uno). Esta adición se puede hacer muchas veces (un número infinito de veces). Esto significa que no la mayor un número natural. Por tanto, dicen que la serie de números naturales es ilimitada o infinita, ya que no tiene fin. Los números naturales se escriben con dígitos decimales.
1.2. Número cero"
Para indicar la ausencia de algo, use el número " cero"o" cero".
Está escrito usando números 0 (cero).
Por ejemplo, todas las bolas de la caja son rojas. ¿Cuántos de ellos son verdes? - Respuesta: cero .
¡Así que no hay bolas verdes en la caja! El número 0 puede significar que algo se acabó. Por ejemplo, Masha tenía 3 manzanas. Compartió dos con amigos y se comió uno. Entonces ella se ha ido 0
(cero) manzanas, es decir no quedó ni uno. El número 0 puede significar que algo no sucedió. Por ejemplo, el partido de hockey Equipo nacional de Rusia - Equipo nacional de Canadá terminó con el marcador 3:0
(leemos "tres - cero") a favor de la selección rusa. Esto significa que el equipo nacional ruso anotó 3 goles y el equipo nacional canadiense 0 goles, no pudo anotar un solo gol. Debemos recordar que el número cero no es natural.
1.3. Notación de números naturales
En la notación decimal de un número natural, cada dígito puede significar un número diferente. Depende del lugar de este dígito en la grabación del número. Un cierto lugar en la notación de un número natural se llama posición.Por lo tanto, el sistema de notación decimal para números se llama posicional. Considere la notación decimal 7777 del número siete mil setecientos setenta y siete. Hay siete mil, setecientos, siete decenas y siete unidades en este registro.
Cada uno de los lugares (posiciones) en la notación decimal del número se llama descarga... Cada tres dígitos se combinan en clase. Esta unión se realiza de derecha a izquierda (desde el final del número). Las distintas categorías y clases tienen sus propios nombres. El rango de números naturales es ilimitado. Por lo tanto, el número de dígitos y clases tampoco está limitado ( infinitamente). Considere los nombres de los dígitos y las clases usando el ejemplo de un número con notación decimal
38 001 102 987 000 128 425:
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Clases y rangos |
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quintillones |
cientos de trillones |
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decenas de quintillones |
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quintillones |
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cuatrillón |
cientos de billones |
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decenas de billones |
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cuatrillón |
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billones |
cientos de billones |
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decenas de billones |
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billones |
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miles de millones |
cientos de miles de millones |
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decenas de miles de millones |
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miles de millones |
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millones |
cientos de millones |
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decenas de millones |
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millones |
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cientos de miles |
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decenas de miles |
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Entonces, las clases, comenzando por las más jóvenes, tienen nombres: unidades, miles, millones, miles de millones, billones, cuatrillones, quintillones.
1.4. Unidades de bits
Cada una de las clases en la representación de números naturales consta de tres dígitos. Cada rango tiene unidades de bits... Los siguientes números se denominan unidades de bits:
1 - unidad de bit de las unidades,
Unidad de 10 dígitos del dígito de las decenas,
Unidad de 100 bits de la categoría de cientos,
1,000 es una unidad de mil bits,
10,000 - una unidad de bits del rango de decenas de miles,
100.000 - una unidad de bits de la categoría de cientos de miles,
1,000,000 es un poco de un millón, y así sucesivamente.
Un dígito en cualquiera de los dígitos indica el número de unidades de este dígito. Entonces, el número 9, en lugar de cientos de miles de millones, significa que el número 38 001 102 987 000 128 425 incluye nueve mil millones (es decir, 9 veces 1,000,000,000 o unidades de 9 dígitos de la categoría de miles de millones). Un lugar vacío de cientos de quintillones significa que no hay cientos de quintillones en este número, o su número es cero. El número 38001102987000128425 se puede escribir de la siguiente manera: 038001102987000128425.
Puede escribirlo de otra manera: 000 038 001 102 987 000 128 425. Los ceros iniciales indican dígitos vacíos de orden superior. Por lo general, no se escriben, a diferencia de los ceros dentro de la notación decimal, que deben usarse para marcar dígitos vacíos. Entonces, tres ceros en la clase de millones significa que los dígitos de cientos de millones, decenas de millones y unidades de millones están vacíos.
