§ 87. Suma de fracciones.
Sumar fracciones tiene muchas similitudes con sumar números enteros. La suma de fracciones es una acción que consiste en el hecho de que varios números dados (términos) se combinan en un número (suma), que contiene todas las unidades y fracciones de unidades de términos.
Consideraremos tres casos a su vez:
1. Suma de fracciones con los mismos denominadores.
2. Suma de fracciones con distinto denominador.
3. Suma de números mixtos.
1. Suma de fracciones con los mismos denominadores.
Considere un ejemplo: 1/5 + 2/5.
Tome el segmento AB (Fig. 17), tómelo como una unidad y divídalo en 5 partes iguales, luego la parte AC de este segmento será igual a 1/5 del segmento AB, y la parte del mismo segmento CD será igual a 2/5 AB.
Se puede ver en el dibujo que si tomamos el segmento AD, será igual a 3/5 AB; pero el segmento AD es precisamente la suma de los segmentos AC y CD. Entonces, podemos escribir:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Considerando estos términos y la cantidad resultante, vemos que el numerador de la suma se obtuvo sumando los numeradores de los términos, y el denominador permaneció sin cambios.
De esto obtenemos la siguiente regla: Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el mismo denominador.
Considere un ejemplo:
2. Suma de fracciones con distinto denominador.
Sumemos fracciones: 3/4 + 3/8 Primero deben reducirse al mínimo común denominador:
El enlace intermedio 6/8 + 3/8 no podría haberse escrito; lo hemos escrito aquí para mayor claridad.
Así, para sumar fracciones con diferente denominador, primero debes llevarlas al mínimo común denominador, sumar sus numeradores y firmar el común denominador.
Considere un ejemplo (escribiremos factores adicionales sobre las fracciones correspondientes):
3. Suma de números mixtos.
Sumemos los números: 2 3/8 + 3 5/6.
Primero llevemos las partes fraccionarias de nuestros números a un denominador común y reescribámoslos de nuevo:
Ahora agregue las partes enteras y fraccionarias en secuencia:
§ 88. Resta de fracciones.
La resta de fracciones se define de la misma manera que la resta de números enteros. Esta es una acción por la cual, dada la suma de dos términos y uno de ellos, se encuentra otro término. Consideremos tres casos a su vez:
1. Resta de fracciones con el mismo denominador.
2. Resta de fracciones con distinto denominador.
3. Resta de números mixtos.
1. Resta de fracciones con el mismo denominador.
Considere un ejemplo:
13 / 15 - 4 / 15
Tomemos el segmento AB (Fig. 18), tómelo como una unidad y divídalo en 15 partes iguales; entonces la parte AC de este segmento será 1/15 de AB, y la parte AD del mismo segmento corresponderá a 13/15 AB. Dejemos aparte otro segmento ED, igual a 4/15 AB.
Necesitamos restar 4/15 de 13/15. En el dibujo, esto significa que el segmento ED debe restarse del segmento AD. Como resultado, quedará el segmento AE, que es 9/15 del segmento AB. Entonces podemos escribir:
El ejemplo que hicimos muestra que el numerador de la diferencia se obtuvo al restar los numeradores, y el denominador permaneció igual.
Por lo tanto, para restar fracciones con el mismo denominador, debes restar el numerador del sustraendo del numerador del minuendo y dejar el mismo denominador.
2. Resta de fracciones con distinto denominador.
Ejemplo. 3/4 - 5/8
Primero, reduzcamos estas fracciones al mínimo común denominador:
El enlace intermedio 6/8 - 5/8 se escribe aquí para mayor claridad, pero se puede omitir en el futuro.
Entonces, para restar una fracción de otra fracción, primero debes llevarlas al mínimo común denominador, luego restar el numerador del sustraendo del numerador del minuendo y firmar el común denominador debajo de su diferencia.
Considere un ejemplo:
3. Resta de números mixtos.
Ejemplo. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .
Llevemos las partes fraccionarias del minuendo y el sustraendo al mínimo común denominador:
Restamos un entero de un entero y una fracción de una fracción. Pero hay casos en que la parte fraccionaria del sustraendo es mayor que la parte fraccionaria del minuendo. En tales casos, debe tomar una unidad de la parte entera de la reducción, dividirla en aquellas partes en las que se expresa la parte fraccionaria y agregarla a la parte fraccionaria de la reducción. Y luego la resta se realizará de la misma forma que en el ejemplo anterior:
§ 89. Multiplicación de fracciones.
Al estudiar la multiplicación de fracciones, consideraremos las siguientes preguntas:
1. Multiplicar una fracción por un número entero.
2. Encontrar una fracción de un número dado.
3. Multiplicación de un número entero por una fracción.
4. Multiplicar una fracción por una fracción.
5. Multiplicación de números mixtos.
6. El concepto de interés.
7. Encontrar porcentajes de un número dado. Considerémoslos secuencialmente.
1. Multiplicar una fracción por un número entero.
Multiplicar una fracción por un entero tiene el mismo significado que multiplicar un entero por un entero. Multiplicar una fracción (multiplicando) por un número entero (multiplicador) significa componer la suma de términos idénticos, en la que cada término es igual al multiplicando y el número de términos es igual al multiplicador.
Entonces, si necesita multiplicar 1/9 por 7, entonces esto se puede hacer así:
El resultado lo obtuvimos fácilmente, ya que la acción se reducía a sumar fracciones con el mismo denominador. Por eso,
La consideración de esta acción muestra que multiplicar una fracción por un número entero es equivalente a aumentar esta fracción tantas veces como unidades tenga el número entero. Y como el aumento de la fracción se logra ya sea aumentando su numerador
o disminuyendo su denominador 
, entonces podemos multiplicar el numerador por el número entero o dividir el denominador por él, si tal división es posible.
De aquí obtenemos la regla:
Para multiplicar una fracción por un número entero, debe multiplicar el numerador por este número entero y dejar el mismo denominador o, si es posible, dividir el denominador por este número, dejando el numerador sin cambios.
Al multiplicar, las abreviaturas son posibles, por ejemplo:
2. Encontrar una fracción de un número dado. Hay muchos problemas en los que tienes que encontrar, o calcular, una parte de un número dado. La diferencia entre estas tareas y otras es que dan el número de algunos objetos o unidades de medida y necesitas encontrar una parte de este número, que también se indica aquí por una determinada fracción. Para facilitar la comprensión, primero daremos ejemplos de tales problemas y luego presentaremos el método para resolverlos.
Tarea 1. tenía 60 rublos; 1/3 de este dinero lo gasté en la compra de libros. ¿Cuánto costaron los libros?
Tarea 2. El tren debe cubrir la distancia entre las ciudades A y B, igual a 300 km. Ya ha recorrido 2/3 de esa distancia. ¿Cuántos kilómetros es esto?
Tarea 3. Hay 400 casas en el pueblo, 3/4 de ellas son de ladrillo, el resto son de madera. ¿Cuántas casas de ladrillo hay?
Estos son algunos de los muchos problemas con los que tenemos que lidiar para encontrar una fracción de un número dado. Por lo general, se les llama problemas para encontrar una fracción de un número dado.
