Definīcija. Prizma- tas ir daudzskaldnis, kura visas virsotnes atrodas divās paralēlās plaknēs, un tajās pašās divās plaknēs ir divas prizmas virsmas, kas ir vienādi daudzstūri ar attiecīgi paralēlām malām, un visas malas, kas neatrodas šajās plaknēs, ir paralēlas.

Tiek sauktas divas vienādas sejas prizmas pamatnes(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Visas citas prizmas sejas sauc sānu sejas(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Veidojas visas sānu virsmas prizmas sānu virsma .

Visas prizmas sānu malas ir paralelogrami .

Ribas, kas neatrodas pamatnēs, sauc par prizmas sānu ribām ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diagonālā prizma sauc par segmentu, kura gali ir divas prizmas virsotnes, kas neatrodas uz vienas tās virsmas (AD 1).

Tiek saukts segmenta garums, kas savieno prizmas pamatnes un vienlaikus ir perpendikulārs abām pamatnēm prizmas augstums .

Apzīmējums:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1... (Pirmkārt, vienas pamatnes virsotnes tiek norādītas šķērsošanas secībā, un pēc tam tādā pašā secībā arī otras virsotnes; katras sānu malas galus apzīmē ar vienādiem burtiem, tikai virsotnes atrodas vienā pamatnē tiek apzīmēti ar burtiem bez indeksa, bet otrā - ar indeksu)

Prizmas nosaukums ir saistīts ar leņķu skaitu attēlā, kas atrodas tās pamatnē, piemēram, 1. attēlā pie pamatnes ir piecstūris, tāpēc prizmu sauc piecstūra prizma... Bet kopš tā laika šādai prizmai ir 7 sejas, tad tā sešstūris(2 sejas - prizmas pamatnes, 5 sejas - paralelogrami, - tās sānu malas)

Starp taisnām prizmām izceļas konkrēts veids: parastās prizmas.

Taisno prizmu sauc pareizi, ja tās pamati ir regulāri daudzstūri.

Paralleleipeded

Taisnstūra paralēlskaldnis- taisns paralēlskaldnis, kura pamatne ir taisnstūris.

Īpašības un teorēmas:

,

kur d ir kvadrāta diagonāle;
a - laukuma puse.

Prizmas ideju sniedz:

• dažādas arhitektūras struktūras;
• Bērnu rotaļlietas;
• iepakošanas kastes;
• dizaina priekšmeti utt.

Prizmas pilnas un sānu virsmas laukums

S pilns = S puse + 2S galvenais,

kur S pilns- kopējā virsmas platība, S pusē- sānu virsmas laukums, S galvenais- bāzes laukums

Taisnas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pamatperimetra un prizmas augstuma reizinājumu.

S pusē= P galvenais * h,

kur S pusē- taisnas prizmas sānu virsmas laukums,

P main - taisnas prizmas pamatnes perimetrs,

h ir taisnās prizmas augstums, kas vienāds ar sānu malu.

Prizmas apjoms

Prizmas tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu.

Dažādas prizmas nav līdzīgas. Tajā pašā laikā viņiem ir daudz kopīga. Lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, jums jānoskaidro, kāda veida tā ir.

Vispārējā teorija

Prizma ir jebkurš daudzskaldnis, kura malas ir paralelograms. Turklāt tā pamatnē var parādīties jebkurš daudzskaldnis - no trīsstūra līdz n -gonam. Turklāt prizmas pamati vienmēr ir vienādi. Tas neattiecas uz sānu virsmām - to izmēri var ievērojami atšķirties.

Risinot problēmas, sastopas ne tikai prizmas pamatnes laukums. Var būt nepieciešamas zināšanas par sānu virsmu, tas ir, visām virsmām, kas nav pamatnes. Pilna virsma jau būs visu to seju savienība, kas veido prizmu.

Dažreiz uzdevumos ietilpst augstums. Tas ir perpendikulārs pamatnēm. Daudzskaldņa diagonāle ir segments, kas pāros savieno jebkuras divas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai sejai.

Jāatzīmē, ka taisnas vai slīpas prizmas pamatplatība nav atkarīga no leņķa starp tām un sānu virsmām. Ja tiem ir vienādas formas augšējā un apakšējā malā, tad to laukumi būs vienādi.

Trīsstūrveida prizma

Tā pamatā ir figūra ar trim virsotnēm, tas ir, trīsstūris. Ir zināms, ka tas ir atšķirīgs. Ja tad pietiek atcerēties, ka tā laukumu nosaka puse no kāju produkta.