1.5. Abreviaturas en notación de números
Las abreviaturas se utilizan al escribir números naturales. Aquí hay unos ejemplos:
1,000 \u003d 1,000 (mil)
23,000,000 \u003d 23 millones (veintitrés millones)
5,000,000,000 \u003d 5 mil millones (cinco mil millones)
203,000,000,000,000 \u003d 203 billones (doscientos tres billones)
107.000.000.000.000.000 \u003d 107 kvdr. (ciento siete cuatrillones)
1.000.000.000.000.000.000 \u003d 1 kw. (un quintillón)
Cuadro 1.1. Diccionario
Compile un glosario de términos y definiciones nuevos del §1. Para hacer esto, ingrese palabras de la lista de términos a continuación en las celdas vacías. En la tabla (al final del bloque), indique para cada definición el número de término de la lista.
Recuadro 1.2. Auto-preparación
En un mundo de grandes números
Economía .
- El presupuesto de Rusia para el próximo año será: 6328251684128 rublos.
- Gastos previstos para este año: 5124983252134 rublos.
- Los ingresos del país superaron el gasto en 1203268431094 rublos.
Preguntas y tareas
- Leer los tres números
- Anote los números en la clase de millones de cada uno de los tres números
- ¿Qué sección de cada uno de los números pertenece al número en la séptima posición desde el final de la grabación de números?
- ¿Qué número de unidades de bits muestra el número 2 en el primer número? ... en el segundo y tercer número?
- ¿Cuál es la unidad de dígitos para la octava posición desde el final en los tres números?
Geografía (longitud)
- Radio ecuatorial de la Tierra: 6378245 m
- Circunferencia ecuatorial: 40075696 m
- La mayor profundidad del océano mundial (Fosa de las Marianas en el Océano Pacífico) 11.500 m
Preguntas y tareas
- Convierta los tres valores a centímetros y lea los números resultantes.
- Para el primer número (en cm), anote los números que están en las secciones:
cientos de miles _______
decenas de millones _______
mil _______
mil millones _______
cientos de millones _______
- Para el segundo número (en cm), escriba las unidades de dígitos correspondientes a los números 4, 7, 5, 9 en el número
- Convierta el tercer valor a milímetros, lea el número resultante.
- Para todas las posiciones en el registro del tercer número (en mm), indique los dígitos y unidades de bit en la tabla:
Geografía (cuadrado)
- El área de toda la superficie de la Tierra es de 510.083 mil kilómetros cuadrados.
- La superficie de las sumas en la Tierra es de 148,628 mil kilómetros cuadrados.
- El área de la superficie del agua de la Tierra es de 361,455 mil kilómetros cuadrados.
Preguntas y tareas
- Convierta los tres valores a metros cuadrados y lea los números resultantes.
- Nombra las clases y los dígitos correspondientes a dígitos distintos de cero en la representación de estos números (en cuadrados M).
- En el registro del tercer número (en metros cuadrados), nombre las unidades de dígitos correspondientes a los números 1, 3, 4, 6.
- En dos registros de la segunda cantidad (en Km. Cuadrados y M cuadrados), indique a qué dígitos pertenece el número 2.
- Escriba las unidades de dígitos para el número 2 en las entradas del segundo valor.
Cuadro 1.3. Diálogo con la computadora.
Se sabe que en astronomía se utilizan a menudo grandes cantidades. Aquí hay unos ejemplos. La distancia promedio de la Luna a la Tierra es de 384 mil km. La distancia de la Tierra al Sol (promedio) es 149504 mil km, la Tierra a Marte 55 millones de km. En una computadora, usando el editor de texto Word, cree tablas para que cada dígito en el registro de los números indicados esté en una celda separada (celda). Para hacer esto, ejecute los comandos en la barra de herramientas: tabla → agregar una tabla → número de filas (use el cursor para poner "1") → número de columnas (cuente usted mismo). Crear tablas para otros números (bloque "Autoaprendizaje").