Solución del problema 1. A partir de 60 rublos. Gasté 1/3 en libros; Entonces, para encontrar el costo de los libros, debes dividir el número 60 entre 3:
Solución del problema 2. El significado del problema es que necesitas encontrar 2/3 de 300 km. Calcula el primer 1/3 de 300; esto se logra dividiendo 300 km por 3:
300: 3 = 100 (eso es 1/3 de 300).
Para encontrar dos tercios de 300, debe duplicar el cociente resultante, es decir, multiplicar por 2:
100 x 2 = 200 (eso es 2/3 de 300).
Solución del problema 3. Aquí debe determinar la cantidad de casas de ladrillo, que son 3/4 de 400. Primero encontremos 1/4 de 400,
400: 4 = 100 (eso es 1/4 de 400).
Para calcular tres cuartos de 400 hay que triplicar el cociente resultante, es decir, multiplicarlo por 3:
100 x 3 = 300 (eso es 3/4 de 400).
Con base en la solución de estos problemas, podemos derivar la siguiente regla:
Para encontrar el valor de una fracción de un número dado, debes dividir este número por el denominador de la fracción y multiplicar el cociente resultante por su numerador.
3. Multiplicación de un número entero por una fracción.
Anteriormente (§ 26) se estableció que la multiplicación de números enteros debe entenderse como la suma de términos idénticos (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). En este párrafo (párrafo 1) se estableció que multiplicar una fracción por un número entero significa encontrar la suma de términos idénticos igual a esa fracción.
En ambos casos, la multiplicación consistía en encontrar la suma de términos idénticos.
Ahora pasamos a multiplicar un número entero por una fracción. Aquí nos encontraremos con tales, por ejemplo, multiplicaciones: 9 2 / 3. Es bastante obvio que la definición anterior de multiplicación no se aplica a este caso. Esto es evidente por el hecho de que no podemos reemplazar dicha multiplicación sumando números iguales.
Por ello, tendremos que dar una nueva definición de multiplicación, es decir, en otras palabras, responder a la pregunta de qué debe entenderse por multiplicación por una fracción, cómo debe entenderse esta acción.
El significado de multiplicar un número entero por una fracción queda claro a partir de la siguiente definición: multiplicar un número entero (multiplicador) por una fracción (multiplicador) significa encontrar esta fracción del multiplicador.
Es decir, multiplicar 9 por 2/3 significa encontrar 2/3 de nueve unidades. En el párrafo anterior, tales problemas fueron resueltos; por lo que es fácil darse cuenta de que terminamos con 6.
Pero ahora surge una pregunta interesante e importante: ¿por qué acciones aparentemente diferentes como encontrar la suma de números iguales y encontrar la fracción de un número se llaman la misma palabra "multiplicación" en aritmética?
Esto sucede porque la acción anterior (repetir varias veces un número con términos) y una acción nueva (encontrar una fracción de un número) dan respuesta a preguntas homogéneas. Esto significa que partimos aquí de las consideraciones de que cuestiones o tareas homogéneas se resuelven mediante una y la misma acción.
Para entender esto, considere el siguiente problema: “1 m de tela cuesta 50 rublos. ¿Cuánto costarán 4 m de esa tela?
Este problema se resuelve multiplicando el número de rublos (50) por el número de metros (4), es decir, 50 x 4 = 200 (rublos).
Tomemos el mismo problema, pero en él la cantidad de tela se expresará como un número fraccionario: “1 m de tela cuesta 50 rublos. ¿Cuánto costarán 3/4 m de esa tela?
Este problema también debe resolverse multiplicando la cantidad de rublos (50) por la cantidad de metros (3/4).
También puede cambiar los números varias veces sin cambiar el significado del problema, por ejemplo, tome 9/10 m o 2 3/10 m, etc.
Dado que estos problemas tienen el mismo contenido y difieren solo en números, llamamos a las acciones utilizadas para resolverlos la misma palabra: multiplicación.
¿Cómo se multiplica un número entero por una fracción?
Tomemos los números encontrados en el último problema:
Según la definición, debemos encontrar 3/4 de 50. Primero encontramos 1/4 de 50, y luego 3/4.
1/4 de 50 es 50/4;
3/4 de 50 es .
Por eso.
Considere otro ejemplo: 12 5 / 8 = ?
1/8 de 12 es 12/8,
5/8 del número 12 es .
Por eso,
De aquí obtenemos la regla:
Para multiplicar un número entero por una fracción, debe multiplicar el número entero por el numerador de la fracción y convertir este producto en el numerador, y firmar el denominador de la fracción dada como denominador.
Escribimos esta regla usando letras:
Para que esta regla quede perfectamente clara, conviene recordar que una fracción puede considerarse como un cociente. Por lo tanto, es útil comparar la regla encontrada con la regla para multiplicar un número por un cociente, que se estableció en el § 38
Debe recordarse que antes de realizar la multiplicación, debe hacer (si es posible) cortes, Por ejemplo:
4. Multiplicar una fracción por una fracción. Multiplicar una fracción por una fracción tiene el mismo significado que multiplicar un número entero por una fracción, es decir, al multiplicar una fracción por una fracción, debe encontrar la fracción en el multiplicador de la primera fracción (multiplicador).
Es decir, multiplicar 3/4 por 1/2 (la mitad) significa encontrar la mitad de 3/4.
¿Cómo se multiplica una fracción por una fracción?
Tomemos un ejemplo: 3/4 veces 5/7. Esto significa que necesitas encontrar 5 / 7 de 3 / 4 . Encuentra primero 1/7 de 3/4 y luego 5/7
1/7 de 3/4 se expresaría así:
5/7 números 3/4 se expresará de la siguiente manera:
De este modo,
Otro ejemplo: 5/8 por 4/9.
1/9 de 5/8 es ,
4/9 números 5/8 son .
De este modo, 
De estos ejemplos se puede deducir la siguiente regla:
Para multiplicar una fracción por otra fracción, necesitas multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo producto el denominador del producto.
Esta regla se puede escribir en general de la siguiente manera:
Al multiplicar, es necesario hacer (si es posible) reducciones. Considere ejemplos:
5. Multiplicación de números mixtos. Dado que los números mixtos se pueden reemplazar fácilmente por fracciones impropias, esta circunstancia se suele utilizar cuando se multiplican números mixtos. Esto quiere decir que en aquellos casos en que el multiplicando, o el multiplicador, o ambos factores se expresan como números mixtos, entonces se reemplazan por fracciones impropias. Multiplica, por ejemplo, números mixtos: 2 1/2 y 3 1/5. Convertimos cada uno de ellos en una fracción impropia y luego multiplicaremos las fracciones resultantes según la regla de multiplicar una fracción por otra fracción:
Regla. Para multiplicar números mixtos, primero debes convertirlos en fracciones impropias y luego multiplicar de acuerdo con la regla de multiplicar una fracción por una fracción.
