Algún triángulo, en el que todos los lados no tienen la misma longitud, generalmente se llama versátil.
Un triángulo con dos lados idénticos se denota como isósceles... Es costumbre llamar a las mismas partes lateral, tercero - base. Esta definición será igualmente cierta base de un triangulo es el lado de un triángulo isósceles que no es igual a los otros dos lados.
V triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales. Altura, mediana, bisectriz de un triángulo isósceles, dibujados a su base, están alineados.
Triángulo, con todos los mismos lados, se denota como equilátero o correcto... En un triángulo equilátero, todos los ángulos son de 60 ° y los centros de los círculos inscritos y circunscritos están alineados.
Tipos de triángulos en función de los parámetros de los ángulos.
Un triángulo en el que solo las esquinas son menores que 90 0 (agudo) se llama de ángulo agudo.
El triángulo en el que se representa el ángulo 90 0 se llama rectangular... Los lados de un triángulo que forman un ángulo recto generalmente se denotan piernas, y el lado opuesto al ángulo recto es hipotenusa.
El polígono más simple que se enseña en la escuela es el triángulo. Es más comprensible para los estudiantes y tiene menos dificultades. A pesar de que existen diferentes tipos de triángulos que tienen propiedades especiales.
¿Qué forma se llama triángulo?
Formado por tres puntos y segmentos de recta. Los primeros se llaman vértices, los segundos se llaman lados. Además, los tres segmentos deben estar conectados de modo que se formen esquinas entre ellos. De ahí el nombre de la figura "triángulo".
Diferencias de nombres de esquinas
Dado que pueden ser afilados, desafilados y rectos, los tipos de triángulos están determinados por estos nombres. En consecuencia, hay tres grupos de tales cifras.
- Primero. Si todas las esquinas de un triángulo son agudas, entonces tendrá el nombre de ángulo agudo. Todo es lógico.
- Segundo. Una de las esquinas es obtusa, por lo que el triángulo es obtuso. No podría ser más sencillo.
- Tercero. Hay un ángulo de 90 grados, que se llama ángulo recto. El triángulo se vuelve rectangular.
Diferencias de nombres en los lados.
Dependiendo de las características de los lados, se distinguen los siguientes tipos de triángulos:
el caso general es versátil, en el que todos los lados tienen una longitud arbitraria;
isósceles, cuyos dos lados tienen los mismos valores numéricos;
equilátero, las longitudes de todos sus lados son iguales.
Si la tarea no indica un tipo específico de triángulo, entonces debe dibujar uno arbitrario. En el que todas las esquinas son afiladas y los lados tienen diferentes longitudes.
Propiedades comunes a todos los triángulos
- Si sumas todos los ángulos del triángulo, obtienes un número igual a 180º. No importa de qué clase sea. Esta regla siempre se aplica.
- El valor numérico de cada lado del triángulo es menor que los otros dos sumados. Además, es mayor que su diferencia.
- Cada esquina exterior tiene un valor que se obtiene sumando dos interiores que no son adyacentes a ella. Además, siempre es más que el interior adyacente.
- La esquina más pequeña siempre se encuentra opuesta al lado más pequeño del triángulo. Por el contrario, si el lado es grande, el ángulo será el más grande.
Estas propiedades son siempre verdaderas, sin importar qué tipos de triángulos se consideren en los problemas. Todos los demás se derivan de características específicas.
Propiedades del triángulo isósceles
- Los ángulos adyacentes a la base son iguales.
- La altura que se dibuja en la base también es la mediana y la bisectriz.
- Las alturas, medianas y bisectrices que se trazan a los lados del triángulo son respectivamente iguales entre sí.
Propiedades del triángulo equilátero
Si existe tal cifra, entonces todas las propiedades descritas un poco arriba serán verdaderas. Porque un equilátero siempre será isósceles. Pero no al revés, un triángulo isósceles no tiene por qué ser equilátero.
- Todos sus ángulos son iguales entre sí y tienen un valor de 60º.
- Cualquier mediana de un triángulo equilátero es su altura y su bisectriz. Además, todos son iguales entre sí. Para determinar sus valores, existe una fórmula que consiste en el producto del lado y la raíz cuadrada de 3, dividido por 2.
Propiedades del triángulo rectángulo
- Dos ángulos agudos suman 90º.
- La longitud de la hipotenusa es siempre mayor que la de cualquiera de los catetos.
- El valor numérico de la mediana extraída de la hipotenusa es igual a su mitad.