Recuadro 1.4. Relevo de grandes números
La primera línea de la tabla contiene un gran número. Léelo. Luego complete las tareas: moviendo los números en el número hacia la derecha o hacia la izquierda, obtenga los siguientes números y léalos. (¡No mueva los ceros al final del número!). En el aula, la batuta se puede llevar a cabo pasándosela entre ellos.
Línea 2 . Mueva todos los dígitos del número en la primera línea a la izquierda después de dos celdas. Reemplace los dígitos 5 con el siguiente dígito. Complete las celdas vacías con ceros. Lee el número.
Línea 3 . Mueva todos los dígitos del número en la segunda línea hacia la derecha a través de tres celdas. Reemplace los dígitos 3 y 4 en el número con los siguientes dígitos. Complete las celdas vacías con ceros. Lee el número.
Línea 4. Mueva todos los dígitos del número en la línea 3 una celda a la izquierda. Reemplace el número 6 en la clase de billones con la cifra anterior, y en la clase de mil millones con la siguiente cifra. Complete las celdas vacías con ceros. Lea el número resultante.
Línea 5 . Mueva todos los dígitos del número en la línea 4 una celda a la derecha. Reemplace el número 7 en la categoría de decenas de miles con el anterior, y en la categoría de decenas de millones con el siguiente. Lea el número resultante.
Línea 6 . Mueva todos los dígitos del número en la línea 5 a la izquierda después de 3 celdas. Reemplace el dígito 8 en los cientos de miles de millones con el dígito anterior y el 6 en los cientos de millones con el siguiente dígito. Complete las celdas vacías con ceros. Calcula el número resultante.
Línea 7 . Mueva todos los dígitos del número en la línea 6 a la derecha una celda. Cambie las decenas de billones y las decenas de miles de millones. Lea el número resultante.
Línea 8 . Mueva todos los dígitos del número en la línea 7 hacia la izquierda a través de una celda. Intercambia los números en el quintillón y el cuatrillón de dígitos. Complete las celdas vacías con ceros. Lea el número resultante.
Línea 9 . Mueva todos los dígitos del número en la línea 8 hacia la derecha a través de tres celdas. Intercambie dos números adyacentes en una fila de números de las clases de millones y billones. Lea el número resultante.
Línea 10 . Mueva todos los dígitos del número en la línea 9 una celda a la derecha. Lea el número resultante. Resalte los números que indican el año de los Juegos Olímpicos de Moscú.
Recuadro 1.5. vamos a jugar
Enciende el fuego
El campo de juego es un dibujo de un árbol de Navidad. Tiene 24 bombillas. Pero solo 12 de ellos están conectados a la red. Para elegir las lámparas conectadas, debe responder correctamente a las preguntas con las palabras "Sí" o "No". El mismo juego se puede jugar en una computadora. La respuesta correcta "enciende" la bombilla.
- ¿Es cierto que los números son caracteres especiales para escribir números naturales? (1 - sí, 2 - no)
- ¿Es cierto que el número 0 es el número natural más pequeño? (3 - sí, 4 - no)
- ¿Es cierto que en el sistema numérico posicional, el mismo número puede significar números diferentes? (5 - sí, 6 - no)
- ¿Es cierto que cierto lugar en la notación decimal de números se llama lugar? (7 - sí, 8 - no)
- Dado el número 543 384. ¿Es cierto que el número de unidades de bits más significativas es 543 y las menos significativas son 384? (9 - sí, 10 - no)
- ¿Es cierto que en la clase de miles de millones, la más antigua de las unidades de bit es cien mil millones y la más baja es mil millones? (11 - sí, 12 - no)
- Dado el número 458 121. ¿Es cierto que la suma del número de unidades de bits más significativas y el número de las menos significativas es 5? (13 - sí, 14 - no)
- ¿Es cierto que el más veterano de la clase del trillón es un millón de veces el más alto de los millones? (15 - sí, 16 - no)
- Se le dan dos números 637 508 y 831. ¿Es cierto que la unidad de bits más significativa del primer número es 1000 veces la unidad de bits más significativa del segundo número? (17 - sí, 18 - no)
- Dado el número 432. ¿Es cierto que la unidad de bit más significativa de este número es 2 veces la menos significativa? (19 - sí, 20 - no)
- El número dado es 100 000 000. ¿Es cierto que el número de unidades de dígitos en 10 000 es 1 000? (21 - sí, 22 - no)
- ¿Es cierto que antes de la clase del billón está la clase del cuatrillón y antes de esta clase la clase del quintillón? (23 - sí, 24 - no)
1.6. De la historia de los números
Desde la antigüedad, una persona se enfrentaba a la necesidad de contar el número de cosas, de comparar el número de objetos (por ejemplo, cinco manzanas, siete flechas ...; hay 20 hombres y treinta mujeres en la tribu, ...). También era necesario establecer un orden en una serie de objetos. Por ejemplo, en una cacería, el líder de la tribu va primero, el guerrero más poderoso de la tribu viene en segundo lugar, etc. Para estos fines, se utilizaron números. Para ellos, se inventaron nombres especiales. En el habla, se llaman números: uno, dos, tres, etc. son números cardinales, y el primero, segundo, tercero son números ordinales. Los números se registraron utilizando caracteres especiales: números.