Nota. Si uno de los factores es un número entero, entonces la multiplicación se puede realizar según la ley de distribución de la siguiente manera:
6. El concepto de interés. Al resolver problemas y al realizar varios cálculos prácticos, usamos todo tipo de fracciones. Pero hay que tener en cuenta que muchas cantidades no admiten ninguna, sino subdivisiones naturales para ellas. Por ejemplo, puede tomar una centésima (1/100) de un rublo, será un centavo, dos centésimas son 2 kopeks, tres centésimas son 3 kopeks. Puede tomar 1/10 del rublo, serán "10 kopeks, o una moneda de diez centavos. Puede tomar una cuarta parte del rublo, es decir, 25 kopeks, medio rublo, es decir, 50 kopeks (cincuenta kopeks). Pero prácticamente no No tomes, por ejemplo, 2/7 rublos porque el rublo no se divide en séptimos.
La unidad de medida del peso, es decir, el kilogramo, permite, en primer lugar, subdivisiones decimales, por ejemplo, 1/10 kg o 100 g, y fracciones de kilogramo como 1/6, 1/11, 1 /13 son poco comunes.
En general, nuestras medidas (métricas) son decimales y permiten subdivisiones decimales.
Sin embargo, debe notarse que es extremadamente útil y conveniente en una amplia variedad de casos usar el mismo método (uniforme) de subdivisión de cantidades. Muchos años de experiencia han demostrado que una división tan bien justificada es la división de "centésimas". Consideremos algunos ejemplos relacionados con las más diversas áreas de la práctica humana.
1. El precio de los libros ha disminuido un 12/100 del precio anterior.
Ejemplo. El precio anterior del libro es de 10 rublos. Ella bajó por 1 rublo. 20 coronas
2. Las Cajas de Ahorros abonan durante el año a los depositantes el 2/100 de la cantidad que se deposita en ahorros.
Ejemplo. Se ponen 500 rublos en la caja, el ingreso de esta cantidad para el año es de 10 rublos.
3. El número de graduados de una escuela fue 5/100 del número total de estudiantes.
EJEMPLO Solo 1.200 estudiantes estudiaron en la escuela, 60 de ellos se graduaron de la escuela.
La centésima parte de un número se llama porcentaje..
La palabra "por ciento" se toma prestada del latín y su raíz "cent" significa cien. Junto con la preposición (pro centum), esta palabra significa "por cien". El significado de esta expresión se deriva del hecho de que inicialmente en la antigua Roma el interés era el dinero que el deudor pagaba al prestamista “por cada cien”. La palabra "cent" se escucha en palabras tan familiares: centner (cien kilogramos), centímetro (dicen centímetro).
Por ejemplo, en lugar de decir que la planta produjo 1/100 de todos los productos producidos por ella durante el mes pasado, diremos esto: la planta produjo el uno por ciento de los rechazos durante el mes pasado. En lugar de decir: la planta produjo 4/100 productos más que el plan establecido, diremos: la planta superó el plan en un 4 por ciento.
Los ejemplos anteriores se pueden expresar de otra manera:
1. El precio de los libros ha disminuido un 12 por ciento del precio anterior.
2. Las cajas de ahorros pagan a los depositantes el 2 por ciento anual de la cantidad depositada en ahorros.
3. El número de graduados de una escuela fue el 5 por ciento del número de todos los estudiantes de la escuela.
Para abreviar la letra, se acostumbra escribir el signo % en lugar de la palabra "porcentaje".
Sin embargo, debe recordarse que el signo % generalmente no se escribe en los cálculos, se puede escribir en el enunciado del problema y en el resultado final. Al realizar cálculos, debe escribir una fracción con un denominador de 100 en lugar de un número entero con este icono.
Debe poder reemplazar un número entero con el icono especificado con una fracción con un denominador de 100:
Por el contrario, debe acostumbrarse a escribir un número entero con el icono indicado en lugar de una fracción con un denominador de 100:
7. Encontrar porcentajes de un número dado.
Tarea 1. La escuela recibió 200 metros cúbicos. m de leña, siendo la leña de abedul el 30%. ¿Cuánta madera de abedul había?
El significado de este problema es que la leña de abedul fue solo una parte de la leña que se entregó a la escuela, y esta parte se expresa como una fracción de 30/100. Entonces, nos enfrentamos a la tarea de encontrar una fracción de un número. Para resolverlo, debemos multiplicar 200 por 30 / 100 (las tareas para encontrar la fracción de un número se resuelven multiplicando un número por una fracción).
Entonces el 30% de 200 es igual a 60.
La fracción 30/100 encontrada en este problema se puede reducir en 10. Sería posible realizar esta reducción desde el principio; la solución al problema no cambiaría.
Tarea 2. Había 300 niños de varias edades en el campamento. Los niños de 11 años eran el 21%, los niños de 12 años el 61% y finalmente los de 13 años el 18%. ¿Cuántos niños de cada edad había en el campamento?
En este problema, debe realizar tres cálculos, es decir, encontrar sucesivamente el número de niños de 11 años, luego de 12 años y finalmente de 13 años.
Entonces, aquí será necesario encontrar una fracción de un número tres veces. Vamos a hacerlo:
1) ¿Cuántos niños tenían 11 años?
2) ¿Cuántos niños tenían 12 años?
3) ¿Cuántos niños tenían 13 años?
Después de resolver el problema, es útil sumar los números encontrados; su suma debe ser 300:
63 + 183 + 54 = 300
También debe prestar atención al hecho de que la suma de los porcentajes dados en la condición del problema es 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Esto sugiere que el número total de niños en el campamento se tomó como 100%.
3 a da cha 3. El trabajador recibía 1.200 rublos al mes. De estos gastó el 65% en comida, el 6% en apartamento y calefacción, el 4% en gas, electricidad y radio, el 10% en necesidades culturales y el 15% lo ahorró. ¿Cuánto dinero se gastó en las necesidades indicadas en la tarea?
Para resolver este problema, necesitas encontrar una fracción del número 1200 5 veces. Hagámoslo.
1) ¿Cuánto dinero se gasta en comida? La tarea dice que este gasto es el 65% de todas las ganancias, es decir, 65/100 del número 1200. Hagamos el cálculo:
2) ¿Cuánto dinero se pagó por un apartamento con calefacción? Argumentando como el anterior, llegamos al siguiente cálculo:
3) ¿Cuánto dinero pagó por gas, electricidad y radio?
4) ¿Cuánto dinero se gasta en necesidades culturales?
5) ¿Cuánto dinero ahorró el trabajador?
Para la verificación, es útil agregar los números que se encuentran en estas 5 preguntas. La cantidad debe ser de 1.200 rublos. Todas las ganancias se toman como 100%, lo cual es fácil de verificar sumando los porcentajes dados en la condición del problema.
Hemos resuelto tres problemas. A pesar de que estas tareas se trataban de cosas diferentes (entrega de leña para la escuela, número de niños de diferentes edades, gastos del trabajador), se resolvían de la misma manera. Esto sucedió porque en todas las tareas era necesario encontrar un pequeño porcentaje de los números dados.
§ 90. División de fracciones.
