4. Степени свободы и обобщенные координаты. Число степеней свободы абсолютно твердого тела.

5. Основная задача динамики. Понятие состояния в механике. Законы Ньютона.

6. Система единиц си. Границы применимости классической механики.

7. Импульс, закон сохранения импульса. Применение закона сохранения импульса к абсолютно неупругому удару. Движение тел с переменной массой.

Движение тел с переменной массой.

8. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

9. Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения.

10. Силы в природе. Силы сухого и вязкого трения.

11. Упругая сила, закон Гука.

12. Консервативные и неконсервативные силы в механике. Потенциальная энергия.

13. Кинетическая энергия. Закон сохранения энергии в механике.

14. Закон всемирного тяготения. Движение в центральном поле. Космические скорости. Законы Кеплера.

15. Уравнение движения абсолютно твердого тела. Центр масс, примеры вычисления центра масс.

16. Плоское вращение абсолютно твердого тела и его кинетическая энергия.

17. Момент инерции тела и его физический смысл. Примеры вычисления момента инерции твердых тел. Теорема Штейнера.

19. Идеальная и вязкая жидкость. Гидростатика несжимаемой жидкости. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.

20. Гидродинамика вязкой жидкости, коэффициент вязкости. Течение по трубе. Формула Пуазейля. Закон подобия. Формула Стокса. Турбулентность.Движение вязких жидкостей и газов

21. Основное уравнение молекулярно - кинетической теории идеального газа. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

22. Молекулярно - кинетический смысл температуры.

23. Внутренняя энергия идеального газа.

24. Теплоёмкость идеального газа при постоянном объеме и давлении.

25. Статистические распределения. Вероятность и флуктуации.

26. Распределение Максвелла.

27. Средняя, среднеквадратичная и наиболее вероятная скорости газовых молекул.

28. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

29. Понятие о физической кинетике. Средняя длина свободного пробега, эффективный диаметр молекул и сечение рассеяния.

30. Вязкость, теплопроводность и диффузия в газах.

31. Обратимые и необратимые термодинамические процессы.

32.Первое начало термодинамики. Простейшие термодинамические процессы.

33. Кпд идеальной тепловой машины. Цикл Карно. Понятие термодинамической температуры.

34.Энтропия и ее термодинамический смысл. Второе начало термодинамики.

35. Уравнение Ван-дер-Вальса и его анализ. Экспериментальные изотермы.

36. Перегретая жидкость и перенасыщенный пар. Внутренняя энергия реального газа.

37.Эффект Джоуля - Томпсона. Сжижение газов.

38.Строение жидкостей. Силы поверхностного натяжения. Коэффициент поверхностного натяжения.

39. Давление под изогнутой поверхностью жидкости. Формула Лапласа.

40. Явление на границе жидкости и твердого тела. Краевой угол. Капиллярные явления.

41. Твердые тела. Аморфные и кристаллические тела.

42. Анизотропия кристаллов. Дефекты кристаллов.

43. Фазовые переходы первого и второго рода. Кривая фазового равновесия.

44. Фазовая диаграмма состояния вещества. Тройная точка. Уравнение Клайперона - Клаузиуса.

45. Уравнение гармонического колебания и его основные параметры.

48. Физический и математический маятники. Приведенная длина и центр качания физического маятника.

49. Уравнение затухающих колебаний. Декремент затухания.

50. Действие периодической силы на затухающий гармонический осциллятор. Резонанс.

51. Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты и направления. Векторная даграмма.

5°. Если одновременно совершаются два гармониче­ских колебания одинаковой частоты и разных ампли­туд:

52. Сложение гармонических колебаний разной частоты. Биения.

53. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

54. Уравнение плоской гармонической волны и ее основные параметры: длина волны, волновое число, фазовая скорость волны. Продольные и поперечные волны.

55. Волновое уравнение. Фазовая скорость волны в твердых телах и жидкостях.

56.Скорость звука в газах.

57. Передача информации с помощью волн.

58. Групповая скорость волны. Дисперсия.

59.Стоячие волны. Колебания струны.

60. Громкость и высота тона звука.

61. Эффект Доплера.

62. Физические измерения. Погрешности измерений.

59.Стоячие волны. Колебания струны.

Стоя́чая волна́ - колебания в распределенных колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.

Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе; в природе - волны Шумана.

Чисто стоячая волна, строго говоря, может существовать только при отсутствии потерь в среде и полном отражении волн от границы. Обычно, кроме стоячих волн, в среде присутствуют и бегущие волны, подводящие энергию к местам её поглощения или излучения.

Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса.

Уравнение колебаний струны относится к уравнениям гиперболического типа.

Каждую точку струны можно охарактеризовать значением ее абсциссы x. Для определения положения струны в момент времени t достаточно знать компоненты вектора смещения точки xв момент времени t.

Будем предполагать, что смещения струны лежат в одной плоскости (x,U) и что вектор смещения

перпендикулярен в любой момент времени к оси x; тогда процесс колебания можно описать одной функцией U(x,t) (смотри рисунок) .

Функция U(x,t) характеризует вертикальное перемещение струны.

Уравнение колебаний струны.

а=const- зависит от упругости, жесткости, массы и т. д.

Существуют следующие методы решения уравнения колебаний струны

Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик);

Метод Фурье (метод стоячих волн, метод разделения переменных).

60. Громкость и высота тона звука.

Звуковые волны – продольные.

сейсмические – поперечные и продольные

20 – 20000 Гц > …..

инфра ультра

звук звук

Тон – звук одной частоты.

Обертон – дополнительная частота.

Тембр – оттенок звука.

Шум – много частот.

Громкость звука зависит от амплитуды колебаний.

Высота звука зависит от частоты колебаний.

61. Эффект Доплера.

Эффе́кт До́плера - изменение частоты и длины волн, регистрируемых приёмником, вызванное движением их источника и/или движением приёмника. Его легко наблюдать на практике, когда мимо наблюдателя проезжает машина с включённой сиреной. Предположим, сирена выдаёт какой-то определённый тон, и он не меняется. Когда машина не движется относительно наблюдателя, тогда он слышит именно тот тон, который издаёт сирена. Но если машина будет приближаться к наблюдателю, то частота звуковых волн увеличится (а длина уменьшится), и наблюдатель услышит более высокий тон, чем на самом деле издаёт сирена. В тот момент, когда машина будет проезжать мимо наблюдателя, тот услышит тот самый тон, который на самом деле издаёт сирена. А когда машина проедет дальше и будет уже отдаляться, а не приближаться, то наблюдатель услышит более низкий тон, вследствие меньшей частоты (и, соответственно, большей длины) звуковых волн.

Для волн, распространяющихся в какой-либо среде (например, звука) нужно принимать во внимание движение как источника так и приёмника волн относительно этой среды. Для электромагнитных волн (например, света), для распространения которых не нужна никакая среда, имеет значение только относительное движение источника и приёмника.

Эффект был впервые описан Кристианом Доплером в 1842 году.

Также важен случай, когда в среде движется заряженная частица с релятивистской скоростью. В этом случае в лабораторной системе регистрируется черенковское излучение, имеющее непосредственное отношение к эффекту Доплера.

Источник волн перемещается налево. Тогда слева частота волн становится выше (больше), а справа - ниже (меньше), другими словами, если источник волн догоняет испускаемые им волны, то длина волны уменьшается. Если удаляется - длина волны увеличивается.