Con el tiempo, apareció sistema de numeración. Estos son sistemas que incluyen formas de escribir números y diversas acciones sobre ellos. Los sistemas numéricos más antiguos conocidos son los sistemas numéricos egipcio, babilónico y romano. En Rusia, en los viejos tiempos, las letras del alfabeto con un signo especial ~ (titlo) se usaban para escribir números. Actualmente, el más extendido es el sistema numérico decimal. Los sistemas numéricos binarios, octales y hexadecimales se utilizan ampliamente, especialmente en el mundo de la informática.
Entonces, para escribir el mismo número, puede usar diferentes signos: números. Entonces, el número cuatrocientos veinticinco se puede escribir en números egipcios, jeroglíficos:
Esta es la forma egipcia de escribir números. El mismo número en números romanos: CDXXV (Forma romana de escribir números) o dígitos decimales 425 (notación decimal de números). En notación binaria, se ve así: 110101001 (sistema binario o binario de notación de números), y en octal - 651 (notación octal de números). En notación hexadecimal, se escribirá: 1A9 (notación hexadecimal de números). Puede hacerlo de manera bastante simple: haga, como Robinson Crusoe, cuatrocientas veinticinco muescas (o trazos) en un poste de madera - IIIIIIIII…... IIII. Estas son las primeras imágenes de números naturales.
Entonces, en la notación decimal de números (en la notación decimal de números), se utilizan números arábigos. Estos son diez símbolos diferentes - números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... En binario - dos dígitos binarios: 0, 1; en octal - ocho dígitos octales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; en hexadecimal: dieciséis dígitos hexadecimales diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; en sexagesimal (babilónico) - sesenta símbolos diferentes - números, etc.)
Los dígitos decimales llegaron a los países europeos desde el Medio Oriente, los países árabes. De ahí el nombre - numerales arábigos... Pero llegaron a los árabes desde la India, donde fueron inventados a mediados del primer milenio.
1.7. Sistema de numeración romana
Uno de los antiguos sistemas numéricos que se utilizan hoy en día es el sistema romano. Damos en la tabla los números principales del sistema de numeración romana y los números correspondientes del sistema decimal.
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Números romanos |
C |
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50 cincuenta |
500 quinientos |
1000 mil |
El sistema de numeración romana es sistema de adición.En él, a diferencia de los sistemas posicionales (por ejemplo, decimal), cada dígito denota el mismo número. Entonces, la entrada II - denota el número dos (1 + 1 \u003d 2), registro III - número tres (1 + 1 + 1 \u003d 3), registro XXX - número treinta (10 + 10 + 10 \u003d 30), etc. Las siguientes reglas se aplican a la escritura de números.
- Si la cifra menor es después más grande, luego se agrega a la más grande: VII - número siete (5 + 2 \u003d 5 + 1 + 1 \u003d 7), XVII - número diecisiete (10 + 7 \u003d 10 + 5 + 1 + 1 \u003d 17), MCL - número mil ciento cincuenta (1000 + 100 + 50 \u003d 1150).
- Si la cifra menor es frente más grande, entonces se resta del más grande: IX - número nueve (9 \u003d 10 - 1), LM - número novecientos cincuenta (1000 - 50 \u003d 950).