Al estudiar la división de fracciones, consideraremos las siguientes preguntas:
1. Divida un número entero por un número entero.
2. División de una fracción por un número entero
3. División de un número entero por una fracción.
4. División de una fracción por una fracción.
5. División de números mixtos.
6. Hallar un número dada su fracción.
7. Encontrar un número por su porcentaje.
Considerémoslos secuencialmente.
1. Divida un número entero por un número entero.
Como se indicó en el apartado de los números enteros, la división es la acción consistente en que, dado el producto de dos factores (el dividendo) y uno de estos factores (el divisor), se encuentra otro factor.
La división de un entero por un entero la consideramos en el departamento de enteros. Encontramos allí dos casos de división: división sin resto, o "totalmente" (150: 10 = 15), y división con resto (100: 9 = 11 y 1 en el resto). Por tanto, podemos decir que en el ámbito de los números enteros, la división exacta no siempre es posible, porque el dividendo no siempre es el producto del divisor y el número entero. Después de la introducción de la multiplicación por una fracción, podemos considerar cualquier caso de división de números enteros como posible (solo se excluye la división por cero).
Por ejemplo, dividir 7 entre 12 significa encontrar un número cuyo producto por 12 sea 7. Este número es la fracción 7/12 porque 7/12 12 = 7. Otro ejemplo: 14: 25 = 14/25 porque 14/25 25 = 14.
Por lo tanto, para dividir un número entero por un número entero, debe hacer una fracción, cuyo numerador es igual al dividendo y el denominador es el divisor.
2. División de una fracción por un número entero.
Divide la fracción 6/7 por 3. Según la definición de división dada arriba, tenemos aquí el producto (6/7) y uno de los factores (3); se requiere encontrar un segundo factor que, cuando se multiplique por 3, dé el producto dado 6/7. Obviamente, debería ser tres veces más pequeño que este producto. Esto significa que la tarea que teníamos ante nosotros era reducir la fracción 6 / 7 en 3 veces.
Ya sabemos que la reducción de una fracción se puede hacer ya sea disminuyendo su numerador o aumentando su denominador. Por lo tanto, puedes escribir:
En este caso, el numerador 6 es divisible por 3, por lo que el numerador debe reducirse 3 veces.
Pongamos otro ejemplo: 5/8 dividido por 2. Aquí el numerador 5 no es divisible por 2, lo que significa que habrá que multiplicar el denominador por este número:
En base a esto, podemos enunciar la regla: Para dividir una fracción por un número entero, necesitas dividir el numerador de la fracción por ese número entero.(si es posible), dejando el mismo denominador, o multiplicar el denominador de la fracción por este número, dejando el mismo numerador.
3. División de un número entero por una fracción.
Sea necesario dividir 5 por 1/2, es decir, encontrar un número que, después de multiplicar por 1/2, dé como resultado el producto 5. Obviamente, este número debe ser mayor que 5, ya que 1/2 es una fracción propia, y al multiplicar un número por una fracción propia, el producto debe ser menor que el multiplicando. Para que quede más claro, escribamos nuestras acciones de la siguiente manera: 5: 1 / 2 = X , entonces x 1 / 2 \u003d 5.
Debemos encontrar tal número X , que, al multiplicarse por 1/2, daría 5. Dado que multiplicar un cierto número por 1/2 significa encontrar 1/2 de ese número, entonces, por lo tanto, 1/2 del número desconocido X es 5 y el numero entero X el doble, es decir, 5 2 \u003d 10.
Entonces 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
Vamos a revisar: 
Consideremos un ejemplo más. Sea necesario dividir 6 entre 2/3. Primero intentemos encontrar el resultado deseado usando el dibujo (Fig. 19).
Figura 19
Dibuja un segmento AB, igual a 6 de algunas unidades, y divide cada unidad en 3 partes iguales. En cada unidad, tres tercios (3/3) de todo el segmento AB es 6 veces mayor, es decir E. 18/3. Conectamos con la ayuda de pequeños soportes 18 segmentos obtenidos de 2; Habrá sólo 9 segmentos. Esto quiere decir que la fracción 2/3 está contenida en b unidades 9 veces, o sea, la fracción 2/3 es 9 veces menor que 6 unidades enteras. Por eso,
¿Cómo obtener este resultado sin un dibujo usando solo cálculos? Argumentaremos de la siguiente manera: se requiere dividir 6 por 2 / 3, es decir, se requiere responder a la pregunta, cuántas veces 2 / 3 está contenido en 6. Averigüemos primero: cuántas veces es 1 / 3 contenido en 6? En una unidad entera - 3 tercios, y en 6 unidades - 6 veces más, es decir, 18 tercios; para encontrar este número, debemos multiplicar 6 por 3. Por lo tanto, 1/3 está contenido en b unidades 18 veces, y 2/3 está contenido en b no 18 veces, sino la mitad de veces, es decir, 18: 2 = 9. Por lo tanto, al dividir 6 entre 2/3 hicimos lo siguiente:
De aquí obtenemos la regla para dividir un número entero por una fracción. Para dividir un entero por una fracción, necesitas multiplicar este entero por el denominador de la fracción dada y, haciendo de este producto el numerador, dividirlo por el numerador de la fracción dada.
Escribimos la regla usando letras:
Para que esta regla quede perfectamente clara, conviene recordar que una fracción puede considerarse como un cociente. Por lo tanto, es útil comparar la regla encontrada con la regla para dividir un número por un cociente, que se estableció en el § 38. Nótese que allí se obtuvo la misma fórmula.
Al dividir, las abreviaturas son posibles, por ejemplo:
4. División de una fracción por una fracción.
Que sea necesario dividir 3/4 por 3/8. ¿Qué denotará el número que se obtendrá como resultado de la división? Responderá a la pregunta cuántas veces la fracción 3/8 está contenida en la fracción 3/4. Para entender este problema, hagamos un dibujo (Fig. 20).
Tome el segmento AB, tómelo como una unidad, divídalo en 4 partes iguales y marque 3 de esas partes. El segmento AC será igual a 3/4 del segmento AB. Dividamos ahora cada uno de los cuatro segmentos iniciales por la mitad, entonces el segmento AB se dividirá en 8 partes iguales y cada una de esas partes será igual a 1/8 del segmento AB. Conectamos 3 de estos segmentos con arcos, luego cada uno de los segmentos AD y DC será igual a 3/8 del segmento AB. El dibujo muestra que el segmento igual a 3/8 está contenido en el segmento igual a 3/4 exactamente 2 veces; Entonces el resultado de la división se puede escribir así:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Consideremos un ejemplo más. Sea necesario dividir 15/16 por 3/32:
Podemos razonar así: necesitamos encontrar un número que, después de ser multiplicado por 3/32, dé un producto igual a 15/16. Escribamos los cálculos así:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 número desconocido X maquillaje 15 / 16
1/32 número desconocido X es ,
32 / 32 números X maquillaje .
Por eso,
Por lo tanto, para dividir una fracción entre una fracción, debe multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo el denominador.