"

Цель работы : изучение волновых явлений, условия существования стоячих волн, исследование упругих свойств струны.

Основные теоретические положения

Пусть точка, совершающая колебания, находится в среде, все частицы которой связаны между собой. Тогда энергия колебаний точки может передаваться окружающим точкам, вызывая их колебания. Явление распространения колебаний в среде называется волной. При этом колеблющиеся частицы не перемещаются с распространяющимся колебательным процессом, а колеблются около своих положений равновесия.

Если в неограниченной среде беспрепятственно распространяется единственная волна, то она называется бегущей. Составим уравнение бегущей волны, позволяющее определять смещение любой точки волны в любой момент времени.

Р

Рис. 9.1. К выводу уравнения бегущей волны

ассмотрим непрерывную однородную среду− струну, которая на концеx =0 присоединена к источнику гармонических колебаний в момент времени t ’: D (t ’)= Asint ’. Найдём смещение элементов струны, как функцию координаты x и времени t , то есть функцию
. Очевидно, что для точкиx =0,
= D (t ’)= Asint ’ (рис. 9.1). Предположим, что бегущее по струне возмущение распространяется с некоторой скоростью. Смещение элемента струныx в момент t равно смещению элемента x =0 в момент t ’
=
, если расстояние между ними равно расстоянию, которое возмущение проходит за время t - t ’ со скоростью . Тогда точкиx =0 и x = x колеблются в одной фазе: x =(t - t ’),
,
. Поэтому уравнение бегущей синусоидальной волны
=
= Asint ’ , то есть

. (9.1)

Преобразуем функцию (9.1):
. Обозначим= k и назовём его волновым числом, тогда
=
. Следовательно, скорость
,
. Величину
, равную расстоянию, которое возмущение преодолевает за период колебаний, назовём длиной волны, то есть
, тогда
,
.

Уравнение (9.1) и есть уравнение бегущей одномерной (или плоской) волны. При заданном x оно позволяет определить положение точки (с координатой равновесного положения x ) в любой момент времени t . При заданном t оно позволяет определить мгновенные положения всех колеблющихся точек.

Таким образом, видим, что в волновом движении имеет место двоякая периодичность. С одной стороны, каждая частица среды совершает периодическое движение во времени, с другой стороны, в каждый момент времени все частицы располагаются на линии, форма которой периодически повторяется в пространстве.

Определим скорость распространения продольных колебаний вдоль бес­конечно длинного стержня с постоянным поперечным сечением.

П

Рис. 9.2. Распространение упругой деформации вдоль стержня

ридействии на левое сечение силой (рис. 9.2) вблизи этого сечения происходит уплотне­ние материала стержня, и возникает деформация сжатия. Появляются упругие силы, стремящиеся восстановить первоначальную плотность, в результате чего возникает сжатие соседних областей и таким образом локальное возмущение плотности вблизи левого края стержня распространяется вправо со скоростью . Импульс силы упругости
равен

. Если Е − модуль сжа­тия, иначе называемый модулем Юнга, то
. За время
деформация распространяется на расстояние
. Масса участкастержня, охваченная деформацией, увеличится на
вследствие уве­личения плотности материала на
.Так как
,то
. В соответствии со вторым зaконом Ньютона импульс силы упругости равен изменению импульса, то есть
. Подставляя все величины, получим

или
, (9.2)

где
- погодная плотность материала стержня.

Уравнение (9.1) описывает волну, распространяющуюся в положитель­ном направлении оси ох. При изменении направления распространения волны на противоположное второе слагаемое в аргументе косинуса изменяет знак, так как заменяется на

. (9.3)

Рассмотрим теперь распространение волны в струне, закрепленной с обеих сторон. При этом волна, движущаяся в одном направлении, достигнув второго закрепленного конца струны, отразится и станет распространяться в противоположном направлении. Таким образом вдоль длины струны возникнет явление наложения волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Если свойства среды не изменяются под воздействием распространяющейся волны, то будет выполняться принцип суперпозиции, согласно которому каждая волна распространяется в среде независимо от других. В этом случае результирующее смещение z частиц среды будет определяться как сумма смещений z 1 и z 2 , обусловленных прохождением отдельных волн. В результате будет наблюдаться в различных точках среды усиление или ослабление колебаний в зависимости от фаз приходящих возмущений.

Сложение волн, при котором в разных точках среды образуются усиления и ослабления амплитуды колебаний, называется интерференцией волн. Такая интерференционная картина сохраняется во времени.

Рассмотрим интерференцию двух волн с одинаковой амплитудой, распространяющихся в противоположных направлениях, как в случае струны, закрепленной с обеих сторон. При этом необходимо учитывать следующее явление. После отражения от закрепленного конца отраженная деформация имеет противоположный знак. Это становится понятным, если учесть, что так, как смещение закрепленного конца все время отсутствует, у точки крепления развиваются силы, препятствующие приходящему изгибу струны. Эти силы порождают изгиб противоположного знака, начинающий распространяться в обратную сторону. Поэтому и в отраженной деформации знак смещения изменяется на обратный. Если отражается гармоническая волна, то такое изменение равносильно «потере» полуволны при отражении.

Таким образом, наложение двух волн даст следующее:

Используя формулу разности синусов, получим

. (9.4)

Это выражение называется уравнением стоячей волны, при этом предполагается режим установившихся колебаний, то есть режим, возникающий после многократного пробега волн между креплениями струны. Из (9.4) видно, что в стоячей волне все точки среды (любое значение x ) колеблются по гармоническому закону с круговой частотой .

Амплитуда колебаний различна для разных точек и определяется из (9.4) следующим образом:

. (9.5)

Из последнего выражения вытекает, что есть точки среды, называемые узлами, в которых колебания отсутствуют Z m = 0, следовательно, z = 0. Координаты этих точек определятся из условия равенства нулю синуса в выражении (9.5), то есть

. (9.6)

Отсюда, так как
, получаем

.

Следовательно, расстояние между соседними узлами равно половине длины волны. Так как узлы все время остаются в покое, то в стоячей волне нет направленного переноса энергии, энергия не может перейти через узел. Передача энергии по струне производится только бегущей волной.

Те точки, в которых значение амплитуды достигает максимума
, называются пучностями. Как следует из выражения (9.5), координаты этих точек определяются из условия
, то есть отвечают уравнению
. Видим, что расстояние между соседними пучностями также равно половине длины волны.

Множитель
при переходе через узел меняет знак, вследствие чего фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на. Все точки, находящиеся между двумя соседними узлами, колеблются в одинаковой фазе (их отклонения имеют одинаковый знак). Условие неподвижности обоих концов закрепленной струны приводит к тому, что на длине струны должно укладываться целое число полуволн:

. (9.7)

Таким образом, стоячая волна образуется только при надлежащем соотношении размеров струны и длины волны (частоты колебаний). Для разных значений n = 1, 2,… получим различные типы, или моды, колебаний, при этом n определяет число пучностей, а не узлов. Из (9.6) с учетом (9.7) получим формулу для частот, при которых в струне устанавливаются стоячие волны

, (9.8)

Частоты называют собственными частотами струны. Частоту
называют основной частотой, остальные
– обертонами. Видим, что определяемые формулой (9.8) собственные частоты не зависят от модуля Юнга материала. Этот результат является следствием того, что мы пренебрегли изменением натяжения струны при колебаниях.