Para escribir números grandes, debe usar (inventar) nuevos símbolos: números. En este caso, el registro de números resulta engorroso, es muy difícil realizar cálculos con números romanos. Así que el año del lanzamiento del primer satélite terrestre artificial (1957) en el registro romano tiene la forma MCMLVII .
Bloque 1. 8. Tarjeta perforada
Leer números naturales
Estas tareas se verifican mediante un mapa con círculos. Expliquemos su aplicación. Después de completar todas las tareas y encontrar las respuestas correctas (se indican con las letras A, B, C, etc.), coloque una hoja de papel transparente en el mapa. Utilice X para marcar las respuestas correctas y la marca de alineación +. Luego, coloque la hoja transparente sobre la página para que las marcas de registro queden alineadas. Si todos los signos "X" están en los círculos grises de esta página, las tareas se completaron correctamente.
1.9. Orden de lectura de números naturales
Al leer un número natural, proceda de la siguiente manera.
- Divida mentalmente el número en triples (clases) de derecha a izquierda, desde el final del número.
- A partir del grado junior, de derecha a izquierda (desde el final del registro de números), se escriben los nombres de las clases: unidades, miles, millones, billones, billones, cuatrillones, quintillones.
- Lea el número que comienza en la escuela secundaria. En este caso, se llama al número de unidades de bits y al nombre de la clase.
- Si el dígito contiene cero (el dígito está vacío), no se llama. Si los tres dígitos de la clase nombrada son ceros (los dígitos están vacíos), esta clase no se llama.
Leamos (nombre) el número escrito en la tabla (ver §1), de acuerdo con los pasos 1 - 4. Divida mentalmente el número 38001102987000128425 en clases de derecha a izquierda: 038 001 102 987 000 128 425. Indiquemos los nombres de las clases en este número, comenzando por el final sus registros: unidades, miles, millones, miles de millones, billones, cuatrillones, quintillones. Ahora puede leer el número, comenzando con la escuela secundaria. Nombramos números de tres dígitos, dos dígitos y un solo dígito, agregando el nombre de la clase correspondiente. No nombramos clases vacías. Obtenemos el siguiente número:
- 038 - treinta y ocho trillones
- 001 - un cuatrillón
- 102 - ciento dos billones
- 987: novecientos ochenta y siete mil millones
- 000 - no nombrar (no leer)
- 128 - ciento veintiocho mil
- 425: cuatrocientos veinticinco
Como resultado, leemos el número natural 38001102987000128425 de la siguiente manera: "Treinta y ocho trillones un cuatrillón ciento dos billones novecientos ochenta y siete mil millones ciento veintiocho mil cuatrocientos veinticinco".
1.9. El orden de escritura de números naturales.
Los números naturales se registran en el siguiente orden.
- Se registran tres dígitos de cada grado, comenzando con el grado superior hasta el grado único. Además, para la clase senior, puede haber dos o un dígito.
- Si no se nombra la clase o categoría, se escriben ceros en los bits correspondientes.
Por ejemplo, el número veinticinco millones trescientos dos escrito en la forma: 25 000 302 (la clase de miles no se nombra, por lo tanto, se escriben ceros en todos los bits de la clase de miles).
1.10. Representación de números naturales como suma de términos de bits
Aquí tienes un ejemplo: 7563429 es la notación decimal de un número siete millones quinientos sesenta y tres mil cuatrocientos veintinueve. Este número contiene siete millones, quinientos mil, seis decenas de miles, tres mil, cuatrocientos, dos decenas y nueve unidades. Se puede representar como la suma: 7,563,429 \u003d 7,000,000 + 500,000 + 60,000 + + 3,000 + 400 + 20 + 9. Esto se llama la representación de un número natural como una suma de términos de bits.
Recuadro 1.11. vamos a jugar
Tesoros de mazmorras
En el campo de juego hay un dibujo del cuento de hadas "Mowgli" de Kipling. Hay candados en cinco cofres. Para abrirlos, debe resolver problemas. En este caso, al abrir un cofre de madera, obtienes un punto. Abrir un cofre de peltre le da dos puntos, uno de cobre tres puntos, uno plateado cuatro y uno dorado cinco. El ganador es el que abre todos los cofres más rápido. El mismo juego se puede jugar en una computadora.