Matemātiskais apzīmējums izskatās šādi: S = ½ vid.

Lai uzzinātu pamatnes laukumu vispārīgā formā, noderīgas ir formulas: Herons un tas, kurā puse no malas tiek pacelta līdz tai uzvilktajam augstumam.

Pirmā formula jāraksta šādi: S = √ (p (p-a) (p-c) (p-c)). Šajā ierakstā ir daļēji perimetrs (p), tas ir, trīs malu summa, kas dalīta ar divām.

Otrkārt: S = ½ n a * a.

Ja vēlaties uzzināt trīsstūrveida prizmas pamatnes laukumu, kas ir regulārs, tad trīsstūris izrādās vienādsānu. Tam ir formula: S = ¼ a 2 * √3.

Četrstūra prizma

Tās pamats ir jebkurš no zināmajiem četrstūriem. Tas var būt taisnstūris vai kvadrāts, paralēlskaldnis vai rombs. Katrā gadījumā, lai aprēķinātu prizmas pamatnes laukumu, jums būs nepieciešama cita formula.

Ja pamatne ir taisnstūris, tad tās laukumu nosaka šādi: S = ab, kur a, b ir taisnstūra malas.

Runājot par četrstūra prizmu, parastās prizmas pamatplatību aprēķina, izmantojot kvadrātveida formulu. Jo tieši viņš izrādās apakšā. S = a 2.

Gadījumā, ja pamatne ir paralēlskaldne, būs nepieciešama šāda vienādība: S = a * na. Gadās, ka ir dota paralēlskaldņa puse un viens no stūriem. Tad, lai aprēķinātu augstumu, jums būs jāizmanto papildu formula: n a = b * sin A. Turklāt leņķis A atrodas blakus malai "b", un augstums ir n a pretējs šim leņķim.

Ja prizmas pamatnē ir rombs, tad tā laukuma noteikšanai būs nepieciešama tāda pati formula kā paralelogramam (jo tas ir tā īpašais gadījums). Bet jūs varat arī izmantot šo: S = ½ d 1 d 2. Šeit d 1 un d 2 ir divas romba diagonāles.

Regulāra piecstūra prizma

Šis gadījums ietver daudzstūra sadalīšanu trīsstūros, kuru apgabalus ir vieglāk noskaidrot. Lai gan gadās, ka skaitļi var būt ar atšķirīgu virsotņu skaitu.

Tā kā prizmas pamatne ir regulārs piecstūris, to var sadalīt piecos vienādmalu trijstūros. Tad prizmas pamatnes laukums ir vienāds ar viena šāda trīsstūra laukumu (formulu var redzēt iepriekš), reizinot ar pieciem.

Regulāra sešstūra prizma

Saskaņā ar principu, kas aprakstīts piecstūra prizmai, pamata sešstūri ir iespējams sadalīt 6 vienādmalu trijstūros. Šādas prizmas bāzes laukuma formula ir līdzīga iepriekšējai. Tikai tajā jāreizina ar sešiem.

Formula izskatīsies šādi: S = 3/2 un 2 * √3.

Uzdevumi

№ 1. Dota pareiza taisne. Tās diagonāle ir 22 cm, daudzskaldņa augstums ir 14 cm. Aprēķiniet prizmas pamatnes laukumu un visu virsmu.

Risinājums. Prizmas pamatne ir kvadrāts, bet tā puse nav zināma. Tās vērtību var atrast no kvadrāta (x) diagonāles, kas ir saistīta ar prizmas (d) diagonāli un tā augstumu (h). x 2 = d 2 - n 2. No otras puses, šis segments "x" ir hipotenūza trīsstūrī, kuras kājas ir vienādas ar kvadrāta malu. Tas ir, x 2 = a 2 + a 2. Tādējādi izrādās, ka a 2 = (d 2 - n 2) / 2.

Aizstājiet 22, nevis d, un aizstājiet "n" ar tā vērtību - 14, tad izrādās, ka kvadrāta mala ir 12 cm. Tagad vienkārši noskaidrojiet pamatnes laukumu: 12 * 12 = 144 cm 2 .

Lai uzzinātu visas virsmas laukumu, jums jāpievieno divreiz lielāka pamatplatība un četrkāršojiet sānu. Pēdējo var viegli atrast, izmantojot taisnstūra formulu: reiziniet daudzskaldņa augstumu un pamatnes malu. Tas ir, 14 un 12, šis skaitlis būs vienāds ar 168 cm 2. Prizmas kopējā virsmas platība ir 960 cm 2.