В общем случае в струне могут одновременно существовать колебания с различными собственными частотами. Так, наряду с основным тоном n = 1, могут возбуждаться обертоны n = 2, 3, 4,….

Полученные выше уравнения описывают движение идеально гибкой струны в вакууме. При колебаниях реальной струны всегда происходят потери энергии.

Часть энергии теряется вследствие трения о воздух, другая часть уходит через концы струны и т.д. Для поддержания незатухающих колебаний служит вибратор. Если энергия потерь в точности компенсируется энергией, поступающей от вибратора, то в струне можно наблюдать стоячие волны. Но теперь по струне должна происходить передача энергии. Поэтому наряду со стоячими будут существовать бегущие волны, в результате чего узлы окажутся несколько размытыми. Если потери энергии за период малы по сравнению с запасом колебательной энергии в струне, то искажение стоячих волн бегущей волной будет незначительным.

Другим приближением в изложенной выше теории является пренебрежение неоднородностью струны. В реальной струне и плотность, и натяжение могут являться непрерывными функциями координаты Х . Например, если струна подвешена вертикально, то учет массы струны приведет к тому, что натяжение в верхних частях будет больше, чем внизу. Любая неоднородность приведет к искажению формы колебаний, так как синусоидальные колебания в пространстве характерны только для нормальных мод однородных систем.

ВЫ НЕ ПОВЕРИТЕ, что вытворяет ваша струна!
В этом посте я попробую изложить 3 взаимосвязанные темы: как происходят колебания гитарной струны, как работают флажолеты и почему звук электрогитарного датчика меняется в зависимости от его местоположения относительно струны.

Я сделал для примеров несколько видео со спектрограммами. Это простая штука. По горизонтали время, по вертикали частота, яркость линии означает интенсивность частот. Спектрограмма многое говорит о звуке.

Все музыкальные ноты выглядят на спектрограмме как ряд параллельных линий:

Видео 1: спектрограмма мелодии, сыгранной на электрогитаре

Всё потому, что любое сложное периодическое колебание (а значит - любая музыкальная нота) состоит из ряда колебаний кратных частот или может быть представлено в виде такой суммы. Они называются гармониками - первая, вторая, третья и так далее. Частота второй гармоники в два раза выше, чем у первой, третей гармоники - втрое выше, чем у первой, и так далее. Так что спектр ноты с частотой 100 Гц состоит из частоты 100 Гц и кратных ей частот. У гитарной струны может быть от нескольких до нескольких десятков гармоник. Точное их количество назвать затруднительно - как правило, чем выше гармоника, тем она слабее и тем быстрее затухает. Поэтому я буду описывать эти ряды вот так: {100, 200, 300, 400, 500, ...} Гц. В ряду может недоставать каких-то гармоник (присмотритесь к видео 1), что не мешает ноте быть нотой.

Когда пишут что «нота имеет такую-то частоту» , имеется в виду именно частота первой гармоники.

«Расклад» гармоник по уровням может быть разным - одни сильнее, другие слабее. От этого зависит тембр звука: много верхних гармоник - звук яркий, пронзительный, мало - звук мягкий, глухой. Вот одна нота (Ля 110 Гц) на разных инструментах:

Видео 2: нота Ля (110 Гц), сыгранная разными инструментами

Движения

Для примера возьмём открытую пятую струну Ля. Частота её первой гармоники - 110 Гц.

Почему именно пятую? Вот частоты всех открытых струн в стандартном строе:

E: примерно 329,63 Гц
B: примерно 246,94 Гц
G: примерно 196 Гц
D: примерно 146.83 Гц
A: ровно 110 Гц
E: примерно 82.4 Гц

Понятно, почему пятую.

Важный момент: в этом посте говоря о «струне», о «длине струны», о картине колебаний и т.д., я буду иметь в виду именно ту часть струны, которая вибрирует - от порожка до бриджа или от лада до бриджа, если струна прижата. Не буду каждый раз это обговаривать.

Струна одновременно совершает множество разных видов колебаний.

Первое колебание - самое простое:

Колебание первой гармоники струны (по клику откроется анимированная картинка)

Струна колеблется одной «дугой», с частотой первой гармоники (в нашем примере - 110 Гц). В центре струны амплитуда колебания больше всего, а чем ближе к краям, тем оно слабее.

Может показаться, что вот так то струна и колеблется, но это лишь часть картины.

Второе колебание:

Колебание второй гармоники струны (кликабельно)

Струна колеблется как бы отдельными половинками, в противоположных направлениях. Половинка колеблется вдвое чаще, чем целая струна, поэтому у второго колебания частота вдвое выше, чем у первого. В нашем случае получается частота второй гармоники - 220 Гц.

В середине каждой из «половинок» колебание максимально. Чем ближе к краям или середине струны, тем колебание слабее. В середине струны получается любопытная штука - так называемый узел колебания . Это место, расположенное как раз между половинками, в котором колебание второй гармоники отсутствует. Здесь могут быть другие колебания, но второй гармоники тут точно не будет.

Третье колебание:

Колебание третьей гармоники струны (кликабельно)

Здесь струна колеблется уже «третями» - внешние трети идут в одном направлении, средняя в обратном. А частота этого колебания втрое выше, чем у первой гармоники (в нашем случае - 330 Гц). Здесь уже два узла колебания - в точках, делящих струну на три равные части.

Остальные колебания устроены по тому же принципу. Чем дальше, тем больше частота колебания, количество частей и «узлов» между ними:

Амплитуда колебаний первых десяти гармоник струны в разных её участках

Подытожим: в разных точках струны происходят разные картины колебаний, с различными соотношениями гармоник. Например, в середине струны вторая гармоника отсутствует, а первой или третьей тут полно. Например, если взять точку струны совсем рядом с краем струны, то первой гармоники там будет мало, а четвёртой - заметно больше, чем первой. И у каждой гармоники своё «распределение по струне».

Флажолеты

Посмотрим теперь на самый простой натуральный флажолет: прикасаемся к струне пальцем левой руки над 12 ладом, а правой рукой дёргаем струну и получаем ноту на октаву выше.

Что за магия? Как так получается? Сейчас разберёмся.

Вернёмся опять к пятой струне с рядом гармоник {110, 220, 330, 440, 550, ...} герц.

Когда струну просто дёргают, в её колебании есть все возможные гармоники. А вот при извлечении флажолета палец, который прикоснулся к струне, убирает часть гармоник. Если палец находится над узлом колебания какой-то гармоники, он не мешает этому колебанию (примерно так). В остальных случаях - мешает, и колебание гаснет.

В нашем примере палец находится на середине струны: в этом месте у всех чётных гармоник находится узел колебания, а у всех нечётных - максимум колебания. Поэтому палец оставляет только чётные гармоники, а все нечётные «вырубает». И струна, вместо того, чтобы выдать свой полный ряд гармоник {110, 220, 330, 440, 550, ...} герц, теперь выдаёт ряд {220, 440, 660, 880, 1100, ...} герц. А значит, вместо ноты с частотой 110 Гц теперь звучит нота с частотой 220 Гц (гармоники - частота 220 Гц и кратные ей). А это - нота на октаву выше.