- Cofre de madera
Encuentra cuánto dinero (en miles de rublos) hay en este cofre. Para hacer esto, necesita encontrar el número total de unidades de bits menos significativas de la clase millón para el número: 125308453231.
- Cofre de peltre
Encuentra cuánto dinero (en miles de rublos) hay en este cofre. Para hacer esto, en el número 12530845323 encuentre el número de unidades de bit menos significativas de la clase de unos y el número de unidades de bit menos significativas de la clase de millones. Luego encuentra la suma de estos números y, a la derecha, suma el número en el lugar de las decenas de millones.
- Cofre de cobre
Para encontrar el dinero de este cofre (en mil rublos), en el número 751305432198203 debe encontrar el número de unidades de dígitos más bajos en la clase de billones y el número de las más bajas en la clase de miles de millones. Luego, encuentra la suma de estos números y, a la derecha, escribe los números naturales de la clase de unidades de este número en el orden de su disposición.
- Cofre de plata
El dinero de este cofre (en millones de rublos) se mostrará mediante la suma de dos números: el número de las unidades de bits más bajas de la clase de miles y las unidades de bits intermedias de la clase de miles de millones para el número 481534185491502.
- Cofre dorado
Dado el número 800123456789123456789. Si multiplicamos los números en los dígitos más altos de todas las clases de este número, obtenemos el dinero de este cofre en un millón de rublos.
Recuadro 1.12. Establecer correspondencia
Grabación de números naturales. Representación de números naturales como suma de términos de bits
Para cada tarea de la columna de la izquierda, seleccione una solución de la columna de la derecha. Escriba la respuesta en la forma: 1a; 2d; 3b ...
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Anote el número en dígitos: cinco millones veinticinco mil |
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Anote el número en dígitos: cinco mil veinticinco millones |
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Anote el número en dígitos: cinco billones veinticinco |
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Anote el número en dígitos: setenta y siete millones setenta y siete mil setecientos setenta y siete |
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Anote el número en dígitos: setenta y siete billones setecientos setenta mil siete |
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Anote el número en dígitos: setenta y siete millones setecientos setenta mil siete |
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Anote el número en dígitos:ciento veintitrés mil cuatrocientos cincuenta y seis millones setecientos ochenta y nueve mil |
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Anote el número en dígitos:ciento veintitres millones cuatrocientos cincuenta y seis mil setecientos ochenta y nueve |
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Anote el número en dígitos:tres mil millones once |
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Anote el número en dígitos:tres mil once millones |
opcion 2
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treinta y dos mil ciento setenta y cinco millones doscientos noventa y ocho mil trescientos cuarenta y uno |
100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1 |
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Imagina el número como una suma de términos de bits:trescientos veintiún millones cuarenta y uno |
30000000000 + 2000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1 |
||
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Imagina el número como una suma de términos de bits: 321000175298341 |
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Imagina el número como una suma de términos de bits: 101010101 |
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Imagina el número como una suma de términos de bits: 11111 |
300000000 + 20000000 + 1000000 + |
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5000000 + 300000 + 20000 + 1000 |
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Escriba en notación decimal el número representado como la suma de los términos de bits:5000000 + 300 + 20 + 1 |
30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1 |
||
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Escriba en notación decimal el número representado como la suma de los términos de bits: 10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9 |
|||
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Escriba en notación decimal el número representado como la suma de los términos de bits: 10000000000 + 2000000000 + 100000000 + 10000000 + 9000000 |
|||
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Escriba en notación decimal el número representado como la suma de los términos de bits:9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9 |
10000 + 1000 + 100 + 10 + 1 |
Recuadro 1.13. Prueba de facetas
El nombre de la prueba proviene de la palabra "ojo facetado de insecto". Es un ojo complejo, que consta de "ojos" separados. Los elementos de la prueba de facetas se forman a partir de elementos individuales indicados por números. Las pruebas de facetas suelen contener una gran cantidad de elementos. Pero en esta prueba solo hay cuatro problemas, pero están compuestos por una gran cantidad de elementos. Esto es para enseñarle cómo "recopilar" los problemas del examen. Si puede escribirlos, puede manejar fácilmente otras pruebas de facetas.