Atbilde. Prizmas pamatplatība ir 144 cm 2. Visa virsma ir 960 cm 2.

№ 2. Dana Pamatnē atrodas trīsstūris ar 6 cm malu, šajā gadījumā sānu virsmas diagonāle ir 10 cm, aprēķiniet laukumus: pamatne un sānu virsma.

Risinājums. Tā kā prizma ir regulāra, tās pamats ir vienādmalu trīsstūris. Tāpēc tā laukums ir vienāds ar 6 kvadrātā, reizināts ar ¼ un kvadrātsakni no 3. Vienkāršs aprēķins noved pie rezultāta: 9√3 cm 2. Tas ir vienas prizmas pamatnes laukums.

Visas sānu virsmas ir vienādas un ir taisnstūri, kuru malas ir 6 un 10 cm.Lai aprēķinātu to laukumus, pietiek ar šo skaitļu reizināšanu. Tad reiziniet tos ar trim, jo ​​ir tik daudz prizmas sānu virsmu. Tad sānu virsmas laukums izrādās 180 cm 2 brūce.

Atbilde. Platības: pamatne - 9√3 cm 2, prizmas sānu virsma - 180 cm 2.

"Pitagora teorēmas mācība" - Pitagora teorēma. Nosakiet KMNP četrstūra skatu. Iesildies. Iepazīšanās ar teorēmu. Nosakiet trīsstūra veidu: Nodarbības plāns: Vēsturiskais fons. Vienkāršāko uzdevumu risināšana. Un jūs atradīsit kāpnes, kuru garums ir 125 pēdas. Aprēķiniet trapeces ABCD augstumu CF. Pierādījums. Attēlu parādīšana. Teorēmas pierādījums.

"Prizmas tilpums" - prizmas jēdziens. Taisna prizma. Sākotnējās prizmas tilpums ir vienāds ar reizinājumu S · h. Kā atrast taisnas prizmas tilpumu? Prizmu var sadalīt taisnās trīsstūrveida prizmās ar augstumu h. Zīmējot trijstūra ABC augstumu. Problēmas risinājums. Nodarbības mērķi. Kādi ir galvenie soļi, lai pierādītu tiešās prizmas teorēmu? Prizmas tilpuma teorēmas izpēte.

"Daudzskaldņu prizma" - sniedziet daudzskaldņa definīciju. DABC - tetraedrs, izliekts daudzskaldnis. Prizmu pielietošana. Kur tiek izmantotas prizmas? ABCDMP ir astoņstūris, kas sastāv no astoņiem trīsstūriem. ABCDA1B1C1D1 - paralēlskaldnis, izliekts daudzskaldnis. Izliekts daudzskaldnis. Daudzskaldņa jēdziens. Daudzskaldnis A1A2..AnB1B2..Bn ir prizma.

"Prizmas pakāpe 10" - prizma ir daudzskaldnis, kura sejas atrodas paralēlās plaknēs. Prizmas izmantošana ikdienas dzīvē. S puse. = P pamatā. + h Taisnai prizmai: Sp.p = Pbasis. h + 2S bāzes. Slīpi. Pareizi. Taisni. Prizma. Formulas apgabala atrašanai. Prizmas pielietojums arhitektūrā. Sp.p = S puse. + 2S ir balstīta.

"Pitagora teorēmas pierādījums" - Ģeometrisks pierādījums. Pitagora teorēmas nozīme. Pitagora teorēma. Eiklida pierādījums. "Taisnstūra trīsstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu." Teorēmas pierādījums. Teorēmas nozīme slēpjas faktā, ka lielāko daļu ģeometrijas teorēmu var izsecināt no tās vai ar tās palīdzību.

Definīcija.

Šis ir sešstūris, kura pamati ir divi vienādi kvadrāti, bet sānu malas ir vienādi taisnstūri.