- El cateto tiene el mismo valor si se encuentra opuesto a un ángulo de 30º.
- La altura, que se extrae desde arriba con un valor de 90º, tiene una cierta dependencia matemática de las piernas: 1 / n 2 = 1 / a 2 + 1 / in 2. Aquí: a, b - piernas, h - altura.
Problemas con diferentes tipos de triángulos.
# 1. Se da un triángulo isósceles. Su perímetro es conocido y es igual a 90 cm Se requiere conocer sus lados. Como condición adicional: el lateral es 1,2 veces menor que la base.
El valor del perímetro depende directamente de los valores que necesita encontrar. La suma de los tres lados dará 90 cm. Ahora debes recordar el signo de un triángulo, a lo largo del cual es isósceles. Es decir, los dos lados son iguales. Puedes hacer una ecuación con dos incógnitas: 2a + b = 90. Aquí a es el lado, b es la base.
Ha llegado el turno de la condición adicional. A continuación, se obtiene la segunda ecuación: â = 1.2а. Puedes sustituir esta expresión en la primera. Resulta: 2a + 1.2a = 90. Después de las transformaciones: 3.2a = 90. Por tanto, a = 28.125 (cm). Ahora es fácil descubrir la base. Es mejor hacer esto desde la segunda condición: h = 1.2 * 28.125 = 33.75 (cm).
Para verificar, puede agregar tres valores: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (cm). Todo es correcto.
Respuesta: los lados del triángulo son 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.
# 2. El lado de un triángulo equilátero mide 12 cm, debes calcular su altura.
Solución. Para encontrar la respuesta, basta con volver al momento en el que se describieron las propiedades del triángulo. Esta es la fórmula para encontrar la altura, la mediana y la bisectriz de un triángulo equilátero.
n = a * √3 / 2, donde n es la altura y a es el lado.
La sustitución y el cálculo dan el siguiente resultado: n = 6 √3 (cm).
No es necesario memorizar esta fórmula. Basta recordar que la altura divide el triángulo en dos rectangulares. Además, resulta ser un cateto, y la hipotenusa en él es el lado del original, el segundo cateto es la mitad del lado conocido. Ahora necesitas escribir el teorema de Pitágoras y derivar una fórmula para la altura.
Respuesta: la altura es de 6 √3 cm.
Numero 3. Dan MKR es un triángulo, en el cual 90 grados forman el ángulo K. Se conocen los lados de MR y KR, son iguales a 30 y 15 cm, respectivamente, es necesario averiguar el valor del ángulo P.
Solución. Si haces un dibujo, queda claro que MP es una hipotenusa. Además, es el doble de la pierna del KR. Nuevamente necesitamos referirnos a las propiedades. Uno de ellos tiene que ver con los ángulos. De ahí se desprende que el ángulo del CMR es igual a 30º. Esto significa que el ángulo P requerido será igual a 60º. Esto se sigue de otra propiedad, que establece que la suma de dos ángulos agudos debe ser igual a 90º.
Respuesta: el ángulo P es de 60º.
No. 4. Encuentra todas las esquinas de un triángulo isósceles. Se sabe de él que el ángulo externo desde el ángulo de la base es de 110º.
Solución. Dado que solo se proporciona la esquina exterior, se debe utilizar esta. Forma uno desplegado con una esquina interior. Esto quiere decir que en total darán 180º. Es decir, el ángulo en la base del triángulo será de 70º. Como es isósceles, el segundo ángulo tiene el mismo significado. Queda por calcular el tercer ángulo. Por una propiedad común a todos los triángulos, la suma de los ángulos es 180º. Esto significa que el tercero se definirá como 180º - 70º - 70º = 40º.
Respuesta: los ángulos son iguales a 70º, 70º, 40º.
Numero 5. Se sabe que en un triángulo isósceles, el ángulo opuesto a la base es de 90º. Un punto está marcado en la base. El segmento que lo conecta al ángulo recto lo divide en una proporción de 1 a 4. Necesitas conocer todos los ángulos del triángulo más pequeño.
Solución. Una de las esquinas se puede identificar de inmediato. Dado que el triángulo es rectangular e isósceles, los que se encuentran en su base serán de 45º, es decir, 90º / 2.
El segundo de ellos ayudará a encontrar la relación conocida en la condición. Como es igual a 1 a 4, entonces las partes en las que se divide son solo 5. Entonces, para encontrar el ángulo más pequeño del triángulo, necesitas 90º / 5 = 18º. Queda por averiguar el tercero. Para hacer esto, reste 45º y 18º de 180º (la suma de todos los ángulos del triángulo). Los cálculos son simples y obtienes: 117º.