Explicaremos cómo se componen las tareas usando el ejemplo de la tercera tarea. Se compone de elementos de prueba numerados: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25
« Si un» 1) tomar números (figura) de la tabla; 4) 7; 7) ponerlo en la categoría; 11) mil millones; 1) tomar una figura de la mesa; 5) 8; 7) ponerlo en los dígitos; 9) Decenas de millones; 10) cientos de millones; 16) cientos de miles; 17) Decenas de miles; 22) coloque los números 9 y 6 en miles y centenas. 21) llene los dígitos restantes con ceros; " A» 26) obtenemos un número igual al tiempo (período) de la revolución del planeta Plutón alrededor del Sol en segundos (s); " Este numero es": 7880889600 p. En las respuestas, se indica con la letra "en".
Al resolver problemas, escriba números en las celdas de la tabla con un lápiz.
Prueba de facetas. Inventa el numero
La tabla contiene números:
Si un
1) tome el (los) número (s) de la tabla:
2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;
7) coloque este (los) dígito (s) en la (s) categoría (s);
8) cientos de billones y decenas de billones;
9) decenas de millones;
10) cientos de millones;
11) mil millones;
12) trillón;
13) decenas de quintillones;
14) cientos de trillones;
15) billones;
16) cientos de miles;
17) decenas de miles;
18) llenar con él (ellos) la clase (clases);
19) trillón;
20 billones;
21) llene los dígitos restantes con ceros;
22) coloque los números 9 y 6 en los dígitos de miles y centenas;
23) obtenemos un número igual a la masa de la Tierra en decenas de toneladas;
24) recibiremos un número aproximadamente igual al volumen de la Tierra en metros cúbicos;
25) obtenemos un número igual a la distancia (en metros) del Sol al planeta más lejano del sistema solar, Plutón;
26) obtenemos un número igual al tiempo (período) de la revolución del planeta Plutón alrededor del Sol en segundos (s);
Este número es igual a:
a) 5929000000000
b) 999990000000000000000
d) 598000000000000000000
Resuelve las tareas:
1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23
1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24
1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26
1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25
Respuestas
1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - d
1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - b
1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - c
1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - a
Las matemáticas surgieron de la filosofía general alrededor del siglo VI a. C. e., y desde ese momento inició su marcha victoriosa alrededor del mundo. Cada etapa de desarrollo trajo algo nuevo: el conteo elemental evolucionó, se transformó en cálculo diferencial e integral, los siglos cambiaron, las fórmulas se volvieron más confusas y llegó el momento en que “comenzó la matemática más compleja, todos los números desaparecieron”. Pero, ¿qué había detrás?
El comienzo de los tiempos
Los números naturales aparecieron a la par con las primeras operaciones matemáticas. Una columna vertebral, dos columna vertebral, tres columna vertebral ... Aparecieron gracias a los científicos indios que sacaron la primera columna posicional
La palabra "posicionalidad" significa que la ubicación de cada dígito en el número está estrictamente definida y corresponde a su rango. Por ejemplo, los números 784 y 487 - los números son los mismos, pero los números no son equivalentes, ya que el primero incluye 7cientos, mientras que el segundo - solo 4. La innovación de los indios fue adoptada por los árabes, quienes llevaron los números a la forma que conocemos. ahora.
En la antigüedad, a los números se les dio un significado místico, Pitágoras creía que el número es la base de la creación del mundo junto con los elementos principales: fuego, agua, tierra, aire. Si consideramos todo solo desde el lado matemático, entonces, ¿qué es un número natural? El campo de los números naturales se denota como N y es una serie infinita de números enteros y positivos: 1, 2, 3,… + ∞. Se excluye cero. Se utiliza principalmente para contar artículos e indicar el orden.
¿Qué son las matemáticas? Axiomas de Peano
El campo N es la base sobre la que se basan las matemáticas elementales. Con el tiempo, los campos de todos, racionales,
El trabajo del matemático italiano Giuseppe Peano hizo posible una mayor estructuración de la aritmética, logró su formalidad y allanó el camino para nuevas conclusiones que iban más allá del campo de N.
Qué es un número natural, se aclaró anteriormente en lenguaje simple, a continuación consideraremos una definición matemática basada en los axiomas de Peano.