Повышение частоты ноты в 2 раза всегда делает эту ноту на октаву выше. Например, нота с частотой 220 Гц на октаву выше ноты с частотой 110 Гц.
Соотношение частот 3:2 даёт квинту. Например, нота с частотой 660 Гц на квинту выше ноты с частотой 440 Гц.
Соотношение 4:3 - даёт кварту.
Соотношение 5:4 - большую терцию.
Соотношение 6:5 - малую терцию.
На самом деле всё немножко сложнее, но об этом - в другой раз.

Палец, стоящий над 7-м или 19-м ладом, находится над узлом колебания третьей гармоники. Поэтому он глушит всё кроме третьей гармоники и кратных ей (3-я, 6-я, 9-я,..). Частота ноты от такого флажолета увеличится в 3 раза и вместо ноты на открытой струне получится нота на октаву+квинту выше её.

Палец над 5-м или 24-м ладом оставляет только четвёртую гармонику и кратные ей и повышает частоту ноты в 4 раза (плюс 2 октавы).

Палец над 4-м ладом, 9-м или 16-м ладом оказывается над узлом пятой гармоники и повышает частоту ноты в 5 раз (плюс 2 октавы и большая терция).

Видео 3: Флажолеты на открытой третьей струне в сравнении с обычной открытой струной. 12-й лад, 7-й, 5-й, и 4-й

У искусственных флажолетов (классический двухпальцевый, рокерский медиаторный, или тэповый флажолет) техника исполнения другая, но принцип действия тот же: мы заставляем струну колебаться и в то же время запрещаем ей колебаться в какой-то конкретной точке, «выключая» таким образом часть гармоник.

Один нюанс: искусственные флажолеты обычно играются на прижатых струнах. А у прижатой струны точки, где нужно делать флажолеты, сдвигаются. Например, если прижать ноту на 2 ладу, все флажолетные точки сдвинутся на 2 лада ближе к бриджу: середина струны теперь на 14-м ладу, точки, которые делят струну на трети - на 9-м или 21-м, и так далее.

Звукосниматель и струна

Теперь вернёмся от флажолетов к обычному звукоизвлечению и посмотрим, что происходит при съёме струны звукоснимателем.

У каждой гармоники амплитуда колебания варьируется в зависимости от того, какую точку струны мы рассматриваем. Эта зависимость у разных гармоник разная, так что в каждой точке струны своя картина гармоник. Магнитный звукосниматель электрогитары или баса снимает колебания не всей струны, а только её небольшой части, которая находится под ним. Попробуем разобраться, как зависит картина колебаний от того, какую точку струны мы снимаем.

Если звукосниматель стоит над узлом колебаний какой-то гармоники, то он её не снимет. Если рядом с узлом - снимет, но слабо. Чем дальше от узлов, тем больше этой гармоники попадёт в звукосниматель.

Если у вас под рукой есть стратокастер, можно проделать простой эксперимент: воткнуться в комбик, или во что угодно, главное - на чистом звуке, никакого подгруза. Переключиться на бриджевый звучок. Взять на любой струне открытый флажолет на 5-м ладу. Переключиться на нэковый звучок. Взять такой же флажолет. Разница будет радикальной - во втором случае звука практически нет.

А всё потому, что нэковый звукосниматель на стратокастере расположен практически на 1/4 длины открытой струны. Поэтому 4-ю гармонику открытой струны (и кратные ей) он практически не улавливает. А извлекая открытый флажолет на 5-м ладу, мы как раз оставляем только эти гармоники.

Допустим, звукосниматель стоит ровно под серединой струны (серая линия на картинке ниже). В этом месте у всех нечётных гармоник максимум колебания, а у всех чётных - «узел». Поэтому на выходе этого звукоснимателя будут только нечётные гармоники, а чётных не будет. Например, если взять всё ту же струну Ля, то вместо ряда {110, 220, 330, 440, 550, ...} Гц датчик выдаст ряд {110, 330, 550, 770, 990, ...} Гц. Заметим, в отличие от флажолетов это не даст другую ноту - у нас все гармоники по прежнему кратны 110 герцам, а не чему-то другому.

Теперь более реалистичный пример. Возьмём три звукоснимателя:
«нэковый» - на расстоянии 1/4 длины струны от бриджа,
«бриджевый» - на 1/20 длины струны от бриджа,
и «средний» - между ними, примерно на 1/7 длины струны от бриджа
(приблизительно так расположены три сингла на стратокастере)...

И посмотрим, какие гармоники открытой струны и в каких количествах в эти датчики попадут.

Например, из картинки выше понятно, что «нэковый» звукосниматель (синяя линия) не будет «слышать» четвёртую гармонику (а так же восьмую и все остальные гармоники, кратные четвёртой). Вторую, шестую и десятую он «услышит» максимально. Первую - процентов на 70. И так далее. Пройдёмся по всем 10 гармоникам во всех четырёх положениях и увидим такие картины гармоник:

Амплитуда колебаний первых десяти гармоник струны в четырёх точках (по клику откроется в полном размере)

Уже видно, почему нэковый датчик звучит «глубже» бриджевого - он получает гораздо больше нижних гармоник.

Обнаружилось интересное: звукосниматель работает как фильтр - в каждом случае имеется характерный ряд провалов в картине гармоник. Чем ближе к бриджу, тем эти провалы выше и реже (у «красного датчика» первый провал придётся на 20-ю гармонику). Если датчик стоит над узлом какой-то гармоники - он полностью теряет эту гармонику и все кратные ей. Если нет - провал попадёт куда-то между гармониками, как у нашего «зелёного датчика». Положение провала относительно гармоник изменяется РОВНО во столько же раз, во сколько датчик стал ближе или дальше от бриджа.

С открытой струной мы разобрались. Когда мы прижимаем струну на любом ладу, её вибрирующая часть укорачивается и вся картина колебаний сжимается по направлению к бриджу - все точки и участки (максимумы, узлы гармоник и всё остальное) сдвигаются на новое место. Звукосниматель, конечно же, остался там же где и был, поэтому теперь он «слышит» другую картину гармоник.

И частоты этих гармоник тоже получатся другие - ведь струну укоротили и увеличили этим частоту её колебаний. Поэтому происходят две штуки:

1. Вся картина колебаний струны «ужимается»: все точки (середина, треть струны и так далее) сдвигаются и становятся в N раз ближе к бриджу. Так как звукосниматель никуда не двигался, то его положение относительно струны теперь в N раз «дальше» от бриджа. А от этого положение «провалов» относительно гармоник понижается в N раз.
2. Частота колебания струны и частоты всех гармоник становятся выше в ТЕ ЖЕ N раз.

Эти два явления полностью уравновешивают друг друга - во сколько раз увеличивается частота гармоник, во столько же падает положение «провалов» относительно гармоник. В итоге частоты «провалов» в герцах у нашей струны не меняются!

Я это подробно расписывать не буду, только проиллюстрирую «на пальцах».

Рассмотрим «синий» звукосниматель, стоящий в 1/4 длины струны от бриджа. Берём открытую пятую струну. Она издаёт колебания с частотами {110, 220, 330, 440, 550, ...} Гц, а звучок из-за своего расположения «проваливает» 4-ю гармонику и кратные ей - то есть, частоты 440, 880, 1320 Гц и т.д.