Escribamos la regla usando letras:
Al dividir, las abreviaturas son posibles, por ejemplo:
5. División de números mixtos.
Al dividir números mixtos, primero deben convertirse en fracciones impropias y luego las fracciones resultantes deben dividirse de acuerdo con las reglas para dividir números fraccionarios. Considere un ejemplo:
Convierte números mixtos a fracciones impropias:
Ahora dividamos:
Por lo tanto, para dividir números mixtos, debe convertirlos en fracciones impropias y luego dividir de acuerdo con la regla para dividir fracciones.
6. Hallar un número dada su fracción.
Entre las diversas tareas sobre fracciones, a veces hay aquellas en las que se da el valor de alguna fracción de un número desconocido y se requiere encontrar este número. Este tipo de problema será inverso al problema de hallar una fracción de un número dado; allí se dio un número y se requiere encontrar alguna fracción de este número, aquí se da una fracción de un número y se requiere encontrar este número mismo. Esta idea se hará aún más clara si nos dirigimos a la solución de este tipo de problemas.
Tarea 1. El primer día, los vidrieros acristalaron 50 ventanas, que es 1/3 de todas las ventanas de la casa construida. ¿Cuántas ventanas hay en esta casa?
Solución. El problema dice que 50 ventanas de vidrio son 1/3 de todas las ventanas de la casa, lo que significa que hay 3 veces más ventanas en total, es decir
La casa tenía 150 ventanas.
Tarea 2. La tienda vendió 1.500 kg de harina, que es 3/8 del stock total de harina en la tienda. ¿Cuál fue el suministro inicial de harina de la tienda?
Solución. De la condición del problema puede verse que los 1.500 kg de harina vendidos constituyen 3/8 del stock total; esto quiere decir que 1/8 de este stock será 3 veces menor, es decir, para calcularlo se necesita reducir 1500 en 3 veces:
1500: 3 = 500 (eso es 1/8 del stock).
Obviamente, todo el stock será 8 veces mayor. Por eso,
500 8 \u003d 4,000 (kg).
El suministro inicial de harina en la tienda fue de 4.000 kg.
De la consideración de este problema, se puede deducir la siguiente regla.
Para encontrar un número por un valor dado de su fracción, basta con dividir este valor por el numerador de la fracción y multiplicar el resultado por el denominador de la fracción.
Resolvimos dos problemas de encontrar un número dada su fracción. Tales problemas, como se ve especialmente bien en el último, se resuelven mediante dos acciones: división (cuando se encuentra una parte) y multiplicación (cuando se encuentra el número entero).
Sin embargo, después de haber estudiado la división de fracciones, los problemas anteriores se pueden resolver en una acción, a saber: división por una fracción.
Por ejemplo, la última tarea se puede resolver en una acción como esta:
En el futuro, resolveremos el problema de encontrar un número por su fracción en una acción: la división.
7. Encontrar un número por su porcentaje.
En estas tareas, deberá encontrar un número, sabiendo un pequeño porcentaje de este número.
Tarea 1. A principios de este año, recibí 60 rublos de la caja de ahorros. ingreso de la cantidad que ahorré hace un año. ¿Cuánto dinero puse en la caja de ahorros? (Las oficinas de efectivo dan a los depositantes el 2% de los ingresos por año).
El significado del problema es que una cierta cantidad de dinero fue depositada por mí en una caja de ahorros y permaneció allí durante un año. Después de un año, recibí 60 rublos de ella. ingreso, que es 2/100 del dinero que invierto. ¿Cuánto dinero deposité?
Por lo tanto, conociendo la parte de este dinero, expresada de dos formas (en rublos y en fracciones), debemos encontrar la cantidad total, aún desconocida. Este es un problema ordinario de encontrar un número dada su fracción. Las siguientes tareas se resuelven por división:
Entonces, se depositaron 3.000 rublos en la caja de ahorros.
Tarea 2. En dos semanas, los pescadores cumplieron en un 64% el plan mensual, habiendo preparado 512 toneladas de pescado. ¿Cuál era su plan?
Por el estado del problema, se sabe que los pescadores cumplieron parte del plan. Esta parte es igual a 512 toneladas, que es el 64% del plan. No sabemos cuántas toneladas de pescado se deben recolectar de acuerdo con el plan. La solución del problema consistirá en encontrar este número.
Tales tareas se resuelven dividiendo:
Entonces, según el plan, debe preparar 800 toneladas de pescado.
Tarea 3. El tren iba de Riga a Moscú. Cuando pasó el kilómetro 276, uno de los pasajeros le preguntó al conductor que pasaba cuánto del viaje ya habían recorrido. A esto el conductor respondió: “Ya hemos cubierto el 30% de todo el trayecto”. ¿Cuál es la distancia de Riga a Moscú?
Se puede ver a partir de la condición del problema que el 30% del viaje de Riga a Moscú es de 276 km. Necesitamos encontrar la distancia total entre estas ciudades, es decir, para esta parte, encontrar el total:
§ 91. Números recíprocos. Sustitución de división por multiplicación.
Toma la fracción 2/3 y reorganiza el numerador en el lugar del denominador, obtenemos 3/2. Tenemos una fracción, el recíproco de esta.
Para obtener una fracción recíproca de una determinada, debe colocar su numerador en el lugar del denominador y el denominador en el lugar del numerador. De esta forma, podemos obtener una fracción que es el recíproco de cualquier fracción. Por ejemplo:
3/4, inverso 4/3; 5/6, inversa 6/5
Dos fracciones que tienen la propiedad de que el numerador de la primera es el denominador de la segunda y el denominador de la primera es el numerador de la segunda se llaman mutuamente inversa.
Ahora pensemos en qué fracción será el recíproco de 1/2. Obviamente, será 2/1, o simplemente 2. Buscando una fracción, el recíproco de esta, obtuvimos un número entero. Y este caso no es aislado; por el contrario, para todas las fracciones con numerador 1 (uno), los recíprocos serán números enteros, por ejemplo:
1 / 3, inverso 3; 1 / 5, 5 inverso
Dado que, al buscar recíprocos, también nos encontramos con números enteros, en el futuro no hablaremos de recíprocos, sino de recíprocos.
Averigüemos cómo escribir el recíproco de un número entero. En el caso de las fracciones, esto se resuelve de manera simple: debes colocar el denominador en lugar del numerador. De la misma manera, puede obtener el recíproco de un número entero, ya que cualquier número entero puede tener un denominador de 1. Entonces, el recíproco de 7 será 1 / 7, porque 7 \u003d 7 / 1; para el numero 10 el inverso es 1/10 ya que 10 = 10/1
Esta idea se puede expresar de otra manera: el recíproco de un número dado se obtiene dividiendo uno por el número dado. Esta afirmación es cierta no solo para números enteros, sino también para fracciones. De hecho, si quieres escribir un número que sea el recíproco de 5/9, entonces podemos tomar 1 y dividirlo por 5/9, es decir
Ahora vamos a señalar uno propiedad números mutuamente recíprocos, que nos serán útiles: el producto de números mutuamente recíprocos es igual a uno. Por supuesto:
Usando esta propiedad, podemos encontrar recíprocos de la siguiente manera. Encontremos el recíproco de 8.