- La unidad se considera un número natural.
- El número que sigue al número natural es natural.
- No hay un número natural frente a la unidad.
- Si el número b sigue tanto al número c como al número d, entonces c \u003d d.
- El axioma de inducción, que a su vez muestra qué es un número natural: si algún enunciado que depende de un parámetro es verdadero para el número 1, entonces asumimos que funciona para un número n del campo de los números naturales N.Entonces el enunciado es verdadero para n \u003d 1 del campo de los números naturales N.
Operaciones básicas para el campo de los números naturales
Dado que el campo N se convirtió en el primero para cálculos matemáticos, tanto los dominios de definición como los rangos de valores de una serie de operaciones a continuación pertenecen a él. Están cerrados y no. La principal diferencia es que se garantiza que las operaciones cerradas mantienen el resultado dentro del conjunto N, independientemente de los números involucrados. Basta que sean naturales. El resultado de las interacciones numéricas restantes ya no es tan inequívoco y depende directamente del tipo de números involucrados en la expresión, ya que puede contradecir la definición básica. Entonces, operaciones cerradas:
- suma - x + y \u003d z, donde x, y, z se incluyen en el campo N;
- multiplicación - x * y \u003d z, donde x, y, z se incluyen en el campo N;
- exponenciación - x y, donde x, y se incluyen en el campo N.
Otras operaciones, cuyo resultado puede no existir en el contexto de la definición de "lo que es un número natural", son las siguientes:
Propiedades de los números pertenecientes al campo N
Todo el razonamiento matemático posterior se basará en las siguientes propiedades, las más triviales, pero no menos importantes.
- La propiedad mueble de suma es x + y \u003d y + x, donde los números x, y están incluidos en el campo N. O el conocido "la suma no cambia por el cambio de lugares de los términos".
- La propiedad mueble de la multiplicación es x * y \u003d y * x, donde los números x, y se incluyen en el campo N.
- Propiedad de combinación de la suma - (x + y) + z \u003d x + (y + z), donde x, y, z se incluyen en el campo N.
- Propiedad de combinación de la multiplicación - (x * y) * z \u003d x * (y * z), donde los números x, y, z se incluyen en el campo N.
- propiedad de distribución - x (y + z) \u003d x * y + x * z, donde los números x, y, z se incluyen en el campo N.
Mesa de Pitágoras
Uno de los primeros pasos en el conocimiento de toda la estructura de las matemáticas elementales por parte de los escolares después de haber descubierto por sí mismos qué números se denominan naturales es la tabla de Pitágoras. Puede verse no solo desde el punto de vista de la ciencia, sino también como un valioso monumento científico.
Esta tabla de multiplicar ha sufrido una serie de cambios a lo largo del tiempo: se le quitó el cero y los números del 1 al 10 se denotan a sí mismos, sin tener en cuenta los órdenes (centenas, miles ...). Es una tabla en la que los encabezados de las filas y columnas son números, y el contenido de las celdas de su intersección es igual a su producto.
En la práctica de la enseñanza en las últimas décadas, existía la necesidad de memorizar la tabla pitagórica "en orden", es decir, primero hubo memorización. Se excluyó la multiplicación por 1 porque el resultado fue 1 o más. Mientras tanto, en la tabla a simple vista, se puede ver un patrón: el producto de los números crece en un paso, que es igual al título de la línea. Así, el segundo factor nos muestra cuántas veces necesitamos tomar el primero para obtener el producto deseado. Este sistema es mucho más conveniente que el que se practicaba en la Edad Media: incluso entendiendo qué es un número natural y cuán trivial es, la gente lograba complicar su conteo diario, usando un sistema basado en potencias de dos.
Subconjunto como cuna de las matemáticas
Por el momento, el campo de los números naturales N se considera solo como uno de los subconjuntos de números complejos, pero esto no los hace menos valiosos en ciencia. Un número natural es lo primero que aprende un niño cuando se estudia a sí mismo y al mundo que lo rodea. Un dedo, dos dedos ... Gracias a él, una persona desarrolla el pensamiento lógico, así como la capacidad de determinar la causa y deducir el efecto, preparando el terreno para grandes descubrimientos.