Прижмём эту же струну на 12 ладу. Теперь струна колеблется с частотами {220, 440, 660, 880, 1100, ...} Гц, а звукосниматель находится на её середине и «теряет» все чётные гармоники - то есть всё те же 440, 880, 1320 Гц и т.д. Теперь это не каждая четвёртая, а каждая вторая гармоника, но частоты то те же.

Это легко проверить: подключаем гитару, включаем спектроанализатор, выбираем один из звукоснимателей и делаем слайд по всей струне. Будут видны характерные частотные провалы, которые НЕ ЗАВИСЯТ от того, на каком ладу нота:

Видео 4: частотные провалы на одной и той же струне, снятой сначала бриджевым, потом нэковым синглом.

Чем ближе к бриджу расположен звукосниматель, тем провалы реже и выше.

Положение «провалов» зависит только от двух вещей:
1. Частота колебания открытой струны.
2. Положение звукоснимателя относительно струны.
Поэтому «фильтр» на каждой струне будет свой - чем выше настроена струна, тем провалы выше и реже. Это хорошо видно при игре чистых переборов, например:

Видео 4: частотные провалы всех шести струнах, снятых нэковым синглом. Аккордовый перебор, снятый им же.

Основная причина, по которой различается звук датчиков, расположенных под разными участками струны - это «фильтр», который получается из-за того, что гармоники определённым образом распределены по струне. Этот фильтр существует всегда, где бы ни находился датчик. Структура его одинакова, меняется лишь масштаб.

Одно из следствий всего этого - чем ближе к бриджу, тем больше изменение положения звукоснимателя сказывается на звуке. Если сдвинуть нэковый звукосниматель на пару сантиметров в сторону - частоты «фильтра» сместятся на несколько процентов. Если на столько же сдвинуть бриджевый датчик - частоты сдвинутся на несколько десятков процентов. Потому что вопрос не в том, насколько сдвинулся датчик, а во сколько раз он ближе/дальше к бриджу. Надо воспринимать всё логарифмически.

В частности, иногда встаёт вопрос - какую из катушек оставлять рабочей при отсечке хамбакера? Так вот у нэкового хамбакера разница между катушками получится совсем небольшая, а у бриджевого - радикальная.

Недавно вконтакте

Пусть вдоль оси х навстречу друг другу распространяются две плоские гармонические волны с одинаковыми частотами и амплитудами:

.

Все частицы упругой среды, охваченной волновым про-цессом, будут участвовать в колебаниях, возбуждённых каждой из волн:

x = x 1 + x 2 = + .

Используя тригонометрическую формулу для суммы коси-нусов, получаем

где А (х ) = 2Acoskx .

Полученное выражение показывает, что частицы упругой среды, охваченные двумя волновыми процессами, совершают гармонические колебания с частотой w.

Амплитуда колебаний частиц среды зависит от координаты х .

В точках, координаты которых отвечают условию kx = ± n p, где n = 0, 1, 2, 3... coskx = ±1 и амплитуда колебаний частиц среды максимальна. Такие точки называются пучностями . Координаты пучностей определяются соотношением .

В точках, отвечающих условию амплитуда равна нулю, т. е. частицы среды в этих точках не колеблются вообще. Такие точки называют узлами . Координаты узлов определяются соотношением .

Поскольку амплитуда колебаний частиц среды определяется их координатой и не зависит от времени, постольку положение узлов и пучностей не изменяется. Узлы и пучности остаются на одном месте. Поэтому волну, возникающую в результате нало-жения встречных волн одинаковой частоты, называют стоячей .

Рассмотрим натянутую струну, концы которой жёстко за-креплены. Пусть длина струны равна l.

Допустим, что в этой струне возбуждены колебания.

Струну можно представить себе как совокупность бесконечно малых связанных между собой элементов. Колебания одного такого элемента должны вовлекать в колебательный процесс и другие элементы струны. Следовательно, если в струне возбудить колебания, то в ней возникнет упругая волна.

Конец струны жёстко закреплён, колебаться не может. Сле-довательно, он не может возбудить колебания в той среде, к ко-торой прикреплён. Поэтому волна, дошедшая до конца струны, полностью отразится.

Это означает, что по струне будут распространяться две встречные волны и .

Как показано выше, при наложении таких волн возникает стоячая волна. Это означает, что на струне с закреплёнными концами может возникнуть стоячая волна.

Поскольку мы говорим о струне с жёстко закреплёнными концами, на концах струны всегда должна быть узлы.

Из выражений для расчёта координат узлов и пучностей видно, что соседние узлы (так же как и пучности) отстоят друг от друга на l/2.

Следовательно, длина струны должна быть такой, чтобы на ней целое число раз укладывалась половина длины волны:

где n = 1, 2, 3...

Это, в свою очередь, означает, что на струне длинной l могут возникать стоячие волны лишь определённых частот

Эти частоты называются собственными частотами струны, или частотами нормальных колебаний. Колебания с такими частотами называют гармониками (колебание с частотой, соответствующей n = 1 называют первой гармоникой, n = 2 – второй гармоникой и т. д.).

Групповая скорость

В науке и технике волны широко используются для передачи информации. Однако гармоническая волна способна донести информацию лишь о том, что где-то есть источник волны.

Для того чтобы с помощью волн можно было передавать необходимое количество информации, их необходимо изменять (например, испускать волны в виде импульсов, или изменять амплитуду волны, её частоту, начальную фазу). Такая волна называется модулированной.

С помощью модулированных упругих волн определяют глубину морей и океанов (эхолот), а модулированные электро-магнитные волны позволяют осуществлять радио- и телевещание.

Но если модулированные волны отличаются от гармони-ческих способностью переносить информацию, то, возможно, им присущи и другие отличия.

Исследуем один из аспектов этой проблемы – найдём скорость, с которой модулированная волна переносит энергию.

Для этого рассмотрим две одинаково направленные плоские поперечные бегущие волны, колебания которых происходят в одной плоскости, амплитуды которых равны, а частоты почти одинаковы.

.

Эту волну можно представить в виде

,

,

т. е. это волна с медленно изменяющейся амплиту-дой, или модулированная, такая же, как на рисунке.

Показанная здесь кар-тина соответствует како-му-то моменту времени. В следующий момент она сдвинется вправо.

Найдём скорость, с ко-торой модулированная волна будет распространяться. Для простоты рассмотрим точку, в которой амплитуда максимальна, – скорость перемещения этой точки равна скорости модулиро-ванной волны.

Поведение точки с максимальной амплитудой описывается выражением . Но это выражение можно трактовать как уравнение бегущей волны с циклической частотой d w = w 1 –w 2 и волновым числом dk = k 1 – k 2 .

Для любой бегущей волны , и w=kv . Тогда скорость точки с максимальной амплитудой будет равна

,

где v 1 и v 2 – фазовые скорость волн с циклическими частотами w 1 и w 2 соотвественно.

Если дисперсии нет, то v 1 = v 2 = v и , т. е. «гребень» такой волны перемещается с фазовой скоростью.

Если же среда диспергирующая, то и скорость . Это означает, что «гребень» перемещается со скоростью, отличной от v 1 и v 2 .

Если вспомнить, что энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, то легко сообразить, что бóльшая часть энергии, переносимой такой волной, сконцентрирована там, где амплитуда волны велика. Это означает, что полученная скорость u есть скорость передачи энергии.