Vamos a denotarlo con la letra X , luego 8 X = 1, por lo tanto X = 1 / 8 . Encontremos otro número, el inverso de 7/12, denótalo con una letra X , luego 7 / 12 X = 1, por lo tanto X = 1:7 / 12 o X = 12 / 7 .
Introdujimos aquí el concepto de números mutuamente recíprocos para complementar ligeramente la información sobre la división de fracciones.
Cuando dividimos el número 6 por 3/5, entonces hacemos lo siguiente:
Presta especial atención a la expresión y compárala con la dada: .
Si tomamos la expresión por separado, sin conexión con la anterior, entonces es imposible resolver la cuestión de dónde salió: de dividir 6 por 3/5 o de multiplicar 6 por 5/3. En ambos casos el resultado es el mismo. Entonces podemos decir que la división de un número por otro se puede sustituir multiplicando el dividendo por el recíproco del divisor.
Los ejemplos que damos a continuación confirman plenamente esta conclusión.
El estudio del tema de la resta de fracciones con distinto denominador se encuentra en la materia escolar "Álgebra"; en el octavo grado y a veces hace que los niños sean difíciles de entender. Para restar fracciones con diferentes denominadores, utilice la siguiente fórmula:
El procedimiento para restar fracciones es similar a la suma, ya que copia completamente el principio de operación.
Primero, calculamos el número más pequeño que sea múltiplo tanto de uno como del otro denominador.
En segundo lugar, multiplicamos el numerador y el denominador de cada fracción por un número determinado, lo que nos permitirá llevar el denominador al mínimo común denominador dado.
En tercer lugar, el procedimiento de resta en sí tiene lugar cuando, como resultado, el denominador se duplica y el numerador de la segunda fracción se resta del primero.
Ejemplo: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 entero 1/6
Primero debes llevarlos al mismo denominador y luego restarlos. Por ejemplo, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. O, más duro, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. ¿Necesitas explicar cómo se reducen las fracciones a un denominador común?
En operaciones como sumar o restar fracciones ordinarias con diferentes denominadores, se aplica una regla simple: los denominadores de estas fracciones se reducen a un número y la operación en sí se realiza con los números en el numerador. Es decir, las fracciones obtienen un denominador común y parecen combinarse en una sola. Encontrar un denominador común para fracciones arbitrarias generalmente se reduce a simplemente multiplicar cada una de las fracciones por el denominador de la otra fracción. Pero en casos más simples, puedes encontrar inmediatamente factores que llevarán los denominadores de fracciones al mismo número.
Ejemplo de resta de fracciones: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21
Muchos adultos ya han olvidado como restar fracciones con diferente denominador, pero esta acción pertenece a las matemáticas elementales.
Para restar fracciones con diferente denominador, debe llevarlos a un denominador común, es decir, encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores, luego multiplicar los numeradores por factores adicionales iguales a la razón del mínimo común múltiplo y el denominador.
Los signos de las fracciones se conservan. Después de que las fracciones tengan los mismos denominadores, puedes restar y luego, si es posible, reducir la fracción.
Elena, ¿decidiste repetir el curso de matemáticas de la escuela?)))
Para restar fracciones con diferentes denominadores, primero deben reducirse al mismo denominador y luego restarse. La opción más sencilla: Multiplicar el numerador y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, y multiplicar el numerador y el denominador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción. Obtenga dos fracciones con los mismos denominadores. Ahora le restamos el numerador de la segunda fracción al numerador de la primera fracción, y tienen el mismo denominador.
Por ejemplo, tres quintos restar dos séptimos es igual a veintiuno treinta y cinco quintos restar diez treinta y cinco y esto es igual a once treinta y cinco.
Si los denominadores son números grandes, entonces puedes encontrar su mínimo común múltiplo, es decir, un número que será divisible tanto por uno como por otro denominador. Y lleva ambas fracciones a un denominador común (mínimo común múltiplo)
Cómo restar fracciones con diferentes denominadores la tarea es muy simple: llevamos las fracciones a un denominador común y luego hacemos la resta en el numerador.
Mucha gente enfrenta dificultades cuando hay números enteros al lado de estas fracciones, así que quería mostrar cómo hacerlo con el siguiente ejemplo:
resta de fracciones con parte entera y distinto denominador
primero restamos las partes enteras 8-5 = 3 (el triple queda cerca de la primera fracción);
llevamos las fracciones a un común denominador 6 (si el numerador de la primera fracción es mayor que el de la segunda restamos y escribimos cerca de la parte entera, en nuestro caso seguimos adelante);
descomponemos la parte entera 3 en 2 y 1;
1 se escribe como una fracción 6/6;
6/6+3/6-4/6 escribimos bajo el común denominador 6 y hacemos las acciones en el numerador;
anote el resultado encontrado 2 5/6.
Es importante recordar que las fracciones se restan si tienen el mismo denominador. Por lo tanto, cuando tenemos fracciones con diferentes denominadores en la diferencia, simplemente deben llevarse a un denominador común, lo cual no es difícil de hacer. Solo tenemos que factorizar el numerador de cada fracción y calcular el mínimo común múltiplo, que no debe ser cero. No olvide multiplicar también los numeradores por los factores adicionales obtenidos, pero aquí hay un ejemplo por conveniencia:
Si desea restar fracciones con diferentes denominadores, primero debe encontrar un denominador común para estas dos fracciones. Y luego resta el segundo del numerador de la primera fracción. Resulta una nueva fracción, con un nuevo valor.
Por lo que recuerdo del curso de matemáticas de tercer grado, para restar fracciones con diferentes denominadores, primero debe calcular el denominador común y traerlo, y luego los numeradores simplemente se restan entre sí y el denominador sigue siendo ese común.
Para restar fracciones con diferentes denominadores, primero tenemos que encontrar el denominador común más pequeño de estas fracciones.
Veamos un ejemplo:
Divide el número mayor 25 por el menor 20. No es divisible. Entonces multiplicamos el denominador 25 por un número tal que la suma resultante se pueda dividir por 20. Este número será 4. 25x4 \u003d 100. 100:20=5. Por lo tanto, encontramos el mínimo común denominador: 100.
Ahora necesitamos encontrar un factor adicional para cada fracción. Para ello, dividimos el nuevo denominador por el antiguo.
Multiplica 9 por 4 = 36. Multiplica 7 por 5 = 35.
Teniendo un denominador común, restamos, como se muestra en el ejemplo, y obtenemos el resultado.
En el artículo, mostraremos como resolver fracciones con ejemplos sencillos y claros. Entendamos qué es una fracción y consideremos resolver fracciones!
concepto fracciones se introduce en el curso de matemáticas a partir del 6º grado de la escuela secundaria.
Las fracciones se ven como: ±X / Y, donde Y es el denominador, indica en cuántas partes se dividió el todo, y X es el numerador, indica cuántas partes se tomaron. Para mayor claridad, tomemos un ejemplo con un pastel:
En el primer caso, el pastel se cortó por igual y se tomó la mitad, es decir, 1/2. En el segundo caso, el pastel se cortó en 7 partes, de las cuales se tomaron 4 partes, es decir, 4/7.
Si la parte de dividir un número por otro no es un número entero, se escribe como fracción.