Sānu riba ir divu blakus esošo sānu virsmu kopējā puse

Prizmas augstums ir segments, kas ir perpendikulārs prizmas pamatnēm

Diagonālā prizma- segments, kas savieno divas pamatņu virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai

Diagonālā plakne- plakne, kas iet caur prizmas diagonāli un tās sānu malām

Diagonālā sadaļa- prizmas un diagonālās plaknes krustošanās robežas. Parastās četrstūra prizmas diagonālā daļa ir taisnstūris

Perpendikulāra sadaļa (taisnleņķa griezums) ir prizmas un plaknes, kas novilkta perpendikulāri tās sānu malām, krustpunkts

Regulāras četrstūra prizmas elementi

Attēlā redzamas divas regulāras četrstūra prizmas, kuras apzīmētas ar atbilstošajiem burtiem:

• Bāzes ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 ir vienādas un paralēlas viena otrai
• Sānu virsmas AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C un CC 1 D 1 D, no kurām katra ir taisnstūris
• Sānu virsma - visu prizmas sānu virsmu laukumu summa
• Pilna virsma - visu pamatņu un sānu virsmu laukumu summa (sānu virsmas un pamatņu laukumu summa)
• Sānu ribas AA 1, BB 1, CC 1 un DD 1.
• Diagonāle B 1 D
• Pamatnes diagonāle BD
• Diagonālā daļa BB 1 D 1 D
• Perpendikulāra sadaļa A 2 B 2 C 2 D 2.

Regulāras četrstūra prizmas īpašības

• Pamati ir divi vienādi kvadrāti
• Bāzes ir paralēlas viena otrai
• Sānu virsmas ir taisnstūri
• Sānu virsmas ir vienādas viena ar otru
• Sānu virsmas ir perpendikulāras pamatnēm
• Sānu ribas ir paralēlas un vienādas
• Perpendikulāra sadaļa perpendikulāra visām sānu malām un paralēla pamatnēm
• Perpendikulārās sekcijas stūri ir taisni
• Parastas četrstūra prizmas diagonālā daļa ir taisnstūris
• Perpendikulāra (taisnleņķa griezums) paralēli pamatnēm

Parastās četrstūra prizmas formulas

Norādījumi problēmu risināšanai

Pareiza prizma- prizma, kuras pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, un sānu malas ir perpendikulāras pamatplaknēm. Tas ir, parastā četrstūra prizma satur tās pamatnē kvadrāts... (skatīt iepriekš parastās četrstūra prizmas īpašības) Piezīme... Šī ir daļa no stundas ar ģeometrijas problēmām (sekciju stereometrija - prizma). Šeit ir uzdevumi, kas rada grūtības to risināšanā. Ja jums ir jāatrisina ģeometrijas problēma, kuras šeit nav, rakstiet par to forumā. Lai apzīmētu kvadrātsaknes iegūšanas darbību problēmu risinājumos, simbols√ .

Uzdevums.

Parastās prizmas diagonāle veido taisnleņķa trīsstūri ar pamatnes diagonāli un prizmas augstumu. Attiecīgi saskaņā ar Pitagora teorēmu noteiktas regulāras četrstūra prizmas diagonāle būs vienāda ar:
√ ((12√2) 2 + 14 2) = 22 cm

Atbilde: 22 cm

Uzdevums

Risinājums.
Tā kā regulāras četrstūra prizmas pamatnē ir kvadrāts, pamatnes malu (apzīmē kā a) atrod Pitagora teorēma:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Sānu virsmas augstums (apzīmēts kā h) būs vienāds ar:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3.5

Kopējā virsmas platība būs vienāda ar sānu virsmas laukuma summu un divreiz lielāku par bāzes laukumu

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7 * 25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Atbilde: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Video kurss "Iegūstiet A" ietver visas tēmas, kas nepieciešamas, lai veiksmīgi nokārtotu eksāmenu matemātikā ar 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila vienotā matemātikas valsts eksāmena 1.-13. Piemērots arī pamata eksāmena nokārtošanai matemātikā. Ja vēlaties nokārtot eksāmenu par 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Gatavošanās kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss, kas nepieciešams, lai atrisinātu matemātikas eksāmena 1. daļu (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne simtpunktu students, ne humanitāro zinātņu students.

Visa nepieciešamā teorija. Ātri risinājumi, slazdi un eksāmena noslēpumi. Izjauca visus attiecīgos 1. daļas uzdevumus no FIPI uzdevumu bankas. Kurss pilnībā atbilst eksāmena-2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārša un vienkārša.

Simtiem USE uzdevumu. Vārdu problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli atcerami problēmu risināšanas algoritmi. Ģeometrija. Teorija, atsauces materiāls, visu veidu USE uzdevumu analīze. Stereometrija. Sarežģīti risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz 13. problēmai. Izpratne, nevis pieblīvēšana. Vizuāls sarežģītu jēdzienu skaidrojums. Algebra. Saknes, grādi un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamats eksāmena 2.daļas sarežģītu uzdevumu risināšanai.