Эту скорость u и называют групповой :

Важно отметить, что фронт волны распространяется с групповой скоростью.

Электромагнитные волны

К середине XIX в. был открыт ряд важнейших законов в области электричества и магнетизма. Значительная часть открытий в этой области принадлежит Майклу Фарадею.

Этот крупнейший учёный, по праву считающийся осново-положником современной электродинамики, как это ни странно, не знал математики.

Поэтому открытые им явления не имели математического описания.

В 1854 г. в Кембриджский университет был принят на работу только что закончивший его Джеймс Клерк Максвелл. Основной целью своей деятельности он избрал математическое описание открытий Фарадея.

Это ему удалось (см. разд. 5.6, 5.7). Один из результатов деятельности Максвелла – предсказание о существовании электромагнитных волн.

Примерно через двадцать лет после этого электромагнитные волны были получены экспериментально немецким физиком Генрихом Герцем.

Рассмотрим механизм возникновения и некоторые особенности электромагнитных волн.

Допустим, что электрическое поле в вакууме создано зарядом, совершающим гармонические колебания.

Электрическое поле, созданное таким зарядом, также должно изменяться с течением времени по гармоническому закону.

Плотность тока смещения, созданного изменяющимся электрическим полем, равна . Поскольку производная от гармонической функции является гармонической функцией, постольку ток смещения также будет изменяться по гармони-ческому закону.

Ток смещения создаёт магнитное поле

.

Интеграл от гармонической функции также является гармо-нической функцией. Следовательно, маг-нитное поле, созданное током смещения, будет изменяться по гармоническому закону.

Важно отметить, что изменение электрического и магнитного полей опи-сывается одной и той же гармонической функцией.

Ток смещения совпадает по направлению с вектором ¶Е .

Вектор индукции магнитного поля всегда перпендикулярен создавшему его току.

Это означает, что магнитное поле, созданное изменяющимся электрическим полем, будет перпендикулярно ему.

В соответствии с уравнением Максвелла о циркуляции вектора Е , изменяющееся магнитное поле порождает электри-ческое. Причём порождаемое электрическое поле будет перпен-дикулярно изменяющемуся магнитному.

Это, в свою очередь, означает, что даже если исчезнет заряд, создавший изменяю-щееся электрическое поле, изменяющиеся электрическое и магнитное поля будут продолжать распространяться в прост-растве в виде электромагнитной волны.

Более строгий анализ позволяет пока-зать, что изменяющиеся электрическое и магнитное поля описываются волновыми уравнениями:

где с – скорость света в вакууме (если электромагнитная волна распространяется в среде, то используется скорость света в этой среде).

Решение этих уравнений имеет следующий вид:

,

где амплитуды Е и Н связаны соотношением .

Можно также показать, что если вектор Е па-раллелен оси х , а вектор В параллелен оси у , то электромагнитная волна распро-страняется вдоль оси z (см. рису-нок). Другими словами, векторы Е , Н и вектор скорости электро-магнитной волны с образуют правую тройку.

Важно отметить, что колеба-ния Е и Н синфазны.

Лабораторная работа

Исследование зависимости частоты колебаний струны от силы натяжения длины и линейной плотности материала струны. Оборудование: Установка включающая в себя устройство для натяжения струны с динамометром измерительную линейку с подвижными порожками электрическую лампочку с держателем фотоэлемент низкочастотный усилитель осциллограф и универсальный счетчик; резиновый молоток; набор струн. Колебания струны как пример стоячей волны На практике стоячие волны возникают при отражении волн от преград: падающая на преграду волна и бегущая ей...

Лабораторная работа № 25

КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

Цель работы:

Изучение колебательного движения струны. Исследование зависимости частоты колебаний струны от силы натяжения, длины и линейной плотности материала струны.

Оборудование:

Установка, включающая в себя устройство для натяжения струны с динамометром, измерительную линейку с подвижными порожками, электрическую лампочку с держателем, фотоэлемент, низкочастотный усилитель, осциллограф и универсальный счетчик; резиновый молоток; набор струн.

Продолжительность работы – 4 часа.

Теоретическая часть.

1. Упругие волны

Упругой волной называется процесс распространения возмущения в упругой среде, сопровождающийся переносом энергии. Особую роль в теории волн играют гармонические волны , в которых изменение состояния среды происходит по закону синуса или косинуса.

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей.

Рассмотрим гармоническую плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x . Введём обозначение: – отклонение от положения равновесия точки среды с координатой x в момент времени t . На Рис.1 показан график функции для некоторого фиксированного момента t .

Рис.1 – Вид функции для фиксированного момента t .

Длиной волны λ называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний:

где V – скорость распространения волны, а T – период колебаний. Как видно на Рис.1, длину волны можно также определить как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз 2 π . Учитывая соотношение между периодом и частотой, получим:

(1)

Пусть источник колебаний, находящийся в точке x =0 колеблется по закону, где a – амплитуда смещения; ω – циклическая частота. Тогда колебания в точке с координатой x будут запаздывать на время, необходимое для прохождения волны от источника до данной точки:

Учитывая соотношение (1), получим:

Величина называется волновым числом . С учетом этого обозначения:

(2)

Это выражение называется уравнением плоской волны . Если волна распространяется в направлении отрицательных значений оси x , то её уравнение примет вид:

(3)

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым уравнением . Для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси x , волновое уравнение имеет вид:

(4)

В справедливости этого утверждения легко убедиться путём простой подстановки в волновое уравнение (4) уравнения плоской волны (2).

2. Стоячие волны

Стоячей волной называется колебательный процесс, возникающий в результате наложения двух встречных плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой.

Пользуясь этим определением, выведем уравнение стоячей волны. Уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси x в противоположных направлениях:

При наложении этих волн возникает колебательный процесс:

Преобразовав это выражение по формуле для суммы косинусов, получим:

(5)

Это и есть уравнение стоячей волны . Сомножитель описывает гармонические колебания. Однако, как видно из формулы (5), амплитуда этих колебаний зависит от координаты x по закону. На Рис.2 (а) приведен вид функции стоячей волны для нескольких фиксированных последовательных моментов времени t . На Рис.2 (б) также показан вид аналогичной функции для обычной бегущей волны. Сравнив эти рисунки, можно заключить, что стоячая волна представляет собой особый вид колебательного движения и, несмотря на название, в строгом смысле слова волной не является, так как стоячая волна не переносит энергию в пространстве.

Рис. 2 – Вид функции стоячей (а) и бегущей (б) волн для нескольких фиксированных последовательных моментов времени t .