Por ejemplo, la expresión 4:2 \u003d 2 da un número entero, pero 4:7 no es completamente divisible, por lo que esta expresión se escribe como una fracción 4/7.
En otras palabras fracción es una expresión que denota la división de dos números o expresiones, y que se escribe con barra oblicua.
Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es correcta, si viceversa, es incorrecta. Una fracción puede contener un número entero.
Por ejemplo, 5 3/4 enteros.
Esta entrada significa que para obtener el 6 entero, una parte de cuatro no es suficiente.
si quieres recordar como resolver fracciones para sexto grado Necesitas entender eso resolver fracciones básicamente se reduce a entender algunas cosas simples.
- Una fracción es esencialmente una expresión para una fracción. Es decir, una expresión numérica de qué parte es un valor dado de un todo. Por ejemplo, la fracción 3/5 expresa que si dividimos algo entero en 5 partes y el número de partes o partes de este todo es tres.
- Una fracción puede ser menor que 1, por ejemplo 1/2 (o esencialmente la mitad), entonces es correcta. Si la fracción es mayor que 1, por ejemplo 3/2 (tres mitades o uno y medio), entonces es incorrecta y para simplificar la solución, mejor seleccionamos la parte entera 3/2= 1 entero 1 /2.
- Las fracciones son los mismos números que 1, 3, 10 e incluso 100, solo que los números no son enteros, sino fraccionarios. Con ellos, puede realizar las mismas operaciones que con los números. Contar fracciones no es más difícil, y más adelante lo mostraremos con ejemplos específicos.
Como resolver fracciones. Ejemplos.
Una variedad de operaciones aritméticas son aplicables a las fracciones.
Llevar una fracción a un denominador común
Por ejemplo, necesitas comparar las fracciones 3/4 y 4/5.
Para resolver el problema, primero encontramos el mínimo común denominador, es decir el número más pequeño que es divisible sin resto por cada uno de los denominadores de las fracciones
Mínimo común denominador (4.5) = 20
Entonces el denominador de ambas fracciones se reduce al mínimo común denominador
Respuesta: 15/20
Suma y resta de fracciones
Si es necesario calcular la suma de dos fracciones, primero se llevan a un denominador común, luego se agregan los numeradores, mientras que el denominador permanece sin cambios. La diferencia de fracciones se considera de manera similar, la única diferencia es que se restan los numeradores.
Por ejemplo, necesitas encontrar la suma de las fracciones 1/2 y 1/3
Ahora encuentra la diferencia entre las fracciones 1/2 y 1/4
Multiplicación y división de fracciones
Aquí la solución de fracciones es simple, aquí todo es bastante simple:
- Multiplicación: los numeradores y denominadores de fracciones se multiplican entre sí;
- División: primero obtenemos una fracción, el recíproco de la segunda fracción, es decir intercambiamos su numerador y denominador, después de lo cual multiplicamos las fracciones resultantes.
Por ejemplo:
sobre esto como resolver fracciones, todo. Si tiene alguna pregunta sobre resolver fracciones, algo no está claro, entonces escribe en los comentarios y te responderemos.
Si es profesor, puede descargar una presentación para una escuela primaria (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) que le resultará útil.
El numerador, y aquello por lo que se divide es el denominador.
Para escribir una fracción, primero escribe su numerador, luego dibuja una línea horizontal debajo de este número y escribe el denominador debajo de la línea. La línea horizontal que separa el numerador y el denominador se llama barra fraccionaria. A veces se representa como una "/" o "∕" oblicua. En este caso, el numerador se escribe a la izquierda de la línea y el denominador a la derecha. Entonces, por ejemplo, la fracción "dos tercios" se escribirá como 2/3. Para mayor claridad, el numerador generalmente se escribe en la parte superior de la línea y el denominador en la parte inferior, es decir, en lugar de 2/3, puede encontrar: ⅔.
Para calcular el producto de fracciones, primero multiplica el numerador de uno fracciones a otro numerador. Escribe el resultado en el numerador de la nueva fracciones. Luego multiplica también los denominadores. Especifique el valor final en el nuevo fracciones. Por ejemplo, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Para dividir una fracción por otra, primero se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda. Haz lo mismo con la segunda fracción (divisor). O, antes de realizar todos los pasos, primero "voltea" el divisor, si te resulta más conveniente: el denominador debe estar en lugar del numerador. Luego multiplica el denominador del dividendo por el nuevo denominador del divisor y multiplica los numeradores. Por ejemplo, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).
Fuentes:
- Tareas básicas para fracciones.
Los números fraccionarios te permiten expresar el valor exacto de una cantidad de diferentes maneras. Con fracciones, puede realizar las mismas operaciones matemáticas que con números enteros: resta, suma, multiplicación y división. Para aprender a decidir fracciones, es necesario recordar algunas de sus características. Dependen del tipo fracciones, la presencia de una parte entera, un común denominador. Algunas operaciones aritméticas después de la ejecución requieren la reducción de la parte fraccionaria del resultado.
Necesitará
- - calculadora
Instrucción
Fíjate bien en los números. Si hay decimales e irregulares entre las fracciones, a veces es más conveniente realizar primero acciones con decimales y luego convertirlas a la forma incorrecta. Puedes traducir fracciones en esta forma inicialmente, escribiendo el valor después del punto decimal en el numerador y poniendo 10 en el denominador. Si es necesario, reduce la fracción dividiendo los números de arriba y abajo por un divisor. Las fracciones en las que sobresale la parte entera, llevan a la forma incorrecta al multiplicarla por el denominador y sumar el numerador al resultado. Este valor se convertirá en el nuevo numerador. fracciones. Para extraer toda la parte de la inicialmente incorrecta fracciones, divide el numerador entre el denominador. Escribe el resultado completo de fracciones. Y el resto de la división se convierte en el nuevo numerador, el denominador fracciones mientras no cambia. Para fracciones con parte entera, es posible realizar acciones por separado, primero para la parte entera y luego para las partes fraccionarias. Por ejemplo, la suma de 1 2/3 y 2 ¾ se puede calcular:
- Convertir fracciones a la forma incorrecta:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Suma por separado de partes enteras y fraccionarias de términos:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Reescríbelas mediante el separador ":" y continúa con la división habitual.
Para obtener el resultado final, reduce la fracción resultante dividiendo el numerador y el denominador por un número entero, el mayor posible en este caso. En este caso, debe haber números enteros arriba y abajo de la línea.
Nota
No hagas aritmética con fracciones que tengan diferentes denominadores. Elige un número tal que cuando el numerador y el denominador de cada fracción se multipliquen por él, como resultado, los denominadores de ambas fracciones sean iguales.