Hoy vamos al país de la geometría, donde nos familiarizaremos con diferentes tipos de triángulos.
Considere las formas geométricas y encuentre entre ellas "superfluas" (Fig. 1).
Arroz. 1. Ilustración por ejemplo
Vemos que las figuras # 1, 2, 3, 5 son cuadriláteros. Cada uno de ellos tiene su propio nombre (Fig. 2).
Arroz. 2. Cuadriláteros
Esto significa que la figura "extra" es un triángulo (Fig. 3).
Arroz. 3. Ilustración, por ejemplo
Un triángulo es una figura que consta de tres puntos que no se encuentran en una línea recta y tres segmentos que conectan estos puntos en pares.
Los puntos se llaman los vértices del triángulo, segmentos - es fiestas... Los lados del triángulo forman hay tres esquinas en los vértices del triángulo.
Los principales signos de un triángulo son tres lados y tres esquinas. En términos de ángulo, los triángulos son de ángulo agudo, rectangular y obtuso.
Un triángulo se llama de ángulo agudo si las tres esquinas son agudas, es decir, menos de 90 ° (Fig. 4).
Arroz. 4. Triángulo de ángulo agudo
Un triángulo se llama rectangular si una de sus esquinas mide 90 ° (Fig. 5).
Arroz. 5. Triángulo de ángulo recto
Un triángulo se llama obtuso si una de sus esquinas es obtusa, es decir, más de 90 ° (Fig. 6).
Arroz. 6. Triángulo obtuso
Según el número de lados iguales, los triángulos son equiláteros, isósceles, versátiles.
Un triángulo isósceles es un triángulo cuyos dos lados son iguales (Fig. 7).
Arroz. 7. Triángulo isósceles
Estas fiestas se llaman lateral, el tercer lado - base. En un triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales.
Los triángulos isósceles son de ángulo agudo y de ángulo obtuso(figura 8) .
Arroz. 8. Triángulos isósceles agudos y obtusos
Un triángulo equilátero es un triángulo en el que los tres lados son iguales (Fig. 9).
Arroz. 9. Triángulo equilátero
En un triángulo equilátero todos los ángulos son iguales. Triángulos equiláteros siempre de ángulo agudo.
Un triángulo se llama versátil, en el que los tres lados tienen diferentes longitudes (Fig. 10).
Arroz. 10. Triángulo versátil
Completa la tarea. Divida estos triángulos en tres grupos (fig. 11).
Arroz. 11. Ilustración de la tarea
Primero, distribuimos por la magnitud de los ángulos.
Triángulos agudos: No. 1, No. 3.
Triángulos rectangulares: No. 2, No. 6.
Triángulos obtusos: No. 4, No. 5.
Distribuiremos los mismos triángulos en grupos según el número de lados iguales.
Triángulos versátiles: No. 4, No. 6.
Triángulos isósceles: No. 2, No. 3, No. 5.
Triángulo equilátero: No. 1.
Considere los dibujos.
Piense en qué pieza de alambre hizo cada triángulo (fig. 12).
Arroz. 12. Ilustración de la tarea
Puedes razonar así.
El primer trozo de alambre se divide en tres partes iguales, por lo que se puede formar un triángulo equilátero a partir de él. En la figura, se muestra como el tercero.
El segundo trozo de alambre se divide en tres partes diferentes, por lo que puede hacer un triángulo versátil con él. Se le muestra primero en la figura.
El tercer trozo de alambre se divide en tres partes, donde las dos partes tienen la misma longitud, lo que significa que se puede hacer un triángulo isósceles a partir de él. En la figura, se le muestra como el segundo.
Hoy en la lección nos familiarizamos con los diferentes tipos de triángulos.
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Tarea
1. Completa las frases.
a) Un triángulo es una figura que consta de ..., que no se encuentra en una línea recta, y ..., que conecta estos puntos en pares.
b) Los puntos se llaman … , segmentos - es … ... Los lados del triángulo se forman en los vértices del triángulo. ….
c) En términos de ángulo, los triángulos son…,…,….
d) Según el número de lados iguales, los triángulos son…,…,….
2. Dibujar
a) un triángulo rectángulo;
b) triángulo de ángulo agudo;
c) triángulo obtuso;
d) un triángulo equilátero;
e) triángulo polivalente;
f) triángulo isósceles.
3. Haga una tarea sobre el tema de la lección para sus compañeros.