Точки, в которых амплитуда колебаний стоячей волны обращается в ноль, называются узлами . В узлах точки среды колебаний не совершают (см. Рис. 2, а). Координаты узлов должны удовлетворять условию:

(6)

Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (см. Рис. 2, а) называются пучностями . Соответственно, координаты пучностей удовлетворяют условию:

(7)

3. Колебания струны как пример стоячей волны

На практике стоячие волны возникают при отражении волн от преград: падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отражённая волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Ещё одним примером стоячих волн являются колебания закреплённой с обоих концов натянутой струны. Концы струны колебаться не могут, а значит, в этих точках стоячая волна должна иметь узлы. Следовательно, возбуждаться могут только такие колебания, длина волны которых позволяет реализовать это условие. Другими словами, половина длины волны должна укладываться на длине струны целое число раз, как это показано на Рис. 3. Пронумеруем эти колебания, начиная с самой большой длины волны, и запишем соотношение между длиной струны и длиной волны колебания с номером n (см. Рис. 3). В общем виде это соотношение имеет вид:

Или (8)

Длинам волн (8) соответствуют частоты:

где V – фазовая скорость волны – скорость, с которой колебания распространяются вдоль струны. Эти частоты называют собственными частотами . Гармонические колебания с собственными частотами – это собственные (нормальные) колебания или гармоники . Частота ν , соответствующая n =1 называется основной частотой :

(9)

Рис. 3 – Собственные колебания струны

Фазовая скорость волны постоянна во времени и определяется плотностью ρ материала струны и силой её натяжения F (см. Приложение):

(10)

Подставим в выражение для основной частоты (9):

(11)

Экспериментальная проверка этого соотношения и является основным содержанием данной лабораторной работы.

Описание установки

Внешний вид и схема установки показаны на Рис. 4.

Струна (1) натягивается между колком (2), регулирующим силу натяжения, и измеряющим её пружинным динамометром (3). Струна опирается на два подвижных треугольных порожка (4). Её длина регулируется перемещением этих порожков по измерительной линейке (5). Струна располагается между лампочкой (6) и фотоэлементом со щелевой апертурой (7).

Колебания струны возбуждаются легким ударом резинового молоточка. В результате освещенность фотоэлемента и генерируемый им сигнал изменяются с той же частотой, с которой колеблется струна. Сигнал от фотоэлемента через усилитель (8) поступает на осциллограф (9) и универсальный счётчик (10), измеряющий частоту сигнала.

Рис. 4 – Внешний вид (а) и схема (б) установки для измерения частоты колебаний струны

Экспериментальная часть

Упражнение 1. Измерение зависимости частоты колебаний струны от силы натяжения.

1. Прежде чем натягивать струну, необходимо произвести установку нуля динамометра. Если струна уже натянута, вращая колок, сбросьте натяжение до его полного отсутствия. Ослабив фиксирующий винт на боковой поверхности цилиндрического корпуса динамометра, добейтесь, чтобы край корпуса совпадал с нулевым делением шкалы динамометра. Закрепите фиксирующий винт.
2. Для экспериментальной проверки соотношения (17) между частотой колебаний струны и силой натяжения используется константановая проволока с диаметром поперечного сечения d =0,4 мм (проволока №1). Установите её между крючком динамометра и крюком с нитью, закреплённой на колке. Струна при этом должна лежать на треугольных порожках. Медленно вращая колок, установите силу натяжения струны F =10 Н.
3. Перемещая порожки вдоль линейки, установите длину струны l =50 см. Здесь и далее под длиной струны будем понимать расстояние между верхними углами порожков. Его можно измерять как по положению порожков на линейке (поз. 5 Рис. 4), так и непосредственно с помощью металлической линейки.

1. Включите осциллограф. Регулировку « VOLTS/DIV » соответствующего канала установите в положение « 1 » (см. Рис. 5). Регулировку « TIME /DIV » установите в положение « 2 ms ».
2. Включите усилитель (выключатель находится на задней панели прибора). Установите регулировку « Amplification » в положение « 10 2 » (см. Рис. 6). Кнопка « AC/DC » должна быть отжата, что соответствует переменному входному сигналу. Регулировку амплитуды установите в среднее положение.
3. Включите универсальный счетчик (выключатель находится на задней панели прибора). С помощью кнопки « Mode » переведите его в режим « Analog » (см. Рис. 7). С помощью кнопки « Function » установите режим измерения частоты « Freq ». Кнопкой « Set » установите режим « Digits ». Нажмите кнопку « Start ». Загорится лампочка над этой кнопкой, свидетельствующая о том, что счетчик готов к измерению частоты.

Рис. 5 – Внешний вид экрана осциллографа.

Рис. 6 – Внешний вид лицевой панели усилителя.

Рис. 7 – Внешний вид лицевой панели универсального счетчика.

1. Непосредственно перед измерением частоты, необходимо убедиться, что:

• Длина струны соответствует нужной величине (порожки могут немного сместиться при изменении натяжения струны);
• Натяжение соответствует нужной величине (натяжение может измениться при передвижении порожков);
• Тень от струны совпадает с прорезью щели фотоприемника. Для этого нужно либо посмотреть на фотоприемник снизу, либо использовать зеркало.

Данные проверки необходимо повторять перед каждым последующим измерением.

1. Возбудите колебания струны лёгким ударом резинового молоточка. Счетчик начинает измерение частоты не сразу, а после затухания высоких гармоник. Этот процесс можно контролировать с помощью осциллографа: на его экране в момент измерения должны наблюдаться колебания, близкие к синусоидальным (см. Рис. 5).
2. Повторите измерения, постепенно увеличивая силу натяжения до F =40 Н, с шагом 5 Н.

Не пытайтесь установить силу натяжения константановой струны с диаметром 0,4 мм больше 40 Н! Это может привести к её разрыву.

Результаты измерений занесите в таблицу:

Таблица 1.

F , Н	ν , Гц	ν 2 , Гц 2	Гц 2

1. Заполните остальные клетки Таблицы 1. Погрешность измерения частоты принять равной, а погрешность измерения силы натяжения – . Постройте график зависимости квадрата частоты от силы натяжения. Согласно (11) эта зависимость линейна:

(12)

Определите по графику угловой коэффициент прямой. Используя эту величину, рассчитайте линейную плотность проволоки ρ л и её погрешность.

1. Линейная и объёмная плотности связаны соотношением:

, (13)

где S и d – соответственно площадь и диаметр поперечного сечения проволоки. Используя эту формулу, определите объёмную плотность константана ρ и погрешность этой величины. Погрешность измерения длины струны принять равной, а погрешность измерения диаметра струны – .

Упражнение 2. Измерение зависимости частоты колебаний струны от её длины.

1. Для экспериментальной проверки соотношения (11) между частотой колебаний струны и её длиной, как и в первом упражнении, используется константановая проволока с диаметром поперечного сечения d =0,4 мм (проволока №1).
2. Установите длину струны l =30 см и силу натяжения струны F =30 Н.
3. Измерьте частоту колебаний струны.
4. Постепенно увеличивая длину струны до l =60 см с шагом 5 см, измерьте зависимость частоты колебаний струны от её длины. Результаты занесите в таблицу:

Таблица 2.

l , см	ν , Гц	Мс	Мс

1. Заполнив остальные клетки Таблицы 2, постройте график зависимости периода колебаний струны от её длины. Согласно (17) эта зависимость должна быть линейной:

(14)

Определите по графику угловой коэффициент прямой. Используя эту величину, рассчитайте линейную плотность проволоки, объёмную плотность константана и погрешности этих величин.

Упражнение 3. Измерение зависимости частоты колебаний струны от линейной плотности материала.

1. Данные о проволоках, используемых для экспериментальной проверки соотношения (11) между частотой колебаний струны и линейной плотностью материала, приведены в Таблице 3.

Таблица 3.