Aviso util
Al escribir números fraccionarios, el dividendo se escribe encima de la línea. Esta cantidad se conoce como el numerador de una fracción. Debajo de la línea se escribe el divisor o denominador de la fracción. Por ejemplo, un kilo y medio de arroz en forma de fracción se escribirá de la siguiente manera: 1 ½ kg de arroz. Si el denominador de una fracción es 10, se llama fracción decimal. En este caso, el numerador (dividendo) se escribe a la derecha de la parte entera separada por una coma: 1,5 kg de arroz. Para facilitar los cálculos, dicha fracción siempre se puede escribir de forma incorrecta: 1 2/10 kg de papas. Para simplificar, puede reducir los valores del numerador y el denominador dividiéndolos por un solo número entero. En este ejemplo, es posible dividir por 2. El resultado es 1 1/5 kg de patatas. Asegúrate de que los números con los que vas a hacer aritmética estén en la misma forma.
Como sabes por las matemáticas, un número fraccionario consta de un numerador y un denominador. El numerador está en la parte superior y el denominador en la parte inferior.
Es bastante simple realizar operaciones matemáticas al sumar o restar valores fraccionarios con el mismo denominador. Solo necesita poder sumar o restar los números en el numerador (arriba), y el mismo número inferior permanece sin cambios.
Por ejemplo, tomemos el número fraccionario 7/9, aquí:
- el número "siete" en la parte superior es el numerador;
- el número "nueve" a continuación es el denominador.
Ejemplo 1. Adición:
5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.
Ejemplo 2. Sustracción:
6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.
Resta de valores fraccionarios simples que tienen distinto denominador
Para realizar una operación matemática para restar cantidades que tienen diferente denominador, primero debes llevarlas a un denominador común. Al realizar esta tarea, es necesario cumplir con la regla de que este denominador común debe ser la menor de todas las opciones posibles.
Ejemplo 3
Dadas dos cantidades simples con diferentes denominadores (números más bajos): 7/8 y 2/9.
Resta el segundo del primer valor.
La solución consta de varios pasos:
1. Encuentra el número inferior común, es decir, la que es divisible tanto por el menor valor de la primera fracción como por la segunda. Este será el número 72, ya que es un múltiplo de los números "ocho" y "nueve".
2. El dígito inferior de cada fracción ha aumentado:
- el número "ocho" en la fracción 7/8 aumentó nueve veces - 8*9=72;
- el número "nueve" en la fracción 2/9 ha aumentado ocho veces - 9*8=72.
3. Si el denominador (número inferior) ha cambiado, entonces el numerador (número superior) también debe cambiar. De acuerdo con la regla matemática existente, la cifra superior debe incrementarse exactamente en la misma cantidad que la inferior. Es decir:
- el numerador "siete" en la primera fracción (7/8) se multiplica por el número "nueve" - 7*9=63;
- el numerador "dos" en la segunda fracción (2/9) se multiplica por el número "ocho" - 2*8=16.
4. Como resultado de las acciones, obtuvimos dos valores nuevos que, sin embargo, son idénticos a los originales.
- primero: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
- segundo: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.
5. Ahora se permite restar un número fraccionario de otro:
7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?
6. Al realizar esta acción, volvemos al tema de restar fracciones con los mismos números inferiores (denominadores). Y esto significa que la acción de restar se realizará desde arriba, en el numerador, y la cifra inferior se transfiere sin cambios.
63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.
7/8−2/9 = 47/72.
Ejemplo 4
Vamos a complicar el problema tomando varias fracciones para resolverlas con dígitos diferentes pero múltiples en la parte inferior.
Valores dados: 5/6; 1/3; 1/12; 24/7.
Deben separarse unos de otros en esta secuencia.
1. Llevamos las fracciones de la forma anterior a un denominador común, que será el número "24":
- 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
- 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
- 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.
7/24 - dejamos este último valor sin cambios, ya que el denominador es el número total "24".
2. Resta todos los valores:
20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.
3. Dado que el numerador y el denominador de la fracción resultante son divisibles por un número, se pueden reducir dividiendo por el número "tres":
3:3 / 24:3 = 1/8.
4. Escribimos la respuesta así:
5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.
Ejemplo 5
Dadas tres fracciones con denominadores no múltiplos: 3/4; 2/7; 1/13.
Necesitas encontrar la diferencia.
1. Llevamos los dos primeros números a un denominador común, será el número "28":
- ¾ \u003d 3 * 7 / 4 * 7 \u003d 21/28;
- 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.
2. Resta las dos primeras fracciones entre sí:
¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.
3. Resta la tercera fracción dada del valor resultante:
4. Llevamos los números a un denominador común. Si no es posible elegir el mismo denominador de una manera más fácil, solo necesita realizar los pasos multiplicando todos los denominadores en serie entre sí, sin olvidar aumentar el valor del numerador por la misma cifra. En este ejemplo, hacemos esto:
- 13/28 \u003d 13 * 13 / 28 * 13 \u003d 169/364, donde 13 es el dígito inferior de 5/13;
- 5/13 \u003d 5 * 28 / 13 * 28 \u003d 140/364, donde 28 es el dígito inferior de 13/28.
5. Resta las fracciones resultantes:
13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.
Respuesta: ¾-2/7-5/13 = 29/364.
Números fraccionarios mixtos
En los ejemplos discutidos anteriormente, solo se usaron fracciones propias.
Como ejemplo:
- 8/9 es una fracción propia;
- 9/8 está mal.
Es imposible convertir una fracción impropia en una propia, pero es posible convertirla en mezclado. ¿Por qué el número de arriba (numerador) se divide por el número de abajo (denominador) para obtener un número con resto? El número entero obtenido por división se escribe de esta manera, el resto se escribe en el numerador de arriba, y el denominador, que está en la parte de abajo, permanece igual. Para hacerlo más claro, considere un ejemplo específico:
Ejemplo 6
Convertimos la fracción impropia 9/8 en la propia.
Para hacer esto, dividimos el número "nueve" por "ocho", como resultado obtenemos una fracción mixta con un número entero y un resto:
9: 8 = 1 y 1/8 (de otra forma se puede escribir 1 + 1/8), donde:
- el número 1 es el número entero resultante de la división;
- otro número 1 - el resto;
- el número 8 es el denominador, que se ha mantenido sin cambios.
Un número entero también se llama un número natural.
El resto y el denominador son una fracción nueva, pero ya correcta.
Al escribir el número 1, se escribe antes de la fracción correcta 1/8.
Restar números mixtos con diferentes denominadores
De lo anterior, damos la definición de un número fraccionario mixto: "Numero mixto - este es un valor que es igual a la suma de un número entero y una fracción ordinaria propia. En este caso, la parte entera se llama número natural, y el número que está en el resto es su parte fraccional».
Ejemplo 7
Dado: dos cantidades fraccionarias mixtas, que consisten en un número entero y una fracción propia:
- el primer valor es 9 y 4/7, es decir, (9 + 4/7);
- el segundo valor es 3 y 5/21, es decir (3+5/21).
Se requiere encontrar la diferencia entre estos valores.
1. Para restar 3+5/21 de 9+4/7, primero debes restar valores enteros entre sí:
4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.
3. El resultado de la diferencia entre dos números mixtos consistirá en un número natural (entero) 6 y una fracción propia 7/21 = 1/3:
(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.
Los matemáticos de todos los países han acordado que se puede omitir el signo "+" al escribir cantidades mixtas y solo se puede dejar el número entero delante de la fracción sin ningún signo.