	Материал	Диаметр поперечного сечения d , мм	Объёмная плотность ρ , г/см 3	Линейная плотность ρ л , г/м
	Тантал			0,471±0,002
	Константан			0,620±0,002
	Никель			0,647±0,002
	Медь			1,110±0,002
	Медь			1,794±0,003

Эти проволоки не выдерживают больших натяжений. Поэтому не пытайтесь установить силу натяжения более 20 Н!

1. Установив попеременно для каждой струны длину l =50 см и силу натяжения струны F =20 Н, измерьте частоты их колебаний. Результаты занесите в таблицу.
2. Нанесите экспериментальные точки на теоретический график зависимости частоты колебаний струны от линейной плотности, построенный в ходе выполнения расчетного задания. Сделайте вывод.

Подготовка к работе.

1. Физические понятия, величины, законы, знание которых необходимо для успешного выполнения работы:

• гармонические колебания, амплитуда, фаза, частота;
• волны в упругой среде;
• скорость волны, частота, длина волны;
• уравнение плоской волны;
• волновое уравнение;
• стоячие волны, узлы и пучности;
• колебания струны, гармоники;

2. Выведите формулу (11)

3. Расчетное задание. Пользуясь формулой (11), для струны длиной l =50 см, натянутой с силой F =20 Н, постройте на миллиметровой бумаге график зависимости частоты колебаний от линейной плотности в диапазоне ρ л от 0 до 2 г/м с шагом 0,2 г/м.

4. Сформулируйте основную цель работы и порядок ее выполнения.

Приложение 1. Вывод формулы для скорости волны в струне.

На Рис. 1-1 схематически показана натянутая струна. Выделим малый её фрагмент и запишем для него второй закон Ньютона:

где и – силы, действующие на левый и правый концы струны соответственно.

Рис. 1-1 – К выводу волнового уравнения колебаний струны.

В проекциях на вертикальную ось ξ :

При малых смещениях, а тангенс угла наклона кривой в свою очередь равен производной функции: . Таким образом, .

Массу, приходящуюся на единицу длины струны, принято называть линейной плотностью. Тогда массу фрагмента можно выразить через его длину: . При малых колебаниях длину фрагмента струны можно принять равной его проекции на ось X : . В результате получим:

Пренебрегая изменением силы F вдоль шнура, получим:

Это не что иное, как волновое уравнение, описывающее распространение волны со скоростью

Литература

1. Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы.– М.: БИНОМ. Лаборатория базовых знаний, 2004, §§1.1 – 1.6.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Волны. Оптика – М.: Астрель  АСТ, 2003; §§1.1, 1.4, 1.5, 1.7, 1.8.

PAGE 5

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

α 2

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

α 1

λ= VT

260.5 Hz

Счетчик

Усилитель

Осциллограф

б) Бегущая волна

а) Стоячая волна

Пучности

Узлы

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать
38790.		ДИНАМИКА ЦЕННОСТНЫХ ОРИЕНТАЦИЙ МОЛОДЕЖИ В ОТНОШЕНИИ СЕМЬИ И БРАКА В УСЛОВИЯХ МОДЕРНИЗАЦИИ РОССИЙСКОГО СОЦИУМА	758 KB
	Теоретикометодологические основы исследования и ценностных ориентаций молодежи в отношении семьи и брака. Некоторые теоретические подходы к изучению ценностных ориентаций молодежи в отношении семьи и брака. Факторы формирования и тенденции развития ценностных ориентаций современной российской молодежи в отношении семьи и брака.
38791.		Влияние восстановленного глутатиона и ингибитора каталазы на пероксидную резистентность и скорость лизиса эритроцитов при действии хлорида железа	650 KB
	Установлено, что при ингибировании каталазной активности азидом натрия, в том числе при действии хлорида железа скорость гемолиза эритроцитов возрастает. Хлорид железа (III) в концентрации 0,5% вызывал полный лизис эритроцитов человека за 5 мин инкубации с максимумом лизиса от 1,5 до 3,5 минут инкубации вне зависимости от предварительной обработки эритроцитов
38792.		Методы оценки кредитоспособности ссудозаемщика коммерческого банка	1.08 MB
	Кредит выступает опорой современной экономики, неотъемлемым элементом экономического развития. Его используют как крупные предприятия и объединения, так и малые производственные, сельскохозяйственные и торговые структуры; как государства, правительства, так и отдельные граждане. Он становится неизбежным атрибутом товарного хозяйства.
38793.		Лісові природно-заповідні території як осередки еволюційного збереження лісового дендрофіторізноманіття	403 KB
	Сучасний стан лісових генетичних ресурсів та стратегії їх збереження. Стратегії збереження генетичної мінливості лісової дендрофлори. Підходи до збереження генетичної мінливості лісового генофонду. Збереження видів деревних рослин іn situ.
38794.		ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ В РЫНОЧНЫХ УСЛОВИЯХ (НА ПРИМЕРЕ ООО «ДАБАН»)	856.5 KB
	Анализ объема и ассортимента продукции. Анализ структуры продукции и влияние структурных сдвигов на изменение стоимости продукции. Понятие эффективности Целью деятельности любого промышленного предприятия является выпуск определенной продукции выполнение работ оказание услуг установленного объема и качества в определенные сроки. Но при установлении масштабов производства следует исходить не только из народнохозяйственных и индивидуальных потребностей в данной продукции но и в необходимости учитывать достижение максимального...
38795.		ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ И ПУТИ ЕЕ ПОВЫШЕНИЯ НА ПРИМЕРЕ РУП «КЛИМОВИЧСКОГО ЛИКЕРО-ВОДОЧНОГО ЗАВОДА»	742 KB
	К ним в частности относятся: увеличение реализации остатков готовой продукции на складах продажа неиспользуемого оборудования снижение себестоимости продукции в результате приобретения нового оборудования. Для успешного функционирования каждый хозяйствующий субъект должен стремиться к повышению эффективности своей деятельности на основе рационального использования ресурсного потенциала увеличения прибыльности производства улучшения качества реализуемой продукции. В основе этого понятия лежит ограниченность ресурсов желание экономить...
38796.		Исследование учета и анализа денежных средств на примере коммерческой организации ВООИ «Синтез»	555.5 KB
	Теоретические и организационные основы учета и анализа денежных средств. Виды денежных средств организации.Классификация денежных потоков. Нормативная база учета и анализа денежных средств.
38797.		Уголовно - правовая квалификация мошенничества	325 KB
	Актуальность темы исследования состоит в том что в ней существует ряд дискуссионных проблем в частности относительно объективной и субъективной природы признаков мошенничества. В условиях недостаточно глубокого исследования признаков и специфики мошенничества наличия в теории уголовного права многих спорных вопросов по этой проблеме нередко возникают затруднения и ошибки при квалификации...
38798.		Расчет автоматизированного электропривода поперечной подачи плоскошлифовального станка 3Е711	3.36 MB
	Для увеличения точности шлифования в данном курсовом проекте необходимо уделить особое внимание приводу вертикальной подачи поэтому рассмотрим несколько вариантов его реализации: На основе применения вентильного двигателя: Подключение вентильного двигателя можно реализовать с помощью микросхемы MC 33033 и MC 33039 рис.1 Схема привода на основе БДПТ На основе шагового двигателя: Основные функциональные узлы разомкнутого шагового электропривода приведены на рис. Принцип его работы заключается в том что при изменении частоты...